Порівняння звичайних та десяткових дробів. Порівняння кінцевих та нескінченних десяткових дробів: правила, приклади, рішення

РОЗДІЛ 7 ДЕСЯТИЧНІ ДРОБИ І ДІЇ З НИМИ

У розділі дізнаєтесь:

що таке десятковий дріб і яка його будова;

як порівнювати десяткові дроби;

які правила додавання та віднімання десяткових дробів;

як знайти твір та приватне двох десяткових дробів;

що таке округлення числа та як округлювати числа;

як застосувати вивчений матеріал на практиці

§ 29. ЩО ТАКЕ ДЕСЯТИЧНА ДРОБІЛЬ. ПОРІВНЯННЯ ДЕСЯТИЧНИХ ДРОБІВ

Подивіться на рисунок 220. Ви бачите, що довжина відрізка АВ дорівнює 7 мм, а довжина відрізка DC - 18 мм. Щоб подати довжини цих відрізків у сантиметрах, треба використовувати дроби:

Ви знаєте багато інших прикладів, коли використовуються дроби із знаменниками 10,100, 1000 тощо. Так,

Такі дроби називають десятковими. Для їх запису використовують зручнішу форму, яку нагадує лінійка з вашого приладдя. Звернемося до прикладу.

Ви знаєте, що довжину відрізка DC (рис. 220) можна виразити змішаним числом

Якщо після цілої частини цього числа поставити кому, а після неї - чисельник дробової частини, то отримаємо компактніший запис: 1,8 см. Для відрізка АВ тоді отримаємо: 0,7 см. Дійсно, дріб є правильним, він менший за одинку, тому його ціла частинадорівнює 0. Числа 1,8 та 0,7 - приклади десяткових дробів.

Десятковий дріб 1,8 читають так: «одна ціла вісім десятих», а дріб 0,7 - «нуль цілих сім десятих».

Як записати дроби у вигляді десяткових дробів? Для цього треба знати будову запису десяткового дробу.

У записі десяткового дробу завжди є ціла та дробова частини. їх поділяє кома. У цілій частині класи та розряди такі ж, як у натуральних чисел. Ви знаєте, що це – класи одиниць, тисяч, мільйонів тощо, а в кожному з них по 3 розряди – одиниць, десятків та сотень. У дробовій частині десяткового дробу класи не виділяють, а розрядів може бути скільки завгодно, їх назви відповідають назвам знаменників дробів – десяті, соті, тисячні, десятитисячні, стотисячні, мільйонні, десятимільйонні тощо. Розряд десятих є найстарішим у дрібній частині десяткового дробу.

У таблиці 40 ви бачите назви розрядів десяткового дробу та число «сто двадцять три цілих та чотири тисячі п'ятсот шість стотисячних» або

Назва дробової частини «стотисячних» у звичайному дробі визначає її знаменник, а в десятковій – останній розряд його дробової частини. Ви бачите, що в чисельнику дробової частини числа цифр на одну менше, ніж нулів у знаменнику. Якщо не врахувати цього, то в записі дробової частини отримаємо помилку – замість 4506 стотисячних запишемо 4506 десятитисячних, але

Тому в записі даного числадесятковим дробом треба поставити 0 після коми (у розряді десятих): 123,04506.

Зверніть увагу:

у десятковому дробі після коми має стояти стільки цифр, скільки нулів у знаменнику відповідного звичайного дробу.

Можемо тепер записати дроби

у вигляді десяткових.

Десяткові дроби можна порівнювати так само, як і натуральні числа. Якщо запису десяткових дробів багато цифр, то користуються спеціальними правилами. Розглянемо приклади.

Завдання. Порівняйте дроби: 1) 96,234 та 830,123; 2) 3,574 та 3,547.

Рішення. 1, Ціла частина першого дробу - двоцифрове число 96, а ціла частина дробу другого - трицифрове число 830, тому:

96,234 < 830,123.

2. У записах дробів 3,574 та 3,547 і цілі частини рівні. Тому порівнюємо порозрядно їх дробові частини. Для цього запишемо дані дроби один під одним:

Кожен із дробів має 5 десятих. Але в першому дробі 7 сотих, а в другому - лише 4 соті. Тому перший дріб більший за другий: 3,574 > 3,547.

Правила порівняння десяткових Дробів.

1. З двох десяткових дробів більше те, у якого ціла частина більша.

2. Якщо цілі частини десяткових дробів дорівнюють, то порівнюють їх дробові частини порозрядно, починаючи зі старшого розряду.

Як і звичайні дроби, десяткові дроби можна розмістити на координатному промені. На малюнку 221 ви бачите, що точки А, В та С мають координати: А(0,2), Б(0,9), С(1,6).

Дізнайтесь більше

Десяткові дроби пов'язані з десятковою позиційною системою числення. Однак їх поява має більш давню історію і пов'язана з ім'ям видатного математика та астронома ал-Каші ( повне ім'я- Джемшид ібн-Масудал-Каші). У роботі «Ключ до арифметики» (XV ст.) він уперше сформулював правила дій із десятковими дробами, навів приклади виконання дій із ними. Нічого не знаючи про відкриття ал-Каші, вдруге «відкрив» десяткові дроби приблизно через 150 років фламандський математик та інженер Сімон Стевін. У праці «Децималь» (1585 p.) С. Стевін виклав теорію десяткових дробів. Він всіляко пропагував їх, наголошуючи на зручності десяткових дробів для практичних обчислень.

Відокремлювати цілу частину від дробового десяткового дробу пропонували по-різному. Так, ал-Каші цілу і дробову частини писав різним чорнилом або ставив між ними вертикальну межу. С. Стевін для відокремлення цілої частини від дробової ставив нуль у кружечку. Прийняту нашого часу кому запропонував відомий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571 - 1630).

ВИРІШИТЕ ЗАВДАННЯ

1173. Запишіть у сантиметрах довжину відрізка АВ, якщо:

1) АВ = 5мм; 2) АВ = 8мм; 3) АВ = 9мм; 4) АВ = 2мм.

1174. Прочитайте дроби:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Назвіть: а) цілу частину дробу; б) дробову частину дробу; в) розряди дробу.

1175. Наведіть приклад десяткового дробу, в якому після коми стоїть:

1) одна цифра; 2) дві цифри; 3) три цифри.

1176. Скільки знаків після коми має десятковий дріб, якщо знаменник відповідного звичайного дробу дорівнює:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. У якого з дробів більша ціла частина:

1) 12,5 чи 115,2; 4) 789,154 чи 78,4569;

2) 5,25 чи 35,26; 5) 1258,00265 чи 125,0333;

3) 185,25 чи 56,325; 6) 1269,569 чи 16,12?

1178. У числі 1256897 відокремте комою останню цифру та прочитайте число, яке отримали. Потім послідовно переставте кому на одну цифру вліво і називайте дроби, які ви отримали.

1179. Прочитайте дроби та запишіть їх у вигляді десяткового дробу:

1180 Прочитайте дроби та запишіть їх у вигляді десяткового дробу:

1181. Запишіть звичайним дробом:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Запишіть звичайним дробом:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Запишіть десятковим дробом:

1) 8 цілих 3 десятих; 5) 145 цілих 14 сотих;

2) 12 цілих 5 десятих; 6) 125 цілих 19 сотих;

3) 0 цілих 5 десятих; 7) 0 цілих 12 сотих;

4) 12 цілих 34 сотих; 8) 0 цілих 3 соті.

1184. Запишіть десятковим дробом:

1) нуль цілих вісім тисячних;

2) двадцять цілих чотири сотих;

3) тринадцять цілих п'ять сотих;

4) сто сорок п'ять цілих дві сотих.

1185. Запишіть частку у вигляді звичайного дробу, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Запишіть у вигляді змішаного числа, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Запишіть у вигляді змішаного числа, а потім у вигляді десяткового дробу:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Виразіть у гривнях:

1) 35 к.; 2) 6 к.; 3) 12 грн 35 коп.; 4) 123к.

1189. Виразіть у гривнях:

1) 58 к.; 2) 2 к.; 3) 56 грн 55 коп.; 4) 175к.

1190. Запиши у гривнях та копійках:

1) 10,34 грн; 2) 12,03 грн.; 3) 0,52 грн.; 4) 126,05 грн.

1191. Виразіть у метрах і відповідь запишіть десятковим дробом: 1) 5 м 7 дм; 2) 15 м 58 см; 3) 5 м 2 мм; 4) 12 м 4 дм 3 см 2 мм.

1192. Виразіть у кілометрах і відповідь запишіть десятковим дробом: 1) 3 км 175 м; 2) 45 км. 47 м; 3) 15 км. 2 м.

1193. Запишіть у метрах та сантиметрах:

1) 12,55 м; 2) 2,06 м; 3) 0,25 м; 4) 0,08м.

1194. Найбільша глибина Чорного моря становить 2211 км. Виразіть глибину моря за метри.

1195. Порівняйте дроби:

1) 15,5 та 16,5; 5) 4,2 та 4,3; 9) 1,4 та 1,52;

2) 12,4 та 12,5; 6) 14,5 та 15,5; 10) 4,568 та 4,569;

3) 45,8 та 45,59; 7) 43,04 та 43,1; 11) 78,45178,458;

4) 0,4 та 0,6; 8) 1,23 та 1,364; 12) 2,25 та 2,243.

1196. Порівняйте дроби:

1) 78,5 та 79,5; 3) 78,3 та 78,89; 5) 25,03 та 25,3;

2) 22,3 та 22,7; 4) 0,3 та 0,8; 6) 23,569 та 23,568.

1197. Запишіть у порядку зростання десяткові дроби:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Запишіть у порядку зменшення десяткові дроби:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Виразіть у квадратних метрахі запиши десятковим дробом:

1) 5 дм2; 2) 15 см2; 3) 5дм212см2.

1200 . Кімната має форму прямокутника. Її довжина становить 90 дм, а ширина – 40 дм. Знайдіть площу кімнати. Відповідь запишіть у квадратних метрах.

1201 . Порівняйте дроби:

1) 0,04 та 0,06; 5) 1,003 та 1,03; 9) 120,058 та 120,051;

2) 402,0022 та 40,003; 6) 1,05 та 1,005; 10) 78,05 та 78,58;

3) 104,05 та 105,05; 7) 4,0502 та 4,0503; 11) 2,205 та 2,253;

4) 40,04 та 40,01; 8) 60,4007 і 60,04007; 12) 20,12 та 25,012.

1202. Порівняйте дроби:

1) 0,03 та 0,3; 4) 6,4012 та 6,404;

2) 5,03 та 5,003; 5) 450,025 та 450,2054;

1203. Запишіть п'ять десяткових дробів, які знаходяться на координатному промені між дробами:

1) 6,2 та 6,3; 2) 9,2 та 9,3; 3) 5,8 та 5,9; 4) 0,4 та 0,5.

1204. Запишіть п'ять десяткових дробів, які на координатному промені знаходяться між дробами: 1) 3,1 та 3,2; 2) 7,4 та 7,5.

1205. Між якими двома сусідніми натуральними числами розміщується десятковий дріб:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Запишіть п'ять десяткових дробів, для яких виконується нерівність:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Запишіть п'ять десяткових дробів, для яких виконується нерівність:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Запишіть найбільшу десятковий дріб:

1) із двома цифрами після коми, менше 2;

2) з однією цифрою після коми, меншою за 3;

3) із трьома цифрами після коми, менше 4;

4) із чотирма цифрами після коми, менше 1.

1209. Запишіть найменший десятковий дріб:

1) з двома цифрами після коми, яка більша за 2;

2) з трьома цифрами після коми, яка більша за 4.

1210. Запишіть усі цифри, які можна поставити замість зірочки, щоб отримати правильну нерівність:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Яку цифру можна поставити замість зірочки, щоб здобути правильну нерівність:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Запишіть усі десяткові дроби, ціла частина яких дорівнює 6, а дробова частина містить три десяткові знаки, записані цифрами 7 та 8. Запишіть ці дроби в порядку їх спадання.

1213. Запишіть шість десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 45, а дробова частина складається з чотирьох різних цифр: 1, 2, 3, 4. Запишіть ці дроби у порядку їх зростання.

1214. Скільки можна скласти десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 86, а дробова частина складається з трьох різних цифр: 1,2,3?

1215. Скільки можна скласти десяткових дробів, ціла частина яких дорівнює 5, а дробовий є трицифровим, записаним цифрами 6 і 7? Запишіть ці дроби в порядку їх спадання.

1216. Закресліть у числі 50,004007 три нулі так, щоб утворилося:

1) найбільша кількість; 2) найменше число.

ЗАСТОСУВАЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1217. Виміряйте довжину та ширину свого зошита в міліметрах та запишіть відповідь у дециметрах.

1218. Запишіть своє зростання в метрах за допомогою десяткового дробу.

1219. Виміряйте розміри своєї кімнати та обчисліть її периметр та площу. Відповідь запишіть у метрах та квадратних метрах.

ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ

1220. За яких значень х дріб є неправильним?

1221. Розв'яжіть рівняння:

1222. Магазин мав продати 714 кг яблук. За перший день було продано всіх яблук, а за другий від того, що продали за перший день. Скільки яблук продали за 2 дні?

1223. Ребро куба зменшили на 10 см і отримали куб, об'єм якого дорівнює 8 дм3. Знайдіть об'єм першого куба.

Мета уроку:

• створити умови для виведення правила порівняння десяткових дробів та вміння його застосовувати;
• повторити запис звичайних дробіву вигляді десяткових, заокруглення десяткових дробів;
• розвивати логічне мислення, Здатність до узагальнення, дослідницькі вміння, мова.

Хід уроку

Діти давайте згадаємо, чим ми займалися з вами на попередніх уроках?

Відповідь:вивчали десяткові дроби, записували звичайні дроби як десяткових і навпаки, округляли десяткові дроби.

А чим ви хотіли б сьогодні займатися?

(Учні відповідають.)

А ось чим ми будемо на уроці займатися, ви дізнаєтеся за кілька хвилин. Відкрийте зошити, запишіть дату. До дошки піде учень, який працюватиме з зворотного бокудошки. Я пропонуватиму вам завдання, які ви виконуєте усно. Відповіді записуєте в зошит у рядок через крапку з комою. Учень біля дошки записує у стовпчик.

Я читаю завдання, які заздалегідь записані на дошці:

Перевіримо. Хто має інші відповіді? Згадати правила.

Отримали: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Встановіть закономірність та продовжіть отриманий ряд ще на 2 числа. Перевіримо.

Візьміть розшифровку і під кожним числом (що відповідає біля дошки ставить букву поруч із числом) поставте відповідну букву. Прочитайте слово.

Розшифровка:

Отже, чим ми займатимемося на уроці?

Відповідь:порівнянням.

Порівнянням! Добре, я, наприклад, зараз почну порівнювати свої руки, 2 підручники, 3 лінійки. А що ви хочете порівнювати?

Відповідь:десяткові дроби.

Яку тему уроку запишемо?

Я записую тему уроку на дошці, а учні у зошиті: «Порівняння десяткових дробів».

Завдання:порівняйте числа (на дошці записані)

18,625 та 5,784		15,200 та 15,200
3,0251 та 21,02		7,65 та 7,8
23,0521 та 0,0521		0,089 та 0,0081

Спочатку відкриваємо ліву частину. Цілі частини різні. Робимо висновок про порівняння десяткових дробів із різними цілими частинами. Відкриваємо праву частину. Цілі частини – однакові числа. Як порівняти?

Пропозиція:записати десяткові дроби у вигляді звичайних дробів та порівняти.

Записати порівняння звичайних дробів. Якщо кожен десятковий дріб переводити у звичайний і порівнювати 2 дроби, це займе багато часу. Може, ми виведемо правило порівняння? (Учні пропонують.) Я виписала правило порівняння десяткових дробів, які пропонує автор. Давайте порівняємо.

На аркуші паперу надруковано 2 правила:

1. Якщо цілі частини десяткових дробів різні, то той дріб більший, у якого більша ціла частина.
2. Якщо цілі частини десяткових дробів однакові, то більший той дріб, у якого більший перший з розрядів, що не збіглися, після коми.

Ми з вами зробили відкриття. І це відкриття - правило порівняння десяткових дробів. Воно у нас збіглося із правилом, яке запропонував автор підручника.

Я ось звернула увагу, що в правилах говориться який із 2 дробів більше. А ви можете мені сказати який із 2 десяткових дробів менше.

Виконати у зошиті № 785(1, 2) на стор. 172. Завдання записано на дошці. Учні коментують, а вчитель ставить знаки.

Завдання:порівняйте

3,4208 та 3,4028

Отже, що ми сьогодні навчилися робити? Давайте себе перевіримо. Робота на листочках із копіркою.

Учні порівнюють десяткові дроби, ставлячи знаки >,<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Самостійна робота.

(Перевірка – відповіді на звороті дошки.)

Порівняйте

148,05 та 14,805

6,44806 та 6,44863

35,601 та 35,6010

Перший, хто зробить – отримує завдання (виконує зі зворотного боку дошки) № 786 (1, 2):

Знайдіть закономірність та запишіть наступне в послідовності число. У яких послідовностях числа розташовані в порядку зростання, в яких у порядку зменшення?

Відповідь:

1. 0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) – зменшується
2. 0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) – зростає.

Після того як останній учень здасть роботу – перевірити.

Учні порівнюють відповіді.

Ті, хто все зробив правильно поставить собі позначку "5", хто припустився 1-2 помилок - "4", 3 помилки - "3". З'ясувати в яких порівняннях допущені помилки, яким правилом.

Записати домашнє завдання: № 813, № 814 (п. 4 стор. 171). Прокоментувати Якщо буде час – виконати №786(1, 3), №793(а).

Підсумок уроку.

1. Що ви хлопці навчилися робити на уроці?
2. Вам сподобалося чи не сподобалося?
3. Які були труднощі?

Візьміть листочки і заповніть їх, вказавши ступінь вашого засвоєння матеріалу:

• засвоєний повністю, можу виконувати;
• засвоєний повністю, але важко у застосуванні;
• засвоєно частково;
• не засвоєно.

Дякую за урок.

У цій статті ми розглянемо тему « порівняння десяткових дробів». Спочатку обговоримо загальний принцип порівняння десяткових дробів. Після цього розберемося, які десяткові дроби є рівними, а які нерівними. Далі навчимося визначати, який десятковий дріб більший, а який менше. Для цього вивчимо правила порівняння кінцевих, нескінченних періодичних та нескінченних неперіодичних дробів. Всю теорію забезпечимо прикладами з докладними рішеннями. На закінчення зупинимося на порівнянні десяткових дробів із натуральними числами, звичайними дробами та змішаними числами.

Відразу скажемо, що тут говоритимемо лише порівняння позитивних десяткових дробів (дивіться позитивні і негативні числа). Інші випадки розібрані в статтях порівняння раціональних чисел та порівняння дійсних чисел.

Навігація на сторінці.

Загальний принцип порівняння десяткових дробів

Виходячи з цього принципу порівняння, виводяться правила порівняння десяткових дробів, що дозволяють уникнути перекладу порівнюваних десяткових дробів у звичайні дроби. Ці правила, а також приклади їх застосування ми розберемо в наступних пунктах.

За подібним принципом порівнюються кінцеві десяткові дроби чи нескінченні періодичні десяткові дроби з натуральними числами , звичайними дробами і змішаними числами : порівнювані числа замінюються відповідними їм звичайними дробами, після чого порівнюються прості дроби.

Що стосується порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів, То воно зазвичай зводиться до порівняння кінцевих десяткових дробів. Для цього розглядається така кількість знаків порівнюваних нескінченних неперіодичних десяткових дробів, що дозволяє отримати результат порівняння.

Рівні та нерівні десяткові дроби

Спочатку введемо визначення рівних та нерівних кінцевих десяткових дробів.

Визначення.

Два кінцеві десяткові дроби називаються рівними, якщо рівні відповідні їм звичайні дроби, інакше ці десяткові дроби називаються нерівними.

На підставі цього визначення легко обґрунтувати таке твердження: якщо в кінці цього десяткового дробу приписати або відкинути кілька цифр 0 , то вийде рівний йому десятковий дріб. Наприклад, 0,3=0,30=0,300=… , а 140,000=140,00=140,0=140.

Дійсно, дописування або відкидання в кінці десяткового дробу нуля праворуч відповідає множенню або поділу на 10 чисельника і знаменника відповідного звичайного дробу. А ми знаємо основну властивість дробу, яке свідчить, що множення або розподіл чисельника і знаменника дробу на те саме натуральне число дає дріб, рівний вихідної. Цим доведено, що дописування або відкидання нулів праворуч у дробовій частині десяткового дробу дає дріб, що дорівнює вихідному.

Наприклад, десяткового дробу 0,5 відповідає звичайний дріб 5/10 , після дописування нуля праворуч виходить десятковий дріб 0,50 , якому відповідає звичайний дріб 50/100 , а . Таким чином, 0,5 = 0,50. Назад, якщо в десятковому дробі 0,50 відкинути праворуч 0 то ми отримаємо дріб 05 так від звичайного дробу 50/100 ми прийдемо до дробу 5/10 але . Отже, 0,50 = 0,5.

Переходимо до визначення рівних і нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів.

Визначення.

Два нескінченні періодичні дроби рівніякщо рівні відповідні їм звичайні дроби; якщо відповідні їм звичайні дроби не рівні, то порівнювані періодичні дроби теж не рівні.

З цього визначення випливають три висновки:

• Якщо записи періодичних десяткових дробів повністю збігаються, такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, періодичні десяткові дроби 0,34 (2987) та 0,34 (2987) рівні.
• Якщо періоди порівнюваних десяткових періодичних дробів починаються з однакової позиції, перший дріб має період 0 , другий – період 9 , і значення розряду, що передує періоду 0 на одиницю більше, ніж значення розряду, що передує періоду 9 то такі нескінченні періодичні десяткові дроби рівні. Наприклад, періодичні дроби 8,3(0) та 8,2(9) рівні, також рівні дроби 141,(0) та 140,(9) .
• Два будь-які інші періодичні дроби не є рівними. Наведемо приклади нерівних нескінченних періодичних десяткових дробів: 9,0(4) та 7,(21) , 0,(12) та 0,(121) , 10,(0) та 9,8(9) .

Залишилося розібратися з рівними і нерівними нескінченними неперіодичними десятковими дробами. Як відомо, такі десяткові дроби не можуть бути переведені у звичайні дроби (такі десяткові дроби становлять ірраціональні числа), тому порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів не можна звести до порівняння звичайних дробів.

Визначення.

Два нескінченні неперіодичні десяткові дроби рівніякщо їх записи повністю збігаються.

Але є один нюанс: неможливо побачити «закінчений» запис нескінченних неперіодичних десяткових дробів, отже, неможливо переконатися й у повному збігу їхніх записів. Як же бути?

При порівнянні нескінченних неперіодичних десяткових дробів розглядають лише кінцеве число знаків порівнюваних дробів, що дозволяє зробити необхідні висновки. Таким чином, порівняння нескінченних неперіодичних десяткових дробів зводиться до порівняння кінцевих десяткових дробів.

При такому підході можна говорити про рівність нескінченних неперіодичних десяткових дробів лише з точністю до розряду. Наведемо приклади. Нескінченні неперіодичні десяткові дроби 5,45839... і 5,45839... рівні з точністю до стотисячних, оскільки рівні кінцеві десяткові дроби 5,45839 і 5,45839; неперіодичні десяткові дроби 19,54 і 19,54810375 рівні з точністю до сотих, так як рівні дроби 19,54 і 19,54.

Нерівність нескінченних неперіодичних десяткових дробів за такого підходу встановлюється цілком виразно. Наприклад, нескінченні неперіодичні десяткові дроби 5,6789… і 5,67732… не рівні, оскільки очевидні розбіжності у тому записах (не рівні кінцеві десяткові дроби 5,6789 і 5,6773 ). Нескінченні десяткові дроби 6,49354 і 7,53789 теж не рівні.

Правила порівняння десяткових дробів, приклади, рішення

Після встановлення факту нерівності двох десяткових дробів, часто потрібно дізнатися, який із цих дробів більший, а який – менший за інший. Зараз ми розберемо правила порівняння десяткових дробів, що дозволяють відповісти на поставлене запитання.

У багатьох випадках досить порівняти цілі частини порівнюваних десяткових дробів. Справедливо наступне правило порівняння десяткових дробів: більший той десятковий дріб, ціла частина якого більша, і менший той десятковий дріб, ціла частина якого менша.

Це правило відноситься як до кінцевих десяткових дробів, так і до нескінченних. Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Порівняйте десяткові дроби 9,43 та 7,983023… .

Рішення.

Очевидно, ці десяткові дроби не рівні. Ціла частина кінцевого десяткового дробу 9,43 дорівнює 9 а ціла частина нескінченної не періодичного дробу 7,983023… дорівнює 7 . Оскільки 9>7 (дивіться порівняння натуральних чисел), то 9,43>7,983023 .

Відповідь:

9,43>7,983023 .

приклад.

Який із десяткових дробів 49,43(14) та 1 045,45029… менший?

Рішення.

Ціла частина періодичного дробу 49,43(14) менше, ніж ціла частина нескінченного неперіодичного десяткового дробу 1 045,45029, отже, 49,43(14)<1 045,45029… .

Відповідь:

49,43(14) .

Якщо цілі частини порівнюваних десяткових дробів рівні, то з'ясування, яка їх більше, а яка - менше, доводиться порівнювати дробові частини. Порівняння дробових частин десяткових дробів проводиться порозрядно- Від розряду десятих до молодших.

Спочатку розглянемо приклад порівняння двох кінцевих десяткових дробів.

приклад.

Виконайте порівняння кінцевих десяткових дробів 0,87 та 0,8521 .

Рішення.

Цілі частини даних десяткових дробів рівні (0=0), тому переходимо до порівняння дробових частин. Значення розряду десятих рівні (8=8), а значення розряду сотих дробу 0,87 більше, ніж значення розряду сотих дробу 0,8521 (7>5). Отже, 0,87>0,8521.

Відповідь:

0,87>0,8521 .

Іноді, щоб виконати порівняння кінцевих десяткових дробів з різною кількістюдесяткових знаків, до дробу з меншою кількістю десяткових знаків доводиться дописувати кілька нулів праворуч. Достатньо зручно зрівнювати кількість десяткових знаків до початку порівняння кінцевих десяткових дробів, дописавши до однієї з них кілька нулів праворуч.

приклад.

Порівняйте кінцеві десяткові дроби 18,00405 та 18,0040532 .

Рішення.

Вочевидь, дані дроби нерівні, оскільки їх записи відрізняються, але вони мають рівні цілі частини (18=18 ).

Перед порозрядним порівнянням дробових частин цих дробів зрівняємо кількість десяткових знаків. Для цього припишемо дві цифри 0 в кінці дробу 18,00405, при цьому отримаємо рівний їй десятковий дріб 18,0040500.

Значення десяткових розрядівдробів 18,0040500 і 18,0040532 дорівнюють аж до стотисячних, а значення розряду мільйонних дробів 18,0040500 менше значеннявідповідного розряду дробу 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Відповідь:

18,00405<18,0040532 .

При порівнянні кінцевого десяткового дробу з нескінченним, кінцевий дріб замінюється рівним їй нескінченним періодичним дробом з періодом 0 , після чого проводиться порівняння за розрядами.

приклад.

Порівняйте кінцевий десятковий дріб 5,27 з нескінченним неперіодичним десятковим дробом 5,270013… .

Рішення.

Цілі частини цих десяткових дробів рівні. Значення розрядів десятих і сотих даних дробів рівні, і щоб виконати подальше порівняння, кінцевий десятковий дріб замінюємо рівним йому нескінченним періодичним дробом з періодом 0 виду 5,270000… . До п'ятого знака після коми значення розрядів десяткових дробів 5,270000... та 5,270013... рівні, а на п'ятому знаку маємо 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Відповідь:

5,27<5,270013… .

Порівняння нескінченних десяткових дробів також проводиться порозрядно, і закінчується після того, як тільки значення якогось розряду виявляються різними.

приклад.

Порівняйте нескінченні десяткові дроби 6,23(18) та 6,25181815… .

Рішення.

Цілі частини цих дробів рівні, також рівні значення розряду десятих. А значення розряду сотих періодичного дробу 6,23(18) менше розряду сотих нескінченного неперіодичного десяткового дробу 6,25181815… , отже, 6,23(18)<6,25181815… .

Відповідь:

6,23(18)<6,25181815… .

приклад.

Який із нескінченних періодичних десяткових дробів 3,(73) і 3,(737) більший?

Рішення.

Відомо, що 3,(73)=3,73737373… і 3,(737)=3,737737737… . На четвертому знаку після коми порозрядне порівняння закінчується, тому що там маємо 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Відповідь:

3,(737) .

Порівняння десяткових дробів із натуральними числами, звичайними дробами та змішаними числами.

Отримати результат порівняння десяткового дробу з натуральним числом дозволяє порівняти цілу частину даного дробу з цим натуральним числом. При цьому періодичні дроби з періодами 0 або 9 потрібно попередньо замінити рівними кінцевими десятковими дробами.

Справедливо наступне правило порівняння десяткового дробу та натурального числа: якщо ціла частина десяткового дробу менша від даного натурального числа, то і весь дріб менший від цього натурального числа; якщо ціла частина дробу більша або дорівнює даному натуральному числу, то дріб більший від даного натурального числа.

Розглянемо приклади застосування цього правила порівняння.

приклад.

Порівняйте натуральне число 7 із десятковим дробом 8,8329… .

Рішення.

Так як це натуральне число менше, ніж ціла частина даного десяткового дробу, то це число менше від даного десяткового дробу.

Відповідь:

7<8,8329… .

приклад.

Порівняйте натуральне число 7 і десятковий дріб 7,1.

Відрізка АВ дорівнює 6 см, тобто 60 мм. Оскільки 1 см = дм, то 6 см = дм. Отже, АВ – 0,6 дм. Оскільки 1 мм = дм, то 60 мм = дм. Отже, АВ = 0,60 дм.
Отже, АВ = 0,6 дм = 0,60 дм. Значить, десяткові дроби 0,6 і 0,60 виражають довжину того самого відрізка в дециметрах. Ці дроби дорівнюють один одному: 0,6 = 0,60.

Якщо в кінці десяткового дробу приписати нуль або відкинути нуль, то вийде дріб, рівна даній.
Наприклад,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Порівняємо два десяткові дроби 5,345 та 5,36. Зрівняємо число десяткових знаків, приписавши до 5,36 праворуч нуль. Отримуємо дроби 5,345 та 5,360.

Запишемо їх у вигляді неправильних дробів:

У цих дробів однакові знаменники. Значить, та з них більша, у якої більший чисельник.
Оскільки 5345< 5360, то отже, 5,345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Щоб порівняти два десяткові дроби, треба спочатку зрівняти у них число десяткових знаків, приписавши до однієї з них справа нули, а потім, відкинувши кому, порівняти ті, що вийшли. натуральні числа.

Десяткові дроби можна зображати на координатному промені як і, як і звичайні дроби.
Наприклад, щоб зобразити на координатному промені десятковий дріб 0,4, спочатку представимо його у вигляді звичайного дробу: 0,4 = Потім відкладемо від початку променя чотири десятих одиничного відрізка. Отримаємо точку A(0,4) (рис. 141).

Рівні десяткові дроби зображуються на координатному промені однією і тією ж точкою.

Наприклад, дроби 0,6 і 0,60 зображуються однією точкою (див. рис. 141).

Найменший десятковий дріб лежить на координатному променіліворуч більшою, і більша - правіше меншою.

Наприклад, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Чи зміниться десятковий дріб, якщо наприкінці його приписати нуль?
А6 нулів?
Сформулюйте правило порівняння десятковихдробів.

1172. Напишіть десятковий дріб:

а) із чотирма знаками після коми, що дорівнює 0,87;
б) з п'ятьма знаками після коми, що дорівнює 0,541;
в) з трьома знаками після зайнятої, що дорівнює 35;
г) з двома знаками після коми, що дорівнює 8,40000.

1173. Приписавши праворуч нулі, зрівняйте число знаків після коми в десяткових дробах: 1,8; 13,54 та 0,789.

1174. Запишіть коротше дробу: 2,5000; 3,02000; 20,010.

85,09 та 67,99; 55,7 та 55,7000; 0,5 та 0,724; 0,908 та 0,918; 7,6431 та 7,6429; 0,0025 та 0,00247.

1176. Розставте в порядку зростання числа:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

розставте в порядку зменшення.

а) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
б) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
в) 2,7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Порівняйте величини:

а) 98,52 м та 65,39 м; д) 0,605 т та 691,3 кг;
б) 149,63 кг та 150,08 кг; е) 4,572 км та 4671,3 м;
в) 3,55°З 3,61°С; ж) 3,835 га та 383,7 а;
г) 6,781 год та 6,718 год; з) 7,521 л та 7538 см3.

Чи можна порівняти 3,5 кг та 8,12 м? Наведіть кілька прикладів величин, які не можна порівнювати.

1185. Обчисліть усно:

1186. Відновіть ланцюжок обчислень

1187. Чи можна сказати, скільки цифр після коми в записі десяткового дробу, якщо її назва закінчується словом:

а) сотих; б) десятитисячних; в) десятих; г) мільйонних?

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки