Секрети швидкого множення та поділу. Середнє арифметичне кількох чисел

1. Множення та розподіл на 5, 50, 500 і т.д.

Множення на 5, 50, 500 і т.д. замінюється множенням на 10, 100,1000 і т.д. 100: 2 і т. д.)

54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270).

Щоб число поділити на 5,50, 500 і т. д., треба це число поділити на 10,100,1000 і т. д. і помножити на 2.

10800: 50 = 10800:100*2 =216

10800: 50 = 10800*2:100 =216

2. Множення та розподіл на 25, 250, 2500 і т.д.

Множення на 25, 250, 2500 і т. д. замінюється множенням на 100,1000,10000 і т. д. і отриманий результат розділити = 100: 4)

542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200)

(якщо число ділиться на 4, виконання множення не займає часу, будь-який учень може виконати).

Щоб виконати розподіл числа на 25, 25,250,2500 і т. д. це число треба поділити на 100,1000,10000 і т. д. і помножити на 4

31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

3. Множення та розподіл на 125, 1250, 12500 і т.д.

Множення на 125, 1250 і т. д. замінюється множенням на 1000, 10000 і т. д. і отриманий твір потрібно ділити на = 1000: 8)

72*125=72*1000:8=9000

Якщо число ділиться на 8, то спочатку виконаємо поділ на 8, а потім множення на 1000,10000 і т.д.

48*125 = 48:8*1000 = 6000

Щоб поділити число на 125, 1250 і т. д., треба це число поділити на 1000, 10000 і т. д. і помножити на 8.

7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

4. Множення та розподіл на 75, 750 і т.д.

Щоб число помножити на 75, 750 і т. д. треба це число поділити на 4 і помножити на 300, 3000 і т. д. (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

Щоб число розділити на 75,750 і т. д., треба це число розділити на 300, 3000 і т. д. і помножити на 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

5. Множення на 15, 150.

При множенні на 15, якщо число непарне, множать його на 10 і додають половину одержаного твору:

23х15 = 23х (10 +5) = 230 +115 = 345;

якщо ж число парне, то чинимо ще простіше - до додаємо його половину і результат множимо на 10:

18х15 = (18 +9) х10 = 27х10 = 270.

При множенні числа на 150 користуємося тим самим прийомом і множимо результат на 10, т. К.150 = 15х10:

24х150 = ((24 + 12) х10) х10 = (36х10) х10 = 3600.

Так само швидко помножити двозначне число (особливо парне) на двозначне, що закінчуються на 5:

24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

6. Перемноження двоцифрових чисел, менших, ніж 20.

До одного з чисел треба додати кількість одиниць іншого, цю суму помножити на 10 і додати до неї добуток одиниць даних чисел:

18х16 = (18 +6) х10 + 8х6 = 240 +48 = 288.

Описаним способом можна множити двоцифрові числа, менші за 20, а також числа, в яких однакова кількість десятків: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562.

Пояснення:

(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a* b.

7.Умножение двозначного числа на 101.

Мабуть, найпростіше правило: припишіть ваше число до себе. Множення закінчено.
Приклад:

57 * 101 = 5> 5757

Пояснення: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Аналогічно виробляють множення тризначних чисел на 1001, чотиризначних – на 10001 тощо.

8. Розмноження числа на 11.

Слід "розсунути" цифри числа, що множиться на 11, і в проміжок, що утворився, вписати суму цих цифр, причому якщо ця сума більше 9, то, як при звичайному додаванніслід одиницю перенести до старшого розряду.

Приклад:
34 * 11 = 374, так як 3 + 4 = 7, сімку поміщаємо між трійкою та четвіркою
68 * 11 = 748, так як 6 + 8 = 14, четвірку поміщаємо між сімкою (шістка плюс перенесена одиниця) та вісімкою

Пояснення:
10a+b – довільне число, де a – число десятків, b – число одиниць.

Маємо:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
де ми маємо aсотень, a+bдесятків і bодиниць. тобто результат містить a*(a+1)сотень, два десятки та п'ять одиниць.

Складаємо твір: 5 одиниць, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотні, 6+3=9 тисяч, 3+4=7 десятки тисяч, 4 сотні тисяч.

43625*11=479875.

Коли множина полягає в межах 1000 і 10000 (наприклад, 7543), можна застосувати наступний спосібмноження на 11. Спочатку розбити множинне 7543 на межі, по дві цифри, потім знайти добуток першої грані (75) зліва на 11, як зазначено у множенні двозначного числа на 11. як множили сотні множеного. Потім треба помножити на 11 другу грань (43), отримаємо одиниці добутку: 43*11=473. Нарешті отримані твори складемо: 825 сот. +473 = 82739. Отже, 7543 * 11 = 82739.

Розглянемо ще приклад: 8324*11.

83`24; 83 сот. *11 = 913 сот.

24 * 11 = 264; 913 сот. +264 = 91564. Отже, 8324 * 11 = 91564.

9. Множення на 22, 33, …, 99.

Щоб двозначне число помножити 22,33, …, 99, треба цей множник подати у вигляді добутку однозначного числа на 11. Виконати множення спочатку на однозначне число, а потім на 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

10. Розмноження двоцифрових чисел на 111.

Спочатку візьмемо множим таке двозначне число, сума цифр якого менше 10. Пояснимо на числових прикладах:

Так як 111 = 100 +10 +1, то 45 * 111 = 45 * (100 +10 +1). При множенні двозначного числа, сума цифр якого менша за 10, на 111, треба в середину між цифрами вставити двічі суму цифр (тобто чисел, що їх зображують) його десятків і одиниць 4+5=9. 4500 +450 +45 = 4995. Отже, 45*111=4995. Коли сума цифр двозначного множеного більша або дорівнює 10, наприклад 68*11, треба скласти цифри множиного (6+8) і в середину між цифрами 6 і 8 вставити 2 рази одиниці отриманої суми. Нарешті, до складеного числа 6448 додати 1100. Отже, 68 * 111 = 7548.

11. Множення на 37.

При множенні числа на 37, якщо це число кратне 3, його ділять на 3 і множать на 111.

27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Якщо це число не кратно 3, то з твору віднімають 37 або до твору додають 37.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

12. Зведення квадрат будь-якого двозначного числа.

Якщо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25, то легко знайти квадрат будь-якого двозначного числа, що перевищує 25.

Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різницю між цим числом і 25 помножити на 100 і до добутку додати квадрат доповнення даного числа до 50 або квадрат надлишку його над 50-ю.

Розглянемо приклад:

372=12*100+132=1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2.

13. Множення чисел, близьких до 100.

При збільшенні (зменшенні) одного з множників на кілька одиниць множимо отримане ціле число та додані (відібрані) одиниці на інший множник і з першого твору віднімаємо другий твір (отримані твори складаємо)

98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.

Даний прийом представлення одного із співмножників у вигляді різниці дозволяє легко множити на 9, 99, 999.

Для цього достатньо помножити число на, 1000) і з одержаного цілого числа відняти число, яке множили: 154х9 = 154х10-154 = = 1386.

Але ще простіше ознайомити дітей із правилом - «щоб помножити число на 9 (99, 999) достатньо відняти з цього числа число його десятків (сотень, тисяч), збільшене на одиницю, та до отриманої різниці приписати доповнення його цифри одиниць до 10 (додаток до числа, утвореного двома (трьома) останніми цифрами цього числа):

154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

14. Множення двоцифрових чисел, у яких сума одиниць дорівнює 10.

Нехай дані два двозначних числа, у яких сума дорівнює 10:

М = 10m + n, K = 10a + 10 - n. Складемо їхній твір.

M * K = (10m + n) * (10a + 10 - n) = 100am + 100m - 10mn + 10an + +10n - n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 - n) - 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K - 10m).

Розглянемо кілька прикладів:

17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

15 . Множення на число, записане одними дев'ятками.

Для того щоб знайти добуток числа написаного одними дев'ятками на число, що має з ним однакову кількість цифр, треба від множника відібрати одиницю і до числа, що вийшло, приписати інше число всі цифри якого доповнюють цифри зазначеного числа до 9.

137 * 999= 136 863;

Наявність такого способу вбачається з наступного прийому рішення наведених прикладів: 8 * 9 = 8 * (10 - 1) = 80 - 8 = 72,

46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

16. Зведення до квадрата числа, що закінчується на 5.

Число десятків множимо на таке число десятків і додаємо 25.

15*15 = 225 = 10*20+ 25 (або 1*2 та приписуємо праворуч 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 і приписуємо праворуч 25)

65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 та приписуємо праворуч 25)

Як множити стовпчиком

множення багатозначних чиселзазвичай виконують стовпчиком, записуючи числа один під одним так, щоб цифри однакових розрядів стояли один під одним (одиниці під одиницями, десятки під десятками тощо). Для зручності зверху зазвичай записується число, яке має більше цифр. Ліворуч між числами ставиться знак дії. Під множником проводять межу. Під рисою пишуть цифри твори з їх отримання.

Розглянемо спочатку множення багатозначного числа на однозначне. Нехай потрібно помножити 846 на 5:

Помножити 846 на 5 - значить, скласти 5 чисел, кожне з яких дорівнює 846. Для цього достатньо взяти спочатку 5 разів по 6 одиниць, потім 5 разів по 4 десятки і нарешті 5 разів по 8 сотень.

5 разів по 6 одиниць = 30 одиниць, тобто 3 десятки. Пишемо 0 під межею на місці одиниць, а 3 десятки запам'ятовуємо. Для зручності, щоб не запам'ятовувати можна написати 3 над десятками множини:

5 разів по 4 десятки = 20 десятків, додаємо до них ще 3 десятки = 23 десятки, тобто 2 сотні і 3 десятки. Пишемо 3 десятки під межею на місці десятків, а 2 сотні запам'ятовуємо:

5 разів по 8 сотень = 40 сотень, додаємо до них ще 2 сотні = 42 сотні. Пишемо під межею 42 сотні, тобто 4 тисячі та 2 сотні. Таким чином, добуток 846 на 5 виявляється рівним 4230:

Тепер розглянемо множення багатозначних чисел. Нехай потрібно помножити 3826 на 472:

Помножити 3826 на 472 - отже, скласти 472 однакових числа, кожне з яких дорівнює 3826. Для цього треба скласти 3826 спочатку 2 рази, потім 70 разів, потім 400 разів, тобто помножити множимо окремо на цифру кожного розряду множника і отримані твори скласти в одну суму.

2 рази по 3826 = 7652. Пишемо отриманий твір під межею:

Це не остаточний твір, поки ми помножили лише одну цифру множника. Отримане число називається частковим твором. Тепер наше завдання помножити множину на цифру десятків. Але перед цим треба запам'ятати один важливий момент: кожен частковий добуток потрібно записувати під тією цифрою, на яку відбувається множення.

Помножуємо 3826 на 7. Це буде друге часткове твір (26782):

Помножуємо множину на 4. Це буде третій частковий твір (15304):

Під останнім частковим твором проводимо межу та виконуємо складання всіх отриманих часткових творів. Отримуємо повний твір (1 805 872):

Якщо у множнику зустрічається нуль, то зазвичай на нього не множать, а відразу переходять до наступної цифри:

Коли множина і (або) множник закінчуються нулями, множення можна виконати не звертаючи на них уваги, і в кінці до твору додати стільки нулів, скільки їх у множині і в множнику разом.

Наприклад, необхідно обчислити 23 000 · 4500. Спочатку помножимо 23 на 45, не звертаючи увагу на нулі:

І тепер, праворуч до отриманого твору припишемо стільки нулів, скільки їх у множині та у множнику разом. Вийде 103 500 000.

Калькулятор множення стовпчиком

Даний калькулятор допоможе виконати множення стовпчиком. Просто введіть множину та множник і натисніть кнопку Обчислити.

Варіант №3329663

Під час виконання завдань 1-23 відповіддю є одна цифра, яка відповідає номеру правильної відповіді чи число, послідовність літер чи цифр. Відповідь слід записувати без пробілів та будь-яких додаткових символів.

Якщо варіант заданий вчителем, ви можете вписати відповіді завдання частини З або завантажити їх у систему у одному з графічних форматів. Вчитель побачить результати виконання завдань частини В та зможе оцінити завантажені відповіді до частини С. Виставлені вчителем бали відобразяться у вашій статистиці.

Версія для друку та копіювання в MS Word

1. зведи в квадрат,

2. додай 1.

Перша зводить число на екрані в квадрат, друга збільшує його на 1. Запишіть порядок команд у програмі, яка перетворює число 2 на число 36 і містить трохи більше 4 команд. Вказуйте лише номери команд. (Наприклад, програма 2122 - це програма

додай 1

зведи у квадрат

додай 1

додай 1.

Ця програма перетворює число 1 на число 6.

Відповідь:

1. додай 1,

2. помнож на 5.

Перша їх збільшує число на екрані на 1, друга множить його.

Наприклад, програма 121 задає таку послідовність команд:

додай 1

помнож на 5

додай 1

Ця програма перетворює, наприклад, число 7 число 41.

Запишіть у відповіді програму, яка містить не більше п'яти команд і переводить число 2 до 280.

Відповідь:

На вхід алгоритму подається натуральне число N. Алгоритм будує по ньому нове число Rнаступним чином.

1. Будується двійковий запис числа N.

2. До цього запису дописуються праворуч ще два розряди за таким правилом:

а) складаються всі цифри двійкового запису, і залишок від поділу суми на 2 дописується до кінця числа (праворуч). Наприклад, запис 10000 перетворюється на запис 100001;

б) над цим записом виконуються самі дії - праворуч дописується залишок від розподілу суми цифр на 2.

Отриманий таким чином запис (у ньому на два розряди більше, ніж у запису вихідного числа N) є двійковим записом шуканого числа R.

Вкажіть таке найменше число N, Для якого результат роботи алгоритму більше 97. У відповіді це число запишіть у десятковій системіобчислення.

Відповідь:

Автомат отримує п'ятизначне число на вхід. За цим числом будується нове число за такими правилами.

1. Складаються окремо перша, третя та п'ята цифри, а також друга та четверта цифри.

2. Отримані два числа записуються один за одним у порядку невтрати без роздільників.

приклад.Вихідне число: 63179. Суми: 6 + 1 + 9 = 16; 3 + 7 = 10. Результат: 1016.

Вкажіть найменше число, під час обробки якого автомат видає результат 621.

Відповідь:

1. Перемножуються окремо перша та друга цифри, а також друга та третя цифри.

2. Отримані два числа записуються один за одним у порядку незростання без роздільників.

приклад. Початкове число: 179. Твори: 1 * 7 = 7; 7*9 = 63. Результат: 637. Вкажіть найменше число, при обробці якого автомат видає результат 205.

Відповідь:

Автомат отримує на вхід чотиризначне число. За цим числом будується нове число за такими правилами:

1. Перемножуються перша та друга, а також третя та четверта цифри вихідного числа.

приклад. Вихідне число: 2466. Твори: 2×4 = 8; 6×6 = 36.

Результат: 368.

Вкажіть найменше число, внаслідок обробки якого автомат видасть число 124.

Відповідь:

З букв російського алфавіту формується слово. Відомо, що слово сформоване за такими правилами:

а) у слові немає букв, що повторюються;

б) усі букви слова йдуть у прямому чи зворотному алфавітному порядку, виключаючи, можливо, першу.

Яке з наступних слів задовольняє всі ці умови?

Відповідь:

У виконавця Акорд-4 дві команди, яким присвоєно номери:

1. віднімай 1

2. помнож на 4

Виконуючи першу з них, Акорд-4 віднімає від числа на екрані 1, а виконуючи другу, множить це число на 4. Запишіть порядок команд у програмі, яка містить не більше п'яти команд і перетворює число 5 на число 62.Якщо таких програм більше однієї, запишіть будь-яку з них.

У відповіді вказуйте лише номери команд. Так, для програми

помнож на 4

потрібно написати: 211. Ця програма перетворює, наприклад, число 7 на число 26.

Відповідь:

Виконавець Калькулятор має дві команди, яким присвоєно номери:

1. забери 1

2. розділи на 3

Виконуючи першу, Калькулятор забирає від числа на екрані 1, а виконуючи другу, ділить його на 3 (якщо розподіл націло неможливо, Калькулятор відключається).

Запишіть порядок команд у програмі отримання у складі 37 числа 1, що містить трохи більше 5 команд, вказуючи лише номери команд.

(Наприклад, програма 21121 – це програма

розділи на 3

Ця програма, наприклад, перетворює число 60 на число 5.)

Відповідь:

Маша забула пароль для запуску комп'ютера, але пам'ятала алгоритм його отримання з рядка підказки «KBMAM9KBK»: якщо всі послідовності символів «MAM» замінити на «RP», «KBK» на «1212», а потім з рядка видалити три останні символи, то отримана послідовність буде паролем. Визначте пароль:

Відповідь:

Аня запросила свою подругу Наташу в гості, але не сказала їй код від цифрового замку свого під'їзду, а надіслала наступне повідомлення: «У послідовності 4, 1, 9, 3, 7, 5 з усіх чисел, які більше 4, відняти 3, а потім видалити з отриманої послідовності усі непарні цифри». Виконавши вказані у повідомленні дії, Наташа отримала наступний код для цифрового замка:

4) 4, 1, 6, 3, 4, 2

Відповідь:

Люба забула пароль для запуску комп'ютера, але пам'ятала алгоритм його отримання із символів QWER3QWER1 у рядку підказки. Якщо всі послідовності символів «QWER» замінити на «QQ», а з рядка видалити поєднання символів «3Q», то отримана послідовність і буде паролем:

Відповідь:

У виконавця ТриП'ять дві команди, яким присвоєно номери:

1. додай 3,

2. помнож на 5.

Виконуючи першу з них, ТриП'ять додає до числа на екрані 3, а виконуючи другу, множить це число на 5.

Запишіть порядок команд у програмі, яка містить не більше 5 команд і переводить число 1 до 515.

У відповіді вказуйте лише номери команд, пробіли між цифрами не ставте.

Так, для програми

помнож на 5

додай 3

потрібно написати: 211. Ця програма перетворює, наприклад, число 4 на число 26.

Відповідь:

Виконавець Квадратор має дві команди, яким присвоєно номери:

1. додай 1,

2. Зведи в квадрат.

Перша з цих команд збільшує число на екрані на 1, друга зводить у квадрат. Програма для виконавця Квадратор – це послідовність номерів команд.

Наприклад, 21211 - це програма

зведи у квадрат

додай 1

зведи у квадрат

додай 1

Ця програма перетворює число 2 на число 27.

Запишіть програму, яка перетворює число 2 на число 102 і містить не більше 6 команд. Якщо таких програм більше однієї, запишіть будь-яку з них.

Відповідь:

Автомат отримує на вхід тризначне число. За цим числом будується нове число за такими правилами.

1. Складаються перша та друга, а також друга та третя цифри вихідного числа.

2. Отримані два числа записуються один за одним у порядку спадання (без роздільників).

приклад. Вихідне число: 348. Суми: 3+4=7; 4 + 8 = 12. Результат: 127. Вкажіть найменше число, в результаті обробки якого автомат видасть число 1412.

Відповідь:

Автомат отримує на вхід чотиризначне вісімкове число. За цим числом будується нове число за такими правилами.

1. Складаються перша та друга, а також третя та четверта цифри.

2. Отримані два числа у восьмеричній системі числення записуються один за одним у порядку зростання (без роздільників).

приклад. Початкове число: 4531. Суми: 4+5 = 9; 3+1 = 4. Результат: 49. Визначте, яке з наступних чиселможе бути результатом роботи автомата.

Відповідь:

У деякій інформаційної системиінформація кодується двійковими шестирозрядними словами. При передачі даних можливі їх спотворення, у кінець кожного слова додається сьомий (контрольний) розряд в такий спосіб, щоб сума розрядів нового слова, вважаючи контрольний, була парною. Наприклад, до слова 110011 праворуч буде додано 0, а до слова 101100 – 1.

Після прийому слова проводиться його обробка. У цьому перевіряється сума його розрядів, включаючи контрольний. Якщо вона непарна, це означає, що при передачі цього слова стався збій, і воно автоматично замінюється на зарезервоване слово 0000000. Якщо вона парна, це означає, що збою не було або збоїв було більше одного. І тут прийняте слово змінюється.

вихідне повідомлення

1100101 0001001 0011000

було прийнято у вигляді

1100111 0001100 0011000

Як виглядатиме отримане повідомлення після обробки?

1) 0000000 0001100 0011000

2) 0000000 0000000 0011000

3) 1100111 0000000 0011000

4) 1100111 0001100 0000000

Відповідь:

Виконавець Калькулятор1 має дві команди, яким присвоєно номери:

1. додай 1,

2. помнож на 5.

Виконуючи першу, Калькулятор1 додає до числа на екрані 1, а виконуючи другу, множить його на 5.

Програма для цього виконавця – це послідовність номерів команд. Наприклад, програма 121 задає таку послідовність команд:

додай 1,

помножити 5,

додай 1,

Ця програма перетворює, наприклад, число 7 на число 41. Запишіть у відповіді програму, яка містить не більше шести команд і переводить число 1 на число 77.

Відповідь:

Виконавець КАЛЬКУЛЯТОР має лише дві команди, яким надано номери:

2. помнож на 2

Виконуючи команду номер 1, КАЛЬКУЛЯТОР віднімає з числа на екрані 1, а виконуючи

команду номер 2, множить число на екрані на 2. Напишіть програму, що не містить

більше 4 команд, яка з числа 3 отримує число 16. Вкажіть лише номери команд.

Наприклад, програма 21211 – це програма:

помнож на 2

яка перетворює число 1 на число 0.

Відповідь:

Вася забув пароль до Windows XP, але пам'ятав алгоритм його отримання з рядка підказки «B265C42GC4»: якщо всі послідовності символів «C4» замінити на «F16», а потім з рядка видалити все трицифрові числа, То отримана послідовність і буде паролем. Визначте пароль:

Відповідь:

У виконавця Два-п'ять дві команди, яким присвоєно номери:

1. забери 2

2. розділи на 5

Виконуючи першу, ДваПять віднімає від числа на екрані 2, а виконуючи другу, ділить це число на 5 (якщо розподіл націло неможливо, ДваПять відключається).

Запишіть порядок команд у програмі, яка містить не більше 5 команд і переводить число 152 до 2.

У відповіді вказуйте лише номери команд, пробіли між цифрами не ставте. Так, для програми

розділи на 5

потрібно написати 211. Ця програма перетворює, наприклад, число 55 на число 7.

Відповідь:

У деякій інформаційній системі інформація кодується двійковими шестирозрядними словами. При передачі даних можливі їх спотворення, у кінець кожного слова додається сьомий (контрольний) розряд в такий спосіб, щоб сума розрядів нового слова, вважаючи контрольний, була парною. Наприклад, до слова 110011 праворуч буде додано 0, а до слова 101100 - 1. Після прийому слова проводиться його обробка. У цьому перевіряється сума його розрядів, включаючи контрольний. Якщо вона непарна, це означає, що при передачі цього слова стався збій, і воно автоматично замінюється на зарезервоване слово 0000000. Якщо вона парна, це означає, що збою не було або збоїв було більше одного. І тут прийняте слово змінюється. Вихідне повідомлення 1100101 0001001 1111000 було прийнято у вигляді 1100111 0001100 1111000. Як виглядатиме прийняте повідомлення після обробки?

1) 0000000 0001100 1111000

2) 0000000 0000000 1111000

3) 1100101 0000000 1111000

4) 1100111 0001100 0000000

Відповідь:

Митя запросив свого друга Васю в гості, але не сказав йому код від цифрового замку свого під'їзду, а надіслав наступне повідомлення: «У послідовності 4, 1, 8, 2, 6 усі числа більше 3 розділити на 2, а потім видалити з отриманої послідовності усі парні цифри». Виконавши вказані у повідомленні дії, Вася отримав наступний код для цифрового замку:

Відповідь:

Касир забув пароль до сейфа, але пам'ятав алгоритм його отримання з рядка «AYY1YABC55»: якщо послідовно видалити з рядка ланцюжка символів «YY» та «ABC», а потім поміняти місцями символи A та Y, то отримана послідовність буде паролем. Визначте пароль.

(100-96) - першою дією
320 розділити те що вийшло у дужках- другим дією
множимо на п'ять - третьою дією
плюс 350 - четвертою дією

1 350+320=670:4=167.5=837.5

Схожі завдання:

1. Заповнити перепустки: 18т 4ц = кг
6280г = кг г
48ц = кг
26302кг = т ц кг
7350кг = ц кг
35кг = г
2. Порівняти 18ц 78кг 1т 878кг
22ц 63кг 2т 263кг
380000г 38кг
5кг 320г 532г
3кг 490г 349г
3. Закінчити запис:
1/4 частина тонни складає кг
1/5 частина кілограма становить г
1/10 частина центнера складає кг
4. Виразити у дрібніших заходах:
86ц =
3т =
25кг =
2т 3ц =
5. Розв'язати задачу.
У кожній із трьох машин везли 28 центнерів зерна, а у четвертій - 16 центнерів. Усі чотири машини везли зерна.
6. Вирішити Завдання.
У магазині привезли 3 т кавунів. Першого дня продали 900кг, другий вдвічі більше, ніж першого, а третій день інші. Скільки кілогромів кавунів продали третього дня?
Рішення:
7. Розв'язати задачу. Скільки кілогромів борошна у двох мішках, якщо в одному 1/4 ц, а в іншому 1/4 центнери?
Відповідь:
8. Вирішити Завдання 1/2кг цукерок коштують 28 руб. Скільки коштує 1 кг цукерок?
Відповідь:
9.* Розв'язати задачу.
У гени 900 руб. А у Валентина у 9 разів менше. Скільки карбованців Гена має віддати Валентину, щоб у них стало грошей порівну?
Відповідь:
10. Розв'язати задачу (усно):
72 кг огірків розклали в 8 кошиків порівну. Продали три такі кошики. Скільки кілогромів огірків лишилося?
Відповідь:

1. Заповнити перепустки:
3т 005 кг = кг
3т 5 ц = кг
19кг = г
39ц = кг
5830кг = ц кг
46500кг = т кг
2. Порівняти
14т 260кг 14260кг
7670ц 76т 7ц
73000г 73кг
260000г 26кг
345т 34500ц
3. Закінчити запис:
1/4 частина центнера складає кг
1/5 частина тонни становить ц
1/10 частина кілограма становить г
4. Виразити у більших заходах:
73ц =
640 кг =
2830г =
3200кг =
5. Розв'язати задачу.
Кожен із трьох покупців купив 18кг моркви, а четвертий – 46кг. Усі четверо купили ц моркви
6. Розв'язати задачу. Із трьох учасників зібрали 2т моркви. З першого дільниці зібрали 500кг, з другого вдвічі більше, ніж із першого, і з третього - решту моркву. Скільки кілогроммів моркви зібрали з третьої ділянки?
Рішення:
Відповідь:
7. Порівняти
1/4кг 1/2кг
1/2ц 1/10ц
1/10т 1/2ц
8. Розв'язати задачу.
Самка блакитного кита під час вирощування китенка худне на 30т. Це становить 1/4 усієї її маси. Визначити масу мами блакитного китенка.
Відповідь:
9. Обчислити та записати відповідь:
816:6
х5
+490
:2
_________
100:2
х7
-250
:100
________
10.* Переставити цифри в числі 810 так, щоб вона зменшилася на 630.
Відповідь.

Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується кінцевою або нескінченною десятковим дробом.

Записати це число у вигляді десяткового дробу.

Рішення. Розділимо в стовпчик чисельник кожного дробу на його знаменник: а)ділимо 6 на 25; б)ділимо 2 на 3; в)ділимо 1 на 2, а потім дроб, що вийшов, припишемо до одиниці — цілої частини даного змішаного числа.

Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5 , записуються кінцевим десятковим дробом.

У приклад 1в разі а)знаменник 25 = 5 · 5; в разі в)знаменник дорівнює 2, тому ми отримали кінцеві десяткові дроби 0,24 і 1,5 . В разі б)знаменник дорівнює 3, тому результат не можна записати у вигляді кінцевого десяткового дробу.

А чи можна без поділу в стовпчик звернути в десятковий дріб такий звичайний дріб, знаменник якої не містить інших дільників, крім 2 та 5? Розберемося! Який дріб називають десятковим і записують без дробової межі? Відповідь: дріб із знаменником 10; 100; 1000 і т.д. А кожне з цих чисел – це твір рівногокількості «двійок» та «п'ятірок». Насправді: 10 = 2 · 5; 100 = 2 · 5 · 2 · 5; 1000 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 і т.д.

Отже, знаменник нескоротного звичайного дробу потрібно буде подати у вигляді твору «двійок» і «п'ятірок», а потім домножити на 2 та (або) на 5 так, щоб «двійок» і «п'ятірок» стало порівну. Тоді знаменник дробу дорівнюватиме 10 або 100 або 1000 і т.д. Щоб значення дробу не змінилося — чисельник дробу помножимо на те число, на яке помножили знаменник.

Подати у вигляді десяткового дробу такі звичайні дроби:

Рішення. Кожен із цих дробів є нескоротним. Розкладемо знаменник кожного дробу на прості множники.

20 = 2 · 2 · 5. Висновок: не вистачає однієї "п'ятірки".

8 = 2 · 2 · 2. Висновок: не вистачає трьох «п'ятірок».

25 = 5 · 5. Висновок: не вистачає двох «двійок».

Зауваження.Насправді частіше використовують розкладання знаменника на множники, а просто запитують: скільки потрібно помножити знаменник, щоб у результаті вийшла одиниця з нулями (10 чи 100 чи 1000 тощо.). А потім на це число множать і чисельник.

Так, у випадку а)(Приклад 2) з числа 20 можна отримати 100 множенням на 5, тому на 5 потрібно помножити чисельник і знаменник.

В разі б)(Приклад 2) з числа 8 число 100 не вийде, але вийде число 1000 множенням на 125. На 125 множиться і чисельник (3) і знаменник (8) дробу.

В разі в)(Приклад 2) з 25 вийде 100, якщо помножити на 4. Значить, і чисельник 8 потрібно помножити на 4.

періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки.

В разі б)(Приклад 1) цифра, що повторюється одна і дорівнює 6. Тому, наш результат 0,66 ... запишеться так: 0, (6) . Читають: нуль цілих, шість у періоді.

Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називається змішаним періодичним дробом.

Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншимимножниками містить множник 2 або 5 звертається в змішануперіодичний дріб.

Записати у вигляді десяткового дробу числа:

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Записати у вигляді нескінченної періодичного дробучисла:

Рішення.

Дорогі друзі!

Дорогі друзі!Скоро ви зіткнетеся (або вже зіткнулися) з необхідністю вирішувати завдання на відсотки. Такі завдання починають вирішувати у 5 класі та закінчують... а от і не закінчують вирішувати завдання на відсотки! Ці завдання зустрічаються і на контрольних, і на іспитах: як переказних, так і ОДЕ та ЄДІ. Що ж робити? Потрібно вчитися вирішувати такі завдання. У цьому вам допоможе моя книга "Як розв'язувати задачі на відсотки".

Додавання чисел.

a+b=c, де a і b-складові, c-сума.
Щоб знайти невідомий доданок, Треба від суми відняти відомий доданок.

Віднімання чисел.

a-b=c, де a-зменшуване, b-віднімається, c-різницю.
Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання.
Щоб знайти невідоме віднімання, потрібно від зменшуваного відняти різницю.

Розмноження чисел.

a b = c, де a і b-множники, c-твор.
Щоб знайти невідомий множник, потрібно добуток розділити на відомий множник.

Розподіл чисел.

a:b=c, де a-ділене, b-ділитель, c-приватне.
Щоб знайти невідоме ділене, потрібно дільник помножити на приватне.
Щоб знайти невідомий дільник, потрібно ділене поділити на приватне.

Закони складання.

a+b=b+a(переміщувальний: від перестановки доданків сума не змінюється).
(a+b)+c=a+(b+c)(Сполучний: щоб до суми двох доданків додати третє число, можна до першого числа додати суму другого та третього).

Таблиця додавання.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Закони множення.

a b = b a(Перемістковий: від перестановки множників твір не змінюється).
(a·b)·c=a·(b·c)(Сполучний: щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього).
(a+b)·c=a·c+b·c(розподільний закон множення щодо додавання: щоб суму двох чисел помножити на третє число, можна кожне доданок помножити на це число та отримані результати скласти).
(а-b)·c=a·с-b·c(розподільний закон множення щодо віднімання: щоб різницю двох чисел помножити на третє число, можна помножити на це число, що зменшується і віднімається окремо і з першого результату відняти другий).

Таблиця множення.

2 · 1 = 2; 3 · 1 = 3; 4 · 1 = 4; 5 · 1 = 5; 6 · 1 = 6; 7 · 1 = 7; 8 · 1 = 8; 9 · 1 = 9.

2 · 2 = 4; 3 · 2 = 6; 4 · 2 = 8; 5 · 2 = 10; 6 · 2 = 12; 7 · 2 = 14; 8 · 2 = 16; 9 · 2 = 18.

2 · 3 = 6; 3 · 3 = 9; 4 · 3 = 12; 5 · 3 = 15; 6 · 3 = 18; 7 · 3 = 21; 8 · 3 = 24; 9 · 3 = 27.

2 · 4 = 8; 3 · 4 = 12; 4 · 4 = 16; 5 · 4 = 20; 6 · 4 = 24; 7 · 4 = 28; 8 · 4 = 32; 9 · 4 = 36.

2 · 5 = 10; 3 · 5 = 15; 4 · 5 = 20; 5 · 5 = 25; 6 · 5 = 30; 7 · 5 = 35; 8 · 5 = 40; 9 · 5 = 45.

2 · 6 = 12; 3 · 6 = 18; 4 · 6 = 24; 5 · 6 = 30; 6 · 6 = 36; 7 · 6 = 42; 8 · 6 = 48; 9 · 6 = 54.

2 · 7 = 14; 3 · 7 = 21; 4 · 7 = 28; 5 · 7 = 35; 6 · 7 = 42; 7 · 7 = 49; 8 · 7 = 56; 9 · 7 = 63.

2 · 8 = 16; 3 · 8 = 24; 4 · 8 = 32; 5 · 8 = 40; 6 · 8 = 48; 7 · 8 = 56; 8 · 8 = 64; 9 · 8 = 72.

2 · 9 = 18; 3 · 9 = 27; 4 · 9 = 36; 5 · 9 = 45; 6 · 9 = 54; 7 · 9 = 63; 8 · 9 = 72; 9 · 9 = 81.

2 · 10 = 20; 3 · 10 = 30; 4 · 10 = 40; 5 · 10 = 50; 6 · 10 = 60; 7 · 10 = 70; 8 · 10 = 80; 9 · 10 = 90.

Дільники та кратні.

Дільникомнатурального числа аназивають натуральне число, на яке аділиться без залишку. (Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24-ділителі числа 24, тому що 24 ділиться на кожне з них без залишку) 1-ділитель будь-якого натурального числа. Найбільший дільникбудь-якого числа – саме це число.
Кратнимнатурального числа bназивають натуральне число, яке ділиться без залишку на b. (Числа 24, 48, 72, ...-кратні числу 24, тому що діляться на 24 без залишку). Найменше кратне будь-якого числа – саме це число.

Ознаки подільності натуральних чисел.

Числа, що вживаються за рахунку предметів (1, 2, 3, 4, ...) називають натуральними числами. Безліч натуральних чисел позначають буквою N.
Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парнимицифрами. Числа, запис яких закінчується парними цифрами, називають парними числами.
Цифри 1, 3, 5, 7, 9 називають непарнимицифрами. Числа, запис яких закінчується непарними цифрами, називаються непарними числами.
Ознака ділимості на число 2 . Усі натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою, поділяються на 2.
Ознака ділимості на число 5 . Усі натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0 чи цифрою 5, поділяються на 5.
Ознака ділимості на число 10 . Усі натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0, поділяються на 10.
Ознака ділимості на число 3 . Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то саме число ділиться на 3.
Ознака ділимості на число 9 . Якщо сума цифр числа ділиться на 9, те саме число ділиться на 9.
Ознака ділимості на число 4 . Якщо число, складене з останніх двох цифр даного числа, ділиться на 4, те й саме це число ділиться на 4.
Ознака ділимості на число 11. Якщо різницю між сумою цифр, які стоять на непарних місцях, і сумою цифр, які стоять на парних місцях, ділиться на 11, то й саме число ділиться на 11.

Простим називають число, яке має лише два дільники: одиницю і саме це число.
Складовим називають число, яке має понад два дільники.
Число 1 не відноситься ні до простих чисел, ні до складових чисел.
Запис складового числа у вигляді твору тільки простих чиселназивається розкладанням складового числа на прості множники. Будь-яке складове число можна єдиним чином подати у вигляді твору простих множників.

Найбільшим загальним дільником даних натуральних чисел називають найбільше натуральне число, яке ділиться кожне з цих чисел.
Найбільший спільний дільник даних чисел дорівнює творузагальних простих множників у розкладах цих чисел. приклад. НОД(24, 42)=2·3=6, т. до. 24=2·2·2·3, 42=2·3·7, їх загальні прості множники 2 і 3.
Якщо натуральні числа мають лише один спільний дільник-одиницю, ці числа називають взаємно простими.

Найменшим загальним кратним даних натуральних чисел називають найменше натуральне число, кратне кожному з цих чисел. приклад. НОК (24, 42) = 168. Це саме невелике число, Що ділиться і на 24 і на 42
Для знаходження НОК кількох даних натуральних чисел треба: 1) розкласти кожне із цих чисел на прості множники; 2) виписати розкладання більшого з чисел і помножити його на множники, що відсутні, з розкладів інших чисел.
Найменше кратне двох взаємно простих чисел дорівнює добутку цих чисел.

bзнаменник дробу, показує, на скільки рівних частинрозділили;

a-числитель дробу показує, скільки таких частин взяли. Дробова риса означає знак розподілу.

Іноді замість горизонтальної дробової риси ставлять похилий, і звичайний дріб записується так: a/b.

У правильного дробучисельник менший за знаменник.
У неправильного дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює знаменнику.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде рівний їй дріб.

Розподіл і чисельник і знаменник дробу на їхній спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.

Число, що складається з цілої частини та дробової частини, називається змішаним числом.
Щоб неправильний дріб подати у вигляді змішаного числа, треба розділити чисельник дробу на знаменник, тоді неповне приватне буде цілою частиноюзмішаного числа, залишок – чисельником дрібної частини, а знаменник залишиться той самий.
Щоб уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, потрібно помножити цілу частину змішаного числа на знаменник, до отриманого результату додати чисельник дробової частини та записати в чисельнику неправильного дробу, а знаменник залишити той самий.

Промінь Охз початком відліку у точці Про, на якому вказано одиничний відріздо і напрямок, називають координатним променем.
Число, що відповідає точці координатного променя, називається координатоюцієї точки. Наприклад , А(3). Читають: точка А з координатою 3.

Найменшим загальним знаменником ( НОЗ) даних нескоротних дробів є найменше загальне кратне ( НОК) знаменників цих дробів.
Щоб привести дроби до найменшого спільному знаменнику, Треба: 1) визначити найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде найменшим загальним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

З двох дробів з однаковими знаменникамибільше та, у якої чисельник більший, і менша та, у якої чисельник менший.
З двох дробів з однаковими чисельниками більше та, у якої знаменник менший, і менший за той, у якого знаменник більший.
Щоб порівняти дроби з різними чисельниками та різними знаменниками, Треба привести дроби до найменшого спільного знаменника, а потім порівнювати дроби з однаковими знаменниками.

Події над звичайними дробами.

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий.
Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, спочатку дроби призводять до найменшого загального знаменника, а потім складають дроби з однаковими знаменниками.
Щоб виконати віднімання дробів з однаковими знаменниками, з чисельника першого дробу віднімають чисельник другого дробу, а знаменник залишають той самий.
Якщо потрібно виконати віднімання дробів з різними знаменниками, то їх спочатку приводять до спільного знаменника, а потім виконують віднімання дробів з однаковими знаменниками.
При виконанні дій додавання або віднімання змішаних чиселці дії виконують окремо для цілих частин і дробових частин, а потім результат записують у вигляді змішаного числа.

Добуток двох звичайних дробів дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник - добутку знаменників цих дробів.
Щоб помножити звичайний дріб на натуральне число, потрібно помножити чисельник дробу цього числа, а знаменник залишити той самий.
Два числа, добуток яких дорівнює одиниці, називають взаємно оберненими числами.
При множенні змішаних чисел їх спочатку перетворюють на неправильні дроби.
Щоб знайти дріб від числа, потрібно помножити число на цей дріб.

Щоб розділити звичайну дріб на звичайну дріб, потрібно поділити помножити на число, зворотне дільнику.
При розподілі змішаних чисел їх спочатку перетворюють на неправильні дроби.
Щоб розділити звичайний дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу помножити на це натуральне число, а чисельник залишити той самий. ((2/7): 5 = 2 / (7 · 5) = 2/35).
Щоб знайти число за його дробом, потрібно розділити на цей дріб число, що відповідає йому.

Десятичним дробом називають число, що записане в десятковій системі і має розряди менше одиниці. (3,25; 0,1457 і т. д.)
Знаки, що стоять у десятковому дробі після коми, називають десятковими знаками.
Десятковий дріб не зміниться, якщо в кінці десяткового дробу приписати або відкинути нулі.

Щоб скласти десяткові дроби, потрібно: 1) зрівняти у цих дробах кількість десяткових знаків; 2) записати їх один під одним так, щоб кома була записана під комою; 3) виконати додавання, не звертаючи уваги на кому, і поставити в сумі кому під комами у складниках дробах.

Щоб виконати віднімання десяткових дробів, потрібно: 1) зрівняти кількість десяткових знаків у зменшуваному та віднімуваному; 2) підписати віднімається під зменшуваним так, щоб кома опинилася під комою; 3) виконати віднімання, не звертаючи уваги на кому, і в отриманому результаті поставити кому під комами зменшуваного та віднімається.

Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, потрібно помножити його на це число, не звертаючи уваги на ком, і в отриманому творі відокремити коми стільки цифр праворуч, скільки їх було після коми в даному дробі.
Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на коми, і в отриманому результаті відокремити комою праворуч стільки цифр, скільки їх було після ком в обох множниках разом.
Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д. потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т. д. цифр.
Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д. потрібно перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т. д. цифр.

Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число, потрібно ділити дріб на це число, як ділять натуральні числа і поставити в приватному ком тоді, коли закінчиться розподіл цілої частини.
Щоб розділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д. потрібно перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т. д. цифр.

Щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в діленому і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх коштує після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число.
Щоб розділити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д., потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т. д. цифр. (Ділення десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д. рівносильне множенню цього десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.)

Щоб округлити число до будь-якого розряду – підкреслимо цифру цього розряду, а потім усі цифри, що стоять за підкресленою, замінюємо нулями, а якщо вони стоять після коми – відкидаємо. Якщо перша замінена банкрутом або відкинута цифра дорівнює 0, 1, 2, 3 або 4, то підкреслену цифру залишаємо без зміни. Якщо перша замінена банкрутом або відкинута цифра дорівнює 5, 6, 7, 8 або 9, то підкреслену цифру збільшуємо на 1.

Середнє арифметичне кількох чисел.

Середнім арифметичним кількох чисел називають частки від поділу суми цих чисел на число доданків.

Розмах ряду чисел.

Різниця між найбільшим та найменшим значенняминизки даних називається розмахом низки чисел.

Мода ряду чисел.

Число, що зустрічається з найбільшою частотоюсеред даних чисел ряду називається модою ряду чисел.

Відсотком називається одна сота частина.
Щоб виразити відсотки дробом чи натуральним числом, потрібно число відсотків поділити на 100%. (4% = 0,04; 32% = 0,32).
Щоб виразити число у відсотках, його треба помножити на 100%. (0,65 = 0,65 · 100% = 65%; 1,5 = 1,5 · 100% = 150%).
Щоб знайти відсотки від числа, потрібно виразити відсотки звичайним або десятковим дробом і помножити отриманий дріб на дане число.
Щоб знайти число за його відсотками, потрібно виразити відсотки звичайним або десятковим дробом і розділити на цей дріб це число.
Щоб знайти, скільки відсотків становить перше число від другого, потрібно розділити перше число на друге і помножити результат на 100%.

Частка двох чисел називають ставленням цих чисел. a:bабо a/b– відношення чисел a та b, причому, а – попередній член, b – наступний член.
Якщо члени даного відношенняпереставити місцями, то ставлення, що вийшло, називають зворотним для даного відношення. Відносини b/a та a/b – взаємно зворотні.
Відношення не зміниться, якщо обидва члени відносини помножити або розділити на те саме число, відмінне від нуля.

Рівність двох відносин називають пропорцією.
a:b=c:d. Це пропорція. Читають: атак ставиться до b, як cвідноситься до d. Числа a та d називають крайніми членами пропорції, а числа b та c – середніми членами пропорції.

Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів. Для пропорції a:b=c:dабо a/b=c/dосновна властивість записується так: a d = b c.
Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, потрібно твір середніх пропорцій розділити на відомий крайній член.
Щоб знайти невідомий середній член пропорції, потрібно добуток крайніх членів пропорції розділити відомий середній член.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Відношення довжини відрізка на карті до довжини відповідної відстані на місцевості називають масштабом карти.

Нехай величина узалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узменшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються обернено пропорційними.

Якщо дві величини перебувають у зворотному пропорційної залежності, то відношення двох довільно взятих значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

Множина являє собою сукупність деяких предметів або чисел, складених за будь-якими загальним властивостямабо законам (множина букв на сторінці, безліч правильних дробівзі знаменником 5, безліч зірок на небі і т.д.).
Багато складаються з елементів і бувають кінцевими або нескінченними. Безліч, яке не містить жодного елемента, називають порожньою множиною і позначають Ø.
Безліч Уназивають підмножиною множини А, якщо всі елементи множини Ує елементами множини А.
Перетином множин Аі Уназивається безліч, елементи якого належать і безлічі Аі безлічі У.
Об'єднанням множин Аі Уназивається безліч, елементи якого належать хоча б одному з даних множин Аі У.

Безліч чисел.

N- Безліч натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, ...
Z- безліч цілих чисел: ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Q– безліч раціональних чисел, що у вигляді дробу m/n, де m- ціле, n- натуральне (-2; 3/5; √9; √25 і т.д.)

Координатною прямою називають пряму, на якій задані позитивний напрямок, початок відліку (точка О) та одиничний відрізок.
Кожній точці координатної прямої відповідає деяке число, яке називають координатою цієї точки. Наприклад, А(5)). Читають: точка А з координатою п'ять. У 3). Читають: точка з координатою мінус три.

Модулем числа а (записують |a|) називають відстань від початку відліку до точки, що відповідає даному числу а. Значення модуля будь-якого числа невід'ємне. |3|=3; |-3|=3, т.к. відстань від початку відліку до числа -3 і до числа 3 дорівнює трьом одиничним відрізкам. |0|=0 .
За визначенням модуля числа: |a|=a, якщо a≥0і |a|=-a, якщо а<0 .

Події з раціональними числами.

Сума негативних чисел є числом негативним. Модуль суми дорівнює сумі модулів доданків (-3-5=-8).

Сума двох чисел з різними знаками має знак доданку з великим модулем. Щоб знайти модуль суми, потрібно від більшого модуля відняти менший (-4+6=2; -7+3=-4).

Добуток двох негативних чисел є позитивним. Модуль твору дорівнює добутку модулів даних чисел (-5 · (-6) = 30).

Добуток двох чисел з різними знаками є числом негативним. Модуль твору дорівнює добутку модулів даних чисел (-3 · 7 = -21; 4 · (-7) = -28).

Частка двох негативних чисел є число позитивне. Частковий модуль дорівнює приватному модулів діленого і дільника (-8:(-2)=4).

Частка двох чисел з різними знаками є числом негативним. Частковий модуль дорівнює приватному модулів діленого і дільника (-20:4=-5; 12:(-2)=-6).

Щоб раціональне число m/n записати як десяткового дробу, потрібно чисельник розділити на знаменник. При цьому приватне записується або кінцевим або нескінченним десятковим дробом.
Нескоротні звичайні дроби, знаменники яких містять інших простих дільників, крім 2 і 5, записуються кінцевої десяткової дробом (3/2=1,5; 1/5=0,2).
Нескінченний десятковий дріб, у якого одна або кілька цифр незмінно повторюються в одній і тій же послідовності, називається періодичноїдесятковим дробом. Сукупність цифр, що повторюються, називається періодом цього дробу. Для стислості період дробу записують один раз, укладаючи його в круглі дужки: 1/3=0,(3); 1/9 = 0, (1). Якщо між комою і першим періодом є одна або кілька цифр, що не повторюються, то такий періодичний дріб називається змішаним періодичним дробом: 7/15=0,4 (6); 5/12 = 0,41 (6).
Нескоротний звичайний дріб, знаменник якого разом з іншими множниками містить множник 2 або 5, перетворюється на змішаний періодичний дріб.
Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Приклади: 5 = 5, (0); 3/5 = 0,6 (0).

Нескінченний періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, в чисельнику якого різниця між усім числом після коми і числом після коми до періоду, а знаменник складається з «дев'яток» і «нулів», причому, «дев'яток» стільки, скільки цифр у періоді, а « нулів» стільки, скільки цифр після коми до періоду. Приклади:

1) 0,41 (6)=(416-41)/900=375/900=5/12

2) 0,10 (6)=(106-10)/900=96/900=8/75

3) 0,6 (54)=(654-6)/990=648/990=36/55

4) 0,(15)=(15-0)/99=15/99=5/33

5) 0,5 (3)=(53-5)/90=48/90=8/15.

Безліч дійсних чисел.

Будь-яка нескінченний неперіодичний десятковий дрібназивається ірраціональним числом. Приклади: π ; √2 ; еі т.д.
Усі раціональні та ірраціональні числа утворюють безліч дійсних чисел. Безліч дійсних чисел позначають буквою R.

Медіана цього ряду чисел.

Для знаходження медіани даного ряду, потрібно розташувати дані числа в порядку зростання або зменшення. Число, що опинилося в середині отриманого ряду, і буде медіаною ряду чисел. Якщо кількість даних чисел парна, то медіана ряду дорівнює середньому арифметичному двох чисел, що стоять посередині впорядкованого за зростанням або зменшенням ряду.

Вирази, в яких поряд з літерами можуть бути використані числа, знаки арифметичних дій та дужки, називаються виразами алгебри.
Значення букви, у яких алгебраїчне вираз має сенс, називають допустимими значеннями букви.
Якщо в алгебраїчному виразі літери замінити їх значеннями і виконати зазначені дії, то отримане в результаті число називається значенням виразу алгебри.
Два вирази називаються тотожно рівними, якщо за будь-яких допустимих значеннях змінних відповідні значення цих виразів рівні.
Формула – це вираз алгебри, записаний у вигляді рівності і виражає залежність між двома або декількома змінними. Приклад: формула шляху s=v·t(s - пройдений шлях, v - швидкість, t - час).

Якщо перед дужками стоїть знак «+» або не стоїть жодного знака, то при розкритті дужок знаки алгебраїчних доданків зберігаються.
Якщо перед дужками стоїть знак — », то при розкритті дужок знаки алгебраїчних доданків змінюються на протилежні знаки.

Доданки, що мають однакову буквену частину, називаються подібними доданками. Знаходження алгебраїчної суми подібних доданків називається приведенням подібних доданків. Щоб навести подібні доданки, потрібно скласти їх коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну літерну частину.

Рівність із змінною називають рівнянням.
Вирішити рівняння – значить знайти безліч його коренів. Рівняння може мати один, два, кілька, безліч коренів або не мати їх зовсім.
Кожне значення змінної, у якому дане рівняння перетворюється на правильну рівність, називається коренем рівняння.
Рівняння, що мають те саме коріння, називаються рівносильними рівняннями.
Будь-яке складове рівняння можна перенести з однієї частини рівності до іншої, змінивши при цьому знак доданку на протилежний.
Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному рівнянню.

a-b – додатне число, то a>b.
Якщо при порівнянні чисел a та b різниця a-b – від'ємне число, то a

Якщо нерівності записуються знаками< или >, то їх називають суворими нерівностями.

Якщо нерівності записують знаками ≤ або ≥, їх називають нестрогими нерівностями.

Властивості числових нерівностей.

Якщо праву частинунерівності поміняти місцями з його лівою частиною, то знак нерівності зміниться протилежний. (Якщо a>b, то b ).

Якщо число aбільше числа b, а число bбільше числа c, то число aбільше числа c. (Якщо a> b, b> c, то a> c).

Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться. (Якщо a>b, то a+c>b+cде c – будь-яке число).

Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Якщо обидві частини нерівності множать або ділять на те саме позитивне число, то знак нерівності не змінюють. (Якщо a>b; c- Позитивне число, то ac>bc; a/c>b/c).

Якщо обидві частини нерівності множать або ділять на те саме негативне число, то знак нерівності змінюють на протилежний. (Якщо a>b; c- Негативне число, то ac ).

Якщо позитивне число aбільше позитивного числа b, то число 1/ aменше числа 1/ b. (Якщо a> b; a>0; b>0 , то 1/ a<1/ b).

Числові проміжки.

Проміжок між точками, що відповідають заданим на координатній прямий числам a та b, зображує числовий проміжок між числами a та b. Види числових проміжків: інтервал, відрізок, напівінтервал, промінь, відкритий промінь. Вирішення числових нерівностей можна зобразити на числових проміжках.

а) Нерівність виду x
б) Нерівність виду x≤a. Відповідь: (-∞; а].

в) Нерівність виду x>a. Відповідь: (a; +∞).

г) Нерівність виду x≥a. Відповідь: .

г) Подвійна нерівність виду a≤x≤b. Відповідь: .

Прямі на площині.

Через будь-які дві точки можна провести єдину пряму. Пряма нескінченна.

Прямі, що перетинаються, мають тільки одну загальну точку.

Дві прямі, що утворюють при перетині прямі кути, називаються перпендикулярними. Дві перпендикулярні прямі ділять площину на чотири прямі кути.

Через цю точку цієї прямої можна провести єдиний перпендикуляр.

Довжина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до прямої, дорівнює відстані від цієї точки до цієї прямої.

Якщо дві прямі на площині не перетинаються, їх називають паралельними прямими.

Відрізки, що лежать на паралельних прямих, є паралельними.

Через кожну точку площини, що не лежить на прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.

Якщо дві прямі на площині перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні.

Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються в точці Про - початку відліку, утворюють прямокутну систему координат, що називається також декартовою системою координат.

Площина, на якій вибрано систему координат, називається координатною площиною.Координатні прямі називаються координатними осями. Горизонтальна – вісь абсцис (Ох), вертикальна – вісь ординат (Оy).

Координатні осі розбивають координатну площину на чотири частини - чверті. Порядкові номери чвертей прийнято рахувати проти годинникової стрілки.

Будь-яка точка в координатній площині задається своїми координатами. абсцисою та ординатою. Наприклад, А(3; 4). Читають: точка А з координатами 3 та 4. Тут 3 – абсциса, 4 – ордината.

Дві точки Аі А 1називаються симетричними один одному щодо прямої m, якщо пряма mперпендикулярна відрізку АА 1та проходить через його середину. Пряму mназивають віссю симетрії.

При згинанні площини креслення по прямій m– осі симетрії симетричні фігури поєднуються.

Прямокутник має дві осі симетрії.

Квадрат має чотири осі симетрії.

Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є її віссю симетрії. Окружність має безліч осей симетрії.

Центральна симетрія.

Дві точки Аі А 1називаються симетричними щодо точки Проякщо точка Про- середина відрізка АА 1. Крапку Проназивають центром симетрії.

Фігура називається центрально-симетричноїщодо точки Проякщо для кожної точки фігури симетрична їй точка щодо точки Про також належить цій фігурі. Приклади: коло, відрізок, прямокутник – центрально-симетричні фігури.

На координатній площині координати точок, симетричних щодо точки - початку координат, є протилежними числами.

функція.

Залежність, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної, називається функціональною залежністю чи функцією. Записують: y= f(x). Незалежну змінну xназивають аргументом. Залежну змінну yназивають функцією.

Безліч значень, які приймає незалежна змінна (аргумент), утворює область визначення функції та позначають D(x).

Безліч всіх значень функції називають областю значень функції та позначають Е(х).

Функцію можна встановити графічним, словесним, табличним або аналітичним способом. Аналітичний спосіб завдання функції означає, що залежність між змінними xі yзадається у вигляді формули (вирази).

Графіком функції називається безліч точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції.

Зворотній функції.

Правило знаходження функції, зворотної даної: 1) з цієї рівності висловлюють xчерез y; 2) в отриманій рівності замість xпишуть y, а замість yпишуть x. Графіки взаємно зворотних функцій симетричні один одному щодо прямої y = x (бісектриси І та ІІІ координатних кутів).

Лінійна функція.

Функція, задана формулою виду y=kx+b(де x – незалежна змінна, k та b – будь-які числа), називається лінійною функцією. Графік лінійної функції є пряма. Коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Якщо кутові коефіцієнти прямих, є графіками лінійних функцій, різні, то прямі перетинаються.

Якщо кутові коефіцієнти прямих, є графіками лінійних функцій однакові, то прямі паралельні.

Пряма пропорційність.

Прямою пропорційністю називається функція, задана формулою виду y=kx, де x - незалежна змінна, k- Коефіцієнт прямийпропорційності. Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат.

Назад пропорційність.

Зворотною пропорційністю називається функція, задана формулою виду y=k/x, де x - незалежна змінна, відмінна від нуля, k- Коефіцієнт зворотнійпропорційності. Графіком зворотної пропорційності є гіпербола, що складається з двох гілок. При k>0 гілки гіперболи розташовані I і III, а при k<0 – во II и IV координатных четвертях.

Лінійне рівняння з двома змінними та його графік.

Лінійним рівнянням з двома змінниминазивається рівняння виду ax+by=c, де xі y- Змінні, числа aі b- Коефіцієнти, число з- Вільний член.

Пара значень змінних, у яких лінійне рівняння з двома змінними перетворюється на правильне числове рівність, називається рішенням цього рівняння. Рішення рівняння записують у круглих дужках. Наприклад, (2; -1) є рішенням рівняння 3x+2y=4, оскільки 3·2+2·(-1)=4.

Рівняння з двома змінними, що мають одні й самі рішення, називаються рівносильними.

Безліч точок координатної площини, координати яких є розв'язком рівняння, називається графіком рівняння.

Графіком лінійного рівняння із двома змінними ax+by=c,в якому хоча б один із коефіцієнтів при змінних не дорівнює нулю, є пряма.

Системи лінійних рівнянь із двома змінними.

Пара значень змінних,що звертає у правильну рівність кожне рівняння системи лінійних рівнянь із двома змінними, називається розв'язуванням системи рівнянь.

Вирішити систему рівнянь означає знайти всі її рішення або довести, що рішень немає.

Для рішень системи лінійних рівнянь із двома змінними використовують графічний спосіб, спосіб підстановки та спосіб складання.

Спосіб полягає в побудові графіка кожного рівняння, що входить до цієї системи, в одній координатній площині та знаходженні точки перетину цих графіківв. Координати цієї точки (x; y)і будуть з'являтися рішеннямданої системи рівнянь.

Якщо прямі перетинаються, то система рівнянь має єдине Рішення.

Якщо прямі, що є графіками рівнянь системи, паралельні, то система рівнянь не має рішень.

Якщо прямі, що є графіками рівнянь системи, збігаються, то система рівнянь має нескінченне безліч рішень.

В одному з рівнянь виражають одну змінну через іншу, наприклад, висловили yчерез х.

Підставляють отриманий вираз замість yу друге рівняння - виходить рівняння з однією змінною х.

З отриманого рівняння знаходять значення цієї змінної х.

Підставляють значення ху вираз, отриманий у 1) пункті та знаходять значення змінної y.

Пара (x; y)є розв'язком цієї системи рівнянь.

Помножують ліву та праву частини одного або обох рівнянь на таке число, щоб коефіцієнтиза однієї зі змінних у рівняннях виявилися протилежними числами.

Складають почленноотримані рівняння залишається рівняння з однією змінною, з якого знаходять значення цієї змінної.

Підставляють знайдене значення змінної у будь-яке з даних рівнянь і знаходять значення другої змінної.

Отримана пара значень змінних і є рішенням цієї системи рівнянь.

Вирішення систем лінійних нерівностей з однією змінною.

Значення змінної, у якому кожна нерівність системи перетворюється на правильне числове нерівність, називається рішенням системи нерівностей з однією змінною.

Алгоритм розв'язання систем нерівностей з однією змінною.

Знайти безліч розв'язків кожної нерівності системи.

Зобразити на одній координатній прямій безліч розв'язків кожної з нерівностей.

Перетин проміжків - безліч рішень цих нерівностей і є розв'язком цієї системи.

Вирішення системи нерівностей можна записати у вигляді нерівності або у вигляді числового проміжку

Абсолютна та відносна похибки.

Абсолютна похибка(позначають Δх) - модуль різниці між даним та наближеним значеннями даного числа. Δх = | x-x 0 |, де x - це число, x 0 - Його наближене значення.

Відносна похибка(Позначають α) - модуль відношення абсолютної похибки до наближеного значення числа. α=|Δx/x 0 |, де Δх - Абсолютна похибка числа х, x 0 - Його наближене значення.

Сторінка 1 з 1 1