Синус гострого кута трапеції. Кути рівнобедреної трапеції

На просте запитання "Як знайти висоту трапеції?" існує кілька відповідей, і тому, що можуть бути різні вихідні величини. Тому й формули відрізнятимуться.

Ці формули можна запам'ятати, але вони легко виводяться. Потрібно лише застосовувати раніше вивчені теореми.

Прийняті у формулах позначення

У всіх наведених нижче математичних записах вірні такі прочитання букв.

У вихідних даних: всі сторони

Для того, щоб знайти висоту трапеції в загальному випадку потрібно скористатися такою формулою:

н = √(з 2 - (((а - в) 2 + з 2 - d 2)/(2(а - в))) 2).Номер 1.

Не найкоротша, але й зустрічається у завданнях досить рідко. Зазвичай можна скористатися іншими даними.

Формула, яка підкаже, як знайти висоту рівнобедреної трапеції в тій самій ситуації, набагато коротша:

н = √(з 2 - (а - в) 2/4).Номер 2.

У задачі дано: бічні сторони та кути при нижній підставі

Приймають, що кут прилягає до бічної сторони з позначенням «с», відповідно кут до сторони d. Тоді формула для того, як знайти висоту трапеції, загалом буде такою:

н = с * sin α = d * sin β.№3.

Якщо фігура рівнобедрена, то можна скористатися таким варіантом:

н = з * sin α = ((а - в) / 2) * tg α.Номер 4.

Відомі: діагоналі та кути між ними

Зазвичай до цих даних приєднуються ще певні величини. Наприклад, основи чи середня лінія. Якщо дані підстави, то відповіді питанням, як знайти висоту трапеції, знадобиться така формула:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / (а + в) або н = (d 1 * d 2 * sin δ) / (а + в).Номер 5.

Це для загального вигляду фігури. Якщо дана рівнобедрена, то запис перетвориться так:

н = (d 1 2 * sin γ) / (а + в) або н = (d 1 2 * sin δ) / (а + в).№6.

Коли в задачі йдеться про середню лінію трапеції, то формули для пошуку її висоти стають такими:

н = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m або н = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.Номер 5а.

н = (d 1 2 * sin γ) / 2m або н = (d 1 2 * sin δ) / 2m.Номер 6а.

Серед відомих величин: площа з основами або середньою лінією

Це, мабуть, найкоротші і найпростіші формули того, як знайти висоту трапеції. Для довільної фігури вона буде такою:

н = 2S/(а+в).№7.

Вона ж, але з відомою середньою лінією:

н = S/m.Номер 7а.

Як не дивно, але для рівнобедреної трапеції формули виглядатимуть так само.

Завдання

№1. На визначення кутів за нижньої підстави трапеції.

Умови.Дана рівнобедрена трапеція, бічна сторона якої 5 см. Її основи дорівнюють 6 і 12 см. Потрібно знайти синус гострого кута.

Рішення.Для зручності слід ввести позначку. Нехай ліва нижня вершина буде А, решта за годинниковою стрілкою: В, С, Д. Таким чином, нижня основа буде позначена АТ, верхня — ВС.

Потрібно провести висоти з вершин В і С. Точки, які вкажуть кінці висот, будуть позначені Н 1 і Н 2 відповідно. Оскільки у фігурі ВСН 1 Н 2 усі кути прямі, вона є прямокутником. Це означає, що відрізок Н1Н2 дорівнює 6 см.

Тепер потрібно розглянути два трикутники. Вони рівні, оскільки прямокутними з однаковими гіпотенузами і вертикальними катетами. Звідси випливає, як і менші катети вони рівні. Тому їх можна визначити як окреме від різниці. Остання вийде від віднімання з нижньої основи верхньої. Ділитиметься воно на 2. Тобто 12 - 6 потрібно поділити на 2. АН 1 = Н 2 Д = 3 (см).

Тепер із теореми Піфагора потрібно знайти висоту трапеції. Вона потрібна для знаходження синуса кута. ВН 1 = √ (52 - 32) = 4 (см).

Скориставшись знанням про те, як знаходиться синус гострого кута в трикутнику з прямим кутом, можна записати такий вираз: sin = ВН 1 / АВ = 0,8.

Відповідь.Шуканий синус дорівнює 0,8.

№2. На перебування висоти трапеції за відомим тангенсом.

Умови.У рівнобедреної трапеції слід обчислити висоту. Відомо, що її основи дорівнюють 15 і 28 см. Даний тангенс гострого кута: 11/13.

Рішення.Позначення вершин таке саме, як у попередній задачі. Знову потрібно провести дві висоти із верхніх кутів. За аналогією з рішенням першого завдання потрібно знайти АН 1 = Н 2 Д, які визначаться як різницю 28 і 15, поділена на два. Після підрахунків виходить: 6,5 див.

Оскільки тангенс — це відношення двох катетів, можна записати таку рівність: tg α= АН 1 / ВН 1 . Причому це відношення дорівнює 11/13 (за умовою). Оскільки АН 1 відомий, можна обчислити висоту: ВН 1 = (11 * 6,5) / 13. Прості розрахунки дають результат 5,5 див.

Відповідь.Висота, що шукається, дорівнює 5,5 см.

№3. На обчислення висоти за відомими діагоналями.

Умови.Про трапецію відомо, що її діагоналі дорівнюють 13 і 3 см. Потрібно дізнатися про її висоту, якщо сума підстав становить 14 см.

Рішення.Нехай позначення фігури буде таким самим, як раніше. Припустимо, що АС менша діагональ. З вершини З потрібно провести висоту, що шукається, і позначити її СН.

Тепер потрібно виконати додаткову побудову. З кута З потрібно провести пряму, паралельну більшій діагоналі і знайти точку її перетину з продовженням боку артеріального тиску. Це буде Д1. Вийшла нова трапеція, усередині якої накреслено трикутник АСД 1 . Він і потрібен для подальшого вирішення завдання.

Шукана висота виявиться ще й їй же в трикутнику. Тому можна скористатися формулами, вивченими в іншій темі. Висота трикутника визначається як добуток числа 2 та площі, поділений на бік, до якої вона проведена. А сторона виявляється дорівнює сумі підстав вихідної трапеції. Це виходить із правила, за яким виконано додаткову побудову.

У розглянутому трикутнику всі сторони відомі. Для зручності введемо позначення х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

Тепер можна порахувати площу, скориставшись теоремою Герона. Напівпериметр дорівнюватиме р = (х + у + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (см). Тоді формула для площі після підстановки значень виглядатиме так: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (см 2).

Відповідь.Висота дорівнює 6√10/7 см.

№4. Для пошуку висоти на всі боки.

Умови.Дана трапеція, три сторони якої дорівнюють 10 см, а четверта 24 см. Потрібно дізнатися її висоту.

Рішення.Оскільки фігура рівнобедрена, то знадобиться формула під номером 2. У неї потрібно просто підставити всі значення та порахувати. Це буде виглядати так:

н = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (см).

Відповідь.н = √51 см.

Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ прямокутна трапеція). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз. Для простих підкорених виразів може використовуватися знак "√"

Властивості прямокутної трапеції

• У прямокутної трапеціі два кути обов'язково прямі
• Обидва прямі кутипрямокутної трапеції обов'язково належать суміжним вершинам
• Обидва прямі кутиу прямокутній трапеції обов'язково належать до однієї і тієї ж бічної сторони
• Діагоналі прямокутної трапеціїутворюють з одного з боків прямокутний трикутник
• Довжина бокової сторонитрапеції, перпендикулярній основам дорівнює її висоті
• У прямокутної трапеції основи паралельніодна бічна сторона перпендикулярна основам, а друга бічна сторона - похила до основ
• У прямокутної трапеції два кути прямі, а два інших – гострий і тупий

Завдання

У прямокутної трапеціївелика бічна сторона дорівнює сумі основ, висота дорівнює 12 см. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого рівні основ трапеції.

Рішення.
Позначимо трапецію як ABCD. Позначимо довжини основ трапеції як a (більша основа AD) та b (менша основа BC). Нехай прямим кутом буде

∠A.

Площа прямокутника, сторони якого рівні підстав трапеції, дорівнюватиме
S = ab

З вершини C верхньої основи трапеції ABCD опустимо на нижню основу висоту CK. Висота трапеції відома за умовою завдання. Тоді, за теоремою Піфагора
CK 2+KD

2 = CD 2

Оскільки велика бічна сторона трапеції за умовою дорівнює сумі підстав, то CD = a + b
Оскільки трапеція прямокутна, то висота, проведена з верхньої основи трапеції, розбиває нижню основу на два відрізки.

AD=AK+KD. Величина першого відрізка дорівнює меншому підставі трапеції, оскільки висота утворила прямокутник ABCK, тобто BC = AK = b, отже, KD дорівнюватиме різниці довжин основ прямокутної трапеції KD = a - b.
тобто
12 2 + (a - b) 2 = (a + b) 2
звідки
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144 = 4ab

Оскільки площа прямокутника S = ab (див. вище), то
144 = 4S
S = 144/4 = 36

Відповідь: 36 см

2 .

Інструкція

Якщо відомі довжини обох основ (b і c) і однакових за визначенням бічних сторін (a) рівнобедреної, то для обчислення величини одного з її гострих кутів (γ) можна використовувати прямокутний трикутник. Для цього опустіть висоту з будь-якого прилеглого до короткої основи кута. Прямокутний трикутник буде утворений висотою (), бічною стороною (гіпотенуза) та відрізком довгої основи між висотою та ближньою бічною стороною (другий катет). Довжину цього відрізка можна знайти, відібравши від довжини більшої основи довжину меншого і поділивши результат навпіл: (c-b)/2.

Отримавши значення довжин двох суміжних сторін прямокутного трикутника, переходьте до обчислення кута між ними. Відношення довжини гіпотенузи (a) до довжини катета ((c-b)/2) дає значення косинуса цього кута (cos(γ)), ​​а функція арккосинус допоможе перетворити його на величину кута в градусах: γ=arccos(2*a/(c-b )). Так ви отримаєте величину одного з гострих, а оскільки вона рівнобедрена, то і другий гострий кут матиме таку саму величину. Сума всіх кутів повинна становити 360°, а це , що сума двох кутів дорівнюватиме різниці між цим і подвоєною величиною гострого кута. Оскільки обидва тупі кути теж будуть однакові, то для знаходження величини кожного з них (α) цю різницю треба поділити навпіл: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*a/(c-b)) . Тепер у вас є обчислення всіх кутів рівнобедреної трапеції за відомими довжинами її сторін.

Якщо довжини бокових сторін фігури невідомі, але дана її висота (h), то діяти потрібно за такою ж схемою. У цьому випадку в прямокутному трикутнику, складеному з бокової сторони і короткого відрізка довгої основи, вам будуть відомі довжини двох катетів. Їхнє співвідношення визначає тангенс потрібного вам кута, а ця тригонометрична функція теж має свого антипода, що перетворює значення тангенса на величину кута - арктангенс. Отримані у попередньому кроці формули гострого та тупого кутів трансформуйте відповідним чином: γ=arctg(2*h/(c-b)) та α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Для вирішення цього завдання методами векторної алгебри вам необхідно знати такі поняття: геометрична векторна сума і скалярний добуток векторів, а також слід пам'ятати властивість суми внутрішніх кутів чотирикутника.

Вам знадобиться

• - папір;
• - ручка;
• - Лінійка.

Інструкція

Вектор – це спрямований відрізок, тобто величина, що вважається заданою повністю, якщо задана його довжина та напрям (кут) до заданої осі. Положення вектора більше не обмежене. Рівними вважаються два вектори, що мають довжини та один напрямок. Тому при використанні координат вектори зображують радіус-векторами точок його кінця (початок координат).

За визначенням: результуючим вектором геометричної суми векторів називається вектор, що виходить з початку першого і має кінець другого, за умови, що кінець першого поєднаний з початком другого. Це можна продовжувати і далі, будуючи ланцюжок аналогічно розташованих векторів.
Зобразіть заданий ABCD векторами a, b, c та d у рис. 1. Очевидно, що при такому розташуванні результуючий вектор d=a+b+c.

Скалярне твір у разі зручніше з урахуванням векторів a і d. Скалярне твір, що позначається (a, d) = | a | | d | cosф1. Тут ф1 – кут між векторами a та d.
Скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається такими:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тоді
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Кути рівнобедреної трапеції. Доброго дня! У цій статті мова піде про вирішення завдань із трапецією. Ця група завдань входить до складу іспиту, завдання найпростіші. Обчислюватимемо кути трапеції, основи та висоти. Рішення низки завдань зводиться до вирішення , як то кажуть: куди ми без теореми Піфагора, ?

Працюватимемо з рівнобедреною трапецією. У неї рівні бічні сторони та кути при підставах. Про трапецію є стаття на блозі.

Зазначимо невеликий та важливий нюанс, який у процесі вирішення самих завдань докладно розписувати не будемо. Подивіться, якщо у нас дано дві основи, то більша основа висотами, опущеними до неї, розбивається на три відрізки – один дорівнює меншій основі (це протилежні сторони прямокутника), дві інші рівні один одному (це катети рівних прямокутних трикутників):

Простий приклад: дано дві основи рівнобедреної трапеції 25 і 65. Більша основа розбивається на відрізки таким чином:

*І ще! У завданнях не введено літерних позначень. Це зроблено навмисне, щоб не перевантажувати рішення алгебраїчними вишукуваннями. Згоден, що це математично неписьменно, але мета донести суть. А позначення вершин та інших елементів ви завжди можете зробити самі та записати математично коректне рішення.

Розглянемо завдання:

27439. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 51 і 65. Бічні сторони дорівнюють 25. Знайдіть синус гострого кута трапеції.

Для того, щоб знайти кут необхідно побудувати висоти. На ескізі позначимо дані за умови величини. Нижня основа дорівнює 65, висотами воно розбивається на відрізки 7, 51 і 7:

У прямокутному трикутнику нам відома гіпотенуза і катет, можемо знайти другий катет (висота трапеції) і далі вже обчислити синус кута.

По теоремі Піфагора вказаний катет дорівнює:

Таким чином:

Відповідь: 0,96

27440. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 43 і 73. Косинус гострого кута трапеції дорівнює 5/7. Знайдіть бічну сторону.

Побудуємо висоти та відзначимо дані в умові величини, нижня основа розбивається на відрізки 15, 43 та 15:

27441. Більша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 34. Бічна сторона дорівнює 14. Синус гострого кута дорівнює (2√10)/7. Знайдіть меншу основу.

Збудуємо висоти. Для того щоб знайти меншу основу нам необхідно знайти чому дорівнює відрізок, що є катетом у прямокутному трикутнику (позначений синім):

Можемо обчислити висоту трапеції, а потім знайти катет:

По теоремі Піфагора обчислюємо катет:

Таким чином, менша основа дорівнює:

27442. Підстави рівнобедреної трапеції дорівнюють 7 і 51. Тангенс гострого кута дорівнює 5/11. Знайдіть висоту трапеції.

Побудуємо висоти та відзначимо дані за умови величини. Нижня основа розбивається на відрізки:

Що робити? Виражаємо тангенс відомого нам кута при основі у прямокутному трикутнику:

27443. Менша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 23. Висота трапеції дорівнює 39. Тангенс гострого кута дорівнює 13/8. Знайдіть більшу основу.

Будуємо висоти і обчислюємо чому дорівнює катет:

Таким чином більша основа дорівнюватиме:

27444. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 17 і 87. Висота трапеції дорівнює 14. Знайдіть тангенс гострого кута.

Будуємо висоти та відзначаємо відомі величини на ескізі. Нижня основа розбивається на відрізки 35, 17, 35:

За визначенням тангенсу:

77152. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 6 і 12. Синус гострого кута трапеції дорівнює 0,8. Знайдіть бічну сторону.

Побудуємо ескіз, побудуємо висоти та відзначимо відомі величини, більша основа розбивається на відрізки 3, 6 та 3:

Виразимо гіпотенузу позначену як х через косинус:

З основної тригонометричної тотожності знайдемо cosα

Таким чином:

27818. Чому дорівнює більший кут рівнобедреної трапеції, якщо відомо, що різниця протилежних кутів дорівнює 50 0? Відповідь дайте у градусах.

З курсу геометрії нам відомо, що якщо маємо дві паралельні прямі та січну, то сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180 0 . У нашому випадку це

З умовою сказано, що різниця протилежних кутів дорівнює 50 0 тобто

З точок D і C опустимо дві висоти:

Як уже сказано вище, вони розбивають більшу основу на три відрізки: один дорівнює меншій основі, дві інші рівні один одному.

У разі вони рівні 3, 9 і 3 (у сумі 15). Крім того, зазначимо, що висотами відсікаються прямокутні трикутники, причому вони є рівнобедреними, тому що кути при підставі дорівнюють 45 0 . Звідси випливає, що висота трапеції дорівнюватиме 3.

На цьому все! Успіху вам!

З повагою, Олександр.