Складні відсотки у завданнях еге.

Розв'язання задач з математики застосування основних понять про відсотки.

Завдання на відсотки вчать вирішувати із 5 класу.

Розв'язання задач цього типу тісно пов'язане з трьома алгоритмами:

1. знаходження відсотка від числа,
2. знаходження числа за його відсотком,
3. знаходження відсоткового відношення.

На уроках з учнями розбирають, що сота частина метра – це сантиметр, сота частина рубля – копійка, сота частина центнера – кілограм. Люди давно помітили, що соті частки величин зручні в практичної діяльності. Тому для них було вигадано спеціальну назву - відсоток.

Значить одна копійка – один відсоток від одного рубля, а один сантиметр – один відсоток від одного метра.

Один відсоток – це одна сота частка числа. Математичними знакамиодин відсоток записується так: 1%.

Визначення одного відсотка можна записати рівністю: 1% = 0,01. а

5% = 0,05, 23% = 0,23, 130% = 1,3 і т.д.

Як знайти 1% від числа?

Раз 1% це одна сота частина, треба число поділити на 100. Розподіл на 100 можна замінити множенням на 0,01. Тому щоб знайти 1% від даного числа, потрібно помножити його на 0,01. А якщо потрібно знайти 5% від числа, то множимо це числона 0,05 і т.д.

приклад. Знайти: 25% від 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Правило 1. Щоб знайти цю кількість відсотків від числа, потрібно відсотки записати десятковим дробом, а потім число помножити на цей десятковий дріб.

приклад. Токар виточував за годину 40 деталей. Застосувавши різець із міцнішої сталі, він став виточувати на 10 деталей на годину більше. Наскільки відсотків підвищилася продуктивність праці токаря?

Щоб вирішити це завдання, треба дізнатися, скільки відсотків складає 10 деталей від 40. Для цього знайдемо спочатку, яку частину становить число 10 від числа 40. Ми знаємо, що потрібно розділити 10 на 40. Вийде 0,25. А тепер запишемо у відсотках – 25%.

Відповідь: продуктивність праці токаря підвищилася на 25%.

Правило 2. Щоб знайти, скільки відсотків одне число становить від іншого, потрібно розділити перше число на друге та отриманий дріб записати у вигляді відсотків.

приклад. За планового завдання 60 автомобілів на день завод випустив 66 автомобілів. На скільки відсотків завод виконав план?

66: 60 = 1,1 – таку частину складають виготовлені автомобілі від кількості автомобілів за планом. Запишемо у відсотках = 110%.

Відповідь: 110%.

приклад. Бронза є сплавом олова та міді. Скільки відсотків сплаву становить мідь у шматку бронзи, що складається з 6 кг олова та 34 кг міді?

1. 6+ 34 = 40 (кг) – маса всього сплаву.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) – сплаву становить мідь.

Відповідь: 85%.

приклад. Слоненя за весну схудло на 20%, потім одужало за літо на 30%, за осінь знову схудло на 20% і за зиму додало у вазі на 10%. Чи залишився за цей рік його вага колишньою? Якщо змінився, то на скільки відсотків та в який бік?

1. 100 – 20 = 80 (%) – після весни.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) – після літа.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) – після осені.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) – після зими.

Відповідь: схуд на 8,48%.

приклад. Залишили на зберігання 20 кг аґрусу, ягоди якого містять 99% води. Вміст води в ягодах зменшився до 98%. Скільки аґрусу вийде в результаті?

1. 100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - частка сухої речовини в аґрусі спочатку.
2. 20 . 0,01 = 0,2 (кг) – сухої речовини.
3. 100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - частка сухої речовини в аґрусі після зберігання.
4. 0,2: 0,02 = 10 (кг) - стало аґрусу.

Відповідь: 10 кг.

приклад. Що станеться із ціною товару, якщо спочатку її підвищити на 25%, а потім знизити на 25%?

Нехай ціна товару x руб., тоді після підвищення товар коштує 125% колишньої ціни, тобто. 1,25 х, а після зниження на 25% його вартість становить 75% або 0, 75 від підвищеної ціни, тобто.

0,75.1,25х = 0,9375х,

тоді вартість товару знизилася на 6, 25 %, т.к.

х – 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 . 100% = 6,25%

Відповідь: первісна ціна товару знизилася на 6,25%.

Правило 3. Щоб знайти відсоткове відношеннядвох чисел А та В, треба відношення цих чисел помножити на 100%, тобто обчислити (А: В). 100%.

приклад. Знайти число, якщо 15% його дорівнюють 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

х - це число;
0,15. х = 300;
х = 200.

Відповідь: 200.

приклад. З бавовни-сирцю виходить 24% волокна. Скільки треба взяти бавовни-сирцю, щоб отримати 480 кг волокна?

Запишемо 24% десятковим дробом 0,24 і отримаємо завдання про знаходження числа за відомою частиною (дробі).
480: 0,24 = 2000 кг = 2 т

Відповідь: 2 т.

приклад. Скільки кг білих грибів треба зібрати для отримання 1 кг сушених, якщо при обробці свіжих грибів залишається 50% їхньої маси, а при сушінні залишається 10% маси оброблених грибів?

1 кг сушених грибів - це 10% чи 0, 01 частина оброблених, тобто.
1 кг: 0,1=10 кг оброблених грибів, що становить 50% чи 0,5 зібраних грибів, тобто.
10 кг: 0,05 = 20 кг.

Відповідь: 20 кг.

приклад. Свіжі гриби містили масою 90% води, а сухі 12%. Скільки вийде сухих грибів із 22 кг свіжих?

1. 22 . 0,1 = 2,2 (кг) – грибів за масою у свіжих грибах; (0,1 це 10% сухої речовини);
2. 2,2: 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибів, одержуваних зі свіжих (кількість сухої речовини не змінилася, але змінилася її процентний змісту грибах і тепер 2,2 кг (це 88% або 0,88 сухих грибів).

Відповідь: 2,5 кг.

Правило 4. Щоб знайти число за даними його відсотками, треба виразити відсотки у вигляді дробу, а потім значення відсотків поділити на цей дріб.

У завдання на банківські розрахунки зазвичай зустрічаються прості і складні відсотки. У чому полягає різниця простого і складного відсоткового зростання? При простому зростанні відсоток щоразу обчислюється, виходячи з початкового значенняа при складному зростанні він обчислюється з попереднього значення. При простому зростанні 100% - початкова сума, а при складному 100% щоразу нові і дорівнюють попередньому значенню.

приклад. Банк сплачує дохід у розмірі 4% на місяць від величини вкладу. На рахунок поклали 300 тисяч рублів, дохід нараховують щомісяця. Обчисліть величину вкладу через 3 місяці.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – частка збільшення вкладу порівняно з попереднім місяцем.
2. 300 . 1,04 = 312 (тис. р) – величина вкладу через 1 місяць.
3. 312 . 1,04 = 324,48 (тис. р) – величина вкладу через 2 місяці.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (тис. р) = 337 459,2 (р) - величина вкладу через 3 місяці.

Або можна пункти 2-4 замінити одним, повторивши з дітьми поняття ступеня: 300.1,043 = 337,4592 (тис. р) = 337459,2 (р) - величина вкладу через 3 місяці.

Відповідь: 337 459,2 рубля

приклад. Вася прочитав у газеті, що за останні три місяці ціни на продукти харчування зростали в середньому на 10% за кожен місяць. На скільки відсотків зросли ціни за 3 місяці?

приклад. Гроші, вкладені в акції відомої фірми, щороку приносять 20% доходу. Через скільки років вкладена сума подвоїться?

Розглянемо подібний план завдання на конкретних прикладах.

приклад. (Варіант 1 № 16. ОДЕ-2016. Математика. Тип. тест. завдання_ред. Ященко_2016 -80с)

Спортивний магазин проводить акцію. Будь-який джемпер коштує 400 рублів. При купівлі двох джемперів – знижка на другий джемпер 75%. Скільки карбованців доведеться заплатити за купівлю двох джемперів у період акції?

Відповідно до умови завдання виходить, перший джемпер купується за 100 % його вихідної вартості, а другий за 100 - 75 = 25 (%), тобто. Усього покупець повинен заплатити 100 + 25 = 125 (%) від вихідної вартості. Далі можна розглянути рішення трьома способами.

1 спосіб.

400 рублів приймаємо за 100%. Тоді 1% міститься 400: 100 = 4 (крб.), а 125 %
4 . 125 = 500 (крб.)

2 спосіб.

Відсоток від числа перебуває множенням числа на дріб, відповідний відсотку або множенням числа на даний відсоток і поділом на 100.
400 . 1,25 = 500 чи 400 . 125/100 = 500.

3 спосіб.

Застосування якості пропорції:
400 руб. - 100%
х руб. - 125%, отримаємо х = 125. 400/100 = 500 (руб.)

Відповідь: 500 рублів.

приклад. (Варіант 4 № 16. ОДЕ-2016. Математика. Тип. тест. завдання_ред. Ященко_2016 -80с)

Середня вага хлопчиків того ж віку, що і Гоша, дорівнює 57 кг. Вага Гоші становить 150% середньої ваги. Скільки кілограмів важить Гоша?

Аналогічно прикладу, розглянутому вище, можна скласти пропорцію:

57 кг - 100%
х кг – 150 %, отримаємо х = 57 . 150/100 = 85,5 (кг)

Відповідь: 85,5 кг.

приклад. (Варіант 7 № 16. ОДЕ-2016. Математика. Тип. тест. завдання_ред. Ященко_2016 - 80с)

Після уцінки телевізора його нова ціна склала 0,52 старих. На скільки відсотків зменшилася ціна внаслідок уцінки?

1 спосіб.

Знайдемо спочатку частку зменшення ціни. Якщо вихідну ціну прийняти за 1, то 1 – 0,52 = 0,48 становить частка зменшення ціни. Тоді отримуємо, 0,48. 100% = 48%. Тобто. на 48% зменшилася ціна внаслідок уцінки.

2 спосіб.

Якщо вихідну вартість прийняти за А, після уцінки нова ціна телевізора дорівнюватиме 0,52А, тобто. вона зменшиться на А – 0,52А = 0,48А.

Складемо пропорцію:
А – 100%
0,48А - х%, отримаємо х = 0,48А. 100/А = 48 (%).

Відповідь: на 48% зменшилася ціна внаслідок уцінки.

приклад. (Варіант 9 № 16. ОДЕ-2016. Математика. Тип. тест. завдання_ред. Ященко_2016 - 80с)

Товар на розпродажі знизили ціну на 15%, при цьому він став коштувати 680 рублів. Скільки карбованців коштував товар до розпродажу?

До зниження ціни товар коштував 100%. Ціна товару після розпродажу зменшилася на 15%, тобто. стала 100 - 15 = 85 (%), у рублях ця величина дорівнює 680 рублів.

1 спосіб.

680: 85 = 8 (руб.) - 1%
8 . 100 = 800 (руб.) - коштував товар до розпродажу.

2 спосіб.

Це завдання на знаходження числа за його відсотком, вирішується розподілом числа на відповідний йому відсоток та шляхом обігу отриманого дробу у відсотки, множенням на 100, або дією поділу на дріб, отриманий під час переведення з процентів.
680: 85 . 100 = 800 (крб.) чи 680: 0,85 = 800 (крб.)

3 спосіб.

За допомогою пропорції:
680 руб. - 85%
х руб. - 100%, отримаємо х = 680 . 100/85 = 800 (руб.)

Відповідь: 800 рублів коштував товар до розпродажу.

Розв'язання задач на суміші та сплави, з використанням понять «відсотковий вміст», «концентрація», «%-й розчин».

Найкращі прості завданняцього типу наведено нижче.

приклад. Скільки кг солі 10 кг солоної води, якщо відсотковий вміст солі 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (кг) солі.

Відповідь: 1,5 кг.

Відсотковий вміст речовини в розчині (наприклад, 15%) іноді називають %-м розчином (наприклад, 15%-й розчин солі).

приклад. Сплав містить 10 кг олова та 15 кг цинку. Який відсотковий вміст олова та цинку в сплаві?

Відсотковий вміст речовини в сплаві – це частина, яку становить вагу даної речовинивід ваги всього металу.

1. 10 + 15 = 25 (кг) – сплав;
2. 10: 25 . 100% = 40% - відсотковий вміст олова у металі;
3. 15: 25 . 100% = 60% - відсотковий вміст цинку у металі.

Відповідь: 40%, 60%.

У задачах цього основним є поняття «концентрація». Що це таке?

Розглянемо, наприклад, розчин кислоти у питній воді.

Нехай у посудині міститься 10 літрів розчину, що складається з 3 літрів кислоти та 7 літрів води. Тоді відносний (по відношенню до всього обсягу) вміст кислоти в розчині дорівнює. Це число визначає концентрацію кислоти в розчині. Іноді говорять про відсотковий вміст кислоти у розчині. У наведеному прикладі процентний зміст буде таким: . Як бачимо, перехід від концентрації до відсоткового змісту і навпаки дуже простий.

Отже, нехай суміш маси містить деяку речовину масою m.

• концентрацією даної речовини у суміші (сплаві) називається величина;
• процентним вмістом даної речовини називається величина з 100%;

З останньої формули випливає, що при відомих величинах концентрації речовини та загальної масисуміші (сплаву) маса цієї речовини визначається за формулою m=c×M.

Завдання на суміші (сплави) можна розділити на два види:

1. Задаються, наприклад, дві суміші (сплаву) з масами m1 і m2 і концентраціями в них деякої речовини, рівними відповідно с1 і с2. Суміші (сплави) зливають (сплавляють). Потрібно визначити масу цієї речовини в новій суміші (сплаві) та її нову концентрацію. Зрозуміло, що у новій суміші (сплаві) маса даної речовини дорівнює c1m1+c2m2, а концентрація.
2. Задається деякий обсяг суміші (сплаву) і від цього обсягу починають відливати (прибирати) певну кількість суміші (сплаву), а потім доливати (додавати) таку ж чи іншу кількість суміші (сплаву) з такою самою концентрацією даної речовини або з іншою концентрацією. Ця операція проводиться кілька разів.

При вирішенні таких завдань необхідно встановити контроль за кількістю даної речовини та її концентрацією при кожному відливі, а також при кожному додаванні суміші. В результаті такого контролю отримуємо вирішальне рівняння. Розглянемо конкретні завдання.

Якщо концентрація речовини в з'єднанні по масі становить P%, це означає, що маса цієї речовини становить P% від маси всього з'єднання.

приклад. Концентрація срібла у сплаві 300 г становить 87%. Це означає, що чистого срібла у сплаві 261 г.

300 . 0,87 = 261(г).

У цьому прикладі концентрація речовини виражена у відсотках.

Відношення об'єму чистого компонента у розчині до всього об'єму суміші називається об'ємною концентрацією цього компонента.

Сума концентрацій всіх компонентів, що становлять суміш, дорівнює 1.

Якщо відомий процентний вміст речовини, то його концентрація знаходиться за формулою:
К = P/100%,
де К – концентрація речовини;
P – відсотковий вміст речовини (у відсотках).

приклад. (Варіант 8 № 22. ОДЕ-2016. Математика. Тип. тест. завдання_ред. Ященко_2016 - 80с)

Свіжі фрукти містять 75% води, а висушені – 25%. Скільки потрібно свіжих фруктів для приготування 45 кг висушених фруктів?

Якщо у свіжих фруктах міститься 75% води, то сухої речовини буде 100 – 75 = 25 (%), а висушені – 25%, то сухої речовини в них буде 100 – 25 = 75 (%).

При оформленні рішення задачі можна використовувати таблицю:

Свіжі фрукти х 25% = 0,25 0,25. х

Висушені фрукти 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Т.к. маса сухої речовини для свіжих та висушених фруктів не змінюється, то отримаємо рівняння:

0,25. х = 33,75;
х = 33,75: 0,25;
х = 135 (кг) – потрібно свіжих фруктів.

Відповідь: 135 кг.

приклад. (Варіант 8 №11. ЄДІ-2016. Математика. Типів. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Змішавши 70%-й та 60%-й розчини кислоти і додавши 2 кг чистої води, отримали 50% розчин кислоти. Якби замість 2 кг води додали 2 кг 90 % розчину тієї ж кислоти, то отримали б 70 % розчин кислоти. Скільки кілограмів 70%-го розчину використали для одержання суміші?

Загальна вага, кг | Концентрація сухої речовини Маса сухої речовини
I х 70% = 0,7 0,7. х
II у 60% = 0,6 0,6. у
вода 2 - -
I + II + вода х + у + 250% = 0,5 0,5. (х + у + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + у + 2 70% = 0,7 0,7. (х + у + 2)

Використовуючи останній стовпчик з таблиці складемо 2 рівняння:

0,7. х + 0,6. у = 0,5. (х + у + 2) та 0,7 . х + 0,6. у + 1,8 = 0,7. (х + у + 2).

Об'єднавши в систему, і вирішивши її, отримаємо, що x = 3 кг.

Відповідь: 3 кілограми 70%-го розчину використовували для отримання суміші.

приклад. (Варіант 2 №11. ЄДІ-2016. Математика. Типів. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Три кілограми черешні коштують стільки ж, скільки п'ять кілограмів вишні, а три кілограми вишні - стільки ж, скільки два кілограми полуниці. На скільки відсотків кілограм полуниці дешевший за кілограм черешні?

З першої пропозиції задачі отримуємо наступні рівності:

3ч = 5в,
3в = 2к.
З яких можна виразити: год = 5в/3, к = 3в/2.

Таким чином можна скласти пропорцію:
5в/3 – 100%
3в/2 - х%, отримаємо х = (3. 100. в.3) / (2. 5. в), х = 90% становить вартість кілограма полуниці від вартості кілограма черешні.

Значить, на 100 – 90 = 10 (%) – кілограм полуниці дешевший за кілограм черешні.

Відповідь: на 10 відсотків кілограм полуниці дешевший за кілограм черешні.

Вирішення завдань на «складні» відсотки, з використанням поняття коефіцієнта збільшення (зменшення).

Щоб збільшити додатне числоНа р відсотків, слід помножити число А коефіцієнт збільшення К = (1 + 0,01р).

Щоб зменшити позитивне число А р відсотків, слід помножити число А коефіцієнт зменшення К = (1 - 0,01р).

приклад. (Варіант 29 № 22. ОДЕ-2015. Математика. Тип. екзаменаційні варіанти: 36 варіантів / за ред. Ященка, 2015 - 224с)

Ціна товару була двічі знижена на те саме число відсотків. На скільки відсотків знижувалась ціна товару щоразу, якщо його первісна вартість 5000 рублів, а остаточна 4050 рублів?

1 спосіб.

Т.к. ціна товару знижувалася на те саме число %, позначимо число % за х. Нехай перший і другий раз ціна товару була знижена на х%, тоді після першого зниження ціна товару стала (100-х)%.

Складемо пропорцію
5000 руб. - 100%
у руб. - (100 - х) %, отримаємо у = 5000. (100 – х) / 100 = 50 . (100 – х) рублів – вартість товару після першого зниження.

Складемо нову пропорціювже за новою ціною:
50 . (100 – х) руб. - 100%
z руб. - (100 - х) %, отримаємо z = 50 . (100 - х) (100 - х) / 100 = 0,5. (100 - х) 2 рублів - вартість товару після другого зниження.

Отримаємо рівняння 0,5. (100 - х) 2 = 4050. Вирішивши його, отримаємо, що х = 10%.

2 спосіб.

Т.к. ціна товару знижувалася на те саме число %, позначимо число % за х, х % = 0,01 х.

Використовуючи поняття коефіцієнта зменшення, одразу отримуємо рівняння:
5000 . (1 - 0,01 х) 2 = 4050.

Відповідь: на 10% знижувалася ціна товару щоразу.

приклад. (Варіант 30 № 22. ОДЕ-2015. Математика. Тип. екзаменаційні варіанти: 36 варіантів / за ред. Ященко, 2015 - 224с)

Ціна товару була двічі підвищена на те саме число відсотків. На скільки відсотків підвищувалася ціна товару щоразу, якщо його первісна вартість 3000 рублів, а остаточна 3630 рублів?

Т.к. ціна товару підвищувалася на те саме число %, позначимо число % за х, х % = 0,01 х.

Використовуючи поняття коефіцієнта збільшення, одразу отримуємо рівняння:
3000 . (1 + 0,01 х) 2 = 3630.

Вирішивши його, отримаємо, що х = 10%.

Відповідь: на 10% підвищувалася ціна товару щоразу.

приклад. (Варіант 4 №11. ЄДІ-2016. Математика. Типів. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

У четвер акції компанії подорожчали на кілька відсотків, а в п'ятницю подешевшали на таку ж кількість відсотків. В результаті вони стали коштувати на 9% дешевше, ніж під час відкриття торгів у четвер. На скільки відсотків подорожчали акції компанії у четвер?

Нехай акції компанії дорожчали та дешевшали на х%, х% = 0,01х, а вихідна вартість акцій була А. Використовуючи всі умови завдання, отримуємо рівняння:

(1 + 0,01 х) (1 - 0,01 х) А = (1 - 0,09) А,
1 - (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30%.

Відповідь: на 30 відсотків подорожчали акції компанії у четвер.

Розв'язання «банківських» завдань у нової версіїЄДІ-2016 з математики.

приклад. (Варіант 2 №17. ЄДІ-2016. Математика. 50 типів. вар. ред. Ященко 2016)

15 січня планується взяти кредит у банку на 15 місяців. Умови його повернення такі:

Відомо, що восьма виплата становила 108 тис. рублів. Яку суму потрібно повернути банку протягом усього терміну кредитування?

З 2-го по 14-те число провадиться виплата А/15+0,01А.

Після цього сума боргу становитиме 1,01А - А/15 - 0,01А = 14А/15.

Через 2 місяці одержуємо: 1,01. 14А/15.

Другий платіж А/15+0,01. 14А/15.

Тоді борг після другого платежу – 13А/15.

Аналогічно отримуємо, що восьма виплата матиме вигляд:

А/15+0,01. 8А/15 = А/15. (1+0,08) = 1,08А/15.

А за умовою вона дорівнює 108 тис. рублів. Отже, можна скласти і розв'язати рівняння:

1,08 А/15 = 108,

А = 1500 (тис. руб.) - Початкова сума боргу.

2) Щоб знайти суму, яку потрібно повернути банку протягом усього терміну кредитування, ми маємо знайти суму всіх виплат за кредитом.

Сума всіх виплат за кредитом матиме вигляд:

(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01. 14А/15) + (А/15 + 0,01. 13А/15) + … + (А/15 + 0,01. А /15) = А + 0,01 А/15 (15 +14 +13 +12 +11 +10 +9 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1) = А + (0,01. 120А)/15 = 1,08А.

Значить, 1,08. 1500 = 1620 (тис. руб.) = 1620000 рублів необхідно повернути банку протягом усього терміну кредитування.

Відповідь: 1620000 рублів.

приклад. (Варіант 6 №17. ЄДІ-2016. Математика. 50 типів. вар. ред. Ященко 2016)

15 січня планується взяти кредит у банку на 24 місяці. Умови його повернення такі:

• 1-го числа кожного місяця борг зростає на 1%, порівняно з кінцем попереднього місяця;
• з 2-го до 14-го числа кожного місяця необхідно виплатити частину боргу;
• 15-го числа кожного місяця борг повинен бути на одну й ту саму величину менше боргу на 15 число попереднього місяця.

Відомо, що за перші 12 місяців потрібно виплатити банку 177,75 тис. рублів. Яку суму планується взяти у кредит?

1) Нехай А - сума кредиту, 1% = 0,01.

Тоді 1,01А борг після першого місяця.

З 2-го по 14-те число провадиться виплата А/24+0,01А.

Після цього сума боргу становитиме 1,01А - А/24 - 0,01А = А - А/24 = 23А/24.

За такої схеми борг стає на ту саму величину менше боргу на 15-те число попереднього місяця.

Через 2 місяці одержуємо: 1,01. 23А/24.

Другий платіж А/24+0,01. 23А/24.

Тоді борг після другого платежу 1,01. 23А/24 – А/24 – 0,01. 23А/24 = 23А/24(1,01 - 0,01) - А/24 = 23А/24 - А/24 = 22А/24.

Таким чином отримуємо, що за перші 12 місяців потрібно виплатити банку таку суму:
А/24+0,01А. 24/24+А/24+0,01. 23А/24+А/24+0,01. 22А/24+…+А/24+0,01. 13А/24 = 12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200 .

А за умовою вона дорівнює 177,375 тис. рублів. Отже, можна скласти і розв'язати рівняння:
711А/1200 = 177,75,
А = 300 (тис. руб.) = 300 000 рублів - планується взяти в кредит.

Відповідь: 300 000 рублів.

Поговоримо про завдання №19 ЄДІ

Вже два роки до другої частини додано завдання c економічним змістом, т. е. завдання складні банківські відсотки.

Кажуть, що маємо справу зі «складними відсотками» у тому випадку, коли деяка величина схильна до поетапної зміни. При цьому щоразу її зміна становить певну кількість відсотків від значення, яке ця величина мала на попередньому етапі.

Наприкінці кожного етапу величина змінюється на те саме постійна кількістьвідсотків –р%. Тоді наприкінціn -го етапу значення деякої величиниА , вихідне значення якої дорівнювалоА 0 , Визначається формулою:

При збільшенні та

При зменшенні

Знаючи, що річна процентна ставка депозиту дорівнює 12%, знайти

еквівалентну їй місячну відсоткову ставку.

Рішення:

Якщо покласти в банк A рублів, то за рік отримаємо:A 1 = A 0 (1 +0,12)

Якщо відсотки нараховувалися щомісяця із відсотковою ставкоюх , то за формулою складних відсотків за рік (12 місяців)А n = A 0 (1+0,01х) 12

Прирівнявши ці величини отримаємо рівняння, рішення якого дозволить визначити місячну відсоткову ставкуA(1+0,12) = A(1+0,01x) 12

1.12 = (1+0,01x) 12

x = (-1) · 100% ≈ 0.9488792934583046%

Відповідь: місячна процентна ставка дорівнює0.9488792934583046%.

З розв'язання цього завдання можна побачити, що місячна відсоткова ставка не дорівнює річній ставці поділеної на 12.

31 грудня 2013 року Сергій узяв у банку 9930000 рублів у кредит під 10% річних. Схема виплати кредиту така: 31 грудня кожного наступного рокубанк нараховує відсотки на решту суми боргу (тобто збільшує борг на 10%), потім Сергій переводить до банку певну суму щорічного платежу. Якою має бути сума щорічного платежу, аби Сергій виплатив борг трьома рівними щорічними платежами?

Рішення:

Нехай сума кредиту дорівнюєа , щорічний платіж дорівнюєх рублів, а річні становлять k % . Тоді 31 грудня кожного року сума боргу, що залишилася, множиться на коефіцієнт m =1+ 0,01 k . Після першої виплати сума боргу становитиме: а 1 = am - х. Після другої виплати сума боргу

складе:

а 2 = a 1 m - х = (ат-х) т-х = а 2 -тх-х = ат 2 -(1+т)х

За умовою трьома виплатами Сергій має погасити кредит повністю, тому

звідки

Приа = 9930000 іk =10 , отримуємот =1,1 та

Відповідь : 3993000 рублів.

Тепер, коли ми розібралися з цим запропонованим у всіх рішниках рішенням, давайте подивимося на інше рішення.

НехайF = 9930000 - Величина кредиту,x - Шукана величина щорічного платежу.

Перший рік:

Борг:1,1F ;

Платіж:х ;

Залишок:1,1F-х .

Другий рік:

Борг:1,1(1,1F-х) ;

Платіж:х ;

Залишок:1,1(1,1F-х)-х .

Третій рік:

Борг:1,1(1,1F-х)-х );

Платіж:х ;

Залишок: 0, тому що за умовою було лише три платежі.

Єдине рівняння

1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0 . 1,331 F = 3,31 х, х = 3993000

Відповідь: 3993000 рублів.

Однак-1 ! Якщо припустити, що відсоткову ставку не гарні 10%, а страшні 13,66613%. Шанси десь померти по ходу множень або збожеволіти при докладному розписуванні множника при величині боргу за рік різко збільшилися. Додамо до цього ще й не маленькі 3 роки, а 25 років. Таке рішення не спрацює.

31 грудня 2014 року Андрій узяв у банку деяку суму у кредит під 10% річних. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу (тобто збільшує борг на 10%), а потім Андрій переводить до банку 3 460 600 рублів. Яку суму взяв Андрій у банку, якщо він сплатив борг трьома рівними платежами (тобто за 3 роки)?

Рішення.

Нехайа - Шукана величина,k% - Відсоткова ставка за кредитом,х - Щорічний платіж. Тоді 31 грудня кожного року сума боргу, що залишилася, множитиметься на коефіцієнтm = 1+0,01k . Після першої виплати сума боргу становитиме:а 1 = аm – х . Після другої виплати сума боргу становитиме:

а 2 = a 1 m - х = (ат-х) т-х = а 2 -тх-х = ат 2 -(1+т)х

Після третьої виплати сума боргу, що залишився:

За умовою Андрій виплатив борг за три роки,

тобтоа 3 = 0 звідки.

Приx = 3460600, k% = 10% , отримуємо:m = 1,1 і=8 606 000 (Рублів).

Відповідь: 8606000 рублів.

31 грудня 2013 року Ігор узяв у банку 100 000 рублів у кредит. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу, що залишилася (тобто збільшує борг на деяку кількість відсотків), потім Ігор переводить черговий транш. Ігор виплатив кредит за два транші, перевівши вперше 51 000 рублів, вдруге 66 600 рублів. Під який відсоток банк видав кредит Ігореві?

Рішення

Нехайk % - Шукана ставка за кредитом;m = (1 + 0,01 k ) - множник боргу, що залишився;a = 100000 - Сума, взята в банку;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – розміри першого та останнього траншів.

Після першої виплати сума боргу становитиме:a 1 = ma - x 1 .

Після другої виплати сума боргу становитиме:a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 - m x 1 – x 2 . За умовою,a 2 = 0 . Рівняння треба буде вирішити спочатку щодоm , зрозуміло взявши тільки позитивний корінь:

100 000м 2 - 51 000m - 66600 = 0; 500m 2 - 255m - 333 = 0.

Ось де починаються проблеми.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Тоді.

Відповідь: 11%.

31 грудня 2013 року Маша взяла у банку деяку суму у кредит під деякий відсоток річних. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу, що залишилася (тобто збільшує борг на деяку кількість відсотків), потім Маша переводить черговий транш. Якщо вона платитиме щороку по 2 788 425 рублів, то виплатить борг за 4 роки. Якщо по 4991625, то за 2 роки. Під який відсоток Маша взяла гроші у банку?

Рішення

Після двох років виплати сума взятого кредиту обчислюється за такою формулою:

Після чотирьох років виплати сума взятого кредиту обчислюється за такою формулою:

Звідки

тоді.

Відповідь: 12,5%.

31 грудня 2013 року Ваня взяв у банку 9 009 000 рублів у кредит під 20% річних. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на решту суми боргу (тобто збільшує борг на 20%), потім Ваня переводить до банку платіж. Весь борг Ваня виплатив за 3 рівні платежі. На скільки рублів менше він би віддав банку, якби зміг виплатити борг за 2 рівні платежі?

Рішення

Скористаємося результатом із завдання 2.

Шукана різницях 3 -х 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 карбованців.

Відповідь: 1036 00 рублів.

1 червня 2013 року Всеволод Ярославович взяв у банку 900 000 рублів у кредит. Схема виплати кредиту наступна: 1 числа кожного наступного місяця банк нараховує 1 відсоток на суму боргу, що залишилася (тобто збільшує борг на 1%), потім Всеволод Ярославович переказує в банк платіж. На яке мінімальна кількістьмісяців Всеволод Ярославович може взяти кредит, щоби щомісячні виплати були не більше 300 000 рублів?

Потрібно зрозуміти просту істину– чим більшим буде платіж за кредитом, тим меншим буде борг. Менше буде борг – швидше за нього виплатиш. Максимальний щомісячний платіж, який може дозволити кредитор, дорівнює 300 000 рублів відповідно до умови. Якщо Всеволод Ярославович платитиме максимальний платіж, то він найшвидше погасить борг. Іншими словами, зможе взяти кредит на найменший період часу, що й вимагається умовою.

Спробуємо вирішувати завдання у лоб.

Пройшов місяць. 1 липня 2013 року: борг (1 + 0,01)900 000 - 300 000 = 609 000.

Пройшов місяць. 1 серпня 2013 року: борг (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.

Пройшов місяць. 1 вересня 2013: борг (1 +0,01) 315 090 - 300 000 = 18 240,9. Пройшов місяць. 1 жовтня 2013 року: борг (1 0,01)1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Відповідь: 4 місяці.

Вирішимо завдання стандартним методом.

Скористаюся результатами завдання 3 з урахуванням наступного міркування: нерівність частини боргу, що залишилася, має виглядa x ≤ 0 .

Нехайx - Шукана величина,a = 900 000 - Сума, взята в банку,k% = 1% - Ставка за кредитом,y = 300 000 - щомісячний платіж,m = (1+0,01k) - Щомісячний множник боргу, що залишився. Тоді, за вже відомою формулою, отримаємо нерівність: ≤0 ;

Здобули неприємну нерівність, але вірну.

Цілу частину числа беремо тому, що число платежів не може бути не цілим. Беремо найближче більше ціле, менше взяти не можемо (бо тоді залишиться борг) і видно, що отриманий логарифм число не ціле. Виходить 4 платежі, 4 місяці.

Фермер отримав кредит у банку під певний відсоток річних. Через рік фермер у рахунок погашення кредиту повернув у банк від усієї суми, яку він був зобов'язаний банку до цього часу, а ще через рік на рахунок повного погашення кредиту він вніс до банку суму, що на 21% перевищує величину отриманого кредиту. Який відсоток річних за кредитом у цьому банку?

Рішення:

Сума кредиту на ситуацію не впливає. Візьмемо у банку 4 рублі (ділиться на 4).

Через рік борг банку збільшиться рівно вх раз і стане рівним4х карбованців.

Поділимо його на 4 частини, повернемо3х рублів і залишимося повинніх карбованців.

Відомо, що до кінця наступного року доведеться виплатити4 · 1,21 карбованців.

Відомо, що і сума боргу за рік перетворилася з числах до числах 2 .

Оскільки борг через два роки фермером було повністю погашено, то

х 2 = 4 · 1,21 х = 2 · 1,1 х = 2,2

Коефіцієнтх означає те, що 100% за рік перетворюються на 220%.

А це означає, що відсоток річних у банку такий: 220% – 100%

Відповідь: 120%

У банк вміщено суму 3900 тисяч рублів під 50% річних. Наприкінці кожного з перших чотирьох років зберігання після обчислення відсотків вкладник додатково вносив на рахунок одну й ту саму фіксовану суму. До кінця п'ятого року після нарахування відсотків виявилось, що розмір вкладу збільшився порівняно з первісним на 725%. Яку суму вкладник щороку додавав до вкладу?

Рішення:

Нехай фіксована сума, що вноситьсях карбованців.

Тоді після проведення всіх операцій, по першому році, сума на вкладі стала

+х

Після 2 років

Після3 року

Після4 року

Після5 року

Так як до кінця п'ятого року після нарахування відсотків виявилося, що розмір вкладу збільшився порівняно з первісним на 725%, складемо рівняння:

3900 · 8,25 = 3900 · 1,5 5 +х · (1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900 · 5,5 = 3900 · 1,5 4 +х(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Відповідь: 210рублів.

Банк під певний відсоток прийняв певну суму. Через рік чверть накопиченої суми було знято з рахунку. Але банк збільшив відсоток річних на 40%. До кінця наступного року накопичена сума у ​​1,44 рази перевищила початковий внесок. Який відсоток нових річних?

Рішення:

Від суми вкладу ситуація не зміниться. Покладемо у банк 4 рублі (ділиться на 4).

Через рік сума на рахунку збільшиться рівно вp раз і стане рівною4p карбованців.

Поділимо її на 4 частини, віднесемо додомуp рублів, залишимо у банку3p карбованців.

Відомо, що до кінця наступного року у банку виявилося 4 · 1,44 = 5,76 рублів.

Отже, число3p перетворилося на число 5,76. У скільки разів воно побільшало?

Таким чином, знайдено другий підвищуючий коефіцієнтx банку.

Цікаво, що добуток обох коефіцієнтів дорівнює 1,92:

З умови випливає, що другий коефіцієнт на 0,4 більший за перший.

p · x = p ·( p +0,4)=1,92

Вже зараз коефіцієнти можна підібрати: 1,2 та 1,6.

Але продовжимо, однак, розв'язувати рівняння:

10p · (10p +4) = 192 нехай 10p=k

k · (k +4) = 192

k =12, тобто. р = 1,2; а х = 1,6

Відповідь: 60%

Сьогодні ми трохи відвернемося від стандартних логарифмів, інтегралів, тригонометрії і т.д., а разом з цим розглянемо більш життєве завдання з ЄДІ з математики, яке має пряме відношення до нашої російської відсталої сировинної економіки. А якщо бути точним, ми розглянемо завдання про вклади, відсотки та кредити. Тому що саме завдання з відсотками з недавніх пір додані до другої частини єдиного державного іспиту з математики. Відразу зазначу, що за вирішення цього завдання згідно зі специфікаціями ЄДІ пропонується відразу три первинні бали, тобто екзаменатори вважають це завдання одним із найскладніших.

Разом з тим, для вирішення будь-якого із зазначених завдань з ЄДІ з математики необхідно знати лише дві формули, кожна з яких цілком доступна будь-якому шкільному випускнику, проте з незрозумілих мені причин ці формули начисто ігноруються як шкільними вчителями, так і укладачами всіляких завдань для підготовки до ЄДІ. Тому сьогодні я не просто розповім вам, що це за формули та як їх застосовувати, а виведу кожну з цих формул буквально у вас на очах, взявши за основу завдання з відкритого банку ЄДІ з математики.

Тому урок вийшов досить об'ємний, досить змістовний, тому влаштовуйтесь зручніше, і ми починаємо.

Вкладаємо гроші у банк

Насамперед, хотілося б зробити невеликий ліричний відступ, пов'язаний із фінансами, банками, кредитами та вкладами, на підставі яких ми і отримаємо ті формули, які будемо використовувати для вирішення цього завдання. Отже, давайте трохи відвернемося від іспитів, від майбутніх шкільних проблем і подивимося в майбутнє.

Допустимо, ви виросли і збираєтеся купувати квартиру. Допустимо, ви збираєтеся купувати не якусь погану квартиру на околиці, а хорошу якісну квартиру за 20 мільйонів рублів. При цьому також припустимо, що ви влаштувалися більш-менш нормальну роботу і заробляєте по 300 тисяч рублів на місяць. В цьому випадку за рік ви зможете відкласти приблизно три мільйони рублів. Зрозуміло, заробляючи по 300 тисяч рублів на місяць, за рік у вас вийде трохи більша сума – 3600000 – але ці 600000 нехай будуть витрачені на їжу, на одяг та на інші щоденні побутові радості. Разом вступні дані такі: потрібно заробити двадцять мільйонів рублів, у нас же є лише три мільйони рублів на рік. Виникає природне питання: скільки років нам необхідно відкладати по три мільйони, щоб отримати ці двадцять мільйонів. Вважається це просто:

\[\frac(20)(3)=6,....\to 7\]

Однак як ми вже з вами зазначали, ви заробляєте 300 тисяч рублів на місяць, це означає, що ви розумні люди і не відкладатимете гроші «під подушку», а віднесете їх до банку. І, отже, щороку на ті вклади, які ви принесете до банку, нараховуватимуться відсотки. Допустимо, ви оберете надійний, але при цьому більш-менш прибутковий банк, і тому ваші вклади щороку зростатимуть на 15% річних. Тобто можна сказати, що сума на ваших рахунках щорічно буде збільшуватися в 1,15 рази. Нагадаю формулу:

Давайте порахуємо скільки грошей буде на ваших рахунках після кожного року:

У перший рік, коли ви тільки почнете відкладати гроші, ніякі відсотки не накопичаться, тобто наприкінці року ви відкладете три мільйони рублів:

Наприкінці другого року ті три мільйона рублів, які залишилися з першого року, вже будуть нараховані відсотки, тобто. нам потрібно помножити на 1,15. Однак протягом другого року ви також доповіли ще три мільйони рублів. Зрозуміло, на ці три мільйони ще не були нараховані відсотки, бо до кінця другого року ці три мільйони лише з'явилися на рахунку:

Отже, третій рік. Наприкінці третього року на цю суму буде нараховано відсотки, тобто необхідно всю цю суму помножити на 1,15. І знову ж таки, протягом усього року ви старанно працювали і ще відклали три мільйони рублів:

\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Давайте розрахуємо ще четвертий рік. Знову ж таки, вся сума, яка виявилася в нас до кінця третього року, множиться на 1,15, тобто. на всю суму буде нараховано відсотки. У тому числі буде нараховано відсотки на відсотки. І до цієї суми додається ще три мільйони, тому що протягом четвертого року ви також працювали і також відкладали гроші:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

А тепер давайте розкриємо дужки та подивимося, яка у нас буде сума до кінця четвертого року відкладання грошей:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3mcdot ((1,15)^(2))+3mcdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3mcdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \&& =3m\left((((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(align)\]

Як бачимо, у дужках ми стоять елементи геометричної прогресії, т. е. ми маємо сума елементів геометричної прогресії.

Нагадаю, що якщо геометрична прогресія задана елементом $((b)_(1))$, а також знаменником $q$, то сума елементів буде вважатися за такою формулою:

Цю формулу обов'язково потрібно знати та чітко застосовувати.

Зверніть увагу: формула n-го елемента звучить так:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Через це багато учнів плутаються. У сумі у нас коштує просто nдля суми n-елементів, а сам n-й елемент має рівень $n-1$. Іншими словами, якщо ми зараз спробуємо порахувати суму геометричної прогресії, то слід враховувати таке:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Порахуємо чисельник окремо:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) )) ^ (2)) = 1,74900625 \ approx 1,75 \]

Отже, повертаючись до суми геометричної прогресії, ми отримаємо:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1,75-1)(0,15)=\frac(0,75)(0,15)=\frac(75)(15 ) = 5 \]

У підсумку ми отримуємо, що за чотири роки накопичень наша вихідна сума збільшиться не в чотири рази, ніби ми не клали гроші в банк, а в п'ять разів, тобто п'ятнадцять мільйонів. Давайте запишемо це окремо:

4 роки → 5 разів

Забігаючи вперед, скажу, що якби ми збирали не чотири роки, а п'ять років, то в результаті наша сума накопичень збільшилася б у 6,7 рази:

5 років → 6,7 разів

Іншими словами, до кінця п'ятого року ми отримали на рахунку наступну суму:

Т. е. до кінця п'ятого року накопичень з урахуванням відсотків за вкладом ми вже отримали б понад двадцять мільйонів рублів. Таким чином, загальний рахунок накопичень за рахунок банківських відсотків знизився б майже з семи років до п'яти років, тобто майже на два роки.

Таким чином, навіть, незважаючи на те, що банк нараховує досить низький відсоток на наші вклади (15%), вже через п'ять років ці 15% дають надбавку, що істотно перевищує наш щорічний заробіток. При цьому основний мультиплікаційний ефект припадає на останні роки і навіть швидше на останній рік накопичень.

Навіщо я це все писав? Зрозуміло, не до того, щоб агітувати вас нести гроші до банку. Тому що якщо ви дійсно хочете примножити свої заощадження, то вкладати їх потрібно не в банк, а в реальний бізнес, де ці самі відсотки, тобто рентабельність в умовах російської економіки рідко опускається нижче 30%, тобто вдвічі більше банківських вкладів

А ось що справді корисно у всіх цих міркуваннях, то це формула, яка дозволяє нам знайти підсумкову суму вкладу через розмір щорічних платежів, а також через відсотки, які нараховує банк. Так і запишемо:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Сам по собі % вважається за такою формулою:

Цю формулу необхідно знати, як і основну формулу суми вкладу. А, у свою чергу, основна формула здатна значно скоротити обчислення у тих завданнях із відсотками, де потрібно порахувати саме внесок.

Чому варто користуватися формулами, а чи не таблицями?

У багатьох, напевно, виникне питання, а до чого взагалі всі ці складності, чи не можна просто розписати щороку в табличці, як це роблять у багатьох підручниках, порахувати окремо щороку, а потім порахувати загальну суму вкладу? Звичайно, можна взагалі забути про суму геометричної прогресії та все рахувати за допомогою класичних табличок — так зроблено в більшості збірників для підготовки до ЄДІ. Однак, по-перше, різко збільшується обсяг обчислень, а по-друге, як наслідок, збільшується ймовірність припуститися помилки.

Та й взагалі, використовувати таблиці замість цієї чудової формули — це те ж саме, що на будівництві копати траншеї руками замість того, щоб використовувати екскаватор, що стояв поруч і повністю працює.

Ну, або те саме, що помножити п'ятірку на десятку не за допомогою таблиці множення, а складати п'ятірку із собою десять разів поспіль. Втім, це я вже відволікся, тому ще раз повторюю найголовнішу думку: якщо є якийсь спосіб спростити та скоротити обчислення, то саме цим способом і треба скористатися.

Відсотки за кредитами

Із вкладами ми розібралися, тому переходимо до наступної теми, а саме до відсотків за кредитами.

Отже, поки ви збираєте гроші, скрупульозно плануєте свій бюджет, думаєте про свою майбутню квартиру, ваш однокласник, а нині простий безробітний, вирішив жити сьогоднішнім днем ​​і просто взяв кредит. При цьому він ще підколюватиме і сміятиметься над вами, мовляв, у нього кредитний телефон і старий автомобіль, взятий у кредит, а ви досі їздите на метро і користуєтеся старим кнопковим телефоном. Зрозуміло, за всі ці дешеві «понти» вашому колишньому однокласнику доведеться дорого розплатитися. Наскільки дорого — це саме зараз ми й порахуємо.

Для початку коротка вступна інформація. Допустимо, ваш колишній однокласник взяв два мільйони рублів у кредит. При цьому згідно з договором він повинен сплачувати рублів на місяць. Припустимо, що кредит він узяв за ставкою 20% річних, що за нинішніх умов виглядає цілком пристойно. Крім того, припустимо, що термін кредиту становить лише три місяці. Спробуємо зв'язати всі ці величини в одну формулу.

Отже, на самому початку, як тільки ваш колишній однокласник вийшов із банку у нього в кишені два мільйони, і це його борг. При цьому не рік минув, і не місяць, а це лише початок:

Потім через місяць на суму заборгованості будуть нараховані відсотки. Як ми вже знаємо для обчислення відсотків, достатньо помножити вихідну заборгованість на коефіцієнт, який вважається за такою формулою:

У нашому випадку йдеться про ставку 20% річних, тобто ми можемо записати:

Це коефіцієнт суми, яка нараховуватиметься на рік. Проте наш однокласник не дуже розумний і він не читав договір, і насправді кредит йому видали не під 20% на рік, а під 20% на місяць. І вже до кінця першого місяця на цю суму буде нараховано відсотки, і вона збільшиться у 1,2 раза. Відразу після цього людині буде необхідно сплатити обумовлену суму, тобто xрублів на місяць:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

І знову наш хлопець вносить платіж у розмірі $x$ рублів.

Потім до кінця третього місяця сума його заборгованості ще раз збільшується на 20%.

\[\left(\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2-x\]

І за умовою за три місяці він повинен повністю розплатитися, тобто після внесення останнього третього платежу його обсяг заборгованості має дорівнювати нулю. Ми можемо записати таке рівняння:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2 - x=0\]

Давайте вирішувати:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left(((( 1,2) ^ (2)) +1,2 +1 \right) \\\end(align)\]

Перед нами знову геометрична прогресія, а точніше сума трьох елементів геометричної прогресії. Давайте перепишемо її в порядку зростання елементів:

Тепер нам потрібно знайти суму трьох елементів геометричної прогресії. Давайте запишемо:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Тепер знайдемо суму геометричної прогресії:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Слід нагадати, що сума геометричної прогресії з такими параметрами $\left(((b)_(1));q \right)$ вважається за формулою:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Ось цією формулою ми щойно й скористалися. Підставляємо цю формулу в наш вираз:

Для подальших обчислень слід дізнатися, чому дорівнює $((1,2)^(3))$. На жаль, у цьому випадку ми вже не можемо розписати як минулого разу у вигляді подвійного квадрата, зате можемо порахувати так:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Переписуємо наш вираз:

Це класичний лінійний вираз. Повернімося до наступної формули:

По суті, якщо узагальнити її, ми отримаємо формулу, що пов'язує відсотки, кредити, платежі та терміни. Формула звучить так:

Ось вона, найголовніша формула сьогоднішнього відеоуроку, за допомогою якої вважається щонайменше 80% усіх економічних завдань з ЄДІ з математики у другій частині.

Найчастіше у реальних завданнях у вас буде питатися платіж, або трохи рідше кредит, тобто загальна сума заборгованості, яка була у нашого однокласника на початку платежів. У більш складних завданнях вас попросять знайти відсоток, ну а дуже складних, які ми розберемо в окремому відеоуроці від вас попросять знайти терміни, протягом яких за даних параметрів кредиту та платежу наш безробітний однокласник зможе повністю розплатитися з банком.

Можливо, хтось зараз подумає, що я лютий противник кредитів, фінансів і взагалі банківської системи. Так ось, нічого подібного! Навпаки, я вважаю, що кредитні інструменти дуже корисні і вкрай необхідні для нашої економіки, але тільки за умови, що кредит береться на розвиток бізнесу. В крайньому випадку, можна взяти кредит на покупку житла, тобто іпотеку або на невідкладне медичне лікування - все, інших причин взяти кредит просто не існує. А всілякі безробітні, які беруть кредити на купівлю «понтів» і при цьому зовсім не замислюються про наслідки в результаті і спричиняють кризи та проблеми в нашій економіці.

Повертаючись до теми сьогоднішнього уроку, хотів би зазначити, що знати цю формулу, що пов'язує кредити платежі та відсотки, також необхідна як і сума геометричної прогресії. Саме за допомогою цих формул вирішуються реальні економічні завдання з ЄДІ з математики. Ну, а тепер, коли ви все це чудово знаєте, коли розумієте, що таке кредит і чому його не варто брати, переходимо до вирішення реальних економічних завдань з ЄДІ з математики.

Вирішуємо реальні завдання з ЄДІ з математики

Приклад №1

Отже, перше завдання:

31 грудня 2014 року Олексій узяв у банку 9282000 рублів у кредит під 10% річних. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу, що залишилася (тобто збільшує борг на 10%), потім Олексій переводить до банку Х рублів. Якою має бути сума Х, щоб Олексій виплатив борг чотирма рівними платежами (тобто за чотири роки)?

Отже, це завдання про кредит, тому одразу записуємо нашу формулу:

Кредит нам відомий - 9282000 рублів.

Із відсотками ми зараз розберемося. У нас йдеться про 10% у завданні. Отже, ми можемо їх перекласти:

Ми можемо скласти рівняння:

У нас вийшло звичайне лінійне рівняння щодо $x$, хоча із досить грізними коефіцієнтами. Спробуємо його вирішити. Для початку знайдемо вираз $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1 = 1,21 \ \ & ((1,1) ^ (4)) = 1,4641 \ \ \ end (align) $

Тепер перепишемо рівняння:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\ 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\ \ \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\ x =\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ &x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\end(align)\]\[\]

Все, наше завдання з відсотками вирішено.

Зрозуміло, що це було лише найпростіше завдання з відсотками з ЄДІ з математики. У цьому екзамені такого завдання, швидше за все, не буде. А якщо й буде, то вважайте, що вам дуже пощастило. Ну, а для тих, хто любить рахувати і не любить ризикувати, переходимо до наступних складніших завдань.

Приклад №2

31 грудня 2014 року Степан взяв у банку 4004000 рублів у кредит під 20% річних. Схема виплати кредити наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу (тобто, що залишилася) збільшує борг на 20%), потім Степан здійснює в банк платіж. Весь борг Степан виплатив за 3 рівні платежі. На скільки рублів менше він би віддав банку, якби зміг виплатити борг за 2 рівні платежі.

Перед нами є завдання про кредити, тому записуємо нашу формулу:

\[\]\

Що нам відомо? По-перше, нам відомий загальний кредит. Також нам відомі відсотки. Давайте знайдемо коефіцієнт:

Щодо $n$, то потрібно уважно прочитати умову завдання. Т. е. спочатку нам необхідно порахувати, скільки він заплатив за три роки, тобто $ n = 3 $, а потім виконати ще раз ті ж дії але розрахувати платежі за два роки. Давайте запишемо рівняння для того випадку, коли платіж виплачується за три роки:

Давайте вирішувати це рівняння. Але для початку знайдемо вираз $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Переписуємо наш вираз:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 ) (200) | 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\end(align)\]

Отже, наш платіж складе 1900800 рублів. Однак зверніть увагу: у завданні від нас потрібно було знайти не щомісячний платіж, а скільки всього Степан заплатить за три рівні платежі, тобто за весь час користування кредитом. Тому отриману величину потрібно ще раз помножити на три. Давайте порахуємо:

Разом за три рівні платежі Степан заплатить 5702400 рублів. Ось скільки йому обійдеться користування кредитом протягом трьох років.

Тепер розглянемо другу ситуацію, коли Степан напружився, зібрався і виплатив весь кредит не за три, а за два рівні платежі. Записуємо ту саму формулу:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\) cdot 5) (11) \\ x = 3640 \ cdot 144 \ cdot 5 = 3640 \ cdot 720 \ \ & x = 2620800 \ \ end (align) \]

Але це ще не все, тому що зараз ми порахували лише один із двох платежів, тому всього Степан заплатить рівно вдвічі більше:

Чудово, ось тепер ми й наблизилися до остаточної відповіді. Але зверніть увагу: ні в якому разі ми ще не отримали остаточної відповіді, тому що за три роки платежів Степан заплатить 5702400 рублів, а за два роки платежів він заплатить 5241600 рублів, тобто трохи менше. Наскільки менше? Щоб це дізнатися, потрібно від першого розміру платежів відняти другий розмір платежів:

Разом остаточна відповідь - 460 800 рублів. Саме скільки заощадить Степан, якщо платитиме не три роки, а два.

Як бачите, формула, що пов'язує відсотки, терміни та платежі, суттєво спрощує обчислення порівняно з класичними таблицями і, на жаль, з незрозумілих причин у більшості збірників завдань, проте досі використовуються саме таблиці.

Окремо хотів би звернути вашу увагу на термін, на який взято кредит, та розміром щомісячних платежів. Справа в тому, що цей зв'язок безпосередньо не проглядається з формул, які ми записали, проте його розуміння необхідне для швидкого і ефективного вирішення справжніх завдань на іспиті. Насправді цей зв'язок дуже простий: чим на більший термін береться кредит, тим менша сума буде в щомісячних платежах, але тим більша сума накопичиться за весь час користування кредитом. І навпаки: чим менший термін, тим більший щомісячний платіж, проте при цьому менша підсумкова переплата та менша загальна вартість кредиту.

Зрозуміло, всі ці твердження дорівнюватимуть лише за умови, що сума кредиту та відсоткова ставка в обох випадках одна і та ж. Загалом, поки просто запам'ятаєте цей факт — він використовуватиметься для вирішення найскладніших завдань на цю тему, а поки що ми розберемо просте завдання, де саме потрібно знайти загальну суму вихідного кредиту.

Приклад №3

Отже, ще одне завдання на кредит і за сумісництвом останнє завдання в сьогоднішньому відеоуроці.

31 грудня 2014 року Василь узяв у банку деяку суму у кредит під 13% річних. Схема виплати кредиту наступна: 31 грудня кожного наступного року банк нараховує відсотки на суму боргу, що залишилася (тобто збільшує борг на 13%), потім Василь переводить до банку 5 107 600 рублів. Яку суму взяв Василь у банку, якщо він сплатив борг двома рівними платежами (за два роки)?

Отже, в першу чергу це завдання знову про кредити, тому записуємо нашу чудову формулу:

Подивимося, що нам відомо з умови завдання. По-перше, платіж - він дорівнює 5107600 рублів на рік. По-друге відсотки, тому ми можемо знайти коефіцієнт:

З іншого боку, відповідно до умови завдання Василь взяв у банку кредит два роки, тобто. виплатив двома рівними платежами, отже $n=2$. Давайте все підставимо і зауважимо, що кредит нам невідомий, тобто. та сума, яку він узяв, та позначимо її за $x$. Отримаємо:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Перепишемо наше рівняння з урахуванням цього факту:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\ x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\ x=8520000 \\end(align)\]

Все це і є остаточна відповідь. Саме таку суму Василь узяв у кредит на самому початку.

Тепер зрозуміло, чому в цьому завданні нам пропонується взяти кредит лише на два роки, бо тут фігурують двозначні відсотки, а саме 13%, які в квадраті дають досить «звіряче» число. Але й це ще не межа — у наступному окремому уроці ми розглянемо складніші завдання, де буде потрібно знайти термін кредиту, а ставка складатиме один, два чи три відсотки.

Загалом, навчайтеся вирішувати завдання на вклади та кредити, готуйтеся до іспитів та складайте їх «відмінно». А якщо щось незрозуміло в матеріалах сьогоднішнього відеоуроку, то не соромтеся - пишіть, дзвоніть, і я постараюся вам допомогти.

Дивись також відео "Текстові завдання на ЄДІ з математики".
Текстове завдання - це завдання на рух і роботу. Є ще завдання на відсотки, на розчини, сплави та суміші, на рух по колу та перебування середньої швидкості. Про них ми й розповімо.

Почнемо із завдань на відсотки. З цією темою ми вже познайомилися у завданні 1 . Зокрема, сформулювали важливе правило: ми приймаємо ту величину, з якою порівнюємо.

Ми також вивели корисні формули:

якщо величину збільшити на проценти, отримаємо .
якщо величину зменшити на проценти, отримаємо .
якщо величину збільшити на проценти, а потім зменшити на , отримаємо .

якщо величину двічі збільшити на проценти, отримаємо
якщо величину двічі зменшити на проценти, отримаємо

Скористаємося ними на вирішення завдань.

Цього року у міському кварталі проживало людина. У 2009 році, в результаті будівництва нових будинків, кількість жителів зросла на 2009 рік, а в 2009 році - на 100% порівняно з роком. Скільки людей стало проживати у кварталі на рік?

За умовою, в 2010 році кількість жителів зросла на , тобто стало одно людина.

А в році кількість мешканців зросла на , тепер уже в порівнянні з роком. Отримуємо, що року в кварталі стало проживати мешканців.

Наступне завдання пропонувалося на пробному ЄДІ з математики у грудні року. Вона проста, але впоралися з нею небагато.

У понеділок акції компанії подорожчали на кілька відсотків, а у вівторок подешевшали на ту саму кількість відсотків. В результаті вони стали коштувати дешевше, ніж при відкритті торгів у понеділок. На скільки відсотків подорожчали акції компанії у понеділок?

На перший погляд здається, що за умови помилка та ціна акцій взагалі не повинна змінитися. Адже вони подорожчали і подешевшали на одну й ту саму кількість відсотків! Але не поспішатимемо. Нехай під час відкриття торгів у понеділок акції коштували карбованців. До вечора понеділка вони подорожчали і стали коштувати. Тепер вже ця величина приймається за , і до вечора вівторка акції подешевшали порівняно з цією величиною. Зберемо дані до таблиці:

	в понеділок вранці	у понеділок увечері	у вівторок увечері
Вартість акцій

За умовою, акції зрештою подешевшали на .

Отримуємо, що

Поділимо обидві частини рівняння на (адже він не дорівнює нулю) і застосуємо у лівій частині формулу скороченого множення.

За змістом завдання величина позитивна.
Отримуємо, що .

Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на те саме число відсотків від попередньої ціни. Визначте, на скільки відсотків щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через два роки був проданий за рублів.

Це завдання також вирішується за однією з формул, наведених на початку статті. Холодильник коштував карбованців. Його ціна двічі зменшилася на , і тепер вона дорівнює

Чотири сорочки дешевше куртки на . На скільки відсотків п'ять сорочок дорожче за куртку?

Нехай вартість сорочки дорівнює, вартість куртки. Як завжди, приймаємо за сто відсотків ту величину, з якою порівнюємо, тобто ціну куртки. Тоді вартість чотирьох сорочок становить від ціни куртки, тобто
.

Вартість однієї сорочки - у рази менша:
,
а вартість п'яти сорочок:

Отримали, що п'ять сорочок на дорожче за куртку.

Відповідь: .

Сім'я складається з чоловіка, дружини та їхньої доньки студентки. Якби зарплата чоловіка збільшилася вдвічі, загальний дохід сім'ї зріс на . Якби стипендія доньки зменшилася втричі, загальний дохід сім'ї скоротився на . Скільки відсотків загального доходу сім'ї становить зарплата дружини?

Намалюємо таблицю. Ситуації, про які йдеться у завданні («якби зарплата чоловіка збільшилася, якби стипендія доньки зменшилася...») назвемо «ситуація» та «ситуація».

	чоловік	дружина	дочка	Загальний дохід
В реальності
Ситуація
Ситуація

Залишилось записати систему рівнянь.

Але що ми бачимо? Два рівняння та три невідомі! Ми не зможемо знайти і окремо. Щоправда, нам це й не потрібне. Краще візьмемо перше рівняння і з обох його частин віднімемо суму. Отримаємо:

Це означає, що зарплата чоловіка від загального доходу сім'ї.

У другому рівнянні ми теж віднімемо з обох частин вираз, спростимо і отримаємо, що

Отже, стипендія доньки складає від загального прибутку сім'ї. Тоді зарплата дружини складає загальний доход.

Відповідь: .

Наступний тип завдань - завдання на розчини, суміші та сплави. Вони трапляються у математиці, а й у хімії. Ми розповімо про найпростіший спосіб їх вирішення.

У посудину, що містить літрів -процентного водного розчину деякої речовини, додали літрів води. Скільки відсотків становить концентрація розчину, що вийшов?

У вирішенні подібних завдань допомагає картинка. Зобразимо посудину з розчином схематично - так, як ніби речовина і вода в ньому не перемішані між собою, а відокремлені один від одного, як у коктейлі. І підпишемо, скільки літрів містять судини та скільки в них відсотків речовини. Концентрацію розчину, що вийшов, позначимо.

Перша посудина містила літра речовини. У другій посудині була лише вода. Значить, у третій посудині стільки ж літрів речовини, скільки і в першій:

.

Змішали деяку кількість -процентного розчину деякої речовини з такою ж кількістю -процентного розчину цієї речовини. Скільки відсотків становить концентрація розчину, що вийшов?

Нехай маса першого розчину дорівнює. Маса другого - теж. В результаті отримали розчин масою. Малюємо картинку.

Отримуємо:

Відповідь: .

Виноград містить вологи, а ізюм - . Скільки кілограмів винограду потрібно для отримання кілограмів родзинок?

Увага! Якщо вам зустрілося завдання «про продукти», тобто таке, де з винограду виходить родзинки, із абрикосів урюк, із хліба сухарі чи з молока сир – знайте, що насправді це завдання на розчини. Виноград ми також можемо умовно зобразити як розчин. У ньому є вода та «суха речовина». У «сухої речовини» складний хімічний склад, а на його смак, колір і запах ми могли б зрозуміти, що це саме виноград, а не картопля. Родзинки виходять, коли з винограду випаровується вода. При цьому кількість сухої речовини залишається постійною. У винограді містилося води, отже, «сухої речовини» було . В родзинках води та «сухої речовини». Нехай із кг винограду вийшло кг родзинок. Тоді

Від від

Складемо рівняння:

і знайдемо.

Відповідь: .

Є два метали. Перший метал містить нікелю, другий - нікелю. З двох сплавів отримали третій сплав масою кг, що містить нікелю. На скільки кілограмів маса першого сплаву менша за масу другого?

Нехай маса першого сплаву дорівнює x, а маса другого дорівнює y. В результаті отримали сплав масою.

Запишемо просту систему рівнянь:

Перше рівняння - маса сплаву, друге - маса нікелю.

Вирішуючи, отримаємо, що .

Відповідь: .

Змішавши -процентний і -процентний розчини кислоти і додавши кг чистої води, отримали -процентний розчин кислоти. Якби замість кг води додали кг-процентного розчину тієї ж кислоти, то отримали-процентний розчин кислоти. Скільки кілограмів-процентного розчину використовували для одержання суміші?

Нехай маса першого розчину, маса другого дорівнює. Маса розчину , що вийшов , дорівнює . Запишемо два рівняння для кількості кислоти.

Вирішуємо систему, що вийшла. Відразу помножимо обидві частини рівнянь на , оскільки з коефіцієнтами зручніше працювати, ніж з дробовими. Розкриємо дужки.

Відповідь: .

Завдання на рух по колу також виявились складними для багатьох школярів. Вирішуються вони майже так, як і звичайні завдання на рух. Вони теж застосовується формула . Але є одна хитрість, про яку ми розповімо.

З пункту кругової траси виїхав велосипедист, а за хвилини слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще за хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість мотоцикліста, якщо довжина траси дорівнює км. Відповідь дайте у км/год.

По-перше, переведемо хвилини на годину, оскільки швидкість треба знайти в км/год. Швидкості учасників позначимо за та . Вперше мотоцикліст випередив велосипедиста через хвилин, тобто через годину після старту. До цього моменту велосипедист був у дорозі хвилин, тобто години.

Запишемо ці дані до таблиці:

велосипедист
мотоцикліст

Обидва проїхали однакові відстані, тобто .

Потім мотоцикліст вдруге випередив велосипедиста. Сталося це за хвилини, тобто за години після першого обгону.

Намалюємо другу таблицю.

велосипедист
мотоцикліст

А які відстані вони проїхали? Мотоцикліст випередив велосипедиста. Виходить, він проїхав на одне коло більше. Це і є секрет цього завдання. Одне коло - це довжина траси, вона дорівнює км. Отримаємо друге рівняння:

Вирішимо систему, що вийшла.

Отримаємо, що . У відповідь запишемо швидкість мотоцикліста.

Відповідь: .

Годинник зі стрілками показує годин хвилин. Через скільки хвилин хвилинна стрілка вчетверте порівняється з годинниковою?

Це, мабуть, найскладніше завдання із варіантів ЄДІ. Звичайно, є просте рішення - взяти годинник зі стрілками і переконатися, що вчетверте стрілки зрівняються через години, рівно в .
А як бути, якщо у вас електронний годинник і ви не можете вирішити завдання експериментально?

За годину хвилинна стрілка проходить одне коло, а годинна частина кола. Нехай їх швидкості рівні (коло за годину) і (кола за годину). Старт - у .. Знайдемо час, за який хвилинна стрілка вперше наздожене вартову.

Хвилинна стрілка пройде на кола більше, тому рівняння буде таким:

Вирішивши його, отримаємо, що години. Отже, вперше стрілки зрівняються через години. Нехай вдруге вони зрівняються через час. Хвилинна стрілка пройде відстань, а годинна, причому хвилинна стрілка пройде на одне коло більше. Запишемо рівняння:

Вирішивши його, отримаємо, що години. Отже, через години стрілки зрівняються вдруге, ще через години - втретє, і ще через години - вчетверте.

Значить, якщо старт був у ., то вчетверте стрілки зрівняються через
години.

Відповідь повністю узгоджується з «експериментальним» рішенням! :-)

На іспиті з математики вам може також зустрітися завдання знаходження середньої швидкості. Запам'ятаємо, що середня швидкість не дорівнює середньому арифметичному швидкостям. Вона знаходиться за спеціальною формулою:

,
де – середня швидкість, – загальний шлях, – загальний час.

Якщо ділянок колії було дві, то

Мандрівник переплив море на яхті із середньою швидкістю км/год. Назад він летів на спортивному літаку зі швидкістю км/год. Знайдіть середню швидкість мандрівника протягом усього шляху. Відповідь дайте у км/год.

Ми не знаємо, якою була відстань, яку подолав мандрівник. Знаємо тільки, що ця відстань була однаковою на шляху туди та назад. Для простоти приймемо цю відстань за (одне море). Тоді час, який мандрівник плив на яхті, дорівнює , а час, витрачений на політ, дорівнює . Загальний час дорівнює.
Середня швидкість дорівнює км/год.

Відповідь: .

Покажемо ще один ефектний прийом, що допомагає швидко розв'язати систему рівнянь задачі 13.

Андрій та Паша фарбують паркан за годинник. Паша та Володя фарбують цей же паркан за годинник, а Володя та Андрій – за годинник. За скільки годин хлопчики пофарбують огорожу, працюючи втрьох?

Ми вже вирішували завдання на роботу та продуктивність. Правила ті самі. Відмінність лише в тому, що тут працюють троє, і змінних буде три. Нехай – продуктивність Андрія, – продуктивність Паші, а – продуктивність Володі. Паркан, тобто величину роботи, приймемо за - ми ж нічого не можемо сказати про його розмір.

	продуктивність	робота
Андрій
Паша
Володя
Разом

Андрій та Паша пофарбували паркан за годинник. Ми пам'ятаємо, що при спільній роботі продуктивності складаються. Запишемо рівняння:

Аналогічно,

Тоді


.

Можна шукати і окремо, але краще просто скласти всі три рівняння. Отримаємо, що

Отже, працюючи втрьох, Андрій, Паша та Володя фарбують за годину одну восьму частину огорожі. Весь паркан вони пофарбують за годинник.

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Теорія на тему: «Рішення завдань на відсотки».

Тип 1: Переведення відсотків у десятковий дріб. відсотки  дріб А%  А розділити на 100 Завдання:20%;75%;125%;50%;40%;1%;70%;35%;80%.... Заповніть таблицю 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Тип 2: Переведення дробу у відсотки. число  відсотки А  А помножити на 100 % Переведіть дроби у відсотки: 3/4; 0,07; 2.4. (ГІА, тематичні завдання) Співвіднесіть дроби, які виражають частки деякої величини, та відповідні їм відсотки. А.1/4; Б) 3/5; В) 0,5; Р) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Відповідь: А Б В Г

Тип 3: Знаходимо відсоток числа. Х% від А 1) Х% представляємо у вигляді десяткового дробу 2) Число А множимо на десятковий дріб. Завдання – зразок. За місяць на підприємстві виготовлено 500 приладів. 20% виготовлених приладів не спромоглися пройти контроль якості. Скільки приладів не пройшли контроль якості? Рішення. Потрібно знайти 20% загальної кількості виготовлених приладів (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 із загальної кількості виготовлених приладів контроль не пройшов контроль якості.

Тип 4: Знаходимо число за його відсотком. А це Х%: 1) Х% представляємо у вигляді десяткового дробу 2) А ділимо на десятковий дріб. Завдання – зразок. Готуючись до іспиту, школяр вирішив 38 завдань із посібника для самопідготовки. Що становить 25% числа всіх завдань у посібнику. Скільки всього завдань зібрано у цьому посібнику для самопідготовки? Рішення. Ми не знаємо, скільки всього завдань у посібнику. Але нам відомо, що 38 завдань це 25% від загальної їх кількості. 25 % = 0,25 38 / 0,25 = 152. 152 задачі в цій збірці.

Тип 5: Знаходимо відсоткове відношення двох чисел. А і числа. Скільки % становить від А? 1)В/А 2) Отримане приватне помножити на 100% Завдання - зразок. У класі 30 учнів. 15 із них – дівчатка. Скільки відсотків дівчаток у класі? Рішення. Щоб дізнатися, який відсоток становить одне число від іншого, потрібно число, яке потрібно знайти, розділити на загальну кількість і помножити на 100%. Отже, 1) 15/30 = 0,5 2) 0,5 * 100% = 50% Завдання - зразок. За 1 годину верстат-автомат виготовляв 240 деталей. Після реконструкції цього верстата він став виготовляти за годину 288 таких деталей. На скільки відсотків підвищилася продуктивність верстата? Рішення. Продуктивність верстата підвищилася на 288-240 = 48 деталей на годину. Потрібно дізнатись, скільки відсотків від 240 деталей складають 48 деталей. Щоб дізнатися, скільки відсотків число 48 становить від числа 240 потрібно число 48 розділити на 240 і помножити результат на 100%. 48/240 *100% =20% Відповідь: продуктивність верстата підвищилася на 20%

Тип 6: Збільшуємо число відсоток. Зменшуємо число на відсоток. А-число; збільшуємо на Х% то воно збільшилося (1 + х / 100) раз. : 1) число А множимо на 2) (1 + х / 100). Завдання – зразок. . На торішньому іспиті з математики 140 старшокласників здобули п'ятірки. Цього року кількість відмінників зросла на 15%. Скільки людей отримали п'ятірки за іспит з математики цього року? Рішення. 140 * (1 + 15/100) = 161. А-число; зменшуємо на Х% то воно зменшилося в (1 – х/100) разів. : 1) число А множимо на 2) (1 - х / 100). Завдання – зразок. Рік тому школу закінчили 100 хлопців. А цього року випускників на 25% менше. Скільки випускників цього року? Рішення. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Тип 7: Концентрація розчину. Завдання – зразок. Кілограм солі розчинили у 9 л води. Чому дорівнює концентрація одержаного розчину? (Маса 1 л води становить 1 кг) (Петерсон 6 кл.) Рішення 1) Маса розчиненої речовини 1 кг 2) Маса всього розчину 1+9=10(кг) 9 кг - маса води в розчині (не плутати із загальною масою розчину ) 3) 1/10 * 100% = 10% 10% - концентрація розчину

Тип 8: Відсотковий вміст металу у сплаві. Завдання – зразок 1. Є шматок сплаву міді з оловом загальною масою 12 кг, що містить 45% міді. Скільки чистого олова треба додати до цього шматка сплаву, щоб сплав, що вийшов, містив 40% міді? Рішення.1)12. 0,45 = 5,4 (кг) - чистої міді у першому сплаві; 2) 5,4: 0,4 = 13,5 (кг) - вага нового сплаву; 3) 13,5-12 = 1,5 (кг) олова. Відповідь: треба 1,5 кг олова.

Завдання – зразок 2. Є два сплави, що складаються з міді, цинку та олова. Відомо, перший сплав містить 40% олова, а другий- 26% міді. Відсотковий вміст цинку у першому та другому сплавах однаково. Сплавивши 150 кг першого сплаву та 250 кг другого, отримали новий сплав, в якому виявилася 30% цинку. Визначте, скільки кілограмів олова міститься в новому сплаві, що вийшов. Так як відсотковий вміст цинку в першому та другому сплавах однаково і в третьому сплаві виявилося 30%, то в першому та другому сплавах відсотковий вміст цинку 30%. 250 * 0,3 = 75 (кг) - цинку в другому металі; 250 * 0,26 = 65 (кг) - міді у другому металі; 250-(75+65)= 110 (кг) олова у другому сплаві; 150 . 0,4 = 60 (кг) - олова у першому сплаві; 110 + 60 = 170 (кг) - олова в третьому сплаві. Відповідь: 170 кг. 1 сплав 2сплав Новий сплав (3) Мідь 26 % Цинк 30% 30% 30% Олово 40% кг маса 150кг 250кг 150+250=400

Тип 9: На «суху речовину». Практично будь-який продукт – яблука, кавуни, гриби, картопля, крупа, хліб та ін. складається з води та сухої речовини. Воду містять як свіжі, так і сушені продукти. У процесі висихання випаровується лише вода, а маса сухої речовини не змінюється. А.Г. Мордкович "Математика 6" Завдання № 362 Завдання - зразок. Свіжий гриб містить 90% води, а сушений – 15%. Скільки вийде сушених грибів із 17кг свіжих? Скільки треба взяти свіжих грибів, щоб одержати 3,4 кг сушених? Рішення. Складемо таблицю: 1 частина задачі: речовина Маса речовини (кг) Процентний вміст води Процентний вміст сухої речовини Маса сухої речовини (кг) Свіжий гриб 17кг 90% 10% 17*0,1=1,7 Сушений гриб Х кг 15% 85% Х * о, 85 = 0,85 х Оскільки маса сухої речовини в сухих і свіжих грибах залишається незмінною, отримаємо рівняння: 0,85 х = 1,7, х = 1,7: 0,85, х = 2.

2 частина задачі: Речовина Маса речовини (кг) Процентний вміст води Процентний вміст води Маса сухої речовини (кг) Свіжий гриб х 90% 10% 0,1х Сушений гриб 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2 ,89 0,1 х = 2,89, х = 2,89: 0,1, х = 28.9. Відповідь: із 17кг свіжих грибів вийде 2кг сушених; щоб отримати 3,4 кг сушених грибів, треба взяти 28,9 кг свіжих.