Проходження частки крізь область, до якої, згідно із законами класичної механіки, вона не може проникнути, можна пояснити співвідношенням невизначеностей. Невизначеність імпульсу Арна відрізку Ах =становить Ар > -.Пов'язана з цим розкидом у значеннях імпульсу кінети-

302

Чеська енергія може виявитися

достатньою для того, щоб повна

енергія частки виявилася більш потенційною.

Основи теорії тунельних переходів закладені в роботах Л. І. Мандельштаму

Тунельне проходження крізь потенційний бар'єр лежить в основі багатьох явищ фізики твердого тіла (наприклад, явища в контактному шарі на межі двох напівпровідників), атомної та ядерної фізики (наприклад, розпад, протікання термоядерних реакцій).

§ 222. Лінійний гармонійний осцилятор

У квантовій механіці

Лінійний гармонічний осцилятор- система, що здійснює одновимірний рух під дією квазі-пружної сили, є моделлю, що використовується в багатьох завданнях класичної та квантової теорії (див. § 142). Пружинний, фізичний та математичний маятники – приклади класичних гармонійних осциляторів.

Потенційна енергія гармонійного осцилятора [див. (141.5)] дорівнює

Де – власна частота коливань осцилятора; т -маса частки.

Залежність (222.1) має вигляд параболи (рис. 303), тобто. «потенційна яма» в даному випадку є параболічною.

Амплітуда малих коливань класичного осцилятора визначається його повною енергією Е(Див. рис. 17).

дингера, що враховує вираз (222.1) для потенційної енергії. Тоді стаціонарні стани квантового осцилятора визначаються рівнянням Шредінгера виду

= 0, (222.2)

де Е -повна енергія осцилятора. Теоретично диференціальних урав-

ній доводиться, що рівняння (222.2) вирішується тільки при власних значеннях енергії

(222.3)

Формула (222.3) показує, що енергія квантового осцилятора може

мати лише дискретні значення,тобто. квантується.Енергія обмежена знизу відмінним від нуля, як і для прямокутної «ями» з нескінченно високими «стінками» (див. § 220), мінімальним значенням енергії = Су-

існування мінімальної енергії - вона називається енергією нульових коливань - є типовою для квантових систем і є прямим наслідком співвідношення невизначеностей.

Наявність нульових коливань означає, що частка не може перебувати на дні «потенційної ями» (незалежно від форми ями). Насправді, «падіння на дно ями» пов'язане зі зверненням в нуль імпульсу частинки, а водночас і його невизначеності. Тоді невизначеність координати стає як завгодно великою, що суперечить, у свою чергу, перебування частки в

"Потенційній ямі".

Висновок про наявність енергії нульових коливань квантового осцилятора суперечить висновкам класичної теорії, згідно з якою найменша енергія, яку може мати осцилятор, дорівнює нулю (відповідає частині, що лежить у положенні рівноваги). Наприклад, згідно з висновками класичної фізики при Т= 0 енергія коливального руху атомів кристала мала б перетворюватися на нуль. Отже, має зникати і розсіювання світла, зумовлене коливаннями атомів. Однак експеримент показує, що інтенсивність розсіювання світла при зниженні температури не дорівнює нулю, а прагне деякого граничного значення, що вказує на те, що при Т 0 коливання атомів у кристалі не припиняються. Це є підтвердженням наявності нульових коливань.

З формули (222.3) також випливає, що рівні енергії лінійного гармонійного осцилятора розташовані на однакових відстанях один від одного (див. рис. 303), а саме відстань між сусідніми енергетичними рівнями дорівнює мінімальне значення енергії =

Суворе вирішення задачі про квантовий осцилятор призводить ще до одного значного відмінності від класичного

Вид хвильового рівняння фізичної системи визначається її гамільтоніаном, який набуває в силу цього фундаментального значення у всьому математичному апараті квантової механіки.

Вид гамільтоніана вільної частки встановлюється вже загальними вимогами, пов'язаними з однорідністю та ізотропією простору та принципом відносності Галілея. У класичній механіці ці вимоги призводять до квадратичної залежності енергії частки від її імпульсу: де стала називається масою частинки (див. I, § 4). У квантовій механіці самі вимоги призводять до такому ж співвідношенню для власних значень енергії та імпульсу - одночасно вимірних збережених (для вільної частки) величин.

Але для того щоб співвідношення мало місце для всіх власних значень енергії та імпульсу, воно має бути справедливим і для їхніх операторів:

Підставивши сюди (15,2), отримаємо гамільтоніан вільно рухомої частки у вигляді

де – оператор Лапласа.

Гамільтоніан системи невзаємодіючих частинок дорівнює сумі гамільтоніанів кожної з них:

де індекс нумерує частинки; - оператор Лапласа, у якому диференціювання провадиться за координатами частки.

У класичній (нерелятивістській) механіці взаємодія частинок описується адитивним членом у функції Гамільтона - потенційною енергією взаємодії функцією координат частинок.

Додаванням такої ж функції до гамільтоніану системи описується і взаємодія частинок квантової механіки:

перший член можна як оператор кінетичної енергії, а другий - як оператор потенційної енергії. Зокрема, гамільтоніан для однієї частки, що знаходиться у зовнішньому полі,

де U(х, у, z) – потенційна енергія частинки у зовнішньому полі.

Підстановка виразів (17,2)-(17,5) до загального рівняння (8,1) дає хвильові рівняння для відповідних систем. Випишемо тут хвильове рівняння для частки у зовнішньому полі

Рівняння ж (10,2), що визначає стаціонарні стани, набуває вигляду

Рівняння (17,6), (17,7) були встановлені Шредінгером в 1926 і називаються рівняннями Шредінгера.

Для вільної частки рівняння (17,7) має вигляд

Це рівняння має кінцеві у всьому просторі рішення за будь-якого позитивного значення енергії Е. Для станів з певними напрямками руху цими рішеннями є власні функції оператора імпульсу, причому . Повні (залежні від часу) хвильові функції таких стаціонарних станів мають вигляд

(17,9)

Кожна така функція - плоска хвиля - описує стан, в якому частка володіє певними енергією Е та імпульсом. Частота цієї хвилі дорівнює, а її хвильовий вектор відповідну довжину хвилі називають дебройлівською довжиною хвилі частинки.

Енергетичний спектр вільно рухомої частки виявляється, таким чином, безперервним, простягаючись від нуля до Кожне з цих власних значень (за винятком тільки значення вироджене, причому виродження - нескінченної кратності. Дійсно, кожному відмінному від нуля значення Е відповідає нескінченна безліч власних функцій (1) 9), що відрізняються напрямками вектора при однаковій абсолютній величині.

Простежимо, яким чином відбувається у рівнянні Шредінгера граничний перехід до класичної механіки, розглядаючи для простоти лише одну частинку у зовнішньому полі. Підставивши в рівняння Шредінгера (17,6) граничний вираз (6,1) хвильової функції отримаємо, здійснивши диференціювання,

У цьому рівнянні є чисто речові та чисто уявні члени (нагадаємо, що S і а речові); прирівнюючи ті та інші окремо нулю, отримаємо два рівняння:

Нехтуючи в першому з цих рівнянь членом, що містить отримаємо

(17,10)

т. е., як і слід, класичне рівняння Гамільтона - Якобі для дії S частки. Ми бачимо, до речі, що при класична механіка справедлива з точністю до величин першого (а не нульового) порядку включно.

Друге з отриманих рівнянь після множення на 2а може бути переписане як

Це рівняння має наочний фізичний зміст: є густина ймовірності знаходження частки у тому чи іншому місці простору є класична швидкість v частки. Тому рівняння (17,11) не що інше, як рівняння безперервності, що показує, що щільність ймовірності «переміщається» за законами класичної механіки з класичною швидкістю v у кожній точці.

Завдання

Знайти закон перетворення хвильової функції під час перетворення Галілея.

Рішення. Зробимо перетворення над хвильовою функцією вільного руху частки (плоською хвилею). Оскільки будь-яка функція може бути розкладена плоскими хвилями, то цим буде знайдено закон перетворення і для довільної хвильової функції.

Плоскі хвилі в системах відліку К і К" (К" рухається відносно До зі швидкістю V):

причому а імпульси та енергії частки в обох системах пов'язані один з одним формулами

(див. I, § 8), Підставивши ці вирази в отримаємо

У такому вигляді ця формула вже не містить величин, що характеризують вільний рух частинки, і встановлює загальний закон, що шукає перетворення хвильової функції довільного стану частинки. Для системи частинок у показнику експоненти (1) повинна стояти сума по частках.

Загальне рівняння Шредінгера. Шредінгера для стаціонарних станів

Статистичне тлумачення хвиль де Бройля (див. § 216) і співвідношення невизначеностей Гейзенберга (див. 5 215) привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, що описує рух мікрочастинок у різних силових полях, має бути рівняння, з якого випливали б спостерігаються на досвід хвильові властивості частинок. Основне рівняння має бути рівнянням щодо хвильової функції Ψ (х, у, z, t), оскільки саме вона, чи, точніше, величина |Ψ| 2 визначає ймовірність перебування частки в момент часу t в обсязі dV, тобто в області з координатами x і x + dx, y і y + dy, z і z + dz. Оскільки шукане рівняння має враховувати хвильові властивості частинок, воно має бути хвильовим рівнянням, подібно до рівняння, що описує електромагнітні хвилі.

Основне рівняння нерелятивістської квантової механіки сформульовано 1926 р. е. Шредінгером. Рівняння Шредінгера, як і всі основні рівняння фізики (наприклад, рівняння Ньютона в класичній механіці та рівняння Максвелла для електромагнітного поля), не виводиться, а постулюється. Правильність цього рівняння підтверджується згодою з досвідом одержуваних з його допомогою результатів, що, своєю чергою, надає йому характеру закону природи. Рівняння Шредінгера має вигляд

де h=h/(2π), m-маса частинки, ∆-оператор Лапласа ( ),

i - уявна одиниця, U (х, у, z, t) - потенційна функція частки у силовому полі, в якому вона рухається, Ψ (х, у, z, t ) - потрібна хвильова функція частинки.

Рівняння (217.1) справедливе для будь-якої частинки (зі спином, рівним 0; див. § 225), що рухається з малою (порівняно зі швидкістю світла) швидкістю, тобто зі швидкістю υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

повинні бути безперервними; 3) функція |Ψ| 2 має бути інтегрована; ця умова у найпростіших випадках зводиться до умови нормування ймовірностей (216.3).

Щоб прийти до рівняння Шредінгера, розглянемо частину, що вільно рухається, якій, згідно ідеї де Бройля, зіставляється плоска хвиля. Для простоти розглянемо одновимірний випадок. Рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується вздовж осі х, має вигляд (див. § 154)

Або в комплексному записі . Отже, плоска хвиля де Бройля має вигляд

(217.2)

(враховано, що = E/h, k=p/h). У квантовій механіці показник експоненти беруть зі знаком мінус, але оскільки фізичне значення має тільки |Ψ| 2 , це (див. (217.2)) несуттєво. Тоді

,

; (217.3)

Використовуючи взаємозв'язок між енергією Е та імпульсом p (E = p 2 /(2m)) та підставляючи вирази (217.3), отримаємо диференціальне рівняння

яке збігається з рівнянням (217.1) для випадку U = 0 (ми розглядали вільну частинку).

Якщо частка рухається в силовому полі, що характеризується потенційною енергією U, то повна енергія Е складається з кінетичної та потенційної енергії. Проводячи аналогічні міркування використовуючи взаємозв'язок між Еі р (для цього випадку р 2 /(2m)=E -U), пасмо до диференціального рівняння, що збігається з (217.1).

Наведені міркування не повинні сприйматися як висновок рівняння Шредінгера. Вони лише пояснюють, як можна дійти цього рівняння. Доказом правильності рівняння Шредінгера є згода з досвідом висновків, до яких воно призводить.

Рівняння (217.1) є загальним рівнянням Шредінгера. Його також називають рівнянням Шредінгера, що залежить від часу. Для багатьох фізичних явищ, що відбуваються в мікросвіті, рівняння (217.1) можна спростити, виключивши залежність від часу, іншими словами, знайти рівняння Шредінгера для стаціонарного стану - стан з фіксованими значеннями енергії. Це можливо, якщо силове поле, в якому частка рухається, стаціонарно, тобто функція U = U(х, у, z ) не залежить явно від часу та має сенс потенційної енергії. В даному випадку рішення рівняння Шредінгера може бути представлене у вигляді добутку двох функцій, одна з яких є функція лише координат, інша - лише часу, причому залежність від часу виражається множником

,

де Е - повна енергія частки, постійна у разі стаціонарного поля. Підставляючи (217.4) у (217.1), отримаємо

звідки після розподілу на загальний множник е – i (E/h) t і відповідних перетворень прийдемо до рівняння, що визначає функцію ψ:

(217.5)

Рівняння (217.5) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів.

До цього рівняння як параметр входить повна енергія Е частинки. Теоретично диференціальних рівнянь доводиться, що такі рівняння мають безліч рішень, у тому числі у вигляді накладання граничних умов відбирають рішення, мають фізичний смысл. Для рівняння Шредінгера такими умовами є умови регулярності хвильових функцій: хвильові функції мають бути кінцевими, однозначними і безперервними разом із першими похідними. Таким чином, реальний фізичний сенс мають лише такі рішення, що виражаються регулярними функціями ψ . Але регулярні рішення мають місце не за будь-яких значень параметра Е, а лише за певного їх набору, характерному для даної задачі. Ці значення енергії називаються власними. Рішення ж, які відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення Е можуть утворювати як безперервний, і дискретний ряд. У першому випадку говорять про безперервний, або суцільний, спектр, у другому - про дискретний спектр.

1. Введення

Квантова теорія народилася в 1900 р., коли Макс Планк запропонував теоретичний висновок про співвідношення між температурою тіла і випромінюванням, що випускається цим тілом - висновок, який довгий час вислизав від інших учених, Як і його попередники, Планк припустив, що випромінювання випускають атомні осцилятори, але при цьому вважав, що енергія осциляторів (і, отже, випромінювання, що випускається ними) існує у вигляді невеликих дискретних порцій, які Ейнштейн назвав квантами. Енергія кожного кванта пропорційна частоті випромінювання. Хоча виведена Планком формула викликала загальне захоплення, прийняті ним припущення залишалися незрозумілими, оскільки суперечили класичній фізиці.

У 1905 р. Ейнштейн скористався квантовою теорією пояснення деяких аспектів фотоелектричного ефекту - випромінювання електронів поверхнею металу, яку падає ультрафіолетове випромінювання. Принагідно Ейнштейн відзначив парадокс, що здається: світло, про яке протягом двох століть було відомо, що воно поширюється як безперервні хвилі, за певних обставин може поводитися і як потік частинок.

Приблизно через вісім років Нільс Бор поширив квантову теорію на атом і пояснив частоти хвиль, що випускаються атомами, збудженими в полум'ї або електричному заряді. Ернест Резерфорд показав, що маса атома майже цілком зосереджена в центральному ядрі, що несе позитивний електричний заряд і оточеному на порівняно великих відстанях електронами, що несуть негативний заряд, внаслідок чого атом в цілому електрично нейтральний. Бор припустив, що електрони можуть перебувати тільки на певних дискретних орбітах, відповідних різним енергетичним рівням, і що "перескок" електрона з однієї орбіти на іншу, з меншою енергією, супроводжується випромінюванням фотона, енергія якого дорівнює різниці енергій двох орбіт. Частота, за теорією Планка, пропорційна енергії фотона. Таким чином, модель атома Бора встановила зв'язок між різними лініями спектрів, характерними для випромінювання речовини, що випускає, і атомною структурою. Незважаючи на початковий успіх, модель атома Бора незабаром зажадала модифікацій, щоб позбавитися розбіжностей між теорією та експериментом. Крім того, квантова теорія на тій стадії ще не давала систематичної процедури вирішення багатьох квантових завдань.

Нова істотна особливість квантової теорії виявилася в 1924 р., коли де Бройль висунув радикальну гіпотезу про хвильовий характер матерії: якщо електромагнітні хвилі, наприклад світло, іноді поводяться як частинки (що показав Ейнштейн), то частки, наприклад електрон за певних обставин, можуть поводитися як хвилі. У формулюванні де Бройля частота, що відповідає частинці, пов'язана з її енергією, як у випадку фотона (частки світла), але запропонований де Бройлем математичний вираз був еквівалентним співвідношенням між довжиною хвилі, масою частинки та її швидкістю (імпульсом). Існування електронних хвиль було експериментально доведено у 1927 р. Клінтоном Девіссоном та Лестером Джермером у Сполучених Штатах та Джоном-Паджетом Томсоном в Англії.

Під враженням від коментарів Ейнштейна щодо ідей де Бройля Шредінгер зробив спробу застосувати хвильовий опис електронів до побудови послідовної квантової теорії, не пов'язаної з неадекватною моделлю атома Бора. У певному сенсі він мав намір зблизити квантову теорію з класичною фізикою, яка нагромадила чимало прикладів математичного опису хвиль. Перша спроба, зроблена Шредінгер в 1925 р., закінчилася невдачею.

Швидкості електронів у теорії II Шредінгер були близькі до швидкості світла, що вимагало включення до неї спеціальної теорії відносності Ейнштейна та обліку передбачуваного нею значного збільшення маси електрона за дуже великих швидкостей.

Однією з причин невдачі, що спіткала Шредінгер, було те, що він не врахував наявності специфічної властивості електрона, відомого нині під назвою спина (обертання електрона навколо власної осі на кшталт дзиги), про яке в той час було мало відомо.

Наступну спробу Шредінгер зробив у 1926 р. Швидкості електронів цього разу були обрані їм настільки малими, що необхідність залучення теорії відносності відпадала сама собою.

Друга спроба увінчалася висновком хвильового рівняння Шредінгера, що дає математичний опис матерії в термінах хвильової функції. Шредінгер назвав свою теорію хвильовою механікою. Рішення хвильового рівняння перебували у злагоді з експериментальними спостереженнями і надали глибоке впливом геть подальше розвиток квантової теорії.

Незадовго до того Вернер Гейзенберг, Макс Борн і Паскуаль Йордан опублікували інший варіант квантової теорії, який отримав назву матричної механіки, яка описувала квантові явища за допомогою таблиць величин, що спостерігаються. Ці таблиці є певним чином упорядковані математичні множини, звані матрицями, з яких за відомими правилами можна проводити різні математичні операції. Матрична механіка також дозволяла досягти згоди з експериментальними даними, що спостерігаються, але на відміну від хвильової механіки не містила жодних конкретних посилань на просторові координати або час. Гейзенберг особливо наполягав на відмові будь-яких простих наочних уявлень чи моделей на користь лише таких властивостей, які можна визначити з експерименту.

Шредінгер показав, що хвильова механіка і матрична механіка математично еквівалентні. Відомі нині під загальною назвою квантової механіки ці дві теорії дали довгоочікувану загальну основу опису квантових явищ. Багато фізиків віддавали перевагу хвильовій механіці, оскільки її математичний апарат був їм більш знайомий, а її поняття здавалися більш "фізичними"; операції ж над матрицями – більш громіздкими.

Функція Ψ. Нормування ймовірності.

Виявлення хвильових властивостей мікрочастинок свідчило у тому, що класична механіка неспроможна дати правильного описи поведінки подібних частинок. Виникла необхідність створити механіку мікрочастинок, яка б враховувала також і їх хвильові властивості. Нова механіка, створена Шредінгером, Гайзенбергом, Діраком та іншими, отримала назву хвильової чи квантової механіки.

Плоска хвиля де Бройля

є дуже спеціальним хвильовим утворенням, що відповідає вільному рівномірному руху частинки у певному напрямку та з певним імпульсом. Але частка, навіть у вільному просторі і особливо у силових полях, може здійснювати й інші рухи, що описуються складнішими хвильовими функціями. У цих випадках повний опис стану частинки в квантовій механіці дається не плоскою хвилею де Бройля, а якоюсь складнішою комплексною функцією

Через хвильову функцію визначається відносна ймовірність виявлення частки у різних місцях простору. На цій стадії, коли йдеться тільки про відносини ймовірностей, хвильова функція принципово визначена з точністю до постійного постійного множника. Якщо в усіх точках простору хвильову функцію помножити на те саме постійне (взагалі кажучи, комплексне) число, відмінне від нуля, то вийде нова хвильова функція, що описує в точності той же стан. Не має сенсу говорити, що Ψ дорівнює нулю у всіх точках простору, бо така «хвильова функція» ніколи не дозволяє укласти про відносну ймовірність виявлення частки у різних місцях простору. Але невизначеність у визначенні Ψ можна значно звузити, якщо відносної ймовірності перейти до абсолютної. Розпорядимося невизначеним множником функції Ψ так, щоб величина |Ψ|2dV давала абсолютну ймовірність виявлення частки в елементі обсягу простору dV. Тоді |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* - комплексно пов'язана з Ψ функція) матиме сенс густини ймовірності, яку слід очікувати при спробі виявлення частки у просторі. При цьому буде визначена все ще з точністю до довільного постійного комплексного множника, модуль якого, однак, дорівнює одиниці. При такому визначенні має бути виконана умова нормування:

де інтеграл береться по всьому безкінечному простору. Воно означає, що у всьому просторі частка буде виявлена ​​з достовірністю. Якщо інтеграл від |Ψ|2 береться за певним обсягом V1 – ми обчислюємо можливість перебування частки у просторі обсягу V1.

Нормування (2) може бути неможливим, якщо інтеграл (2) розходиться. Так, наприклад, у разі плоскої хвилі де Бройля, коли ймовірність виявлення частки однакова у всіх точках простору. Але такі випадки слід розглядати як ідеалізацію реальної ситуації, в якій частка не йде на нескінченність, а змушена перебувати в обмеженій області простору. Тоді нормування не викликає труднощів.

Отже, безпосередній фізичний сенс пов'язується не з функцією Ψ, а з її модулем Ψ*Ψ. Чому ж у квантовій теорії оперують з хвильовими функціями Ψ, а не безпосередньо з величинами Ψ*Ψ, що експериментально спостерігаються? Це необхідно для тлумачення хвильових властивостей речовини – інтерференції та дифракції. Тут справа так само, як у будь-якій хвильовій теорії. Вона (у разі у лінійному наближенні) приймає справедливість принципу суперпозиції самих хвильових полів, а чи не їх інтенсивностей і, в такий спосіб, досягає включення до теорії явищ інтерференції і дифракції хвиль. Так і в квантовій механіці приймається як один з основних постулатів принцип суперпозиції хвильових функцій, що полягає в наступному.