Силові та еквіпотенційні лінії поля. §9 Силові лінії та еквіпотенціалі

Еквіпотенційні поверхні це такі поверхні кожна з точок, яких мають однаковий потенціал. Тобто на еквіпотенційній поверхні електричний потенціал має постійне значення. Такою поверхнею є поверхні провідників, оскільки їхній потенціал однаковий.

Уявімо таку поверхню, для двох точок якої різниця потенціалів дорівнюватиме нулю. Це і буде еквіпотенційна поверхня. Оскільки потенціал у ній однаковий. Якщо розглядати еквіпотенційну поверхню у двомірному просторі, допустимо на кресленні, то вона матиме форму лінії. Робота сил електричного поля з переміщення електричного заряду вздовж цієї лінії дорівнюватиме нулю.

Однією з властивостей еквіпотенційних поверхонь є те, що вони завжди перпендикулярні до силових ліній поля. Цю властивість можна сформулювати і навпаки. Будь-яка поверхня, яка перпендикулярна у всіх точках до ліній електричного поля і називається еквіпотенційною.

Також такі поверхні ніколи не перетинаються між собою. Оскільки це означало б відмінність потенціалу межах однієї поверхні, що суперечить визначенню. Ще вони завжди замкнуті. Поверхні рівного потенціалу що неспроможні розпочатися і піти у нескінченність, які мають у своїй чітких кордонів.

Як правило, на кресленнях немає потреби зображати поверхні цілком. Найчастіше зображують перпендикулярний переріз до еквіпотенційних поверхонь. Таким чином вони вироджуються в лінії. Цього виявляється цілком достатньо оцінки розподілу даного поля. При зображенні графічно поверхні розташовують з однаковим інтервалом. Тобто між двома сусідніми поверхнями дотримується однаковий крок скажемо в один вольт. Тоді за густотою ліній утворених перерізом еквіпотенційних поверхонь можна будувати висновки про напруженості електричного поля.

Наприклад розглянемо поле, створюване точковим електричним зарядом. Силові лінії такого поля радіальні. Тобто, вони починаються в центрі заряду і спрямовані на нескінченність, якщо заряд позитивний. Або спрямовані на заряд, якщо він негативний. Еквіпотенційні поверхні такого поля матимуть форму сфер із центром у заряді та розбіжних від нього. Якщо ж зобразити двомірний переріз, тоді еквіпотенційні лінії будуть у вигляді концентричних кіл, центр яких також розташований в заряді.

Малюнок 1 - еквіпотенційні лінії точкового заряду

Для однорідного поля такого як, наприклад, поле між обкладками електричного конденсатора поверхні рівного потенціалу будуть мати форму площин. Ці площини розташовані паралельно одна одній однаковій відстані. Щоправда на краях обкладок картина поля спотвориться внаслідок крайового ефекту. Але ми уявімо, що обкладки нескінченно довгі.

Малюнок 2 - еквіпотенційні лінії однорідного поля

Щоб зобразити еквіпотенційні лінії для поля, створюваного двома рівними за величиною і протилежними за знаку зарядами мало застосувати принцип суперпозиції. Так як у цьому випадку при накладенні двох зображень точкових зарядів будуть точки перетину ліній поля. А цього бути не може, тому що поле не може бути спрямоване відразу в різні боки. І тут завдання вирішити аналітично.

Малюнок 3 - Картина поля двох електричних зарядів

> Еквіпотенційні лінії

Характеристика та властивості ліній еквіпотенційної поверхні: стан електричного потенціалу поля, статична рівновага, формула точкового заряду.

Еквіпотенційні лініїполя – одномірні області, де електричний потенціал залишається незмінним.

Завдання навчання

• Охарактеризувати форму еквіпотенційних ліній для кількох конфігурацій заряду.

Основні пункти

• Для конкретного ізольованого точкового заряду потенціал ґрунтується на радіальній дистанції. Тому еквіпотенційні лінії виступають круглими.
• Якщо контактує кілька дискретних зарядів, їх поля перетинаються і демонструють потенціал. У результаті еквіпотенційні лінії перекошуються.
• Коли заряди розподіляються по двох провідних пластин у статичному балансі, еквіпотенційні лінії практично прямі.

Терміни

• Еквіпотенційна – ділянка, де кожна точка має єдиний потенціал.
• Статична рівновага – фізичний стан, де всі компоненти перебувають у спокої, а чиста сила дорівнює нулю.

Еквіпотенційні лінії відображають одновимірні ділянки, де електричний потенціал залишається незмінним. Тобто для такого заряду (де б він не знаходився на еквіпотенційній лінії) не потрібно здійснювати роботу, щоб зрушити з однієї точки на іншу в межах конкретної лінії.

Лінії еквіпотенційної поверхні бувають прямими, вигнутими чи неправильними. Все це ґрунтується на розподілі зарядів. Вони розташовуються радіально навколо зарядженого тіла, тому залишаються перпендикулярними до ліній електричного поля.

Одиночний точковий заряд

Для одиночного точкового заряду формула потенціалу:

Тут спостерігається радіальна залежність, тобто, незалежно від дистанції до точкового заряду, потенціал залишається незмінним. Тому еквіпотенційні лінії набувають круглої форми з точковим зарядом у центрі.

Ізольований точковий заряд з лініями електричного поля (синій) та еквіпотенційними (зелений)

Множинні заряди

Якщо контактує кілька дискретних зарядів, ми бачимо, як перекриваються їх поля. Це перекриття змушує потенціал об'єднуватись, а еквіпотенційні лінії перекошуватись.

Якщо є кілька зарядів, то еквіпотенційні лінії формуються нерегулярно. У точці між зарядами контрольний здатний відчувати ефекти від обох зарядів

Безперервний заряд

Якщо заряди розташовані на двох пластинах, що проводять, в умовах статичного балансу, де заряди не перериваються і знаходяться на прямій, то і еквіпотенційні лінії випрямляються. Справа в тому, що безперервність зарядів викликає безперервні дії в будь-якій точці.

Якщо заряди витягуються в лінію і позбавлені переривання, еквіпотенційні лінії йдуть прямо перед ними. Як виняток можна згадати тільки вигин біля країв провідних пластин

Безперервність порушується ближче до кінців пластин, через що на цих ділянках створюється кривизна – крайовий ефект.

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ РОБОТИ.

Між напруженістю електричного частка та електричним потенціалом існує інтегральний та диференційний зв'язок:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Електричне поле може бути представлено графічно двома способами, що доповнюють один одного: за допомогою еквіпотенційних поверхонь та ліній напруженості (силових ліній).

Поверхня, усі точки якої мають однаковий потенціал, називається еквіпотенційною поверхнею. Лінія перетину її з площиною креслення називається еквіпотенціаллю. Силові лінії - лінії, що стосуються яких у кожній точці збігаються з напрямком вектора Е . На малюнку 1 пунктирними лініями показані еквіпотенціалі, суцільними – силові лінії електричного поля.

Рис.1

Різниця потенціалів між точками 1 і 2 дорівнює 0, оскільки вони знаходяться на одній еквіпотенціалі. В цьому випадку з (1):

∫Е dl = 0 або ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Оскільки Е і dl у виразі (3) не дорівнюють 0, то cos ( Edl ) = 0 . Отже, кут між еквіпотенціаллю та силовою лінією становить p/2.

З диференціального зв'язку (2) випливає, що силові лінії завжди спрямовані у бік зменшення потенціалу.

Розмір напруженості електричного поля визначається «густотою» силових ліній. Чим густіше силові лінії, тим менша відстань між еквіпотенціалями, так що силові лінії та еквіпотенціалі утворюють "криволінійні квадрати". Виходячи з цих принципів, можна побудувати картину силових ліній, маючи картину еквіпотенціалів, і навпаки.

Достатньо повна картина еквіпотенціалів поля дозволяє розрахувати в різних точках значення проекції вектора напруженості. Е на обраний напрямок х , усереднене за деяким інтервалом координати ∆х :

Е порівн. ∆х = - ∆ j /∆х,

де ∆х - збільшення координати при переході з однієї еквіпотенціалі на іншу,

∆ j - відповідне йому збільшення потенціалу,

Е порівн. ∆х - середнє значення Ех між двома потенціалами

ОПИС УСТАНОВКИ І МЕТОДИКА ВИМІРЮВАНЬ.

Для моделювання електричного поля зручно використовувати аналогію, існуючу між електричним полем, створеним зарядженими тілами та електричним полем постійного струму, що тече по провідній плівці з однорідною провідністю. При цьому розташування силових ліній електричного поля виявляється аналогічним розташування ліній електричних струмів.

Те саме твердження справедливе для потенціалів. Розподіл потенціалів поля у провідній плівці такий самий, як у електричному полі у вакуумі.

Як провідна плівка в роботі використовується електропровідний папір з однаковим у всіх напрямках провідністю.

На папері встановлюються електроди так, щоб забезпечувався хороший контакт між кожним електродом і папером, що проводить.

Робоча схема установки наведена малюнку 2. Установка складається з модуля II, виносного елемента I, індикатора III, джерела живлення IV. Модуль служить для підключення всіх приладів, що використовуються. Виносний елемент являє собою діелектричну панель 1, яку поміщають лист білого паперу 2, поверх неї - лист копіювального паперу 3, потім - лист електропровідної паперу 4, на якому кріпляться електроди 5. Напруга на електроди подається від модуля II за допомогою з'єднувальних проводів. Індикатор III та зонд 6 використовуються для визначення потенціалів точок на поверхні електропровідного паперу.

Як зонд застосовується провід зі штекером на кінці. Потенціал j зонда дорівнює потенціалу тієї точки поверхні електропровідного паперу, якої він стосується. Сукупність точок поля з однаковим потенціалом і є зображенням еквіпотенціалі поля. Як джерело живлення IV використовується блок живлення ТЕС - 42, який підключається до модуля за допомогою штепсельного роз'єму на задній стінці модуля. Як індикатор Ш використовується вольтметр В7 - 38.

ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ.

1. Встановити на панелі 1 аркуш білого паперу 2. На нього покласти копіювальний папір 3 та аркуш електропровідного паперу 4 (рис.2).

2. Встановити на електропровідному папері електроди 5 та закріпити гайками.

3. Підключити до модуля блок живлення IV (ТЕС – 42) за допомогою штепсельного гнізда на задній стінці модуля.

4. За допомогою двох провідників підключити індикатор III (вольтметр В7 – 38) до гнізд "PV" на лицьовій панелі модуля. Натиснути відповідну кнопку на вольтметрі для вимірювання постійної напруги (рис.2).

5. За допомогою двох провідників підключити електроди 5 до П. модуля.

6. Підключити зонд (провід із двома штекерами) до гнізда на лицьовій панелі модуля.

7. Підключити стенд до мережі 220 В. Увімкнути загальне живлення стенду.

Зв'язок між напруженістю та потенціалом.

Для потенційного поля, між потенційною (консервативною) силою та потенційною енергією існує зв'язок

де ("набла") - оператор Гамільтона.

Оскільки то

Знак мінус показує, що вектор Е спрямований у бік зменшення потенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу використовуються еквіпотенційні поверхні - поверхні у всіх точках яких потенціал має те саме значення.

Еквіпотенційні поверхні зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша. На малюнку пунктиром зображені силові лінії, суцільними лініями - перерізу еквіпотенційних поверхонь для: позитивного заряду точкового (а), диполя (б), двох однойменних зарядів (в), зарядженого металевого провідника складної конфігурації (г).

Для точкового заряду потенціал тому еквіпотенційні поверхні – концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь.

Можна показати, що у всіх випадках вектор Е перпендикулярний еквіпотенційним поверхням і завжди спрямований у бік зменшення потенціалу.

Приклади розрахунку найважливіших симетричних електростатичних полів у вакуумі.

1. Електростатичне поле електричного диполя у вакуумі.

Електричним диполем (або подвійним електричним полюсом) називається система двох рівних по модулю різноіменних точкових зарядів (+q,-q), відстань l між якими значно менше відстані до точок поля (l)<< r).

Плечо диполя l - вектор, спрямований по осі диполя від негативного заряду до позитивного і дорівнює відстані між ними.

Електричний момент диполя ре - вектор, що збігається у напрямку з плечем диполя і дорівнює добутку модуля заряду | q | на плече I:

Нехай r – відстань до точки А від середини осі диполя. Тоді, враховуючи що

2)Напруженість поля в точці на перпендикулярі, відновленому до осі диполя з його середини при

Точка рівновіддалена від зарядів +q і -q диполя, тому потенціал поля в точці В дорівнює нулю. Вектор Єв направлений протилежно вектору l.

3) У зовнішньому електричному полі на кінці диполя діє пара сил, яка прагне повернути диполь таким чином, щоб електричний момент ре диполя розгорнувся вздовж напрямку поля Ё (рис.(а)).

У зовнішньому однорідному полі момент пари сил дорівнює M = qElsin а або У зовнішньому неоднорідному полі (рис.(в)) сили, що діють на кінці диполя, неоднакові та їх результуюча прагне пересунути диполь в область поля з більшою напруженістю - диполь втягується в область сильнішого поля.

2. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини.

Нескінченна площина заряджена із постійною поверхневою щільністю Лінії напруженості перпендикулярні площині, що розглядається, і спрямовані від неї в обидві сторони.

Як Гаусова поверхня приймемо поверхню циліндра, що утворюють якого перпендикулярні зарядженій площині, а основи паралельні зарядженій площині і лежать по різні боки від неї на однакових відстанях.

Так як утворюють циліндри паралельні лініям напруженості, то потік вектора напруженості через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків крізь його підстави 2ES. Заряд, укладений усередині циліндра, дорівнює . За теоремою Гауса звідки:

Е залежить від довжини циліндра, тобто. напруженість поля на будь-яких відстанях однакова за модулем. Таке поле називається однорідним.

Різниця потенціалів між точками, що лежать на відстанях х1 та х2 від площини, дорівнює

3.Поле двох нескінченних паралельних різноіменно заряджених площин з рівними за абсолютним значенням поверхневими щільностями зарядів σ>0 і - σ.

З попереднього прикладу випливає, що вектори напруженості Е 1 і E 2 першої та другої площин рівні по модулю і всюди спрямовані перпендикулярно до площин. Тому у просторі поза площинами вони компенсують один одного, а у просторі між площинами сумарна напруженість . Тому між площинами

(У діелектриці.).

Поле між площинами однорідне. Різниця потенціалів між площинами.
(у діелектриці ).

4.Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

Сферична поверхня радіуса R із загальним зарядом q заряджена рівномірно з поверхневою щільністю

Оскільки система зарядів і, отже, саме поле центрально-симетрично щодо центру сфери, лінії напруженості спрямовані радіально.

Як Гаусова поверхня виберемо сферу радіуса r, що має загальний центр із зарядженою сферою. Якщо r>R, то всередину поверхні потрапляє заряд q. За теоремою Гауса, звідки

При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Різниця потенціалів між двома точками, що лежать на відстані r 1 і r 2 від центру сфери

(r1>R,r2>R), дорівнює

Поза зарядженою сферою поле таке саме, як поле точкового заряду q, що у центрі сфери. Усередині зарядженої сфери поля немає, тому потенціал усюди однаковий і такий самий, як на поверхні

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою,та потенціалом - енергетичною характеристикою поляРобота з переміщення одиничноготочкового позитивного заряду з однієї точки поля в іншу вздовж осі хза умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного та x 1 – x 2 = dx , дорівнює E x dx . Та ж робота дорівнює j 1 -j 2 = dj . Прирівнявши обидва вирази, можемо записати

де символ приватної похідної підкреслює, що диференціювання здійснюється тільки по х.Повторивши аналогічні міркування для осей y та z , можемо знайти вектор Е:

де i, j, k – поодинокі вектори координатних осей х, у, z.

З визначення градієнта (12.4) та (12.6). випливає, що

т. е. напруженість Е поля дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Е поля спрямований бік спаданняпотенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у випадку поля тяжіння (див. § 25), користуються еквіпотенційними поверхнями - поверхнями, у всіх точках яких потенціал має одне й те саме значення.

Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал, відповідно (84.5),

Отже, еквіпотенційні поверхні у разі - концентричні сфери. З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярніеквіпотенційним поверхням.

Лінії напруженості завжди нормальнідо еквіпотенційних поверхонь. Дійсно, всі точки еквіпотенційної поверхні мають однаковий потенціал, тому робота по переміщенню заряду вздовж цієї поверхні дорівнює нулю, тобто електростатичні сили, що діють на заряд, завждиспрямовані за нормалями до еквіпотенційних поверхонь. Отже, вектор Е завжди нормальний до еквіпотенційних поверхонь,тому лінії вектора Е ортогональні цим поверхням.

Еквіпотенційних поверхонь навколо кожного заряду та кожної системи зарядів можна провести безліч. Однак їх зазвичай проводять так, щоб різниці потенціалів між будь-якими двома сусідніми еквіпотенційними поверхнями були однакові. Тоді густота еквіпотенційних поверхонь наочно характеризує напруженість поля у різних точках. Там, де ці поверхні розташовані густіше, напруженість поля більша.

Отже, знаючи розташування ліній напруженості електростатичного поля, можна побудувати еквіпотенційні поверхні і, навпаки, за відомим розташуванням еквіпотенційних поверхонь можна визначити в кожній точці поля модуль і напрямок напруженості поля. На рис. 133 для прикладу показаний вид ліній напруженості (штрихові лінії) та еквіпотенційних поверхонь (суцільні лінії) полів позитивного точкового заряду (а) та зарядженого металевого циліндра, що має на одному кінці виступ, а на іншому - западину (б).