Тріангуляція(від лат. Triangulum – трикутник) – один із методів створення опорної геодезичної мережі.
Тріангуляція- спосіб побудови біля ГС як трикутників, у яких виміряно всі кути і базові вихідні боку (рис.14.1). Довжини інших сторін обчислюють за тригонометричними формулами (наприклад, a=c. sinA/sinC, b=c. sinA/sinB), потім знаходять дирекційні кути (азимути) сторін і визначають координати.

Вважають, що метод тріангуляції винайшов і вперше застосував В. Снелліус в 1615-17 рр.. під час прокладання ряду трикутників у Нідерландах для градусних вимірів. Роботи із застосування методу тріангуляції для топографічних зйомок у дореволюційній Росії розпочалися межі 18–19 ст. На початку 20 ст. метод тріангуляції набув повсюдного поширення.
Тріангуляція має велике наукове та практичне значення. Вона служить для: визначення фігури та розмірів Землі методом градусних вимірів; вивчення горизонтальних рухів земної кори; обґрунтування топографічних зйомок у різних масштабах та цілях; обґрунтування різних геодезичних робіт при вишукуванні, проектуванні та будівництві великих інженерних споруд, при плануванні та будівництві міст і т.д.

У практиці допускається замість тріангуляції застосовувати метод полігонометрії. У цьому ставиться умова, щоб за побудові опорної геодезичної мережі тим й ін. методом досягалася однакова точність визначення положення пунктів земної поверхні.

Вершини трикутників тріангуляції. Пункти тріангуляції з метою довготривалої їхньої безпеки на території закріплюються закладкою в грунт спеціальних пристроїв у вигляді металевих труб або бетонних монолітів з вробленими в них металевими марками (див. Центр геодезичний), що фіксують положення точок, для яких даються координати у відповідних каталогах.

3) Супутникова топографічна зйомка

Супутникова зйомка застосовується для складання топографічних карток оглядового характеру або дрібного масштабу. Супутникові GPS вимірювання дуже точні. Але щоб уникнути застосування даної системи для військових потреб, точність була зменшена з
Топографічна зйомка із застосуванням глобальних навігаційних супутникових систем дозволяє зображати на топографічних планах масштабів 1:5000, 1:2000, 1:1000 та 1:500 з необхідною достовірністю та точністю наступні об'єкти:

1) пункти тріангуляції, полігонометрії, трилатерації, ґрунтові репери та пункти знімального обґрунтування, закріплені на місцевості (наносяться за координатами);
2) промислові об'єкти - бурові та експлуатаційні свердловини, нафтові та газові вежі, наземні трубопроводи, колодязі та мережі підземних комунікацій (при виконавчій зйомці);
3) залізниці, шосейні та ґрунтові дороги всіх видів та деякі споруди при них - переїзди, переправи тощо;
4) гідрографія – річки, озера, водосховища, площі розливів, приливно-відливні смуги тощо. Берегові лінії наносяться за фактичним станом на момент зйомки або межень;
5) об'єкти гідротехнічні та водного транспорту - канали, канави, водоводи та водорозподільні пристрої, греблі, пристані, причали, моли, шлюзи та ін;
6) об'єкти водопостачання - колодязі, колонки, резервуари, відстійники, природні джерела та ін;
7) рельєф місцевості із застосуванням горизонталів, відміток висот та умовних знаків обривів, воронок, осипів, ярів, зсувів, льодовиків та ін.
8) рослинність чагарникова, трав'яна, культурна рослинність (плантації, луки та ін), окремі кущі;
9) ґрунти та мікроформи земної поверхні: піски, галечники, токіри, глинисті, щебеневі, монолітні, полігональні та інші поверхні, болота та солончаки;
10) межі - політико-адміністративні, землекористувані та заповідники, різні огородження.
Безліч GPS приладів, представлених на ринку сьогодні, дозволяє фахівцям проводити ретельні виміри при прокладанні доріг, будівництві різних споруд, вимірі площі земель, створенні карт рельєфу місцевості для видобутку нафти тощо.
Використання комп'ютерних методів моделювання та досконалість розрахунків чудово доповнюють топографічну зйомку.

Потреба у вимірі величезних, сотні кілометрів, відстаней – як у суші, і на море – з'явилася ще за давніх часів. Метод тріангуляції дозволив вирахувати величезні відстані та визначити фігуру Землі.

Поняття тріангуляції

Перш ніж говорити про метод триангуляції, розглянемо суть терміна. Тріангуляція - це мережа прилеглих один до одного трикутників різного виду, можна порівняти з примиканням паркетин; водночас істотно, що примикають лише цілі сторони, отже вершина одного трикутника неспроможна лежати всередині боку іншого. Тріангуляції відіграли найбільш значну роль у вимірі відстаней на земній поверхні, і тим самим – і у визначенні фігури Землі.

Історія виміру земних відстаней

Капітани суден, як відомо з дитячих книжок, міряють відстані числом викурених трубок. Близький до цього метод, який використовувався у ІІ. до зв. е. відомим давньогрецьким філософом, математиком і астрономом Посідоній, учителем Цицерона: морські відстані Посідоній вимірював тривалістю плавання (з урахуванням, очевидно, швидкості судна).
Але ще раніше, у III столітті до зв. е., інший відомий древній грек, який керував бібліотекою в Олександрії математик і астроном Ератосфен, міряв сухопутні відстані за часом і швидкістю руху торгових караванів. Можливо припустити, що саме так Ератосфен заміряв відстань між Сієною та Олександрією, яка нині називається Асуаном (якщо спостерігати за сучасною картою, виходить приблизно 850 км). Ця відстань була для нього дуже серйозною. Ератосфен хотів виміряти довжину меридіана і думав, що ці два єгипетські міста лежать на тому самому меридіані; Не дивлячись на те, що це зрештою не зовсім так, але близько до істини. Знайдену відстань він прийняв за довжину дуги меридіана. Об'єднавши цю довжину зі спостереженням південних висот Сонця над горизонтом у Сієні та Олександрії, потім шляхом красивих геометричних міркувань обчислив протяжність всього меридіана і, як наслідок, радіус земної кулі. Ще в XVI столітті відстань (приблизно 100 км) між Ам'єном та Парижем визначили підрахувавши оберти колеса екіпажу. Неточність результатів аналогічних вимірів очевидна і зрозуміла. Але вже в наступному столітті голландський математик, астроном і оптик Снелліус зміг винайти принципово новий метод триангуляції, що викладається нижче, і з його допомогою в 1615-1617 рр. . виміряв дугу меридіана, що має кутовий розмір 1° 11′ 30″.

Суть методу тріангуляції при вимірі відстаней

Подивимося, як тріангуляція дає змогу визначати відстані. Спочатку вибирають який-небудь фрагмент або ділянку земної площини, що включає обидва пункти, відстань між якими прагнуть знайти, і доступний для проведення вимірювальних робіт на місцевості. Дану ділянку покривають мережею безлічі трикутників, що утворюють тріангуляцію, тобто тріангулюють. Після цього вибирають один із трикутників тріангуляції; називатимемо його початковим. Потім вибирають одну із сторін початкового трикутника. Вона є базою, і її довжину ретельно вимірюють. У вершинах початкового трикутника будують вежі (або вежі) - з таким розрахунком, щоб кожна була видна з інших веж. Піднявшись на вежу, розташовану в одній з вершин бази, вимірюють кут, під яким видно дві інші вежі. Потім піднімаються на вежу, розташовану в іншій вершині бази, і роблять те саме. Так, шляхом безпосереднього виміру, одержують відомості про довжину однієї зі сторін початкового трикутника (зокрема: про довжину бази) та про величину прилеглих до неї кутів. За відомими та простими формулами тригонометрії (із застосуванням косинуса, синуса, тангенсу та катангенсу) обчислюють довжини 2-х інших сторін цього трикутника. Кожну з них можна прийняти за нову базу, причому вимірювати її довжину не потрібно. Використовуючи ту саму процедуру, можливо тепер визначити довжини сторін і кути будь-якого з трикутників, що примикають до початкового, і т.д. що незрівнянно легше і може бути зроблено з високою точністю. По завершенні процесу виявляються встановленими величини всіх відрізків і кутів, що беруть участь у тріангуляції. А це, у свою чергу, дозволяє знаходити будь-які відстані в межах ділянки поверхні, покритої тріангуляцією.

Довжина дуги меридіана від широти Північного Льодовитого океану до широти Чорного моря.

Зокрема, саме так у XIX столітті знайшлася довжина дуги меридіана від широти Північного Льодовитого океану (у районі Хаммерфесту на острові Квале – Норвегія) до широти Чорного моря (в районі низов'я Дунаю). Вона була сформована із довжин 12 окремих дуг. Процедура спрощувалась тим, що для знаходження довжини дуги меридіана зовсім не потрібно, щоб складові дуги примикали один до одного кінцями; достатньо, щоб кінці сусідніх дуг знаходилися на одній широті. (Наприклад, якщо необхідно визначити відстань між сімдесятою та сороковою паралелями, то можливо на одному меридіані заміряти відстань між 70-ю та 50-ю паралелями, на іншому меридіані - відстань між 50-ю та 40-ю паралелями, а після цього скласти отримані відстані.) Загальна кількість трикутників тріангуляції склала 258, довжина дуги дорівнювала 2800 км. Щоб виключити помилки та неточності, неминучі при вимірах, а при обчисленнях ймовірні, 10 зазнали прямого виміру на місцевості. Вимірювання були проведені в період з 1816 по 1855 р.р., а підсумки були викладені у двох томах «Дуга меридіана в 25° 20′ між Дунаєм і Льодовитим морем» (СПб., 1856–1861), написаним чудовим російським геодеомом Василем Яковичем Струве (1793-1864), який здійснив російську частину вимірів.

Геодезичні мережі. Метод тріангуляції. Кутові виміри

Характерною та головною особливістю аналізованого періоду розвитку геодезії були геодезичні мережі. Геодезична мережа - це сукупність закріплених біля точок з певними координатами. Вони створювалися з метою: 1) вирішення головного наукового завдання – визначення фігури Землі та її гравітаційного поля; 2) картографування країни; 3) вирішення завдань прикладної геодезії. Основним методом побудови геодезичних мереж став 16в. . метод тріангуляціїхоча цей метод був відомий ще в давнину (грецький математик Фалес використовував його для визначення відстані до корабля). Цей спосіб полягає у побудові біля трикутників, у яких вимірювалися кути і одна сторона. Вершини трикутників закріплювали спеціальними знаками. Зпочатку це були одиночні трикутникипотім почали будувати ланцюжкиїх та суцільні мережіз виміром у них одного чи кількох базисів(Сторін) та всіх кутів. Першу згадку про метод тріангуляції зробив Гемма Фрізіус у 1546р. Він при реалізації цього методу на великій території застосовував прилад планіметр– модифіковану спрощену астролябіюз компасом, що встановлювався горизонтально на вертикальну підставку. Цей метод використовував Мартін Вальдземюллер, застосувавши розроблений ним 1513р. прилад поліметрум,яким можна було вимірювати горизонтальні або вертикальні кути. Це був прототип сучасного теодоліту. Відомий картограф Герард Меркатор (1512-1594), учень Гемми Фрізіуса, був одним із перших, хто застосував метод тріангуляції при зйомках для отримання точних карт території Голландії в 1540р. Англієць Крістофер Сакстон протягом 9 років виконував зйомки Уельсу, в яких використовував тріангуляційний метод Фрізіуса. У 1596р. Раттікус видав працю з основ триангуляції. Отже, початок застосування тріангуляційного методу при зйомках відноситься до першої половини 16в., А першим інструментом була пристосована для цього астролябія. Розробкою, застосуванням та вдосконаленням методу займалися переважно математики, геометри, які працювали в університетах.

У 17 ст. настав другий етап у формуванні методу тріангуляції та реалізації його у трьох напрямках: 1) як суворо наукової основи топографічних зйомок; 2) як засоби поширення єдиної системи координат на території країни; 3) як головного методу визначення форми та розмірів Землі. Поширення цього в 17в. сприяло впровадження та освоєння в геодезії тригонометрії та логарифмів, Винайдених Непером в 1614р.

Вільгельм Шикхарт, з урахуванням свого досвіду створення опорної геодезичної мережі для топографічної зйомки Вюртенберга, в 1629г. опублікував перший геодезичний підручникнімецькою мовою «Короткий посібник з мистецтва зйомки земель».

Прикладом усіх 3-х напрямів є роботи 4-х поколінь геодезистів Кассіні (Жан, Жак, Цезар) у Франції, які вирішили за допомогою побудови суцільної мережі тріангуляціїТри основні завдання – створення точної карти Франції, поширення єдиної системи координат та отримання розміру Землі. Голландський математик Віллеброрд Снелліус (1591-1626) проклав у 1615-1616рр. ряд тріангуляції для вирішення задачі 3-го напряму. У Росії вважають Снелліуса автором цього методу. Француз Жан Пікар (1620-1682) в 1669-1670гг., Використовуючи ряд тріангуляції визначив довжину дуги паризького меридіана в один градус, рівну 111,212км. (Сучасна величина 111,18 км).

Для визначення висоти об'єкта та вирішення інших завдань застосовували різні комбінації рейок, наприклад, описану Леонардо да Вінчі.

Астролябія в цю епоху стала найважливішим приладом у навігації та геодезії. Для застосування в практичній геометрії астролябія була реконструйована у горизонтальне положення, у неї вбудували компас, змінили та оформлення. Коло астролябії мало 360 поділів і кожну з них ділили ще на 10 частин. Найменший поділ кола дорівнював 6 '.

Для вимірювання кутів, крім астролябії, застосовували квадрат і квадрант. Геометричний квадрат був модифікований - у нього вмикалася дуга квадранта. Квадранти у період були найважливішими астрономічними інструментами. Їх почали будувати великих розмірів і стаціонарного та меридіанного типів. Європейці спростили квадрант, вбудували компас. Квадрант застосовувався головним чином вимірювання вертикальних кутів щодо перевищень методом тригонометричного нівелювання, і навіть визначення часу за спостереженнями висот небесних світил. Для підвищення точності відрахування часток розподілу на квадранті Педро Ноніус (1492-1577) запропонував спеціальний пристрій ноніус. Надалі ноніус було перетворено П. Верньєром на відліковий пристрій (описано в 1631 р.) і стало називатися верньєр.Точність відрахування за верньєром зросла на порядок.

Під час зйомок на земній поверхні мережа опорних пунктів може бути створена двома способами: побудовою тріангуляційної мережі або прокладання полігонів.
Якщо площа ділянки зйомок невелика, можна обмежитися прокладкою теодолітних ходів.

При зйомках значних ділянок поверхні землі, наприклад, території всього рудника або вугільного басейну тощо, прокладання полігонів значної протяжності викличе накопичення помилок вимірювань. Тому під час зйомки великих територій мережа опорних пунктів створюється шляхом побудови тріангуляції.

Тріангуляційна (тригонометрична) мережа є ланцюгом або мережею приблизно рівносторонніх трикутників або інших геометричних фігур, вершини яких надійно закріплюються візирними знаками - покажчиками, спорудженими на вкопаних у землю бетонних блоках або кам'яних центрах.

Ланцюг або мережа трикутників будується таким чином, щоб кожен із трикутників ланцюга мав спільну сторону із сусіднім трикутником (рис. 1). Якщо виміряти кути отриманих трикутників (або інших фігур) і визначити довжину хоча б однієї зі сторін, наприклад, сторону АБ, звану вихідний, цього достатньо для обчислення довжин сторін всіх інших трикутників.

Нехай у трикутнику А Б В(рис. 1) сторона АБта внутрішні його кути відомі з безпосередніх вимірів. Тоді за теоремою синусів визначаються довжини двох інших сторін цього трикутника:

Таким чином, для сусіднього трикутника АВЖстає відомою сполучна (прикордонна) сторона АВ, а кути цього трикутника виміряні безпосередньо зйомкою. За аналогією з попереднім трикутником визначаються сторони АЖі ВЖсусідній трикутник. Подібно, переходячи від одного трикутника до іншого, обчислюють розміри трикутників всього ланцюга або мережі.

Після обчислення дирекційних кутів сторін трикутників можуть обчислюватися координати вершин трикутників, які є пунктами опорної мережі.

Побудовою тріангуляції можна створити мережу опорних пунктів на широкій території.
У Росії її прийнято такий порядок побудови державної тріангуляційної мережі.
Уздовж меридіанів та паралелей прокладаються ряди трикутників або геодезичних чотирикутників (рис. 2). Ряди тріангуляції, перетинаючи, утворюють систему замкнутих полігонів із ланок завдовжки близько 200 км. Такі ряди, що перетинаються, утворюють тріангуляцію 1-го класу, яка є основою всієї тріангуляції країни.

Довжина сторін трикутників чи чотирикутників у лавах тріангуляції 1-го класу приймається рівною 20-25 км. У місцях перетину рядів (у кінцях ланок) визначаються довжини вхідних сторін АА 1, ББ 1, ВР 1, ГГ 1(рис. 2) з відносною помилкою трохи більше 1:350 000 з побудови базисних ланцюгів.
На рис. 2 показані ромбічні базисні мережі, де безпосередньо виміряні базиси аа 1, бб 1, вв 1, мм 1і внутрішні кути базисних мереж, а довжини вихідних сторін обчислені за виміряними та зрівняними величинами.
На кінцях кожної вихідної сторони проводяться астрономічні спостереження щодо визначення широти та довготи пунктів, а також азимуту вихідної сторони. Такі пункти називають пунктами Лапласа .

Координати всіх пунктів тріангуляції 1-го класу обчислюють у єдиній системі координат.
Отримані значення довжин сторін трикутників, дирекційних кутів та координат пунктів приймаються як остаточні (жорсткі) і за подальшого розвитку мереж тріангуляції наступних класів зміні не підлягають.

Подальше згущення пунктів тріангуляції всередині полігонів 1-го класу виробляється мережею трикутників 2-го класу зі сторонами протяжністю 10-15 км. (Рис. 2). Ця мережа спирається на сторони рядів 1-го класу, а також на вихідні сторони базисних мереж, які знаходяться в мережах 2-го класу.
У тріангуляційних мережах 2-го класу вихідні сторони визначаються з точністю 1:250.000.

На основі рядів 1-го класу та мереж 2-го класу розвиваються тріангуляції 3-го класу шляхом вставки систем трикутників або окремих пунктів. Довжина сторін трикутників у мережі 3-го класу близько 8 км.
Аналогічно, за допомогою вставок систем трикутників або окремих пунктів визначається положення пунктів 4-го класу. Довжина сторін у трикутниках 4-го класу приймається від 1,5 до 6 км.
Для обґрунтування зйомок великих масштабів між пунктами тріангуляційної мережі прокладають полігонометричні ходи, що замінюють тріангуляцію 4-го класу, та ходи з меншим ступенем точності.

Метод тріангуляції дозволяє вельми точно визначати відносне положення точок на земній поверхні, тому при розбивках складних споруд (мостів, гребель і т.д.), а також при проходженні гірських виробок великої довжини будується спеціальна, у тому числі маркшейдерська, тріангуляція.

Основними методами створення державної геодезичної мережі є тріангуляція, трилатерація, полігонометрія та супутникові координатні визначення.

Тріангуляція(рис. 68, а) є ланцюгом прилеглих один до одного трикутників, у кожному з яких вимірюють високоточними теодолітами всі кути. Крім того, вимірюю довжини сторін на початку та в кінці ланцюга.

Рис. 68. Схема тріангуляції (а) та полігонометрії (б).

У мережі тріангуляції відомими є базис L та координати пунктів А та В. Для визначення координат інших пунктів мережі вимірюють у трикутниках горизонтальні кути.

Тріангуляція ділиться на класи 1, 2, 3, 4. Трикутники різних класів відрізняються довжинами сторін та точністю виміру кутів і базисів.

Розвиток мереж тріангуляції виконується з дотриманням основного принципу від загального до приватного, тобто. спочатку будується тріангуляція 1 класу, а потім послідовно 2, 3 та 4 класів.

Пункти національної геодезичної мережі закріплюються біля центрами. Для забезпечення взаємної видимості між пунктами над центрами встановлюють геодезичні знаки дерев'яні чи металеві. Вони мають пристосування для встановлення приладу, платформу для спостерігача та візирний пристрій.

Залежно від конструкції, наземні геодезичні знаки поділяються на піраміди та прості та складні сигнали.

Типи підземних центрів встановлюються залежно від фізико-географічних умов регіону, складу ґрунту та глибини сезонного промерзання ґрунту. Наприклад, центр пункту державної геодезичної мережі 1-4 класів типу 1 згідно з інструкцією «Центри та репери державної геодезичної мережі» (М., Надра, 1973) призначений для південної зони сезонного промерзання ґрунтів. Він складається із залізобетонного пілону перетином 16Х16 см (або азбоцементної труби 14-16 см, заповненої бетоном) та бетонного якоря. Пілон цементується в якір. Основа центру повинна розташовуватися нижче за глибину сезонного промерзання ґрунту не менше 0,5 м і не менше 1,3 м від поверхні землі. У верхній частині знака лише на рівні поверхні землі бетонується чавунна марка. Над маркою в радіусі 0,5 м насипається ґрунт шаром 10-15 см. У 1,5 м від центру встановлюється розпізнавальний стовп із охоронною плитою.

Нині широко використовують радіотехнічні засоби визначення відстані між пунктами мережі з відносними помилками 1:100 000 – 1:1 000 000. Це дозволяє будувати геодезичні мережі методом трилатерації, коли в мережах трикутників проводиться тільки вимірювання сторін. Величини кутів обчислюють тригонометричним способом.

Метод полігонометрії(рис. 68 б) полягає в тому, що опорні геодезичні пункти пов'язують між собою ходами, званими полігонометричними. У них вимірюють відстані та праворуч лежачі кути.

Супутникові методи створення геодезичних мереж поділяються на геометричні та динамічні. У геометричному методі штучний супутник Землі використовують як високу візирну мету, динамічному – ШСЗ є носієм координат.