Середні величини у статистиці. Середні величини

Середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену (підсумкову) характеристику масових суспільних явищ, оскільки будуються на основі великої кількості індивідуальних значеньваріює ознаки. Для з'ясування сутності середньої величини необхідно розглянути особливості формування значень ознак явищ, за даними яких обчислюють середню величину.

Відомо, що одиниці кожного масового явищамають численні ознаки. Яка б із цих ознак ми не взяли, його значення в окремих одиниць будуть різними, вони змінюються, або, як кажуть у статистиці, варіюють від однієї одиниці до іншої. Так, наприклад, заробітна плата працівника визначається його кваліфікацією, характером праці, стажем роботи та цілим рядом інших факторів, тому змінюється у вельми широких межах. Сукупний вплив всіх факторів визначає розмір заробітку кожного працівника, проте можна говорити про середньомісячну заробітну плату працівників різних галузей економіки. Тут ми оперуємо типовим, характерним значеннямваріює ознаки, віднесеним до одиниці численної сукупності.

Середня величина відображає те загальне,що притаманно всіх одиниць досліджуваної сукупності. У той самий час вона врівноважує вплив всіх чинників, які діють величину ознаки окремих одиниць сукупності, хіба що взаємно погашаючи їх. Рівень (або розмір) будь-якого суспільного явища обумовлений дією двох груп факторів. Одні з них є загальними і головними, постійно діючими, тісно пов'язаними з природою явища, що вивчається, або процесу, і формують те типовавсім одиниць досліджуваної сукупності, що й відбивається у середній величині. Інші є індивідуальними,їхня дія виражена слабшою і носить епізодичний, випадковий характер. Вони діють у зворотному напрямку, обумовлюють різницю між кількісними ознаками окремих одиниць сукупності, прагнучи змінити постійну величинудосліджуваних ознак. Дія індивідуальних ознак погашається у середній величині. У сукупному впливі типових та індивідуальних факторів, що врівноважується та взаємно погашається в узагальнюючих характеристиках, проявляється у загальному виглядівідомий з математичної статистикифундаментальний закон великих чисел.

У сукупності індивідуальні значення ознак зливаються в загальну масуі ніби розчиняються. Звідси і середня величина виступає як «знеособлена», яка може відхилятися від індивідуальних значень ознак, не збігаючись кількісно з жодним з них. Середня величина відображає загальне, характерне і типове для всієї сукупності завдяки взаємопогашенню в ній випадкових, нетипових відмінностей між ознаками окремих її одиниць, оскільки її величина визначається як загальної рівнодіючої з усіх причин.

Однак для того, щоб середня величина відображала найбільш типове значення ознаки, вона повинна визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з однорідних одиниць. Ця вимога є основною умовою науково обґрунтованого застосування середніх величин та передбачає тісний зв'язокметоду середніх величин та методу угруповань в аналізі соціально-економічних явищ. Отже, середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівеньваріює ознаки у розрахунку на одиницю однорідної сукупності в конкретних умовах місця та часу.

Визначаючи таким чином сутність середніх величин, необхідно підкреслити, що правильне обчислення будь-якої середньої величини передбачає виконання наступних вимог:

якісна однорідність сукупності, якою обчислена середня величина. Це означає, що літочислення середніх величин повинно ґрунтуватися на методі угруповань, що забезпечує виділення однорідних, однотипних явищ;
виключення впливу на обчислення середньої величини випадкових, суто індивідуальних причин та факторів. Це досягається у тому випадку, коли обчислення середньої ґрунтується на досить масовому матеріалі, в якому проявляється дія закону великих чисел, та всі випадковості взаємно погашаються;
при обчисленні середньої величини важливо встановити мету її розрахунку та так званий визначальний показ-телъ(Властивість), на який вона має бути орієнтована.

Визначальний показник може виступати у вигляді суми значень середньої ознаки, суми його обернених значень, добутки його значень і т. п. Зв'язок між визначальним показником і середньою величиною виражається в наступному: якщо всі значення ознаки, що осредняется замінити середнім значенням, то їх сума або добуток у цьому випадку не змінить визначального показника. На основі зв'язку визначального показника із середньою величиною будують вихідне кількісне відношення для безпосереднього розрахунку середньої величини. Здатність середніх величин зберігати властивості статистичних сукупностей називають визначальною властивістю.

Середня величина, розрахована загалом за сукупністю, називається загальної середньої;середні величини, розраховані кожної групи, - груповими середніми.Загальна середня відбиває загальні рисидосліджуваного явища, групова середня дає характеристику явища, що складається у конкретних умовах цієї групи.

Способи розрахунку можуть бути різні, тому в статистиці розрізняють кілька видів середньої величини, основними з яких є середня арифметична, середня гармонійна та середня геометрична.

У економічному аналізівикористання середніх величин є основним інструментом оцінки результатів науково-технічного прогресу, соціальних заходів, пошуку резервів розвитку економіки У той же час слід пам'ятати про те, що надмірне захопленняСередні показники можуть призвести до необ'єктивних висновків під час проведення економіко-статистичного аналізу. Це з тим, що середні величини, будучи узагальнюючими показниками, погашають, ігнорують ті розбіжності у кількісних ознаках окремих одиниць сукупності, які реально існують й можуть становити самостійний інтерес.

Види середніх величин

У статистиці використовують різні видисередніх величин, які поділяються на два великі класи:

статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);
структурні середні (мода, медіана)

Для обчислення статечних середніхнеобхідно використовувати всі наявні значення ознаки. Модаі медіанавизначаються лише структурою розподілу, тому називають структурними, позиційними середніми. Медіану та моду часто використовують як середню характеристикуу тих сукупностях, де розрахунок середньої статечної неможливий чи недоцільний.

Найпоширеніший вид середньої величини – середня арифметична. Під середньої арифметичноїрозуміється таке значення ознаки, яке мала б кожна одиниця сукупності, якби загальний висновоквсіх значень ознаки було розподілено рівномірно між усіма одиницями сукупності. Обчислення даної величини зводиться до підсумовування всіх значень варіюючої ознаки та поділу отриманої суми на Загальна кількістьодиниць сукупності. Наприклад, п'ять робочих виконували замовлення виготовлення деталей, у своїй перший виготовив 5 деталей, другий - 7, третій - 4, четвертий - 10, п'ятий- 12. Оскільки у вихідних даних значення кожного варіанта зустрічалося лише один раз, визначення середньої вироблення одного робітника слід застосувати формулу простої середньої арифметичної:

тобто в нашому прикладі середнє вироблення одного робітника дорівнює

Поряд із простою середньою арифметичною вивчають середню арифметичну зважену.Наприклад, розрахуємо середній вікстудентів у групі з 20 осіб, вік яких варіюється від 18 до 22 років, де xi- варіанти ознаки, що осредняється, fi- Частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-езначення у сукупності (табл. 5.1).

Таблиця 5.1

Середній вік студентів

Застосовуючи формулу середньої арифметичної зваженої, отримуємо:

Для вибору середньої арифметичної зваженої існує певне правило: якщо є ряд даних за двома показниками, для одного з яких треба вирахувати

середню величину, і при цьому відомі чисельні значення знаменника її логічної формули, а значення чисельника невідомі, але можуть бути знайдені як добуток цих показників, то середня величина повинна вираховуватися за формулою середньої арифметичної зваженої.

У деяких випадках характер вихідних статистичних даних такий, що розрахунок середньої арифметичної втрачає сенс і єдиним узагальнюючим показником може бути тільки інший вид середньої величини - середня гармонійна.В даний час обчислювальні властивості середньої арифметичної втратили свою актуальність при розрахунку узагальнюючих статистичних показників у зв'язку з повсюдним використанням електронно-обчислювальної техніки. Велике практичне значенняпридбала середня гармонійна величинаяка теж буває простою і зваженою. Якщо відомі чисельні значення чисельника логічної формули, а значення знаменника невідомі, але можуть бути знайдені як приватне розподілення одного показника на інший, то середня величина обчислюється за формулою середньої зваженої гармонійної.

Наприклад, нехай відомо, що автомобіль пройшов перші 210 км зі швидкістю 70 км/год, а 150 км зі швидкістю 75 км/год, що залишилися. Визначити середню швидкість автомобіля протягом усього шляху 360 км, використовуючи формулу середньої арифметичної, не можна. Оскільки варіантами є швидкості на окремих ділянках xj= 70 км/год Х2= 75 км/год, а вагами (fi) вважаються відповідні відрізки шляху, то твори варіантів на ваги не матимуть ні фізичного, ні економічного сенсу. У даному випадкусенс набувають приватні від поділу відрізків колії на відповідні швидкості (варіанти xi), тобто витрати часу на проходження окремих ділянок колії (fi / xi). Якщо відрізки шляху позначити через fi, весь шлях висловитися як Σfi, а час, витрачений весь шлях, - як Σ fi / xi , Тоді Середня швидкістьможе бути знайдена як окреме від розподілу всього шляху на загальні витрати часу:

У нашому прикладі отримаємо:

Якщо при використанні середньої гармонійної ваги всіх варіантів (f) рівні, замість виваженої можна використовувати просту (невиважену) середню гармонійну:

де xi – окремі варіанти; n- Число варіантів осредняемого ознаки. У прикладі зі швидкістю просту середню гармонійну можна було б застосувати, якби дорівнювали відрізки шляху, пройдені з різною швидкістю.

Будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта ознаки, що осредняется, не змінювалася величина деякого підсумкового, узагальнюючого показника, який пов'язаний з середнім показником. Так, при заміні фактичних швидкостей на окремих відрізках шляху їхньою середньою величиною (середньою швидкістю) не повинна змінитися загальна відстань.

Форма (формула) середньої величини визначається характером (механізмом) взаємозв'язку цього підсумкового показника з середнім, тому підсумковий показник, величина якого не повинна змінюватися при заміні варіантів їх середньою величиною, називається визначальним показником.Для висновку середньої формули потрібно скласти і вирішити рівняння, використовуючи взаємозв'язок середнього показника з визначальним. Це рівняння будується шляхом заміни варіантів ознаки (показника) їх середньою величиною.

Крім середньої арифметичної та середньої гармонійної у статистиці використовуються інші види (форми) середньої величини. Усі вони є окремими випадками степеневої середньої.Якщо розраховувати всі види статечних середніх величин для тих самих даних, то значення

їх виявляться однаковими, тут діє правило мажо-рантностісередніх. Зі збільшенням показника ступеня середніх збільшується і сама середня величина. Найбільш часто застосовуються в практичних дослідженняхФормули обчислення різних видів статечних середніх величин представлені в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Середня геометрична застосовується, коли є nкоефіцієнтів зростання, при цьому індивідуальні значення ознаки є, як правило, відносними величинами динаміки, побудованими у вигляді ланцюгових величин, як відношення до попереднього рівня кожного рівня в ряді динаміки. Середня характеризує, таким чином, середній коефіцієнтзростання. Середня геометрична простарозраховується за формулою

Формула середньої геометричної зваженоїмає такий вигляд:

Наведені формули ідентичні, але одна застосовується при поточних коефіцієнтах чи темпах зростання, а друга - за абсолютних значень рівнів ряду.

Середня квадратичназастосовується при розрахунку з величинами квадратних функцій, використовується для вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу і обчислюється за формулою

Середня зважена квадратичнарозраховується за іншою формулою:

Середня кубічназастосовується при розрахунку з величинами кубічних функційта обчислюється за формулою

середня кубічна зважена:

Усі розглянуті вище середні величини можуть бути представлені у вигляді загальної формули:

де – середня величина; - Індивідуальне значення; n- Число одиниць досліджуваної сукупності; k- Показник ступеня, що визначає вид середньої.

При використанні тих самих вихідних даних, чим більше kв загальною формулоюстепеневої середньої, тим більше середня величина. З цього випливає, що між величинами статечних середніх існує закономірне співвідношення:

Середні величини, описані вище, дають узагальнене уявлення про сукупність, що вивчається, і з цієї точки зору їх теоретичне, прикладне і пізнавальне значення безперечно. Але буває, що величина середньої не збігається з жодним з реально існуючих варіантів, Тому крім розглянутих середніх у статистичному аналізі доцільно використовувати величини конкретних варіантів, що займають упорядкованому (ранжованому) ряду значень ознаки цілком певне становище. Серед таких величин найуживанішими є структурні,або описові, середні- мода (Мо) та медіана (Ме).

Мода- величина ознаки, яка найчастіше зустрічається у цій сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найчастіше зустрічається, тобто варіант, що володіє найбільшою частотою. Мода може застосовуватися щодо магазинів, які частіше відвідуються, найпоширенішої ціни на будь-який товар. Вона показує розмір ознаки, властивий значній частині сукупності, і визначається за формулою

де х0 - нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; fm_ 1 - частота попереднього інтервалу; fm+ 1 – частота наступного інтервалу.

Медіаноюназивається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що з обох боків від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше її. Медіана використовується при вивченні елемента, значення якого більше або одно або одночасно менше або дорівнює половині елементів ряду розподілу. Медіана дає загальне уявленняпро те, де зосереджені значення ознаки, іншими словами, де знаходиться їхній центр.

Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючої ознаки, якими має половина одиниць сукупності. Завдання знаходження медіани для дискретного варіаційного ряду вирішується просто. Якщо всім одиницям ряду додати порядкові номери, то порядковий номер медіанного варіанта визначається як (п +1) / 2 з непарним числом членів п. Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною буде середнє значення двох варіантів, що мають порядкові номери n/ 2 та n / 2 + 1.

При визначенні медіани в інтервальних варіаційних лавах спочатку визначається інтервал, у якому вона перебуває (медіанний інтервал). Цей інтервал характерний тим, що його накопичена сума частот дорівнює або перевищує напівсуму всіх частот. Розрахунок медіани інтервального варіаційного ряду здійснюється за формулою

де X0- нижня межа інтервалу; h- Величина інтервалу; fm- Частота інтервалу; f- Число членів ряду;

∫m-1 - сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поряд з медіаною для більш повної характеристикиструктури досліджуваної сукупності застосовують інші значення варіантів, які у ранжированном ряду цілком певне становище. До них відносяться квартувалиі децилі.Квартілі ділять ряд за сумою частот на 4 рівні частини, а децилі – на 10 рівних частин. Квартилів налічується три, а децилів – дев'ять.

Медіана та мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностейу значеннях варіює ознаки і тому є додатковими і дуже важливими характеристикамистатистичної сукупності. Насправді вони часто використовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює. Ці не дуже характерні для сукупності значення варіантів, впливаючи на величину середньої арифметичної, не впливають на значення медіани і моди, що робить останні дуже цінними для економіко-статистичного аналізу показниками.

Показники варіації

Метою статистичного дослідженняє виявлення основних властивостейта закономірностей досліджуваної статистичної сукупності. У процесі зведеної обробки даних статистичного спостереженнябудують лави розподілу.Розрізняють два типи рядів розподілу - атрибутивні та варіаційні, залежно від того, чи є ознака, взята за основу угруповання, якісною чи кількісною.

Варіаційниминазивають ряди розподілу, побудовані за кількісним ознакою. Значення кількісних ознак в окремих одиниць сукупності не постійні, більш-менш різняться між собою. Така різниця у величині ознаки носить назву варіації.Окремі числові значенняознаки, що зустрічаються в досліджуваній сукупності, називають варіантами значень.Наявність варіації в окремих одиниць сукупності обумовлена впливом великої кількостіфакторів формування рівня ознаки. Вивчення характеру та ступеня варіації ознак в окремих одиниць сукупності є найважливішим питаннямбудь-якого статистичного дослідження. Для опису міри мінливості ознак використовують показники варіації.

Інший важливим завданнямстатистичного дослідження є визначення ролі окремих чинників чи його груп у варіації тих чи інших ознак сукупності. Для вирішення такого завдання у статистиці застосовуються спеціальні методидослідження варіації, що ґрунтуються на використанні системи показників, за допомогою яких вимірюється варіація. У практиці дослідник стикається з досить великою кількістюваріантів значень ознаки, що дає уявлення про розподіл одиниць за величиною ознаки в сукупності. Для цього проводять розташування всіх варіантів значень ознаки у зростаючому або спадному порядку. Цей процес називають ранжуванням низки.Ранжований ряд одночасно дає загальне уявлення про значення, які набуває ознаки в сукупності.

Недостатність середньої величини для вичерпної характеристики сукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання ознаки, що вивчається. Використання цих показників варіації дає можливість зробити статистичний аналіз більш повним і змістовним і тим самим глибше зрозуміти сутність суспільних явищ, що вивчаються.

Найбільш простими ознакамиваріації є мінімумі максимум -це найменше і найбільше значенняознаки у сукупності. Число повторень окремих варіантів значень ознак називають частотою повторення.Позначимо частоту повторення значення ознаки fi,сума частот, що дорівнює обсягу досліджуваної сукупності буде:

де k- Число варіантів значень ознаки. Частоти зручно замінювати частостями wi. Частина- відносний показник частоти - може бути виражений у частках одиниці або відсотках і дозволяє зіставляти варіаційні ряди з різним числомспостережень. Формально маємо:

Для вимірювання варіації ознаки застосовуються різні абсолютні та відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться середнє лінійне відхилення, розмах варіації, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності: R= Xmax – Xmin. Цей показник дає лише загальне уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Він не пов'язані з частотами в варіаційному ряду, т. е. з характером розподілу, яке залежність може надавати йому нестійкий, випадковий характер лише від крайніх значеньознаки. Розмах варіації не дає жодної інформації про особливості досліджуваних сукупностей і не дозволяє оцінити рівень типовості отриманих середніх величин. Область застосування цього показника обмежена досить однорідними сукупностями, точніше, характеризує варіацію ознаки показник, що ґрунтується на обліку мінливості всіх значень ознаки.

Для характеристики варіації ознаки необхідно узагальнити відхилення всіх значень від будь-якої типової для вивчається сукупності величини. Такі показники

варіації, як середнє лінійне відхилення, дисперсія та середнє квадратичне відхилення, засновані на розгляді відхилень значень ознаки окремих одиниць сукупності від середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної:

Абсолютне значення(модуль) відхилення варіанта від середньої арифметичної; f-частота.

Перша формула застосовується, якщо кожен із варіантів зустрічається в сукупності лише один раз, а друга - у рядах із нерівними частотами.

Існує інший спосіб усереднення відхилень варіантів від середньої арифметичної. Цей дуже поширений у статистиці спосіб зводиться до розрахунку квадратів відхилень варіантів від середньої величини зі своїм наступним усередненням. При цьому ми отримуємо новий показник варіації – дисперсію.

Дисперсія(σ 2) - середня з квадратів відхилень варіантів значень ознаки від їхньої середньої величини:

Друга формула застосовується за наявності варіантів своїх ваг (або частот варіаційного ряду).

В економіко-статистичному аналізі варіацію ознаки прийнято оцінювати найчастіше за допомогою середнього відхилення квадратичного. Середнє квадратичне відхилення(σ) являє собою квадратний корінь з дисперсії:

Середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення показують, наскільки в середньому коливається величина ознаки у одиниць досліджуваної сукупності, і виражаються в тих самих одиницях виміру, що і варіанти.

У статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіації різних ознак. Наприклад, великий інтереспредставляє порівняння варіацій віку персоналу та його кваліфікації, стажу роботи та розміру заробітної плати тощо. подібних зіставленьпоказники абсолютної коливання ознак - середнє лінійне та середнє квадричне відхилення - не придатні. Не можна, насправді, порівнювати коливання стажу роботи, що виражається в роках, з коливанням заробітної плати, що виражається в рублях і копійках.

При порівнянні мінливості різних ознак у сукупності зручно застосовувати відносні показники варіації. Ці показники обчислюються як відношення абсолютних показниківдо середньої арифметичної (або медіани). Використовуючи як абсолютний показник варіації розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, отримують відносні показники коливання:

Найчастіше застосовуваний показник відносної коливання, що характеризує однорідність сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації вбирається у 33 % для розподілів, близьких до нормального.

Середня величина є найбільш цінною з аналітичної точки зору та універсальною формою вираження статистичних показників. Найбільш поширена середня - середня арифметична - має ряд математичних властивостейякі можуть бути використані при її розрахунку. У той же час при обчисленні конкретної середньої завжди доцільно спиратися на її логічну формулу, що є відношенням обсягу ознаки до обсягу сукупності. Для кожної середньої існує лише одне справжнє вихідне співвідношення, для реалізації якого, залежно від наявних даних, можуть знадобитися різні формисередніх. Однак у всіх випадках, коли характер середньої величини має на увазі наявність ваг, не можна замість зважених середніх формул використовувати їх незважені формули.

Середня величина – це найбільш характерне для сукупності значення ознаки та розподілений рівними частками між одиницями сукупності розмір ознаки сукупності.

Ознака, для якої розраховується середня величина, має назву середній .

Середня величина - показник, що розраховується зіставленням абсолютних чи відносних величин. Середню величину позначають

Середня величина відображає вплив всіх факторів, що впливають на досліджуване явище, і є для них рівнодією. Іншими словами, погашаючи індивідуальні відхилення та усуваючи вплив випадків, середня величина, відображаючи загальну міру результатів цієї дії, виступає загальною закономірністюдосліджуваного явища.

Умови застосування середніх величин:

Ø однорідність досліджуваної сукупності. Якщо деякі схильні до впливу випадкового фактора елементи сукупності мають значно від інших величини досліджуваного ознаки, то дані елементи вплинуть на розмір середньої для даної сукупності. У цьому випадку середня не виражатиме найбільш типову для сукупності величину ознаки. Якщо досліджуване явище неоднорідне, потрібно його розбивка містять однорідні елементи групи. У цьому випадку розраховують середні за групами - групові середні, що виражають найбільш характерну величину явища в кожній групі, а потім розраховується загальна середня величина для всіх елементів, що характеризує явище в цілому. Вона розраховується як середня з групових середніх, зважених за кількістю включених у кожну групу елементів сукупності;

Ø достатню кількість одиниць у сукупності;

Ø максимальне та мінімальне значенняознаки у досліджуваній сукупності.

Середня величина (показник)– це узагальнена кількісна характеристика ознаки у систематичній сукупності у конкретних умовах місця та часу.

У статистиці застосовується наступні форми(види) середніх величин, званих статечними та структурними:

Ø середня арифметична(проста та зважена);

проста

Найбільш поширеною формою статистичних показників є середня величина, що є узагальненою кількісну характеристикуознаки у статистичній сукупності у конкретних умовах місця та часу. Показник у формі середньої величини виражає типові рисиі дає узагальнюючу характеристику однотипних явищ по одному з ознак, що варіюють. Широке застосування середніх пояснюється тим, що вони мають низку позитивних властивостей, які роблять їх незамінним інструментом аналізу явищ та процесів економіки.

Найважливіша властивістьсередньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації переважно визначається фінансовими результатами її діяльності. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середньої відображати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостейокремих одиниць.

Типовість середньої безпосередньо пов'язана з однорідністю сукупності. Середня величина лише тоді відображатиме типовий рівень ознаки, коли вона розрахована за якісно однорідною сукупністю. Так, якщо ми розрахуємо середній курс з акцій усіх підприємств, що реалізуються на цей день на даній біржі, то отримаємо фіктивну середню. Це пояснюватиметься тим, що сукупність, що використовується для розрахунку, є вкрай неоднорідною. У цьому й подібних випадках метод середніх використовується у поєднанні з методом угруповань: якщо сукупність неоднорідна – загальні середні мають бути замінені чи доповнені груповими середніми, тобто. середніми, розрахованими по якісно однорідним групам.

Теоретично середніх використовуються такі умовні позначення.

1. Ознака, яким визначається середнє, називається середньою ознакоюі позначається.

2.Величина середньої ознаки у кожної одиниці сукупності називається його індивідуальним значеннямі позначається.

3.Повторюваність індивідуальних значень називається частотою та позначається f .

4. Сумарне значення ознаки позначається W .

Кожен кількісна ознакастатистичної сукупності має єдине середнє значення. Воно може бути розраховане у різний спосібв залежності від форми вираження ознаки, що осредняется (абсолютної, відносної і середньої) і наявної інформації. Залежно від ступеня k виходять різні види середніх.

1.Середня арифметична проста - Найбільш поширений вид середньої

k =1

2.Середня арифметична зважена – використовується в тому випадку, якщо відомі індивідуальні значення ознаки та їх частоти f . Кожен варіант «зважують» за частотою, тобто. множать її. Частоти f при цьому називають статистичними вагами або просто вагами середньої .

приклад.За даними розрахуємо середній стаж роботи співробітників

3.Середня гармонійна проста використовується в тому випадку, якщо необхідно, щоб при опосередкуванні залишалася незмінною сума величин, обернених індивідуальним значенням ознаки.

де – сума обернених значень ознаки.

приклад. Автомобіль із вантажем від підприємства до складу їхав зі швидкістю 40 км/год, а назад порожняком зі швидкістю 60 км/год. Яка середня швидкість автомобіля за обидві поїздки?

Нехай відстань перевезення становила S км. Жодної ролі при розрахунку середньої швидкості S не грає. При заміні індивідуальних значень швидкості на середню величину необхідно, щоб незмінною величиною залишався час, витрачений на обидві поїздки, інакше середня швидкість може виявитися будь-якою від швидкості черепахи до швидкості світла. Час поїздок дорівнює. Отже,

Скоротивши всі члени рівності S, отримаємо тобто. виконується умова гармонійної середньої. Підставляючи та , отримуємо

Арифметична середня 50 км/год неправильна, тому що. призводить до іншого часу руху, ніж насправді. Якщо відстань дорівнює 96 км, то реальний часрухи складе

У статистичній практиці найчастіше застосовується середня гармонійна зважена.

4.Середня гармонійна зважена використовується, якщо відомі індивідуальні значення ознаки та сумарні значенняознаки.

приклад

5.Середня агрегатна використовується, якщо відомі сумарні значення ознаки та їх частоти.

приклад. Визначити середню вартістьпродукції, якщо відомо

6.Середня квадратична застосовується для розрахунку середньоквадратичного відхилення, що є показником варіації, а також у техніці

k =2

Середня зважена квадратична

7.Середня геометрична використовується для розрахунку середнього темпу зростання за ланцюговою схемою k= 0

При k= 1 отримуємо арифметичну середню, при k= 2 - квадратичну, при k= 3 - кубічну, при k= 0 - геометричну, при k= -1 – гармонійну середню. Чим вищий показник ступеня k , тим більше значеннясереднього розміру. Якщо всі вихідні значення ознаки рівні, то всі середні рівні const. Отже, маємо таке співвідношення, яке називається правилом мажорантності середніх :

Користуючись цим правилом, статистика може залежно від настрою та бажання її «знавця» або «втопити», або «виручити» студента, який отримав сесію оцінки 2 і 5. Який його середній бал?

Якщо судити з середньої арифметичної, то середній бал дорівнює 3,5. Але якщо декан бажає «утопити» нещасного і обчислить середню гармонійну, то студент залишається в середньому двієчником, який не дотягнув до трійки.

Однак студентська рада може заперечити декану та уявити середню кубічну величину . Студент уже виглядає «хорошистом» і навіть претендує на стипендію.

Структурні середні – мода та медіана – на відміну від статечних середніх, які значною мірою є абстрактною характеристикою сукупності, виступають як конкретні величини, що збігаються з цілком певними варіантамисукупності. Це робить їх незамінними під час вирішення практичних завдань.

Мода- Це найбільш часто зустрічається значення ознаки одиниць даної сукупності. Для дискретного рядурозподіл мода визначається без розрахунку, шляхом перегляду стовпця частот, і відповідає значенню ознаки з найбільшою частотою. З прикладу №1 найбільша частота f=20, що відповідає 4 тарифному розряду, отже M o =4.

Для інтервального ряду розподілу мода визначається за формулою

де – нижня межа модального інтервалу;

– величина модального інтервалу;

- Частоти інтервалу відповідно попереднього модального, модального і наступного за модальним.

Модальному відповідає інтервал із найбільшою частотою.

Розрахуємо моду для прикладу № 2. Модальному відповідає інтервал 130-140. Для нього , = 140-130=10, =20,

Найчастіше норма виробітку працівників становить 134%, найчастіше план перевиконується на 34%.

Медіана- Значення ознаки, що лежить в середині ранжованого ряду і ділить його навпіл. Ранжований ряд – ряд, розташований у порядку зростання чи спадання ознаки. Для дискретних варіаційних рядівмедіана не розраховується, а визначається шляхом перегляду низки. Наприклад, для п'яти працівників денна норма виробітку деталей становить відповідно 10, 12, 15, 16 і 18 шт. Ме є вироблення третього працівника і дорівнює 15 деталей. При парній кількості значень ознаки за медіану приймається напівсума значень ознаки, що займають середнє значення. Н-р, при 10 значеннях напівсуми 5-го і 6-го значень ознаки.

Для інтервального ряду медіана визначається за формулою

де – нижня межа медіанного інтервалу;

– величина медіанного інтервалу;

– напівсума обсягу варіаційного ряду;

– накопичена частота інтервалу, що передує медіанному;

– частота медіанного інтервалу.

Медіанним називається інтервал, який відповідає половині обсягу ряду. Для того, знайти медіанний інтервал, необхідно накопичувати частоти до тих пір, поки не буде знайдено інтервал, що містить половину обсягу ряду.

Розрахуємо медіану приклад № 2. Медіанний інтервал 120-130, т.к. відповідна йому накопичена частота містить половину обсягу ряду. Для нього

– Половина працівників виконує норму виробітку менше, ніж 129%, а інша половина робітників виконує норму виробітку більше, ніж 129%.

Середня величина відбиває те загальне, що притаманно всіх одиниць досліджуваної сукупності. У той самий час вона врівноважує вплив всіх чинників, які діють величину ознаки окремих одиниць сукупності, хіба що взаємно погашаючи їх.

Однак для того щоб середня величина відображала найбільш типове значення ознаки, вона повинна визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з однорідних одиниць. Ця вимога є основною умовою науково обґрунтованого застосування середніх величин і передбачає тісний зв'язок методу середніх і методу угруповань в аналізі соціально-економічних явищ.

Середня величина – це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, у розрахунку на одиницю однорідної сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Середня, розрахована за сукупністю загалом, називається загальною середньою, середні, обчислені кожної групи,– груповими середніми. Загальна середня відбиває загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику обсягу явища, що у конкретних умовах цієї групи.

У статистиці використовують різні види середніх величин, які поділяються на два великі класи:

1) статечні середні (середня гармонійна, середня геометрична, середня арифметична, середня квадратична, середня кубічна);

2) структурні середні (мода, медіана).

Найпоширеніший вид середньої – середня арифметична. Формула простої середньої арифметичної:

Середня арифметична зважена:

де x i-варіанти ознаки, що осредняется; f - Частота, яка показує, скільки разів зустрічається i-е значення в сукупності.

Формула простої середньої гармонійної:

де х i- Окремі варіанти; n - число варіантів ознаки, що осредняється. Середня геометрична проста розраховується за формулою:

Формула середньої геометричної виваженої:

Формула середньої квадратичної:

Формула середньої квадратичної зваженої:

Формула середньої кубічної:

Середня кубічна зважена:

3. Структурні середні: мода та медіана

Мода - величина ознаки, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. Стосовно варіаційного ряду модою є значення ранжованого ряду, що найбільш часто зустрічається. Вона показує розмір ознаки, властивий значної частини сукупності, і визначається за такою формулою:

h – величина інтервалу;

f m- Частота інтервалу;

f m-1- Частота попереднього інтервалу;

f m+1- Частота наступного інтервалу.

Медіаною називається варіант, розташований у центрі ранжованого ряду. Медіана ділить ряд на дві рівні частини таким чином, що з обох боків від неї знаходиться однакова кількість одиниць сукупності. При цьому в однієї половини одиниць сукупності значення ознаки, що варіює, менше медіани, в іншої - більше.

Описовий характер медіани проявляється в тому, що вона характеризує кількісну межу значень варіюючої ознаки, якими має половина одиниць сукупності.

де х0 - нижня межа інтервалу;

h – величина інтервалу;

f m- Частота інтервалу;

f - Число членів ряду;

Sm- 1 - сума накопичених членів низки, що передують цьому.

Поряд з медіаною для більш повної характеристики структури сукупності, що вивчається, застосовують і інші значення варіантів, що займають в ранжированому ряду цілком певне положення. До них відносяться квартілі та децилі. Квартілі ділять ряд за сумою частот чотирма рівні частини, а децили – на десять рівних частин. Квартилів налічується три, а децилі – дев'ять.

Медіана і мода на відміну від середньої арифметичної не погашають індивідуальних відмінностей у значеннях варіює ознаки і тому є додатковими і дуже важливими характеристиками статистичної сукупності. Насправді вони часто використовуються замість середньої чи поруч із нею. Особливо доцільно обчислювати медіану і моду в тих випадках, коли досліджувана сукупність містить кілька одиниць з дуже великим або дуже малим значенням ознаки, що варіює.

Відносні величини структури – це відношення між розмірами частини та цілого. Вони характеризують склад, структуру сукупності. Форма подання - питома вагачи відсотки. Сума відносних величин структури дорівнює 1 чи 100%. Різницю між відповідними частками двох сукупностей називають відсотковим пунктом.

Абсолютними величинами у статистиці називаються чисельності одиниць та суми за групами та загалом за сукупністю, які є безпосереднім результатом зведення та угруповання даних.

Абсолютні величини – це іменовані числа, тобто вони мають свої одиниці виміру (наприклад, штуки, тонни, гривні). У складі абсолютних показників виділяють показники чисельності сукупності (чисельність підприємств) та обсягу ознак (продукція, прибуток). Розрізняють три групи вимірювачів ознак натуральні, трудові та вартісні.

Натуральні вимірники відображають властиві явищам Фізичні властивості(Заходи ваги, довжини, часу). Іноді використовують комбіновані одиниці виміру, які є добутком величин різної розмірності (виробництво електроенергії в кВт-годинах).

Не завжди абсолютні величини можна отримати безпосередньо підсумовуючи значення ознаки в окремих одиниць. У цьому випадку окремі доданки, що входять в абсолютну величину, призводять до сумірного виразу. Для цього часто використовують умовно-натуральні вимірники. Так, наприклад, при розрахунку кількості спожитого палива різні його види відповідно до їх теплотворної здатності виражають в одиницях умовного палива, теплотворна здатність якого 7000 кал/кг.

Трудові вимірювачі (людина-година, людино-зміна) використовуються при вимірі витрат праці на виробництво продукції або на виконання окремих робітдля визначення продуктивності праці, а також для вимірювання трудових ресурсів.

вартісні вимірювачі дають можливість узагальнити та зіставити різноманітні явища. Їх використовують щодо таких найважливіших показників, як товарообіг, прибуток, капітальні вкладення

Найчастіше абсолютна величина показника розраховується за певним правилом на підставі інших показників. Наприклад, валовий прибуток розраховується як різниця між валовим доходом та валовими витратами.

Багато абсолютних величин подаються у формі балансу, який передбачає розрахунок показника за двома розділами: за джерелами формування (прибуткова частина балансу) та за напрямами використання (витратна частина). Можливе подання абсолютних показників та у динамічній балансовій формі. Наприклад, приріст кількості одиниць обладнання на підприємстві за рік можна представити як різницю кількості одиниць обладнання на кінець і початок року, а можна - як різницю між числом одиниць нововведеного та вибулого обладнання.

Розділ 4.3. Відносні величини.

Відносні величини відображають кількісні відносинисоціально-економічних явищ Алгебраїчна формаїх - це окреме від поділу двох однойменних чи різноіменних величин. Знаменник відносини сприймається як основа порівняння чи основа відносної величини.

Базою порівняння може бути 100, 1000, 10 000 чи 100 000 одиниць. Тоді відносна величина буде виражена відповідно у відсотках (%), проміле (%о), продециміллі (%оо), просантиміллі (%ооо).

Застосовують різні за змістом та природою відносні величини.

Відношення між різноіменними абсолютними величинамидає відносну величинуінтенсивності . Це іменована величина, в якій поєднуються одиниці виміру чисельника та знаменника. Наприклад, виробництво продукції душу населення. Відносні величини інтенсивності характеризують ступінь поширення чи розвитку явища у певному середовищі. До їх складу також входять демографічні коефіцієнти (народжуваності, смертності, інтенсивності міграційних потоків), які обчислюються відношенням числа подій (смерть, народження) за певний проміжок часу до середньої чисельностінаселення за той самий період.

Порівняння однойменних величин дозволяє виділити наступні видивідносних величин: структури, координації, динаміки, планового завдання, виконання плану, порівняння характеристик об'єктів.

Відносні величини координації - це співвідношення між окремими частинами цілого чи відношення окремих частин сукупності до однієї з них, прийнятої за основу порівняння. Наприклад, кількість міських жителів, що припадають на 100 сільських; кількість жінок, що припадають на 100 чоловіків. Ці величини виражаються у відсотках, проміле або кратних відносинах (наприклад, на 100 чоловіків припадає 114 жінок).

Для оцінки інтенсивності розвитку використовують відносну величину динаміки, яка обчислюється відношенням рівнів явища, що вивчається, за два періоди.

Відносні величини порівняння обчислюються як відносини однойменних показників, що характеризують різні об'єкти чи території та мають однакову часову визначеність.

Деякі процеси плануються й у показників, що їх відбивають, встановлюють планові завдання. Шляхом порівняння планових та фактичних значень показників обчислюють відносні величини: планового завдання та виконання плану.

Якщо визначити фактичний рівень поточного періоду y1, базового y0та плановий рівень yпл, то відносну величину:

Кд = y1 / y0,

2) планового завдання

Кпз = yпл / y0,

3) виконання плану

Квп = y1 / yпл .

Розділ 4.4. Види та форми середніх величин.

Середньою величиноюназивається статистичний показник, що дає узагальнену характеристику варіюючої ознаки однорідних одиниць сукупності в конкретних умовах місця та часу. Величина середньої дає характеристику всієї сукупності та характеризує її щодо однієї, даної ознаки.

Середня величинавідбиває те загальне, що притаманне всім одиницям досліджуваної сукупності.

Так, наприклад, середня заробітня платадає узагальнюючу кількісну характеристику стану оплати праці аналізованої сукупності працівників.

Сутність середньоїполягає в тому, що в ній взаємопогашуються випадкові відхиленнязначень ознаки та враховуються зміни, спричинені основним фактором.

Статистична обробкаметодом середніх величин полягає у заміні індивідуальних значень варіюючого ознаки деякою врівноваженою середньою величиною Х.

Наприклад, індивідуальний виробіток у 5 операційістів комерційного банку за день склав 136, 140, 154 і 162 операції. Щоб отримати середню кількість операцій за день, виконаних одним операційним, необхідно скласти ці індивідуальні показники та отриману суму розділити на кількість операційістів:

Як видно з наведеного прикладу, середня кількість операцій не збігається з жодним з індивідуальних, оскільки жоден операційіст не зробив 150 операцій. Але якщо ми уявімо, що кожен операційіст зробив по 150 операцій, то їх Загальна сумане зміниться, а також дорівнює 750. Таким чином, ми дійшли основної властивості середніх величин: сума індивідуальних значень ознаки дорівнює сумі середніх величин.

Ця властивість ще раз підкреслює, що середня величина є узагальнюючою характеристикою всієї статистичної сукупності.

Середні величини поділяються на два великі класи:

Ступінні середні:

Арифметична

Гармонійна

Геометрична

Квадратична

Структурні середні:

Мода

Медіана

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична:

Середня арифметична проста

Середня арифметична зважена

Середня арифметична для інтервального ряду.

Проста середньоарифметична величинаявляє собою середнє доданок, щодо якого загальний обсяг даної ознаки в сукупності даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану.

Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою.