Середнє значення між двома числами. Середньозважене значення - що це і як його обчислити? Розрахунок середнього значення за умовою

Цей термін має й інші значення, див. середнє значення.

Середнє арифметичне(В математиці та статистиці) безлічі чисел - сума всіх чисел, поділена на їх кількість. Є одним із найпоширеніших заходів центральної тенденції.

Запропонована (поряд із середнім геометричним та середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Приватними випадками середнього арифметичного є середнє (генеральної сукупності) та вибіркове середнє (вибірки).

Вступ

Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ), вимовляється « xз межею»).

Для позначення середнього арифметичного усієї сукупності використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, на яку визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєчи математичне очікування випадкової величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.

На практиці різниця між μ і x ¯ (\displaystyle (\bar(x))) у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити можна швидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку представляти випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x (\displaystyle (bar (x))) (але не μ) можна трактувати як випадкову змінну, що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

X = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

Якщо X- Випадкова змінна, тоді математичне очікування Xможна розглядати як середнє арифметичне значень у вимірах величини, що повторюються X. Це є виявом закону великих чисел. Тому вибіркове середнє використовується з метою оцінки невідомого математичного очікування.

В елементарній алгебрі доведено, що середня n+ 1 чисел більше середнього nчисел тоді і тільки тоді, коли нове число більше ніж старе середнє, менше тоді і тільки тоді, коли нове число менше середнього, і не змінюється тоді і лише тоді, коли нове число дорівнює середньому. Чим більше n, тим менше різницю між новим і старим середніми значеннями.

Зауважимо, що є кілька інших «середніх» значень, у тому числі середнє статечне, середнє Колмогорова, гармонійне середнє, арифметико-геометричне середнє та різні середньо-зважені величини (наприклад, середнє арифметичне зважене, середнє геометричне зважене, середнє гармонійне зважене).

Приклади

Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

Безперервна випадкова величина

Для безперервно розподіленої величини f(x) (displaystyle f(x)) середнє арифметичне на відрізку [ a ; b] (\displaystyle) визначається через певний інтеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність боязкості

Основна стаття: Робастність у статистиці

Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне піддається сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) краще описувати центральну тенденцію.

Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медіні, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, на подив велике число через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.

Складний відсоток

Основна стаття: Окупність інвестицій

Якщо числа перемножувати, а не складатипотрібно використовувати середнє геометричне, а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:

[$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117% ≈ 108.2% (displaystyle (sqrt (117%)) approx 108.2%) тобто середньорічний приріст 8,2 %.

Напрями

Основна стаття: Статистика напрямків

При розрахунку середнього арифметичного значень певної змінної, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1° і 359° дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Це число неправильне з двох причин.

По-перше, кутові заходи визначені лише для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2π при вимірі радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 і -1) або як (1 і 719). Середні значення кожної з пар відрізнятимуться: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
По-друге, в даному випадку, значення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, оскільки числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
- число 1° відхиляється від 0° лише на 1°;
- число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).

Види середніх величин та методи їх розрахунку

На етапі статистичної обробки можуть бути поставлені різні завдання дослідження, для вирішення яких потрібно вибрати відповідну середню. При цьому необхідно керуватися наступним правилом: величини, які є чисельником і знаменником середньої, повинні бути логічно пов'язані між собою.

статечні середні;
структурні середні.

Введемо такі умовні позначення:

Величини, котрим обчислюється середня;

Середня, де риса зверху свідчить у тому, що має місце опосередкування індивідуальних значень;

Частота (повторність індивідуальних значень ознаки).

Різні середні виводяться із загальної формули статечної середньої:

(5.1)

при k = 1 – середня арифметична; k = -1 – середня гармонійна; k = 0 – середня геометрична; k = -2 – середня квадратична.

Середні величини бувають прості та зважені. Виваженими середніминазивають величини, які враховують, деякі варіанти значень ознаки може мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити з цього чисельність. Інакше кажучи, «вагами» виступають числа одиниць сукупності у різних групах, тобто. кожен варіант "зважують" за своєю частотою. Частоту f називають статистичною вагоюабо вагою середньою.

Середня арифметична- Найпоширеніший вид середньої. Вона використовується, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, де потрібно отримати середній доданок. Середня арифметична - це середнє значення ознаки, при отриманні якого зберігається незмінним загальний обсяг ознаки в сукупності.

Формула середньої арифметичної ( простий) має вигляд

де n – чисельність сукупності.

Наприклад, середня заробітна плата працівників підприємства обчислюється як середня арифметична:

Визначальними показниками тут є заробітна плата кожного працівника та кількість працівників підприємства. При обчисленні середньої загальна сума заробітної плати залишилася колишньою, але розподіленою між усіма працівниками порівну. Наприклад, необхідно обчислити середню заробітну плату працівників невеликої фірми, де зайнято 8 осіб:

При розрахунку середніх величин окремі значення ознаки, що середня, можуть повторюватися, тому розрахунок середньої величини проводиться за згрупованими даними. У цьому випадку йдеться про використання середньої арифметичної зваженої, яка має вигляд

(5.3)

Так нам необхідно розрахувати середній курс акцій якогось акціонерного товариства на торгах фондової біржі. Відомо, що угоди здійснювалися протягом 5 днів (5 угод), кількість проданих акцій за курсом продажів розподілилася так:

1 – 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 – 700 ак. - 1015 руб.

4 – 550 ак. - 900 руб.

5 – 850 ак. - 1150 руб.

Вихідним співвідношенням визначення середнього курсу вартості акцій є ставлення загальної суми угод (ОСС) до кількості проданих акцій (КПА):

ОСС = 1010 · 800 +990 · 650 +1015 · 700 +900 · 550 +1150 · 850 = 3634500;

КПА = 800 +650 +700 +550 +850 = 3550.

У цьому випадку середній курс вартості акцій дорівнював

Необхідно знати властивості арифметичної середньої, що дуже важливо як щодо її використання, так і при її розрахунку. Можна виділити три основні властивості, які найбільше зумовили широке застосування арифметичної середньої статистико-економічних розрахунків.

Властивість перша (нульове): сума позитивних відхилень індивідуальних значень ознаки від його середнього значення дорівнює сумі негативних відхилень. Це дуже важлива властивість, оскільки вона показує, що будь-які відхилення (як з +, так і з -), спричинені випадковими причинами, будуть взаємно погашені.

Доведення:

Властивість друга (мінімальне): сума квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної менше, ніж будь-якого іншого числа (а), тобто. є мінімальне число.

Доведення.

Складемо суму квадратів відхилень від змінної а:

(5.4)

Щоб знайти екстремум цієї функції, необхідно її похідну а прирівняти нулю:

Звідси отримуємо:

(5.5)

Отже, екстремум суми квадратів відхилень досягається при . Цей екстремум – мінімум, тому що функція не може мати максимуму.

Властивість третя: середня арифметична постійної величини дорівнює цій постійній: при а = const.

Крім цих трьох найважливіших властивостей середньої арифметичної є так звані розрахункові властивості, які поступово втрачають свою значущість у зв'язку з використанням електронно-обчислювальної техніки:

якщо індивідуальне значення ознаки кожної одиниці помножити або розділити на постійне число, то середня арифметична збільшиться або зменшиться у стільки разів;
середня арифметична не зміниться, якщо вага (частоту) кожного значення ознаки поділити на постійне число;
якщо індивідуальні значення ознаки кожної одиниці зменшити або збільшити на ту саму величину, то середня арифметична зменшиться або збільшиться на ту саму величину.

Середня гармонійна. Цю середню називають зворотною середньою арифметичною, оскільки ця величина використовується при k = -1.

Проста середня гармонійнавикористовується тоді, коли ваги значень ознаки однакові. Її формулу можна вивести із базової формули, підставивши k = -1:

Наприклад, нам необхідно обчислити середню швидкість двох машин, що пройшли той самий шлях, але з різною швидкістю: перша - зі швидкістю 100 км/год, друга - 90 км/год. Застосовуючи метод середньої гармонійної, ми обчислюємо середню швидкість:

У статистичній практиці найчастіше використовується гармонійна зважена, формула якої має вигляд

Ця формула використовується у випадках, коли ваги (чи обсяги явищ) за кожним ознакою не рівні. У вихідному співвідношенні до розрахунку середньої відомий чисельник, але невідомий знаменник.

Наприклад, при розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам не відомо кількість реалізованих одиниць (йдеться про різні товари), але відомі суми реалізацій цих різних товарів. Допустимо, необхідно дізнатися середню ціну реалізованих товарів:

Отримуємо

Середня геометрична. Найчастіше середня геометрична знаходить своє застосування щодо середніх темпів зростання (середніх коефіцієнтів зростання), коли індивідуальні значення ознаки представлені як відносних величин. Вона використовується також, якщо необхідно знайти середню між мінімальним та максимальним значеннями ознаки (наприклад, між 100 та 1000000). Існують формули для простої та виваженої середньої геометричної.

Для простої середньої геометричної

Для виваженої середньої геометричної

Середня квадратична величина. Основною сферою її застосування є вимірювання варіації ознаки в сукупності (розрахунок середнього відхилення квадратичного).

Формула простої середньої квадратичної

Формула виваженої середньої квадратичної

(5.11)

У результаті можна сказати, що від правильного вибору виду середньої величини у кожному конкретному випадку залежить успішне вирішення завдань статистичного дослідження. Вибір середньої передбачає таку послідовність:

а) встановлення узагальнюючого показника сукупності;

б) визначення даного узагальнюючого показника математичного співвідношення величин;

в) заміна індивідуальних значень середніми величинами;

г) розрахунок середньої за допомогою відповідного рівняння.

Середні величини та варіація

Середня величина- це узагальнюючий показник, який характеризує якісно однорідну сукупність за певною кількісною ознакою. Наприклад, середній вік осіб, засуджених за крадіжку.

У судовій статистиці середні величини використовують для характеристики:

Середніх термінів розгляду справ цієї категорії;

Середній розмір позову;

Середньої кількості відповідачів, що припадають одну справу;

Середній розмір шкоди;

Середнє навантаження суддів, та ін.

Середня величина завжди іменована і має ту ж розмірність, що і ознака в окремої одиниці сукупності. Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якою-небудь однією ознакою, що варіює, тому за всякою середньою ховається ряд розподілу одиниць цієї сукупності за досліджуваною ознакою. Вибір виду середньої визначається змістом показника та вихідних даних для розрахунку середньої величини.

Усі види середніх величин, які у статистичних дослідженнях, поділяються на дві категорії:

1) статечні середні;

2) структурні середні.

Перша категорія середніх величин включає: середню арифметичну, середню гармонійну, середню геометричну і середню квадратичну . Друга категорія – це модаі медіана. При цьому кожен із перерахованих видів статечних середніх величин може мати дві форми: просту і зважену . Проста форма середньої величини використовується для отримання середнього значення ознаки, що вивчається, коли розрахунок здійснюється за несгрупованими статистичними даними, або коли кожна варіанта в сукупності зустрічається тільки один раз. Зваженими середніми називають величини, які враховують, що варіанти значень ознаки можуть мати різну чисельність, у зв'язку з чим кожен варіант доводиться множити на відповідну частоту. Іншими словами, кожен варіант зважують за своєю частотою. Частоту називають статистичною вагою.

Середня арифметична проста- Найпоширеніший вид середньої. Вона дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на загальну кількість цих значень:

де x 1, x 2, …, x N- Індивідуальні значення варіює ознаки (варіанти), а N - число одиниць сукупності.

Середня арифметична зваженазастосовується у тих випадках, коли дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань. Вона обчислюється як сума творів варіантів відповідні їм частоти, поділена у сумі частот всіх варіантів:

де x i– значення i-і варіанти ознаки; f i- Частота i-і варіанти.

Таким чином, кожне значення варіанти зважується за частотою, тому частоти іноді називають статистичними вагами.

Зауваження.Коли йдеться про середню арифметичну величину без зазначення її виду, мається на увазі середня арифметична проста.

Таблиця 12

Рішення.Для розрахунку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, у середньому на одну кримінальну справу припадає двоє обвинувачених.

Якщо обчислення середньої величини проводять за даними, згрупованими у вигляді інтервальних рядів розподілу, то спочатку треба визначити серединні значення кожного інтервалу х" i , після чого розрахувати середню величину за формулою середньої арифметичної зваженої, яку замість x i підставляють х" i .

приклад.Дані про вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, наведено в таблиці:

Таблиця 13

Визначити середній вік злочинців, засуджених за вчинення крадіжки.

Рішення.Щоб визначити середній вік злочинців з урахуванням інтервального варіаційного ряду необхідно спочатку знайти серединні значення інтервалів. Так як дано інтервальний ряд з відкритими першим та останнім інтервалами, то величини цих інтервалів приймаються рівними величинам суміжних закритих інтервалів. У разі величина першого і останнього інтервалів дорівнюють 10.

Тепер знаходимо середній вік злочинців за формулою середньої арифметичної зваженої:

Таким чином, середній вік злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, приблизно дорівнює 27 років.

Середня гармонійна проста являє собою величину, обернену до середньої арифметичної зі зворотних значень ознаки:

де 1/ x i– обернені значення варіантів, а N – число одиниць сукупності.

приклад.Для визначення середнього річного навантаження на суддів районного суду під час розгляду справ провели обстеження навантаження 5 суддів цього суду. Середні витрати часу на одну кримінальну справу для кожного з обстежених суддів виявились рівними (у днях): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Знайти середні витрати на одну кримінальну справу та середнє річне навантаження на суддів цього районного суду під час розгляду кримінальних справ.

Рішення.Для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористаємося формулою середньої гармонійної простий:

Для спрощення розрахунків у прикладі візьмемо число днів у році рівним 365, включаючи вихідні (це не впливає на методику розрахунку, а при обчисленні аналогічного показника на практиці необхідно замість 365 днів підставити кількість робочих днів у конкретному році). Тоді середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ становитиме: 365(днів): 5,56 ≈ 65,6 (справ).

Якби ми для визначення середніх витрат часу на одну кримінальну справу, скористалися б формулою середньої арифметичної простої, то отримали б:

365 (днів): 5,64 ≈ 64,7 (справи), тобто. середнє навантаження на суддів виявилося меншим.

Перевіримо обґрунтованість такого підходу. Для цього скористаємося даними про витрати часу на одну кримінальну справу для кожного судді та розрахуємо кількість кримінальних, розглянутих кожним із них за рік.

Отримаємо відповідно:

365(днів) : 6 ≈ 61 (справа), 365(днів) : 5,6 ≈ 65,2 (справ), 365(днів) : 6,3 ≈ 58 (справ),

365(днів) : 4,9 ≈ 74,5 (справи), 365(днів) : 5,4 ≈ 68 (справ).

Наразі обчислимо середнє річне навантаження на суддів даного районного суду при розгляді кримінальних справ:

Тобто. середнє річне навантаження таке ж, як і при використанні середньої гармонійної.

Отже, використання середньої арифметичної у разі неправомірно.

У тих випадках, коли відомі варіанти ознаки, їх об'ємні значення (твір варіанти на частоту), але невідомі самі частоти, застосовується формула середньої зваженої гармонійної:

де x i– значення варіантів ознаки, а w i – об'ємні значення варіантів ( w i = x i · f i).

приклад.Дані про ціну одиниці однотипного товару, виробленого різними установами кримінально-виконавчої системи, та обсяги його реалізації наведено у таблиці 14.

Таблиця 14

Знайти середню ціну реалізації товару.

Рішення.При розрахунку середньої ціни ми маємо користуватися ставленням суми реалізації до кількості реалізованих одиниць. Нам невідомо кількість реалізованих одиниць, але відомі суми реалізації товарів. Тому для знаходження середньої ціни реалізованих товарів скористаємося формулою середньої гармонійної виваженої. Отримуємо

Якщо тут використовувати формулу середньої арифметичної, можна отримати середню ціну, яка буде нереальна:

Середня геометричнаобчислюється вилученням кореня ступеня N з добутку всіх значень варіантів ознаки:

де x 1, x 2, …, x N- індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти), а

N- Число одиниць сукупності.

Цей вид середньої використовується обчислення середніх показників зростання рядів динаміки.

Середня квадратичназастосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, та буде розглянуто нижче.

Для визначення структури сукупності використовують спеціальні середні показники, до яких належать медіана і мода , або звані структурні середні. Якщо середня арифметична розраховується з урахуванням використання всіх варіантів значень ознаки, то медіана і мода характеризують величину того варіанта, який займає певне середнє становище у ранжированном (упорядкованому) ряду. Упорядкування одиниць статистичної сукупності може бути проведене за зростанням або зменшенням варіантів досліджуваної ознаки.

Медіана (Ме)- Це величина, яка відповідає варіанту, що знаходиться в середині ранжованого ряду. Таким чином, медіана - це той варіант ранжованого ряду, по обидва боки від якого в цьому ряду має знаходитися однакова кількість одиниць сукупності.

Для знаходження медіани спочатку необхідно визначити її порядковий номер у ранжованому ряду за формулою:

де N – обсяг низки (кількість одиниць сукупності).

Якщо ряд складається з непарного числа членів, то медіана дорівнює варіанті номером N Me . Якщо ряд складається з парного числа членів, то медіана визначається як середнє арифметичне двох суміжних варіант, розташованих у середині.

приклад.Даний ранжований ряд 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Обсяг ряду N = 9, отже N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Отже, Ме = 6, тобто . п'ятий варіант. Якщо дано ряд 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, тобто. ряд з парною кількістю членів (N = 8), то N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Отже медіана дорівнює напівсумі четвертої і п'ятої варіант, тобто. Ме = (9 + 11)/2 = 10.

У дискретному варіаційному ряду медіану визначають за накопиченими частотами. Частоти варіант, починаючи з першої, підсумовуються до тих пір, поки не буде перевищено номер медіани. Значення останньої підсумованої варіанти буде медіаною.

приклад.Знайти медіану числа обвинувачених, які припадають однією кримінальну справу, використовуючи дані таблиці 12.

Рішення.У разі обсяг варіаційного ряду N = 154, отже, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Підсумувавши частоти першої та другої варіанти, отримаємо: 75 + 43 = 118, тобто. ми перевершили номер медіани. Значить Ме = 2.

В інтервальному варіаційному ряду розподілу спочатку вказують інтервал, у якому буде медіана. Його називають медіанним . Це перший інтервал, накопичена частота якого перевищує половину обсягу інтервального варіаційного ряду. Потім чисельне значення медіани визначається за такою формулою:

де x Ме– нижня межа медіанного інтервалу; i – величина медіанного інтервалу; S Ме-1– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному; f Ме- Частота медіанного інтервалу.

приклад.Знайти медіану віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, з урахуванням статистичних даних, поданих у таблиці 13.

Рішення.Статистичні дані представлені інтервальним варіаційним рядом, отже спочатку визначимо медіанний інтервал. Обсяг сукупності N = 162, отже, медіанним інтервалом є 18-28, т.к. це перший інтервал, накопичена частота якого (15 + 90 = 105) перевищує половину обсягу (162: 2 = 81) інтервального варіаційного ряду. Тепер чисельне значення медіани визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, половина засуджених за скоєння крадіжки молодше 25 років.

Модою (Мо)називають значення ознаки, що найчастіше зустрічається в одиниць сукупності. До моди вдаються виявлення величини ознаки, що має найбільшого поширення. Для дискретного ряду модою буде варіант із найбільшою частотою. Наприклад, для дискретного ряду, поданого в таблиці 3 Мо= 1, оскільки цього значення варіанти відповідає найбільша частота - 75. Для визначення моди інтервального ряду спочатку визначають модальний інтервал (інтервал, що має найбільшу частоту). Потім у межах цього інтервалу знаходять значення ознаки, яке може бути модою.

Його значення знаходять за такою формулою:

де x Mo- нижня межа модального інтервалу; i – величина модального інтервалу; f Мо- Частота модального інтервалу; f Мо-1– частота інтервалу, що передує модальному; f Мо+1- Частота інтервалу, наступного за модальним.

приклад.Знайти моду віку злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, дані про які представлені в таблиці 13.

Рішення.Найбільша частота відповідає інтервалу 18-28, отже, мода повинна бути в цьому іртервалі. Її величину визначаємо за наведеною вище формулою:

Таким чином, найбільше злочинців, засуджених за скоєння крадіжки, має вік 24 роки.

Середня величина дає узагальнюючу характеристику всієї сукупності явища, що вивчається. Однак дві сукупності, що мають однакові середні значення, можуть значно відрізнятися один від одного за рівнем коливання (варіації) величини ознаки, що вивчається. Наприклад, в одному суді було призначено такі строки позбавлення волі: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 років, а в іншому – 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7 8, 8, 8 років. В обох випадках середня арифметична дорівнює 67 років. Однак ці сукупності суттєво різняться між собою розкидом індивідуальних значень призначеного терміну позбавлення волі щодо середнього значення.

І першого суду, де цей розкид досить великий, середня величина терміну позбавлення волі погано відбиває всю сукупність. Таким чином, якщо індивідуальні значення ознаки мало відрізняються один від одного, то середня арифметична буде досить показовою характеристикою властивостей цієї сукупності. В іншому випадку середня арифметична буде ненадійною характеристикою цієї сукупності та застосування її на практиці малоефективне. Тому необхідно враховувати варіацію значень ознаки, що вивчається.

Варіація- Це відмінності в значеннях будь-якої ознаки у різних одиниць даної сукупності в той самий період або момент часу. Термін «варіація» має латинське походження – variatio, що означає різницю, зміну, коливання. Вона виникає внаслідок того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються у кожному окремому випадку. Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники.

До основних показників варіації належать такі:

1) розмах варіації;

2) середнє лінійне відхилення;

3) дисперсія;

4) середнє квадратичне відхилення;

5) коефіцієнт варіації.

Стисло зупинимося на кожному з них.

Розмах варіації R найдоступніший за простотою розрахунку абсолютний показник, який визначається як різницю між найбільшим і найменшим значеннями ознаки у одиниць даної сукупності:

Розмах варіації (розмах коливань) – важливий показник коливання ознаки, але він дає можливість побачити лише крайні відхилення, що обмежує сферу його застосування. Для більш точної характеристики варіації ознаки з урахуванням урахування його коливання використовуються інші показники.

Середнє лінійне відхиленняє середнім арифметичним з абсолютних значень відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої і визначається за формулами:

1) для несгрупованих даних

2) для варіаційного ряду

Однак найбільш широко застосовуваним показником варіації є дисперсія . Вона характеризує міру розкиду значень досліджуваного ознаки щодо його середнього значення. Дисперсія визначається як середня із відхилень, зведених у квадрат.

Проста дисперсіядля не згрупованих даних:

Зважена дисперсіядля варіаційного ряду:

Зауваження.Насправді для обчислення дисперсії краще використовувати такі формулы:

Для простої дисперсії

Для зваженої дисперсії

Середнє квадратичне відхилення- це корінь квадратний із дисперсії:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом середньої надійності. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим, однорідніше сукупність і краще середня арифметична відбиває собою всю сукупність.

Розглянуті вище заходи розсіювання (розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) є абсолютними показниками, судити з яких ступінь коливання ознаки який завжди можливо. У деяких завданнях необхідно використовувати відносні показники розсіювання, одним із яких є коефіцієнт варіації.

Коефіцієнт варіації- Виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

Коефіцієнт варіації використовують як порівняльної оцінки варіації різних ознак чи однієї й тієї ж ознаки у різних сукупностях, але й характеристики однорідності сукупності. Статистична сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % (для розподілів, близьких до нормального розподілу).

приклад.Є такі дані про терміни позбавлення волі 50 засуджених, доставлених для відбування призначеного судом покарання до виправної установи кримінально-виконавчої системи: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2, 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 1 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Побудувати низку розподілу за строками позбавлення волі.

2. Знайти середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

3. Обчислити коефіцієнт варіації та зробити висновок про однорідність чи неоднорідність досліджуваної сукупності.

Рішення.Для побудови дискретного ряду розподілу необхідно визначити варіанти та частоти. Варіанта у цьому – це термін позбавлення волі, а частоти – чисельність окремих варіант. Розрахувавши частоти, отримаємо наступний дискретний ряд розподілу:

Знайдемо середнє значення та дисперсію. Оскільки статистичні дані представлені дискретним варіаційним рядом, то їх обчислення будемо використовувати формули середнього арифметичного зваженого і дисперсії. Отримаємо:

= = 4,1;

= 5,21.

Тепер обчислюємо середнє квадратичне відхилення:

Знаходимо коефіцієнт варіації:

Отже, статистична сукупність кількісно неоднорідна.

Середня арифметична проста

Середні величини

Велике поширення у статистиці мають середні величини.

Середня величина- це узагальнюючий показник, у якому виражаються дії загальних умов, закономірностей розвитку досліджуваного явища.

Статистичні середні розраховуються на основі масових даних правильно статистично організованого спостереження (суцільного та вибіркового). Однак статистична середня буде об'єктивною і типовою, якщо вона розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ). Наприклад, якщо розраховувати середню заробітну плату в акціонерних товариствах і на держпідприємствах, а результат поширити на всю сукупність, то середня фіктивна, оскільки розрахована за неоднорідною сукупністю, і така середня втрачає будь-який сенс.

За допомогою середньої відбувається як би згладжування відмінностей у величині ознаки, що виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостереження.

Наприклад, середнє вироблення окремого продавця залежить багатьох причин: кваліфікації, стажу, віку, форми обслуговування, здоров'я тощо. Середнє вироблення відбиває загальну характеристику всієї сукупності.

Середня величина вимірюється у тих самих одиницях, як і сама ознака.

Кожна середня величина характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою. Щоб отримати повне і всебічне уявлення про сукупність, що вивчається, по ряду істотних ознак, необхідно розташовувати системою середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

Існують різні види середніх:

середня арифметична;

середня гармонійна;

середня геометрична;

середня квадратична;

середня кубічна.

Середні перелічених вище видів, своєю чергою, діляться на прості (невиважені) і зважені.

Розглянемо види середніх, які у статистиці.

Середня арифметична проста (невиважена) дорівнює сумі окремих значень ознаки, поділеної на число цих значень.

Окремі значення ознаки називають варіантами та позначають через х i (
); число одиниць сукупності позначають через n, середнє значення ознаки через . Отже, середня арифметична проста дорівнює:

або

приклад 1.Таблиця 1

Дані про виробництво робітниками продукції А за зміну

У цьому прикладі ознака, що варіює, - випуск виробів за зміну.

Чисельні значення ознаки (16, 17 і т. д.) називають варіантами. Визначимо середнє вироблення продукції робітниками цієї групи:

шт.

Проста середня арифметична застосовується у разі, коли є окремі значення ознаки, тобто. дані не згруповані. Якщо дані представлені у вигляді рядів розподілу чи угруповань, то середня обчислюється інакше.

Середня арифметична зважена

Середня арифметична зважена дорівнює сумі творів кожного окремого значення ознаки (варіанту) на відповідну частоту, поділену на суму всіх частот.

Число однакових значень ознаки в рядах розподілу називається частотою або вагою і позначається через f i.

Відповідно, середня арифметична зважена виглядає так:

або

З формули видно, що середня залежить лише від значень ознаки, а й їх частот, тобто. від складу сукупності, з її структури.

приклад 2.Таблиця 2

Дані про заробітну плату робітників

За даними дискретного ряду розподілу видно, що одні й самі значення ознаки (варіанти) повторюються кілька разів. Так, варіанти х 1 зустрічається в сукупності 2 рази, а варіанти х 2 - 6 разів і т.д.

Обчислимо середню заробітну плату одного робітника:

Фонд заробітної плати з кожної групи робочих дорівнює добутку варіанти на частоту (
), а сума цих творів дає загальний фонд заробітної плати всіх робітників (
).

Якби розрахунок був виконаний за формулою простої середньої арифметичної, середній заробіток дорівнював 3 000 руб. (). Порівнюючи отриманий результат з вихідними даними, очевидно, що середня заробітна плата має бути істотно вищою (більше половини робітників отримують заробітну плату вище 3000 руб.). Тому розрахунок за простою середньою арифметичною в таких випадках буде помилковим.

Статистичний матеріал у результаті обробки може бути представлений у вигляді дискретних рядів розподілу, а й у вигляді інтервальних варіаційних рядів із закритими чи відкритими інтервалами.

Розглянемо розрахунок середньої арифметичної для таких рядів.

Середнє значення це:

Середнє значення

Середнє значення- Чисельна характеристика безлічі чисел або функцій; - деяке число, укладене між найменшим та найбільшим із їх значень.

1 Основні відомості
2 Ієрархія середніх значень у математиці
3 У теорії ймовірностей та статистики
4 Див.
5 Примітки

Основні відомості

Вихідним пунктом становлення теорії середніх величин стало дослідження пропорцій школою Піфагора. При цьому не проводилося суворої різниці між поняттями середньої величини та пропорції. Значний поштовх розвитку теорії пропорцій з арифметичної точки зору було надано грецькими математиками - Нікомахом Гераським (кінець I - початок II ст. н. е.) і Паппом Олександрійським (III ст. н. е.). Першим етапом розвитку поняття середньої є етап, коли середня стала вважатися центральним членом безперервної пропорції. Але поняття середньої як центрального значення прогресії не дає можливості вивести поняття середньої по відношенню до послідовності n членів, незалежно від того, в якому порядку вони йдуть один за одним. Для цієї мети необхідно вдатися до формального узагальнення середніх. Наступний етап – перехід від безперервних пропорцій до прогресій – арифметичної, геометричної та гармонійної.

У історії статистики вперше широке вживання середніх величин пов'язані з ім'ям англійського вченого У. Петті. У. Петті одне із перших намагався надати середній величині статистичний сенс, пов'язавши її з економічними категоріями. Але опис поняття середньої величини, його виділення Петті не зробив. Родоначальником теорії середніх величин заведено вважати А. Кетле. Він одним із перших почав послідовно розробляти теорію середніх величин, намагаючись підвести під неї математичну базу. А. Кетле виділяв два види середніх величин - власне середні та середні арифметичні. Власне, середні представляють річ, число, що дійсно існують. Власне, середні або середні статистичні повинні виводитися з явищ одноякісних, однакових за своїм внутрішнім значенням. Середні арифметичні - числа, що дають можливо близьке уявлення про багато чисел, різних, хоча і однорідних.

Кожен із видів середньої може виступати або у формі простої, або у формі виваженої середньої. Правильність вибору форми середньої випливає із матеріальної природи об'єкта дослідження. Формули простих середніх застосовуються у разі, якщо індивідуальні значення ознаки, що усереднюється, не повторюються. Коли в практичних дослідженнях окремі значення ознаки, що вивчається, зустрічаються кілька разів у одиниць досліджуваної сукупності, тоді частота повторень індивідуальних значень ознаки присутня в розрахункових формулах статечних середніх. І тут вони називаються формулами зважених середніх.

Wikimedia Foundation. 2010 року.

Середня величина є найбільш цінною з аналітичної точки зору та універсальною формою вираження статистичних показників. Найбільш поширена середня – середня арифметична – має низку математичних властивостей, які можуть бути використані при її розрахунку. У той же час при обчисленні конкретної середньої завжди доцільно спиратися на її логічну формулу, що є відношенням обсягу ознаки до обсягу сукупності. Для кожної середньої існує лише одне справжнє вихідне співвідношення, для реалізації якого, залежно від наявних даних, можуть знадобитися різні форми середніх. Однак у всіх випадках, коли характер середньої величини має на увазі наявність ваг, не можна замість зважених середніх формул використовувати їх незважені формули.

Середня величина – це найбільш характерне для сукупності значення ознаки та розподілений рівними частками між одиницями сукупності розмір ознаки сукупності.

Ознака, для якої розраховується середня величина, має назву середній .

Середня величина - показник, що розраховується зіставленням абсолютних чи відносних величин. Середню величину позначають

Середня величина відображає вплив всіх факторів, що впливають на досліджуване явище, і є для них рівнодією. Іншими словами, погашаючи індивідуальні відхилення та усуваючи вплив випадків, середня величина, відбиваючи загальну міру результатів цієї дії, виступає загальною закономірністю явища, що вивчається.

Умови застосування середніх величин:

Ø однорідність досліджуваної сукупності. Якщо деякі схильні до впливу випадкового фактора елементи сукупності мають значно від інших величини досліджуваного ознаки, то дані елементи вплинуть на розмір середньої для даної сукупності. У цьому випадку середня не виражатиме найбільш типову для сукупності величину ознаки. Якщо досліджуване явище неоднорідне, потрібно його розбивка містять однорідні елементи групи. У цьому випадку розраховують середні за групами - групові середні, що виражають найбільш характерну величину явища в кожній групі, а потім розраховується загальна середня величина для всіх елементів, що характеризує явище в цілому. Вона розраховується як середня з групових середніх, зважених за кількістю включених у кожну групу елементів сукупності;

Ø достатню кількість одиниць у сукупності;

Ø максимальне та мінімальне значення ознаки в досліджуваній сукупності.

Середня величина (показник)– це узагальнена кількісна характеристика ознаки у систематичній сукупності у конкретних умовах місця та часу.

У статистиці застосовується такі форми (види) середніх величин, званих статечними та структурними:

Ø середня арифметична(проста та зважена);

проста

У математиці середнє арифметичне значення чисел (чи навіть середнє) - це сума всіх чисел у цьому наборі, розділена з їхньої кількість. Це найбільш узагальнене та поширене поняття середньої величини. Як ви вже зрозуміли, щоб знайти середнє значення, потрібно підсумовувати всі дані вам числа, а отриманий результат поділити на кількість доданків.

Що таке середнє арифметичне?

Давайте розглянемо приклад.

Приклад 1. Дано числа: 6, 7, 11. Потрібно знайти їхнє середнє значення.

Рішення.

Спочатку знайдемо суму всіх цих чисел.

Тепер розділимо суму, що вийшла, на кількість доданків. Так як у нас складові три, відповідно, ми ділитимемо на три.

Отже, середнє значення чисел 6, 7 та 11 – це 8. Чому саме 8? Та тому, що сума 6, 7 та 11 буде такою самою, як трьох вісімок. Це добре видно на ілюстрації.

Середнє значення чимось нагадує вирівнювання ряду чисел. Як бачите, купки олівців стали одного рівня.

Розглянемо ще один приклад, щоб закріпити отримані знання.

приклад 2.Дано числа: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Потрібно знайти їхнє середнє арифметичне значення.

Рішення.

Знаходимо суму.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Ділимо на кількість доданків (у цьому випадку - 15).

Отже, середнє значення даного ряду чисел дорівнює 22.

Тепер розглянемо негативні числа. Згадаймо, як їх підсумовувати. Наприклад, у вас є два числа 1 та -4. Знайдемо їхню суму.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Знаючи це, розглянемо ще один приклад.

приклад 3.Знайти середнє значення низки чисел: 3, -7, 5, 13, -2.

Рішення.

Знаходимо суму чисел.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Так як доданків 5, розділимо суму, що вийшла на 5.

Отже, середнє арифметичне значення чисел 3, -7, 5, 13, -2 дорівнює 2,4.

У наш час технологічного прогресу набагато зручніше використовуватиме знаходження середнього значення комп'ютерні програми. Microsoft Office Excel – одна з них. Шукати середнє значення в Excel швидко та просто. Тим більше, що ця програма входить до пакета програм від Microsoft Office. Розглянемо коротку інструкцію, як знайти середнє арифметичне значення за допомогою програми.

Щоб порахувати середнє значення ряду чисел, необхідно використовувати функцію AVERAGE. Синтаксис для цієї функції:
= Average (argument1, argument2, ... argument255)
де argument1, argument2, ... argument255 - це або числа, або посилання на комірки (під комірками маються на увазі діапазони та масиви).

Щоб було зрозуміліше, опробуємо отримані знання.

Введіть числа 11, 12, 13, 14, 15, 16 у комірки С1 – С6.
Виділіть комірку С7, натиснувши на неї. У цьому осередку у нас буде відображатися середнє значення.
Клацніть на вкладці Формули.
Виберіть More Functions > Statistical, щоб відкрити список, що випадає.
Виберіть AVERAGE. Після цього має відкритися діалогове вікно.
Виділіть та перетягніть туди осередки С1–С6, щоб задати діапазон у діалоговому вікні.
Підтвердіть свої дії за допомогою клавіші «ОК».
Якщо ви все зробили правильно, у комірці С7 у вас має з'явитися відповідь – 13,7. При натисканні на комірку C7 функція (= Average (C1: C6)) відображатиметься у рядку формул.

Дуже зручно використовувати цю функцію для ведення обліку, накладних або, коли вам просто потрібно знайти середнє значення з дуже довгого ряду чисел. Тому її часто використовують в офісах та великих компаніях. Це дозволяє зберігати порядок у записах і дозволяє швидко порахувати що-небудь (наприклад, середній дохід за місяць). Також за допомогою Excel можна знайти середнє значення функції.

Середнє арифметичне

Цей термін має й інші значення, див. середнє значення.

Запропонована (поряд із середнім геометричним та середнім гармонійним) ще піфагорійцями.

Вступ

Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

X = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

Приклади

Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

Безперервна випадкова величина

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Деякі проблеми застосування середнього

Відсутність боязкості

Основна стаття: Робастність у статистиці

Складний відсоток

Основна стаття: Окупність інвестицій

Напрями

Основна стаття: Статистика напрямків

По-перше, кутові заходи визначені лише для діапазону від 0° до 360° (або від 0 до 2π при вимірі радіанах). Таким чином, ту ж пару чисел можна було б записати як (1 і -1) або як (1 і 719). Середні значення кожної з пар відрізнятимуться: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ ))))(2))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
По-друге, в даному випадку, значення 0° (еквівалентне 360°) буде геометрично кращим середнім значенням, оскільки числа відхиляються від 0° менше, ніж від будь-якого іншого значення (у значення 0° найменша дисперсія). Порівняйте:
- число 1° відхиляється від 0° лише на 1°;
- число 1° відхиляється від обчисленого середнього, що дорівнює 180°, на 179°.

Середньозважене значення - що це і як його обчислити?

У процесі вивчення математики школярі знайомляться із поняттям середнього арифметичного. Надалі у статистиці та деяких інших науках студенти стикаються і з обчисленням інших середніх значень. Якими вони можуть бути і чим відрізняються один від одного?

Середні величини: зміст та відмінності

Не завжди точні показники дають розуміння ситуації. Щоб оцінити ту чи іншу обстановку, потрібно часом аналізувати безліч цифр. І тоді на допомогу приходять середні значення. Саме вони дозволяють оцінити ситуацію загалом та загалом.

Зі шкільних часів багато дорослих пам'ятають про існування середнього арифметичного. Його дуже просто обчислити – сума послідовності з n членів ділиться на n. Тобто якщо потрібно обчислити середнє арифметичне в послідовності значень 27, 22, 34 і 37, необхідно вирішити вираз (27+22+34+37)/4, оскільки в розрахунках використовується 4 значення. В даному випадку шукана величина дорівнюватиме 30.

Часто у межах шкільного курсу вивчають і середнє геометричне. Розрахунок даного значення виходить з добуванні кореня n-ной ступеня з добутку n-членів. Якщо брати ті ж числа: 27, 22, 34 і 37, то результат обчислень дорівнюватиме 29,4.

Середнє гармонійне у загальноосвітній школі зазвичай перестав бути предметом вивчення. Проте воно використовується досить часто. Ця величина обернена до середнього арифметичного і розраховується як приватна від n - кількості значень і суми 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Якщо знову брати той самий ряд чисел для розрахунку, то гармонійне становитиме 29,6.

Середньозважене значення: особливості

Проте всі перераховані вище величини можуть бути використані не скрізь. Наприклад, у статистиці при розрахунку деяких середніх значень важливу роль має "вага" кожного числа, що використовується у обчисленнях. Результати є більш показовими та коректними, оскільки враховують більше інформації. Ця група величин носить загальну назву "середньозважене значення". Їх у школі не проходять, тож на них варто зупинитися докладніше.

Насамперед, варто розповісти, що мається на увазі під "вагою" того чи іншого значення. Найпростіше пояснити це на конкретному прикладі. Двічі на день у лікарні відбувається замір температури тіла у кожного пацієнта. Зі 100 хворих у різних відділеннях госпіталю у 44 буде нормальна температура – 36,6 градусів. У ще 30 буде підвищене значення – 37,2, у 14 – 38, у 7 – 38,5, у 3 – 39, і у двох решти – 40. І якщо брати середнє арифметичне, то ця величина загалом по лікарні становитиме більше ніж 38 градусів! Адже майже у половини пацієнтів цілком нормальна температура. І тут коректніше використовуватиме середньозважене значення, а "вагою" кожної величини буде кількість людей. У цьому випадку результатом розрахунку буде 37,25 градусів. Різниця очевидна.

У разі середньозважених розрахунків за "вагу" може бути прийнята кількість відвантажень, кількість людей, які працюють у той чи інший день, загалом усе що завгодно, що може бути виміряне і вплинути на кінцевий результат.

Різновиди

Середньозважене значення співвідноситься із середнім арифметичним, розглянутим на початку статті. Проте перша величина, як було зазначено, враховує також вага кожного числа, використаного у розрахунках. Крім цього існують також середньозважене геометричне та гармонійне значення.

Є ще один цікавий різновид, що використовується в рядах чисел. Йдеться про зважене ковзне середнє значення. Саме на його основі розраховуються тренди. Крім самих значень та їх ваги, там також використовується періодичність. І при обчисленні середнього значення в якийсь час також враховуються величини за попередні тимчасові відрізки.

Розрахунок всіх цих значень не такий вже й складний, проте на практиці зазвичай використовується лише звичайне середньозважене значення.

Способи розрахунку

У століття повальної комп'ютеризації немає необхідності обчислювати середньозважене значення вручну. Однак не зайвим буде знати формулу розрахунку, щоб можна було перевірити та за необхідності відкоригувати отримані результати.

Найпростіше розглянути обчислення на конкретному прикладі.

Необхідно дізнатися, яка ж середня оплата праці цьому підприємстві з урахуванням кількості робочих, отримують той чи інший заробіток.

Отже, розрахунок середньозваженого значення здійснюється за допомогою такої формули:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Для прикладу обчислення буде таким:

x = (32 * 20 +33 * 35 +34 * 14 +40 * 6) / (20 +35 +14 +6) = (640 +1155 +476 +240) / 75 = 33,48

Очевидно, що немає особливих складнощів для того, щоб вручну розрахувати середньозважене значення. Формула для обчислення цієї величини в одному з найпопулярніших додатків з формулами - Excel - виглядає як функція СУММПРОИЗВ (ряд чисел; ряд ваг)/СУМ (ряд ваг).

Як знайти середнє значення в Excel?

як знайти середнє арифметичне в excel?

Володимир09854

Простіше простого. Для того, щоб знайти середнє значення в excel, знадобиться лише 3 осередки. У першу ми запишемо одне число, друге - інше. А в третьому осередку ми заб'ємо формулу, яка нам видасть середнє значення між цими двома числами з першого та другого осередку. Якщо осередок №1 називається А1, осередок №2 називається B1, то в осередку з формулою потрібно записати так:

Такою формулою обчислюється середнє арифметичне двох чисел.

Для краси наших обрахунків можна виділити осередки лініями, як таблички.

Є ще в самому екселі функція визначення середнього значення, але я користуюся дідівським методом і вводжу потрібну формулу. Таким чином я впевнений, що ексель вважатиме саме так, як мені треба, а не придумає якесь там своє округлення.

M3sergey

Це дуже просто, якщо дані вже внесені до осередків. Якщо вас цікавить просто число, достатньо виділити потрібний діапазон /діапазони, і внизу праворуч у рядку стану з'явиться значення суми цих чисел, їхня середня арифметична та їх кількість.

Можна виділити порожню комірку, натиснути на трикутничок (список, що розкривається) "Автосума" і вибрати там "Середнє", після чого погодиться із запропонованим діапазоном для розрахунку, або вибрати свій.

Нарешті, можна скористатися формулами безпосередньо - натиснути "Вставити функцію" поруч із рядком формул та адресою комірки. Функція СРЗНАЧ знаходиться в категорії "Статистичні", і приймає як аргументи як числа, так і посилання на комірки та ін. Там же можна вибрати складніші варіанти, наприклад, СРЗНАЧЛИ - розрахунок середнього за умовою.

Знайти середнє значення в excelє досить простим завданням. Тут потрібно розуміти - чи ви хочете використовувати це середнє значення в якихось формулах чи ні.

Якщо вам потрібно отримати тільки значення, то достатньо виділити необхідний діапазон чисел, після чого excel автоматично порахує середнє значення - воно буде виводитись у рядку стану, заголовок "Середнє".

У тому випадку, коли ви хочете використати отриманий результат у формулах, можна зробити так:

1) Підсумовувати осередки з допомогою функції СУММ і розділити це кількість чисел.

2) Більш правильний варіант - скористатися спеціальною функцією, яка називається СРЗНАЧ. Аргументами цієї функції може бути числа, задані послідовно, чи діапазон чисел.

Володимир тихонов

обводьте значення, які братимуть участь у розрахунку, натискаєте вкладку " Формули " , там побачите зліва є " Автосума " і поруч із нею трикутник, спрямований вниз. клацаєте на цей трикутник і вибираєте "Середнє". Вуаля, готово) унизу стовпчика побачите середнє значення:)

Катерина муталапова

Почнемо спочатку і по порядку. Що означає середнє?

Середнє значення - це, яке є середнім арифметичним значенням, тобто. обчислюється додаванням набору чисел з наступним розподілом усієї суми чисел з їхньої кількість. Наприклад, для чисел 2, 3, 6, 7, 2 буде 4 (суму чисел 20 ділимо на їхню кількість 5)

У таблиці Excel особисто мені, найпростіше було скористатися формулою =СРЗНАЧ. Щоб розрахувати середнє значення, необхідно ввести дані в таблицю, під стовпцем даних написати функцію =СРЗНАЧ(), а в дужках вказуємо діапазон чисел у комірках, виділивши стовпець з даними. Після цього натискаємо ВВЕДЕННЯ, або просто клацаємо лівою кнопкою мишки на будь-якому осередку. Результат з'явиться в осередку під стовпцем. На вигляд описано незрозуміло, але за фактом - хвилинна справа.

Шукач пригод 2000

Програма Ecxel є різноманітною, тому є кілька варіантів, які дозволять вам знайти середні значення:

Перший варіант. Ви просто підсумовуєте всі осередки і ділите їх кількість;

Другий варіант. Скористайтеся спеціальною командою, напишете в потрібну комірку формулу "=СРЗНАЧ(а тут вкажіть діапазон осередків)";

Третій варіант. Якщо ви виділите необхідний діапазон, то зверніть увагу, що на сторінці внизу також виводиться середнє значення в цих осередках.

Таким чином, способів знайти середнє значення дуже багато, вам просто потрібно вибрати оптимальний для вас і користуватися ним постійно.

В Excel за допомогою функції РЗЗНАЧ можна розрахувати середнє арифметичне просте. Для цього потрібно вбити низку значень. Натиснути і вибрати в Категорії Статистичні, серед яких вибрати функцію СРЗНАЧ

Також за допомогою статистичних формул можна розрахувати середнє арифметичне зважене, яке вважається точнішим. Для його розрахунку нам знадобляться значення показника та частота.

Як знайти середнє значення в Excel?

Ситуація така. Є така таблиця:

У стовпчиках, зафарбованих червоним кольором, містяться чисельні значення оцінок з предметів. У стовпці "Середній бал" потрібно підрахувати їхнє середнє значення.
Проблема ось у чому: всього предметів 60-70 та частина з них на іншому аркуші.
Я дивилася в іншому документі вже підраховано середнє, а в осередку стоїть формула типу
= "ім'я листа"! | Е12
але це робив якийсь програміст, якого звільнили.
Підкажіть, будь ласка, хто розуміється на цьому.

Гектор

У рядку функцій вставляєш із запропонованих функцій "СРЗНАЧ" і вибираєш звідки ті треба вирахувати (B6: N6) для Іванова, наприклад. Про сусідні аркуші точно не знаю, але напевно це міститься у стандартній віндовській довідці

Підкажіть як обчислити середнє значення у ворді

Підкажіть, будь ласка, як обчислити середнє значення у ворді. А саме середнє значення оцінок, а не кількості людей, які отримали оцінки.

Юля Павлова

Word може багато з допомогою макросів. Натисніть ALT+F11 і пиши програму-макро..
Крім того, Вставка-Объект... дозволить використовувати інші програми, хоч Excel, для створення аркуша з таблицею всередині Word-документа.
Але в даному випадку тобі треба в колонці таблиці записати твої числа, а в нижній осередок тієї ж колонки занести середнє, правильно?
Для цього в нижній осередок вставляєш поле.
Вставка-Поле... -Формула
Вміст поля
[=AVERAGE(ABOVE)]
видає середнє від суми вище лежачих осередків.
Якщо поле виділити та натиснути праву кнопку миші, то його можна оновлювати, якщо числа змінилися,
переглядати код або значення поля, змінювати код у полі.
Якщо щось зіпсується, видали все поле в осередку і створи заново.
AVERAGE означає середнє, ABOVE - близько, тобто ряд вище осередків, що лежать.
Все це я не знала сама, але легко виявила в HELP, зрозуміло, трохи розуміючи.

За дисципліною: Статистика

Варіант №2

Середні величини, що застосовуються у статистиці

Введение………………………………………………………………………….3

Теоретичне завдання

Середня величина у статистиці, її сутність та умови застосування.

1.1. Сутність середньої величини та умови застосування………….4

1.2. Види середніх величин……………………………………………8

Практичне завдання

Завдання 1,2,3………………………………………………………………………14

Заключение……………………………………………………………………….21

Список використаної літератури……………………………………………...23

Вступ

Ця контрольна робота складається з двох частин – теоретичної та практичної. У теоретичній частині буде докладно розглянута така важлива статистична категорія як середня величина з метою виявлення її сутності та умов застосування, а також виділення видів середніх та способів їхнього розрахунку.

Статистика, як відомо, вивчає масові соціально-економічні явища. Кожне з цих явищ може мати різне кількісне вираження однієї й тієї ж ознаки. Наприклад, заробітна плата однієї і тієї ж професії робітників або ціни на ринку на той самий товар і т.д. Середні величини характеризують якісні показники комерційної діяльності: витрати звернення, прибуток, рентабельність та інших.

Для вивчення будь-якої сукупності за ознаками, що варіюють (кількісно змінюються) статистика використовує середні величини.

Сутність середньої величини

Середня величина - це узагальнююча кількісна характеристика сукупності однотипних явищ за однією ознакою, що варіює. У економічній практиці використовують широке коло показників, обчислених як середніх величин.

Найважливіша властивість середньої величини полягає в тому, що вона представляє значення певної ознаки у всій сукупності одним числом, незважаючи на кількісні відмінності його в окремих одиниць сукупності, і виражає загальне, що притаманне всім одиницям сукупності, що вивчається. Отже, через характеристику одиниці сукупності вона характеризує всю сукупність загалом.

Середні величини пов'язані із законом великих чисел. Суть зв'язку у тому, що з опосередкуванні випадкові відхилення індивідуальних величин з дії закону великих чисел взаємопогашуються й у середньої виявляється основна тенденція розвитку, необхідність, закономірність. Середні величини дозволяють порівнювати показники, які стосуються сукупностей з різною чисельністю одиниць.

У сучасних умовах розвитку ринкових відносин економіки середні служать інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ. Однак у економічному аналізі не можна обмежуватися лише середніми показниками, оскільки за загальними сприятливими середніми можуть ховатися і серйозні недоліки у діяльності окремих суб'єктів господарювання, і паростки нового, прогресивного. Наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявляти формування нових соціальних груп. Тому поряд із середніми статистичними даними необхідно враховувати особливості окремих одиниць сукупності.

Середня величина є рівнодією всіх факторів, що впливають на досліджуване явище. Тобто при розрахунку середніх величин взаємопогашуються вплив випадкових (пертурбаційних, індивідуальних) факторів і, таким чином, можливе визначення закономірності, властивої досліджуваному явищу. Адольф Кетле підкреслював, що значення методу середніх величин полягає у можливості переходу від одиничного до загального, від випадкового до закономірного, існування середніх величин є категорією об'єктивної дійсності.

Статистика вивчає масові явища та процеси. Кожне з таких явищ має як загальні для всієї сукупності, так і особливі, індивідуальні властивості. Відмінність між індивідуальними явищами називаються варіацією. Інша властивість масових явищ - властива їм близькість показників окремих явищ. Отже, взаємодія елементів сукупності призводить до обмеження варіації хоча б частини властивостей. Ця тенденція існує об'єктивно. Саме в її об'єктивності полягає причина найширшого застосування середніх величин на практиці та теорії.

Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.

У економічній практиці використовується широке коло показників, обчислений як середніх величин.

За допомогою методу середніх величин статистика вирішує багато завдань.

Головне значення середніх полягає у їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ.

Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, вона є типовою характеристикою ознаки у цій сукупності.

Однак неправильно зводити роль середніх величин лише до характеристики типових значень ознак у однорідних за даною ознакою сукупності. Насправді значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно однорідні явища.

Середня величина національного доходу душу населення, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів – це показники держави як єдиної народногосподарської системи, це звані системні середні.

Системні середні можуть характеризувати як просторові чи об'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля тощо.), і динамічні системи, протяжні у часі (рік, десятиліття, сезон тощо.).

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації загалом визначається її фінансовим становищем. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Обчислення середнього - одне із поширених прийомів узагальнення; середній показник відображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності.

Середня – це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.

Кожна середня характеризує досліджувану сукупність за якоюсь однією ознакою, але характеристики будь-якої сукупності, описи її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників. Тож у практиці вітчизняної статистики вивчення соціально-економічних явищ, зазвичай, обчислюється система середніх показників. Так, наприклад, показник середньої заробітної плати оцінюються спільно з показниками середнього виробітку, фондовозброєності та енергоозброєності праці, ступенем механізації та автоматизації робіт та ін.

Середня має обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника. Тож конкретного показника, що у соціально економічному аналізі, можна обчислити лише одне справжнє значення середньої з урахуванням наукового методу расчета.

Середня величина це один з найважливіших узагальнюючих статистичних показників, що характеризує сукупність однотипних явищ за якоюсь кількісно варіюючою ознакою. Середні у статистиці це узагальнюючі показники, числа, що виражають типові характерні розміри суспільних явищ за однією кількісно варіюючою ознакою.

Види середніх величин

Види середніх величин відрізняються передусім тим, яка властивість, який параметр вихідної варіює маси індивідуальних значень ознаки може бути збережений незмінним.

Середня арифметична

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності залишається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина – середній доданок. За її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності.

Середня арифметична застосовується, якщо відомі значення ознаки (х) і кількість одиниць сукупності з певним значенням ознаки (f).

Середня арифметична буває простою та зваженою.

Середня арифметична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки зустрічається один раз, тобто. для кожного значення ознаки f=1, або якщо вихідні дані не впорядковані і невідомо, скільки одиниць мають певні значення ознаки.

Формула середньої арифметичної простий має вигляд.

Середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену (підсумкову) характеристику масових суспільних явищ, оскільки будуються на основі великої кількості індивідуальних значень ознаки, що варіює. Для з'ясування сутності середньої величини необхідно розглянути особливості формування значень ознак явищ, за даними яких обчислюють середню величину.

Відомо, що одиниці кожного масового явища мають численні ознаки. Яка б із цих ознак ми не взяли, його значення в окремих одиниць будуть різними, вони змінюються, або, як кажуть у статистиці, варіюють від однієї одиниці до іншої. Так, наприклад, заробітна плата працівника визначається його кваліфікацією, характером праці, стажем роботи та цілим рядом інших факторів, тому змінюється у вельми широких межах. Сукупний вплив всіх факторів визначає розмір заробітку кожного працівника, проте можна говорити про середньомісячну заробітну плату працівників різних галузей економіки. Тут ми оперуємо типовим, характерним значенням ознаки, що варіює, віднесеним до одиниці численної сукупності.

Середня величина відображає те загальне,що притаманно всіх одиниць досліджуваної сукупності. У той самий час вона врівноважує вплив всіх чинників, які діють величину ознаки окремих одиниць сукупності, хіба що взаємно погашаючи їх. Рівень (або розмір) будь-якого суспільного явища обумовлений дією двох груп факторів. Одні з них є загальними і головними, постійно діючими, тісно пов'язаними з природою явища, що вивчається, або процесу, і формують те типовавсім одиниць досліджуваної сукупності, що й відбивається у середній величині. Інші є індивідуальними,їхня дія виражена слабше і носить епізодичний, випадковий характер. Вони діють у зворотному напрямі, зумовлюють різницю між кількісними ознаками окремих одиниць сукупності, прагнучи змінити постійну величину досліджуваних ознак. Дія індивідуальних ознак погашається у середній величині. У сукупному впливі типових та індивідуальних факторів, що врівноважується та взаємно погашається в узагальнюючих характеристиках, проявляється у загальному вигляді відомий з математичної статистики фундаментальний закон великих чисел.

У сукупності індивідуальні значення ознак зливаються в загальну масу і розчиняються. Звідси і середня величинавиступає як «знеособлена», яка може відхилятися від індивідуальних значень ознак, не збігаючись кількісно з жодним з них. Середня величина відображає загальне, характерне і типове для всієї сукупності завдяки взаємопогашенню в ній випадкових, нетипових відмінностей між ознаками окремих її одиниць, оскільки її величина визначається як загальної рівнодіючої з усіх причин.

Однак для того, щоб середня величина відображала найбільш типове значення ознаки, вона повинна визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з однорідних одиниць. Ця вимога є основною умовою науково обґрунтованого застосування середніх величин та передбачає тісний зв'язок методу середніх величин та методу угруповань в аналізі соціально-економічних явищ. Отже, середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю однорідної сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Визначаючи таким чином сутність середніх величин, необхідно підкреслити, що правильне обчислення будь-якої середньої величини передбачає виконання наступних вимог:

якісна однорідність сукупності, якою обчислена середня величина. Це означає, що літочислення середніх величин повинно ґрунтуватися на методі угруповань, що забезпечує виділення однорідних, однотипних явищ;
виключення впливу на обчислення середньої величини випадкових, суто індивідуальних причин та факторів. Це досягається у тому випадку, коли обчислення середньої ґрунтується на досить масовому матеріалі, в якому проявляється дія закону великих чисел, та всі випадковості взаємно погашаються;
при обчисленні середньої величини важливо встановити мету її розрахунку та так званий визначальний показ-телъ(Властивість), на який вона має бути орієнтована.

Визначальний показник може виступати у вигляді суми значень середньої ознаки, суми його зворотних значень, добутку його значень тощо. цьому випадку не змінить визначального показника. На основі зв'язку визначального показника із середньою величиною будують вихідне кількісне відношення для безпосереднього розрахунку середньої величини. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальною властивістю.

Середня величина, розрахована загалом за сукупністю, називається загальної середньої;середні величини, розраховані кожної групи, - груповими середніми.Загальна середня відбиває загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику явища, що у конкретних умовах цієї групи.

Способи розрахунку можуть бути різні, тому в статистиці розрізняють кілька видів середньої величини, основними з яких є середня арифметична, середня гармонійна та середня геометрична.

p align="justify"> В економічному аналізі використання середніх величин є основним інструментом для оцінки результатів науково-технічного прогресу, соціальних заходів, пошуку резервів розвитку економіки. У той самий час слід пам'ятати у тому, що надмірне захоплення середніми показниками може призвести до необ'єктивним висновків під час проведення економіко-статистичного аналізу. Це з тим, що середні величини, будучи узагальнюючими показниками, погашають, ігнорують ті розбіжності у кількісних ознаках окремих одиниць сукупності, які реально існують й можуть становити самостійний інтерес.

Види середніх величин

У статистиці використовують різні види середніх величин, які поділяються на два великі класи:

статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);
структурні середні (мода, медіана)

Для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому називають структурними, позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий або недоцільний.

Найпоширеніший вид середньої величини – середня арифметична. Під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала кожна одиниця сукупності, якби загальний підсумок всіх значень ознаки був розподілений рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення цієї величини зводиться до підсумовування всіх значень варіює ознаки і поділу отриманої суми на загальну кількість одиниць сукупності. Наприклад, п'ять робочих виконували замовлення виготовлення деталей, у своїй перший виготовив 5 деталей, другий - 7, третій - 4, четвертий - 10, п'ятий- 12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося лише один раз, визначення середньої вироблення одного робітника слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:

тобто в нашому прикладі середнє вироблення одного робітника дорівнює

Поряд із простою середньою арифметичною вивчають середню арифметичну зважену.Наприклад, розрахуємо середній вік студентів у групі з 20 осіб, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- варіанти ознаки, що осредняється, fi- Частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-езначення у сукупності (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Середній вік студентів

Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:

Для вибору середньої арифметичної зваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба вирахувати

середню величину, і при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як добуток цих показників, то середня величина повинна вираховуватися за формулою середньої арифметичної зваженої.

У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може бути тільки інший вид середньої величини - середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним використанням електронно-обчислювальної техніки. Велике практичне значення набула середня гармонійна величина, яка теж буває простою та виваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватне розподілення одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої зваженої гармонійної.

Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км/год, а 150 км зі швидкістю 75 км/год, що залишилися. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Оскільки варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км/год Х2= 75 км/год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів на ваги не матимуть ні фізичного, ні економічного сенсу. В даному випадку сенс набувають приватні від розподілу відрізків колії на відповідні швидкості (варіанти xi), тобто витрати часу на проходження окремих ділянок колії (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, весь шлях висловитися як Σfi, а час, витрачений весь шлях, - як Σ fi / xi , Тоді середня швидкість може бути знайдена як окреме від розподілу всього шляху на загальні витрати часу:

У нашому прикладі отримаємо:

Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, замість виваженої можна використовувати просту (невиважену) середню гармонійну:

де xi – окремі варіанти; n- Число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби дорівнювали відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.

Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта ознаки, що осредняется, не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з середнім показником. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їхньою середньою величиною (середньою швидкістю) не повинна змінитися загальна відстань.

Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з середнім, тому підсумковий показник, величина якого не повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньою величиною, називається визначальним показником.Для висновку середньої формули потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок середнього показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів ознаки (показника) їх середньою величиною.

Крім середньої арифметичної та середньої гармонійної у статистиці використовуються інші види (форми) середньої величини. Усі вони є окремими випадками степеневої середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для тих самих даних, то значення

їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найбільш часто застосовуються в практичних дослідженнях формули обчислення різних видів статечних середніх величин представлені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів зростання, при цьому індивідуальні значення ознаки є, як правило, відносними величинами динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення до попереднього рівня кожного рівня в ряді динаміки. Середня характеризує, в такий спосіб, середній коефіцієнт зростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою

Формула середньої геометричної зваженоїмає такий вигляд:

Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах чи темпах зростання, а друга - за абсолютних значень рівнів ряду.

Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу та обчислюється за формулою

Середня зважена квадратичнарозраховується за іншою формулою:

Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функцій та обчислюється за формулою

середня кубічна зважена:

Усі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:

де – середня величина; - Індивідуальне значення; n- Число одиниць досліджуваної сукупності; k- Показник ступеня, що визначає вид середньої.

При використанні тих самих вихідних даних, чим більше kу загальній формулі статечної середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:

Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про сукупність, що вивчається, і з цієї точки зору їх теоретичне, прикладне і пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається з жодним із реально існуючих варіантів, тому крім розглянутих середніх у статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають упорядкованому (ранжованому) ряду значень ознаки цілком певне становище. Серед таких величин найуживанішими є структурні,або описові, середні- мода (Мо) та медіана (Ме).

Мода- величина ознаки, яка найчастіше зустрічається у цій сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися щодо магазинів, які частіше відвідуються, найпоширенішої ціни на будь-який товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значній частині сукупності, і визначається за формулою

де х0 - нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; fm_ 1 - частота попереднього інтервалу; fm+ 1 – частота наступного інтервалу.

Медіаноюназивається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що з обох боків від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або одно або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявлення про те, де зосереджені значення ознаки, іншими словами, де знаходиться їхній центр.

Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючої ознаки, якими має половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду надати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанта визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 та n / 2 + 1.

При визначенні медіани в інтервальних варіаційних лавах спочатку визначається інтервал, у якому вона перебуває (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує напівсуму всіх частот. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду здійснюється за формулою

де X0- нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; f- Число членів ряду;

∫m-1 - сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поряд з медіаною для більш повної характеристики структури сукупності, що вивчається, застосовують і інші значення варіантів, що займають в ранжированому ряду цілком певне положення. До них відносяться квартувалиі децилі.Квартілі ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децилі – на 10 рівних частин. Квартилів налічується три, а децилів – дев'ять.

Медіана і мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностей у значеннях ознаки, що варіює, і тому є додатковими і дуже важливими характеристиками статистичної сукупності. Насправді вони часто використовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює. Ці не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.

Показники варіації

Метою статистичного дослідження є виявлення основних властивостей та закономірностей досліджуваної статистичної сукупності. У процесі зведеної обробки даних статистичного спостереження будують лави розподілу.Розрізняють два типи рядів розподілу - атрибутивні та варіаційні, залежно від того, чи є ознака, взята за основу угруповання, якісною чи кількісною.

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності не постійні, більш-менш різняться між собою. Така різниця у величині ознаки носить назву варіації.Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в сукупності, що вивчається, називають варіантами значень.Наявність варіації в окремих одиниць сукупності обумовлено впливом значної частини чинників формування рівня ознаки. Вивчення характеру та ступеня варіації ознак в окремих одиниць сукупності є найважливішим питанням будь-якого статистичного дослідження. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Іншим важливим завданням статистичного дослідження є визначення ролі окремих факторів чи їх груп у варіації тих чи інших ознак сукупності. Для вирішення такого завдання у статистиці застосовуються спеціальні методи дослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, за допомогою яких вимірюється варіація. У практиці дослідник стикається з досить великою кількістю варіантів значень ознаки, що не дає уявлення про розподіл одиниць за величиною ознаки в сукупності. Для цього проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому або спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.Ранжований ряд одночасно дає загальне уявлення про значення, які набуває ознаки в сукупності.

Недостатність середньої величини для вичерпної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання ознаки, що вивчається. Використання цих показників варіації дає можливість зробити статистичний аналіз більш повним і змістовним і тим самим глибше зрозуміти сутність суспільних явищ, що вивчаються.

Найпростішими ознаками варіації є мінімумі максимум -це найменше та найбільше значення ознаки в сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення.Позначимо частоту повторення значення ознаки fi,сума частот, що дорівнює обсягу досліджуваної сукупності буде:

де k- Число варіантів значень ознаки. Частоти зручно замінювати частостями wi. Частина- відносний показник частоти - може бути виражений у частках одиниці або відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числом спостережень. Формально маємо:

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться середнє лінійне відхилення, розмах варіації, дисперсія, середнє відхилення квадратичне.

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності: R= Xmax – Xmin. Цей показник дає лише загальне уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Він не пов'язані з частотами в варіаційному ряду, т. е. з характером розподілу, яке залежність може надавати йому нестійкий, випадковий характер лише з крайніх значень ознаки. Розмах варіації не дає жодної інформації про особливості досліджуваних сукупностей і не дозволяє оцінити рівень типовості отриманих середніх величин. Область застосування цього показника обмежена досить однорідними сукупностями, точніше, характеризує варіацію ознаки показник, що ґрунтується на обліку мінливості всіх значень ознаки.

Для характеристики варіації ознаки необхідно узагальнити відхилення всіх значень від будь-якої типової для вивчається сукупності величини. Такі показники

варіації, як середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення, засновані на розгляді відхилень значень ознаки окремих одиниць сукупності від середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної:

Абсолютне значення (модуль) відхилення варіанта від середньої арифметичної; f-частота.

Перша формула застосовується, якщо кожен із варіантів зустрічається в сукупності лише один раз, а друга - у рядах із нерівними частотами.

Існує інший спосіб усереднення відхилень варіантів від середньої арифметичної. Цей дуже поширений у статистиці спосіб зводиться до розрахунку квадратів відхилень варіантів від середньої величини зі своїм наступним усередненням. При цьому ми отримуємо новий показник варіації – дисперсію.

Дисперсія(σ 2) - середня з квадратів відхилень варіантів значень ознаки від їхньої середньої величини:

Друга формула застосовується за наявності варіантів своїх ваг (або частот варіаційного ряду).

В економіко-статистичному аналізі варіацію ознаки прийнято оцінювати найчастіше за допомогою середнього відхилення квадратичного. Середнє квадратичне відхилення(σ) являє собою квадратний корінь з дисперсії:

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення показують, наскільки в середньому коливається величина ознаки у одиниць досліджуваної сукупності, і виражаються в тих самих одиницях виміру, що і варіанти.

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіації різних ознак. Наприклад, великий інтерес представляє порівняння варіацій віку персоналу та його кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати і т. д. Для подібних зіставлень показники абсолютної коливання ознак - середнє лінійне та середнє квадричне відхилення - не придатні. Не можна, насправді, порівнювати коливання стажу роботи, що виражається в роках, з коливанням заробітної плати, що виражається в рублях і копійках.

При порівнянні мінливості різних ознак у сукупності зручно застосовувати відносні показники варіації. Ці показники обчислюються як відношення абсолютних показників до середньої арифметичної (або медіани). Використовуючи як абсолютний показник варіації розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, отримують відносні показники коливання:

Найчастіше застосовуваний показник відносної коливання, що характеризує однорідність сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % для розподілів, близьких до нормального.