Серединний перпендикуляр креслення. Серединний перпендикуляр

На попередньому уроці ми розглянули властивості бісектриси кута як укладеного у трикутник, так і вільного. Трикутник включає три кути і для кожного з них розглянуті властивості бісектриси зберігаються.

Теорема:

Бісектриси АА 1 ВВ 1 СС 1 трикутника перетинаються в одній точці О (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо спочатку дві бісектриси ВР 1 і СС 1 . Вони перетинаються, точка перетину існує. Щоб довести це, припустимо неприємне: нехай дані бісектриси не перетинаються, у такому разі вони паралельні. Тоді пряма ЗС є січною і сума кутів , це суперечить тому, що у всьому трикутнику сума кутів.

Отже, точка Про перетин двох бісектрис існує. Розглянемо її властивості:

Точка Про лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена від його сторін ВА та НД. Якщо ОК - перпендикуляр до НД, OL - перпендикуляр до ВА, то довжини цих перпендикулярів дорівнюють - . Також точка Про лежить на бісектрисі кута і рівновіддалена від його сторін CВ та СА, перпендикуляри ОМ та ОК рівні.

Набули такі рівності:

тобто всі три перпендикуляри, опущені з точки О на сторони трикутника, рівні між собою.

Нас цікавить рівність перпендикулярів OL та ОМ. Ця рівність говорить про те, що точка О рівновіддалена від сторін кута, звідси випливає, що вона лежить на його бісектрисі АА 1 .

Таким чином, ми довели, що всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Крім того, трикутник складається з трьох відрізків, отже нам слід розглянути властивості окремого відрізка.

Задано відрізок АВ. У будь-якого відрізка є середина і через неї можна провести перпендикуляр - позначимо його за р. Таким чином, р – серединний перпендикуляр.

Рис. 2. Ілюстрація до теореми

Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка.

Довести, що (рис. 2).

Доведення:

Розглянемо трикутники та . Вони прямокутні і рівні, тому що мають загальний катет ОМ, а катети АТ і ОВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутні трикутники, рівних по двох катетах. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто, що потрібно було довести.

Справедлива зворотна теорема.

Кожна точка, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Заданий відрізок АВ, серединний перпендикуляр щодо нього р, точка М, рівновіддалена від кінців відрізка. Довести, що точка М лежить на серединному перпендикулярі відрізку (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.

Пряму та зворотну теореми можна узагальнити.

Крапка лежить на серединному перпендикулярі до відрізка тоді і лише тоді, коли вона рівновіддалена від кінців цього відрізка.

Отже, повторимо, що в трикутнику три відрізки і до кожного з них застосовується властивість серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Задано трикутник. Перпендикуляри для його сторін: Р 1 до сторони ВС, Р 2 до сторони АС, Р 3 до сторони АВ.

Довести, що перпендикуляри Р 1 , Р 2 та Р 3 перетинаються у точці О (рис. 4).

Рис. 4. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо два серединні перпендикуляри Р 2 і Р 3 вони перетинаються, точка перетину Про існує. Доведемо цей факт від неприємного - нехай перпендикуляри Р 2 і Р 3 паралельні. Тоді кут розгорнутий, що суперечить тому факту, що сума трьох кутів трикутника становить . Отже, існує точка Про перетин двох з трьох серединних перпендикулярів. Властивості точки О: вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АВ, отже вона рівновіддалена від кінців відрізка АВ: . Також вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС, отже, . Набули такі рівності.

Словник термінів планіметрії- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї Ж З І К Л М Н О П Р С … Вікіпедія

Колінеарні точки

Конкурентні прямі- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Окружність Аполонія- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Перетворення площини- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Чевіана- Тут зібрано визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Глосарій планіметрії– Ця сторінка глосарій. також основну статтю: Планіметрія Тут зібрані визначення термінів планіметрії. Курсивом виділено посилання на терміни у цьому словнику (на цій сторінці) … Вікіпедія

Завдання Аполлонія- Завдання Аполлонія побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена… Вікіпедія

Завдання Аполонія- Завдання Аполлонія побудувати за допомогою циркуля та лінійки коло, що стосується трьох даних кіл. За легендою, завдання сформульоване Аполлонієм Пергським приблизно 220 р. до н. е. у книзі «Касанія», яка була втрачена, але… … Вікіпедія

Діаграма Вороного- випадкової множини точок на площині Діаграма Вороної кінцевої множини точок S на площині представляє таке розбиття площини, при якому … Вікіпедія

Серединний перпендикуляр (серединний перпендикулярабо медіатриса) - пряма, перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину.

Властивості

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$де нижній індекс позначає сторону, до якої проведено перпендикуляр, $S$- площа трикутника, а також передбачається, що сторони пов'язані нерівностями $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\; \backslash geq\; p\_b$і $p\_c\; \backslash geq\; p\_b.$Іншими словами, у трикутника найменший серединний перпендикуляр відноситься до середнього відрізка.

Напишіть відгук про статтю "Серединний перпендикуляр"

Примітки

Уривок, що характеризує Серединний перпендикуляр

Кутузов, зупинившись жувати, здивовано, ніби не розуміючи того, що йому казали, дивився на Вольцогена. Вольцоген, помітивши хвилювання des alten Herrn, [старого пана (нім.)] з посмішкою сказав:
– Я не вважав себе вправі приховати від вашої світлості того, що я бачив… Війська у повному розладі…
- Ви бачили? Ви бачили?.. – насупившись, закричав Кутузов, швидко підводячись і наступаючи на Вольцогена. – Як ви… як ви смієте!.. – роблячи загрозливі жести тремтячими руками і захлинаючись, закричав він. - Як змиєте ви, милостивий пане, говорити це мені. Ви нічого не знаєте. Передайте від мене генералу Барклаю, що його відомості невірні і що справжній хід битви відомий мені, головнокомандувачу, краще, ніж йому.
Вольцоген хотів заперечити щось, але Кутузов перебив його.
- Ворог відбитий на лівому і вражений на правому фланзі. Якщо ви погано бачили, милостивий пане, то не дозволяйте собі говорити того, чого ви не знаєте. Будьте ласкаві їхати до генерала Барклая і передати йому назавтра мій неодмінний намір атакувати ворога, - суворо сказав Кутузов. Всі мовчали, і чути було одне важке дихання старого генерала, що захекався. — Скрізь відбиті, за що я дякую богові і нашому хороброму війську. Ворог переможений, і завтра поженемо його зі священної землі російської, - сказав Кутузов, хрестячись; і раптом схлипнув від сліз. Вольцоген, знизавши плечима і скрививши губи, мовчки відійшов до сторони, дивуючись uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на це самодурство старого пана. (нім.)]
- Так, ось він, мій герой, - сказав Кутузов до повного гарного чорнявого генерала, який у цей час входив на курган. Це був Раєвський, який провів весь день на головному пункті Бородінського поля.
Раєвський доносив, що війська твердо стоять на своїх місцях і що французи не сміють атакувати більше. Вислухавши його, Кутузов французькою сказав:
– Чи не хотілося б увійти в комп'ютери? [Ви, отже, не думаєте, як інші, що ми маємо відступити?]

На попередньому уроці ми розглянули властивості бісектриси кута як укладеного у трикутник, так і вільного. Трикутник включає три кути і для кожного з них розглянуті властивості бісектриси зберігаються.

Теорема:

Бісектриси АА 1 ВВ 1 СС 1 трикутника перетинаються в одній точці О (рис. 1).

Рис. 1. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо спочатку дві бісектриси ВР 1 і СС 1 . Вони перетинаються, точка перетину існує. Щоб довести це, припустимо неприємне: нехай дані бісектриси не перетинаються, у такому разі вони паралельні. Тоді пряма ЗС є січною і сума кутів , це суперечить тому, що у всьому трикутнику сума кутів.

Отже, точка Про перетин двох бісектрис існує. Розглянемо її властивості:

Точка Про лежить на бісектрисі кута , отже, вона рівновіддалена від його сторін ВА та НД. Якщо ОК - перпендикуляр до НД, OL - перпендикуляр до ВА, то довжини цих перпендикулярів дорівнюють - . Також точка Про лежить на бісектрисі кута і рівновіддалена від його сторін CВ та СА, перпендикуляри ОМ та ОК рівні.

Набули такі рівності:

тобто всі три перпендикуляри, опущені з точки О на сторони трикутника, рівні між собою.

Нас цікавить рівність перпендикулярів OL та ОМ. Ця рівність говорить про те, що точка О рівновіддалена від сторін кута, звідси випливає, що вона лежить на його бісектрисі АА 1 .

Таким чином, ми довели, що всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

Крім того, трикутник складається з трьох відрізків, отже нам слід розглянути властивості окремого відрізка.

Задано відрізок АВ. У будь-якого відрізка є середина і через неї можна провести перпендикуляр - позначимо його за р. Таким чином, р – серединний перпендикуляр.

Рис. 2. Ілюстрація до теореми

Будь-яка точка, що лежить на серединному перпендикулярі, рівновіддалена від кінців відрізка.

Довести, що (рис. 2).

Доведення:

Розглянемо трикутники та . Вони прямокутні і рівні, тому що мають загальний катет ОМ, а катети АТ і ОВ рівні за умовою, таким чином, маємо два прямокутні трикутники, рівних по двох катетах. Звідси випливає, що гіпотенузи трикутників теж рівні, тобто, що потрібно було довести.

Справедлива зворотна теорема.

Кожна точка, що рівно віддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Заданий відрізок АВ, серединний перпендикуляр щодо нього р, точка М, рівновіддалена від кінців відрізка. Довести, що точка М лежить на серединному перпендикулярі відрізку (рис. 3).

Рис. 3. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо трикутник. Він рівнобедрений, оскільки за умовою. Розглянемо медіану трикутника: точка О – середина основи АВ, ОМ – медіана. Відповідно до властивості рівнобедреного трикутника, медіана, проведена до його основи, є одночасно висотою та бісектрисою. Звідси слідує що . Але пряма р також перпендикулярна АВ. Ми знаємо, що в точку О можна провести єдиний перпендикуляр до відрізка АВ, отже прямі ОМ і р збігаються, звідси випливає, що точка М належить прямий р, що потрібно було довести.

Пряму та зворотну теореми можна узагальнити.

Крапка лежить на серединному перпендикулярі до відрізка тоді і лише тоді, коли вона рівновіддалена від кінців цього відрізка.

Отже, повторимо, що в трикутнику три відрізки і до кожного з них застосовується властивість серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці.

Задано трикутник. Перпендикуляри для його сторін: Р 1 до сторони ВС, Р 2 до сторони АС, Р 3 до сторони АВ.

Довести, що перпендикуляри Р 1 , Р 2 та Р 3 перетинаються у точці О (рис. 4).

Рис. 4. Ілюстрація до теореми

Доведення:

Розглянемо два серединні перпендикуляри Р 2 і Р 3 вони перетинаються, точка перетину Про існує. Доведемо цей факт від неприємного - нехай перпендикуляри Р 2 і Р 3 паралельні. Тоді кут розгорнутий, що суперечить тому факту, що сума трьох кутів трикутника становить . Отже, існує точка Про перетин двох з трьох серединних перпендикулярів. Властивості точки О: вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АВ, отже вона рівновіддалена від кінців відрізка АВ: . Також вона лежить на серединному перпендикулярі до сторони АС, отже, . Набули такі рівності.