Медіаною називається відрізок, проведений з вершини трикутника на середину протилежної сторони, тобто ділить її точкою перетину навпіл. Крапка, в якій медіана перетинає протилежну вершині, з якої вона виходить, бік, називається основою. Через одну точку, яку називають точкою перетину, проходить кожна медіана трикутника. Формула довжини її може виражатися кількома способами.

Формули для вираження довжини медіани

• Найчастіше в задачах геометрії учням доводиться мати справу з таким відрізком, як медіана трикутника. Формула її довжини виражається через сторони:

де a, b та c - сторони. Причому є стороною, на яку медіана опускається. Таким чином виглядає найпростіша формула. Медіани трикутника іноді потрібно проводити для допоміжних розрахунків. Є й інші формули.

• Якщо при розрахунку відомі дві сторони трикутника і певний кут α, що знаходиться між ними, довжина медіани трикутника, опущеної до третьої сторони, буде виражатися так.

Основні властивості

• Усі медіани мають одну загальну точку перетину O і нею ж діляться щодо два до одного, якщо вести відлік від вершини. Така точка називається центру тяжкості трикутника.
• Медіана поділяє трикутник на два інших площі яких рівні. Такі трикутники називаються рівновеликими.
• Якщо провести всі медіани, то трикутник буде поділено на 6 рівновеликих фігур, які також будуть трикутниками.
• Якщо в трикутнику всі три сторони рівні, то в ньому кожна з медіан буде також висотою і бісектрисою, тобто перпендикулярна тій стороні, до якої вона проведена, і поділяє кут, з якого вона виходить.
• У рівнобедреному трикутнику медіана, опущена з вершини, що знаходиться навпроти сторони, що не дорівнює жодній іншій, буде також висотою та бісектрисою. Медіани, опущені інших вершин, рівні. Це також є необхідною та достатньою умовою рівнобедреності.
• Якщо трикутник є основою правильної піраміди, то висота, опущена на цю основу, проектується в точку перетину всіх медіан.

• У прямокутному трикутнику медіана, проведена до найбільшої сторони, дорівнює половині її довжини.
• Нехай O – точка перетину медіан трикутника. Формула, наведена нижче, буде вірною для будь-якої точки M.

• Ще однією властивістю має медіана трикутника. Формула квадрата її довжини через квадрати сторін представлена ​​нижче.

Властивості сторін, до яких проведено медіану

• Якщо з'єднати будь-які дві точки перетину медіан зі сторонами, на які вони опущені, то отриманий відрізок буде середньою лінією трикутника і складатиме одну другу від сторони трикутника, з якої вона не має спільних точок.
• Основи висот і медіан у трикутнику, а також середини відрізків, що з'єднують вершини трикутника з точкою перетину висот, лежать на одному колі.

На закінчення логічно сказати, що одним із найважливіших відрізків є саме медіана трикутника. Формула її може використовуватися при знаходженні довжин інших сторін.

Щоб на сторони трикутника знайти медіану, не обов'язково запам'ятовувати додаткову формулу. Достатньо знати алгоритм розв'язання.

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді.

Дано трикутник зі сторонами a, b, c. Знайти довжину медіани, проведеної до сторони b.

AB = a, AC = b, BC = c.

На промені BF відкладемо відрізок FD, FD = BF.

З'єднаємо точку D з точками A та C.

Чотирьохкутник ABCD - паралелограм (за ознакою), так як у нього діагоналі в точці перетину діляться навпіл.

Властивість діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Звідси: AC²+BD²=2(AB²+BC²), отже, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². За побудовою, BF - половина BD, отже,

Це формула знаходження медіани трикутника з його боків. Зазвичай її записують так:

Переходимо до розгляду конкретного завдання.

Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайти медіану трикутника, проведену до його середньої сторони.

Застосовуючи аналогічні міркування, отримуємо:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Трикутник - багатокутник з трьома сторонами, або замкнута ламана лінія з трьома ланками, або фігура, утворена трьома відрізками, що з'єднують три точки, що не лежать на одній прямій (див. рис. 1).

Основні елементи трикутника abc

Вершини – точки A, B та C;

Сторони - Відрізки a = BC, b = AC і c = AB, що з'єднують вершини;

Кути - α, β, γ утворені трьома парами сторін. Кути часто позначають так само, як і вершини - літерами A, B і C.

Кут, утворений сторонами трикутника і що лежить у його внутрішній області, називається внутрішнім кутом, а суміжний до нього є суміжним кутом трикутника (2, стор. 534).

Висоти, медіани, бісектриси та середні лінії трикутника

Крім основних елементів у трикутнику розглядають і інші відрізки, що володіють цікавими властивостями: висоти, медіани, бісектриси та середні лінії.

Висота

Висоти трикутника- Це перпендикуляри, опущені з вершин трикутника на протилежні сторони.

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, що містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

2) з вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, провести відрізок з точки до цієї прямої, що становить з нею кут 90 градусів.

Точка перетину висоти зі стороною трикутника називається основою висоти (Див. рис. 2).

Властивості висот трикутника

У прямокутному трикутнику висота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібні до вихідного трикутника.

У гострокутному трикутнику дві його висоти відсікають від нього подібні трикутники.

Якщо трикутник гострокутний, всі підстави висот належать сторонам трикутника, а в тупокутного трикутника дві висоти потрапляють на продовження сторін.

Три висоти в гострокутному трикутнику перетинаються в одній точці, і цю точку називають ортоцентром трикутник.

Медіана

Медіани(Від лат. Mediana - "Середня") - Це відрізки, що з'єднують вершини трикутника з серединами протилежних сторін (див. рис. 3).

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) визначити середину боку;

2) з'єднати точку, що є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною відрізком.

Властивості медіан трикутника

Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіння трикутник.

Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.

Бісектриса

Бісектрисами(від лат. bis – двічі» і seko – розсікаю) називають ув'язнені всередині трикутника відрізки прямих, які ділять навпіл його кути (див. рис. 4).

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) побудувати промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини (бісектрису кута);

2) знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною;

3) виділити відрізок, що з'єднує вершину трикутника з точкою перетину на протилежному боці.

Властивості бісектрис трикутника

Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону відносно рівному відношенню двох прилеглих сторін.

Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка називається центром вписаного кола.

Бісектриси внутрішнього та зовнішнього кутів перпендикулярні.

Якщо бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони, ADBD=ACBC.

Бісектриси одного внутрішнього та двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр одного з трьох вписаних кіл цього трикутника.

Підстави бісектрис двох внутрішніх та одного зовнішнього кутів трикутника лежать на одній прямій, якщо бісектриса зовнішнього кута не паралельна протилежній стороні трикутника.

Якщо бісектриси зовнішніх кутів трикутника не паралельні протилежним сторонам, то їх підстави лежать на одній прямій.

При вивченні будь-якої теми шкільного курсу можна відібрати певний мінімум завдань, оволодівши методами вирішення яких, учні будуть в змозі вирішити будь-яке завдання на рівні програмних вимог з теми, що вивчається. Пропоную розглянути завдання, що дозволять побачити взаємозв'язки окремих тем шкільного курсу математики. Тому складена система завдань є ефективним засобом повторення, узагальнення та систематизації навчального матеріалу під час підготовки учнів до іспиту.

Для складання іспиту не зайвими будуть додаткові відомості про деякі елементи трикутника. Розглянемо властивості медіани трикутника та завдання, при вирішенні яких цими властивостями можна скористатися. У запропонованих завданнях реалізується принцип рівневої диференціації. Усі завдання умовно поділені на рівні (рівень вказаний у дужках після кожного завдання).

Згадаймо деякі властивості медіани трикутника

Властивість 1. Доведіть, що медіана трикутника ABC, проведена з вершини Aменше півсуми сторін ABі AC.

Доведення

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Властивість 2. Медіана розтинає трикутник на два рівновеликі.

Доведення

Проведемо з вершини B трикутника ABC медіану BD та висоту BE..gif" alt="(!LANG:Площадь" width="82" height="46">!}

Оскільки відрізок BD є медіаною, то

що і потрібно було довести.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Медіана" align="left" width="196" height="75 src=">!} Властивість 4. Медіани трикутника ділять трикутник на 6 рівновеликих трикутників.

Доведення

Доведемо, що площа кожного із шести трикутників, на які медіани розбивають трикутник ABC, дорівнює площі трикутника ABC. Для цього розглянемо, наприклад, трикутник AOF та опустимо з вершини A перпендикуляр AK на пряму BF .

В силу властивості 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Медіана" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Властивість 6. Медіана у прямокутному трикутнику, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Доведення

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Медіана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Наслідки:1. Центр описаного біля прямокутного трикутника кола лежить на середині гіпотенузи.

2. Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, цей трикутник – прямокутний.

ЗАВДАННЯ

При вирішенні кожної наступної задачі використовуються доведені властивості.

№1 Теми: Подвоєння медіани. Складність: 2+

Ознаки та властивості паралелограма Класи: 8,9

Умова

На продовженні медіани AMтрикутника ABCза крапку Mвідкладений відрізок MD, рівний AM. Доведіть, що чотирикутник ABDC- Паралелограм.

Рішення

Скористаємося однією з ознак паралелограма. Діагоналі чотирикутника ABDCперетинаються у точці Mі діляться нею навпіл, тому чотирикутник ABDC- Паралелограм.