Розкласти до ряду фур'є 2п періодичну функцію. Ряди фур'є в прикладах та завданнях

Ряд Фур'є періодичних функцій із періодом 2π.

Ряд Фур'є дозволяє вивчати періодичні функції, розкладаючи їх на компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів та акустичні хвилі – це типові практичні приклади застосування періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є ґрунтується на припущенні, що всі функції, що мають практичне значення в інтервалі -π ≤x≤ π можна виразити у вигляді схожих тригонометричних рядів (ряд вважається схожим, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Коефіцієнти a o ,a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є, і якщо їх можна знайти, то ряд (1) називається поруч Фур'є,відповідним функції f(x). Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) називається першим або основною гармонікою,

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) або c 1 sin(x+α 1) називається першим або основною гармонікою,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) або c 2 sin(2x+α 2) називається другий гармонікоюі так далі.

Для точного уявлення складного сигналу зазвичай потрібна нескінченна кількість членів. Однак у багатьох практичних завданнях достатньо розглянути лише кілька перших членів.

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.

Розкладання неперіодичних функцій.

Якщо функція f(x) неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень х. Однак можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною 2?

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення f(x) у певному діапазоні та повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом 2π. Оскільки нова функція є періодичною з періодом 2π, її можна розкласти до ряду Фур'є для всіх значень х. Наприклад, функція f(x)=x не є періодичною. Однак, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від до 2π, тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом 2π (як показано на рис. нижче).

Для неперіодичних функцій, таких як f(x)=х, сума ряду Фур'є дорівнює значенню f(x) у всіх точках заданого діапазону, але вона не дорівнює f(x) для точок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичної функції в діапазоні 2π використовується все та ж формула коефіцієнтів Фур'є.

Парні та непарні функції.

Говорять, функція y=f(x) парнаякщо f(-x)=f(x) для всіх значень х. Графіки парних функцій завжди симетричні щодо осі у (тобто є дзеркально відбитими). Два приклади парних функцій: у = х 2 і у = cosx.

Говорять, що функція y=f(x) непарна,якщо f(-x)=-f(x) всім значень х. Графіки непарних функцій завжди симетричні щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

Ряд Фур'є парної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени з косинусами (тобто не містить членів із синусами) і може включати постійний член. Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є непарної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени із синусами (тобто не містить членів із косинусами).

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Якщо функція визначена для діапазону, скажімо від 0 до π, а не тільки від 0 до 2π, її можна розкласти в ряд тільки синусами або тільки по косинусах. Отриманий ряд Фур'є називається поряд Фур'є на напівперіоді.

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді по косинусахфункції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти парну періодичну функцію. На рис. Нижче показана функція f(x)=х, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки парна функція симетрична щодо осі f(x), проводимо лінію АВ, як показано на рис. нижче. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отримана трикутна форма є періодичною з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показ. на рис. нижче. Оскільки потрібно отримати розкладання Фур'є по косинусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнти Фур'є a o і a n

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді за синусамифункції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти непарну періодичну функцію. На рис. нижче показана функція f(x)=x, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки непарна функція симетрична щодо початку координат, будуємо лінію CD, як показано на рис. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отриманий пилкоподібний сигнал є періодичним з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показаний на рис. Оскільки потрібно отримати розкладання Фуріє на напівперіод по синусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнт Фур'є. b

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

Періодична функція f(x) повторюється зі збільшенням x L, тобто. f(x+L)=f(x). Перехід від розглянутих раніше функцій із періодом 2π до функцій із періодом L досить простий, оскільки його можна здійснити за допомогою заміни змінної.

Щоб знайти ряд Фур'є функції f(x) в діапазоні -L/2≤x≤L/2, введемо нову змінну u таким чином, щоб функція f(x) мала період 2π щодо u. Якщо u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π та х=L/2 при u=π. Також нехай f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фур'є F(u) має вигляд

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Для підстановки u=πх/L інтервал від x=0 до x=L відповідає інтервалу від u=0 до u=π. Отже, функцію можна розкласти в ряд тільки по косинус або тільки по синусах, тобто. в ряд Фур'є на півперіоді.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати та вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами іабо відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Багато процесів, що відбуваються в природі та техніці, мають властивість повторюватися через певні проміжки часу. Такі процеси називаються періодичними та математично описуються періодичними функціями. До таких функцій відносяться sin(x) , cos(x) , sin(wx), cos(wx) . Сума двох періодичних функцій, наприклад, функція виду , взагалі кажучи, вже не є періодичною. Але можна довести, що якщо ставлення w 1 / w 2 - Число раціональне, то ця сума є періодична функція.

Найпростіші періодичні процеси – гармонічні коливання – описуються періодичними функціями sin(wx) і cos(wx). Більш складні періодичні процеси описуються функціями, складовими або з кінцевого, або з нескінченного числа доданків sin(wx) і cos(wx).

3.2. Тригонометричний ряд. Коефіцієнти Фур'є

Розглянемо функціональний ряд видів:

Цей ряд називається тригонометричним; числа а 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,а 2 , b 2 …, a n , b n ,… називаються коефіцієнтамитригонометричного ряду. Ряд (1) часто записується так:

. (2)

Оскільки члени тригонометричного ряду (2) мають загальний період.
, то сума ряду, якщо він сходиться, також є періодичною функцією з періодом
.

Припустимо, що функція f(x) є сума цього ряду:

. (3)

У такому разі кажуть, що функція f(x) розкладається у тригонометричний ряд. Припускаючи, що це ряд сходиться поступово на проміжку
, Можна визначити його коефіцієнти за формулами:

,
,
. (4)

Коефіцієнти ряду, визначені за цими формулами, називаються коефіцієнтами Фур'є.

Тригонометричний ряд (2), коефіцієнти якого визначаються за формулами Фур'є (4), називаються поряд Фур'є, відповідним функції f(x).

Таким чином, якщо періодична функція f(x) є сумою схожого тригонометричного ряду, то цей ряд є її поряд Фур'є.

3.3. Схожість ряду Фур'є

Формули (4) показують, що коефіцієнти Фур'є можуть бути обчислені для будь-якої інтегрованої на проміжку

-періодичної функції, тобто. для такої функції завжди можна скласти низку Фур'є. Але чи цей ряд буде сходитися до функції f(x) та за яких умов?

Нагадаємо, що функція f(x), визначена на відрізку [ a; b] , називається кусочно-гладкой, якщо і її похідна мають трохи більше кінцевого числа точок розриву першого роду.

Наступна теорема дає достатні умови розкладності функції до ряду Фур'є.

Теорема Діріхле. Нехай
-періодична функція f(x) є шматково-гладкою на
. Тоді її ряд Фур'є сходиться до f(x) у кожній її точці безперервності та до значення 0,5(f(x+0)+ f(x-0)) у точці розриву.

Приклад1.

Розкласти в ряд Фур'є функцію f(x)= x, задану на інтервалі
.

Рішення.Ця функція задовольняє умовам Діріхле і, отже, може бути розкладена до ряду Фур'є. Застосовуючи формули (4) та метод інтегрування частинами
, знайдемо коефіцієнти Фур'є:

Таким чином, ряд Фур'є для функції f(x) має вигляд.

Транскрипт

1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РФ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФІЗИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхєєва РЯДИ ФУР'Є У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ Навчальний посібник1

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхєєва Р. К. Ряди Фур'є в прикладах та задачах: Навчальний посібник / Новосиб. держ. ун-т. Новосибірськ, с. ISBN У навчальному посібнику викладаються основні відомості про ряди Фур'є, наведено приклади на кожну тему, що вивчається. Детально розібраний приклад застосування методу Фур'є до вирішення задачі про поперечні коливання струни. Наведено ілюстративний матеріал. Є завдання самостійного рішення. Призначений для студентів та викладачів фізичного факультету НГУ. Друкується у вирішенні методичної комісії фізичного факультету НГУ. Рецензент д-р фіз. наук. В. А. Александров Посібник підготовлений у рамках реалізації Програми розвитку НДУ-НГУ на пп. ISBN з Новосибірський державний університет, 211 з Бельхєєва Р. К., 211

3 1. Розкладання 2π-періодичної функції до ряду Фур'є Визначення. Поруч Фур'є функції f(x) називається функціональний ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) де коефіцієнти a n, b n обчислюються за формулами: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формули (2) (3) називають формулами Ейлера Фур'є. Той факт, що функції f(x) відповідає ряду Фур'є (1) записують у вигляді формули f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) і кажуть, що права частина формули (4) є формальним рядом Фур'є функції f(x). Інакше кажучи, формула (4) означає лише те, що коефіцієнти a n, b n знайдено за формулами (2), (3). 3

4 Визначення. 2π-періодична функція f(x) називається шматково-гладкою, якщо в проміжку [, π] знайдеться кінцеве число точок = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Мал. 1. Графік функції f(x) Обчислимо коефіцієнти Фур'є a = 1 π f(x) dx = 1 π x 2 2 π = π, a n = 1 π f(x) cosnxdx = 2 π = 2 () x sin nx cos nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2, при n непарному, при n парному, f(x ) sin nxdx =, тому що функція f(x) парна. Запишемо формальний ряд Фур'є для функції f(x): f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Чи з'ясовано функцію f(x) кусочно-гладкой. Так як вона безперервна, обчислимо тільки межі (6) у кінцевих точках проміжку x = ±π і в точці зламу x = : і f(π h) f(π) π h π f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1, f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h Межі існують і кінцеві, отже, функція шматково-гладка. За теоремою про крапкову збіжність її ряд Фур'є сходиться до f(x) у кожній точці, тобто f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) На рис. 2, 3 показаний характер наближення часткових сум ряду Фур'є S n (x), де S n (x) = a n 2 + (ak kskx + b k sin kx), k = 1 до функції f (x) в проміжку [, π] . 6

7 Мал. 2. Графік функції f(x) з накладеними на нього графіками часткових сум S(x) = a 2 та S 1(x) = a 2 + a 1 cos x Рис. 3. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) = a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 Підставивши в (7) x = отримаємо: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, звідки ми знаходимо суму числового ряду: = π2 8. Знаючи суму цього ряду, легко знайти наступну суму Маємо: S = ( ) S = () = π S, отже S = π2 6, тобто 1 n = π Суму цього знаменитого ряду вперше знайшов Леонард Ейлер. Вона часто зустрічається в математичному аналізі та його додатках. ПРИКЛАД 2. Намалюємо графік, знайдемо ряд Фур'є функції заданою формулою f(x) = x для x< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Мал. 4. Графік функції f(x) Функція f(x) безперервно диференційована на проміжку (, π). У точках x = ±π вона має кінцеві межі (5): f() =, f(π) = π. Крім того, існують кінцеві межі (6): f(+ h) f(+) lim = 1 і h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Значить, f(x) шматково-гладка функція. Оскільки функція f(x) непарна, то a n =. Коефіцієнти b n знаходимо інтегруванням частинами: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1)n+ 1. n Складемо формальний ряд Фур'є функції 2(1) n+1 f(x) sin nx. n 9 cosnxdx ] =

10 Відповідно до теореми про поточкову збіжність шматково-гладкої 2π-періодичної функції ряд Фур'є функції f(x) сходить до суми: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x, якщо π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Мал. 6. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S2(x) Рис. 7. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 3 (x) 11

12 Мал. 8. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) Використовуємо отриманий ряд Фур'є для знаходження сум двох числових рядів. Покладемо (8) x = π/2. Тоді 2 () + ... = π 2, або = n = (1) n 2n + 1 = π 4. Ми легко знайшли суму відомого ряду Лейбниця. Поклавши в (8) x = π/3, знайдемо () +... = π 2 3, або (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 ПРИКЛАД 3. Намалюємо графік, знайдемо ряд Фур'є функції f(x) = sin x, припускаючи, що вона має період 2π, і 1 обчислимо суму числового ряду 4n 2 1. Рішення. Графік функції f(x) наведено на рис. 9. Очевидно, f(x) = sin x безперервна парна функція із періодом π. Але 2π також є періодом функції f(x). Рис. 9. Графік функції f(x) Обчислимо коефіцієнти Фур'є. Усі b n = тому, що функція парна. Користуючись тригонометричними формулами, обчислимо a n при n 1: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, якщо n = 2k, = π n 2 1, якщо n = 2k

14 Це обчислення не дозволяє нам знайти коефіцієнт a 1, тому що при n = 1 знаменник перетворюється на нуль. Тому обчислимо коефіцієнт a 1 безпосередньо: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Так як f(x) безперервно диференційована на (,) і (, π) і в точках kπ, (k ціле число), існують кінцеві межі (5) і (6), то ряд Фур'є функції сходиться до неї в кожній точці: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x Рис. 1. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S(x) 14

15 Мал. 11. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S1(x) Рис. 12. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S2(x) Рис. 13. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) 15

16 1 Обчислимо суму числового ряду. Для цього 4n 2 1 покладемо (9) x =. Тоді cosnx = 1 для всіх n = 1, 2, ... і Отже, 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. ПРИКЛАД 4. Доведемо, що якщо шматково-гладка безперервна функція f(x) задовольняє умові f(x π) = f(x) для всіх x (тобто є π-періодичною) , a 2n 1 = b 2n 1 = для всіх n 1, і навпаки, якщо a 2n 1 = b 2n 1 = для всіх n 1, то f(x) π-періодична. Рішення. Нехай функція f(x) є π-періодичною. Обчислимо її коефіцієнти Фур'є a 2n 1 і b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) cos (2n 1) xdx. У першому інтегралі зробимо заміну змінної x = t π : f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Користуючись тим, що cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t і f(t π) = f(t), отримаємо: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos(2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Аналогічно доводиться, що b 2n 1 =. Навпаки, нехай a 2n 1 = b 2n 1 =. Так як функція f(x) безперервна, то за теоремою про уявність функції в точці своїм рядом Фур'є маємо тоді f(x π) = = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), що означає, що f(x) є π-періодичною функцією. ПРИКЛАД 5. Доведемо, що якщо шматково-гладка функція f(x) задовольняє умові f(x) = f(x) для всіх x, то a = і a 2n = b 2n = для всіх n 1, і навпаки, якщо a = a 2n = b 2n =, то f(x π) = f(x) всім x. Рішення. Нехай функція f(x) задовольняє умову f(xπ) = f(x). Обчислимо її коефіцієнти Фур'є: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. У першому інтегралі зробимо заміну змінної x = t π. Тоді f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Користуючись тим, що cos n(t π) = (1) n cosnt та f(t π) = f(t), отримаємо: a n = 1 π ((1) n) f(t) cosnt dt =, якщо n парне = 2 π f(t) cos nt dt, якщо n непарне. π Аналогічно доводиться, що b 2n =. Навпаки, нехай a = a 2n = b 2n =, для всіх n 1. Так як функція f(x) безперервна, то за теоремою про уявність функція в точці своїм рядом Фур'є справедливо рівність f(x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). 18

19 Тоді = f(x π) = = = f(x). ПРИКЛАД 6. Вивчимо як слід продовжити інтегровану на проміжку [, π/2] функцію f(x) на проміжок [, π], щоб її ряд Фур'є мав вигляд: a 2n 1 cos(2n 1)x. (1) Рішення. Нехай графік функції має вигляд, наведений на рис. 14. Оскільки в ряді (1) a = a 2n = b 2n = для всіх n, то з прикладу 5 випливає, що функція f(x) повинна задовольняти рівність f(xπ) = f(x) для всіх x. Це спостереження дає спосіб продовження функції f(x) на проміжок [, /2]: f(x) = f(x+π), рис. 15. З того, що ряд (1) містить тільки косинуси, укладаємо, що продовжена функція f(x) має бути парною (тобто її графік має бути симетричним щодо осі Oy), рис

20 Мал. 14. Графік функції f(x) Мал. 15. Графік продовження функції f(x) на проміжок [, /2] 2

21 Отже, потрібна функція має вигляд, наведений на рис. 16. Мал. 16. Графік продовження функції f(x) на проміжок [, π] Підсумовуючи, укладаємо, що функцію слід продовжити наступним чином: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), тобто на проміжку [π/2, π], графік функції f(x) центрально симетричний щодо точки (π/2,), але в проміжку [, π] її графік симетричний щодо осі Oy. 21

22 УЗАГАЛЬНЕННЯ ПРИКЛАДІВ 3 6 Нехай l >. Розглянемо дві умови: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x[, l/2]. З геометричної точки зору умова (а) означає, що графік функції f(x) симетричний щодо вертикальної прямої x = l/2, а умова (б) що графік f(x) центрально симетричний щодо точки (l/2;) на осі абсцис. Тоді справедливі такі твердження: 1) якщо функція f(x) парна та виконана умова (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... =; 2) якщо функція f(x) парна та виконана умова (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... =; 3) якщо функція f(x) непарна та виконана умова (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) якщо функція f(x) непарна та виконана умова (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАВДАННЯ У задачах 1 7 намалюйте графіки та знайдіть ряди Фур'є для функцій, ( припускаючи, що вони мають період 2π:, якщо< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 (1, якщо /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. Розкладання функції, заданої в проміжку [, π], тільки за синусами або тільки за косинусами Нехай функція f задана в проміжку [, π]. Бажаючи розкласти її в цьому проміжку до ряду Фур'є, ми спочатку продовжимо f у проміжок [, π] довільним чином, а потім скористаємося формулами Ейлера Фур'є. Свавілля у продовженні функції призводить до того, що для однієї й тієї ж функції f: [, π] R ми можемо отримувати різні ряди Фур'є. Але можна використовувати це свавілля так, щоб отримати розкладання тільки по синусах або тільки по косинусах: у першому випадку достатньо продовжити f непарним чином, а по-друге парним. Алгоритм рішення 1. Продовжити функцію непарним (парним) чином (,), а потім періодично з періодом 2π продовжити функцію на всю вісь. 2. Обчислити коефіцієнти Фур'є. 3. Скласти ряд Фур'є функції f(x). 4. Перевірити умови збіжності низки. 5. Вказати функцію, до якої сходитиметься цей ряд. ПРИКЛАД 7. Розкладемо функцію f(x) = cosx,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Мал. 17. Графік продовженої функції Очевидно, що функція f(x) шматково-гладка. Обчислимо коефіцієнти Фур'є: a n = всім n тому, що функція f (x) непарна. Якщо n 1, то b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, якщо n = 2 k + 1, (1)n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1) (n 1) 2 2n, якщо n = 2k. π n 2 1 При n = 1 у попередніх обчисленнях знаменник звертається в нуль, тому коефіцієнт b 1 обчислимо безпосеред- 25

26 сно: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Складемо ряд Фур'є функції f(x): f(x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Оскільки функція f (x) шматково-гладка, то за теоремою про крапкову збіжність ряд Фур'є функції f (x) сходить до суми: cosx, якщо π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Мал. 18. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S1(x) Рис. 19. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 2 (x) 27

28 Мал. 2. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S3(x) На рис. 21 наведено графіки функції f (x) та її часткової суми S 99 (x). Рис. 21. Графік функції f(x) з накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) 28

29 ПРИКЛАД 8. Розкладемо функцію f(x) = e ax, a >, x [, π], до ряду Фур'є тільки по косинусах. Рішення. Продовжимо функцію парним чином (,) (тобто, щоб рівність f(x) = f(x) виконувалося всім x (, π)), та був періодично з періодом 2π протягом усього числову вісь. Отримаємо функцію f(x), графік якої представлений на рис. 22. Функція f (x) у точках Мал. 22. Графік продовженої функції f(x) x = kπ, k ціле число, що має злами. Обчислимо коефіцієнти Фур'є: b n =, оскільки f(x) парна. Інтегруючи частинами отримуємо 29

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π πa eax cosnx = 2 πa (eaπ cosnπ 1 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2eax 2n2 e ax cos nxd a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Отже, a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Оскільки f(x) безперервна, то згідно з теоремою про поточну збіжність її ряд Фур'є сходить до f(x). Отже, всім x [, π] маємо f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Рис демонструють поступове наближення часткових сум ряду Фур'є до заданої функції розриву. 3

31 Мал. 23. Графіки функцій f(x) та S(x) Мал. 24. Графіки функцій f(x) та S1(x) Мал. 25. Графіки функцій f(x) та S2(x) Мал. 26. Графіки функцій f(x) та S 3 (x) 31

32 Мал. 27. Графіки функцій f(x) та S4(x) Мал. 28. Графіки функцій f (x) і S 99 (x) ЗАВДАННЯ 9. Розкладіть функцію f(x) = cos x, x π, в ряд Фур'є тільки по косинусах. 1. Розкладіть функцію f(x) = e ax, a >, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. 11. Розкладіть функцію f(x) = x 2, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. 12. Розкладіть функцію f(x) = sin ax, x π, у ряд Фур'є по тільки косинусах. 13. Розкладіть функцію f(x) = x sin x, x π, до ряду Фур'є тільки за синусами. Відповіді 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Якщо a не є цілим числом, то sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; якщо a = 2m парне число, то sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; якщо a = 2m 1 позитивне непарне число, то sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Ряд Фур'є функції з довільним періодом Припустимо, що функція f(x) задана в проміжку [l, l], l>. Зробивши підстановку x = ly, y π, отримаємо функцію g(y) = f(ly/π), визначену у проміжку π [, π]. Цій функції g(y) відповідає (формальний) ряд Фур'є () ly f = g(y) a π 2 + (an cosny + b n sin ny), коефіцієнти якого знаходяться за формулами Ейлера Фур'є: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cos ny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π Повертаючись до старої змінної, тобто вважаючи у виписаних формулах y = πx/ l, ми отримаємо для функції f(x) тригонометричний ряд дещо зміненого вигляду: де f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n =, 1, 2,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) Кажуть, що формули (11) (13) задають розкладання ряд Фур'є функції з довільним періодом. ПРИКЛАД 9. Знайдемо ряд Фур'є функції, заданої в проміжку (l, l) виразом (A, якщо l< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f (x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B; π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn =, якщо n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = BA (1 cosπn). πn Складемо ряд Фур'є функції f(x) : f(x) A + B π (B A Оскільки cosπn = (1) n, то n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l при n = 2k отримуємо b n = b 2k =, при n = 2k 1 b n = b 2k 1 = 35 2(BA) π(2k 1).

36 Звідси f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l Відповідно до теореми про поточкову збіжність ряд Фур'є функції f(x) сходить до суми A, якщо l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Мал. 29. Графік функції f(x) з накладеними на нього графіками гармонік S(x) = a 2 та S 1(x) = b 1 sinx. Для наочності графіки трьох вищих гармонік S 3 (x) = b 3 sin 3πx, S l 5 (x) = b 5 sin 5πx l та S 7 (x) = b 7 sin 7πx зсунуті по вертикалі вгору l 37

38 Мал. 3. Графік функції f(x) із накладеним на нього графіком часткової суми S 99 (x) Рис. 31. Фрагмент рис. 3 в іншому масштабі 38

39 ЗАВДАННЯ У задачах розкласти в ряди Фур'є зазначені функції у заданих проміжках. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [1, 1] f(x ) = sin π x, (1, 1).( 2 1, якщо 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. а) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 2 (2n 1) l б) f(x) = 4al(1) n 1 (2n 1)πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. а) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... б) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x Комплексна форма ряду Фур'є Розкладання f(x) = c n e inx, де c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., називається комплексною формою ряду Фур'є. Функція розкладається в комплексний ряд Фур'є при виконанні тих же умов, за яких вона розкладається в речовий ряд Фур'є. 4

41 ПРИКЛАД 1. Знайдемо ряд Фур'є у комплексній формі функції, заданої формулою f(x) = e ax, у проміжку [, π), де a речове число. Рішення. Обчислимо коефіцієнти: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Комплексний ряд Фур'є функції f має вигляд f(x) sh aπ n = (1) n a in einx. Переконаємося, що функція f(x) є кусково-гладкою: у проміжку (, π) вона безперервно диференційована, і в точках x = ±π існують кінцеві межі (5), (6) lim h + ea(+h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Отже, функція f(x) представлена поруч Фур'є sh aπ π n= (1) n a in einx, який сходить до суми: ( e S(x) = ax, якщо π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 ПРИКЛАД 11. Знайдемо ряд Фур'є у комплексній та речовій формі функції, заданої формулою f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2, де a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Нагадаємо, що сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q (q< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Тепер знайдемо ряд Фур'є у речовій формі. Для цього згрупуємо доданки з номерами n і n для n: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Оскільки c = 1, то 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Це ряд Фур'є у речовій формі функції f(x). Таким чином, не обчисливши жодного інтеграла, ми знайшли низку Фур'є функції. При цьому ми вирахували важкий інтеграл, що залежить від параметра cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1)z 2 2 (z a)(z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Кожний із простих дробів розкладемо за формулою геометричної прогресії: + a z a = a 1 z 1 a = a n z z n, n = z a 1 z a = az = a n z n. n= Це можливо, оскільки az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, або, коротше, c n = 1 2i a n sgnn. Тим самим, ряд Фур'є у комплексній формі знайдено. Згрупувавши доданки з номерами n і n отримаємо ряд Фур'є функції в речовинній формі: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 = a n sin nx. Знов нам вдалося обчислити наступний складний інтеграл: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 ЗАВДАННЯ 24. Використовуючи (15), обчисліть інтеграл cos nxdx 1 2a cosx + a 2 для речовинних a, a > Використовуючи (16), обчисліть інтеграл sin x sin nxdx для речовинних a, a > a cosx + a2 У задачах знайдіть ряди Фур'є у комплексній формі для функцій. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Рівність Ляпунова Теорема (рівність Ляпунова). Нехай функція f: [, π] R така, що f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Тому рівність Ляпунова для функції f(x) набуває вигляду: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. З останньої рівності для a π знаходимо sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Вважаючи a = π 2, отримуємо sin2 na = 1 при n = 2k 1 і sin 2 na = при n = 2k. Отже, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИКЛАД 14. Напишемо рівність Ляпунова для функції f(x) = x cosx, x [, π], і знайдемо з його допомогою суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Рішення. Прямі обчислення дають = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Оскільки f(x) парна функція, то для всіх n маємо b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 якщо n = 2k, 2, якщо n = 2k + 1. Коефіцієнт a 1 необхідно обчислити окремо, оскільки в загальній формулі при n = 1 знаменник дробу звертається в нуль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким чином, рівність Ляпунова для функції f(x) має вигляд: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , звідки знаходимо суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАВДАННЯ 32. Напишіть рівність Ляпунова для функції ( x f(x) = 2 πx, якщо x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, де c n коефіцієнт Фур'є 2π функції f(x), а d n коефіцієнт Фур'є функції g(x). 6. Диференціювання рядів Фур'є Нехай f: R R безперервно диференційована 2π-періодична функція. Її ряд Фур'є має вигляд: f(x) = a 2 + (a cos nx + b n sin nx). Похідна f(x) цієї функції буде безперервною та 2π-періодичною функцією, для якої можна записати формальний ряд Фур'є: f(x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), де a, a n, b n, n = 1 , 2,... коефіцієнти Фур'є функції f(x). 51

52 Теорема (про почленное диференціювання рядів Фур'є). При зроблених припущеннях справедливі рівності a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИКЛАД 15. Нехай шматково-гладка функція f(x) безперервна в проміжку [, π]. Доведемо, що з виконанні умови f(x)dx = має місце нерівність 2 dx 2 dx, зване нерівністю Стеклова, і переконаємося, що рівність у ньому здійснюється лише функцій виду f(x) = A cosx. Іншими словами, нерівність Стеклова дає умови, при виконанні яких з трохи похідної (в середньоквадратичному) слід трохи функції (у середньоквадратичному). Рішення. Продовжимо функцію f(x) на проміжок [,] парним чином. Позначимо продовжену функцію тим самим символом f(x). Тоді продовжена функція буде безперервною та шматково-гладкою на відрізку [, π]. Так як функція f(x) безперервна, то f 2 (x) безперервна на відрізку і 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Оскільки продовжена функція парна, то b n =, a = за умовою. Отже, рівність Ляпунова набуває вигляду 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Переконаємося, що для f(x) виконується висновок теореми про почлене диференціювання низки Фур'є, тобто a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Нехай похідна f (x) зазнає зламів у точках x 1, x 2,..., x N у проміжку [, π]. Позначимо x = x N+1 = π. Розіб'ємо проміжок інтегрування [, π] на N +1 проміжок (x, x 1),..., (x N, x N+1), кожному з яких f(x) безупинно диференційована. Тоді, використовуючи властивість адитивності інтеграла, а потім інтегруючи частинами, отримаємо: b n = 1 π = 1 π = 1 π f(x) j = x j + 1 x j x j + 1 x j n n N j = x j + 1 x j x j + 1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Остання рівність має місце через те, що функція f(x) була продовжена парним чином, а значить f(π) = f(). Аналогічно отримаємо an=nbn. Ми показали, що теорема про почленное диференціювання рядів Фур'є для безперервної шматково-гладкої 2π-періодичної функції, похідна якої у проміжку [, π] зазнає розривів першого роду, вірна. Значить f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n) sin nx, тому що a =, n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2, .... Оскільки 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так як кожен член ряду (18) більше або дорівнює відповідного члена ряду (17), то 2 dx 2 dx. Згадуючи, що f(x) є парним продовженням вихідної функції, маємо 2 dx 2 dx. Що й доводить рівність Стеклова. Тепер досліджуємо яких функцій у нерівності Стеклова має місце рівність. Якщо хоч для одного n 2 коефіцієнт a n відмінний від нуля, то a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАВДАННЯ 37. Нехай шматково-гладка функція f(x) неперервна в проміжку [, π]. Доведіть, що при виконанні умови f() = f(π) = має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка також називається нерівністю Стеклова, і переконайтеся, що рівність у ній має місце лише для функцій виду f(x) = B sin x. 38. Нехай функція f безперервна в проміжку [, π] і має в ньому (за винятком хіба що кінцевого числа точок) похідну f (x), що інтегрується з квадратом. Доведіть, що якщо при цьому виконані умови f() = f(π) і f(x) dx =, то має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка називається нерівністю Віртингера, причому рівність у ньому має місце лише для функцій виду f(x ) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Застосування рядів Фур'є на вирішення диференціальних рівнянь у приватних похідних При вивченні реального об'єкта (явлення природи, виробничого процесу, системи управління тощо.) істотними виявляються два чинника: рівень накопичених знань про досліджуваному об'єкті та ступінь розвитку математичного апарату. На етапі наукових досліджень виробився такий ланцюжок: явище фізична модель математична модель. Фізична постановка (модель) завдання полягає в наступному: виявляються умови розвитку процесу та головні фактори, що на нього впливають. Математична постановка (модель) полягає в описі обраних у фізичній постановці факторів та умов у вигляді системи рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних та ін.). Завдання називається коректно поставленим, якщо у певному функціональному просторі рішення задачі існує, єдино і безперервно залежить від початкових та граничних умов. Математична модель не буває тотожною об'єкту, що розглядається, а є його наближеним описом. Висновок рівняння вільних малих поперечних коливань струни. Нехай кінці струни закріплені, а сама струна туго напнута. Якщо вивести струну з положення рівноваги (наприклад, відтягнути або вдарити по ній), то струна почне 57

58 вагатися. Припускатимемо, що всі точки струни рухаються перпендикулярно її положенню рівноваги (поперечні коливання), причому в кожний момент часу струна лежить в одній і тій же площині. Візьмемо у цій площині систему прямокутних координат xou. Тоді, якщо в початковий момент часу t = струна розташовувалась уздовж осі Ox, то u означатиме відхилення струни від положення рівноваги, тобто, положення точки струни з абсцисою x у довільний момент часу t відповідає значення функції u(x, t). При кожному фіксованому значенні t графік функції u(x, t) представляє форму струни, що коливається, в момент часу t (рис. 32). При постійному значенні x функція u(x, t) дає закон руху точки з абсцисою x уздовж прямої, паралельної осі Ou, похідна t швидкість цього руху, а друга похідна 2 u t 2 прискорення. Рис. 32. Сили, прикладені до нескінченно малої ділянки струни Складемо рівняння, якому має задовольняти функція u(x, t). Для цього зробимо ще кілька припущень, що спрощують. Вважатимемо струну абсолютно ги- 58

59 кой, тобто вважатимемо, що струна не пручається вигину; це означає, що напруги, що виникають у струні, завжди спрямовані по дотичних до її миттєвого профілю. Струна передбачається пружною і підкоряється закону Гука; це означає, що зміна величини сили натягу пропорційно до зміни довжини струни. Приймемо, що однорідна струна; це означає, що її лінійна густина ρ постійна. Зовнішніми силами ми нехтуємо. Це означає, що ми розглядаємо вільні коливання. Ми вивчатимемо лише малі коливання струни. Якщо позначити через ϕ(x, t) кут між віссю абсцис і дотичної до струни в точці з абсцисою x в момент часу t, то умова дещиці коливань полягає в тому, що величиною ϕ 2 (x, t) можна нехтувати порівняно з ϕ (x, t), тобто ϕ 2. Оскільки кут ϕ малий, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u отже, величиною (u x x,) 2 також можна нехтувати. Звідси відразу випливає, що в процесі коливання можемо знехтувати зміною довжини будь-якої ділянки струни. Дійсно, довжина шматочка струни M 1 M 2, що проектується в проміжок осі абсцис, де x 2 = x 1 + x, дорівнює l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажемо, що за наших припущень величина сили натягу T буде постійною вздовж усієї струни. Візьмемо для цього якусь ділянку струни M 1 M 2 (рис. 32) в момент часу t і замінимо дію відкинутих участю- 59

60 ків силами натягу T 1 і T 2. Оскільки за умови всі точки струни рухаються паралельно осі Ou і зовнішні сили відсутні, то сума проекцій сил натягу на вісь Ox повинна дорівнювати нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Звідси через малості кутів ϕ 1 = ϕ(x 1, t) і ϕ 2 = ϕ(x 2, t) укладаємо, що T 1 = T 2. Позначимо загальне значення T 1 = T 2 через T. Тепер обчислимо суму проекцій F u цих сил на вісь Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Оскільки для малих кутів sin ϕ(x, t) tg ? T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Оскільки точка x 1 обрана довільно, то F u T 2 u x2(x, t) x. Після того, як знайдено всі сили, що діють на ділянку M 1 M 2, застосуємо до нього другий закон Ньютона, згідно з яким добуток маси на прискорення дорівнює сумі всіх діючих сил. Маса шматочка струни M 1 M 2 дорівнює m = ρ l ρ x, а прискорення дорівнює 2 u(x, t). Рівняння t 2 Ньютона набуває вигляду: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, де α 2 = T ρ постійне позитивне число. 6

61 Скорочуючи на x, отримаємо 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результаті ми отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння з приватними похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його називають рівнянням коливань струни чи одновимірним хвильовим рівнянням. Рівняння (21) є переформулюванням закону Ньютона і описує рух струни. Але у фізичній постановці завдання були вимоги про те, що кінці струни закріплені і положення струни в якийсь час відомо. Рівняннями ці умови записуватимемо так: а) вважатимемо, що кінці струни закріплені в точках x = і x = l, тобто вважатимемо, що для всіх t виконані співвідношення u(, t) =, u(l, t ) = ; (22) б) вважатимемо, що у момент часу t = положення струни збігається з графіком функції f(x), тобто вважатимемо, що для всіх x [, l] виконано рівність u(x,) = f( x); (23) в) вважатимемо, що в момент часу t = точці струни з абсцисою x надано швидкість g(x), тобто вважатимемо, що u(x,) = g(x). (24) t Співвідношення (22) називаються граничними умовами, а співвідношення (23) та (24) називаються початковими умовами. Математична модель вільних малих поперечних 61

62 коливань струни полягає в тому, що треба вирішити рівняння (21) з граничними умовами (22) і початковими умовами (23) і (24) Рішення рівняння вільних малих поперечних коливань струни методом Фур'є Розв'язання рівняння (21) в області x l,< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. Підставляючи (25) (21), отримаємо: X T = α 2 X T, (26) або T (t) α 2 T (t) = X (x) X (x). (27) Кажуть, що стався поділ змінних. Так як x і t не залежать один від одного, то ліва частина (27) не залежить від x, а права від t і загальна величина цих відносин 62

63 має бути постійною, яку позначимо через λ: T(t) α 2 T(t) = X(x) X(x) = λ. Звідси отримуємо два звичайні диференціальні рівняння: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При цьому граничні умови (22) набудуть вигляду X()T(t) = і X(l)T(t) =. Оскільки вони мають виконуватися всім t, t >, то X() = X(l) =. (3) Знайдемо рішення рівняння (28), яке б задовольняло граничним умовам (3). Розглянемо три випадки. Випадок 1: >. Позначимо λ = β 2. Рівняння (28) набуває вигляду X (x) β 2 X(x) =. Його характеристичне рівняння k 2 β 2 = має коріння k = ±β. Отже, загальне рішення рівняння (28) має вигляд X(x) = C e βx + De βx. Ми повинні підібрати постійні C і D так, щоб дотримувалися граничних умов (3), тобто X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Оскільки β, ця система рівнянь має єдине рішення C = D =. Отже, X(x) та 63

64 u(x, t). Тим самим, у випадку 1 ми отримали тривіальне рішення, яке далі не розглядатимемо. Випадок 2: λ =. Тоді рівняння (28) набуває вигляду X (x) = і його рішення, очевидно, задається формулою: X(x) = C x+d. Підставляючи це рішення у граничні умови (3), отримаємо X() = D = і X(l) = Cl =, отже, C = D =. Отже, X(x) і u(x, t), і ми знову отримали очевидне рішення. Випадок 3: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 Надалі надаватимемо n тільки позитивні значення n = 1, 2,..., оскільки при негативних n будуть виходити рішення того (ж виду. nπ) Величини λ n = називаються власними числами, а функції X n (x) = C n sin πnx власними функціями l l ціями диференціального рівняння (28) з крайовими умовами (3). Тепер розв'яжемо рівняння (29). Для нього характеристичне рівняння має вигляд k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Оскільки вище ми з'ясували, що нетривіальні рішення X(x) рівняння (28) є лише для негативних λ, рівних λ = n2 π 2, то саме такі λ ми й розглядатимемо далі. Коріння рівняння (32) є k = ±iα λ, а рішення рівняння (29) мають вигляд: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l де A n і B n довільні постійні. Підставляючи формули (31) і (33) в (25), знайдемо приватні рішення рівняння (21), що задовольняють крайовим умовам (22): πnx. l l l Вносячи множник C n у дужку і вводячи позначення C n A n = b n і B n C n = a n, запишемо u n (X, T) у вигляді (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx. (34) l l l 65

66 Коливання струни, що відповідають рішенням u n (x, t), називаються власними коливаннями струни. Так як рівняння (21) і граничні умови (22) лінійні та однорідні, то лінійна комбінація рішень (34) (u(x, t) = n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l буде розв'язком рівняння (21) ), що задовольняють граничним умовам (22) при спеціальному виборі коефіцієнтів a n і b n, що забезпечує рівномірну збіжність ряду. Тепер підберемо коефіцієнти a n і b n рішення (35) так, щоб воно задовольняло не тільки граничним, а й початковим умовам (23) та (24), де f(x), g(x) задані функції (причому f() = f (l) = g () = g (l) =). Вважаємо, що функції f(x) і g(x) задовольняють умовам розкладання до низки Фур'є. Підставляючи (35) значення t =, отримаємо u(x,) = a n sin πnx l = f(x). Диференціюючи ряд (35) по t і підставляючи t =, отримаємо u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), а це є розкладання функцій f(x) і g(x) до лав Фур'є. Отже, a n = 2 l l(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Підставляючи вирази для коефіцієнтів a n і b n в ряд (35), ми отримаємо рішення рівняння (21), що задовольняє граничним умовам (22) та початковим умовам (23) і (24). Тим самим ми вирішили завдання про вільні малі поперечні коливання струни. З'ясуємо фізичний зміст власних функцій u n (x, t) задачі про вільні коливання струни, визначені формулою (34). Перепишемо її у вигляді де n (x, t) = n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n З формули (37) видно, що всі точки струни здійснюють гармонійні коливання з однією і тією ж частотою ω n = πnα і фазою πnα δ n. Амплітуда коливання залежить від l l абсциси x точки струни і дорівнює α n sin πnx. При такому коливанні всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту чи іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називають стоячими хвилями. Стояча хвиля матиме n + 1 нерухому точку, що задається корінням рівняння sin πnx = у проміжку [, l]. Нерухомі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Посередині між вузлами розташовуються точки, в яких відхилення досягають максимуму; такі точки називаються пучностями. Кожна струна може мати власні коливання строго певних частот n = πnα, n = 1, 2, .... Ці частоти називаються власними частотами струни. Найнижчий l тон, який може видавати струна, визначається 67

68 низькою власною частотою 1 = π T і називається основним тоном струни. Інші тони, що відповідають l ρ частотам n, n = 2, 3,..., називаються обертонами або гармоніками. Для наочності зобразимо типові профілі струни, що видає основний тон (рис. 33), перший обертон (рис. 34) та другий обертон (рис. 35). Рис. 33. Профіль струни, що видає основний тон Мал. 34. Профіль струни, що видає перший обертон. 35. Профіль струни, що видає другий обертон Якщо струна здійснює вільні коливання, що визначаються початковими умовами, функція u(x, t) представляється, як це видно з формули (35), у вигляді суми окремих гармонік. Таким чином довільне коливання 68

69 струни є суперпозицією стоячих хвиль. При цьому характер звучання струни (тон, сила звуку, тембр) залежатиме від співвідношення між амплітудами окремих гармонік. Сила, висота і тембр звуку. Сила звуку характеризується енергією чи амплітудою коливань: що більше енергія, то більше вписувалося сила звуку. Висота звуку визначається його частотою чи періодом коливань: що більше частота, то вище звук. Тембр звуку визначається наявністю обертонів, розподілом енергії за гармоніками, тобто способом збудження коливань. Амплітуди обертонів, взагалі кажучи, менші за амплітуду основного тону, а фази обертонів можуть бути довільними. Наше вухо не чутливе до фази коливань. Порівняйте, наприклад, дві криві на рис. 36, запозиченому з . Це запис звуку з тим самим основним тоном, витягнутого з кларнету (а) і рояля (б). Обидва звуки не є простими синусоїдальними коливаннями. Основна частота звуку в обох випадках однакова і створює однаковість тону. Але малюнки кривих різні тому, що на основний тон накладені різні обертони. В певному сенсі ці малюнки показують, що таке тембр. 69

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти МАТИ Російський державний технологічний університет імені К. Е. Ціолковського

Федеральна агенція з освіти Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

Лекція 4. Гармонійний аналіз. Ряди Фур'є Періодичні функції. Гармонічний аналіз У науці та техніці часто доводиться мати справу з періодичними явищами, тобто такими, що повторюються через

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ В.М. Любимов, Є.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шурінов М А Т Е М А Т І К А Р А Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

ЗМІСТ РЯДИ ФУР'Є 4 Поняття про періодичну функцію 4 Тригонометричний поліном 6 3 Ортогональні системи функцій 4 Тригонометричний ряд Фур'є 3 5 Ряд Фур'є для парних та непарних функцій 6 6 Розкладання

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. Інтегральні суми та певний інтеграл Нехай дана функція y = f(), визначена на відрізку [, b], де< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ТЕОРІЯ РЯДІВ Теорія рядів є найважливішою складовою математичного аналізу і знаходить як теоретичні, так і численні практичні додатки. Розрізняють ряди числові та функціональні.

ТЕМА V РЯД ФУР'Є ЛЕКЦІЯ 6 Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є Багато процесів, що відбуваються в природі і техніці, мають властивості повторюватися через певні проміжки часу Такі процеси

6 Ряди Фур'є 6 Ортогональні системи функцій Ряд Фур'є по ортогональній системі функцій Функції ϕ () і ψ (), визначені та інтегровані на відрізку [, ], називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо

Федеральне агентство залізничного транспорту Уральський державний університет шляхів сполучення Кафедра «Вища та прикладна математика» Н. П. Чуєв Елементи гармонійного аналізу

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ Кафедра вищої математики Навчально-методичний посібник для студентів факультету прикладної математики та інформатики

Пояснення до тексту: знак читається як "рівносильно" і позначає, що у рівнянь праворуч від знака і зліва від знака безліч рішень збігається, знак IR позначає безліч речових чисел, знак IN

РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ 1. Диференціальні рівняння з приватними похідними.

1 2 Зміст 1 Ряди Фур'є 5 1.1 Тригонометричний ряд Фур'є............ 5 1.2 Тільки sin & cos..................... 7 1.3 Ряд Фур'є в комплексній формі 11 1.4 f(x) = c k?.......................

82 4. Розділ 4. Функціональні та статечні ряди 4.2. Заняття 3 4.2. Заняття 3 4.2.. Розкладання функції в ряд Тейлора ВИЗНАЧЕННЯ 4.2.. Нехай функція y = f(x) нескінченно диференційована в околиці

Лекція 8 4 Завдання Штурма-Ліувіля Розглянемо початково-крайову задачу для диференціального рівняння у приватних похідних другого порядку, що описує малі поперечні коливання струни Струна розглядається

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

Інтегрованість функції (за Ріманом) та певний інтеграл Приклади розв'язання задач 1. Постійна функція f(x) = C інтегрована на , так як для будь-яких розбиття та будь-якого вибору точок ξ i інтегральні

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ Подвійні ІНТЕГРАЛИ» ЧАСТИНА Ш ТЕМА РЯДИ

РЯДИ. Числові ряди. Основні визначення Нехай дано нескінченну послідовність чисел Вираз (нескінченна сума) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= називається числовим рядом. Числа

Зміст Вступ. Основні поняття.... 4 1. Інтегральні рівняння Вольтерри... 5 Варіанти домашніх завдань.... 8 2. Резольвента інтегрального рівняння Вольтерри. 10 Варіанти домашніх завдань.... 11

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, ті функцію

35 7 Тригонометричні ряди Фур'є Ряди Фур'є для періодичних функцій з періодом T. Нехай f(x) - шматково - безперервна періодична функція з періодом T. Розглянемо основну тригонометричну систему

Є.М. РУДИЙ МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ. ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ НОВОСИБИРСЬК 200 2 МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ГОУ ВПО «НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ» О.М. Рудий МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ.

І курс, завдання. Доведіть, що функція Рімана, якщо 0, m m R(), якщо m, m 0 і дріб нескоротний, 0, якщо ірраціонально, розривна в кожній раціональній точці і безперервна в кожній ірраціональній. Рішення.

1. Електростатика 1 1. Електростатика Урок 6 Розділення змінних у декартових координатах 1.1. (Завдання 1.49) Площина z = заряджена із щільністю σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy), де σ, α, β постійні.

Степенні ряди a a a Ряд виду a a a a () називається статечним, де, a, постійні, звані коефіцієнтами ряду Іноді розглядають статечний ряд більш загального виду: a(a) a(a) a(a) (), де

С А Лавренченко wwwwrckoru Лекція Перетворення Фур'є Поняття інтегрального перетворення Метод інтегральних перетворень один із потужних методів математичної фізики є потужним засобом вирішення

Диференціальне обчислення Введення в математичний аналіз Межа послідовності та функції. Розкриття невизначеностей у межах. Похідна функції. Правила диференціювання. Застосування похідної

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральна агенція з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

9. Первісна та невизначений інтеграл 9.. Нехай на проміжку I R задана функція f(). Функцію F() називають первісної функції f() на проміжку I, якщо F() = f() для будь-якого I, та первісної

Московський фізико-технічний інститут (державний університет) О.В. Бєсов ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РЯДИ ФУР'Я Навчально-методичний посібник Москва, 004 Укладач О.В.Бєсов УДК 517. Тригонометричні ряди

8. Ступінні ряди 8.. Функціональний ряд виду c n (z) n, (8.) n= де c n числова послідовність, R фіксоване число, а z R називають статечним рядом з коефіцієнтами c n. Виконавши заміну змінних

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, які навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Диференціальне обчислення Упорядник:

1. Певний інтеграл 1.1. Нехай f обмежена функція, задана на відрізку [, b] R. Розбиттям відрізка [, b] називають такий набір точок τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b], що = x< x 1 < < x n 1

ПИТАННЯ ТА ТИПОВІ ЗАВДАННЯ до підсумкового іспиту з дисципліни «Математичний аналіз» Прикладна математика На усному іспиті студент отримує два теоретичні питання та два завдання Всього 66 питань рік

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

~ ~ Невизначений і певний інтеграли Поняття первісної та невизначеного інтеграла. Визначення: Функція F називається первісною по відношенню до функції f, якщо ці функції пов'язані наступним

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет»

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ Зміст КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ... 4. та дослідження квадратних рівнянь... 4.. Квадратне рівняння з числовими коефіцієнтами... 4.. Вирішити та дослідити квадратні рівняння щодо

ВІЙСЬКОВИЙ НАВЧАЛЬНО-НАУКОВИЙ ЦЕНТР ВПС «ВІЙСЬКОВО-ПОВІТРЯНА АКАДЕМІЯ імені професора М. Є. ЖУКОВСЬКОГО та Ю. А. ГАГАРИНА» Н. Г. АФЕНДИКОВА, І. М. ОМЕЛЬЧЕНКО, Г. В. РИЖАКОВ, АОВА Ф. ПРИКЛАДИ

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ Московський державний університет приладобудування та інформатики кафедра вищої

Глава 5. Ряди Фур'є 5.. Заняття 5 5...

Ряди Фур'є Ортогональні системи функцій З точки зору алгебри рівність де - функції даного класу а - коефіцієнти з R або C просто означає, що вектор є лінійною комбінацією векторів

3724 РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 1 РОБОЧА ПРОГРАМА РОЗДІЛІВ «РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ» 11 Числові ряди Поняття числового ряду Властивості числових

ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЙ ЗМІННОЇ Поняття похідної, її геометричний і фізичний сенс Завдання, що призводять до поняття похідної Визначення Стосової S до лінії y f (x) у точці A x ; f (

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 1. Основні поняття Диференціальним рівнянням щодо деякої функції називається рівняння, що пов'язує цю функцію з її незалежними перемпними і з її похідними.

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ.. Основні поняття Диференціальним рівнянням називається рівняння, до якого невідома функція входить під знаком похідної чи диференціала.

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ Загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні та найрізноманітніші додатки у механіці фізики астрономії техніці та інших розділах вищої математики (наприклад

Функціональні ряди Функціональний ряд сума і область функціонального ряду Нехай в ділянці Δ речових або комплексних чисел дана послідовність функцій k (k 1 Функціональним рядом називається

СИСТЕМИ ОРТОГОНАЛЬНИХ МНОГОЧЛЕНІВ ТА ЇХ ДОДАТКИ А. Багаточлени Чебишева - Ерміта Вступні зауваження При вирішенні багатьох важливих завдань математичної фізики, квантової механіки, теоретичної фізики доводиться

Лекції підготовлені доц Мусіної МВ Визначення Вираз виду Числові та функціональні ряди Числові ряди: основні поняття (), де називається числовим рядом (або просто поруч) Числа, члени ряду

Ряд Фур'є періодичних функцій із періодом 2π.

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.

Розкладання неперіодичних функцій.

Парні та непарні функції.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд