З 41 властивості числових нерівностей. Основні види нерівностей та їх властивості

Нерівності у математиці грають помітну роль. У школі в основному ми маємо справу з числовими нерівностями, з визначення яких ми розпочнемо цю статтю. А далі перерахуємо та обґрунтуємо властивості числових нерівностей, на яких базуються усі принципи роботи з нерівностями.

Відразу відзначимо, що багато властивостей числових нерівностей аналогічні . Тому викладати матеріал будемо за такою ж схемою: формулюємо властивість, наводимо його обґрунтування та приклади, після чого переходимо до наступної властивості.

Навігація на сторінці.

Числові нерівності: визначення, приклади

Коли ми вводили поняття нерівності, то помітили, що нерівності часто визначають за їх записи. Так нерівностями ми назвали алгебраїчні вирази, що мають сенс, що містять знаки не дорівнює ≠, менше<, больше >, менше або дорівнює ≤ або більше або дорівнює ≥. На основі наведеного визначення зручно дати визначення числової нерівності:

Зустріч із числовими нерівностями відбувається під час уроків математики у першому класі відразу після знайомства з першими натуральними числами від 1 до 9 і знайомства з операцією порівняння. Щоправда, там їх називають просто нерівностями, опускаючи визначення «цифрові». Для наочності не завадить навести кілька прикладів найпростіших числових нерівностей із етапу їх вивчення: 1<2 , 5+2>3 .

А далі від натуральних чисел знання поширюються інші види чисел (цілі, раціональні, дійсні числа), вивчаються правила їх порівняння, і це значно розширює видове розмаїття числових нерівностей: −5>−72 , 3>−0,275·(7−5, 6) , .

Властивості числових нерівностей

На практиці працювати з нерівностями дозволяє ряд властивостей числових нерівностей. Вони випливають із введеного нами поняття нерівності. По відношенню до числа це поняття задається наступним твердженням, яке можна вважати визначенням відносин «менше» і «більше» на безлічі чисел (його часто називають різницевим визначенням нерівності):

Визначення.

число a більше числа b тоді і лише тоді, коли різницю a-b є позитивним числом;
число a менше числа b тоді і лише тоді, коли різницю a-b – від'ємне число;
число a дорівнює числу b тоді і тільки тоді, коли різницю a b дорівнює нулю.

Це визначення можна переробити у визначення відносин «менше чи одно» і «більше чи одно». Ось його формулювання:

Визначення.

число a більше або дорівнює числу b тоді і лише тоді, коли a-b – невід'ємне число;
число a менше або рівне числу b тоді і тільки тоді, коли a-b - непозитивне число.

Дані визначення ми будемо використовувати при доказі властивостей числових нерівностей, до огляду яких ми переходимо.

Основні властивості

Огляд розпочнемо з трьох основних властивостей нерівностей. Чому вони є основними? Тому що вони є відображенням властивостей нерівностей у найзагальнішому сенсі, а не лише стосовно числових нерівностей.

Числовим нерівностям, записаним з використанням знаків< и >, характерно:

Що стосується числових нерівностей, записаних за допомогою знаків нестрогих нерівності ≤ і ≥, то вони мають властивість рефлексивності (а не антирефлексивності), так як нерівності a≤a і a≥a включають випадок рівності a=a . Також їм властиві антисиметричність та транзитивність.

Отже, числові нерівності, записані за допомогою знаків ≤ і ≥, мають властивості:

рефлексивності a≥a та a≤a – вірні нерівності;
антисиметричності, якщо a b, то b a, і якщо a b, то b a.
транзитивності, якщо a b і b c , то a c , а також, якщо a b і b , то a c .

Їхній доказ дуже схожий на вже наведені, тому не будемо на них зупинятися, а перейдемо до інших важливих властивостей числових нерівностей.

Інші важливі властивості числових нерівностей

Доповнимо основні властивості числових нерівностей ще серією результатів, що мають велике практичне значення. Там засновані методи оцінки значень висловів, ними базуються принципи розв'язання нерівностейі т.п. Тому доцільно добре розібратись із ними.

У цьому пункті властивості нерівностей будемо формулювати лише для одного знака суворої нерівності, але варто мати на увазі, що аналогічні властивості будуть справедливі і для протилежного йому знака, а також для знаків нестрогих нерівностей. Пояснимо це з прикладу. Нижче ми сформулюємо та доведемо таку властивість нерівностей: якщо a

якщо a>b, то a+c>b+c;

якщо a b , то a + c b + c ;

якщо a b , то a + c b + c .

Для зручності уявімо властивості числових нерівностей у вигляді списку, при цьому будемо давати відповідне твердження, записувати його формально за допомогою літер, наводити доказ, після чого показувати приклади використання. А наприкінці статті зведемо всі властивості числових нерівностей до таблиці. Поїхали!

Додаток (або віднімання) будь-якого числа до обох частин правильної числової нерівності дає правильну числову нерівність. Іншими словами, якщо числа a та b такі, що a
Для доказу складемо різницю лівої та правої частин останньої числової нерівності, і покажемо, що вона негативна за умови a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Оскільки за умовою a
На доказі цієї властивості числових нерівностей для віднімання числа c не зупиняємося, тому що на множині дійсних чисел віднімання можна замінити додатком -c.

Наприклад, якщо до обох частин вірної числової нерівності 7>3 додати число 15, то вийде вірна числова нерівність 7+15>3+15, що те саме, 22>18 .

Якщо обидві частини правильної числової нерівності помножити (або розділити) на одну й ту саму позитивну кількість c, то вийде вірна числова нерівність. Якщо обидві частини нерівності помножити (або розділити) на негативне число c і змінити знак нерівності на протилежний, то вийде правильна нерівність. У буквеному вигляді: якщо для чисел a та b виконується нерівність a b · c.

Доведення. Почнемо з випадку, коли c>0. Складемо різницю лівої і правої частин доказуваної числової нерівності: a c-b c = (a b) c . Оскільки за умовою a 0 , то добуток (a-b)·c буде негативним числом як добуток від'ємного числа a-b на позитивне число c (що випливає з). Отже, a·c−b·c<0 , откуда a·c
На доказі розглянутої властивості для поділу обох частин правильної числової нерівності на одне й те число c не зупиняємося, оскільки поділ завжди можна замінити множенням на 1/c .

Покажемо приклад застосування розібраної якості на конкретних числах. Наприклад, можна обидві частини вірної числової нерівності 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

З щойно розібраної властивості множення обох частин числової рівності на число випливають два практично цінні результати. Так їх і сформулюємо у вигляді наслідків.

Усі розібрані вище у цьому пункті якості поєднує те, що спочатку дано правильне числове нерівність, і з нього за допомогою деяких маніпуляцій з частинами нерівності і знаком виходить інше правильне числове нерівність. Тепер ми наведемо блок якостей, у яких спочатку дано не одне, а кілька правильних числових нерівностей, а новий результат виходить з їхнього спільного використання після складання або множення їх частин.

Якщо для чисел a, b, c і d справедливі нерівності a
Доведемо, що (a+c)−(b+d) – від'ємне число, цим буде доведено, що a+c
По індукції ця властивість поширюється на почленное додавання трьох, чотирьох, і, взагалі, будь-якого кінцевого числа числових нерівностей. Так, якщо для чисел a 1 , a 2 , …, a n і b 1 , b 2 , …, b n справедливі нерівності a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Наприклад, нам дано три вірні числові нерівності одного знака −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Можна почленно множити числові нерівності одного знака, обидві частини яких є позитивними числами. Зокрема, для двох нерівностей a
Для доказу можна помножити обидві частини нерівності a
Зазначене властивість справедливо й у множення будь-якого кінцевого числа вірних числових нерівностей з позитивними частинами. Тобто, якщо a 1 , a 2 , …, a n і b 1 , b 2 , …, b n – позитивні числа, причому a 1 a 1 ·a 2 ·...·a n .

Окремо варто зауважити, що якщо в записі числових нерівностей містяться непозитивні числа, їх почленное множення може призводити до неправильних числових нерівностей. Наприклад, числові нерівності 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

Слідство. Почленное множення однакових вірних нерівностей виду a

На закінчення статті, як і було обіцяно, зберемо всі вивчені властивості таблицю властивостей числових нерівностей:

Список літератури.

Моро М. І.. Математика. Навч. для 1 кл. поч. шк. У 2 ч. Ч. 1. (Перше півріччя) / М. І. Моро, С. І. Волкова, С. В. Степанова. - 6-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 112 с.: Іл. + Дод. (2 відд. арк. іл.). - ISBN 5-09-014951-8.

Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.

Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

Поле дійсних чисел має властивість упорядкованості (п. 6, стор. 35): для будь-яких чисел а, b має місце одне і тільки одне з трьох співвідношень: або . У цьому запис а > b означає, що різниця позитивна, а запис різниця негативна. На відміну від поля дійсних чисел поле комплексних чисел не впорядковується: для комплексних чисел поняття «більше» і «менше» не визначаються; у цьому розділі розглядаються лише дійсні числа.
Співвідношення назвемо нерівностями, числа а і b - членами (або частинами) нерівності, знаки > (більше) і Нерівності а > b і з > d називаються нерівностями однакового (чи того самого) сенсу; нерівності а > b і с З визначення нерівності відразу випливає, що
1) будь-яке позитивне число більше нуля;
2) будь-яке від'ємне число менше нуля;
3) будь-яке позитивне число більше від будь-якого негативного числа;
4) із двох негативних чисел більше те, абсолютна величина якого менша.
Всі ці твердження допускають просте геометричне тлумачення. Нехай позитивний напрямок числової осі йде праворуч від початкової точки; тоді, які б не були знаки чисел, більше їх зображується точкою, що лежить правіше точки, що зображує менше число.
Нерівності мають такі основні властивості.
1. Несиметричність (незворотність): якщо , то і назад.

Справді, якщо різниця позитивна, то різниця негативна. Кажуть, що за перестановки членів нерівності треба сенс нерівності змінити на протилежний.
2. Транзитивність: якщо , то . Справді, із позитивності різниць випливає і позитивність
Крім знаків нерівності застосовують також знаки нерівності і вони визначаються таким чином: запис означає, що або тому, наприклад, можна писати , а також . Зазвичай нерівності, записані з допомогою знаків називають строгими нерівностями, а записані з допомогою знаків нестрогими нерівностями. Відповідно і самі знаки називають знаками суворої чи не суворої нерівності. Властивості 1 і 2, розглянуті вище, вірні й у нестрогих нерівностей.
Розглянемо тепер дії, які можна робити над однією чи кількома нерівностями.
3. Від додавання до членів нерівності однієї й тієї числа сенс нерівності не змінюється.
Доведення. Нехай дані нерівність і довільне число. За визначенням різниця позитивна. Додамо до цього два протилежних числа від чого воно не зміниться, тобто.
Цю рівність можна переписати так:
З цього випливає, що різниця позитивна, тобто що
а це й треба було довести.
На цьому ґрунтується можливість перекосу будь-якого члена нерівності з однієї його частини до іншої з протилежним знаком. Наприклад, з нерівності
випливає, що
4. При множенні членів нерівності одне й те позитивне число сенс нерівності не змінюється; при множенні членів нерівності одне і те негативне число сенс нерівності змінюється на протилежний.

Доведення. Нехай тоді якщо те, що добуток позитивних чисел позитивний. Розкривши дужки в лівій частині останньої нерівності, отримаємо, тобто. Аналогічним чином розглядається випадок.
Такий самий висновок можна зробити і щодо поділу частин нерівності на яке-небудь відмінне від нуля число, тому що поділ на число рівносильне множенню на число числа мають однакові знаки.
5. Нехай члени нерівності є позитивними. Тоді при зведенні його членів в той самий позитивний ступінь зміст нерівності не змінюється.
Доведення. Нехай цьому випадку за якістю транзитивності та . Тоді в силу монотонного зростання статечної функції при позитивному будемо мати
Зокрема, якщо де -натуральне число, то отримаємо
тобто при добуванні кореня з обох частин нерівності з позитивними членами сенс нерівності не змінюється.
Нехай члени нерівності є негативними. Тоді неважко довести, що при зведенні його членів у непарну натуральну міру зміст нерівності не зміниться, а при зведенні в парний натуральний ступінь зміниться на протилежний. З нерівностей з негативними членами можна також видобувати корінь непарного ступеня.
Нехай члени нерівності мають різні знаки. Тоді при зведенні їх у непарну ступінь сенс нерівності не зміниться, а при зведенні в парний ступінь про сенс нерівності, що виходить, нічого певного в загальному випадку сказати не можна. У насправді, під час зведення числа в непарну ступінь знак числа зберігається тому сенс нерівності не змінюється. При зведенні ж нерівності в парний ступінь утворюється нерівність з позитивними членами, і його сенс залежатиме від абсолютних величин членів вихідної нерівності може вийти нерівність того ж сенсу, що й вихідна нерівність протилежного сенсу і навіть рівність!
Усе сказане про зведення нерівностей у ступінь корисно перевірити на прикладі.
Приклад 1. Звести у зазначений ступінь такі нерівності, змінивши у разі потреби знак нерівності на протилежний чи знак рівності.
а) 3 > 2 ступінь 4; б) у ступінь 3;

в) у ступінь 3; г) у ступінь 2;
д) у ступінь 5; е) у ступінь 4;
ж) 2 > -3 ступінь 2; з) у ступінь 2,
6. Від нерівності можна перейти до нерівності між якщо члени нерівності обидва позитивні або обидва негативні, то між їх зворотними величинами є нерівність протилежного змісту:
Доведення. Якщо а і b - одного знака, їх добуток позитивно. Розділимо на нерівність
тобто, що і потрібно отримати.
Якщо члени нерівності мають протилежні знаки, то нерівність між їхніми оберненими величинами має той самий сенс, оскільки знаки обернених величин ті ж, що й знаки самих величин.
Приклад 2. Перевірити останню властивість 6 на наступних нерівностях:
7. Логарифмування нерівностей можна проводити лише у разі, коли члени нерівностей позитивні (негативні числа і нуль логарифмів немає).
Нехай. Тоді при буде
а при буде
Правильність цих тверджень заснована на монотонності логарифмічної функції, яка зростає, якщо основа і убуває при
Отже, при логарифмуванні нерівності, що складається з позитивних членів, з основи, більшої одиниці, утворюється нерівність того ж сенсу, що і дане, а при логарифмуванні його з позитивної основи, меншої одиниці, - нерівність протилежного сенсу.
8. Якщо, то якщо, але, то.
Це відразу випливає з властивостей монотонності показової функції (п. 42), яка зростає у разі і зменшується, якщо
При почленном складання нерівностей однієї й тієї ж сенсу утворюється нерівність тієї самої сенсу, як і дані.
Доведення. Доведемо це твердження для двох нерівностей, хоча воно правильне для будь-якої кількості нерівностей, що складаються. Нехай дані нерівності

За визначенням числа будуть позитивними; тоді позитивною виявляється та його сума, тобто.
Групуючи інакше доданки, отримаємо
і, отже,
а це й треба було довести.
Не можна сказати Нічого певного у загальному випадку про сенс нерівності, що виходить при складанні двох або кількох нерівностей різного змісту.
10. Якщо з однієї нерівності почленно відняти іншу нерівність протилежного сенсу, то утворюється нерівність того самого сенсу, що й перша.
Доведення. Нехай дані дві нерівності різного сенсу. Друге їх за властивістю незворотності можна переписати так: d > с. Складемо тепер дві нерівності однакового сенсу і отримаємо нерівність
того ж сенсу. З останнього знаходимо
а це й треба було довести.
Не можна сказати нічого певного в загальному випадку про сенс нерівності, що виходить при відніманні з однієї нерівності іншої нерівності того ж сенсу.

Безліч всіх дійсних чисел можна уявити, як поєднання трьох множин: безліч позитивних чисел, безліч негативних чисел і безліч, що складається з одного числа - число нуль. Для того щоб вказати, що число апозитивно, користуються записом а > 0, для вказівки від'ємного числа використовують інший запи a< 0 .
Сума та добуток позитивних чисел також є позитивними числами. Якщо число анегативно, то число -апозитивно (і навпаки). Для будь-якого позитивного числа знайдеться таке позитивне раціональне число r, що r< а . Ці факти і є основою теорії нерівностей.
За визначенням нерівність а > b (або, що те саме, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, тобто якщо число а – b позитивно.
Розглянемо, зокрема, нерівність а< 0 . Що означає ця нерівність? Згідно з наведеним вище визначенням воно означає, що 0 - а > 0, тобто. -а > 0або, інакше, що число -апозитивно. Але це має місце в тому і тільки в тому випадку, якщо число анегативно. Отже, нерівність а< 0 означає, що число а негативно.
Часто використовується також запис аb(або, що те саме, bа).
Запис аb, за визначенням, означає, що або а > b, або а = b. Якщо розглядати запис аbяк невизначений вислів, то в позначеннях математичної логіки можна записати
(a b) [(a > b) V (a = b)]
приклад 1.Чи правильні нерівності 5 0, 0 0?
Нерівність 50 - це складне висловлювання, що складається з двох простих висловлювань, пов'язаних логічною зв'язкою "або" (диз'юнкція). Або 5 > 0 чи 5 = 0. Перше висловлювання 5 > 0 - істинно, друге висловлювання 5 = 0 - хибно. За визначенням диз'юнкції такий складний вислів істинний.
Аналогічно обговорюється запис 00.
Нерівності виду а > b, а< b будемо називати строгими, а нерівності виду ab, ab- Нестрогі.
Нерівності а > bі з > d(або а< b і з< d ) називатимемо нерівностями однакового сенсу, а нерівності а > bі c< d - Нерівностями протилежного сенсу. Зазначимо, що ці два терміни (нерівності однакового та протилежного сенсу) відносяться лише до форми запису нерівностей, а не до самих фактів, що виражаються цими нерівностями. Так, стосовно нерівності а< b нерівність з< d є нерівністю того самого сенсу, а в записі d > c(що означає те саме) - нерівністю протилежного сенсу.
Поряд з нерівностями виду a > b, abвикористовуються так звані подвійні нерівності, тобто нерівності виду а< с < b , ас< b , a< cb ,
acb. За визначенням запис
а< с < b (1)
означає, що мають місце обидві нерівності:
а< с і з< b.
Аналогічний сенс мають нерівності асb, ас< b, а < сb.
Подвійну нерівність (1) можна записати так:
(a< c < b) [(a < c) & (c < b)]
а подвійна нерівність a ≤ c ≤ bможна записати в наступному вигляді:
(a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]
Перейдемо тепер до викладу основних властивостей та правил дій над нерівностями, домовившись, що у цій статті літери a, b, спозначають дійсні числа, а nозначає натуральне число.
1) Якщо а > b та b > с, то a > с (транзитивність).
Доведення.
Бо за умовою а > bі b > c, то числа а - bі b - зпозитивні, і, отже, число а - с = (а - b) + (b - с)Як сума позитивних чисел, також є позитивним. Це означає, за визначенням, що а > с.
2) Якщо а > b, то за будь-якого з має місце нерівність а + с > b + c.
Доведення.
Так як а > b, то число а - bпозитивно. Отже, число (а + с) - (b + с) = a + c - b - c = а - bтакож є позитивним, тобто.
a + с > b + с.
3) Якщо a + b > c, то a > b - c,тобто будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.
Доказ випливає з якості 2) досить до обох частин нерівності а + b > сдодати число - b.
4) Якщо а > b та с > d, то а + с > b + d,т. е. під час складання двох нерівностей однієї й тієї ж сенсу виходить нерівність тієї самої сенсу.
Доведення.
Через визначення нерівності досить показати, що різниця
(а + с) - (b + c)позитивна. Цю різницю можна записати так:
(a + c) - (b + d) = (а - b) + (с - d).
Оскільки за умовою числа а - bі с - dпозитивні, то (a + с) - (b + d)також є позитивне число.
Слідство. З правил 2) і 4) випливає наступне Правило віднімання нерівностей: якщо а > b, з > d, то a - d > b - с(Для доказу достатньо до обох частин нерівності а + с > b + dдодати число - c - d).
5) Якщо а > b, то при с > 0 маємо ас > bc, а при с< 0 имеем ас < bc.
Інакше висловлюючись, при множенні обох частин нерівності ні позитивне число знак нерівності зберігається (т. е. виходить нерівність, тієї самої сенсу), а при множенні на негативне число знак нерівності змінюється на протилежний (т. е. виходить нерівність протилежного сенсу.
Доведення.
Якщо а > b, то а - bє число позитивне. Отже, знак різниці ас-bс = с(а - b)збігається зі знаком числа з: якщо з- позитивне число, те й різниця ас - bcпозитивна і тому ас > bс, а якщо з< 0 , то ця різниця негативна і тому bc - аспозитивно, тобто. bc > ас.
6) Якщо а > b > 0 і > d > 0, то ас > bd,т. е. якщо всі члени двох нерівностей однакового сенсу позитивні, то при почленном множенні цих нерівностей виходить нерівність того самого сенсу.
Доведення.
Маємо ас - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Так як з > 0, b > 0, a - b > 0, з - d > 0, ас - bd > 0, тобто ас > bd.
Зауваження.З доказу видно, що умова d > 0у формулюванні властивості 6) несуттєво: для справедливості цієї властивості достатньо, щоб були виконані умови a > b > 0, > d, з > 0. Якщо ж (при виконанні нерівностей a > b, з > d) числа а, b, сне будуть всі позитивними, то нерівність ас > bdможе виконуватися. Наприклад, при а = 2, b =1, c= -2, d= -3 маємо a > b, з > d, але нерівність ас > bd(Тобто -4 > -3) не виконано. Таким чином, вимога позитивності чисел а, b, с у формулюванні властивості 6) суттєво.
7) Якщо a b > 0 і c > d > 0, то (розподіл нерівностей).
Доведення.
Маємо Чисельник дробу, що стоїть у правій частині, позитивний (див. властивості 5), 6)), знаменник також позитивний. Отже. Цим властивість 7) доведено.
Зауваження.Зазначимо важливий окремий випадок правила 7), що утворюється при а = b = 1: якщо з > d > 0, то. Таким чином, якщо члени нерівності позитивні, то при переході до обернених величин отримуємо нерівність протилежного змісту. Пропонуємо читачам перевірити, що це правило зберігається і в7) Якщо ab > 0 і c > d > 0, то (поділ нерівностей).
Доведення. те.
Ми довели вище кілька властивостей нерівностей, записаних за допомогою знака > (Більше). Проте ці властивості можна було б формулювати з допомогою знака < (менше), оскільки нерівність b< а означає, за визначенням, те саме, що й нерівність а > b. Крім того, як це неважко перевірити, доведені вище властивості зберігаються і для несуворих нерівностей. Наприклад, властивість 1) для нестрогих нерівностей матиме такий вигляд: якщо аb та bс, то ас.
Очевидно, сказаним вище не обмежуються загальні характеристики нерівностей. Існує ще ціла низка нерівностей загального виду, пов'язаних з розглядом статечної, показової, логарифмічної та тригонометричних функцій. Загальний підхід для написання таких нерівностей полягає в наступному. Якщо деяка функція у = f(х)монотонно зростає на відрізку [а, b], то при x 1 > x 2 (де x 1 та x 2 належать цьому відрізку) ми маємо f (x 1) > f(x 2). Аналогічно, якщо функція y = f(x)монотонно зменшується на відрізку [а, b], то при х 1 > х 2 (де х 1і х 2 належать цьому відрізку) ми маємо f(x 1)< f(x 2 ). Зрозуміло, сказане не відрізняється від визначення монотонності, але для запам'ятовування та написання нерівностей цей прийом дуже зручний.
Так, наприклад, для будь-якого натурального n функція у = х nє монотонно зростаючою на промені }