Sinx 3 графік. Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y=sinx у табличному процесорі MS Excel

Урок та презентація на тему: "Функція y=sin(x). Визначення та властивості"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:

• Властивості функції Y = sin (X).
• Графік функції.
• Як будувати графік та його масштаб.
• приклади.

Властивості синусу. Y=sin(X)

Діти, ми вже познайомилися з тригонометричними функціями числового аргументу. Ви пам'ятаєте їх?

Давайте познайомимося ближче із функцією Y=sin(X)

Запишемо деякі властивості цієї функції:
1) Область визначення – безліч дійсних чисел.
2) Функція непарна. Згадаймо визначення непарної функції. Функція називається непарною, якщо виконується рівність: y(-x)=-y(x). Як пам'ятаємо з формул привида: sin(-x)=-sin(x). Визначення виконалося, отже Y = sin (X) - непарна функція.
3) Функція Y=sin(X) зростає на відрізку та зменшується на відрізку [π/2; π]. Коли ми рухаємось по першій чверті (проти годинникової стрілки), ордината збільшується, а під час руху по другій чверті вона зменшується.

4) Функція Y=sin(X) обмежена знизу та зверху. Ця властивість випливає з того, що
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Найменше значення функції дорівнює -1 (при х = - π/2+ πk). Найбільше значення функції дорівнює 1 (при х = π/2+ πk).

Давайте, скориставшись властивостями 1-5, збудуємо графік функції Y = sin (X). Будуватимемо наш графік послідовно, застосовуючи наші властивості. Почнемо будувати графік на відрізку.

Особливу увагу варто звернути на масштаб. На осі ординат зручніше прийняти одиничний відрізок рівний двом клітинам, але в осі абсцис - одиничний відрізок (дві клітини) прийняти рівним π/3 (дивіться малюнок).

Побудова графіка функції синус x, y=sin(x)

Порахуємо значення функції на нашому відрізку:

Побудуємо графік за нашими точками, з урахуванням третьої якості.

Таблиця перетворень для формул привиду

Скористаємося другою властивістю, яка говорить, що наша функція непарна, а це означає, що її можна відобразити симетрично щодо початку координат:

Ми знаємо, що sin(x+2π) = sin(x). Це означає, що у відрізку [- π; π] графік виглядає так само, як на відрізку [π; 3π] або або [-3π; - π] і так далі. Нам залишається акуратно перемалювати графік на попередньому малюнку на всю вісь абсцис.

Графік функції Y=sin(X) називають синусоїдою.

Напишемо ще кілька властивостей згідно з побудованим графіком:
6) Функція Y=sin(X) зростає будь-якому відрізку виду: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – ціле число і зменшується на будь-якому відрізку виду: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – ціле число.
7) Функція Y=sin(X) – безперервна функція. Подивимося на графік функції і переконаємося, що наша функція не має розривів, це означає безперервність.
8) Область значень: відрізок [-1; 1]. Це також добре видно з графіка функції.
9) Функція Y = sin (X) - періодична функція. Подивимося знову на графік і побачимо, що функція набуває одні й самі значення, через деякі проміжки.

Приклади завдань із синусом

1. Розв'язати рівняння sin(x)= x-π

Рішення: Побудуємо 2 графіки функції: y=sin(x) і y=x-π (див. рисунок).
Наші графіки перетинаються в одній точці А(π;0), і є відповідь: x = π

2. Побудувати графік функції y=sin(π/6+x)-1

Рішення: Шуканий графік вийде шляхом перенесення графіка функції y=sin(x) на π/6 одиниць вліво та 1 одиницю вниз.

Рішення: Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок [π/2; 5π/4].
На графіку функції видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка, у точках π/2 та 5π/4 відповідно.
Відповідь: sin(π/2) = 1 – найбільше значення, sin(5π/4) = найменше значення.

Завдання на синус для самостійного вирішення

• Розв'яжіть рівняння: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Побудувати графік функції y=sin(π/3+x)-2
• Побудувати графік функції y=sin(-2π/3+x)+1
• Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку
• Знайти найбільше та найменше значення функції y=sin(x) на відрізку [- π/3; 5π/6]

Як побудувати графік функції y = sin x? Для початку розглянемо графік синуса на проміжку.

Одиничний відрізок беремо довжиною 2 клітинки зошита. На осі Oy відзначаємо одиницю.

Для зручності число π/2 округляємо до 1,5 (а не до 1,6, як за правилами округлення). І тут відрізку довжиною π/2 відповідають 3 клітини.

На осі Ox відзначаємо не поодинокі відрізки, а відрізки довжиною π/2 (через кожні 3 клітини). Відповідно, відрізку довжиною π відповідає 6 клітин, відрізку довжиною π/6 - 1 клітина.

При такому виборі одиничного відрізка графік, зображений на аркуші зошита клітинку, максимально відповідає графіку функції y = sin x.

Складемо таблицю значень синуса на проміжку:

Отримані точки відзначимо на координатній площині:

Так як y = sin x - непарна функція, графік синуса симетричний щодо початку відліку - точки O (0; 0). З урахуванням цього факту продовжимо побудову графіка вліво, то точки -?

Функція y = sin x - періодична з періодом T = 2π. Тому графік функції, взятий на проміжку [-π;π], повторюється нескінченне число разів праворуч і ліворуч.

Ми з'ясували, що поведінка тригонометричних функцій і функції у = sin х зокрема, на всій числовій прямій (або при всіх значеннях аргументу х) повністю визначається її поведінкою в інтервалі 0 < х < π / 2 .

Тому перш за все ми побудуємо графік функції у = sin х саме у цьому інтервалі.

Складемо таку таблицю значень нашої функції;

Позначаючи відповідні точки на площині координат та з'єднуючи їх плавною лінією, ми отримуємо криву, представлену на малюнку

Отриману криву можна було б побудувати і геометрично, не становлячи таблиці значень функції у = sin х .

1. Першу чверть кола радіуса 1 розділимо на 8 рівних частин. Ординати точок поділу кола є синуси відповідних кутів.

2.Перша чверть кола відповідає кутам від 0 до π / 2 . Тому на осі хВізьмемо відрізок і розділимо його на 8 рівних частин.

3. Проведемо прямі, паралельні осі х, та якщо з точок поділу відновимо перпендикуляри до перетину з горизонтальними прямими.

4.Точки перетину з'єднаємо плавною лінією.

Тепер звернемося до інтервалу π / 2 < х < π .
Кожне значення аргументу хз цього інтервалу можна подати у вигляді

x = π / 2 + φ

де 0 < φ < π / 2 . За формулами наведення

sin ( π / 2 + φ ) = соs φ = sin ( π / 2 - φ ).

Точки осі хз абцисами π / 2 + φ і π / 2 - φ симетричні один одному щодо точки осі хз абсцисою π / 2 , і синуси у цих точках однакові. Це дозволяє отримати графік функції у = sin х в інтервалі [ π / 2 , π ] шляхом простого симетричного відображення графіка цієї функції в інтервалі щодо прямої х = π / 2 .

Тепер, використовуючи властивість непарності функції у = sin х,

sin (- х) = - sin х,

легко побудувати графік цієї функції в інтервалі [- π , 0].

Функція у = sin x періодична з періодом 2π ;. Тому для побудови всього графіка цієї функції досить криву, зображену на малюнку, продовжити вліво та вправо періодично з періодом 2π .

Отримана внаслідок цього крива називається синусоїдою . Вона і є графіком функції у = sin х.

Малюнок добре ілюструє всі властивості функції у = sin х , які раніше було доведено нами. Нагадаємо ці властивості.

1) Функція у = sin х визначено для всіх значень х , Отже областю її визначення є сукупність всіх дійсних чисел.

2) Функція у = sin х обмежена. Усі значення, які вона набуває, укладені в інтервалі від -1 до 1, включаючи ці два числа. Отже, сфера зміни цієї функції визначається нерівністю -1 < у < 1. При х = π / 2 + 2k π функція набуває найбільших значень, рівні 1, а при х = - π / 2 + 2k π - Найменші значення, рівні - 1.

3) Функція у = sin х є непарною (синусоїда симетрична щодо початку координат).

4) Функція у = sin х періодична з періодом 2 π .

5) В інтервалах 2n π < x < π + 2n π (n - будь-яке ціле число) вона позитивна, а інтервалах π + 2k π < х < 2π + 2k π (k – будь-яке ціле число) вона негативна. При х = k π функція перетворюється на нуль. Тому ці значення аргументу х (0; ± π ; ±2 π ; ...) називаються нулями функції у = sin x

6) В інтервалах - π / 2 + 2n π < х < π / 2 + 2n π функція у = sin x монотонно зростає, а в інтервалах π / 2 + 2k π < х < 3π / 2 + 2k π вона монотонно зменшується.

Варто особливо звернути увагу на поведінку функції у = sin x поблизу точки х = 0 .

Наприклад, sin 0,012 ≈ 0,012; sin (-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Водночас слід зазначити, що за будь-яких значень х

| sin x| < | x | . (1)

Дійсно, нехай радіус кола, представленого на малюнку, дорівнює 1,
a / AОВ = х.

Тоді sin x= АС. Але АС< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол х. Довжина цієї дуги дорівнює, очевидно, х, Так як радіус кола дорівнює 1. Отже, при 0< х < π / 2

sin х< х.

Звідси через непарність функції у = sin x легко показати, що при - π / 2 < х < 0

| sin x| < | x | .

Нарешті, при x = 0

| sin x | = | х |.

Отже, для | х | < π / 2 нерівність (1) доведено. Насправді це нерівність вірно і за | x | > π / 2 через те, що | sin х | < 1, а π / 2 > 1

Вправи

1.По графіку функції у = sin x визначити: a) sin 2; б) sin 4; в) sin(-3).

2.По графіку функції у = sin x визначити, яке число з інтервалу
[ - π / 2 , π / 2 ] має синус, рівний: а) 0,6; б) -0,8.

3. За графіком функції у = sin x визначити, які числа мають синус,
рівний 1/2.

4. Знайти приблизно (без використання таблиць): a) sin 1°; б) sin 0,03;
в) sin (-0,015); г) sin (-2 ° 30 ").

Розтягнення графіка y = sinx по осі y. Дана функція y=3sinx. Щоб побудувати її графік, потрібно розтягнути графік y=sinx те щоб E(y): (-3; 3).

Картинка 7 із презентації «Побудувати графік функції»до уроків алгебри на тему «Графік функції»

Розміри: 960 х 720 пікселів, формат: jpg. Щоб безкоштовно скачати картинку для уроку алгебри, клацніть правою кнопкою мишки на зображенні і натисніть «Зберегти зображення як...». Для показу картинок на уроці Ви можете також безкоштовно скачати презентацію «Побудувати графік функції.ppt» повністю з усіма картинками в zip-архіві. Розмір архіву – 327 КБ.

Завантажити презентацію

Графік функції

«Побудувати графік функції» - Зміст: Розтяг графіка y = sinx по осі y. Дана функція y=3sinx. Дано функцію y=sinx+1. Дано функцію y=3cosx. Побудуйте графік функції. Графік функції y = m * cos x. Виконав: Кадет 52 навчальної групи Левін Олексій. Усунення графіка y=cosx по вертикалі. Щоб перейти до прикладів завдань, натисніть л. кнопки миші.

«Система координат у просторі» - Засув закритий. Вись, ширь, глибина. Прямокутна система координат у просторі. Координати точки у просторі. Робота М.Ешера відбиває ідею запровадження прямокутної системи координат у просторі. Ох - вісь абсцис, Оу - вісь ординат, Оz - вісь аплікат. З Піфагором слухай сфер сонати, Атомам продовжує рахунок, як Демокріт.

"Координатна площина 6 клас" - У. Математика 6 клас. 1. Знайдіть та запишіть координати точок A, B, C, D: О. Х. Координатна площина. -3. 1.

«Функції та його графіки» - Приклади непарних функцій: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Якщо k? 0 і b? 0 то y = kx + b. Функція визначена на багатьох дійсних чисел. Лінійна функція виду y = kx називається прямою пропорційністю. Ступінна. y = sin x. Періодичність.

"Дослідження функції" - Функцій. Дорохова Ю.А. Згадаймо… План роботи на уроці. Використовуючи схему дослідження функції, виконайте завдання: п. 24; №296 (а; б), №299 (а; б). Чи знаєте ви, що… Використання похідної. Завдання. Перевірна робота: Виконайте усно: Для функції f(x)=х3 визначити D(f), парність, зростання, спадання.

«Зростання та зменшення функції» - Зростання та зменшення функцій. Познайомимося з прикладу зі зростанням і зменшенням функції. У силу періодичності функції синуса доказ досить провести для відрізка [-?/2; ?/2]. Розглянемо ще один приклад. Якщо -?/2? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Всього у темі 25 презентацій

"Йошкар-Олінський технікум сервісних технологій"

Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y=sinx у табличному процесоріMS Excel

/методична розробка/

Йошкар – Ола

Тема. Побудова та дослідження графіка тригонометричної функціїy = sinx у табличному процесорі MS Excel

Тип уроку- Інтегрований (отримання нових знань)

Цілі:

Дидактична мета - дослідити поведінку графіків тригонометричної функціїy= sinxзалежно від коефіцієнтів за допомогою комп'ютера

Навчальні:

1. З'ясувати зміну графіка тригонометричної функції y= sin xзалежно від коефіцієнтів

2. Показати впровадження комп'ютерних технологій у навчання математики, інтеграцію двох предметів: алгебри та інформатики.

3. Формувати навички використання комп'ютерних технологій під час уроків математики

4. Закріпити навички дослідження функцій та побудови їх графіків

Розвиваючі:

1. Розвивати пізнавальний інтерес учнів до навчальних дисциплін та вміння застосовувати свої знання у практичних ситуаціях

2. Розвивати вміння аналізувати, порівнювати, виокремлювати головне

3. Сприяти підвищенню загального рівня розвитку студентів

Виховують :

1. Виховувати самостійність, акуратність, працьовитість

2. Виховувати культуру діалогу

Форми роботи на уроці –комбінована

Дидактичне обладнання та обладнання:

1. Комп'ютери

2. Мультимедійний проектор

4. Роздатковий матеріал

5. Слайди презентації

Хід уроку

I. Організація початку уроку

· Привітання студентів та гостей

· Настрій на урок

II. Цілепокладання та актуалізація теми

Для дослідження функції та побудови її графіка потрібно багато часу, доводиться виконувати багато громіздких обчислень, це не зручно, на допомогу приходять комп'ютерні технології.

Сьогодні ми навчимося будувати графіки тригонометричних функцій серед табличного процесора MS Excel 2007.

Тема нашого заняття «Побудова та дослідження графіка тригонометричної функції y= sinxу табличному процесорі»

З курсу алгебри нам відома схема дослідження функції та побудови її графіка. Давайте згадаємо як це зробити.

Слайд 2

Схема дослідження функції

1. Область визначення функції (D(f))

2. Область значення функції Е(f)

3. Визначення парності

4. Періодичність

5. Нулі функції (y = 0)

6. Проміжки знакостійності (у>0, y<0)

7. Проміжки монотонності

8. Екстремуми функції

III. Первинне засвоєння нового навчального матеріалу

Відкрийте програму MS Excel 2007.

Побудуємо графік функції y=sin x

Побудова графіків у табличному процесоріMS Excel 2007

Графік цієї функції будуватимемо на відрізку xЄ [-2π; 2π]

Значення аргументу братимемо з кроком , щоб графік вийшов точнішим.

Т.к. редактор працює з числами, переведемо радіани до числа, знаючи що П ≈ 3,14 . (Таблиця перекладу в роздатковому матеріалі).

1. Знаходимо значення функції у точці х = -2П. Для решти значення аргументу відповідні значення функції редактор обчислює автоматично.

2. Тепер у нас є таблиця зі значеннями аргументу та функції. За допомогою цих даних ми маємо побудувати графік цієї функції за допомогою майстра діаграм.

3. Для побудови графіка треба виділити потрібний діапазон даних, рядки зі значеннями аргументу та функції

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Висновки записуємо у зошит (Слайд 5)

Висновок. Графік функції виду у = sinx + k виходить із графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОУ на k одиниць

Якщо k >0, то графік зміщується вгору на k одиниць

Якщо k<0, то график смещается вниз на k единиц

Побудова та дослідження функції видуу=k*sinx,k- const

Завдання 2.На робочому Листе2в одній системі координат побудуйте графіки функцій y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вигляд графіка.

(Щоб заново не задавати значення аргументу, давайте скопіюємо наявні значення. Тепер вам треба задати формулу, і по отриманій таблиці побудувати графік.)

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом із учнями поведінку графіка тригонометричної функції залежно від коефіцієнтів. (Слайд 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , на інтервалі (-2π; 2π) і простежте як змінюється вигляд графіка.

Порівнюємо отримані графіки. Розбираємо разом із учнями поведінку графіка тригонометричної функції залежно від коефіцієнтів. (Слайд 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Висновки записуємо у зошит (Слайд 11)

Висновок. Графік функції виду у = sin (x + k) виходить з графіка функції у = sinx за допомогою паралельного перенесення вздовж осі ОХ на одиниць

Якщо k >1, графік зміщується вправо вздовж осі ОХ

Якщо 0

IV. Первинне закріплення здобутих знань

Диференційовані картки із завданням на побудову та дослідження функції за допомогою графіка

	Y=6* sin (x)	Y=1-2 sinх	Y=- sin(3х+)
1. Область визначення
2. Область значення
3. Парність
4. Періодичність
5. Проміжки знакостійності
6. Проміжкимонотонності
Функція зростає
Функція зменшується
7. Екстремуми функції
Мінімум
Максимум

V. Організація домашнього завдання

Побудувати графік функції y=-2*sinх+1 , дослідити і перевірити правильність побудови серед електронної таблиці Microsoft Excel. (Слайд 12)

VI. Рефлексія