Різні способи множення багатозначних чисел. Способи множення багатозначних чисел

МОУ «Курівська середня загальноосвітня школа №6»

РЕФЕРАТ З МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ:

« НЕЗВИЧАЙНІ СПОСОБИ ПРИМНОЖЕННЯ».

Виконав учень 6 «б» класу

Хрестників Василь.

Керівник:

Смирнова Тетяна Володимирівна.

Вступ…………………………………………………………………………2

Основна частина. Незвичайні способи множення…………………………3

2.1. Трохи історії………………………………………………………………..3

2.2. Множення на пальцях…………………………………………………………4

2.3. Множення на 9…………………………………………………………………5

2.4. Індійський спосіб множення……………………………………………….6

2.5. Множення способом «Маленький замок»…………………………………7

2.6. Множення способом «Ревність»……………………………………………8

2.7. Селянський спосіб множення……………………………………………..9

2.8 Новий метод…………………………………………………………………..10

Заключение………………………………………………………………………11

Список литературы…………………………………………………………….1 2

I. Вступ.

Людині у повсякденному житті неможливо обійтися без обчислень. Тому на уроках математики нас в першу чергу вчать виконувати дії над числами, тобто вважати. Примножуємо, ділимо, складаємо та віднімаємо ми звичними для всіх способами, які вивчаються у школі.

Одного разу мені випадково попалася книга С. М. Олехніка, Ю. В. Нестеренка та М. К. Потапова «Старовинні цікаві завдання». Гартуючи цю книгу, мою увагу привернула сторінка під назвою «Множення на пальцях». Виявилося, що можна множити не лише тому, що пропонують нам у підручниках математики. Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.

Постійне застосування сучасної обчислювальної техніки призводить до того, що учням важко виробляти будь-які розрахунки, не маючи у своєму розпорядженні таблиць або лічильної машини. Знання спрощених прийомів обчислень дає можливість не тільки швидко проводити прості розрахунки в умі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки внаслідок механізованих обчислень. З іншого боку, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять, підвищує рівень математичної культури мислення, допомагає повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Мета роботи:

Показати незвичайніМетоди множення.

Завдання:

Знайти якнайбільшенезвичайних методів обчислень.

Навчитися їх застосовувати.

Вибрати для себе найцікавіші чи легші, ніж ті якіпропонуютьсяу школі, і використовувати їх за рахунку.

II. Основна частина. Незвичайні методи множення.

2.1. Трішки історії.

Ті способи обчислень, якими ми користуємося зараз, не завжди були такі прості та зручні. За старих часів користувалися більш громіздкими і повільними прийомами. І якби школяр 21 століття міг перенестися на п'ять століть тому, він вразив би наших предків швидкістю та безпомилковістю своїх обчислень. Поголос про нього облетів би навколишні школи та монастирі, затьмаривши славу найвибагливіших лічильників тієї епохи, і з усіх боків приїжджали б вчитися у нового великого майстра.

У книзі В. Беллюстина «Як поступово дійшли люди до справжньої арифметики» викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «дуже можливо, що є ще способи, приховані в схованках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках».

І всі ці прийоми множення – «шаховим або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «решіткою», «задом наперед», «алмазом» та інші суперничали один з одним і засвоювалися насилу.

Давайте розглянемо найцікавіші та найпростіші способи множення.

2.2. Множення на пальцях.

Давньоруський спосіб множення на пальцях є одним із найбільш уживаних методів, яким успішно користувалися протягом багатьох століть російські купці. Вони навчилися множити на пальцях однозначні числа від 6 до 9. При цьому достатньо було володіти початковими навичками пальцевого рахунку "одиницями", "парами", "трійками", "четвірками", "п'ятірками" та "десятками". Пальці рук тут були допоміжним обчислювальним пристроєм.

Для цього на одній руці витягували стільки пальців, на скільки перший множник перевершує число 5, а на другій робили те саме для другого множника. Інші пальці загинали. Потім бралося число (сумарне) витягнутих пальців і множилося на 10, далі перемножувалися числа, що показували, скільки загнуто пальців на руках, а результати складалися.

Наприклад, помножимо 7 на 8. У розглянутому прикладі буде загнуто 2 та 3 пальці. Якщо скласти кількості загнутих пальців (2+3=5) та перемножити кількості не загнутих (2 3=6), то вийдуть відповідно числа десятків та одиниць шуканого твору 56 . Так можна обчислювати добуток будь-яких однозначних чисел більше 5.

2.3. Розмноження на 9.

Розмноження для числа 9- 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється "на пальцях". Розчепірте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцям послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, рівним числу, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців зліва від загнутого пальця показує кількість десятків у відповіді, кількість пальців праворуч – кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуто, праворуч – 4 пальці. Отже, 9·6=54. Нижче малюнку детально показаний весь принцип “обчислення”.

Ще приклад: треба обчислити 9 · 8 =?. По ходу справи скажемо, що як "лічильна машинка" не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок у зошити. Закреслюємо 8 клітинку. Зліва залишилося 7 клітин, праворуч – 2 клітини. Значить 9 · 8 = 72. Все дуже просто.

7 клітин 2 клітини.

2.4. Індійський спосіб множення.

Найцінніший внесок у скарбницю математичних знань було здійснено Індії. Індуси запропонували вживаний спосіб запису чисел за допомогою десяти знаків: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Основа цього способу полягає в ідеї, що та сама цифра позначає одиниці, десятки, сотні або тисячі, залежно від того, яке місце ця цифра займає. Займане місце, у разі відсутності якихось розрядів, визначається нулями, що приписуються до цифр.

Індуси добре рахували. Вони вигадали дуже простий спосіб множення. Вони множення виконували, починаючи зі старшого розряду, і записували неповні твори якраз над множиною, порозрядно. При цьому відразу було видно старший розряд повного твору і, крім того, виключався пропуск будь-якої цифри. Знак множення ще був відомий, тому між множниками вони залишали невелику відстань. Наприклад, помножимо їх способом 537 на 6:

(5 ∙ 6 =30) 30

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5 . Розмноження способом«МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

Множення чисел зараз вивчають у першому класі школи. А ось у Середні віки мало хто володів мистецтвом множення. Рідкісний аристократ міг похвалитися знанням таблиці множення, навіть якщо він закінчив європейський університет.

За тисячоліття розвитку математики було вигадано безліч способів множення чисел. Італійський математик Лука Пачолі у своєму трактаті «Сума знань з арифметики, відносин та пропорційності» (1494 р.) наводить вісім різних методів множення. Перший з них носить назву «Маленький замок», а другий не менш романтична назва «Ревність чи ґратчасте множення».

Перевага способу множення «Маленький замок» у цьому, що з самого початку визначаються цифри старших розрядів, але це буває важливо, якщо потрібно швидко оцінити величину.

Цифри верхнього числа, починаючи зі старшого розряду, послідовно множаться на нижнє число і записуються в стовпчик з додаванням потрібного числа нулів. Потім результати складаються.

2.6. Розмноження чиселметодом «ревнощі».

Другий спосіб носить романтичну назву «ревнощі», або «решітчасте множення».

Спочатку малюється прямокутник, поділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множника та множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «…виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, – пише Пачолі. – Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити дам і черниць, що сиділи біля вікон».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

У кожен рядок запишемо твір цифр, що стоять над цією клітиною і праворуч від неї, при цьому цифру десятків твору напишемо над косою межею, а цифру одиниць – під нею. Тепер складаємо числа у кожній косій смузі, виконуючи цю операцію, праворуч наліво. Якщо сума виявиться меншою за 10, то її пишемо під нижньою цифрою смуги. Якщо вона виявиться більше, ніж 10, то пишемо тільки цифру одиниць суми, а цифру десятків додаємо до наступної суми. В результаті одержуємо шуканий твір 10063.

2.7. Дорестянський спосіб множення.

Найбільш, на мою думку, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який вживали російські селяни. Цей прийом взагалі вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність їх у тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до того часу, поки у приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвоєне число і дає результат.

У разі непарного числа треба відкинути одиницю та ділити залишок навпіл; зате до останнього числа правого стовпця потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором

Добуток усіх пар відповідних чисел однаковий, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8 . Новий спосіб множення.

Цікавийновий спосіб множення, про який недавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне – як розмістити цю інформацію. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є дев'ятерічна система - всі дані просто мають у своєму розпорядженні дев'ять осередків, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

Вважати за такою таблицею дуже просто. Наприклад, помножимо число 15647 на 5. У частині таблиці, що відповідає п'ятірці, вибираємо числа, що відповідають цифрам числа по порядку: одиниці, п'ятірці, шістці, четвірці та сімці. Отримуємо: 05 25 30 20 35

Ліву цифру (у нашому прикладі – нуль) залишаємо без змін, а наступні цифри складаємо попарно: п'ятірку з двійкою, п'ятірку з трійкою, нуль із двійкою, нуль із трійкою. Остання цифра також без змін.

У результаті отримуємо: 078235. Число 78235 є результат множення.

Якщо ж при додаванні двох цифр виходить число, що перевищує дев'ять, його перша цифра додається до попередньої цифри результату, а друга пишеться на «своє» місце.

III. Висновок.

З усіх знайдених мною незвичайних способів рахунку цікавішим здався спосіб «решітчастого множення чи ревнощі». Я показав його своїм однокласникам і він їм теж дуже сподобався.

Найпростішим мені здався метод «подвоєння та роздвоєння», який використовували російські селяни. Я його використовую при множенні невеликих чисел (дуже зручно його використовувати при множенні двоцифрових чисел).

Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в думці «крутити» величезними числами.

Я думаю, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще швидші та надійніші способи.

Література

Депман І. «Оповідання про математику». - Ленінград.: Просвітництво, 1954. - 140 с.

Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. http://numbernautics.ru/

Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання». - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.

Перельман Я.І. Швидкий рахунок. Тридцять найпростіших прийомів усного рахунку. Л., 1941 – 12 с.

Перельман Я.І. Цікава арифметика. М.Русанова, 1994-205с.

Енциклопедія «Я пізнаю світ. Математика». - М.: Астрель Єрмак, 2004.

Енциклопедія для дітей "Математика". - М.: Аванта +, 2003. - 688 с.

Хрестників Василь

Тема роботи «Незвичайні способи обчислення» цікава та актуальна, оскільки учні постійно виконують арифметичні дії над числами, а вміння швидко обчислювати, підвищує успішність у навчанні та розвиває гнучкість розуму.

Василь зумів ясно викласти причини свого звернення до цієї теми, правильно сформулював мету та завдання роботи. Вивчивши різні джерела інформації, знайшов цікаві та незвичайні способи множення та навчився застосовувати їх на практиці. Учень розглянув плюси та мінуси кожного способу і зробив правильний висновок. Достовірність виведення підтверджує новий спосіб множення. При цьому учень вміло користується спеціальною термінологією та знаннями поза шкільною програмою математики. Тема роботи відповідає змісту, матеріал викладено чітко та доступно.

Результати роботи мають практичне значення та можуть бути цікаві широкому колу людей.

Завантажити:

Попередній перегляд:

МОУ «Курівська середня загальноосвітня школа №6»

РЕФЕРАТ З МАТЕМАТИКИ НА ТЕМУ:

«НЕЗВИЧАЙНІ СПОСОБИ ПРИМНОЖЕННЯ».

Виконав учень 6 «б» класу

Хрестників Василь.

Керівник:

Смирнова Тетяна Володимирівна.

2011р.

Вступ……………………………………………………………………......2
Основна частина. Незвичайні способи множення………………………...3

2.1. Трохи історії………………………………………………………………..3

2.2. Множення на пальцях………………………………………………………...4

2.3. Множення на 9…………………………………………………………………5

2.4. Індійський спосіб множення……………………………………………….6

2.5. Множення способом «Маленький замок»…………………………………7

2.6. Множення способом «Ревність»…………………………………………...8

2.7. Селянський спосіб множення………………………………………….....9

2.8 Новий метод…………………………………………………………………..10

Заключение……………………………………………………………………...11
Список литературы…………………………………………………………….12

I. Вступ.

Мета роботи:

Показати незвичайні методи множення.

Завдання:

Знайти якнайбільше незвичайних способів обчислень.
Навчитися їх застосовувати.
Вибрати для себе найцікавіші або легші, ніж ті, що пропонуються в школі, і використовувати їх за рахунку.

ІІ. Основна частина. Незвичайні методи множення.

2.1. Трішки історії.

І всі ці прийоми множення - «шаховим або органчиком», «загинанням», «хрестиком», «решіткою», «задом наперед», «алмазом» та інші суперничали один з одним і засвоювалися насилу.

Давайте розглянемо найцікавіші та найпростіші способи множення.

2.2. Множення на пальцях.

2.3. Розмноження на 9.

Розмноження для числа 9- 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - легше вивітрюється з пам'яті і важче перераховується вручну методом складання, однак саме для числа 9 множення легко відтворюється "на пальцях". Розчепірте пальці на обох руках і поверніть руки долонями від себе. Подумки надайте пальцям послідовно числа від 1 до 10, починаючи з мізинця лівої руки і закінчуючи мізинцем правої руки (це зображено на малюнку).

Припустимо, хочемо помножити 9 на 6. Загинаємо палець з номером, рівним числу, на яке ми будемо множити дев'ятку. У нашому прикладі потрібно загнути палець з номером 6. Кількість пальців ліворуч від загнутого пальця показує кількість десятків у відповіді, кількість пальців праворуч - кількість одиниць. Зліва у нас 5 пальців не загнуто, праворуч – 4 пальці. Отже, 9·6=54. Нижче малюнку детально показаний весь принцип " обчислення " .

Ще приклад: треба обчислити 9 · 8 =?. По ходу справи скажемо, що як "лічильна машинка" не обов'язково можуть виступати пальці рук. Візьміть, наприклад, 10 клітинок у зошити. Закреслюємо 8 клітинку. Зліва залишилося 7 клітин, справа - 2 клітини. Значить 9 · 8 = 72. Все дуже просто.

7 клітин 2 клітини.

2.4. Індійський спосіб множення.

537 6

(5 ∙ 6 =30) 30

537 6

(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318

537 6

(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222

2.5. Розмноження методом «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

2.6. Множення чисел методом «ревнощі».

Другий спосіб носить романтичну назву «ревнощі», або «решітчасте множення».

Спочатку малюється прямокутник, поділений на квадрати, причому розміри сторін прямокутника відповідають числу десяткових знаків у множника та множника. Потім квадратні клітини, діляться по діагоналі, і «…виходить картинка, схожа на гратчасті віконниці-жалюзі, - пише Пачолі. – Такі віконниці вішалися на вікна венеціанських будинків, заважаючи вуличним перехожим бачити дам і черниць, що сиділи біля вікон».

Помножимо цим способом 347 на 29. Накреслимо таблицю, запишемо над нею число 347, а праворуч число 29.

3 4 7

10 0 6 3

2.7. Селянський спосіб множення.

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

Добуток усіх пар відповідних чисел однаковий, тому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

У разі, коли одне з чисел непарне або обидва числа непарні, чинимо так:

24 ∙ 17

24 ∙ 16 =

48 ∙ 8 =

96 ∙ 4 =

192 ∙ 2 =

384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

2.8. Новий спосіб множення.

Цікавим є новий спосіб множення, про який нещодавно з'явилися повідомлення. Винахідник нової системи усного рахунку кандидат філософських наук Василь Оконешніков стверджує, що людина здатна запам'ятовувати величезний запас інформації, головне – як розмістити цю інформацію. На думку самого вченого, найбільш виграшною в цьому відношенні є дев'ятерічна система - всі дані просто мають у своєму розпорядженні дев'ять осередків, розташованих, як кнопочки на калькуляторі.

У результаті отримуємо: 078235. Число 78235 є результат множення.

ІІІ. Висновок.

Зацікавив мене новий спосіб множення, тому що він дозволяє в думці «крутити» величезними числами.

Я думаю, що і наш спосіб множення в стовпчик не є досконалим і можна придумати ще швидші та надійніші способи.

Література

Депман І. «Оповідання про математику». - Ленінград.: Просвітництво, 1954. - 140 с.
Корнєєв А.А. Феномен російського множення. Історія. http://numbernautics.ru/
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К. «Старовинні цікаві завдання». - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1985. - 160 с.
Перельман Я.І. Швидкий рахунок. Тридцять найпростіших прийомів усного рахунку. Л., 1941 – 12 с.
Перельман Я.І. Цікава арифметика. М.Русанова,1994-205с. https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Роботу виконав учень 6 «Б» класу Хрестніков Василь. Керівник: Смирнова Тетяна Володимирівна Незвичайні способи множення
Ціль роботи: Показати незвичайні способи множення. Завдання: Знайти незвичайні способи множення. Навчитися їх застосовувати. Вибрати для себе найцікавіші або легші і використовувати їх за рахунку.
Множення на пальцях.
Розмноження на 9
Італійський математик Лука Пачіолі народився 1445 року.
Розмноження способом "Маленький замок"
Множення методом «Ревність»
Множення методом решітки. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29=10063
Російський селянський метод 37 32 37……….32 74……….16 148……….8 296……….4 592……….2 1184………1 37 32=1184
спасибі за увагу

другий спосіб множення:

На Русі селяни не застосовували таблиці множення, але чудово вважали добуток багатозначних чисел.

На Русі, починаючи з давніх-давен і майже до вісімнадцятогостоліття, російські люди у своїх обчисленнях обходилися без множення іподілу. Вони застосовували лише дві арифметичні дії – додавання тавіднімання. Та ще так зване «подвоєння» та «роздвоєння». Алепотреби торгової та іншої діяльності вимагали вироблятимноження досить великих чисел, як двоцифрових так і трицифрових.І тому існував свій особливий спосіб множення таких чисел.

Сутність старовинного російського способу множення у тому, щомноження будь-яких двох чисел зводилося до ряду послідовних поділіводного числа навпіл (послідовне роздвоєння) за одночасногоподвоєння іншого числа.

Наприклад, якщо у творі 24 ∙ 5 множинне 24 зменшити у дварази (подвоїти), а множинне збільшити удвічі (подвоїти), тобто. взятидобуток 12 ∙ 10, то добуток залишається рівним числу 120. Цевластивість твору помітили наші далекі предки та навчилисязастосовувати його при множенні чисел своїм особливим старовинним російськимспособом множення.

Помножимо цим способом 32 ∙ 17.
32 ∙ 17
16 ∙ 34
8 ∙ 68
4 ∙ 136
2 ∙ 272
1 ∙544 Відповідь: 32 ∙ 17 = 544.

У розібраному прикладі поділ на два – "роздвоєння" відбуваєтьсябез залишку. А як бути, якщо множник не ділиться на два без залишку? Іце здавалося під силу древнім обчислювачам. У цьому випадку чинили так:
21 ∙ 17
10 ∙ 34
5 ∙ 68
2 ∙ 136
1 ∙ 272
357 Відповідь: 357.

З прикладу видно, що якщо множина не ділиться на два, то від неїспочатку забирали одиницю, потім отриманий результат роздвоювали» і так5 остаточно. Потім усі рядки з парними множинними викреслювали (2-а, 4-а,6-а і т.д.), а всі праві частини рядків, що залишилися, складали і отримувалишуканий твір.

Як міркували стародавні обчислювачі, обгрунтовуючи свій спосібобчислення? А ось як: 21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.
Число 17 запам'ятовується, а добуток 20 ∙ 17 = 10 ∙ 34 (роздвоюємо –подвоюємо) та записуємо. Твір 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (роздвоюємо –подвоюємо), а як зайве твір 10∙34 викреслюємо. Так як 5*34= 4 ∙ 68 + 68, то число 68 запам'ятовується, тобто. третій рядок не викреслюється, а4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (роздвоюємо – подвоюємо), при цьому четвертарядок, що містить як зайве твір 2 ∙ 136, викреслюється, ачисло 272 запам'ятовується. Ось і виходить, що, щоб помножити 21 на 17,треба скласти числа 17, 68 і 272 – це якраз і є рівні частини рядківсаме з непарними множинними.
Російський спосіб множення і елегантний і екстравагантний одночасно

Пропоную Вашій увазі три приклади у кольорових картинках (у правому верхньому кутку) перевірочний стовпчик).

Приклад №1: 12 × 321 = 3852
Малюємо перше числозверху вниз, зліва направо: одна зелененька паличка ( 1 ); дві помаранчеві палички ( 2 ). 12 намалювали.
Малюємо друге числознизу вгору, зліва направо: три голубенькі палички ( 3 ); дві червоні ( 2 ); одну бузкову ( 1 ). 321 намалювали.

Тепер простим олівцем по малюнку прогуляємося, крапки перетину чисел-паличок на частини розділимо і приступимо до підрахунку крапок. Рухаємося праворуч наліво (за годинниковою стрілкою): 2 , 5 , 8 , 3 . Число-результатбудемо «збирати» зліва направо (проти годинникової стрілки) і… вуаля, отримали 3852

Приклад №2: 24 × 34 = 816
У цьому прикладі є нюанси. При підрахунку крапок у першій частині вийшло 16 . Одиничку відправляємо-додаємо до крапок другої частини ( 20 + 1 )…

Приклад №3: 215 × 741 = 159315
Без коментарів

Спочатку здався мені дещо химерним, але при цьому інтригуючим і напрочуд гармонійним. На п'ятому прикладі зловила себе на думці, що множення йде в літ і працює в режимі автопілота: малюємо, крапочки вважаємо, про таблицю множення не згадуємо, як ми її взагалі не знаємо.

Якщо чесно, то здійснюючи перевірку малювального способу множенняі звернувшись до множення стовпчиком, і не раз, і не два до свого сорому відзначила деякі пригальмовування, що свідчили про те, що таблиця множення у мене проіржавіла в деяких місцях і забувати її не варто. Працюючи з більш «серйозними» числами малювальний спосіб множеннястав надто громіздким, а множення стовпчикомпішло на радість.

P.S.: Слава та хвала рідному стовпчику!
У плані побудови спосіб невибагливий і компактний, дуже швидкісний, пам'ять тренує – таблицю множення забувати не дозволяє.

І тому наполегливо рекомендую і собі і Вам по можливості забувати про калькулятори в телефонах та на комп'ютерах; і періодично балувати себе множенням стовпчиком. А то не рівна година і сюжет із фільму «Повстання машин» розгорнеться не на екрані кінотеатру, а на нашій з Вами кухні чи галявині поряд з будинком.

Тричі через ліве плече…, стукаємо по дереву… …і головне не забуваємо про гімнастику для розуму!

ВЧИМО ТАБЛИЦЬ ПРИМНОЖЕННЯ!!!

Агафуров Максим

Рецензія на науково-дослідну роботу учня.

Дослідницьку роботу виконано учнем 7 «А» класу МБОУ «ЗОШ № 2» Агафуровим Максимом.
Керівник дослідження: учитель математики – Лук'янова О.А.
Тема роботи: "Незвичайні способи множення". Вид роботи: реферативна. Ця робота є актуальною нині, т.к. знання спрощених прийомів усних обчислень залишається необхідним навіть за повної механізації всіх найбільш трудомістких обчислювальних процесів. Усні обчислення дають можливість не тільки швидко проводити розрахунки в розумі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки у результатах обчислень, виконаних за допомогою калькулятора. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять та допомагає школярам повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.
Виконано дослідницьку частину роботи. Викладено пояснення даних прикладів та зроблено відповідні висновки.
Цілі та завдання науково-дослідної роботи сформульовані грамотно, відповідають заявленій темі.
Спеціальну літературу вивчено якісно з достатньою глибиною.
Висновки науково-дослідної роботи є логічними, теоретично обґрунтованими.
У роботі представлено дослідницьку частину на достатньому рівні. Її опис відповідає висновкам. Більшість роботи виконувалася переважно самостійно, з невеликими напрямними порадами і діями керівника.

Завантажити:

Попередній перегляд:


Вступ
Способи множення багатозначних чисел
1.1.«Ревність, або гратчасте множення»……………………………..4


1.2.«Російський селянський спосіб»………………………………………5 1.3. «Китайський спосіб множення»……………………………………...6
Дослідницька частина.
2.1. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа…………………...6 2.2. Квадрат числа, близького до «круглого»………………………………7
2.4. Новий спосіб зведення в квадрат чисел від 40 до 60………………7 2.5. Зведення квадрат квадрат числа, що закінчується на 5…………………8 2.6 Зведення в квадрат числа, що закінчується на 1…………………8 2.7. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 6…………………8 2.8. Зведення в квадрат числа, що закінчується на 9…………………8 2.9. Зведення квадрат квадрат числа, що закінчується на 4…………………8 Висновок. Список літератури.

Вступ " Рахунок та обчислення –

Основи порядку у голові».

Йоган Генріх Песталоцці (1746 - 1827)

Хто з дитинства займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість і завзятість у досягненні мети.

Актуальність: Математика є однією з найважливіших наук на землі і саме з нею людина зустрічається щодня у своєму житті. Рахунок в умі є найдавнішим і найпростішим способом обчислення. Знання спрощених прийомів усних обчислень залишається необхідним навіть за повної механізації всіх найбільш трудомістких обчислювальних процесів. Усні обчислення дають можливість не тільки швидко проводити розрахунки в розумі, але й контролювати, оцінювати, знаходити та виправляти помилки у результатах обчислень, виконаних за допомогою калькулятора. Крім того, освоєння обчислювальних навичок розвиває пам'ять та допомагає школярам повноцінно засвоювати предмети фізико-математичного циклу.

Мені стало цікаво, а чи є ще якісь способи обчислень? Виявилося, що можна множити як так, як пропонують нам у підручниках математики, а й інакше. Використовуючи інтернет-ресурси, я дізнався багато незвичайних способів множення. Адже здатність швидко робити обчислення викликає відверте здивування.

Мета дослідження :

Знайти якнайбільше незвичайних способів обчислень.
Навчитися їх застосовувати.
Вибрати для себе найцікавіші, ніж ті, що пропонуються в школі, та використовувати їх за рахунку.

Завдання дослідження:

1. Познайомитись із старовинними способами множення, такими як: «Рівність, або гратчасте множення», «Маленький замок», «Російський селянський спосіб», «Лінійний спосіб».

2. Дослідити прийоми усного зведення чисел у квадрат та застосовувати їх на практиці.

Трішки історії.

Особливо важкі за старих часів були дії множення та поділу. Тоді не існувало одного виробленого практикою прийому кожної дії.Навпаки, у ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і поділу - прийоми один одного заплутаніше, запам'ятати які не в змозі була людина середніх здібностей. Кожен учитель рахункової справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр поділу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.За тисячоліття розвитку математики було винайдено багато способів множення. Крім таблиці множення, всі вони громіздкі, складні та важко запам'ятовуються. Вважалося, що для оволодіння мистецтвом швидкого множення потрібне особливе природне обдарування. Простим людям, які не володіють особливим математичним даром, це мистецтво було недоступне.

Давайте розглянемо найцікавіші та найпростіші способи множення.

1.1. «Ревність, або гратчасте множення»

Італійський математик 15 століття Лука Пачолі наводить 8 способів множення. На мій погляд, найцікавіші з них – «ревнощі чи ґратчасте множення» та «маленький замок».

Помножимо 347 на 29.

Малюємо прямокутник, ділимо його на квадрати, ділимо квадрати по діагоналі. Виходить картинка, схожа на ґратчасті віконниці венеціанських будинків. Від цього і походить назва методу.

Вгорі таблиці запишемо число 347, а праворуч зверху вниз – 29

У кожен квадрат впишемо добуток цифр, розташованих в одному рядку та одному стовпці з цим квадратом. Десятки розташовуються у верхньому трикутнику, а одиниці – у нижньому. Цифри складаються вздовж кожної діагоналі. Результати записуються зліва та праворуч від таблиці.

Відповідь - 10063.

Незручності цього полягають у трудомісткості побудови прямокутної таблиці, а сам процес множення цікавий і заповнення таблиці нагадує гру.

1.2. «Російський селянський спосіб»

У Росії серед селян був поширений спосіб, який не вимагав знання всієї таблиці множення. Тут необхідно лише вміння множити та ділити числа на 2.

Напишемо одне число ліворуч, а інше справа на одному рядку Ліве число ділитимемо на 2, а праве – множити на 2 і результати записувати в стовпчик. Якщо при розподілі виник залишок, його відкидають. Множення та розподіл на 2 продовжують доти, доки зліва не залишиться 1.

Потім викреслюємо ті рядки зі стовпчика, у яких ліворуч стоять парні числа. Тепер складемо залишки в правому стовпці.

Відповідь - 1972026.

1.3.Китайський спосіб множення.

А тепер представимо метод множення, що бурхливо обговорюється в Інтернеті, який називають китайським. При множенні чисел вважаються точки перетину прямих, які відповідають кількості цифр кожного розряду обох множників.

На аркуші паперу почергово малюємо лінії, кількість яких з даного прикладу.

Спочатку 32: 3 червоні лінії і трохи нижче – 2 сині. Потім 21: перпендикулярно вже намальованим, малюємо спочатку 2 зелені, потім – 1 малинову. ВАЖЛИВО: лінії першого числа малюються в напрямку з верхнього лівого кута до нижнього правого, другого числа - з нижнього лівого, до верхнього правого. Потім вважаємо кількість точок перетину в кожній із трьох областей (на малюнку області позначені у вигляді кіл). Отже, у першій області (область сотень) – 6 точок, у другій (область десятків) – 7 крапок, у третій (область одиниць) – 2 точки. Отже, відповідь: 672.

2. Дослідницька частина

Прийоми швидкого рахунку розвивають пам'ять. Це стосується не лише математики, а й інших предметів, що вивчаються у школі.

Також хочеться додати в роботу способи усного зведення чисел у квадрат без використання калькулятора і, що є необхідним при вирішенні задач ГІА та ЄДІ, а також є хорошим тренуванням розуму.

А тепер перейдемо до деяких цікавих і мені вподобаних способів усного зведення чисел у квадрат,застосовуваних під час уроків алгебри та геометрії.

2.1. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа.

Якщо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25, то легко знайти квадрат будь-якого двозначного числа, що перевищує 25.

Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різницю між цим числом і 25 помножити на 100 і до добутку додати квадрат доповнення даного числа до 50 або квадрат надлишку його над 50-ю.

Розглянемо приклад:

37 2 =12*100+13 2 =1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2 =100M-2500+2500–100M+M 2 =M 2 .

2.2.Квадрат числа, близького до «круглого».

Обчислення квадратів у розібраних прикладах ґрунтується на формулі

А ² = (а + в) (а - в) + в ²,

У якій вдалий підбір числав сильно полегшує викладки: по-перше, один із співмножників має виявитися «круглим» числом (бажано, щоб ненульовою його цифрою була лише перша), по-друге, саме числов має легко зводитися у квадрат, тобто має бути невеликим. Ці умови реалізуються якраз на числаха близьких до «круглих».

192 ² = 200 * 184 + 8 ² = 36864, / (192 +8) (192-8) + 8 ² /

412 ² = 400 * 424 + 12 ² = 169744, / (412-12) (412 +12) + 12 ² /

2.3. Зведення квадрат чисел від 40 до50.

2.4. Зведення квадрат чисел від 50 до60.

Щоб звести у квадрат число шостого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
треба до одиниць додати 25 і до цієї суми приписати квадрат числа одиниць.
Наприклад:
54*54=(4+25)*100+4*4=2916
57*57=(7+25)*100+7*7=3249

2.5. Зведення до квадрата числа, що закінчується на 5.

Число десятків множимо на таке число десятків і додаємо 25.

15*15 = 10*20+ 25=225 або (1*2 і приписуємо праворуч 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 і приписуємо праворуч 25)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 та приписуємо праворуч 25)

2.6. Квадрат числа, що закінчується на 1.

При зведенні квадрат квадрат числа, що закінчується на 1, потрібно замінити цю одиницю на 0, звести нове число квадрат і додати до цього квадрату вихідне число і число, отримане заміною 1 на 0.

Приклад № 6. 71 2 =?

71→70→70 2 =4900→4900+70+71=5041=71 2 .

2.7. Квадрат числа, що закінчується на 6.

При зведенні квадрат квадрат числа, що закінчується на 6, потрібно замінити цифру 6 на 5, звести нове число квадрат (описаним раніше способом) і додати до цього квадрату вихідне число і число, отримане заміною 6 на 5.

Приклад №7. 56 2 =?

56→55→55 2 =3025(5 6=30→3025) →3025+55+56 = 3136= 56 2 .

2.8.Квадрат числа, що закінчується на 9.

При зведенні в квадрат числа, що закінчується на 9, потрібно замінити цю цифру 9 на 0 (отримаємо наступне натуральне число), звести нове число квадрат і від цього квадрата відняти вихідне число і число, отримане заміною 9 на 0.

Приклад №8. 59 2 =?

59 → 60→60 2 =3600→ 3600 – 60 – 59 = 3481= 59 2 .

2.9.Квадрат числа, що закінчується на 4.

При зведенні в квадрат числа, що закінчується на 4, потрібно замінити цифру 4 на 5, звести нове число в квадрат і від цього квадрата відняти вихідне число та число, отримане заміною 4 на 5.

Приклад № 9. 84 2 =?

84→85→85 2 =7225(8 9=72→7225) →7225 – 85 – 84 = 7056 =84 2 .

2.10. При зведенні квадрат часто буває зручно скористатися формулою (а b) 2 = а 2 + b 2 2аb.

Приклад №10.

41 2 = (40+1) 2 =1600+1+80=1681.

Висновок

За виконання дослідницької роботи мені знадобилися як знання, які є в мене, а й необхідна робота з додаткової літературою.

1. У ході моєї роботи я знайшов і освоїв різні способи множення багатозначних чисел і можу констатувати наступне - більшість способів множення багатозначних чисел ґрунтуються на знанні таблиці множення

Спосіб «гратчасте множення» анітрохи не гірший, ніж загальноприйнятий. Він навіть простіше, оскільки клітини таблиці заносяться числа прямо з таблиці множення без одночасного складання, що у стандартному методі;

-«Російський селянський» спосіб множення набагато простіше розглянутих раніше методів. Але він також дуже громіздкий.

Найпростішим мені здався китайський спосіб множення, який використовували китайці, оскільки не вимагає знань таблиці множення. Навчившись вважати всіма представленими способами, я дійшов висновку: що найпростіші способи це ті, які ми вивчаємо в школі, можливо, вони для нас більш звичні.

2. Я дізнався про деякі прийоми усного рахунку, які допоможуть мені в житті. Мені було дуже цікаво працювати над проектом. Я вивчив нові способи множення, розглянув різні прийоми зведення чисел у квадрат. Багато обчислень пов'язані з формулами скороченого множення, які я вивчив під час уроків алгебри. Використовуючи спрощені прийоми усних обчислень, тепер можу робити найбільш трудомісткі арифметичні дії без застосування калькулятора і комп'ютера. Зацікавився не лише я, а й мої батьки. Я показав прийоми усного множення своїм друзям та однокласникам. Знання спрощених прийомів усних обчислень особливо важливо у випадках, коли маєш у своєму розпорядженні таблиць чи калькулятора. У мене з'явилося бажання продовжити цю роботу та дізнатися ще прийоми усного рахунку. Я думаю, що моя робота не пройде для мене дарма, всі отримані знання я зможу використати при здачі ГІА та ЄДІ.

Донський, 2013 р.

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього:

опубліковано 20.04.2012
Присвячується Олені Петрівні Каринській ,
мого шкільного викладача математики та класного керівника
Алма-Ата, РОФМШ, 1984-1987 рік
"Наука тільки тоді досягає досконалості, коли їй вдається користуватися математикою". Карл Генріх Маркс
ці слова були написані над дошкою у нашому кабінеті математики;-)
Уроки інформатики(лекційні матеріали та практикуми)

Що таке множення?
Це дію додавання.
Але не надто приємне,
Тому що багато-кратне…
Тім Собакін

Спробуємо зробити цю дію
приємним та захоплюючим;-)

СПОСОБИ ПРИМНОЖЕННЯ БЕЗ ТАБЛИЦІ ПРИМНОЖЕННЯ (гімнастика для розуму)

Пропоную читачам зелених сторінок два способи множення, в яких не використовується таблиця множення;-) Сподіваюся, що цей матеріал сподобається викладачам інформатики, який вони можуть використовувати при проведенні факультативних занять.

Спосіб цей був уживаний в побуті російських селян і успадкований ними від давнини. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа, таблиця множення у цій справі без потреби:-)

Розподіл навпіл продовжують до того часу, поки у приватному не вийде 1, у своїй паралельно подвоюють інше число. Остання подвоєна кількість і дає шуканий результат(малюнок 1). Неважко зрозуміти, на чому цей спосіб заснований: твір не змінюється, якщо один множник зменшити вдвічі, а інший вдвічі збільшити. Зрозуміло тому, що внаслідок багаторазового повторення цієї операції виходить шуканий твір.

Однак як вчинити, якщо при цьому доводиться ділити навпіл непарне число? В цьому випадку від непарного числа відкидаємо одиницю і ділимо залишок навпіл, при цьому до останнього числа правого стовпця потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця - сума і буде твором (малюнки: 2, 3).
Тобто всі рядки з парними лівими числами закреслюємо; залишаємо, а потім підсумовуємо не закреслені числаправого стовпця.

Для малюнку 2: 192 + 48 + 12 = 252
Правильність прийому стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що:
5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48
21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12
Ясно, що числа 48 , 12 , Втрачені при розподілі непарного числа навпіл, необхідно додати до результату останнього множення, щоб отримати добуток.
Російський спосіб множення і елегантний і екстравагантний одночасно;-)

§ Логічна задача про Змії Гориничі та уславлених російських богатиряхна зеленій сторінці «Хто з богатирів переміг Змія Горинича?»
вирішення логічних завдань засобами логіки
Для тих хто любить вчитися!Для тих, кому на радість гімнастика для розуму ;-)
§ Розв'язання логічних завдань табличним способом

Продовжуємо розмову:-)

Китайська??? Малювальний спосіб множення

З цим способом множення мене познайомив син, надавши в моє розпорядження кілька листочків із блокнота з готовими рішеннями у вигляді хитромудрих малюнків. Закипів процес розшифрування алгоритму малювального способу множення:-)Для наочності вирішила вдатися до допомоги кольорових олівців, і… лід рушив панове присяжні:-)
Пропоную Вашій увазі три приклади у кольорових картинках (у правому верхньому кутку) перевірочний стовпчик).

Приклад №1: 12 × 321 = 3852
Малюємо перше числозверху вниз, зліва направо: одна зелененька паличка ( 1 ); дві помаранчеві палички ( 2 ). 12 намалювали:-)
Малюємо друге числознизу вгору, зліва направо: три голубенькі палички ( 3 ); дві червоні ( 2 ); одну бузкову ( 1 ). 321 намалювали:-)

Приклад №2: 24 × 34 = 816
У цьому прикладі є нюанси;-) При підрахунку крапок у першій частині вийшло 16 . Одиничку відправляємо-додаємо до крапок другої частини ( 20 + 1 )…

Приклад №3: 215 × 741 = 159315
Без коментарів:-)

Спочатку здався мені дещо химерним, але при цьому інтригуючим і напрочуд гармонійним. На п'ятому прикладі спіймала себе на думці, що множення йде в літ:-) і працює в режимі автопілота: малюємо, крапочки вважаємо, про таблицю множення не згадуємо, як ми її взагалі не знаємо:-)))

Таблиця множення(ескіз тильного боку блокнота)

P.S.: Слава та хвала рідному радянському стовпчику!
У плані побудови спосіб невибагливий і компактний, дуже швидкісний, пам'ять тренує - таблицю множення забувати не дозволяє:-)І тому наполегливо рекомендую і собі і Вам по можливості забувати про калькулятори в телефонах і на комп'ютерах;-) і періодично балувати себе множенням стовпчиком. А то не рівна година і сюжет із фільму «Повстання машин» розгорнеться не на екрані кінотеатру, а на нашій з Вами кухні чи галявині поряд з будинком.
Тричі через ліве плече…, стукаємо по дереву… :-))) …і головне не забуваємо про гімнастику для розуму!

Для допитливих: множенняпозначається знаком [ × ] або [ · ]
Знак [ × ] увів англійський математик Вільям Оутред 1631 року.
Знак [ · ] увів німецький вчений Готфрід Вільгельм Лейбніц 1698 року.
У буквеному позначенні ці знаки упускаються і замість a × bабо a · bпишуть ab.

У скарбничку веб-майстра: Деякі математичні символи на HTML

°	° або °	градус
±	± або ±	плюс мінус
¼	¼ або ¼	дріб – одна чверть
½	½ або ½	дріб – один другий
¾	¾ або ¾	дріб – три чверті
×	× або ×	знак множення
÷	÷ або ÷	знак розподілу
ƒ	ƒ або ƒ	знак функції
′	′ або ′	одиночний штрих – хвилини та фути
″	″ або ″	подвійний штрих – секунди та дюйми
≈	≈ чи ≈	знак приблизної рівності
≠	≠ або ≠	знак не одно
≡	≡ або ≡	тотожно
>	> або >	більше
<	< или	менше
≥	≥ або ≥	більше або дорівнює
≤	≤ або ≤	менше або дорівнює
∑	∑ або ∑	знак підсумовування
√	√ або √	квадратний корінь (радикал)
∞	∞ або ∞	нескінченність
Ø	Ø або Ø	діаметр
∠	∠ або ∠	кут
⊥	⊥ або ⊥	перпендикулярно

Різні способи множення багатозначних чисел. Способи множення багатозначних чисел

Завантажити:

Попередній перегляд:

Підписи до слайдів:

Завантажити:

Попередній перегляд:

Попередній перегляд:

СПОСОБИ ПРИМНОЖЕННЯ БЕЗ ТАБЛИЦІ ПРИМНОЖЕННЯ (гімнастика для розуму)

Китайська??? Малювальний спосіб множення