Відомо, що сформулювати проблему часто важливіше та важче, ніж вирішити її. “У науці, - писав англійський хімік Ф. Содді, - завдання, належним чином поставлене, більш ніж наполовину вирішене. Процес розумової підготовки, необхідний з'ясування те, що є певне завдання, часто забирає більше часу, ніж саме розв'язання задачи”.
Форми, у яких проявляється та усвідомлюється проблемна ситуація, дуже різноманітні. Далеко не завжди вона виявляє себе у вигляді прямого питання, що постало на самому початку дослідження. Світ проблем так само складний, як і процес пізнання, що породжує їх. Виявлення проблем пов'язане з суттю творчого, мислення. Парадокси є найбільш цікавим випадком неявних, беззаперечних способів постановки проблем. Парадокси звичайні на ранніх стадіях розвитку наукових теорій, коли робляться перші кроки ще невивченої області і намацуються найзагальніші принципи підходу до неї.

Парадокси та логіка

У широкому розумінні парадокс — це становище, що різко розходиться із загальноприйнятими, усталеними, ортодоксальними думками. "Загальновизнані думки і те, що вважають справою давно вирішеною, найчастіше заслуговують на дослідження" (ГЛіхтенберг). Парадокс – початок такого дослідження.
Парадокс у більш вузькому і спеціальному значенні — це два протилежні, несумісні твердження, для кожного з яких є аргументи, які здаються переконливими.
Найбільш різка форма парадоксу - антиномія, міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.
Особливою популярністю користуються парадокси у найсуворіших і найточніших науках — математики та логіки. І це невипадково.

Логіка- Абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичному значенні цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить зрештою з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу мають синтетичний, нерозчленований характер. Вони не є констатаціями будь-яких окремих процесів чи подій, які мала б пояснити теорія. Такий аналіз не можна, очевидно, назвати спостереженням: завжди спостерігається конкретне явище.
Конструюючи нову теорію, вчений зазвичай вирушає від фактів, від цього можна спостерігати досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна зважати на одну неодмінну обставину: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з фактами, що належать до неї. Теорія, що розходиться з фактами та спостереженнями, є надуманою та цінності не має.
Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то фактори беруться до уваги під час створення нових логічних теорій?
Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксам у логіці, та та велика увага, якою вони в ній користуються.

Варіанти парадоксу "Бреху"

Найбільш відомим і, мабуть, найцікавішим із усіх логічних парадоксів є парадокс "Брехень". Він головним чином і прославив ім'я Євбуліда, що відкрив його з Мілета.
Є варіанти цього феномена, чи антиномії, багато з яких є лише очевидно парадоксальними.
У найпростішому варіанті "Бреху" людина вимовляє всього одну фразу: "Я брешу". Або каже: "Висловлення, яке я зараз вимовляю, є хибним". Або: "Це висловлювання хибно".

Якщо висловлювання хибне, то промовець сказав правду, отже, сказане їм є брехнею. Якщо ж висловлювання не є хибним, а той, хто говорить, стверджує, що воно хибне, то це його висловлювання хибне. Виявляється, таким чином, що, коли той, хто говорить, бреше, він говорить правду, і навпаки.

У середні віки поширеним було таке формулювання:

— Сказане Платоном — хибно, — каже Сократ.

— Те, що сказав Сократ, — істина, — каже Платон.

Постає питання, хто з них висловлює істину, а хто брехня?
А ось сучасне перефразування цього парадоксу. Припустимо, що на лицьовій стороні картки написані лише слова: "На іншій стороні цієї картки написано справжнє висловлювання". Зрозуміло, що це слова є осмислене твердження. Перевернувши картку, ми повинні виявити обіцяне висловлювання, або його немає. Якщо воно написано на звороті, воно є або істинним, або ні. Однак на звороті стоять слова: "На іншому боці цієї картки написано хибне висловлювання" - і нічого більше. Припустимо, що твердження на лицьовій стороні є істинним. Тоді твердження на обороті має бути істинним і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути хибним. Але якщо твердження на лицьовій стороні хибне, тоді твердження на обороті також має бути хибним, і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути дійсним. У результаті – парадокс.
Парадокс "Брехень" справив величезне враження на греків. І легко зрозуміти чому. Питання, яке в ньому ставиться, з першого погляду здається зовсім простим: чи бреше той, хто говорить тільки те, що він бреше? Але відповідь “так” призводить до відповіді “ні”, і навпаки. І роздум анітрохи не прояснює ситуацію. За простотою і навіть буденністю питання воно відкриває якусь неясну та незмірну глибину.
Ходить навіть легенда, що якийсь Філіт Косський, зневірившись дозволити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть також, що один із відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, вже на схилі років дав обітницю не приймати їжу доти, доки не знайде рішення “брехуна”, і незабаром помер, так нічого і не домігшись.
У середні віки цей феномен був віднесений до так званих нерозв'язних речень і став об'єктом систематичного аналізу. У ньому не бачили жодних, навіть незначних труднощів, що стосуються вживання мови. І лише в наш, так званий новітній час розвиток логіки досяг нарешті рівня, коли проблеми, які стоять, як видається, за цим парадоксом, стало можливим формулювати вже в строгих термінах.
Тепер “брехун” – цей типовий колишній софізм – нерідко називається королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. Проте, як і у випадку багатьох інших парадоксів, залишається не зовсім зрозумілим, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися його.

Мова та метамова

Зараз “брехун” зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішання двох мов: мови, якою йдеться про лежачу поза його дійсності, і мови, якою говорять про саму першу мову.

У повсякденній мові немає різниці між цими рівнями: і про дійсності, і про мову ми говоримо однією і тією ж мовою. Наприклад, людина, рідною мовою якої є російська мова, не бачить жодної особливої ​​різниці між твердженнями: "Скло прозоре" та "Вірно, що скло прозоре", хоча одне з них говорить про скло, а інше - про висловлювання щодо скла.
Якби в когось виникла думка про необхідність говорити про світ однією мовою, а про властивості цієї мови іншою, вона могла б скористатися двома різними існуючими мовами, допустимо російською та англійською. Замість того, щоб просто сказати: "Корова - це іменник", сказав би "Корова is a noun", а замість: "Твердження "Скло не прозоро" хибно" сказав би "The assertion "Скло не прозоре" is false". При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якої говорять про світ. Справді, перші висловлювання ставилися б до російської, тоді як другі — до англійської.

Якби далі нашому знавцю мов захотілося висловитись з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою. Допустимо німецькою. Для розмови про це останнє можна було б вдатися, наприклад, до іспанської мови і т.д.
Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія, мов, кожна з яких використовується для цілком певної мети: першою говорять про предметний світ, другою — про цю першу мову, третьою — про другу мову і т.д. Таке розмежування мов у сфері їх застосування — рідкісне явище у житті. Але в науках, що спеціально займаються, подібно до логіки, мовами, воно іноді виявляється дуже корисним. Мова, якою міркують про світ, зазвичай називають предметною мовою. Мова, що використовується для опису предметної мови, називають метамовою.

Зрозуміло, що, якщо мова та метамова розмежовуються вказаним чином, твердження “Я брешу” вже не може бути сформульовано. Воно говорить про помилковість того, що сказано російською мовою, і, отже, відноситься до метамови і має бути висловлене англійською мовою. Саме воно має звучати так: “Everything I speak in Russian is false” (“Все сказане мною російською хибно”); у цьому англійському твердженні нічого не йдеться про нього самого, і жодного феномена не виникає.
Розрізнення мови та метамови дозволяє усунути парадокс “Бреху”. Тим самим з'являється можливість коректно, без суперечності визначити класичне поняття істини: істинним є висловлювання, що відповідає описуваній їм дійсності.
Поняття істини, як і всі інші семантичні поняття, має відносний характер: воно може бути віднесено до певної мови.

Як показав польський АТарський логік, класичне визначення істини має формулюватися в мові ширшій, ніж та мова, для якої вона призначена. Інакше кажучи, якщо хочемо зазначити, що означає зворот “висловлювання, істинне у цій мові”, слід, крім висловів цієї мови, користуватися також висловлюваннями, що у ньому немає.
Тарський запровадив поняття семантично замкнутої мови. Така мова включає, крім своїх висловів, їхні імена, а також, що важливо підкреслити, висловлювання про істинність пропозицій, що формулюються в ньому.

Межі між мовою та метамовою в семантично замкнутій мові не існує. Кошти його настільки багаті, що дозволяють як щось стверджувати про позамовної реальності, а й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів достатньо, зокрема, щоб відтворити у мові антиномію “Брехень”. Семантично замкнута мова виявляється таким чином внутрішньо суперечливою. Кожна природна мова є, очевидно, семантично замкненою.
Єдино прийнятний шлях для усунення антиномії, а отже, і внутрішньої суперечливості, згідно з Тарським, — відмова від вживання семантично замкнутої мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки у разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясний підрозділ на мову та метамову. У природних мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все однією і тією ж мовою такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечність цих мов немає сенсу. Їхні багаті виразні можливості мають і свій зворотний бік — парадокси.

Інші рішення парадоксу

Отже, існують висловлювання, які говорять про свою власну істинність чи хибність. Ідея, що такі висловлювання є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрісіпп.
У середні віки англійський філософ і логік У.Оккам заявляв, що твердження “Всяке висловлювання хибне” безглуздо, оскільки воно говорить серед іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо будь-яке висловлювання хибне, це стосується й самого даного твердження; але те, що воно хибне, означає, що не всяке висловлювання є хибним.

Аналогічно і з твердженням “Всяке висловлювання істинно”. Воно також має бути віднесене до безглуздих і також веде до суперечності: якщо кожне висловлювання істинне, то істинним є і заперечення самого цього висловлювання, тобто висловлювання, що не всяке висловлювання є істинним.
Чому, однак, висловлювання не може осмислено говорити про свою власну істинність чи хибність?
Вже сучасник Оккама, французький філософ XIV ст. Ж. Бурідан, не згоден з його рішенням. З погляду звичайних уявлень про безглуздість, вирази типу "Я брешу", "Всяке висловлювання істинно (хибно)" і т.п. цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитися, такий загальний принцип Бурідана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, отже, може і висловитися звідси. Не всі твердження, які говорять про себе, відносяться до безглуздих. Наприклад, твердження “Ця пропозиція написана російською” є істинною, а твердження “У цьому реченні десять слів” хибно. І обидва вони цілком свідомі. Якщо допускається, що твердження може говорити і про себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таку свою властивість, як істинність?
Сам Бурідан вважав вислів “Я брешу” не безглуздим, а хибним. Він доводив це так.

Коли людина стверджує якусь пропозицію, вона стверджує тим самим, що вона є істинною. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що вона сама є хибною, то вона є лише скороченим формулюванням більш складного виразу, що стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Це вираз суперечливий і, отже, хибний. Але воно аж ніяк не безглуздо.

Аргументація Бурідану й досі іноді вважається переконливою.
Є й інші напрями критики того рішення феномена “брехун”, яке у деталях розвинене Тарским. Чи справді в семантично замкнутих мовах — адже всі природні мови — немає жодної протиотрути проти парадоксів цього типу?
Якби це було так, то поняття істини можна було б визначити суворим чином лише у формалізованих мовах. Тільки в них вдається розмежувати предметну мову, якою міркують про навколишній світ, і метамова, якою говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується на зразок засвоєння іноземної мови за допомогою рідної. Вивчення такої ієрархії привело до багатьох цікавих висновків, і у певних випадках вона є суттєвою. Але її немає у природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то якою саме мірою? Адже в ньому поняття істини все-таки вживається, і зазвичай без жодних ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних до «Бреху?».

У 30-х роках відповіді ці запитання представлялися безсумнівно ствердними. Однак зараз колишньої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси цього типу шляхом “розшарування” мови залишається панівною.
Останнім часом все більше уваги привертають егоцентричні вирази. Вони зустрічаються слова, подібні “я”, “це”, “тут”, “тепер”, та його істинність залежить від цього, коли, ким, де вони вживаються.

У твердженні "Це висловлювання є хибним" зустрічається слово "це". До якого саме об'єкту воно належить? "Брехня" може говорити про те, що слово "це" не відноситься до сенсу даного твердження. Але тоді до чого воно стосується, що означає? І чому цей зміст не може бути все-таки позначений словом "це"?
Не вдаючись тут у деталі, варто відзначити лише, що у контексті аналізу егоцентричних висловів “Брехню” наповнюється зовсім іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він уже не застерігає від змішування мови та метамови, а вказує на небезпеки, пов'язані з неправильним вживанням слова “це” та подібних до нього егоцентричних слів.
Проблеми, що пов'язували протягом століть з “брехуном”, радикально змінювалися залежно від того, чи розглядався він як приклад двозначності, чи як вираз, що зовні представляється як зразок змішання мови та метамови, або ж, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає впевненості, що з цим парадоксом не виявляться пов'язаними в майбутньому й інші проблеми.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Г. фон Врігт писав у своїй роботі, присвяченій "Бреху", що даний парадокс в жодному разі не повинен розумітися як локальна, ізольована перешкода, що усувається одним винахідливим рухом думки. "Брехня" зачіпає багато найважливіших тем логіки і семантики. Це і визначення істини, і тлумачення протиріччя і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і думкою, що виражається ним, між вживанням виразу і його згадкою, між змістом імені і позначається їм об'єктом.
Аналогічно і з іншими логічними парадоксами. “Антиномії логіки, - пише фон Врігг, - спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, будуть спантеличувати нас завжди. Ми повинні, я думаю, розглядати їх не так як проблеми, які очікують на вирішення, як невичерпний сирий матеріал для роздумів. Вони важливі, оскільки міркування про них торкається найбільш фундаментальних питань усієї логіки, а отже, і всього мислення”.

На закінчення цієї розмови про “брехуна” можна згадати курйозний епізод з того часу, коли формальна логіка ще викладалася в школі. У підручнику логіки, виданому наприкінці 40-х років, школярам восьмого класу пропонувалося в якості домашнього завдання - в порядку, так би мовити, розминки - знайти помилку, допущену в цьому простенькому на вигляд твердженні: "Я брешу". І, нехай це не здасться дивним, вважалося, що школярі здебільшого успішно справлялися з таким завданням.

§ 2. Парадокс Рассела

Найзнаменитішим із відкритих вже у нашому столітті парадоксів є антиномія, виявлена ​​Б. Расселом та повідомлена їм у листі до Г. Ферги. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело та Д. Гільберт.
Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей феномен викликав у математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими та важливішими логічними методами, звичайнісінькими та корисними поняттями.
Відразу ж стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено зовсім нічого, що могло б послужити основою для. усунення антиномії. Очевидно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця та в якому напрямку? Наскільки радикальним мала стати відмова від усталених способів теоретизування?
З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності нового підходу неухильно зростало. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки та математики Л. Френкель та І. Бар-Хіллел вже без жодних застережень стверджували: “Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти зі становища за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX століття) способів мислення , що досі незмінно провалювалися, явно недостатні для цієї мети”.
Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей парадокс: “У термінах логіки, відомої в XIX ст., становище просто не піддавалося пояснення, хоча, звичайно, у наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать) ), у чому полягає помилка”.

Парадокс Рассела у його початковій формі пов'язані з поняттям безлічі, чи класу.
Можна говорити про безліч різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першої множини буде кожна окрема людина, елементом другої — кожне натуральне число. Допустимо також самі множини розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч усіх множин або безліч понять.

Безліч звичайних множин

Щодо будь-якої довільно взятої множини видається осмисленим запитати, є вона своїм власним елементом чи ні. Безліч, що не містять себе як елемент, назвемо звичайними. Наприклад, безліч людей не є людиною, як і безліч атомів — це атом. Незвичайними будуть множини, що є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, є безліч і, отже, містить саме себе як елемент.
Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна запитувати, чи звичайне воно, чи незвичайне. Відповідь, проте, виявляється бентежною. Якщо воно звичайне, то, відповідно до свого визначення, має містити саме себе як елемент, оскільки містить усі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Припущення, що наша множина є звичайною множиною, призводить, таким чином, до протиріччя. Отже, воно може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайна множина містить сама себе як елемент, а елементами нашої множини є лише звичайні множини. У результаті приходимо до висновку, що безліч усіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичним множиною.

Отже, безліч усіх множин, що не є власними елементами, є свій елемент у тому і лише тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явна суперечність. І отримано воно на основі найправдоподібніших припущень і за допомогою безперечних ніби кроків. Суперечність говорить про те, що такої множини просто не існує. Але чому вона не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко визначеній умові, причому сама умова не видається якоюсь винятковою чи неясною. Якщо така просто і ясно задана множина не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про неіснування розглянутої множини звучить несподівано і вселяє занепокоєння. Він робить наше загальне поняття множини аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю спільністю. Для його побудови не потрібні якісь складні технічні поняття, як у деяких інших парадоксів, достатньо понять “множина” і “елемент множини”. Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальність: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про безліч, оскільки говорить не про якісь спеціальні випадки, а про безліч взагалі.

Інші варіанти парадоксу

Парадокс Рассела немає специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості.
Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс у суто логічних термінах.

Про кожну властивість можна, ймовірно, питати, докладно воно до самого себе чи ні.
Властивість бути гарячою, наприклад, непридатна до самого себе, оскільки сама не є гарячою; властивість бути конкретним теж належить до себе, бо це абстрактне свойство. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, прикладається до самого себе. Назвемо ці непридатні до себе властивості непридатними. Чи застосовна властивість бути непридатною до самого себе? Виявляється, непридатність є непридатною лише в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звісно, ​​парадоксально.
Логічний, що стосується властивостей, різновид антиномії Рассела, настільки ж парадоксальний, як і математичний, що відноситься до множин, її різновид.
Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого їм феномена.

Припустимо, що рада одного села так визначила обов'язки перукаря: голити всіх чоловіків села, які не голяться самі, і тільки цих чоловіків. Чи повинен він голити себе? Якщо так, то він ставитиметься до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо ні, він належатиме до тих, хто не голиться сам, і, отже, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому і тільки тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо. Міркування про перукаря спирається на припущення, що такий перукар існує. Отримана суперечність означає, що це припущення хибне, і немає такого мешканця села, який голив би всіх тих і лише тих його мешканців, які не голяться самі.
Обов'язки перукаря не здаються здавалося б суперечливими, тому висновок, що його може бути, звучить трохи несподівано. Але цей висновок не є парадоксальним. Умова, якій має задовольняти сільський цирульник, насправді внутрішньо суперечлива і, отже, нездійсненна. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ньому немає людини, яка була б старша за себе або яка народилася б до свого народження.
Міркування про перукаря може бути назване псевдопарадоксом. По своєму ходу воно суворо аналогічне до парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно таки не є справжнім парадоксом.

Інший приклад такого ж псевдопарадоксу є відомим міркуванням про каталог.
Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, до якого входили всі ті й лише ті бібліографічні каталоги, які містять посилання самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?
Неважко показати, що ідея створення такого каталогу неможлива; він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати.
Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний процес, що ніколи не завершується. Припустимо, що у якийсь момент було складено каталог, скажімо К1, що включає, всі відмінні від нього каталоги, які містять посилання він. Зі створенням К1 з'явився ще один каталог, що не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, очевидно, що К1 не є її рішенням. Він не згадує один із таких каталогів — самого себе. Включивши в К1 це згадка про нього самому, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 таку згадку, отримаємо КЗ, який знову ж таки не сповнений через те, що не згадує самого себе. І далі без кінця.

§ 3. Парадокси Греллінга та Беррі

Цікавий логічний парадокс було відкрито німецькими логіками К. Греллінгом та Л. Нельсоном (парадокс Греллінга). Цей феномен можна сформулювати дуже просто.

Аутологічні та гетерологічні слова

Деякі слова, що позначають властивості, мають ту саму властивість, яку вони називають. Наприклад, прикметник "російське" саме є російським, "багатоскладне" - саме багатоскладне, а "п'ятискладове" саме має п'ять складів. Такі слова, які стосуються себе, називаються самозначними, чи аутологічними.
Подібних слів не так багато, в переважній більшості прикметники не мають властивостей, які вони називають. "Нове" не є, звичайно, новим, "гаряче" - гарячим, "однослогове" - що складається з одного складу, а "англійське" - англійським. Слова, які мають властивості, позначаного ними, називаються інозначними, чи гетерологтеськими. Очевидно, що всі прикметники, що позначають властивості, які не додаються до слів, будуть гетерологічними.
Цей поділ прикметників на дві групи здається ясним і не викликає заперечень. Воно може бути поширене і на іменники: "слово" є словом, "іменник" - іменником, але "годинник" - це не годинник і "дієслово" - не дієслово.
Парадокс виникає, щойно запитує: до якої з двох груп належить саме прикметник “гетерологічне”? Якщо воно аутологічне, воно має властивість, що позначається, і повинно бути гетерологічним. Якщо ж воно гетерологічне, воно не має званої ним властивості і має бути аутологічним. В наявності парадокс.

За аналогією з цим парадоксом легко сформулювати інші парадокси такої самої структури. Наприклад, чи є самогубцем той, хто вбиває кожного несамовбивцю і не вбиває жодного самогубця?

Виявилося, що феномен Грелліга був відомий ще в середні віки як антиномія висловлювання, що не називає самого себе. Можна уявити ставлення до софізмам і парадоксам в новий час, якщо проблема, що вимагала відповіді і викликала жваві суперечки, виявилася раптом забутою і була перевідкрита тільки через п'ятсот років!

Ще одна, зовні проста антиномія була вказана на самому початку ХХ століття Д. Беррі.

Безліч натуральних чисел нескінченна. Безліч тих імен цих чисел, які є, наприклад, у російській мові і містять менше, ніж, припустимо, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких у російській мові немає імен, що складаються менш ніж зі ста слів. Серед цих чисел є, мабуть, найменше число. Його не можна назвати за допомогою російського виразу, що містить менше ста слів. Але вираз: "Найменше натуральне число, для якого не існує в російській його складне ім'я, що складається менш ніж зі ста слів" є саме ім'ям цього числа! Це ім'я щойно сформульовано російською мовою і містить лише дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося число, для якого немає імені!

§ 4. Нерозв'язна суперечка

У знаменитого софіста Протагора, котрий жив у V в. до нашої ери був учень на ім'я Еватл, який навчався праву. За укладеним між ними договором Еватл повинен був заплатити за навчання лише у тому випадку, якщо виграє свій перший судовий процес. Якщо він цей процес програє, то взагалі зобов'язаний платити. Однак, закінчивши навчання, Еватл не став брати участь у процесах. Це тривало досить довго, терпіння вчителя зникло, і він подав на свого учня до суду. Таким чином, для Еватла це був перший процес. Свою вимогу Протагор обґрунтував так:

— Яким би не було рішення суду, Еватл має заплатити мені. Він або виграє цей перший процес, або програє. Якщо виграє, то заплатить через наш договір. Якщо програє, то заплатить згідно з цим рішенням.

Зважаючи на все, Еватл був здібним учнем, оскільки він відповів Протагору:

— Справді, я або переможу процес, або програю його. Якщо виграю, рішення суду звільнить мене від обов'язку платити. Якщо рішення суду буде не на мою користь, то я програв свій перший процес і не заплачу через наш договір.

Рішення парадоксу "Протагор та Еватл"

Здивований таким оборотом справи, Протагор присвятив цій суперечці з Еватлом особливий твір "Тяжба про плату". На жаль, воно, як і більшість написаного Протагором, не дійшло до нас. Проте треба віддати належне Протагору, який відразу відчув за простим судовим казусом проблему, яка заслуговує на спеціальне дослідження.

Г. Лейбніц, сам юрист за освітою, також поставився до цієї суперечки всерйоз. У своїй докторській дисертації “Дослідження про заплутані казуси в праві” він намагався довести, що всі випадки, навіть найзаплутаніші, подібно до позову Протагора та Еватла, повинні знаходити правильний дозвіл на основі здорового глузду. На думку Лейбніца, суд має відмовити Протагору за несвоєчасністю пред'явлення позову, але залишити, проте, його право вимагати сплати грошей Еватлом пізніше, саме після першого виграного ним процесу.

Було запропоновано багато інших рішень цього феномена.

Посилалися, зокрема, на те, що рішення суду має мати більшу силу, ніж приватна домовленість двох осіб. На це можна відповісти, що якби не було цієї домовленості, якою б незначною вона не здавалася, не було б ні суду, ні його рішення. Адже суд має винести своє рішення саме з її приводу та на її основі.

Зверталися також до загального принципу, що всяка праця, а отже, і праця Протагора, має бути сплачена. Але відомо, що цей принцип завжди мав винятки, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто неприкладний до конкретної ситуації суперечки: адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату у разі невдачі свого учня у першому процесі.

Іноді міркують так. І Протагор і Еватл — обидва мають рацію частково, і жоден із них загалом. Кожен із них враховує лише половину можливостей, вигідну для себе. Повний або всебічний розгляд відкриває чотири можливості, з яких лише половина вигідна для одного з тих, хто сперечається. Яка із цих можливостей реалізується, це вирішить не логіка, а життя. Якщо вирок суддів матиме більшу силу, аніж договір, Еватл повинен буде платити, лише якщо програє процес, тобто. з рішення суду. Якщо ж приватна домовленість буде ставиться вищою, ніж рішення суддів, то Протагор отримає плату лише у разі програшу процесу Еватлу, тобто. в силу договору з Протагором. Ця апеляція до життя остаточно все заплутує. Чим, якщо не логікою, можуть керуватися судді в умовах, коли всі обставини, що стосуються справи, абсолютно зрозумілі? І що це буде за керівництво, якщо Протагор, який претендує на оплату через суд, доб'ється її лише програвши процес?

Втім, і рішення Лейбніца, яке здається спочатку переконливим, трохи краще, ніж неясне протиставлення логіки та життя. По суті, Лейбніц пропонує заднім числом замінити формулювання договору і зазначити, що першим за участю Еватла судовим процесом, результат якого вирішить питання про оплату, не має бути судом за позовом Протагора. Думка ця глибока, але така, що не має відношення до конкретного суду. Якби у вихідній домовленості було таке застереження, потреби в судовому розгляді взагалі не виникло б.

Якщо під рішенням цієї скрути розуміти відповідь на питання, повинен Еватл сплатити Протагору чи ні, то всі ці, як і всі інші мислимі рішення, є, звичайно, неспроможними. Вони є не більше ніж уникнення істоти суперечки, є, так би мовити, софістичними хитрощами і хитрощами в безвихідній і нерозв'язній ситуації. Бо ні здоровий глузд, ні якісь загальні принципи, що стосуються соціальних відносин, не здатні вирішити суперечку.
Неможливо виконати разом договір у його первісній формі та рішення суду, яким би останнє не було. Для підтвердження цього досить простих засобів логіки. За допомогою цих коштів можна також показати, що договір, незважаючи на його цілком безневинний зовнішній вигляд, внутрішньо суперечливий. Він вимагає реалізації логічно неможливого становища: Еватл має одночасно і сплатити за навчання, і водночас не платити.

Правила, що заводять у глухий кут

Людському розуму, що звикли не тільки до своєї сили, а й до своєї гнучкості і навіть спритності, важко, звичайно, змиритися з цією абсолютною безвихіддю і визнати себе загнаним у глухий кут. Це особливо важко тоді, коли тупикова ситуація створюється самим розумом: він, так би мовити, лишається на рівному місці і догоджає у власні мережі. І тим не менше доводиться визнати, що іноді, і втім, не так уже й рідко, угоди та системи правил, що склалися стихійно або введені свідомо, призводять до нерозв'язних, безвихідних положень.

Приклад із недавнього шахового життя ще раз підтвердить цю думку.

Міжнародні правила проведення шахових змагань зобов'язують шахістів записувати партію хід за ходом ясно та розбірливо. До недавнього часу в правилах було зазначено також, що шахіст, який пропустив через брак часу запис кількох ходів, повинен, "як тільки його цейтнот закінчиться, негайно заповнити свій бланк, записавши пропущені ходи". На основі цієї вказівки один суддя на шахової олімпіаді 1980 р. (Мальта) перервав партію, що проходила в жорсткому цейтноті, і зупинив годинник, заявивши, що контрольні ходи зроблені і, отже, настав час упорядкувати запис партій.

— Але дозвольте, — вигукнув учасник, який перебував на межі програшу і розраховував лише на розпал пристрастей наприкінці партії, — адже жоден прапорець ще не впав і ніхто ніколи (так теж записано в правилах) не може підказувати, скільки зроблено ходів.
Суддю підтримав, однак, головний арбітр, який заявив, що, справді, оскільки цейтнот закінчився, треба, слідуючи букві правил, приступити до запису пропущених ходів.
Сперечатись у цій ситуації було безглуздо: самі правила завели в глухий кут. Залишалося лише змінити їхнє формулювання таким чином, щоб подібні випадки не могли виникнути в майбутньому.
Це і було зроблено на конгресі Міжнародної шахової федерації, що проходив у той же час: замість слів "як тільки цейтнот закінчиться" в правилах тепер записано: "як тільки прапорець вкаже на закінчення часу".
Цей приклад наочно показує, як слід чинити в безвихідних ситуаціях. Сперечатись про те, яка сторона має рацію, марно: суперечка нерозв'язна, і переможця в ній не буде. Залишається тільки змиритися з сьогоденням та подбати про майбутнє. Для цього потрібно так переформулювати вихідні угоди чи правила, щоб вони не заводили більше нікого в таку саму безвихідь.
Зрозуміло, подібний спосіб дій - ніяке не вирішення нерозв'язної суперечки та не вихід із безвихідного становища. Це швидше зупинка перед непереборною перешкодою і дорога в обхід його.

Парадокс “Крокодил та мати”

У Стародавній Греції користувався великою популярністю розповідь про крокодила і матері, що збігається за своїм логічним змістом з парадоксом Протагор і Еватл.
Крокодил вихопив у єгиптянки, що стояла на березі річки, її дитину. На її благання повернути дитину крокодил, проливши, як завжди, крокодилову сльозу, відповів:

— Твоє нещастя зворушило мене, і я дам тобі шанс отримати назад дитину. Вгадай, віддам я його тобі чи ні. Якщо відповіси правильно, я поверну дитину. Якщо не вгадаєш, я його не віддам.

Подумавши, мати відповіла:

- Ти не віддаси мені дитину.

— Ти його не отримаєш, — сказав крокодил. - Ти сказала або правду, або неправду. Якщо те, що я не віддам дитину, — правда, я не віддам її, бо інакше сказане не буде правдою. Якщо сказане - неправда, значить, ти не вгадала, і я не віддам дитину за договором.

Однак матері ця міркування не видалася переконливою.

— Але якщо я сказала правду, то ти віддаси мені дитину, як ми й домовилися. Якщо ж я не вгадала, що ти не віддаси дитину, то ти повинен мені її віддати, інакше сказане мною не буде неправдою.

Хто правий: мати чи крокодил? До чого зобов'язує крокодила дану їм обіцянку? До того, щоб віддати дитину чи, навпаки, щоб не віддати її? І до того, і до іншого одночасно. Ця обіцянка є внутрішньо суперечливою, і, таким чином, вона не здійсненна в силу законів логіки.
Місіонер опинився в людожерів і потрапив саме до обіду. Вони дозволяють йому вибрати, як його з'їдять. Для цього він повинен вимовити якесь висловлювання з умовою, що, якщо цей вислів виявиться істинним, вони його зварять, а якщо воно виявиться хибним, його засмажать.

Що слід сказати місіонерові?

Зрозуміло, він повинен сказати: "Ви засмажити мене".

Якщо його справді засмажать, виявиться, що він висловив істину, тож його треба зварити. Якщо ж його зварять, його вислів буде хибним, і його слід засмажити. Виходу у людожерів не буде: із “засмажити” випливає “зварити”, і навпаки.

Цей епізод із хитрим місіонером є, звичайно, ще одним із перефразувань суперечки Протагора та Еватла.

Парадокс Санчо Панси

Один старий, відомий ще у Стародавній Греції парадокс обігрується в "Дон Кіхоті" М. Сервантеса. Санчо Панса став губернатором острова Бараторія і вершить суд.
Першим до нього є якийсь приїжджий і каже: — Сеньйоре, якийсь маєток ділиться на дві половини багатоводної ріки... Так от, через цю річку перекинутий міст, і тут же з краю стоїть шибениця і знаходиться щось на зразок суду, в якому звичайно засідає четверо суддів, і судять вони на підставі закону, виданого власником річки, мосту і всього маєтку, який закон складений таким чином: “Кожен, хто проходить мостом через цю річку, повинен оголосити під присягою: куди і навіщо він іде, і хто скаже правду, тих пропускати, а хто бреше, тих без будь-якої поблажливості відправляти на шибеницю, що знаходиться тут же, і стратити”. З того часу, коли цей закон у всій своїй суворості був оприлюднений, багато хто встиг пройти через міст, і коли судді задовольнялися, що перехожі кажуть правду, то пропускали їх. Але одного разу якийсь чоловік, приведений до присяги, присягнув і сказав: він, мовляв, клянеться, що прийшов за тим, щоб його підняли ось на цю саму шибеницю, і ні за чим іншим. Клятва ця здивувала суддів, і вони сказали: “Якщо дозволити цій людині безперешкодно слідувати далі, то це означатиме, що вона порушила клятву і згідно із законом винен смерті; якщо ж ми його повісимо, то він клявся, що прийшов тільки за тим, щоб його підняли на цю шибеницю, отже, клятва його, виходить, не хибна, і на підставі того ж самого закону слід пропустити його”. І ось я вас питаю, сеньйоре губернаторе, що робити суддям з цією людиною, бо вони досі дивуються і вагаються...
Санчо запропонував, мабуть, не без хитрощів: ту половину людини, яка сказала правду, нехай пропустять, а ту, яка збрехала, нехай повісять, і таким чином правил переходу через міст буде дотримано за всією формою. Цей уривок цікавий у кількох відносинах.
Насамперед він є наочною ілюстрацією того, що з описаним у парадоксі безвихідним становищем цілком може зіткнутися — і не в чистій теорії, а на практиці — якщо не реальна людина, то хоча б літературний герой.

Вихід, запропонований Санчо Пансом, не був, звичайно, рішенням парадоксу. Але це було саме те рішення, до якого тільки й залишалося вдатися до його становища.
Колись Олександр Македонський замість того, щоб розв'язувати хитрий гордієв вузол, чого ще нікому не вдалося зробити, просто розрубав його. Так само вчинив і Санчо. Намагатися вирішити головоломку на її власних умовах було марно — вона просто нерозв'язна. Залишалося відкинути ці умови та запровадити своє.
І ще один момент. Сервантес цим епізодом явно засуджує непомірно формальний, пронизаний духом схоластичної логіки масштаб середньовічної справедливості. Але якими поширеними в його час — а це було близько чотирьохсот років тому — були відомості в галузі логіки! Не лише самому Сервантесу відомий цей феномен. Письменник знаходить можливим приписати своєму герою, безграмотному селянинові, здатність зрозуміти, що перед ним нерозв'язне завдання!

§ 5. Інші парадокси

Наведені парадокси – це міркування, результат яких – протиріччя. Але в логіці є інші типи парадоксів. Вони також вказують на якісь труднощі та проблеми, але роблять це у менш різкій та безкомпромісній формі. Такі, зокрема, парадокси, що розглядаються далі.

Парадокси неточних понять

Більшість понять як природного мови, а й мови науки є неточними, чи, як їх ще називають, розмитими. Нерідко це виявляється причиною нерозуміння, суперечок, а то й просто веде до тупикових ситуацій.
Якщо поняття неточне, межа області об'єктів, до яких вона прикладна, позбавлена ​​різкості, розмита. Візьмемо, наприклад, поняття “купа”. Одне зерно (пісчинка, камінь тощо) — це ще купа. Тисяча зерен — це вже, мабуть, купа. А три зерна? А десять? З додаванням якого за рахунком зерна утворюється купа? Не дуже зрозуміло. Так само, як не ясно, з вилученням якого зерна купа зникає.
Неточними є емпіричні характеристики "великий", "важкий", "вузький" і т.д. Неточні такі типові поняття, як “мудрець”, “кінь”, “будинок” тощо.
Немає піщинки, прибравши яку ми могли б сказати, що з її усуненням, що залишилося, вже не можна назвати будинком. Але це означає начебто, що в жодний момент поступового розбирання будинок — аж до повного його зникнення — немає підстав заявляти, що вдома немає! Висновок явно парадоксальний і бентежний.
Неважко помітити, що міркування про неможливість утворення купи проводиться за допомогою добре відомого методу математичної індукції. Одне зерно не утворює купи. Якщо п зерен не утворюють купи, то n+1 зерно не утворюють купи. Отже, жодна кількість зерен неспроможна утворити купи.
Можливість цього і подібних доказів, що призводять до безглуздих висновків, означає, що принцип математичної індукції має обмежену область додатку. Він повинен застосовуватися в міркуваннях з неточними, розпливчастими поняттями.

Хорошим прикладом те, що ці поняття здатні призводити до нерозв'язних суперечок, може бути цікавий судовий процес, що відбувся 1927 р. у США. Скульптор К. Бранкузі звернувся до суду із вимогою визнати свої роботи витворами мистецтва. Серед робіт, що відправляються до Нью-Йорка на виставку, була й скульптура “Птах”, яка зараз вважається класикою абстрактного стилю. Вона являє собою модульовану колону з полірованої бронзи близько півтора метра висоти, що не має жодної зовнішньої схожості з птицею. Митники категорично відмовилися визнати абстрактні твори Бранкузі художніми творами. Вони провели їх за графою “Металеве лікарняне начиння та предмети домашнього вжитку” і наклали на них велике мито. Обурений Бранкузі подав до суду.

Митницю підтримали художники — члени Національної академії, які відстоювали традиційні прийоми мистецтва. Вони виступали на процесі свідками захисту та категорично наполягали на тому, що спроба видати “Птаху” за витвір мистецтва – просто шахрайство.
Цей конфлікт рельєфно підкреслює труднощі оперування поняттям “твір мистецтва”. Скульптура за традицією вважається видом образотворчого мистецтва. Але ступінь подібності скульптурного зображення оригіналу може змінюватись у дуже широких межах. І в який момент скульптурне зображення, що все більше віддаляється від оригіналу, перестає бути витвором мистецтва і стає "металевим начинням"? На це питання так само важко відповісти, як на питання про те, де проходить кордон між будинком та його руїнами, між конем з хвостом та конем без хвоста тощо. До речі, модерністи взагалі переконані, що скульптура - це об'єкт виразної форми і вона не повинна бути зображенням.

Поводження з неточними поняттями вимагає, таким чином, відомої обережності. Чи не краще тоді взагалі відмовитись від них?

Німецький філософ Е.Гуссерль був схильний вимагати від знання такої крайньої суворості та точності, яка не зустрічається навіть у математиці. Біографи Гуссерля з іронією згадують у зв'язку з цим випадок, який стався з ним у дитинстві. Йому був подарований складаний ножик, і, вирішивши зробити лезо гранично гострим, він точив його доти, доки від леза нічого не залишилося.
Точніші поняття у багатьох ситуаціях переважно неточніших. Цілком виправдано звичайне прагнення до уточнення понять, що використовуються. Але воно має, звісно, ​​мати свої межі. Навіть у мові науки значна частина понять неточна. І це пов'язано не з суб'єктивними та випадковими помилками окремих учених, а з самою природою наукового пізнання. У природній мові неточних понять переважна більшість; це говорить, крім усього іншого, про його гнучкість і приховану силу. Той, хто вимагає всіх понять граничної точності, ризикує взагалі залишитися без мови. “Позбавте слова будь-якої двозначності, всякої невизначеності, — писав французький естетик Ж. Жубер, — перетворите їх... на однозначні цифри — з промови піде гра, а разом із нею — красномовство та поезія: все, що є рухливим і мінливим у прихильностях. душі, не зможе знайти свого виразу. Але що я говорю: позбавте... Скажу більше. Позбавте слова будь-якої неточності — і ви втратите навіть аксіом”.
Довгий час і логіки, і математики не звертали уваги на труднощі, пов'язані з розмитими поняттями та відповідними множинами. Питання ставилося так: поняття мають бути точними, а все розпливчасте недостойно серйозного інтересу. Останні десятиліття ця надмірно строга установка втратила, проте, привабливість. Побудовано логічні теорії, які спеціально враховують своєрідність міркувань з неточними поняттями.
Активно розвивається математична теорія про розмитих множин, нечітко окреслених сукупностей об'єктів.
Аналіз проблем неточності — крок на шляху зближення логіки з практикою звичайного мислення. І можна припускати, що він принесе ще багато цікавих результатів.

Парадокси індуктивної логіки

Немає, мабуть, такого розділу логіки, в якому не було б своїх парадоксів.
В індуктивній логіці є свої парадокси, з якими активно, але поки що без особливого успіху борються вже майже півстоліття. Особливо цікавим є парадокс підтвердження, відкритий американським філософом К.Гемпелем. Природно вважати, загальні положення, зокрема наукові закони, підтверджуються своїми позитивними прикладами. Якщо розглядається, скажімо, висловлювання “Всі А є”, то позитивними його прикладами будуть об'єкти, що володіють властивостями А і В. Зокрема, що підтверджують приклади для висловлювання “Всі ворони чорні” – це об'єкти, що є і воронами, і чорними. Цей вислів рівносильний, проте, висловлюванню “Всі предмети, які є чорними, не ворони”, і підтвердження останнього має бути також підтвердженням першого. Але "Все не чорне не ворона" підтверджується кожним випадком не чорного предмета, що не є вороною. Виходить, в такий спосіб, що спостереження “Корова біла”, “Ботинки коричневі” тощо. підтверджують висловлювання "Всі ворони чорні".

З невинних, начебто, посилок випливає несподіваний парадоксальний результат.

У логіці норм занепокоєння викликає низку її законів. Коли вони формулюються у змістовних термінах, невідповідність їх звичайним уявленням про належне та заборонене стає очевидним. Наприклад, один із законів каже, що з розпорядження “Надіслати листа!” випливає розпорядження “Надіслати листа або спалить його!”.
Інший закон стверджує, що, якщо людина порушила один із своїх обов'язків, вона отримує право робити все, що завгодно. З такого роду “законами повинності” наша логічна інтуїція не хоче миритися.
У логіці знання посилено обговорюється феномен логічного всезнавства. Він стверджує, що людина знає всі логічні наслідки, що випливають із прийнятих нею положень. Наприклад, якщо людині відомі п'ять постулатів геометрії Евкліда, то, значить, вона знає і всю цю геометрію, оскільки вона випливає з них. Але це не так. Людина може погоджуватися з постулатами і водночас не вміти довести теорему Піфагора і тому сумніватися, що вона вірна.

§ 6. Що таке логічний парадокс

Жодного вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.
Розглянуті парадокси - це лише частина з усіх виявлених на цей час. Цілком імовірно, що в майбутньому відкриють і багато інших парадокси, і навіть нові їх типи. Саме поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб удалося скласти список хоча б вже відомих парадоксів.
"Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, проте, а скоріше для логіки та теорії пізнання", - пише австрійський математик і логік К.Гедель. “Логіка несуперечлива. Немає жодних логічних парадоксів”, — стверджує математик Д.Бочвар. Такі розбіжності іноді істотні, іноді словесні. Справа багато в чому полягає в тому, що саме розуміється під логічним парадоксом.

Своєрідність логічних парадоксів

Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник.
Парадокси, що належать до логічних, мають бути сформульовані в логічних термінах. Однак у логіці немає чітких критеріїв поділу термінів на логічні та нелогічні. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, яких залежить правильність практично застосовуваних висновків, до мінімуму. Але цей мінімум не визначено однозначно. З іншого боку, у логічних термінах можна сформулювати і нелогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс лише суто логічні посилки, які завжди вдається визначити однозначно.
Логічні парадокси не відокремлюються жорстко від інших парадоксів, подібно до того як останні не відмежовуються ясно від усього непарадоксального і узгоджується з панівними уявленнями. Спочатку вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити з порушення деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б.Рассел принцип порочного кола. Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів неспроможна містити членів, визначальних лише з цієї ж сукупності.
Всі парадокси мають одну загальну властивість - самозастосовність, або циркулярність. У кожному їх об'єкт, про яку йдеться, характеризується у вигляді деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, саму хитру людину, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої належить і ця людина. І якщо ми говоримо: “Це висловлювання хибне”, ми характеризуємо висловлювання, що цікавить нас шляхом посилання на включаючу його сукупність всіх хибних висловлювань.

У всіх феноменах має місце самозастосовність понять, отже, є хіба що рух по колу, що призводить зрештою до вихідному пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує об'єкта, що розглядається, і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, й криється джерело парадоксів.
Ситуація ускладнюється, однак, тим, що таке коло є в багатьох абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярним є безліч найпростіших, нешкідливих і водночас зручних способів вираження. Такі приклади, як "найбільше з усіх міст", "найменше з усіх натуральних чисел", "один з електронів атома заліза" і т.п., показують, що далеко не всякий випадок самозастосовності веде до суперечності і що вона важлива не тільки у звичайній мові, а й у мові науки.
Просте посилання використання самозастосовуваних понять недостатня, в такий спосіб, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, що відокремлює самозастосовність, що веде до парадоксу, від інших її випадків.
Було багато пропозицій щодо цього, але вдалого уточнення циркулярності так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність таким чином, щоб кожна циркулярна міркування вела до парадоксу, а кожен парадокс був результатом деякого циркулярного міркування.
Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмінністю всіх логічних парадоксів, ні до чого певного не привела.
Безперечно, корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, що групує одні парадокси і протиставляє їх іншим. Однак і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.

Англійський логік Ф.Рамсей, який помер у 1930 р., коли йому ще не виповнилося і двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичні та семантичні. До перших відноситься, наприклад, парадокс Рассела, до других - парадокси "Бреху", Грелінгу та ін.
На думку Рамсея, парадокси першої групи містять лише поняття, що належать логіці чи математиці. Другі включають такі поняття, як "істина", "визначність", "йменування", "мова", що не є строго математичними, а відносяться швидше до лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якоїсь помилки в логіці, а невиразності чи двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і мають вирішуватися лінгвістикою.

Рамсею здавалося, що математикам та логікам нема чого цікавитися семантичними парадоксами. Надалі виявилося, однак, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки були отримані саме у зв'язку з глибшим вивченням цих нелогічних парадоксів.
Запропонований Рамсеєм розподіл парадоксів широко використовувалося спочатку і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все ясніше, що цей поділ досить розпливчасто і спирається переважно на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття справді стосуються логіки. З розвитком семантики, що визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведена Рамсеєм, дедалі більше стирається.

Парадокси та сучасна логіка

Які висновки для логіки випливають із існування парадоксів?
Насамперед наявність великої кількості парадоксів говорить про силу логіки як науки, а не про її слабкість, як це може здатися.

Виявлення парадоксів не випадково збіглося з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки та найбільших її успіхів.
Перші парадокси відкрили ще до виникнення логіки як особливої ​​науки. Багато парадокси були виявлені в середні віки. Пізніше вони виявилися, однак, забутими і знову відкриті вже у нашому столітті.
Середньовічні логіки були відомі поняття “множина” і “елемент множини”, введені в науку тільки з другої половини XIX ст. Але чуття на парадокси було відточено в середні віки настільки, що вже в той час висловлювалися певні побоювання з приводу самозастосовних понять. Найпростішим прикладом є поняття “бути власним елементом”, що фігурує у багатьох нинішніх парадоксах.
Однак такі побоювання, як і взагалі всі застереження щодо парадоксів, не були до нашого століття належним чином систематичними та певними. Вони не вели до будь-яких чітких пропозицій про перегляд звичних способів мислення та вираження.
Тільки сучасна логіка витягла із забуття саму проблему парадоксів, відкрила чи перевідкрила більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що методи мислення, зазвичай досліджувані логікою, зовсім недостатні усунення феноменів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.
Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підбивають нас деякі звичайні методи освіти понять та методи міркувань? Адже вони здавались цілком природними та переконливими, доки не виявилося, що вони парадоксальні.

Парадоксами підривається віра у те, що звичні прийоми теоретичного мислення власними силами і без будь-якого особливого контролю над ними забезпечують надійне просування до істини.
Вимагаючи радикальних змін у надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різкою критикою логіки в її наївній, інтуїтивній формі. Вони відіграють роль фактора, що контролює та ставить обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їхню роль можна порівняти з роллю експерименту, що перевіряє правильність гіпотез у таких науках, як фізика та хімія, і змушує вносити до цих гіпотез змін.
Парадокс теоретично свідчить про несумісності припущень, які у її основі. Він постає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б переглянути.
Зрозуміло, хвороба проявляється різноманітно, і її врешті-решт вдається розкрити без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані та уточнені, якби навіть жодні парадокси у цій галузі не були виявлені. Але не було б тієї різкості та невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.

Парадоксам присвячена велика література, запропоновано велику кількість їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і будь-якої повної згоди в питанні про походження парадоксів і способи звільнення від них немає.
"За останні шістдесят років сотні книг і статей були присвячені меті вирішення парадоксів, проте результати напрочуд бідні в порівнянні з витраченими зусиллями", - пише А.Френкель. "Схоже на те, - робить висновок свій парадоксів Х. Каррі, - що потрібна повна реформа логіки, і математична логіка може стати головним інструментом для проведення цієї реформи".

Відомо, що сформулювати проблему часто важливіше та важче, ніж вирішити її. «У науці, – писав англійський хімік Ф. Содді, – завдання, належним чином поставлене, більш ніж наполовину вирішене. Процес розумової підготовки, необхідний з'ясування те, що є певне завдання, часто забирає більше часу, ніж саме розв'язання задачи».

Форми, у яких проявляється та усвідомлюється проблемна ситуація, дуже різноманітні. Далеко не завжди вона виявляє себе у вигляді прямого питання, що постало на самому початку дослідження. Світ проблем так само складний, як і процес пізнання, що породжує їх. Виявлення проблем пов'язане з суттю творчого, мислення. Парадокси є найбільш цікавим випадком неявних, беззаперечних способів постановки проблем. Парадокси звичайні на ранніх стадіях розвитку наукових теорій, коли робляться перші кроки ще невивченої області і намацуються найзагальніші принципи підходу до неї.

У широкому розумінні парадокс – це становище, що різко розходиться із загальноприйнятими, усталеними, ортодоксальними думками. «Загальновизнані думки і те, що вважають справою давно вирішеною, найчастіше заслуговують на дослідження» (Г.Ліхтенберг). Парадокс – початок такого дослідження.

Парадокс у більш вузькому і спеціальному значенні – це два протилежні, несумісні твердження, для кожного з яких є аргументи, які здаються переконливими.

Найбільш різка форма парадоксу – антиномія, міркування, що доводить еквівалентність двох тверджень, одне з яких є запереченням іншого.

Особливою популярністю користуються парадокси у найсуворіших і найточніших науках – математики та логіки. І це невипадково.

Логіка – абстрактна наука. У ній немає експериментів, немає навіть фактів у звичному значенні цього слова. Будуючи свої системи, логіка виходить зрештою з аналізу реального мислення. Але результати цього аналізу носять синтетичний, нерозчленований характер. Вони не є констатаціями будь-яких окремих процесів чи подій, які мала б пояснити теорія. Такий аналіз не можна, очевидно, назвати спостереженням: завжди спостерігається конкретне явище.

Конструюючи нову теорію, вчений зазвичай вирушає від фактів, від цього можна спостерігати досвіді. Як би не була вільна його творча фантазія, вона повинна зважати на одну неодмінну обставину: теорія має сенс тільки в тому випадку, коли вона узгоджується з фактами, що належать до неї. Теорія, що розходиться з фактами та спостереженнями, є надуманою та цінності не має.

Але якщо в логіці немає експериментів, немає фактів і немає спостереження, то чим стримується логічна фантазія? Які якщо не факти, то фактори беруться до уваги під час створення нових логічних теорій?

Розбіжність логічної теорії з практикою дійсного мислення нерідко виявляється у формі більш менш гострого логічного парадоксу, а іноді навіть у формі логічної антиномії, що говорить про внутрішню суперечливість теорії. Цим якраз пояснюється те значення, яке надається парадоксам у логіці, та та велика увага, якою вони в ній користуються.

Найбільш відомим і, мабуть, найцікавішим із усіх логічних парадоксів є парадокс «Брехень». Він головним чином і прославив ім'я Євбуліда, що відкрив його з Мілета.

Є варіанти цього феномена, чи антиномії, багато з яких є лише очевидно парадоксальними.

У найпростішому варіанті «Бреху» людина вимовляє лише одну фразу: «Я брешу». Або каже: «Висловлення, яке я зараз вимовляю, є хибним». Або: «Це висловлювання хибне».

Якщо висловлювання хибне, то промовець сказав правду, отже, сказане їм є брехнею. Якщо ж висловлювання не є хибним, а той, хто говорить, стверджує, що воно хибне, то це його висловлювання хибне. Виявляється, таким чином, що, коли той, хто говорить, бреше, він говорить правду, і навпаки.

У середні віки поширеним було таке формулювання:

– Сказане Платоном – хибно, – каже Сократ.

– Те, що сказав Сократ, – істина, – каже Платон.

Постає питання, хто з них висловлює істину, а хто брехня?

А ось сучасне перефразування цього парадоксу. Припустимо, що на лицьовій стороні картки написано лише слова: «На іншому боці цієї картки написано справжнє висловлювання». Зрозуміло, що це слова є осмислене твердження. Перевернувши картку, ми повинні виявити обіцяне висловлювання, або його немає. Якщо воно написано на звороті, воно є або істинним, або ні. Однак на звороті стоять слова: "На іншому боці цієї картки написано хибне висловлювання" - і нічого більше. Припустимо, що твердження на лицьовій стороні є істинним. Тоді твердження на обороті має бути істинним і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути хибним. Але якщо твердження на лицьовій стороні хибне, тоді твердження на обороті також має бути хибним, і, отже, твердження на лицьовій стороні має бути дійсним. У результаті – феномен.

Парадокс «брехун» справив величезне враження на греків. І легко зрозуміти чому. Питання, яке в ньому ставиться, з першого погляду здається зовсім простим: чи бреше той, хто говорить тільки те, що він бреше? Але відповідь так призводить до відповіді ні, і навпаки. І роздум анітрохи не прояснює ситуацію. За простотою і навіть буденністю питання воно відкриває якусь неясну та незмірну глибину.

Ходить навіть легенда, що якийсь Філіт Косський, зневірившись дозволити цей парадокс, наклав на себе руки. Кажуть також, що один із відомих давньогрецьких логіків, Діодор Кронос, уже на схилі років дав обітницю не приймати їжу доти, доки не знайде рішення «брехуна», і незабаром помер, так нічого і не домігшись.

У середні віки цей феномен був віднесений до так званих нерозв'язних речень і став об'єктом систематичного аналізу.

У новий час «брехун» довго не привертав жодної уваги. У ньому не бачили жодних, навіть незначних труднощів, що стосуються вживання мови. І лише в наш, так званий новітній час розвиток логіки досяг нарешті рівня, коли проблеми, які стоять, як видається, за цим парадоксом, стало можливим формулювати вже в строгих термінах.

Тепер «брехун» – цей типовий колишній софізм – нерідко називається королем логічних парадоксів. Йому присвячена велика наукова література. Проте, як і у випадку багатьох інших парадоксів, залишається не зовсім зрозумілим, які саме проблеми ховаються за ним і як слід позбавлятися його.

Зараз «брехун» зазвичай вважається характерним прикладом тих труднощів, до яких веде змішання двох мов: мови, якою йдеться про лежачу поза його дійсності, і мови, якою говорять про саму першу мову.

У повсякденній мові немає різниці між цими рівнями: і про дійсності, і про мову ми говоримо однією і тією ж мовою. Наприклад, людина, рідною мовою якої є російська мова, не бачить жодної особливої ​​різниці між твердженнями: «Скло прозоре» та «Вірно, що скло прозоре», хоча одне з них говорить про скло, а інше – про висловлювання щодо скла.

Якби в когось виникла думка про необхідність говорити про світ однією мовою, а про властивості цієї мови – іншою, вона могла б скористатися двома різними існуючими мовами, допустимо російською та англійською. Замість того, щоб просто сказати: "Корова - це іменник", сказав би "Корова is a noun", а замість: "Твердження "Скло не прозоро" хибно" вимовив би "The assertion "Скло не прозоре" is false". При такому використанні двох різних мов сказане про світ ясно відрізнялося б від сказаного про мову, за допомогою якої говорять про світ. Справді, перші висловлювання ставилися б до російської, тоді як другі – до англійської.

Якби далі нашому знавцю мов захотілося висловитись з приводу якихось обставин, що стосуються вже англійської мови, він міг би скористатися ще однією мовою. Допустимо німецькою. Для розмови про це останнє можна було б вдатися, наприклад, до іспанської мови і т.д.

Виходить, таким чином, своєрідна драбинка, або ієрархія, мов, кожен з яких використовується для цілком певної мети: на першому говорять про предметний світ, на другому - про цю першу мову, на третій - про другу мову і т.д. Таке розмежування мов у сфері їх застосування – рідкісне явище у житті. Але в науках, що спеціально займаються, подібно до логіки, мовами, воно іноді виявляється дуже корисним. Мова, якою міркують про світ, зазвичай називають предметною мовою. Мова, що використовується для опису предметної мови, називають метамовою.

Зрозуміло, що, якщо мова та метамова розмежовуються вказаним чином, твердження «Я брешу» вже не може бути сформульовано. Воно говорить про помилковість того, що сказано російською мовою, і, отже, відноситься до метамови і має бути висловлене англійською мовою. Саме він має звучати так: «Everything I speak in Russian is false» («Все сказане мною російською хибно»); у цьому англійському твердженні нічого не йдеться про нього самого, і жодного феномена не виникає.

Розрізнення мови та метамови дозволяє усунути парадокс «Бреху». Тим самим з'являється можливість коректно, без суперечності визначити класичне поняття істини: істинним є висловлювання, що відповідає описуваній їм дійсності.

Поняття істини, як і всі інші семантичні поняття, має відносний характер: воно може бути віднесено до певної мови.

Як показав польський логік А.Тарський, класичне визначення істини має формулюватися в мові ширшій, ніж та мова, для якої вона призначена. Іншими словами, якщо ми хочемо вказати, що означає зворот «висловлювання, істинне в даній мові», потрібно, окрім виразів цієї мови, користуватися також виразами, яких у ньому немає.

Тарський запровадив поняття семантично замкнутої мови. Така мова включає, крім своїх висловів, їхні імена, а також, що важливо підкреслити, висловлювання про істинність пропозицій, що формулюються в ньому.

Межі між мовою та метамовою в семантично замкнутій мові не існує. Кошти його настільки багаті, що дозволяють як щось стверджувати про позамовної реальності, а й оцінювати істинність таких тверджень. Цих коштів достатньо, зокрема, для того, щоб відтворити в мові антиномію «брехун». Семантично замкнута мова виявляється таким чином внутрішньо суперечливою. Кожна природна мова є, очевидно, семантично замкненою.

Єдино прийнятний шлях усунення антиномії, отже, і внутрішньої суперечливості, згідно з Тарскому, – відмова від вживання семантично замкнутої мови. Цей шлях прийнятний, звичайно, тільки у разі штучних, формалізованих мов, що допускають ясний підрозділ на мову та метамову. У природних мовах з їх неясною структурою і можливістю говорити про все однією і тією ж мовою такий підхід не дуже реальний. Ставити питання про внутрішню несуперечність цих мов немає сенсу. Їхні багаті виразні можливості мають і свій зворотний бік – парадокси.

Отже, існують висловлювання, які говорять про свою власну істинність чи хибність. Ідея, що такі висловлювання є осмисленими, дуже стара. Її відстоював ще давньогрецький логік Хрісіпп.

У середні віки англійський філософ і логік У.Оккам заявляв, що твердження «Усяке висловлювання хибне» безглуздо, оскільки воно говорить серед іншого і про свою власну хибність. З цього твердження прямо випливає протиріччя. Якщо будь-яке висловлювання хибне, це стосується й самого даного твердження; але те, що воно хибне, означає, що не всяке висловлювання є хибним. Аналогічно і з твердженням «Всяке висловлювання істинно». Воно також має бути віднесене до безглуздих і також веде до суперечності: якщо кожне висловлювання істинне, то істинним є і заперечення самого цього висловлювання, тобто висловлювання, що не всяке висловлювання є істинним.

Чому, однак, висловлювання не може осмислено говорити про свою власну істинність чи хибність?

Вже сучасник Оккама, французький філософ XIV ст. Ж. Бурідан, не згоден з його рішенням. З погляду звичайних уявлень про безглуздість, висловлювання типу «Я брешу», «Всяке висловлювання істинно (хибно)» і т.п. цілком осмислені. Про що можна подумати, про те можна висловитись, – такий загальний принцип Бурідана. Людина може думати про істинність твердження, яке він вимовляє, отже, може і висловитися звідси. Не всі твердження, які говорять про себе, відносяться до безглуздих. Наприклад, твердження «Ця пропозиція написана російською» є істинною, а твердження «У цьому реченні десять слів» хибне. І обидва вони цілком свідомі. Якщо допускається, що твердження може говорити і про себе, то чому воно не здатне зі змістом говорити і про таку свою властивість, як істинність?

Сам Бурідан вважав вислів «Я брешу» не безглуздим, а хибним. Він доводив це так. Коли людина стверджує якусь пропозицію, вона стверджує тим самим, що вона є істинною. Якщо ж пропозиція говорить про себе, що вона сама є хибною, то вона є лише скороченим формулюванням більш складного виразу, що стверджує одночасно і свою істинність, і свою хибність. Це вираз суперечливий і, отже, хибний. Але воно аж ніяк не безглуздо.

Аргументація Бурідану й досі іноді вважається переконливою.

Є й інші напрями критики того рішення феномена «Брехня», яке було в деталях розвинене Тарським. Чи справді в семантично замкнутих мовах - а такі всі природні мови - немає ніякого протиотрути проти парадоксів цього типу?

Якби це було так, то поняття істини можна було б визначити суворим чином лише у формалізованих мовах. Тільки в них вдається розмежувати предметну мову, якою міркують про навколишній світ, і метамова, якою говорять про цю мову. Ця ієрархія мов будується на зразок засвоєння іноземної мови за допомогою рідної. Вивчення такої ієрархії привело до багатьох цікавих висновків, і у певних випадках вона є суттєвою. Але її немає у природній мові. Чи дискредитує це його? І якщо так, то якою саме мірою? Адже в ньому поняття істини все-таки вживається, і зазвичай без жодних ускладнень. Чи є введення ієрархії єдиним способом виключення парадоксів, подібних до «Бреху?».

У 30-х роках відповіді ці запитання представлялися безсумнівно ствердними. Однак зараз колишньої одностайності вже немає, хоча традиція усувати парадокси цього типу шляхом «розшарування» мови залишається панівною.

Останнім часом все більше уваги привертають егоцентричні вирази. Вони зустрічаються слова, подібні «я», «це», «тут», «тепер», та його істинність залежить від цього, коли, ким, де вони вживаються.

У твердженні «Це висловлювання є хибним» зустрічається слово «це». До якого саме об'єкту воно належить? «Брехня» може говорити про те, що слово «це» не відноситься до сенсу даного твердження. Але тоді до чого воно стосується, що означає? І чому цей зміст не може бути таки позначений словом «це»?

Не вдаючись тут у деталі, варто зазначити лише, що в контексті аналізу егоцентричних виразів «Брех» наповнюється зовсім іншим змістом, ніж раніше. Виявляється, він уже не застерігає від змішування мови та метамови, а вказує на небезпеки, пов'язані з неправильним вживанням слова «це» та подібних до нього егоцентричних слів.

Проблеми, що пов'язували протягом століть з «Брехном», радикально змінювалися залежно від того, чи розглядався він як приклад двозначності, чи як вираз, що зовні представляється як зразок змішання мови та метамови, чи, нарешті, як типовий приклад невірного вживання егоцентричних виразів. І немає впевненості, що з цим парадоксом не виявляться пов'язаними в майбутньому й інші проблеми.

Відомий сучасний фінський логік і філософ Г. фон Врігт писав у своїй роботі, присвяченій «Бреху», що даний парадокс в жодному разі не повинен розумітися як локальна, ізольована перешкода, що усувається одним винахідливим рухом думки. «Брехень» торкається багатьох найважливіших тем логіки та семантики. Це і визначення істини, і тлумачення протиріччя і докази, і ціла серія важливих відмінностей: між пропозицією і думкою, що виражається ним, між вживанням виразу і його згадкою, між змістом імені і позначається їм об'єктом.

Аналогічно і з іншими логічними парадоксами. «Антиномії логіки, – пише фон Врігт, – спантеличили з моменту свого відкриття і, ймовірно, будуть спантеличувати нас завжди. Ми повинні, я думаю, розглядати їх не так як проблеми, які очікують на вирішення, як невичерпний сирий матеріал для роздумів. Вони важливі, оскільки міркування про них торкається найбільш фундаментальних питань усієї логіки, а отже, і всього мислення».

На закінчення цієї розмови про «брехун» можна згадати курйозний епізод з того часу, коли формальна логіка ще викладалася в школі. У підручнику логіки, виданому наприкінці 40-х років, школярам восьмого класу пропонувалося в якості домашнього завдання – у порядку, так би мовити, розминки – знайти помилку, допущену в цьому простенькому на вигляд твердженні: «Я брешу». І, нехай це не здасться дивним, вважалося, що школярі здебільшого успішно справлялися з таким завданням.

Найзнаменитішим із відкритих вже у нашому столітті парадоксів є антиномія, виявлена ​​Б. Расселом та повідомлена їм у листі до Г. Ферги. Цю ж антиномію обговорювали одночасно в Геттінгені німецькі математики 3. Цермело та Д. Гільберт.

Ідея носилася в повітрі, і її опублікування справило враження бомби, що розірвалася. Цей феномен викликав у математиці, на думку Гільберта, ефект повної катастрофи. Нависла загроза над найпростішими та важливішими логічними методами, звичайнісінькими та корисними поняттями.

Відразу стало очевидним, що ні в логіці, ні в математиці за всю довгу історію їх існування не було вироблено зовсім нічого, що могло б послужити основою для усунення антиномії. Очевидно виявився необхідним відхід від звичних способів мислення. Але з якого місця та в якому напрямку? Наскільки радикальним мала стати відмова від усталених способів теоретизування?

З подальшим дослідженням антиномії переконання в необхідності нового підходу неухильно зростало. Через півстоліття після її відкриття фахівці з підстав логіки та математики Л. Френкель та І. Бар-Хіллел вже без жодних застережень стверджували: «Ми вважаємо, що будь-які спроби вийти зі становища за допомогою традиційних (тобто мали ходіння до XX століття) способів мислення , що досі незмінно провалювалися, явно недостатні для цієї мети».

Сучасний американський логік X. Каррі писав трохи пізніше про цей парадокс: «У термінах логіки, відомої в XIX ст., Постанова просто не піддавалося пояснення, хоча, звичайно, в наш освічений вік можуть знайтися люди, які побачать (або подумають, що побачать ), у чому полягає помилка».

Парадокс Рассела у його початковій формі пов'язані з поняттям безлічі, чи класу.

Можна говорити про безліч різних об'єктів, наприклад, про безліч всіх людей або про безліч натуральних чисел. Елементом першої множини буде кожна окрема людина, елементом другої – кожне натуральне число. Допустимо також самі множини розглядати як деякі об'єкти і говорити про множини множин. Можна ввести навіть такі поняття, як безліч усіх множин або безліч понять.

Щодо будь-якої довільно взятої множини видається осмисленим запитати, є вона своїм власним елементом чи ні. Безліч, що не містять себе як елемент, назвемо звичайними. Наприклад, безліч людей не є людиною, як і безліч атомів – це атом. Незвичайними будуть множини, що є власними елементами. Наприклад, безліч, що об'єднує всі множини, є безліч і, отже, містить саме себе як елемент.

Розглянемо тепер безліч всіх звичайних множин. Оскільки воно безліч, про нього теж можна запитувати, чи звичайне воно, чи незвичайне. Відповідь, проте, виявляється бентежною. Якщо воно звичайне, то, відповідно до свого визначення, має містити саме себе як елемент, оскільки містить усі звичайні множини. Але це означає, що воно є незвичайним безліччю. Припущення, що наша множина є звичайною множиною, призводить, таким чином, до протиріччя. Отже, воно може бути звичайним. З іншого боку, воно не може бути також незвичайним: незвичайна множина містить сама себе як елемент, а елементами нашої множини є лише звичайні множини. У результаті приходимо до висновку, що безліч усіх звичайних множин не може бути ні звичайним, ні незвичним множиною.

Отже, безліч усіх множин, що не є власними елементами, є свій елемент у тому і лише тому випадку, коли воно не є таким елементом. Це явна суперечність. І отримано воно на основі найправдоподібніших припущень і за допомогою безперечних ніби кроків.

Протиріччя говорить про те, що такої множини просто не існує. Але чому вона не може існувати? Адже воно складається з об'єктів, що задовольняють чітко визначеній умові, причому сама умова не видається якоюсь винятковою чи неясною. Якщо така просто і ясно задана множина не може існувати, то в чому, власне, полягає відмінність між можливими і неможливими множинами? Висновок про неіснування розглянутої множини звучить несподівано і вселяє занепокоєння. Він робить наше загальне поняття множини аморфним і хаотичним, і немає гарантії, що воно не здатне породити якісь нові парадокси.

Парадокс Рассела чудовий своєю спільністю. Для його побудови не потрібні якісь складні технічні поняття, як у деяких інших парадоксів, достатньо понять «множина» і «елемент множини». Але ця простота якраз і говорить про його фундаментальність: він зачіпає найглибші підстави наших міркувань про безліч, оскільки говорить не про якісь спеціальні випадки, а про безліч взагалі.

Парадокс Рассела немає специфічно математичного характеру. У ньому використовується поняття множини, але не зачіпаються якісь особливі, пов'язані саме з математикою його властивості.

Це стає очевидним, якщо переформулювати парадокс у суто логічних термінах.

Про кожну властивість можна, ймовірно, питати, докладно воно до самого себе чи ні.

Властивість бути гарячою, наприклад, непридатна до самого себе, оскільки сама не є гарячою; властивість бути конкретним теж належить до себе, бо це абстрактне свойство. Але ось властивість бути абстрактним, будучи абстрактним, прикладається до самого себе. Назвемо ці непридатні до себе властивості непридатними. Чи застосовна властивість бути непридатною до самого себе? Виявляється, непридатність є непридатною лише в тому випадку, якщо вона не є такою. Це, звісно, ​​парадоксально.

Логічний, що стосується властивостей, різновид антиномії Рассела, настільки ж парадоксальний, як і математичний, що відноситься до множин, її різновид.

Рассел запропонував також наступний популярний варіант відкритого їм феномена.

Припустимо, що рада одного села так визначила обов'язки перукаря: голити всіх чоловіків села, які не голяться самі, і тільки цих чоловіків. Чи повинен він голити себе? Якщо так, то він ставитиметься до тих, хто голиться сам, а тих, хто голиться сам, він не повинен голити. Якщо ні, він належатиме до тих, хто не голиться сам, і, отже, він повинен буде голити себе. Ми приходимо, таким чином, до висновку, що цей перукар голить себе в тому і тільки тому випадку, коли він не голить себе. Це, зрозуміло, неможливо.

Міркування про перукаря спирається на припущення, що такий перукар існує. Отримана суперечність означає, що це припущення хибне, і немає такого мешканця села, який голив би всіх тих і лише тих його мешканців, які не голяться самі.

Обов'язки перукаря не здаються здавалося б суперечливими, тому висновок, що його може бути, звучить трохи несподівано. Але цей висновок не є парадоксальним. Умова, якій має задовольняти сільський цирульник, насправді внутрішньо суперечлива і, отже, нездійсненна. Подібного перукаря не може бути в селі з тієї ж причини, з якої в ньому немає людини, яка була б старша за себе або яка народилася б до свого народження.

Міркування про перукаря може бути назване псевдопарадоксом. По своєму ходу воно суворо аналогічне до парадоксу Рассела і цим цікаво. Але воно таки не є справжнім парадоксом.

Інший приклад такого ж псевдопарадоксу є відомим міркуванням про каталог.

Якась бібліотека вирішила скласти бібліографічний каталог, до якого входили всі ті й лише ті бібліографічні каталоги, які містять посилання самих себе. Чи повинен такий каталог включати посилання на себе?

Неважко показати, що ідея створення такого каталогу неможлива; він просто не може існувати, оскільки повинен одночасно і включати посилання на себе і не включати.

Цікаво відзначити, що складання каталогу всіх каталогів, що не містять посилання на самих себе, можна представити як нескінченний процес, що ніколи не завершується. Припустимо, що у якийсь момент було складено каталог, скажімо К1, що включає, всі відмінні від нього каталоги, які містять посилання він. Зі створенням К1 з'явився ще один каталог, що не містить посилання на себе. Так як завдання полягає в тому, щоб скласти повний каталог всіх каталогів, що не згадують себе, очевидно, що К1 не є її рішенням. Він не згадує один із таких каталогів – самого себе. Включивши в К1 це згадка про нього самому, отримаємо каталог К2. У ньому згадується К1, але не сам К2. Додавши до К2 таку згадку, отримаємо КЗ, який знову ж таки не сповнений через те, що не згадує самого себе. І далі без кінця.

Цікавий логічний парадокс було відкрито німецькими логіками К. Греллінгом та Л. Нельсоном (парадокс Греллінга). Цей феномен можна сформулювати дуже просто.

Деякі слова, що позначають властивості, мають ту саму властивість, яку вони називають. Наприклад, прикметник «російське» саме є російським, «багатоскладне» – саме складне, а «п'ятискладове» саме має п'ять складів. Такі слова, які стосуються себе, називаються самозначними, чи аутологічними.

Подібних слів не так багато, в переважній більшості прикметники не мають властивостей, які вони називають. "Нове" не є, звичайно, новим, "гаряче" - гарячим, "однослогове" - що складається з одного складу, а "англійське" - англійським. Слова, які мають властивості, позначаного ними, називаються інозначними, чи гетерологічними. Очевидно, що всі прикметники, що позначають властивості, які не додаються до слів, будуть гетерологічними.

Цей поділ прикметників на дві групи здається ясним і не викликає заперечень. Воно може бути поширене і на іменники: «слово» є словом, «іменник» – іменником, але «годинник» – це не годинник і «дієслово» – не дієслово.

Парадокс виникає, як тільки запитує: до якої з двох груп належить саме прикметник «гетерологічне»? Якщо воно аутологічне, воно має властивість, що позначається, і повинно бути гетерологічним. Якщо ж воно гетерологічне, воно не має званої ним властивості і має бути аутологічним. В наявності парадокс.

За аналогією з цим парадоксом легко сформулювати інші парадокси такої самої структури. Наприклад, чи є самогубцем той, хто вбиває кожного несамовбивцю і не вбиває жодного самогубця?

Виявилося, що феномен Грелліга був відомий ще в середні віки як антиномія висловлювання, що не називає самого себе. Можна уявити ставлення до софізмам і парадоксам в новий час, якщо проблема, що вимагала відповіді і викликала жваві суперечки, виявилася раптом забутою і була перевідкрита тільки через п'ятсот років!

Ще одна, зовні проста антиномія була вказана на самому початку ХХ століття Д. Беррі.

Безліч натуральних чисел нескінченна. Безліч тих імен цих чисел, які є, наприклад, у російській мові і містять менше, ніж, припустимо, сто слів, є кінцевим. Це означає, що існують такі натуральні числа, для яких у російській мові немає імен, що складаються менш ніж зі ста слів. Серед цих чисел є, мабуть, найменше число. Його не можна назвати за допомогою російського виразу, що містить менше ста слів. Але вираз: «Найменше натуральне число, для якого не існує в російській його складне ім'я, що складається менш ніж зі ста слів» є саме ім'ям цього числа! Це ім'я щойно сформульовано російською мовою і містить лише дев'ятнадцять слів. Очевидний парадокс: названим виявилося число, для якого немає імені!

В основі одного знаменитого парадоксу лежить ніби невелика подія, що трапилася дві з лишком тисячі років тому і не забута досі.

У знаменитого софіста Протагора, котрий жив у V в. до нашої ери був учень на ім'я Еватл, який навчався праву. За укладеним між ними договором Еватл повинен був заплатити за навчання лише у тому випадку, якщо виграє свій перший судовий процес. Якщо він цей процес програє, то взагалі зобов'язаний платити. Однак, закінчивши навчання, Еватл не став брати участь у процесах. Це тривало досить довго, терпіння вчителя зникло, і він подав на свого учня до суду. Таким чином, для Еватла це був перший процес. Свою вимогу Протагор обґрунтував так:

– Яким би не було рішення суду, Єватл має заплатити мені. Він або виграє цей перший процес, або програє. Якщо виграє, то заплатить через наш договір. Якщо програє, то заплатить згідно з цим рішенням.

Зважаючи на все, Еватл був здібним учнем, оскільки він відповів Протагору:

- Справді, я або виграю процес, або програю його. Якщо виграю, рішення суду звільнить мене від обов'язку платити. Якщо рішення суду буде не на мою користь, то я програв свій перший процес і не заплачу через наш договір.

Здивований таким оборотом справи, Протагор присвятив цій суперечці з Еватлом особливий твір «Тяжба про плату». На жаль, воно, як і більшість написаного Протагором, не дійшло до нас. Проте треба віддати належне Протагору, який відразу відчув за простим судовим казусом проблему, яка заслуговує на спеціальне дослідження.

Г. Лейбніц, сам юрист за освітою, також поставився до цієї суперечки всерйоз. У своїй докторській дисертації «Дослідження про заплутані казуси в праві» він намагався довести, що всі випадки, навіть найзаплутаніші, подібно до позову Протагора і Еватла, повинні знаходити правильний дозвіл на основі здорового глузду. На думку Лейбніца, суд має відмовити Протагору за несвоєчасністю пред'явлення позову, але залишити, проте, його право вимагати сплати грошей Еватлом пізніше, саме після першого виграного ним процесу.

Було запропоновано багато інших рішень цього феномена.

Посилалися, зокрема, на те, що рішення суду має мати більшу силу, ніж приватна домовленість двох осіб. На це можна відповісти, що якби не було цієї домовленості, якою б незначною вона не здавалася, не було б ні суду, ні його рішення. Адже суд має винести своє рішення саме з її приводу та на її основі.

Зверталися також до загального принципу, що всяка праця, а отже, і праця Протагора, має бути сплачена. Але відомо, що цей принцип завжди мав винятки, тим більше в рабовласницькому суспільстві. До того ж він просто неприкладний до конкретної ситуації суперечки: адже Протагор, гарантуючи високий рівень навчання, сам відмовлявся приймати плату у разі невдачі свого учня у першому процесі.

Іноді міркують так. І Протагор і Еватл – обидва мають рацію частково, і жоден із них загалом. Кожен із них враховує лише половину можливостей, вигідну для себе. Повний або всебічний розгляд відкриває чотири можливості, з яких лише половина вигідна для одного з тих, хто сперечається. Яка із цих можливостей реалізується, це вирішить не логіка, а життя. Якщо вирок суддів матиме більшу силу, аніж договір, Еватл повинен буде платити, лише якщо програє процес, тобто. з рішення суду. Якщо ж приватна домовленість буде ставиться вищою, ніж рішення суддів, то Протагор отримає плату лише у разі програшу процесу Еватлу, тобто. з договору з Протагором.

Ця апеляція до життя остаточно все заплутує. Чим, якщо не логікою, можуть керуватися судді в умовах, коли всі обставини, що стосуються справи, абсолютно зрозумілі? І що це буде за керівництво, якщо Протагор, який претендує на оплату через суд, доб'ється її лише програвши процес?

Втім, і рішення Лейбніца, яке здається спочатку переконливим, трохи краще, ніж неясне протиставлення логіки та життя. По суті, Лейбніц пропонує заднім числом замінити формулювання договору і зазначити, що першим за участю Еватла судовим процесом, результат якого вирішить питання про оплату, не має бути судом за позовом Протагора. Думка ця глибока, але така, що не має відношення до конкретного суду. Якби у вихідній домовленості було таке застереження, потреби в судовому розгляді взагалі не виникло б.

Якщо під рішенням цієї скрути розуміти відповідь на питання, повинен Еватл сплатити Протагору чи ні, то всі ці, як і всі інші мислимі рішення, є, звичайно, неспроможними. Вони є не більше ніж уникнення істоти суперечки, є, так би мовити, софістичними хитрощами і хитрощами в безвихідній і нерозв'язній ситуації. Бо ні здоровий глузд, ні якісь загальні принципи, що стосуються соціальних відносин, не здатні вирішити суперечку.

Неможливо виконати разом договір у його первісній формі та рішення суду, яким би останнє не було. Для підтвердження цього досить простих засобів логіки. За допомогою цих коштів можна також показати, що договір, незважаючи на його цілком безневинний зовнішній вигляд, внутрішньо суперечливий. Він вимагає реалізації логічно неможливого становища: Еватл має одночасно і сплатити за навчання, і водночас не платити.

Людському розуму, що звикли не тільки до своєї сили, а й до своєї гнучкості і навіть спритності, важко, звичайно, змиритися з цією абсолютною безвихіддю і визнати себе загнаним у глухий кут. Це особливо важко тоді, коли тупикова ситуація створюється самим розумом: він, так би мовити, лишається на рівному місці і догоджає у власні мережі. І тим не менше доводиться визнати, що іноді, і втім, не так уже й рідко, угоди та системи правил, що склалися стихійно або введені свідомо, призводять до нерозв'язних, безвихідних положень.

Приклад із недавнього шахового життя ще раз підтвердить цю думку.

Міжнародні правила проведення шахових змагань зобов'язують шахістів записувати партію хід за ходом ясно та розбірливо. Донедавна в правилах було зазначено також, що шахіст, який пропустив через брак часу запис кількох ходів, повинен, «як тільки його цейтнот закінчиться, негайно заповнити свій бланк, записавши пропущені ходи». На основі цієї вказівки один суддя на шахової олімпіаді 1980 р. (Мальта) перервав партію, що проходила в жорсткому цейтноті, і зупинив годинник, заявивши, що контрольні ходи зроблені і, отже, настав час упорядкувати запис партій.

- Але дозвольте, - вигукнув учасник, який перебував на межі програшу і розраховував тільки на розпал пристрастей у кінці партії, - адже жоден прапорець ще не впав і ніхто ніколи (так теж записано в правилах) не може підказувати, скільки зроблено ходів.

Суддю підтримав, однак, головний арбітр, який заявив, що, справді, оскільки цейтнот закінчився, треба, слідуючи букві правил, приступити до запису пропущених ходів.

Сперечатись у цій ситуації було безглуздо: самі правила завели в глухий кут. Залишалося лише змінити їхнє формулювання таким чином, щоб подібні випадки не могли виникнути в майбутньому.

Це і було зроблено на конгресі Міжнародної шахової федерації, що проходив у той же час: замість слів «як тільки цейтнот закінчиться» в правилах тепер записано: «як тільки прапорець вкаже на закінчення часу».

Цей приклад наочно показує, як слід чинити в безвихідних ситуаціях. Сперечатись про те, яка сторона має рацію, марно: суперечка нерозв'язна, і переможця в ній не буде. Залишається тільки змиритися з сьогоденням та подбати про майбутнє. Для цього потрібно так переформулювати вихідні угоди чи правила, щоб вони не заводили більше нікого в таку саму безвихідь.

Зрозуміло, подібний спосіб дій – ніяке вирішення нерозв'язного суперечки і вихід з безвихідного становища. Це швидше зупинка перед непереборною перешкодою і дорога в обхід його.

У Стародавній Греції користувався великою популярністю розповідь про крокодила і матір, що збігається за своїм логічним змістом з парадоксом «Протагор і Еватл».

Крокодил вихопив у єгиптянки, що стояла на березі річки, її дитину. На її благання повернути дитину крокодил, проливши, як завжди, крокодилову сльозу, відповів:

- Твоє нещастя зворушило мене, і я дам тобі шанс отримати назад дитину. Вгадай, віддам я його тобі чи ні. Якщо відповіси правильно, я поверну дитину. Якщо не вгадаєш, я його не віддам.

Подумавши, мати відповіла:

- Ти не віддаси мені дитину.

- Ти його не отримаєш, - сказав крокодил. - Ти сказала або правду, або неправду. Якщо те, що я не віддам дитину, – правда, я не віддам її, бо інакше сказане не буде правдою. Якщо сказане - неправда, значить, ти не вгадала, і я не віддам дитину за договором.

Однак матері ця міркування не видалася переконливою.

- Але якщо я сказала правду, то ти віддаси мені дитину, як ми і домовилися. Якщо ж я не вгадала, що ти не віддаси дитину, то ти повинен мені її віддати, інакше сказане мною не буде неправдою.

Хто правий: мати чи крокодил? До чого зобов'язує крокодила дану їм обіцянку? До того, щоб віддати дитину чи, навпаки, щоб не віддати її? І до того, і до іншого одночасно. Ця обіцянка є внутрішньо суперечливою, і, таким чином, вона не здійсненна в силу законів логіки.

Місіонер опинився в людожерів і потрапив саме до обіду. Вони дозволяють йому вибрати, як його з'їдять. Для цього він повинен вимовити якесь висловлювання з умовою, що, якщо цей вислів виявиться істинним, вони його зварять, а якщо воно виявиться хибним, його засмажать.

Що слід сказати місіонерові?

Зрозуміло, він повинен сказати: «Ви засмажити мене».

Якщо його справді засмажать, виявиться, що він висловив істину, тож його треба зварити. Якщо ж його зварять, його вислів буде хибним, і його слід засмажити. Виходу у людожерів не буде: із «засмажити» випливає «зварити», і навпаки.

Цей епізод із хитрим місіонером є, звичайно, ще одним із перефразувань суперечки Протагора та Еватла.

Один старий, відомий ще в Стародавній Греції, парадокс обігрується в «Дон Кіхоті» М. Сервантеса. Санчо Панса став губернатором острова Бараторія і вершить суд.

Першим до нього є якийсь приїжджий і каже: – Сеньйоре, якийсь маєток ділиться на дві половини багатоводної ріки… Так ось, через цю річку перекинутий міст, і тут же з краю стоїть шибениця і знаходиться щось на кшталт суду, в якому засідає четверо. суддів, і судять вони на підставі закону, виданого власником річки, мосту і всього маєтку, який закон складений таким чином: «Кожен, хто проходить мостом через цю річку, повинен оголосити під присягою: куди і навіщо він іде, і хто скаже правду, тих пропускати , а хто збреше, тих без будь-якої поблажливості відправляти на шибеницю, що знаходиться тут же, і стратити ». З того часу, коли цей закон у всій своїй суворості був оприлюднений, багато хто встиг пройти через міст, і коли судді задовольнялися, що перехожі кажуть правду, то пропускали їх. Але одного разу якийсь чоловік, приведений до присяги, присягнув і сказав: він, мовляв, клянеться, що прийшов за тим, щоб його підняли ось на цю саму шибеницю, і ні за чим іншим. Клятва ця привела суддів у подив, і вони сказали: «Якщо дозволити цій людині безперешкодно слідувати далі, то це означатиме, що вона порушила клятву і згідно із законом винна смерті; якщо ж ми його повісимо, то він клявся, що прийшов тільки за тим, щоб його підняли на цю шибеницю, отже, клятва його, виходить, не хибна, і на підставі того ж самого закону слід пропустити його ». І ось я вас питаю, сеньйоре губернаторе, що робити суддям з цією людиною, бо вони досі дивуються і вагаються...

Санчо запропонував, мабуть, не без хитрощів: ту половину людини, яка сказала правду, нехай пропустять, а ту, яка збрехала, нехай повісять, і таким чином правил переходу через міст буде дотримано за всією формою. Цей уривок цікавий у кількох відносинах.

Насамперед він є наочною ілюстрацією те, що з описаним у парадоксі безвихідним становищем цілком може зіткнутися – і над чистої теорії, але в практиці – якщо реальна людина, то хоча б літературний герой.

Вихід, запропонований Санчо Пансом, не був, звичайно, рішенням парадоксу. Але це було саме те рішення, до якого тільки й залишалося вдатися до його становища.

Колись Олександр Македонський замість того, щоб розв'язувати хитрий гордієв вузол, чого ще нікому не вдалося зробити, просто розрубав його. Так само вчинив і Санчо. Намагатися вирішити головоломку на її власних умовах було марно - вона просто нерозв'язна. Залишалося відкинути ці умови та запровадити своє.

І ще один момент. Сервантес цим епізодом явно засуджує непомірно формальний, пронизаний духом схоластичної логіки масштаб середньовічної справедливості. Але якими поширеними в його час – а це було близько чотирьохсот років тому – були відомості в галузі логіки! Не лише самому Сервантесу відомий цей феномен. Письменник знаходить можливим приписати своєму герою, безграмотному селянинові, здатність зрозуміти, що перед ним нерозв'язне завдання!

Наведені парадокси – це міркування, результат яких – протиріччя. Але в логіці є інші типи парадоксів. Вони також вказують на якісь труднощі та проблеми, але роблять це у менш різкій та безкомпромісній формі. Такі, зокрема, парадокси, що розглядаються далі.

Більшість понять як природного мови, а й мови науки є неточними, чи, як їх ще називають, розмитими. Нерідко це виявляється причиною нерозуміння, суперечок, а то й просто веде до тупикових ситуацій.

Якщо поняття неточне, межа області об'єктів, до яких вона прикладна, позбавлена ​​різкості, розмита. Візьмемо, наприклад, поняття «купа». Одне зерно (пісчинка, камінь тощо) – це ще купа. Тисяча зерен – це вже, мабуть, купа. А три зерна? А десять? З додаванням якого за рахунком зерна утворюється купа? Не дуже зрозуміло. Так само, як не ясно, з вилученням якого зерна купа зникає.

Неточними є емпіричні характеристики "великий", "важкий", "вузький" і т.д. Неточні такі звичайні поняття, як «мудрець», «кінь», «дім» тощо.

Немає піщинки, прибравши яку ми могли б сказати, що з її усуненням, що залишилося, вже не можна назвати будинком. Але це означає начебто, що в жодний момент поступового розбирання будинок – аж до повного його зникнення – немає підстав заявляти, що вдома немає! Висновок явно парадоксальний і бентежний.

Неважко помітити, що міркування про неможливість утворення купи проводиться за допомогою добре відомого методу математичної індукції. Одне зерно не утворює купи. Якщо n зерен утворюють купи, то n+1 зерно не утворюють купи. Отже, жодна кількість зерен неспроможна утворити купи.

Можливість цього і подібних доказів, що призводять до безглуздих висновків, означає, що принцип математичної індукції має обмежену область додатку. Він повинен застосовуватися в міркуваннях з неточними, розпливчастими поняттями.

Хорошим прикладом те, що ці поняття здатні призводити до нерозв'язних суперечок, може бути цікавий судовий процес, що відбувся 1927 р. у США. Скульптор К. Бранкузі звернувся до суду із вимогою визнати свої роботи витворами мистецтва. Серед робіт, що відправляються до Нью-Йорка на виставку, була й скульптура «Птах», яка зараз вважається класикою абстрактного стилю. Вона являє собою модульовану колону з полірованої бронзи близько півтора метра висоти, що не має жодної зовнішньої схожості з птицею. Митники категорично відмовилися визнати абстрактні твори Бранкузі художніми творами. Вони провели їх за графою «Металеве лікарняне начиння та предмети домашнього вжитку» і наклали на них велике мито. Обурений Бранкузі подав до суду.

Митницю підтримали художники – члени Національної академії, які відстоювали традиційні прийоми мистецтва. Вони виступали на процесі свідками захисту та категорично наполягали на тому, що спроба видати «Птаху» за витвір мистецтва – просто шахрайство.

Цей конфлікт рельєфно підкреслює труднощі оперування поняттям «твір мистецтва». Скульптура за традицією вважається видом образотворчого мистецтва. Але ступінь подібності скульптурного зображення оригіналу може змінюватись у дуже широких межах. І в який момент скульптурне зображення, що все більше віддаляється від оригіналу, перестає бути витвором мистецтва і стає «металевим начинням»? На це питання так само важко відповісти, як на питання про те, де проходить кордон між будинком та його руїнами, між конем з хвостом та конем без хвоста тощо. До речі, модерністи взагалі переконані, що скульптура – ​​це об'єкт виразної форми і вона має бути зображенням.

Поводження з неточними поняттями вимагає, таким чином, відомої обережності. Чи не краще тоді взагалі відмовитись від них?

Німецький філософ Е.Гуссерль був схильний вимагати від знання такої крайньої суворості та точності, яка не зустрічається навіть у математиці. Біографи Гуссерля з іронією згадують у зв'язку з цим випадок, який стався з ним у дитинстві. Йому був подарований складаний ножик, і, вирішивши зробити лезо гранично гострим, він точив його доти, доки від леза нічого не залишилося.

Точніші поняття у багатьох ситуаціях переважно неточніших. Цілком виправдано звичайне прагнення до уточнення понять, що використовуються. Але воно має, звісно, ​​мати свої межі. Навіть у мові науки значна частина понять неточна. І це пов'язано не з суб'єктивними та випадковими помилками окремих учених, а з самою природою наукового пізнання. У природній мові неточних понять переважна більшість; це говорить, крім усього іншого, про його гнучкість і приховану силу. Той, хто вимагає всіх понять граничної точності, ризикує взагалі залишитися без мови. «Позбавте слова будь-якої двозначності, будь-якої невизначеності, – писав французький естетик Ж. Жубер, – перетворите їх… на однозначні цифри – з промови піде гра, а разом із нею – красномовство і поезія: усе, що є рухливого і мінливого у прихильності душі, не зможе знайти свого виразу. Але що я говорю: позбавте... Скажу більше. Позбавте слова будь-якої неточності – і ви втратите навіть аксіом».

Довгий час і логіки, і математики не звертали уваги на труднощі, пов'язані з розмитими поняттями та відповідними множинами. Питання ставилося так: поняття мають бути точними, а все розпливчасте недостойно серйозного інтересу. Останні десятиліття ця надмірно строга установка втратила, проте, привабливість. Побудовано логічні теорії, які спеціально враховують своєрідність міркувань з неточними поняттями.

Активно розвивається математична теорія про розмитих множин, нечітко окреслених сукупностей об'єктів.

Аналіз проблем неточності – це крок шляху зближення логіки з практикою звичайного мислення. І можна припускати, що він принесе ще багато цікавих результатів.

Немає, мабуть, такого розділу логіки, в якому не було б своїх парадоксів.

В індуктивній логіці є свої парадокси, з якими активно, але поки що без особливого успіху борються вже майже півстоліття. Особливо цікавим є парадокс підтвердження, відкритий американським філософом К.Гемпелем. Природно вважати, загальні положення, зокрема наукові закони, підтверджуються своїми позитивними прикладами. Якщо розглядається, скажімо, вислів «Все А є», то позитивними його прикладами будуть об'єкти, що володіють властивостями А і В. Зокрема, що підтверджують приклади для висловлювання «Всі чорні ворони» – це об'єкти, що є і воронами, і чорними. Цей вислів рівносильний, однак, висловлюванню «Всі предмети, що не є чорними, не ворони», і підтвердження останнього має бути також підтвердженням першого. Але «Все не чорне не ворона» підтверджується кожним випадком не чорного предмета, що не є вороною. Виходить, в такий спосіб, що спостереження «Корова біла», «Чоботи коричневі» тощо. підтверджують висловлювання "Всі ворони чорні".

З невинних, начебто, посилок випливає несподіваний парадоксальний результат.

У логіці норм занепокоєння викликає низку її законів. Коли вони формулюються у змістовних термінах, невідповідність їх звичайним уявленням про належне та заборонене стає очевидним. Наприклад, один із законів каже, що з розпорядження «Надіслати листа!» витікає розпорядження «Надіслати листа або спалить його!».

Інший закон стверджує, що, якщо людина порушила один із своїх обов'язків, вона отримує право робити все, що завгодно. З такого роду «законами повинності» наша логічна інтуїція не хоче миритися.

У логіці знання посилено обговорюється феномен логічного всезнавства. Він стверджує, що людина знає всі логічні наслідки, що випливають із прийнятих нею положень. Наприклад, якщо людині відомі п'ять постулатів геометрії Евкліда, то, значить, вона знає і всю цю геометрію, оскільки вона випливає з них. Але це не так. Людина може погоджуватися з постулатами і водночас не вміти довести теорему Піфагора і тому сумніватися, що вона вірна.

Жодного вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.

Розглянуті парадокси – це лише частина з усіх виявлених на цей час. Цілком імовірно, що в майбутньому відкриють і багато інших парадокси, і навіть нові їх типи. Саме поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб удалося скласти список хоча б вже відомих парадоксів.

«Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, проте, а скоріше для логіки та теорії пізнання», – пише австрійський математик та логік К.Гедель. Логіка несуперечлива. Немає жодних логічних парадоксів», – стверджує математик Д.Бочвар. Такі розбіжності іноді істотні, іноді словесні. Справа багато в чому полягає в тому, що саме розуміється під логічним парадоксом.

Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник.

Парадокси, що належать до логічних, мають бути сформульовані в логічних термінах. Однак у логіці немає чітких критеріїв поділу термінів на логічні та нелогічні. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, яких залежить правильність практично застосовуваних висновків, до мінімуму. Але цей мінімум не визначено однозначно. З іншого боку, у логічних термінах можна сформулювати і нелогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс лише суто логічні посилки, які завжди вдається визначити однозначно.

Логічні парадокси не відокремлюються жорстко від інших парадоксів, подібно до того як останні не відмежовуються ясно від усього непарадоксального і узгоджується з панівними уявленнями.

Спочатку вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити з порушення деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б.Рассел принцип порочного кола. Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів неспроможна містити членів, визначальних лише з цієї ж сукупності.

Усі парадокси мають одне загальне властивість – самозастосовність, чи циркулярність. У кожному їх об'єкт, про яку йдеться, характеризується у вигляді деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, саму хитру людину, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої належить і ця людина. І якщо ми говоримо: «Це висловлювання хибне», ми характеризуємо висловлювання, що цікавить нас шляхом посилання на включаючу його сукупність всіх хибних висловлювань.

У всіх феноменах має місце самозастосовність понять, отже, є хіба що рух по колу, що призводить зрештою до вихідному пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує об'єкта, що розглядається, і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, й криється джерело парадоксів.

Ситуація ускладнюється, однак, тим, що таке коло є в багатьох абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярним є безліч найпростіших, нешкідливих і водночас зручних способів вираження. Такі приклади, як «найбільше з усіх міст», «найменше з усіх натуральних чисел», «один із електронів атома заліза» тощо, показують, що далеко не всякий випадок самозастосовності веде до суперечності і що вона важлива не тільки у звичайній мові, а й у мові науки.

Просте посилання використання самозастосовуваних понять недостатня, в такий спосіб, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, що відокремлює самозастосовність, що веде до парадоксу, від інших її випадків.

Було багато пропозицій щодо цього, але вдалого уточнення циркулярності так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність таким чином, щоб кожна циркулярна міркування вела до парадоксу, а кожен парадокс був результатом деякого циркулярного міркування.

Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмінністю всіх логічних парадоксів, ні до чого певного не привела.

Безперечно, корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, що групує одні парадокси і протиставляє їх іншим. Однак і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.

Англійський логік Ф.Рамсей, який помер у 1930 р., коли йому ще не виповнилося і двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичні та семантичні. До перших відноситься, наприклад, парадокс Рассела, до других - парадокси «брехуна», Греллінга та ін.

На думку Рамсея, парадокси першої групи містять лише поняття, що належать логіці чи математиці. Другі включають такі поняття, як «істина», «визначність», «йменування», «мова», що не є строго математичними, а скоріше стосуються лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якоїсь помилки в логіці, а невиразності чи двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і мають вирішуватися лінгвістикою.

Рамсею здавалося, що математикам та логікам нема чого цікавитися семантичними парадоксами. Надалі виявилося, однак, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки були отримані саме у зв'язку з глибшим вивченням цих нелогічних парадоксів.

Запропонований Рамсеєм розподіл парадоксів широко використовувалося спочатку і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все ясніше, що цей поділ досить розпливчасто і спирається переважно на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття справді стосуються логіки. З розвитком семантики, що визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведена Рамсеєм, дедалі більше стирається.

Які висновки для логіки випливають із існування парадоксів?

Насамперед наявність великої кількості парадоксів говорить про силу логіки як науки, а не про її слабкість, як це може здатися.

Виявлення парадоксів не випадково збіглося з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки та найбільших її успіхів.

Перші парадокси відкрили ще до виникнення логіки як особливої ​​науки. Багато парадокси були виявлені в середні віки. Пізніше вони виявилися, однак, забутими і знову відкриті вже у нашому столітті.

Середньовічним логікам були відомі поняття «множина» і «елемент множини», запроваджені науку лише у другій половині ХІХ ст. Але чуття на парадокси було відточено в середні віки настільки, що вже в той час висловлювалися певні побоювання з приводу самозастосовних понять. Найпростішим прикладом є поняття «бути власним елементом», що фігурує в багатьох нинішніх парадоксах.

Однак такі побоювання, як і взагалі всі застереження щодо парадоксів, не були до нашого століття належним чином систематичними та певними. Вони не вели до будь-яких чітких пропозицій про перегляд звичних способів мислення та вираження.

Тільки сучасна логіка витягла із забуття саму проблему парадоксів, відкрила чи перевідкрила більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що методи мислення, зазвичай досліджувані логікою, зовсім недостатні усунення феноменів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.

Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підбивають нас деякі звичайні методи освіти понять та методи міркувань? Адже вони здавались цілком природними та переконливими, доки не виявилося, що вони парадоксальні.

Парадоксами підривається віра у те, що звичні прийоми теоретичного мислення власними силами і без будь-якого особливого контролю над ними забезпечують надійне просування до істини.

Вимагаючи радикальних змін у надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різкою критикою логіки в її наївній, інтуїтивній формі. Вони відіграють роль фактора, що контролює та ставить обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їхню роль можна порівняти з роллю експерименту, що перевіряє правильність гіпотез у таких науках, як фізика та хімія, і змушує вносити до цих гіпотез змін.

Парадокс теоретично свідчить про несумісності припущень, які у її основі. Він постає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б переглянути.

Зрозуміло, хвороба проявляється різноманітно, і її врешті-решт вдається розкрити без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані та уточнені, якби навіть жодні парадокси у цій галузі не були виявлені. Але не було б тієї різкості та невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.

Парадоксам присвячена велика література, запропоновано велику кількість їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і будь-якої повної згоди в питанні про походження парадоксів і способи звільнення від них немає.

«За останні шістдесят років сотні книг та статей були присвячені меті вирішення парадоксів, проте результати напрочуд бідні порівняно із витраченими зусиллями», – пише А.Френкель. «Схоже на те, – робить висновок свій парадоксів Х. Каррі, – що потрібна повна реформа логіки, і математична логіка може стати головним інструментом для проведення цієї реформи».

Слід звернути увагу на одну важливу різницю.

Усунення парадоксів та їх дозвіл – це зовсім не те саме. Усунути феномен з певної теорії – значить перебудувати її так, щоб феноменальне твердження виявилося в ній недоведеним. Кожен парадокс спирається на велику кількість визначень, припущень та аргументів. Його висновок теоретично є деяку ланцюжок міркувань. Формально кажучи, можна поставити під сумнів будь-яку її ланку, відкинути її і тим самим розірвати ланцюжок і усунути парадокс. Багато роботах так і роблять і цим обмежуються.

Але це ще не дозвіл феномена. Мало знайти спосіб, як його виключити, треба переконливо обґрунтувати запропоноване рішення. Сам сумнів у якомусь кроці, що веде до парадоксу, має бути добре обґрунтовано.

Насамперед рішення про відмову від якихось логічних засобів, що використовуються при виведенні парадоксального твердження, має бути пов'язане з нашими загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу та іншими логічними інтуїціями. Якщо цього немає, усунення феномена виявляється позбавленим твердих і стійких підстав і вироджується в технічне завдання.

Крім того, відмова від якогось припущення, навіть якщо він забезпечує усунення деякого конкретного парадоксу, зовсім не гарантує автоматично усунення всіх парадоксів. Це говорить про те, що за парадоксами не слід «полювати» поодинці. Виняток одного з них завжди має бути настільки обґрунтованим, щоб з'явилася певна гарантія, що цим самим кроком будуть усунуті й інші парадокси.

Щоразу, як виявляється парадокс, пише А.Тарський, «ми повинні піддати наші способи мислення ґрунтовної ревізії, відкинути якісь посилки, в які вірили, та вдосконалити способи аргументації, якими користувалися. Ми робимо це, прагнучи не лише позбутися антиномій, а й з метою не допустити виникнення нових».

І нарешті, непродумана і необережна відмова від надто багатьох або надто сильних припущень може призвести просто до того, що вийде хоч і не містить парадоксів, але суттєво слабкіша теорія, яка має лише приватний інтерес.

Яким може бути мінімальний, найменш радикальний комплекс заходів, що дають змогу уникнути відомих парадоксів?

Один шлях – це виділення поряд із істинними та хибними пропозиціями також безглуздих речень. Цей шлях було прийнято Б.Расселом. Парадоксальні міркування були оголошені їм безглуздими на підставі, що в них порушуються вимоги логічної граматики. Не всяка пропозиція, яка не порушує правил звичайної граматики, є осмисленою – вона повинна задовольняти також правила особливої, логічної граматики.

Рассел побудував теорію логічних типів, своєрідну логічну граматику, завданням якої було усунення всіх відомих антиномій. Надалі ця теорія була суттєво спрощена та отримала назву простої теорії типів.

Основна ідея теорії типів - виділення різних у логічному відношенні типів предметів, введення своєрідної ієрархії, або сходів, об'єктів, що розглядаються. До нижчого, чи нульового, типу належать індивідуальні об'єкти, які є множинами. До першого типу належать безліч об'єктів нульового типу, тобто. індивідів; до другого - безлічі множин індивідів і т.д. Інакше кажучи, проводиться різницю між предметами, властивостями предметів, властивостями властивостей предметів тощо. У цьому вводяться певні обмеження конструювання пропозицій. Властивості можна приписувати предметам, властивості властивостей – властивостям тощо. Але не можна осмислено стверджувати, що властивості властивостей мають предмети.

Візьмемо серію пропозицій:

Цей будинок – червоний.

Червоне – це колір.

Колір – це оптичне явище.

У цих реченнях вираз «цей будинок» позначає певний предмет, слово «червоний» вказує на властивість, властиву даному предмету, «є кольором» – на властивість цієї властивості («бути червоним») і «бути оптичним явищем» – вказує на властивість властивості "бути кольором", що належить властивості "бути червоним". Тут ми маємо справу не лише з предметами та їх властивостями, а й з властивостями властивостей («властивість бути червоним має властивість бути кольором»), і навіть із властивостями властивостей.

Усі три пропозиції із наведеної серії є, звичайно, осмисленими. Вони побудовані відповідно до вимог теорії типів. А скажімо, пропозиція «Цей будинок є колір» порушує ці вимоги. Воно приписує предмету ту характеристику, яка може належати лише властивостям, але з предметам. Аналогічне порушення міститься і в реченні «Цей будинок є оптичним явищем». Обидві ці пропозиції мають бути віднесені до безглуздих.

Проста теорія типів усуває феномен Рассела. Однак для усунення парадоксів «Бреху» і Беррі простий поділ об'єктів, що розглядаються, на типи вже недостатньо. Необхідно додатково вводити деяке впорядкування всередині самих типів.

Виняток парадоксів може бути досягнуто також на шляху відмови від використання занадто великих множин, подібних до безлічі всіх множин. Цей шлях було запропоновано німецьким математиком Є.Цермело, який пов'язав появу парадоксів з необмеженим конструюванням множин. Допустимі множини були визначені деяким списком аксіом, сформульованих так, щоб з них не виводилися відомі парадокси. Разом з тим ці аксіоми були досить сильними для виведення з них звичайних міркувань класичної математики, але без парадоксів.

Ні ці два, ні інші шляхи усунення парадоксів, що пропонувалися, не є загальновизнаними. Немає єдиного переконання, що з запропонованих теорій дозволяє логічні парадокси, а чи не просто відкидає їх без глибокого пояснення. Проблема пояснення парадоксів, як і раніше, відкрита і, як і раніше, важлива.

У Г.Фреге, найбільшого логіка минулого століття, був, на жаль, дуже поганий характер. Крім того, він був беззаперечним і навіть жорстоким до своєї критики сучасників.

Можливо, тому його внесок у логіку та обґрунтування математики довго не отримував визнання. І ось коли популярність почала приходити до нього, молодий англійський логік Б.Рассел написав йому, що в системі, опублікованій у першому томі книги «Основні закони арифметики», виникає протиріччя. Другий том цієї книги був уже у пресі, і Фреге зміг лише додати до нього спеціальний додаток, у якому виклав це протиріччя (пізніше назване «парадоксом Рассела») і визнав, що він не здатний його усунути.

Проте наслідки цього зізнання були для Фреге трагічними. Він відчув сильне потрясіння. І хоча йому тоді було всього 55 років, він не опублікував більше жодної значної роботи з логіки, хоча прожив ще понад двадцять років. Він не відгукнувся навіть на жваву дискусію, викликану парадоксом Рассела, і ніяк не прореагував на численні рішення цього парадоксу, що пропонувалися.

Враження, зроблене на математиків і логіків щойно відкритими парадоксами, добре висловив Д.Гільберт: «…Стан, у якому зараз у парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте: у математиці – цьому зразку достовірності та істинності – освіта понять і перебіг думок, як їх кожен вивчає, викладає та застосовує, призводить до безглуздості. Де ж шукати надійність та істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку?»

Фреге був типовим представником логіки кінця XIX ст., вільної від будь-яких парадоксів, логіки, впевненої у своїх можливостях і претендує на те, щоб бути критерієм суворості навіть для математики. Парадокси показали, що абсолютна суворість, досягнута нібито логікою, була лише ілюзією. Вони безперечно показали, що логіка – у тому інтуїтивному вигляді, якою вона мала на рубежі століть, – потребує глибокого перегляду.

Пройшло близько століття з того часу, як почалося жваве обговорення парадоксів. Вжита ревізія логіки так і не призвела, однак, до недвозначного їх вирішення.

І водночас такий стан навряд чи когось хвилює сьогодні. З часом ставлення до парадокси стало більш спокійним і навіть більш терпимим, ніж у момент їх виявлення. Справа не тільки в тому, що парадокси стали чимось звичним. І, звичайно, не в тому, що з ними змирилися. Вони все ще залишаються у центрі уваги логіків, пошуки їхніх рішень активно продовжуються. Ситуація змінилася передусім через те, що парадокси виявилися, так би мовити, локалізованими. Вони здобули своє певне, хоч і неспокійне місце у широкому спектрі логічних досліджень. Стало ясно, що абсолютна суворість, якою вона малювалася наприкінці минулого століття і навіть іноді на початку нинішнього, – це, в принципі, недосяжний ідеал.

Було усвідомлено також, що немає однієї-єдиної проблеми парадоксів, що стоїть особняком. Проблеми, пов'язані з ними, відносяться до різних типів і торкаються, по суті, всіх основних розділів логіки. Виявлення парадоксу змушує глибше проаналізувати наші логічні інтуїції та зайнятися систематичною переробкою основ науки логіки. При цьому прагнення уникнути парадоксів не є ні єдиним, ні навіть, мабуть, головним завданням. Вони є хоч і важливою, але лише приводом для роздумів над центральними темами логіки. Продовжуючи порівняння парадоксів з особливо виразними симптомами хвороби, можна сказати, що прагнення негайно виключити парадокси було б подібно до бажання зняти такі симптоми, не особливо піклуючись про саму хворобу. Потрібно не просто дозвіл парадоксів, необхідне їх пояснення, що поглиблює наші уявлення про логічні закономірності мислення.

І на закінчення цього короткого розгляду логічних парадоксів – кілька завдань, роздуми над якими буде корисним для читача. Потрібно вирішити, чи наведені твердження і міркування є логічними парадоксами або тільки здаються ними. Для цього слід, очевидно, якось перебудувати вихідний матеріал і спробувати вивести з нього протиріччя: і твердження і заперечення одного й того самого одного й того самого. Якщо виявляється парадокс, можна подумати над тим, із чим пов'язане його виникнення та як його усунути. Можна навіть спробувати придумати свій феномен того самого типу, тобто. що будується за тією ж схемою, але на основі інших понять.

1. Той, хто каже: «Я нічого не знаю», висловлює ніби парадоксальне, внутрішньо суперечливе твердження. Він заявляє по суті: «Я знаю, що я нічого не знаю». Але знання того, що ніякого знання немає, є знання. Отже, той, хто говорить, з одного боку, запевняє, що ніякого знання в нього немає, а з іншого – самим твердженням цього повідомляє, що деяке знання в нього є. У чому тут річ?

Розмірковуючи над цією скрутою, можна згадати, що Сократ висловлював подібну думку обережніше. Він казав: "Я знаю тільки те, що нічого не знаю". Зате інший древній грек, Метродор, з упевненістю стверджував: «Нічого не знаю і навіть не знаю те, що нічого не знаю». Чи немає у цьому твердженні феномена?

2. Історичні події є унікальними. Історія, якщо вона і повторюється, то, за відомим виразом, перший раз як трагедія, а другий – як фарс. З неповторності історичних подій іноді виводиться ідея, що історія нічого не вчить. «Можливо, найбільший урок історії, – пише О. Хакслі, – справді полягає в тому, що ніхто ніколи і нічого не навчився з історії».

Навряд чи ця ідея вірна. Минуле якраз і досліджується головним чином для того, щоб краще розуміти сьогодення та майбутнє. Інша річ, що «уроки» минулого зазвичай неоднозначні.

Чи не є переконання, що історія нічому не вчить, внутрішньо суперечливим? Адже саме воно випливає з історії як один з її уроків. Чи не краще прихильникам цієї ідеї сформулювати її так, щоб вона не поширювалася на себе: «Історія вчить єдиному – з неї нічого не можна навчитися», або «Історія нічому не вчить, крім цього її уроку»?

3. «Доведено, що доказів немає». Це, як здається, внутрішньо суперечливе висловлювання: воно є доказом або передбачає вже проведений доказ («доведено, що…») і водночас стверджує, що жодного доказу немає.

Відомий стародавній скептик Секст Емпірик пропонував такий вихід: замість наведеного висловлювання прийняти вислів «Доведено, що жодного доказу, крім цього, не існує» (або: «Доведено, що нічого доведеного, крім цього, немає»). Але чи не є цей вихід ілюзорним? Адже стверджується, по суті, що є тільки один-єдиний доказ – доказ неіснування будь-яких доказів («Існує один-єдиний доказ: доказ того, що жодних інших доказів немає»). Чим тоді є сама операція доказу, якщо її вдалося провести, судячи з цього твердження, лише один раз? У всякому разі, думка самого Секста про цінність доказів була не дуже високою. Він писав, зокрема: «Так само, як мають рацію ті, хто обходиться без доказу, праві і ті, хто, будучи схильний сумніватися, голослівно висуває протилежну думку».

4. «Жодне висловлювання перестав бути негативним», чи простіше: «Немає негативних висловлювань». Однак саме цей вираз є висловлюванням і є якраз негативним. Явний ніби парадокс. За допомогою якого переформулювання цього твердження можна було б уникнути феномена?

Середньовічний філософ і логік Ж.Буридан відомий широкому читачеві міркуванням про віслюка, який, стоячи між двома однаковими оберемками сіна, обов'язково помре з голоду. Осел, як і всяка тварина, прагне вибрати з двох речей найкращу. Два оберемки зовсім не відрізняються один від одного, і тому він не може віддати перевагу жодній з них. Однак цього «буриданова осла» у творах самого Бурідана немає. У логіці Бурідан добре відомий, і зокрема своєю книгою про софізми. У ній наводиться такий висновок, що відноситься до нашої теми: жодне висловлювання не є негативним; отже, є негативне висловлювання. Чи є цей висновок обґрунтованим?

5. Добре відомий опис Н.В.Гоголем гри Чичикова з Ноздревим у шашки. Їхня партія так і не закінчилася, Чичиков помітив, що Ноздрьов шахраює, і відмовився грати, побоюючись програшу. Нещодавно один фахівець із шашок відновив за репліками тих, хто грав хід цієї партії, і показав, що позиція Чичикова не була ще безнадійною.

Припустимо, що Чичиков таки продовжив гру і врешті-решт виграв партію, незважаючи на шахрайство партнера. За вмовлянням Ноздрьов, що програв, повинен був віддати Чичикову п'ятдесят рублів і «якого-небудь цуценя середньої руки або золоту печатку до годинника». Але Ноздрев швидше за все відмовлявся б платити, наголошуючи на тому, що він сам всю гру шахраїв, а гра не за правилами – це ніби і не гра. Чичиков міг би заперечити, що розмова про шахрайство тут не доречна: шахрайував сам, хто програв, значить, він тим більше повинен платити.

Справді, мав би платити Ноздрьов у подібній ситуації чи ні? З одного боку – так, бо він програв. Але з іншого – ні, тому що гра не за правилами – це зовсім і не гра; ні того, хто виграв, ні програв у такій «грі» не може бути. Якби шахраїв сам Чичиков, Ноздрьов, звичайно, не повинен був би платити. Але, проте, шахраїв якраз програв Ноздрев.

Тут відчувається щось парадоксальне: «з одного боку…», «з іншого боку…», і до того ж з обох боків однаково переконливо, хоча ці сторони несумісні.

Чи повинен таки Ноздрьов платити чи ні?

6. «Будь-яке правило має винятки». Але це твердження саме є правилом. Як і всі інші правила, він повинен мати винятки. Таким винятком буде, очевидно, правило «Є правила, які не мають винятків». Чи немає у всьому цей феномен? Який із попередніх прикладів нагадують ці два правила? Чи можна міркувати так: всяке правило має винятки; значить, чи існують правила без винятків?

7. «Будь-яке узагальнення помилкове». Зрозуміло, що це твердження підсумовує досвід розумової операції узагальнення і є узагальненням. Як і всі інші узагальнення, воно має бути хибним. Отже, повинні бути вірні узагальнення. Проте чи правильно міркувати так: будь-яке узагальнення неправильне, а отже, є вірні узагальнення?

8. Якийсь письменник склав «Епітафію всім жанрам», покликану довести, що літературні жанри, розмежування яких викликало стільки суперечок, померли і можна про них не згадувати.

Але епітафія, тим часом, теж жанр певною мірою, жанр надгробних написів, що склався ще в античні часи і увійшов до літератури як різновид епіграми:

Тут я покоюсь: Джиммі Хогг.
Може гріхи простить мені Бог,
Як я б зробив, якби я був Бог,
А він – покійний Джиммі Хогг.

Так що епітафія всім без вилучення жанрів грішить начебто непослідовністю. Як краще її переформулювати?

9. «Ніколи не говори „ніколи“». Забороняючи вживати слово «ніколи», доводиться двічі вживати це слово!

Аналогічно, як здається, справу з порадою: «Час би тим, хто говорить „пора“, сказати що-небудь, крім „пора“».

Чи немає в подібних порадах своєрідної непослідовності і чи можна її уникнути?

10. У вірші «Не вірте», надрукованому, природно, у розділі «Іронічна поезія», його автор рекомендує не вірити у що:

…Не вірте в чаклунську владу вогню:
Горить, поки кладуть у нього дровишки.
Не вірте в златогривого коня
Ні за які солодкі пряники!
Не вірте в те, що зіркові стада
Мчать у нескінченній круговерті.
Але що вам залишиться тоді?
Не вірте, що я сказав.
Чи не вірте.

(В.Прудовський)

Але чи реальна така загальна зневіра? Зважаючи на все, воно суперечливе і, отже, логічно неможливе.

11. Припустимо, що, попри спільне переконання, нецікаві люди таки є. Зберемо їх уявно разом і виберемо з них найменшого за зростанням, або найбільшого за вагою, або якогось іншого «найбільшого…». На цю людину цікаво було б подивитися, тому ми даремно включили її до числа нецікавих. Виключивши його, ми знову знайдемо серед тих, що залишилися «самого…» у тому самому сенсі і т.д. І все це доти, доки не залишиться тільки одна людина, яку не буде з ким порівнювати. Але, виявляється, цим він і цікавий! У результаті ми приходимо висновку, що нецікавих людей немає. А розпочалася міркування з того, що такі люди існують.

Можна, зокрема, спробувати знайти серед нецікавих людей найцікавішого з усіх нецікавих. Цим він буде, без сумніву, цікавим, і його доведеться виключити з нецікавих людей. Серед тих, хто залишився, знову-таки знайдеться найменш цікавий і т.д.

У цих міркуваннях безперечно є присмак парадоксальності. Чи припущена тут якась помилка і якщо так, то яка?

12. Припустимо, що вам дали чистий аркуш паперу і доручили описати цей аркуш на ньому. Ви пишіть: це лист прямокутної форми, білий, таких розмірів, виготовлений з пресованих волокон деревини і т.д.

Опис начебто закінчено. Але воно явно неповне! У процесі опису об'єкт змінився: у ньому з'явився текст. Тому до опису потрібно ще додати: а крім того, на цьому аркуші паперу написано: це аркуш прямокутної форми, білий і т.д. до нескінченності.

Здається, що тут парадокс, чи не так?

Добре відомий дитячий віршик:

У попа був собака,
Він її любив,
Вона з'їла шматок м'яса,
Він її вбив.
Вбив і закопав,
А на плиті написав:
«У попа був собака…»

Чи зміг цей поп, який любив свого собаку, коли-небудь закінчити надгробний напис? Чи не нагадує складання цього напису повний опис аркуша паперу на ньому самому?

13. Один автор дає таку «тонку» пораду: «Якщо маленькі хитрощі не дозволяють досягти бажаного, вдайтеся до великих хитрощів». Ця порада пропонується під заголовком "Маленькі хитрощі". Але чи належить він насправді до таких хитрощів? Адже «маленькі хитрощі» не допомагають, і саме з цієї причини доводиться вдатися до цієї поради.

14. Назвемо гру нормальною, якщо вона завершується у кінцеве число ходів. Прикладами нормальних ігор можуть бути шахи, шашки, доміно: ці ігри завжди завершуються або перемогою однієї зі сторін, або нічиєю. Гра, яка не є нормальною, продовжується нескінченно, не призводячи до жодного результату. Введемо також поняття надгри: першим ходом такої гри є встановлення того, яка саме гра має грати. Якщо, наприклад, ви і я маємо намір грати у надгру і мені належить перший хід, я можу сказати: Давайте грати в шахи. Тоді ви у відповідь робите перший хід шахової гри, скажімо, е2 – е4, і ми продовжуємо партію до її завершення (зокрема, у зв'язку із закінченням часу, відведеного турнірним регламентом). Як свій перший хід я можу запропонувати зіграти в хрестики-нуліки тощо. Але гра, яка мною вибирається, має бути нормальною; не можна вибирати гру, яка не є нормальною.

Виникає проблема: чи є сама надгра нормальною чи ні? Припустимо, що це нормальна гра. Так як першим її ходом можна вибрати будь-яку з нормальних ігор, я можу сказати: Давайте грати в надгру. Після цього надгра почалася, і наступний хід у ній ваш. Ви маєте право сказати: «Давайте грати у надгру». Я можу повторити: «Давайте грати у надгра» і таким чином процес може продовжуватися нескінченно. Отже, надгра не належить до нормальних ігор. Але через те, що надгра не є нормальною, своїм першим ходом у надгрі я не можу запропонувати надгра; я маю вибрати нормальну гру. Але вибір нормальної гри, що має кінець, суперечить доведеному факту, що надгра не належить до нормальних.

Отже, чи є надгра нормальною грою чи ні?

Намагаючись відповісти на це питання, не слід, звичайно, йти легким шляхом суто словесних розмежувань. Найпростіше сказати, що нормальна гра - це гра, а надгра - всього лише розіграш.

Які інші парадокси нагадує цей парадокс надгри, яка є одночасно нормальною і ненормальною?

Байіф Ж.К. Логічні задачі. - М., 1983.

Бурбаки Н. Нариси з історії математики. - М., 1963.

Гарднер М. Ану здогадайся! - М.: 1984.

Івін А.А. За законами логіки. - М., 1983.

Кліні С.К. Математична логіка. - М., 1973.

Смалліан P.M. Як називається ця книга? - М.: 1982.

Смалліан P.M. Принцеса чи тигр? - М.: 1985.

Френкель А., Бар-Хіллел І. Підстави теорії множин. - М., 1966.

Яке значення мають парадокси для логіки?

Які рішення пропонувалися для феномена «Брехень»?

У чому особливості семантично замкнутої мови?

У чому істота феномена множини звичайних множин?

Чи є вирішення спору Протагора та Еватла? Які рішення пропонувалися для цієї суперечки?

У чому сутність феномена неточних імен?

У чому могла б полягати своєрідність логічних парадоксів?

Які висновки для логіки випливають із існування логічних парадоксів?

У чому різниця між усуненням та поясненням феномена? Яке майбутнє очікує на логічні парадокси?

Поняття логічного феномена

Парадокс «Брехень»

Парадокс Рассела

Парадокс «Протагор та Еватл»

Роль парадоксів у розвитку логіки

Перспективи вирішення парадоксів

Розмежування мови та метамови

Усунення та дозвіл парадоксів

Жодного вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.

Розглянуті парадокси - це лише частина з усіх виявлених на цей час. Цілком імовірно, що в майбутньому відкриють і багато інших парадокси, і навіть нові їх типи. Саме поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб удалося скласти список хоча б вже відомих парадоксів.

«Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, проте, а скоріше для логіки та теорії пізнання», - пише австрійський математик та логік К.Гедель. Логіка несуперечлива. Немає жодних логічних парадоксів», - стверджує математик Д.Бочвар. Такі розбіжності іноді істотні, іноді словесні. Справа багато в чому полягає в тому, що саме розуміється під логічним парадоксом.

Своєрідність логічних парадоксів

Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник.

Парадокси, що належать до логічних, мають бути сформульовані в логічних термінах. Однак у логіці немає чітких критеріїв поділу термінів на логічні та нелогічні. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, яких залежить правильність практично застосовуваних висновків, до мінімуму. Але цей мінімум не визначено однозначно. З іншого боку, у логічних термінах можна сформулювати і нелогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс лише суто логічні посилки, які завжди вдається визначити однозначно.

Логічні парадокси не відокремлюються жорстко від інших парадоксів, подібно до того як останні не відмежовуються ясно від усього непарадоксального і узгоджується з панівними уявленнями.

Спочатку вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити з порушення деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б.Рассел принцип порочного кола. Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів неспроможна містити членів, визначальних лише з цієї ж сукупності.

Усі парадокси мають одне загальне властивість - самозастосовність, чи циркулярність. У кожному їх об'єкт, про яку йдеться, характеризується у вигляді деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, саму хитру людину, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої належить і ця людина. І якщо ми говоримо: «Це висловлювання хибне», ми характеризуємо висловлювання, що цікавить нас шляхом посилання на включаючу його сукупність всіх хибних висловлювань.

У всіх феноменах має місце самозастосовність понять, отже, є хіба що рух по колу, що призводить зрештою до вихідному пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує об'єкта, що розглядається, і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, й криється джерело парадоксів.

Ситуація ускладнюється, однак, тим, що таке коло є в багатьох абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярним є безліч найпростіших, нешкідливих і водночас зручних способів вираження. Такі приклади, як «найбільше з усіх міст», «найменше з усіх натуральних чисел», «один із електронів атома заліза» тощо, показують, що далеко не всякий випадок самозастосовності веде до суперечності і що вона важлива не тільки у звичайній мові, а й у мові науки.

Просте посилання використання самозастосовуваних понять недостатня, в такий спосіб, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, що відокремлює самозастосовність, що веде до парадоксу, від інших її випадків.

Було багато пропозицій щодо цього, але вдалого уточнення циркулярності так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність таким чином, щоб кожна циркулярна міркування вела до парадоксу, а кожен парадокс був результатом деякого циркулярного міркування.

Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмінністю всіх логічних парадоксів, ні до чого певного не привела.

Безперечно, корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, що групує одні парадокси і протиставляє їх іншим. Однак і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.

Англійський логік Ф.Рамсей, який помер у 1930 р., коли йому ще не виповнилося і двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичні та семантичні. До перших відноситься, наприклад, парадокс Рассела, до других - парадокси «Бреху», Грелінгу та ін.

На думку Рамсея, парадокси першої групи містять лише поняття, що належать логіці чи математиці. Другі включають такі поняття, як «істина», «визначність», «йменування», «мова», що не є строго математичними, а скоріше стосуються лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якоїсь помилки в логіці, а невиразності чи двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і мають вирішуватися лінгвістикою.

Рамсею здавалося, що математикам та логікам нема чого цікавитися семантичними парадоксами. Надалі виявилося, однак, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки були отримані саме у зв'язку з глибшим вивченням цих нелогічних парадоксів.

Запропонований Рамсеєм розподіл парадоксів широко використовувалося спочатку і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все ясніше, що цей поділ досить розпливчасто і спирається переважно на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття справді стосуються логіки. З розвитком семантики, що визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведена Рамсеєм, дедалі більше стирається.

Парадокси та сучасна логіка

Які висновки для логіки випливають із існування парадоксів?

Насамперед наявність великої кількості парадоксів говорить про силу логіки як науки, а не про її слабкість, як це може здатися.

Виявлення парадоксів не випадково збіглося з періодом найбільш інтенсивного розвитку сучасної логіки та найбільших її успіхів.

Перші парадокси відкрили ще до виникнення логіки як особливої ​​науки. Багато парадокси були виявлені в середні віки. Пізніше вони виявилися, однак, забутими і знову відкриті вже у нашому столітті.

Середньовічні логіки були відомі поняття «множина» і «елемент множини», введені в науку тільки з другої половини XIX ст. Але чуття на парадокси було відточено в середні віки настільки, що вже в той час висловлювалися певні побоювання з приводу самозастосовних понять. Найпростішим прикладом є поняття «бути власним елементом», що фігурує в багатьох нинішніх парадоксах.

Однак такі побоювання, як і взагалі всі застереження щодо парадоксів, не були до нашого століття належним чином систематичними та певними. Вони не вели до будь-яких чітких пропозицій про перегляд звичних способів мислення та вираження.

Тільки сучасна логіка витягла із забуття саму проблему парадоксів, відкрила чи перевідкрила більшість конкретних логічних парадоксів. Вона показала далі, що методи мислення, зазвичай досліджувані логікою, зовсім недостатні усунення феноменів, і вказала принципово нові прийоми поводження з ними.

Парадокси ставлять важливе питання: у чому, власне, підбивають нас деякі звичайні методи освіти понять та методи міркувань? Адже вони здавались цілком природними та переконливими, доки не виявилося, що вони парадоксальні.

Парадоксами підривається віра у те, що звичні прийоми теоретичного мислення власними силами і без будь-якого особливого контролю над ними забезпечують надійне просування до істини.

Вимагаючи радикальних змін у надмірно довірливому підході до теоретизування, парадокси є різкою критикою логіки в її наївній, інтуїтивній формі. Вони відіграють роль фактора, що контролює та ставить обмеження на шляху конструювання дедуктивних систем логіки. І цю їхню роль можна порівняти з роллю експерименту, що перевіряє правильність гіпотез у таких науках, як фізика та хімія, і змушує вносити до цих гіпотез змін.

Парадокс теоретично свідчить про несумісності припущень, які у її основі. Він постає як своєчасно виявлений симптом хвороби, без якого її можна було б переглянути.

Зрозуміло, хвороба проявляється різноманітно, і її врешті-решт вдається розкрити без таких гострих симптомів, як парадокси. Скажімо, підстави теорії множин були б проаналізовані та уточнені, якби навіть жодні парадокси у цій галузі не були виявлені. Але не було б тієї різкості та невідкладності, з якою поставили проблему перегляду теорії множин виявлені в ній парадокси.

Парадоксам присвячена велика література, запропоновано велику кількість їх пояснень. Але жодне з цих пояснень не є загальновизнаним, і будь-якої повної згоди в питанні про походження парадоксів і способи звільнення від них немає.

«За останні шістдесят років сотні книг та статей були присвячені меті вирішення парадоксів, проте результати напрочуд бідні порівняно із витраченими зусиллями», - пише А.Френкель. «Схоже на те, - робить висновок свій парадоксів Х.Каррі, - що потрібна повна реформа логіки, і математична логіка може стати головним інструментом для проведення цієї реформи».

Усунення та пояснення парадоксів

Слід звернути увагу на одну важливу різницю.

Усунення парадоксів та їх дозвіл - це зовсім не те саме. Усунути феномен з певної теорії - означає перебудувати її так, щоб феноменальне твердження виявилося в ній недоведеним. Кожен парадокс спирається на велику кількість визначень, припущень та аргументів. Його висновок теоретично є деяку ланцюжок міркувань. Формально кажучи, можна поставити під сумнів будь-яку її ланку, відкинути її і тим самим розірвати ланцюжок і усунути парадокс. Багато роботах так і роблять і цим обмежуються.

Але це ще не дозвіл феномена. Мало знайти спосіб, як його виключити, треба переконливо обґрунтувати запропоноване рішення. Сам сумнів у якомусь кроці, що веде до парадоксу, має бути добре обґрунтовано.

Насамперед рішення про відмову від якихось логічних засобів, що використовуються при виведенні парадоксального твердження, має бути пов'язане з нашими загальними міркуваннями щодо природи логічного доказу та іншими логічними інтуїціями. Якщо цього немає, усунення феномена виявляється позбавленим твердих і стійких підстав і вироджується в технічне завдання.

Крім того, відмова від якогось припущення, навіть якщо він забезпечує усунення деякого конкретного парадоксу, зовсім не гарантує автоматично усунення всіх парадоксів. Це говорить про те, що за парадоксами не слід «полювати» поодинці. Виняток одного з них завжди має бути настільки обґрунтованим, щоб з'явилася певна гарантія, що цим самим кроком будуть усунуті й інші парадокси.

Щоразу, як виявляється парадокс, пише А.Тарський, «ми повинні піддати наші способи мислення ґрунтовної ревізії, відкинути якісь посилки, в які вірили, та вдосконалити способи аргументації, якими користувалися. Ми робимо це, прагнучи не лише позбутися антиномій, а й з метою не допустити виникнення нових».

І нарешті, непродумана і необережна відмова від надто багатьох або надто сильних припущень може призвести просто до того, що вийде хоч і не містить парадоксів, але суттєво слабкіша теорія, яка має лише приватний інтерес.

Яким може бути мінімальний, найменш радикальний комплекс заходів, що дають змогу уникнути відомих парадоксів?

Логічна граматика

Один шлях - це виділення поряд з істинними та хибними пропозиціями також безглуздих речень. Цей шлях було прийнято Б.Расселом. Парадоксальні міркування були оголошені їм безглуздими на підставі, що в них порушуються вимоги логічної граматики. Не всяка пропозиція, яка не порушує правил звичайної граматики, є осмисленою - вона повинна задовольняти також правила особливої, логічної граматики.

Рассел побудував теорію логічних типів, своєрідну логічну граматику, завданням якої було усунення всіх відомих антиномій. Надалі ця теорія була суттєво спрощена та отримала назву простої теорії типів.

Основна ідея теорії типів – виділення різних у логічному відношенні типів предметів, введення своєрідної ієрархії, або сходів, що розглядаються об'єктів. До нижчого, чи нульового, типу належать індивідуальні об'єкти, які є множинами. До першого типу належать безліч об'єктів нульового типу, тобто. індивідів; до другого - множини множин індивідів і т.д. Інакше кажучи, проводиться різницю між предметами, властивостями предметів, властивостями властивостей предметів тощо. У цьому вводяться певні обмеження конструювання пропозицій. Властивості можна приписувати предметам, властивості властивостей – властивостям тощо. Але не можна осмислено стверджувати, що властивості властивостей мають предмети.

Візьмемо серію пропозицій:

Цей будинок – червоний.

Червоне – це колір.

Колір – це оптичне явище.

У цих реченнях вираз «цей будинок» позначає певний предмет, слово «червоний» вказує на властивість, властиву даному предмету, «є кольором» - на властивість цієї властивості («бути червоним») і «бути оптичним явищем» - вказує на властивість властивості "бути кольором", що належить властивості "бути червоним". Тут ми маємо справу не лише з предметами та їх властивостями, а й з властивостями властивостей («властивість бути червоним має властивість бути кольором»), і навіть із властивостями властивостей.

Усі три пропозиції із наведеної серії є, звичайно, осмисленими. Вони побудовані відповідно до вимог теорії типів. А скажімо, пропозиція «Цей будинок є колір» порушує ці вимоги. Воно приписує предмету ту характеристику, яка може належати лише властивостям, але з предметам. Аналогічне порушення міститься і в реченні «Цей будинок є оптичним явищем». Обидві ці пропозиції мають бути віднесені до безглуздих.

Проста теорія типів усуває феномен Рассела. Однак для усунення парадоксів «Бреху» і Беррі простий поділ об'єктів, що розглядаються, на типи вже недостатньо. Необхідно додатково вводити деяке впорядкування всередині самих типів.

Виняток парадоксів може бути досягнуто також на шляху відмови від використання занадто великих множин, подібних до безлічі всіх множин. Цей шлях було запропоновано німецьким математиком Є.Цермело, який пов'язав появу парадоксів з необмеженим конструюванням множин. Допустимі множини були визначені деяким списком аксіом, сформульованих так, щоб з них не виводилися відомі парадокси. Разом з тим ці аксіоми були досить сильними для виведення з них звичайних міркувань класичної математики, але без парадоксів.

Ні ці два, ні інші шляхи усунення парадоксів, що пропонувалися, не є загальновизнаними. Немає єдиного переконання, що з запропонованих теорій дозволяє логічні парадокси, а чи не просто відкидає їх без глибокого пояснення. Проблема пояснення парадоксів, як і раніше, відкрита і, як і раніше, важлива.

Майбутнє парадоксів

У Г.Фреге, найбільшого логіка минулого століття, був, на жаль, дуже поганий характер. Крім того, він був беззаперечним і навіть жорстоким до своєї критики сучасників.

Можливо, тому його внесок у логіку та обґрунтування математики довго не отримував визнання. І ось коли популярність почала приходити до нього, молодий англійський логік Б.Рассел написав йому, що в системі, опублікованій у першому томі книги «Основні закони арифметики», виникає протиріччя. Другий том цієї книги був уже у пресі, і Фреге зміг лише додати до нього спеціальний додаток, у якому виклав це протиріччя (пізніше назване «парадоксом Рассела») і визнав, що він не здатний його усунути.

Проте наслідки цього зізнання були для Фреге трагічними. Він відчув сильне потрясіння. І хоча йому тоді було всього 55 років, він не опублікував більше жодної значної роботи з логіки, хоча прожив ще понад двадцять років. Він не відгукнувся навіть на жваву дискусію, викликану парадоксом Рассела, і ніяк не прореагував на численні рішення цього парадоксу, що пропонувалися.

Враження, зроблене на математиків і логіків щойно відкритими парадоксами, добре висловив Д.Гільберт: «...Стан, у якому зараз у парадоксів, на тривалий час нестерпно. Подумайте: в математиці - цьому зразку достовірності та істинності - освіта понять і перебіг думок, як їх кожен вивчає, викладає і застосовує, призводить до безглуздості. Де ж шукати надійність та істинність, якщо навіть саме математичне мислення дає осічку?»

Фреге був типовим представником логіки кінця XIX ст., вільної від будь-яких парадоксів, логіки, впевненої у своїх можливостях і претендує на те, щоб бути критерієм суворості навіть для математики. Парадокси показали, що абсолютна суворість, досягнута нібито логікою, була лише ілюзією. Вони безперечно показали, що логіка - в тому інтуїтивному вигляді, якою вона мала на рубежі століть, - потребує глибокого перегляду.

Пройшло близько століття з того часу, як почалося жваве обговорення парадоксів. Вжита ревізія логіки так і не призвела, однак, до недвозначного їх вирішення.

І водночас такий стан навряд чи когось хвилює сьогодні. З часом ставлення до парадокси стало більш спокійним і навіть більш терпимим, ніж у момент їх виявлення. Справа не тільки в тому, що парадокси стали чимось звичним. І, звичайно, не в тому, що з ними змирилися. Вони все ще залишаються у центрі уваги логіків, пошуки їхніх рішень активно продовжуються. Ситуація змінилася передусім через те, що парадокси виявилися, так би мовити, локалізованими. Вони здобули своє певне, хоч і неспокійне місце у широкому спектрі логічних досліджень. Стало зрозуміло, що абсолютна суворість, якою вона малювалася наприкінці минулого століття і навіть іноді на початку нинішнього, - це, в принципі, недосяжний ідеал.

Було усвідомлено також, що немає однієї-єдиної проблеми парадоксів, що стоїть особняком. Проблеми, пов'язані з ними, відносяться до різних типів і торкаються, по суті, всіх основних розділів логіки. Виявлення парадоксу змушує глибше проаналізувати наші логічні інтуїції та зайнятися систематичною переробкою основ науки логіки. При цьому прагнення уникнути парадоксів не є ні єдиним, ні навіть, мабуть, головним завданням. Вони є хоч і важливою, але лише приводом для роздумів над центральними темами логіки. Продовжуючи порівняння парадоксів з особливо виразними симптомами хвороби, можна сказати, що прагнення негайно виключити парадокси було б подібно до бажання зняти такі симптоми, не особливо піклуючись про саму хворобу. Потрібно не просто дозвіл парадоксів, необхідне їх пояснення, що поглиблює наші уявлення про логічні закономірності мислення.

За законами логіки Івін Олександр Архипович

ЩО ТАКЕ ЛОГІЧНИЙ ПАРАДОКС?

Жодного вичерпного переліку логічних парадоксів не існує, та він і неможливий.

Розглянуті парадокси - це лише частина з усіх виявлених на цей час. Цілком імовірно, що в майбутньому будуть відкриті і багато інших і навіть зовсім нових типів. Саме поняття парадоксу не є настільки визначеним, щоб удалося скласти список хоча б вже відомих парадоксів.

"Теоретико-множинні парадокси є дуже серйозною проблемою, не для математики, проте, а скоріше для логіки та теорії пізнання", - пише австрійський математик і логік К. Гёдель. Логіка несуперечлива. Немає ніяких логічних парадоксів, - стверджує радянський математик Д. Бочвар. - Такі розбіжності іноді істотні, іноді словесні. Справа багато в чому полягає в тому, що саме розуміється під «логічним парадоксом».

Необхідною ознакою логічних парадоксів вважається логічний словник. Парадокси, що належать до логічних, мають бути сформульовані в логічних термінах. Однак у логіці немає чітких критеріїв поділу термінів на логічні та позалогічні. Логіка, що займається правильністю міркувань, прагне звести поняття, яких залежить правильність практично застосовуваних висновків, до мінімуму. Але цей мінімум не визначено однозначно. З іншого боку, у логічних термінах можна сформулювати і позалогічні твердження. Чи використовує конкретний парадокс лише суто логічні посилки, які завжди вдається визначити однозначно.

Логічні парадокси не відокремлюються жорстко від інших парадоксів, подібно до того як останні не відмежовуються ясно від усього непарадоксального і узгоджується з панівними уявленнями.

Спочатку вивчення логічних парадоксів здавалося, що їх можна виділити з порушення деякого, ще не дослідженого положення або правила логіки. Особливо активно претендував на роль такого правила введений Б. Рассел «принцип порочного кола». Цей принцип стверджує, що сукупність об'єктів неспроможна містити членів, визначальних лише з цієї ж сукупності.

Усі парадокси мають одне загальне властивість - самозастосовність, чи циркулярність. У кожному їх об'єкт, про яку йдеться, характеризується у вигляді деякої сукупності об'єктів, до якої він сам належить. Якщо ми виділяємо, наприклад, людину як саму хитру в класі, ми робимо це за допомогою сукупності людей, до якої належить і ця людина (за допомогою «його класу»). І якщо ми говоримо: «Це висловлювання хибне», ми характеризуємо висловлювання, що цікавить нас шляхом посилання на включаючу його сукупність всіх хибних висловлювань.

У всіх феноменах має місце самозастосовність, отже, є хіба що рух по колу, що веде зрештою до вихідному пункту. Прагнучи охарактеризувати об'єкт, що цікавить нас, ми звертаємося до тієї сукупності об'єктів, яка включає його. Однак виявляється, що сама вона для своєї визначеності потребує об'єкта, що розглядається, і не може бути ясним чином зрозуміла без нього. У цьому колі, можливо, й криється джерело парадоксів.

Ситуація ускладнюється, однак, тим, що таке коло є також у абсолютно непарадоксальних міркуваннях. Циркулярним є безліч найпростіших, нешкідливих і водночас зручних способів вираження. Такі приклади, як "найбільше з усіх міст", "найменше з усіх натуральних чисел", "один з електронів атома заліза" і т. п., показують, що далеко не всякий випадок самозастосовності веде до суперечності і що вона важлива не тільки у звичайній мові, а й у мові науки.

Просте посилання використання самозастосовних понять недостатня, в такий спосіб, для дискредитації парадоксів. Необхідний ще якийсь додатковий критерій, що відокремлює самозастосовність, що веде до парадоксу, від інших її випадків.

Було багато пропозицій щодо цього, але вдалого уточнення циркулярності так і не було знайдено. Неможливим виявилося охарактеризувати циркулярність таким чином, щоб кожна циркулярна міркування вела до парадоксу, а кожен парадокс був результатом деякого циркулярного міркування.

Спроба знайти якийсь специфічний принцип логіки, порушення якого було б відмінністю всіх логічних парадоксів, ні до чого певного не привела.

Безперечно, корисною була б якась класифікація парадоксів, що підрозділяє їх на типи і види, що групує одні парадокси і протиставляє їх іншим. Однак і в цій справі нічого стійкого не було досягнуто.

Англійський логік Ф. Рамсей, який помер у 1930 році, коли йому ще не виповнилося і двадцяти семи років, запропонував розділити всі парадокси на синтаксичні та семантичні. До перших відноситься, наприклад, парадокс Рассела, до других - парадокси «брехуна», Греллінга та ін.

На думку Ф. Рамсея, парадокси першої групи містять лише поняття, що належать логіці чи математиці. Другі включають такі поняття, як «істина», «визначність», «йменування», «мова», що не є строго математичними, а скоріше стосуються лінгвістики або навіть теорії пізнання. Семантичні парадокси зобов'язані, як здається, своїм виникненням не якоїсь помилки в логіці, а невиразності чи двозначності деяких нелогічних понять, тому поставлені ними проблеми стосуються мови і мають вирішуватися лінгвістикою.

Ф. Рамсею здавалося, що математикам та логікам нема чого цікавитися семантичними парадоксами.

Надалі виявилося, однак, що деякі з найбільш значних результатів сучасної логіки були отримані саме у зв'язку з більш глибоким вивченням цих «нелогічних» парадоксів.

Запропонований Ф. Рамсеєм розподіл парадоксів широко використовувалося спочатку і зберігає деяке значення і тепер. Разом з тим стає все ясніше, що цей поділ досить розпливчасто і спирається переважно на приклади, а не на поглиблений порівняльний аналіз двох груп парадоксів. Семантичні поняття зараз отримали точні визначення, і важко не визнати, що ці поняття справді стосуються логіки. З розвитком семантики, що визначає свої основні поняття в термінах теорії множин, відмінність, проведена Ф. Рамсеєм, дедалі більше стирається.