лекція 9.

Лінійні перетворення координат. Власні вектори та власні числа матриці, їх властивості. Характеристичний багаточлен матриці, його властивості.

Будемо говорити, що на безлічі векторівRпоставлено перетворення А , якщо кожному вектору х R за деяким правилом поставлений у відповідність вектор А х R.

Визначення 9.1.Перетворення А називається лінійним, якщо для будь-яких векторів х і у і для будь-якого дійсного числа λ виконуються рівності:

А( х + у )=А х+ А у ,А(λ х ) = λ А х. (9.1)

Визначення 9.2.Лінійне перетворення називається тотожним, якщо воно перетворює будь-який вектор х у самого себе.

Тотожне перетворення позначається Е:Е х= х .

Розглянемо тривимірний простір із базисом е 1 , е 2, е 3 , в якому задано лінійне перетворення А. Застосувавши його до базисних векторів, ми отримаємо вектори. А е 1, А е 2, А е 3 , що належать цьому тривимірному простору. Отже, кожен із них можна єдиним чином розкласти за векторами базису:

А е 1 = а 11 е 1+ а 21 е 2+а 31 е 3,

А е 2 = а 12 е 1+ а 22 е 2+ а 32 е 3 ,(9.2)

А е 3= а 13 е 1+ а 23 е 2+ а 33 е 3 .

Матриця називається матрицею лінійного перетворення А у базисі е 1 , е 2, е 3 . Стовпці цієї матриці складені з коефіцієнтів формулах (9.2) перетворення базису.

Зауваження. Очевидно, що матрицею тотожного перетворення є одинична матриця Е.

Для довільного вектора х =х 1 е 1+ х 2 е 2+ х 3 е 3 результатом застосування до нього лінійного перетворення Абуде вектор А х, який можна розкласти за векторами того ж базису: А х =х`1 е 1+ х`2 е 2+ х`3 е 3 , де координатиx` iможна знайти за формулами:

х1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Коефіцієнти у формулах цього лінійного перетворення є елементами рядків матриці А.

Перетворення матриці лінійного перетворення

під час переходу до нового базису.

Розглянемо лінійне перетворення А і два базиси у тривимірному просторі: е 1 , е 2, е 3 і е 1 , е 2 , е 3 . Нехай матриця задає формули переходу від базису (e k) до базису ( e k). Якщо першому з цих базисів обране лінійне перетворення задається матрицею А , тоді як у другому – матрицею А, то можна знайти зв'язок між цими матрицями, а саме:

А = С -1 АС(9.4)

Дійсно, тоді А . З іншого боку, результати застосування одного і того ж лінійного перетворення Ау базисі (e k), тобто. , і в базисі (e k ): відповідно - пов'язані матрицею З: звідки випливає, що СА= АЗ. Помножуючи обидві частини цієї рівності зліва на З-1 , отримаємо З -1 СА= = З -1 АЗ, Що доводить справедливість формули (9.4).

Власні числа та власні вектори матриці.

Визначення 9.3.Вектор х називається власним векторомматриці Аякщо знайдеться таке число λ, що виконується рівність: А х= λ х, тобто результатом застосування до х лінійного перетворення, що задається матрицею А, є множення цього вектора на число λ . Саме число λ називається власним числомматриці А.

Підставивши у формули (9.3)x` j = λ x j, отримаємо систему рівнянь визначення координат власного вектора:

.

Звідси

.(9.5)

Ця лінійна одноріднасистема матиме нетривіальне рішення лише тоді, коли її головний визначник дорівнює 0 (правило Крамера). Записавши цю умову у вигляді:

отримаємо рівняння для визначення власних чисел λ зване характеристичним рівнянням. Коротко його можна уявити так:

| A -λ E | = 0,(9.6)

оскільки в його лівій частині стоїть визначник матриці А- λЕ. Багаточлен щодо λ| A -λ E| називається характеристичним багаточленомматриці А.

Властивості характеристичного багаточлена:

1) Характеристичний многочлен лінійного перетворення залежить від вибору базису. Доказ. (З м. (9.4)), але отже, . Таким чином, не залежить від вибору базису. Отже, та |A-λ E| не змінюється під час переходу до нового базису.

2) Якщо матриця Алінійного перетворення є симетричної(Тобто. а ij= a ji), то все коріння характеристичного рівняння (9.6) – дійсні числа.

Властивості власних чисел та власних векторів:

1) Якщо вибрати базис із власних векторів х 1, х 2, х 3 , що відповідають власним значенням λ 1 , λ 2 , λ 3матриці А, то цьому базисі лінійне перетворення А має матрицю діагонального виду:

(9.7) Доказ цієї якості випливає з визначення власних векторів.

2) Якщо власні значення перетворення Арізні, відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.

3) Якщо характеристичний багаточлен матриці Амає три різні корені, то в деякому базисі матриця Амає діагональний вигляд.

приклад.

Знайдемо власні числа та власні вектори матриці З залишимо характеристичне рівняння: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Знайдемо координати власних векторів, які відповідають кожному знайденому значенню λ. З (9.5) випливає, що якщо х (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) – власний вектор, відповідний λ 1 =-2, то

- Спільна, але невизначена система. Її рішення можна записати у вигляді х (1) ={ a,0,- a), де а - будь-яке число. Зокрема, якщо вимагати, щоб |x (1) |=1, х (1) =

Підставивши систему (9.5) λ 2 =3, отримаємо систему визначення координат другого власного вектора-x (2) ={ y 1 , y 2 , y 3

Знаходження власних чисел та власних векторів матриць – одне з найскладніших завдань лінійної алгебри, що виникають у процесі моделювання та аналізу процесів функціонування динамічних систем, статистичного моделювання. Приміром, власні вектори ковариационной матриці випадкового вектора визначають напрями головних осей гиперэллипсоида розсіювання значень цього вектора, а власні числа – розтягнення чи стиск гіпереліпсоїда з його головним осям. У механіці власні вектори та числа тензора інерції характеризують напрямок головних осей і основні моменти інерції твердого тіла.

Розрізняють повну (алгебраїчнуабо, інакше, матричну) проблему власних значень, що передбачає перебування всіх власних пардеякої матриці , і часткові проблеми власних значень, що перебувають, як правило, у знаходженні одного або кількох власних чиселі, можливо, відповідних їм власних векторів. Найчастіше, в останньому випадку йдеться про знаходження найбільшого та найменшого за модулем власних чисел; знання таких характеристик матриці дозволяє, наприклад, робити висновки про збіжність тих чи інших методів ітерації, оптимізувати їх параметри і т.д.

Завдання на власні значення можна сформулювати так: для яких ненульових векторів та чисел лінійне перетворення вектора за допомогою матриці не змінює напрями цього вектора у просторі, а зводиться лише «розтягуванню» цього вектора в один раз? Відповідь на це питання полягає у нетривіальних рішеннях рівняння

, (1.2)

де – поодинока матриця. Теоретично це завдання легко вирішуване: потрібно знайти коріння так званого характеристичногорівняння

(1.3)

і, підставляючи їх по черзі (1.2), отримувати з відповідних перевизначених систем власні вектори.

Практична реалізація такого підходу пов'язана з низкою труднощів, що зростають із зростанням розмірності розв'язуваної задачі. Труднощі ці обумовлені розгортанням визначника і обчисленням коренів багаточлена, що отримується при цьому n-й ступеня, а також пошуком лінійно незалежних рішень вироджених систем лінійних рівнянь алгебри. У зв'язку з цим, такий безпосередній підхід до вирішення проблеми алгебри власних значень зазвичай застосовують лише при дуже малих розмірах матриць ( n= 2, 3). Вже при n> 4 першому плані виходять спеціальні чисельні методи вирішення таких завдань, одне із яких, спирається на матричне перетворення подоби, буде розглянуто далі. Нагадаємо, що подібниминазиваються матриці та , де З- Довільна невироджена матриця.

Перелічимо коротко основні властивості власних чисел та векторів:

1. Якщо - Власна пара матриці А, а - деяке число, то також є власною парою для А. Це означає, що кожному власному числу відповідає безліч своїх векторів, що відрізняються лише скалярним множником.

2. Нехай - Власна пара матриці , де - Деяке дійсне число. Тоді - Власна пара матриці А. Таким чином, додавання до даної матриці Адіагональної матриці не змінює її власних векторів та зміщує спектрвихідної матриці на число (вліво при ). Спектром матриці називається безліч всіх її власних значень.

3. Якщо - Власна пара оборотної матриці , то - Власна пара матриці.

4. Власними числами діагональних та трикутних матриць є їх діагональні елементи, т.к. характеристичне рівняння (1.3) з урахуванням (1.1) для таких матриць може бути записане у вигляді:

.

Остання рівність показує, що діагональні та трикутні речові матриці мають лише речові власні значення(Рівно nз урахуванням можливої ​​їхньої кратності). Речовість власних чисел притаманна і дуже важливому в додатках класу симетричних матриць, до яких належать коварійні матриці та тензори інерції.

5. Якщо - Власна пара матриці , то - Власна пара матриці АТаким чином, перетворення подібності зберігає постійним діапазон будь-якої матриці.

6. Нехай А- матриця простої структури розмірності , а матриці і утворені з її власних чисел та власних векторів відповідно. Тоді справедлива рівність . Так як для діагональної матриці , утвореної з власних чисел, власними векторами можуть бути одиничні вектори вихідного базису ( , ), то, використовуючи властивість 5 та приймаючи і (Тобто. ), властивість 6 можна сформулювати інакше: якщо є власною парою матриці, то є власна пара матриці А.

Власні значення (числа) та власні вектори.
Приклади рішень

Будь собою

З обох рівнянь випливає, що .

Припустимо, тоді: .

В результаті: - Другий власний вектор.

Повторимо важливі моменти розв'язання:

- Отримана система обов'язково має загальне рішення (рівняння лінійно залежні);

- «Ігрек» підбираємо таким чином, щоб він був цілим і перша «іксова» координата - цілою, позитивною і якнайменше.

– перевіряємо, що окреме рішення задовольняє кожному рівнянню системи.

Відповідь .

Проміжних «контрольних точок» було цілком достатньо, тому перевірка рівностей у принципі справа зайва.

У різних джерелах інформації координати власних векторів часто записують над стовпці, а рядки, наприклад: (і, якщо чесно, я сам звик записувати їх рядками). Такий варіант прийнятний, але у світлі теми лінійних перетвореньтехнічно зручніше використовувати вектори-стовпці.

Можливо, рішення здалося вам дуже довгим, але це тільки тому, що я докладно прокоментував перший приклад.

Приклад 2

Матриці

Тренуємося самостійно! Зразок чистового оформлення завдання наприкінці уроку.

Іноді потрібно виконати додаткове завдання, а саме:

записати канонічне розкладання матриці

Що це таке?

Якщо власні вектори матриці утворюють базис, то вона уявна у вигляді:

Де – матриця складена з координат власних векторів, – діагональнаматриця з відповідними власними числами.

Таке розкладання матриці називають канонічнимабо діагональним.

Розглянемо матрицю першого прикладу. Її власні вектори лінійно незалежні(Неколлінеарні) і утворюють базис. Складемо матрицю з їх координат:

на головної діагоналіматриці у відповідному порядкурозташовуються власні числа, інші елементи дорівнюють нулю:
– ще раз наголошую на важливості порядку: «двійка» відповідає 1-му вектору і тому розташовується в 1-му стовпці, «трійка» – 2-му вектору.

За звичайним алгоритмом знаходження зворотної матриціабо методом Гауса-Жорданазнаходимо . Ні, це не друкарська помилка! - Перед вами рідкісна, як сонячне затемнення подія, коли зворотна збіглася з вихідною матрицею.

Залишилося записати канонічне розкладання матриці:

Систему можна вирішити за допомогою елементарних перетворень і в наступних прикладах ми вдамося до цього методу. Але тут набагато швидше спрацьовує «шкільний» спосіб. З 3-го рівняння виразимо: - Підставимо в друге рівняння:

Оскільки перша координата нульова, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає, що .

І знову зверніть увагу на обов'язкову наявність лінійної залежності. Якщо виходить лише тривіальне рішення , або неправильно знайдено власне число, або з помилкою складена / вирішена система.

Компактні координати дає значення

Власний вектор:

І ще раз – перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи. У наступних пунктах та в наступних завданнях рекомендую прийняти це побажання за обов'язкове правило.

2) Для власного значення за таким же принципом отримуємо таку систему:

З 2-го рівняння системи виразимо: - Підставимо в третє рівняння:

Оскільки «зетова» координата дорівнює нулю, то отримуємо систему , з кожного рівняння якої випливає лінійна залежність .

Нехай

Перевіряємо, що рішення задовольняє кожному рівняння системи.

Отже, власний вектор: .

3) І, нарешті, власному значенню відповідає система:

Друге рівняння виглядає найпростішим, тому з нього висловимо і підставимо в 1-е та 3-е рівняння:

Все добре - виявилася лінійна залежність, яку підставляємо у вираз:

Через війну «ікс» і «игрек» виявилися виражені через «зет»: . На практиці не обов'язково домагатися саме таких взаємозв'язків, у деяких випадках зручніше висловити і через або через. Або навіть «паровозиком» – наприклад, «ікс» через «гравець», а «гравець» через «зет»

Припустимо, тоді:

Перевіряємо, що знайдене рішення задовольняє кожному рівнянню системи та записуємо третій власний вектор

Відповідь: власні вектори:

Геометрично ці вектори задають три різні просторові напрямки. ("туди назад"), за котрими лінійне перетворенняпереводить ненульові вектори (власні вектори) в колінеарні вектори.

Якби за умовою потрібно було знайти канонічне розкладання , то це можливо, т.к. різним своїм числам відповідають різні лінійно незалежні власні вектори. Складаємо матрицю з їх координат, діагональну матрицю з відповіднихвласних значень та знаходимо зворотну матрицю .

Якщо ж за умовою потрібно записати матрицю лінійного перетворення в базисі із власних векторів, То відповідь даємо у вигляді . Різниця є, і різниця суттєва!Бо ця матриця – є матриця «де».

Завдання з більш простими обчисленнями для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти власні вектори лінійного перетворення, заданого матрицею

При знаходженні своїх чисел постарайтеся не доводити справу до многочлена третього ступеня. Крім того, ваші рішення систем можуть відрізнятись від моїх рішень – тут немає однозначності; та вектори, які ви знайдете, можуть відрізнятись від векторів зразка з точністю до пропорційності їх відповідних координат. Наприклад, і . Естетичніше уявити відповідь у вигляді , але нічого страшного, якщо зупиніться і на другому варіанті. Однак усьому є розумні межі, версія виглядає вже не дуже добре.

Зразковий чистовий зразок оформлення завдання наприкінці уроку.

Як вирішувати завдання у разі кратних власних чисел?

Загальний алгоритм залишається незмінним, але тут є свої особливості, і деякі ділянки рішення доцільно витримати в суворішому академічному стилі:

Приклад 6

Знайти власні числа та власні вектори

Рішення

Звичайно ж, оприбуткуємо казковий перший стовпець:

І, після розкладання квадратного тричлена на множники:

В результаті отримані власні числа, два з яких є кратними.

Знайдемо власні вектори:

1) З одиноким солдатом розробимося за «спрощеною» схемою:

З останніх двох рівнянь чітко проглядається рівність, яку, очевидно, слід підставити в 1-е рівняння системи:

Кращої комбінації не знайти:
Власний вектор:

2-3) Тепер знімаємо пару вартових. В даному випадку може вийти або два, або одинВласний вектор. Незважаючи на кратність коренів, підставимо значення в визначник , який приносить нам наступну однорідну систему лінійних рівнянь:

Власні вектори – це точно вектори
фундаментальної системи рішень

Власне, протягом усього уроку ми тільки й займалися тим, що знаходили вектори фундаментальної системи. Просто до певного часу цей термін особливо не був потрібний. До речі, ті спритні студенти, які у маскхалатах проскочили тему однорідних рівнянь, будуть змушені вкурити її зараз.

Єдина дія полягала у видаленні зайвих рядків. В результаті отримана матриця "один на три" з формальною "сходинкою" посередині.
- Базова змінна, - вільні змінні. Вільних змінних дві, отже, векторів фундаментальної системи теж два.

Висловимо базову змінну через вільні змінні: . Нульовий множник перед «іксом» дозволяє приймати йому будь-які значення (що добре видно і з системи рівнянь).

У контексті цього завдання загальне рішення зручніше записати не в рядок, а в стовпець:

Парі відповідає власний вектор:
Парі відповідає власний вектор:

Примітка : досвідчені читачі можуть підібрати дані вектори та усно – просто аналізуючи систему , але тут потрібні деякі знання: змінних - три, ранг матриці системи– одиниця, отже, фундаментальна система рішеньскладається із 3 – 1 = 2 векторів. Втім, знайдені вектори чудово проглядаються і без цих знань на інтуїтивному рівні. У цьому навіть «красивее» запишеться третій вектор: . Однак застерігаю, в іншому прикладі простого підбору може і не виявитися, саме тому застереження призначене для досвідчених людей. Крім того, а чому б не взяти як третій вектор, скажімо, ? Адже його координати теж задовольняють кожному рівняння системи і вектори. лінійно незалежні. Такий варіант, в принципі, придатний, але «кривуватий», оскільки «інший» вектор є лінійною комбінацією векторів фундаментальної системи.

Відповідь: власні числа: , власні вектори:

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 7

Знайти власні числа та власні вектори

Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Слід зазначити, що й у 6-му та 7-му прикладі виходить трійка лінійно незалежних власних векторів, і тому вихідна матриця представима в канонічному розкладанні . Але така малина буває далеко не у всіх випадках:

Приклад 8

Рішення: складемо і розв'яжемо характеристичне рівняння:

Визначник розкриємо по першому стовпцю:

Подальші спрощення проводимо згідно з розглянутою методикою, уникаючи багаточлена 3-го ступеня:

- Власні значення.

Знайдемо власні вектори:

1) З коренем труднощів немає:

Не дивуйтесь, крім комплекту в ході також змінні - різниці тут ніякої.

З 3-го рівняння виразимо - підставимо в 1-е та 2-е рівняння:

З обох рівнянь випливає:

Нехай тоді:

2-3) Для кратних значень отримуємо систему .

Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Найбільш просто влаштовані матриці діагонального вигляду. Виникає питання, чи не можна знайти базис, у якому матриця лінійного оператора мала б діагональний вигляд. Такий базис існує.
Нехай дано лінійний простір R n і лінійний оператор A, що діє в ньому; у цьому випадку оператор A переводить R n у себе, тобто A: R n → R n .

Визначення. Ненульовий вектор x називається власним вектором оператора A якщо оператор A переводить x в колінеарний йому вектор, тобто . Число λ називається власним значенням або власним числом оператора A, що відповідає власному вектору x.
Зазначимо деякі властивості власних чисел та власних векторів.
1. Будь-яка лінійна комбінація власних векторів оператора A, відповідальних одному й тому власному числу λ, є власним вектором з тим самим власним числом.
2. Власні вектори оператора A з попарно різними власними числами λ 1 , λ 2 , …, λ m лінійно незалежні.
3. Якщо власні числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то власному числу λ відповідає не більше m лінійно незалежних власних векторів.

Отже, якщо є n лінійно незалежних власних векторів , відповідних різним власним числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , всі вони лінійно незалежні, отже, їх можна вважати базис простору R n . Знайдемо вид матриці лінійного оператора A у базисі з його власних векторів, для чого подіємо оператором A на базисні вектори: тоді .
Таким чином, матриця лінійного оператора A в базисі його власних векторів має діагональний вигляд, причому по діагоналі стоять власні числа оператора A.
Чи існує інший базис, у якому матриця має діагональний вигляд? Відповідь на поставлене запитання дає така теорема.

Теорема. Матриця лінійного оператора A у базисі (i = 1..n) має діагональний вигляд тоді і лише тоді, коли всі вектори базису - власні вектори оператора A.

Правило відшукання власних чисел та власних векторів

Нехай дано вектор , де x 1 x 2 … x n - координати вектора x щодо базису і x - власний вектор лінійного оператора A, що відповідає власному числу , тобто . Це співвідношення можна записати у матричній формі

. (*)

Рівняння (*) можна як рівняння для відшукання x , причому , тобто нас цікавлять нетривіальні рішення, оскільки власний вектор може бути нульовим. Відомо, що нетривіальні рішення однорідної системи лінійних рівнянь існують тоді і тільки тоді, коли det(A - λE) = 0. Таким чином, для того, щоб λ було власним числом оператора A необхідно і достатньо, щоб det(A - λE) = 0.
Якщо рівняння (*) докладно розписати в координатній формі, то отримаємо систему лінійних однорідних рівнянь:

(1)
де - матриця лінійного оператора.

Система (1) має ненульове рішення, якщо її визначник D дорівнює нулю

Здобули рівняння для знаходження власних чисел.
Це рівняння називається характеристичним рівнянням, яке ліва частина - характеристичним многочленом матриці (оператора) A. Якщо характеристичний багаточлен немає речових коренів, то матриця A немає власних векторів і її не можна призвести до діагональному виду.
Нехай λ 1 , λ 2 , …, λ n - речові корені характеристичного рівняння, причому серед них можуть бути і кратні. Підставляючи по черзі ці значення систему (1), знаходимо власні вектори.

приклад 12. Лінійний оператор A діє в R 3 згідно із законом , де x 1 , x 2 , .., x n - координати вектора в базисі , , . Знайти власні числа та власні вектори цього оператора.
Рішення. Будуємо матрицю цього оператора:
.
Складаємо систему визначення координат власних векторів:

Складаємо характеристичне рівняння та вирішуємо його:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Підставляючи λ = -1 у систему, маємо:
або
Так як , то залежних змінних два, а вільне одне.
Нехай x 1 - вільне невідоме, тоді Вирішуємо цю систему будь-яким способом і знаходимо загальне рішення цієї системи: Фундаментальна система рішень складається з одного рішення, оскільки n – r = 3 – 2 = 1.
Безліч власних векторів, що відповідають своєму числу λ = -1, має вигляд: , де x 1 - будь-яке число, відмінне від нуля. Виберемо з цієї множини один вектор, наприклад, поклавши x 1 = 1: .
Розмірковуючи аналогічно, знаходимо власний вектор, що відповідає власному числу = 3: .
У просторі R 3 базис складається з трьох лінійно незалежних векторів, ми отримали тільки два лінійно незалежних власних вектора, з яких базис в R 3 скласти не можна. Отже, матрицю A лінійного оператора призвести до діагонального вигляду не можемо.

приклад 13. Дано матрицю .
1. Довести, що вектор є власним вектором матриці A. Знайти власне число, що відповідає цьому власному вектору.
2. Знайти базис, у якому матриця A має діагональний вигляд.
Рішення.
1. Якщо , то x - власний вектор

.
Вектор (1, 8, -1) – власний вектор. Власне число = -1.
Діагональний вигляд матриця має в базисі, що складається зі своїх векторів. Один із них відомий. Знайдемо решту.
Власні вектори шукаємо із системи:

Характеристичне рівняння: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Знайдемо власний вектор, що відповідає власному числу = -3:

Ранг матриці цієї системи дорівнює двом і дорівнює числу невідомих, тому ця система має тільки нульове рішення x 1 = x 3 = 0. x 2 тут може бути будь-яким, відмінним від нуля, наприклад, x 2 = 1. Таким чином, вектор (0 ,1,0) є власним вектором, що відповідає λ = -3. Перевіримо:
.
Якщо λ = 1, то одержуємо систему
Ранг матриці дорівнює двом. Останнє рівняння викреслюємо.
Нехай x 3 – вільне невідоме. Тоді x 1 = -3 x 3, 4 x 2 = 10 x 1 - 6 x 3 = -30 x 3 - 6 x 3, x 2 = -9 x 3.
Вважаючи x 3 = 1, маємо (-3,-9,1) - власний вектор, що відповідає власному числу λ = 1. Перевірка:

.
Так як власні числа дійсні і різні, то вектори, що їм відповідають, лінійно незалежні, тому їх можна прийняти за базис R 3 . Таким чином, у базисі , , матриця A має вигляд:
.
Не всяку матрицю лінійного оператора A:R n → R n можна призвести до діагонального вигляду, оскільки для деяких лінійних операторів лінійно незалежних власних векторів може бути менше n. Однак, якщо матриця симетрична, кореню характеристичного рівняння кратності m відповідає рівно m лінійно незалежних векторів.

Визначення. Симетричною матрицею називається квадратна матриця, в якій елементи, симетричні щодо головної діагоналі, дорівнюють, тобто в якій .
Зауваження. 1. Усі власні числа симетричної матриці речові.
2. Власні вектори симетричної матриці, що відповідають попарно різним власним числам, ортогональні.
Як один з численних додатків вивченого апарату, розглянемо завдання визначення виду кривої другого порядку.