Ступінна функція y x p. Ступінні функції, їх властивості та графіки
Урок та презентація на тему: "Ступіньні функції. Властивості. Графіки"
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Інтерактивний посібник для 9–11 класів "Тригонометрія"
Інтерактивний посібник для 10–11 класів "Логарифми"
Ступінні функції, область визначення.
Діти, на минулому уроці ми дізналися, як працювати з числами з раціональним показником ступеня. На цьому уроці ми розглянемо статечні функції та обмежимося нагодою, коли показник ступеня раціональний.Ми розглядатимемо функції виду: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Розглянемо спочатку функції, які мають показник ступеня $\frac(m)(n)>1$.
Нехай нам дано конкретну функцію $y=x^2*5$.
Відповідно до визначення, яке ми дали минулого уроці: якщо $x≥0$, тобто область визначення нашої функції - це промінь $(x)$. Давайте схематично зобразимо наш графік функції.
![](https://i2.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/11-klass/11_stepennie_funkzii_svoistva_graic-4.jpg)
Властивості функції $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Не є ні парною, ні непарною.
3. Зростає на $$,
б) $ (2,10) $,
в) на промені $$.
Рішення.
Хлопці, ви пам'ятаєте, як ми знаходили найбільше та найменше значення функції на відрізку в 10 класі?
Правильно, ми використали похідну. Давайте розв'яжемо наш приклад і повторимо алгоритм пошуку найменшого та найбільшого значення.
1. Знайдемо похідну заданої функції:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8sqrt(x^3)-x^3$.
2. Похідна існує по всій області визначення вихідної функції, тоді критичних точок немає. Знайдемо стаціонарні точки:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$ x ^ 3 (x ^ 3-64) = 0 $.
$x_1=0$ і $x_2=\sqrt(64)=4$.
Заданому відрізку належить лише одне рішення $x_2=4$.
Побудуємо таблицю значень нашої функції на кінцях відрізка та у точці екстремуму:
![](https://i0.wp.com/mathematics-tests.com/images/stories/matematika/11-klass/11_stepennie_funkzii_svoistva_graic-6.jpg)
Відповідь: $ y_ (найм.) = -862,65 $ при $ x = 9 $; $ y_ (Наиб.) = 38,4 $ при $ x = 4 $.
приклад. Розв'язати рівняння: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Рішення. Графік функції $y=x^(\frac(4)(3))$ зростає, а графік функції $у=24-х$ зменшується. Діти, ми з вами знаємо: якщо одна функція зростає, а інша зменшується, то вони перетинаються лише в одній точці, тобто у нас лише одне рішення.
Зауважимо:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Тобто при $х=8$ ми здобули правильну рівність $16=16$, це і є рішення нашого рівняння.
Відповідь: $ х = 8 $.
приклад.
Побудувати графік функції: $ y = (x-3) ^ \ frac (3) (4) + 2 $.
Рішення.
Графік нашої функції виходить із графіка функції $y=x^(\frac(3)(4))$, усуненням його на 3 одиниці вправо і 2 одиниці вгору.
приклад. Скласти рівняння дотичної до прямої $y=x^(-\frac(4)(5))$ у точці $х=1$.
Рішення. Рівняння дотичної визначається відомою нам формулою:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
У нашому випадку $a = 1 $.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Знайдемо похідну:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Обчислимо:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Знайдемо рівняння дотичної:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Відповідь: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Завдання для самостійного вирішення
1. Знайти найбільше та найменше значення функції: $y=x^\frac(4)(3)$ на відрізку:а) $$.
б) $ (4,50) $.
в) на промені $$.
3. Розв'язати рівняння: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Побудувати графік функції: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Скласти рівняння дотичної до прямої $y=x^(-\frac(3)(7))$ у точці $х=1$.
Функції у = ах, у = ax 2 , у = а/х - є приватними видами статечної функції при n = 1, n = 2, n = -1 .
У разі якщо nдробове число p/
qз парним знаменником qта непарним чисельником рто величина може мати два знаки, а у графіка з'являється ще одна частина внизу осі абсцис х, причому вона симетрична у верхній частині.
Бачимо графік двозначної функції у = ±2х 1/2, тобто. представлений параболою з горизонтальною віссю.
Графіки функцій у = хnпри n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Ці графіки проходять через точку (1; 1).
Коли n = -1 отримуємо гіперболу. При n < - 1 графік статечної функції розташовується спочатку вище за гіперболу, тобто. між х = 0і х = 1, а потім нижче (при х > 1). Якщо n> -1 графік проходить навпаки. Негативні значень хта дробові значення nаналогічні для позитивних n.
Усі графіки необмежено наближаються як до осі абсцис х,так і до осі ординат у, не стикаючись з ними. Внаслідок схожості з гіперболою ці графіки називають гіперболами. n -гопорядку.
Наведено довідкові дані щодо показової функції - основні властивості, графіки та формули. Розглянуто такі питання: область визначення, безліч значень, монотонність, зворотна функція, похідна, інтеграл, розкладання в статечний ряд та подання за допомогою комплексних чисел.
Визначення
Показова функція- це узагальнення добутку n чисел, рівних a :
y (n) = a n = a·a·a···a,
на безліч дійсних чисел x :
y (x) = a x.
Тут a – фіксоване дійсне число, яке називають основою показової функції.
Показову функцію з основою a також називають експонентою на підставі a.
Узагальнення виконується в такий спосіб.
При натуральному x = 1, 2, 3,...
, показова функція є твором x множників:
.
При цьому вона має властивості (1.5-8) (), які випливають із правил множення чисел. При нульовому та негативних значеннях цілих чисел , показову функцію визначають за формулами (1.9-10). При дробових значеннях x = m/n раціональних чисел, її визначають за формулою (1.11). Для дійсних , показову функцію визначають як межу послідовності:
,
де - довільна послідовність раціональних чисел, що сходить до x: .
При такому визначенні, показова функція визначена всім , і задовольняє властивостям (1.5-8), як й у натуральних x .
Суворе математичне формулювання визначення показової функції та доказ її властивостей наводиться на сторінці «Визначення та доказ властивостей показової функції».
Властивості показової функції
Показова функція y = a x має наступні властивості на безлічі дійсних чисел () :
(1.1)
визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2)
при a ≠ 1
має безліч значень;
(1.3)
строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4)
при;
при;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:
При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:
Приватні значення
, , , , .
На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
та a = 1/8
. Видно, що за a > 1
Показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a, тим сильніше зростання. При 0
< a < 1
показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим більше сильне спадання.
Зростання, спадання
Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.
y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
Область визначення | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
Область значень | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
Монотонність | монотонно зростає | монотонно зменшується |
Нулі, y = 0 | ні | ні |
Точки перетину з віссю ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
+ ∞ | 0 | |
0 | + ∞ |
Зворотня функція
Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .
Якщо то
.
Якщо то
.
Диференціювання показової функції
Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e , застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.
Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
і формулу з таблиці похідних:
.
Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:
Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну
Тоді
З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.
Похідна показової функції
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >
Приклад диференціювання показової функції
Знайти похідну функції
y = 3 5 x
Рішення
Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді
З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.
Відповідь
Інтеграл
Вирази через комплексні числа
Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1
.
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді
.
Аргумент φ визначено неоднозначно. Загалом
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.
Розкладання в ряд
.
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
1. Ступенева функція, її властивості та графік;
2. Перетворення:
Паралельне перенесення;
Симетрія щодо осей координат;
Симетрія щодо початку координат;
Симетрія щодо прямої y = x;
Розтягування та стиск уздовж осей координат.
3. Показова функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення;
4. Логарифмічна функція, її властивості та графік;
5. Тригонометрична функція, її властивості та графік, аналогічні перетворення (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Функція: y = x\n - її властивості та графік.
Ступенева функція, її властивості та графік
y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/xі т. д. Всі ці функції є окремими випадками статечної функції, тобто функції y = x pде p - задане дійсне число.
Властивості та графік статечної функції суттєво залежить від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значень xі pмає сенс ступінь x p. Перейдемо до такого розгляду різних випадків залежно від
показника ступеня p.
- Показник p = 2n- парне натуральне число.
y = x 2n, де n- натуральне число, має такі властивості:
- область визначення - всі дійсні числа, тобто множина R;
- безліч значень - невід'ємні числа, тобто y більше або 0;
- функція y = x 2nпарна, оскільки x 2n = (-x) 2n
- функція є спадною на проміжку x< 0 та зростаючою на проміжку x > 0.
Графік функції y = x 2nмає такий самий вигляд, як наприклад графік функції y = x 4.
2. Показник p = 2n - 1- непарне натуральне число
У цьому випадку статечна функція y = x 2n-1, де натуральне число, має наступні властивості:
- область визначення - множина R;
- безліч значень - множина R;
- функція y = x 2n-1непарна, оскільки (- x) 2n-1= x 2n-1;
- функція є зростаючою на всій дійсній осі.
Графік функції y = x 2n-1 y = x 3.
3. Показник p = -2n, де n -натуральне число.
У цьому випадку статечна функція y = x -2n = 1/x 2nмає такі властивості:
- множина значень - позитивні числа y>0;
- функція y = 1/х 2nпарна, оскільки 1/(-x) 2n= 1/x 2n;
- функція зростає на проміжку x0.
Графік функції y = 1/х 2nмає такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/х 2.
4. Показник p = -(2n-1), де n- натуральне число.
У цьому випадку статечна функція y = x-(2n-1)має такі властивості:
- область визначення - множина R, крім x = 0;
- безліч значень - множина R, крім y = 0;
- функція y = x-(2n-1)непарна, оскільки (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
- функція є спадною на проміжках x< 0 і x > 0.
Графік функції y = x-(2n-1)має такий самий вигляд, як, наприклад, графік функції y = 1/x 3.