Властивість суміжних кутів паралелограма. "паралелограм та його властивості"

Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. На наступному малюнку представлено паралелограм ABCD. У нього сторона AB паралельна стороні CD, а сторона BC паралельна стороні AD.

Як ви вже встигли здогадатися, паралелограм є опуклим чотирикутником. Розглянемо основні властивості паралелограма.

Властивості паралелограма

1. У паралелограмі протилежні кути та протилежні сторони рівні. Доведемо цю властивість – розглянемо паралелограм, поданий на наступному малюнку.

Діагональ BD поділяє його на два рівні трикутники: ABD і CBD. Вони рівні по стороні BD і двом кутам, що прилягають до неї, так як кути навхрест лежать при січній BD паралельних прямих BC і AD і AB і CD відповідно. Отже, AB = CD та
BC = AD. А з рівності кутів 1, 2, 3 і 4 випливає, що кут A = кут1 + кут3 = кут2 + кут4 = кут С.

2. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. Нехай точка О є точка перетину діагоналей AC та BD паралелограма ABCD.

Тоді трикутник AOB і трикутник COD рівні між собою, по стороні та двом прилеглим до неї кутам. (AB=CD так як це протилежні сторони паралелограма. А кут1 = кут2 і кут3 = кут4 як навхрест кути, що лежать при перетині прямих AB і CD січними AC і BD відповідно.) З цього випливає, що AO = OC і OB = OD, що і потрібно було довести.

Усі основні властивості проілюстровані наступних трьох малюнках.

Поняття паралелограма

Визначення 1

Паралелограм- Це чотирикутник, у якому протилежні сторони паралельні між собою (рис. 1).

Малюнок 1.

Паралелограм має дві основні властивості. Розглянемо їх докази.

Властивість 1: Протилежні сторони та кути паралелограма рівні, відповідно, між собою.

Властивість 2: Діагоналі, проведені в паралелограмі, діляться навпіл їх точкою перетину.

Ознаки паралелограма

Розглянемо три ознаки паралелограма та представимо їх у вигляді теорем.

Теорема 1

Якщо дві сторони чотирикутника рівні між собою, а також паралельні, цей чотирикутник буде паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. У якому $AB||CD$ і $AB=CD$ Проведемо у ньому діагональ $AC$ (рис. 2).

Малюнок 2.

Розглянемо паралельні прямі $AB$ і $CD$ та їх січну $AC$. Тоді

\[\angle CAB=\angle DCA\]

як навхрест лежачі кути.

За $I$ ознакою рівності трикутників,

оскільки $AC$ - їх спільна сторона, а $AB=CD$ за умовою. Значить

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Розглянемо прямі $AD$ і $CB$ та його січну $AC$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AD||CB$.) Отже, за визначенням $1$, даний чотирикутник є паралелограмом.

Теорему доведено.

Теорема 2

Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні між собою, він є паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. У якому $AD=BC$ та $AB=CD$. Проведемо у ньому діагональ $AC$ (рис. 3).

Малюнок 3.

Оскільки $AD=BC$, $AB=CD$, а $AC$ -- загальна сторона, то за $III$ ознакою рівності трикутників,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Розглянемо прямі $AD$ і $CB$ та їх січну $AC$, з останньої рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AD||CB$. Отже, за визначенням $1$, цей чотирикутник є паралелограмом.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Розглянемо прямі $AB$ і $CD$ та їх січну $AC$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $AB||CD$. Отже, за визначенням 1 даний чотирикутник є паралелограмом.

Теорему доведено.

Теорема 3

Якщо діагоналі, проведені в чотирикутнику, своєю точкою перетину поділяються на дві рівні частини, цей чотирикутник є паралелограмом.

Доведення.

Нехай нам дано чотирикутник $ABCD$. Проведемо в ньому діагоналі $AC$ та $BD$. Нехай вони перетинаються у точці $O$ (рис. 4).

Малюнок 4.

Оскільки, за умовою $BO=OD,\ AO=OC$, а кути $\angle COB=\angle DOA$ як вертикальні, то, за $I$ ознакою рівності трикутників,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Розглянемо прямі $BC$ і $AD$ та його січну $BD$, за останньою рівності навхрест лежачих кутів отримаємо, що $BC||AD$. Також $BC=AD$. Отже, за теоремою $1$ даний чотирикутник є паралелограмом.

Конспект уроку.

Алгебра 8 клас

Вчитель Сисий А.К.

Школа 1828

Тема уроку: «Паралелограм та його властивості»

Тип уроку: комбінований

Цілі уроку:

1) Забезпечити засвоєння нового поняття – паралелограм та його властивостей

2) Продовжити розвиток навичок та умінь вирішення геометричних завдань;

3) Розвиток культури математичної мови

План уроку:

1. Організаційний момент

(Слайд 1)

На слайді демонструється висловлювання Льюїса Керролла. Учням повідомляється про мету уроку. Перевіряється готовність учнів до уроку.

2. Актуалізація знань

(Слайд 2)

На дошці - завдання для усної роботи. Вчитель пропонує учням подумати над цими завданнями та підняти руку тим, хто зрозумів, як завдання вирішувати. Після вирішення двох завдань, на доказ теореми про суму кутів викликається до дошки учень, який самостійно робить додаткові побудови на кресленні та доводить усно теорему.

Учнями використовується формула суми кутів багатокутника:

3. Основна частина

(Слайд 3)

На дошці визначення паралелограма. Вчитель говорить про нову фігуру та формулює визначення, роблячи за допомогою креслення необхідні пояснення. Потім на картатій частині презентації, за допомогою маркера та лінійки, показує, як можна малювати паралелограм (можливо кілька випадків)

(Слайд 4)

Вчитель формулює першу властивість паралелограма. Пропонує учням сказати, на малюнку, що дано і що необхідно довести. Після цього на дошці з'являється завдання. Учні здогадуються (можливо за допомогою вчителя), що шукані рівності треба довести через рівності трикутників, які можна отримати, провівши діагональ (на дошці з'являється діагональ). Далі учні здогадуються, чому трикутники рівні і називають ознаку рівності трикутників (з'являється відповідна форма). Усно повідомляють факти, які необхідні рівності трикутників (у міру того як вони їх називають, з'являється відповідна візуалізація). Далі учні формулюють властивість рівних трикутників, воно з'являється у вигляді пункту 3 докази, а потім самостійно завершують доказ теореми усно.

(Слайд 5)

Вчитель формулює другу властивість паралелограма. На дошці з'являється малюнок паралелограма. Вчитель пропонує за малюнком сказати, що дано, що необхідно довести. Після того, як учні правильно повідомляють про те, що дано і що необхідно довести, з'являється умова теореми. Учні здогадуються, що рівність частин діагоналей можна довести через рівність трикутниківAOBі COD. За допомогою попередньої властивості паралелограма здогадуються про рівність сторінABі CD. Потім розуміють, що треба знайти рівні кути і за допомогою властивостей паралельних прямих доводять рівність кутів, що прилягають до рівних сторін. Ці етапи візуалізуються на слайді. З рівності трикутників випливає і істинність теореми – промовляють учні на слайді з'являється відповідна візуалізація.

(Слайд 6)

Вчитель формулює третю властивість паралелограма. Залежно від часу, що залишається до кінця уроку, вчитель може дати можливість учням самостійно довести цю властивість, або обмежиться його формулюванням, а сам доказ залишити учням як домашню роботу. Доказ може спиратися на суму кутів вписаного багатокутника, яка повторювалася на початку уроку, або на суму односторонніх внутрішніх кутів при двох паралельних прямихADі BC, і січеною, наприкладAB.

4. Закріплення матеріалу

У цьому етапі учні, використовуючи раніше вивчені теореми, вирішують завдання. Ідеї вирішення завдання підбирають учні самостійно. Так як можливих варіантів оформлення чимало і всі вони залежать від того, яким чином учні шукатимуть розв'язання задачі, візуалізації розв'язання задач немає, а учні самостійно оформлюють кожен етап рішення на окремій дошці із записом рішення у зошит.

(Слайд 7)

З'являється умова завдання. Вчитель пропонує за умовою сформулювати "Дано". Після того, як учні, правильно складуть короткий запис умови на дошці з'являється «Дано». Хід розв'язання задачі може виглядати так:

Проведемо висоту BH (візуалізовано)

Трикутник AHB – прямокутний. Кут A дорівнює куту C і дорівнює 30 0 (за властивістю про протилежні кути в паралелограмі). 2BH =AB (за властивістю катета, що лежить навпроти кута 30 0 у прямокутному трикутнику). Отже AB = 13 див.

AB = CD, BC = AD (за якістю протилежних сторін у паралелограмі) Значить AB = CD = 13см. Так як периметр паралелограма дорівнює 50 см, то BC = AD = (50 - 26): 2 = 12см.

Відповідь: AB = CD = 13 см, BC = AD = 12 см.

(Слайд 8)

З'являється умова завдання. Вчитель пропонує за умовою сформулювати "Дано". Після цього з'являється «Дано» на екрані. За допомогою червоних ліній виділяється чотирикутник, про який необхідно довести, що він паралелограм. Хід розв'язання задачі може виглядати так:

Т.к. BK та MD перпендикуляри до однієї прямої, то прямі BK та MD паралельні.

Через суміжні кути можна показати, що сума внутрішніх односторонніх кутів при прямих BM та KD та січній MD дорівнює 180 0 . Тому дані прямі паралельні.

Так як чотирикутник BMDK протилежні сторони попарно паралельні, то даний чотирикутник паралелограм.

5. Закінчення уроку. Поведінка підсумків.

(Слайд 8)

На слайді постають питання з нової теми, куди учні відповідають.

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

Савинська середня загальноосвітня школа

Дослідницька робота

Паралелограм та його нові властивості

Виконала: учениця 8Б класу

МБОУ Савінська ЗОШ

Кузнєцова Світлана, 14 років

Керівник: учитель математики

Тульчевська Н.А.

п. Савине

Іванівська область, Росія

2016р.

I. Вступ __________________________________________________стор 3

II. З історії паралелограма ___________________________________стор 4

III Додаткові властивості паралелограма ______________________стор 4

IV. Доказ властивостей _____________________________________ стор 5

V. Розв'язання задач з використанням додаткових властивостей __________стор 8

VI. Застосування властивостей паралелограма у житті ___________________Стор 11

VII. Висновок _________________________________________________стор 12

VIII. Література _________________________________________________стор 13

Вступ

"Серед рівних умів

при однаковості інших умов

перевершує той, хто знає геометрію.

(Блез Паскаль).

Під час вивчення теми «Паралелограм» на уроках геометрії ми розглянули дві властивості паралелограма і три ознаки, але коли ми почали вирішувати завдання, виявилося, що цього недостатньо.

У мене виникло питання, а чи має паралелограма ще властивості, і як вони допоможуть при вирішенні завдань.

І я вирішила вивчити додаткові властивості паралелограма та показати, як їх можна застосувати для вирішення завдань.

Предмет дослідження : паралелограм

Об'єкт дослідження : властивості паралелограма
Мета роботи:

формулювання та доказ додаткових властивостей паралелограма, які не вивчаються у школі;

застосування цих властивостей на вирішення завдань.

Завдання:

Вивчити історію виникнення паралелограма та історію розвитку його властивостей;

Знайти додаткову літературу з питання, що досліджується;

Вивчити додаткові властивості паралелограма та довести їх;

Показати застосування цих властивостей на вирішення завдань;

Розглянути застосування властивостей паралелограма у житті.
Методи дослідження:

Робота з навчальною та науково – популярною літературою, ресурсами мережі Інтернет;

Вивчення теоретичного матеріалу;

Виділення кола завдань, які можна розв'язувати з використанням додаткових властивостей паралелограма;

Спостереження, порівняння, аналіз, аналогія.

Тривалість дослідження : 3 місяці: січень-березень 2016р.

У підручнику геометрії ми читаємо таке визначення паралелограма: паралелограм – це такий чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні

Слово «паралелограм» перекладається як «паралельні лінії» (від грецьких слів Parallelos – паралельний та gramme – лінія), цей термін було введено Евклідом. У своїй книзі «Початку» Евклід довів такі властивості паралелограма: протилежні сторони та кути паралелограма рівні, а діагональ ділить його навпіл. Про точку перетину паралелограма Евклід не згадує. Тільки до кінця середньовіччя була розроблена повна теорія паралелограмів І лише в XVII столітті в підручниках з'явилися теореми про паралелограми, які доводяться за допомогою теореми Евкліда про властивості паралелограма.

III Додаткові властивості паралелограма

У підручнику з геометрії дано лише 2 властивості паралелограма:

Протилежні кути та сторони рівні

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

У різних джерелах з геометрії можна зустріти такі додаткові властивості:

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник;

Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих;

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом;

Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник;

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Якщо в паралелограмі з'єднати протилежні вершини із серединами протилежних сторін, то вийде ще один паралелограм.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

IV Доказ властивостей паралелограма

Сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180 0

Дано:

ABCD – паралелограм

Довести:

A +
B =

Доведення:

А й
B – внутрішні односторонні кути при паралельних прямих ПС АD і січній АВ, отже,
A +
B =

Дано:АBCD - паралелограм,

АК-бісектриса
А.

Довести: АВК – рівнобедрений

Доведення:

1)
1=
3 (навхрест лежать при ВС AD і січній AK),

2)
2=
3 т. до. АК - бісектриса,

означає 1 =
2.

3) АВК - рівнобедрений т. до. 2 кута трикутника рівні

. Бісектриса кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник

Дано:АВСD – паралелограм,

АК - бісектриса A,

СР - бісектриса C.

Довести:АК ║ СР

Доведення:

1) 1=2 т. до. АК-бісектриса

2) 4 = 5 т.к. СР - бісектриса

3) 3=1 (навхрест лежачі кути при

НД ║ АD і АК-січній),

4) A = C (за властивістю паралелограма), значить 2 = 3 = 4 = 5.

4) З п. 3 і 4 випливає, що 1=4, а ці кути відповідні при прямих АК і СР і ВС,

означає, АК ║ СР (за ознакою паралельності прямих)

. Бісектриси протилежних кутів паралелограма лежать на паралельних прямих

Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перетинаються під прямим кутом

Дано:АВСD - паралелограм,

АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D

Довести: DР АК.

Доведення:

1) 1 = 2, т.к. АК - бісектриса

Нехай, 1 = 2 = x, тоді А = 2x,

2) 3 = 4, т.к. D Р – бісектриса

Нехай, 3 = 4 = у, тоді D = 2y

3) A + D = 180 0 т.к. сума сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180

2) Розглянемо A ОD

1+3=90 0 тоді
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Бісектриси всіх кутів паралелограма при перетині утворюють прямокутник

Дано:АВСD - паралелограм, АК-бісектриса A,

DР-бісектриса D,

CM-бісектриса C,

BF-бісектриса B .

Довести: KRNS-прямокутник.

Доведення:

Виходячи з попередньої властивості 8=7=6=5=90 0

означає KRNS-прямокутник.

Відстані від протилежних кутів паралелограма до однієї й тієї його діагоналі рівні.

Дано: ABCD-паралелограм, АС-діагональ.

ВК АС, DP AC

Довести: BК=DР

Доведення: 1)DCР=КAB, як внутрішні навхрест що лежать при АВ ║ СD і січній АС.

2) AКB= CDР (на стороні та двох прилеглих до неї кутах АВ=СD CD Р=AB К).

На рівних трикутниках відповідні сторони рівні, отже DР=BК.

Дано: ABCD-паралелограм.

Довести:ВКDР – паралелограм.

Доведення:

1) BР=КD (AD=BC, точки К та Р

ділять ці сторони навпіл)

2) ВР ║ КD (лежать на АD BC)

Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні та паралельні, значить, цей чотирикутник -паралелограм.

Якщо в паралелограмі із двох протилежних кутів провести висоти, то вийде прямокутник.

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює подвоєній сумі квадратів його суміжних сторін.

Дано: ABCD – паралелограм. BD та AC - діагоналі.

Довести: АС 2 +ВD 2 = 2 (AB 2 + AD 2 )

Доведення: 1)АСК: AC ²=
+

2)B РD : BD 2 = B Р 2 + РD 2 (за теоремою Піфагора)

3) AC ²+ BD ²=СК²+A К²+B Р²+РD ²

4) СК = ВР = Н(висота )

5) АС 2 +УD 2 = H 2 + A До 2 + H 2 +РD 2

6) Нехай D К=A Р=хтоді C ДоD : H 2 = CD 2 - х 2 за теоремою Піфагора )

7) АС²+ВD ² = СD 2 - х²+ АК 1 ²+ CD 2 -х 2 +РD 2 ,

АС²+ВD ²=2СD 2 -2х 2 + A До 2 +РD 2

8) A До=AD+ х, РD=AD- х,

АС²+ВD ² =2CD 2 -2х 2 +(AD +х) 2 +(AD -х) 2 ,

АС²+ УD²=2 ЗD²-2 х² +AD 2 +2AD х+ х 2 +AD 2 -2AD х+ х 2 ,
АС²+ УD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 +AD 2 ).

V . Розв'язання задач із використанням цих властивостей

Точка перетину бісектрис двох кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, належить протилежній стороні. Менша сторона паралелограма дорівнює 5 . Знайдіть його більшу сторону.

Дано: ABCD - паралелограм,

АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D, АВ=5

Знайти: НД

єшення

Рішення

Т.к. АК - бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 5

Тоді, ВС = ВК + СК = 5 + 5 = 10

Відповідь: 10

2. Знайдіть периметр паралелограма, якщо бісектриса одного з його кутів ділить сторону паралелограма на відрізки 7 см та 14 см.

1 випадок

Дано:
А,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти:Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. АК – бісектриса
А то АВК – рівнобедрений.

АВ = ВК = 14 см

Тоді Р = 2 (14 +21) = 70 (см)

випадок

Дано: ABCD - паралелограм,

D К – бісектриса
D ,

ВК=14 см, КС=7 см

Знайти: Р паралелограма

Рішення

НД=ВК+КС=14+7=21 (см)

Т.к. D К – бісектриса
D , то DCK - рівнобедрений

DC = C К = 7

Тоді, Р = 2 (21 +7) = 56 (см)

Відповідь: 70см або 56 см

3.Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 3 см. Бісектриси двох кутів, що належать до більшої сторони, ділять протилежну сторону на три відрізки. Знайдіть ці відрізки.

1 випадок:бісектриси перетинаються поза паралелограмом

Дано: ABCD – паралелограм, АК – бісектриса
А,

D К – бісектриса
D , АВ=3 см, НД=10 см

Знайти: ВМ, МN, NC

Рішення

Т.к. АМ - бісектриса
А, то АВМ – рівнобедрений.

Т.к. DN – бісектриса
D , то DCN - рівнобедрений

DC = CN = 3

Тоді, МN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 +3) = 4 см

2 випадок:бісектриси перетинаються всередині паралелограма

Т.к. АN - бісектриса
А, то АВN – рівнобедрений.

АВ = ВN = 3 D

А розсувні грати – відсувати на необхідну відстань у дверях

Паралелограмний механізм- Чотирьохланковий механізм, ланки якого складають паралелограм. Застосовується реалізації поступального руху шарнірними механізмами.

Паралелограм із нерухомою ланкою- одна ланка нерухома, протилежне здійснює коливальний рух, залишаючись паралельним нерухомому. Два паралелограми, з'єднаних один за одним, дають кінцевій ланці два ступені свободи, залишаючи його паралельним нерухомому.

Приклади: склоочисники автобусів, навантажувачі, штативи, підвіси, автомобільні підвіски.

Паралелограм із нерухомим шарніром- використовується властивість паралелограма зберігати постійне співвідношення відстаней між трьома точками. Приклад: креслярський пантограф - прилад масштабування креслень.

Ромб- всі ланки однакової довжини, наближення (стягування) пари протилежних шарнірів призводить до розсування двох інших шарнірів. Усі ланки працюють на стиск.

Приклади – автомобільний ромбоподібний домкрат, трамвайний пантограф.

Ножичнийабо X-подібний механізм, також відомий як Нюрнберзькі ножиці- Варіант ромба - дві ланки, з'єднані посередині шарніром. Переваги механізму – компактність та простота, недолік – наявність двох пар ковзання. Два (і більше) таких механізми, з'єднані послідовно, утворюють у середині ромб(и). Застосовується у витягах, дитячих іграшках.

VII Висновок

Хто з дитячих років займається математикою,

той розвиває увагу, тренує свій мозок,

свою волю, виховує у собі наполегливість

і завзятість у досягненні мети

О. Маркушевич

У ході роботи я довела додаткові властивості паралелограма.

Я переконалася, що застосовуючи ці властивості можна вирішувати завдання швидше.

Я показала, як застосовуються ці властивості на прикладах вирішення конкретних завдань.

Я дізналася багато нового про паралелограму, чого немає в нашому підручнику геометрії

Я переконалася, що знання геометрії дуже важливі в житті на прикладах застосування властивостей паралелограма.

Мета моєї дослідницької роботи виконана.

Про те, наскільки важливими є математичні знання, говорить той факт, що була заснована премія тому, хто видасть книгу про людину, яка все життя прожила без допомоги математики. Цю премію досі не отримала жодна людина.

VIII Література

Паралелограм – чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи (a) на висоту (h). Також можна знайти його площу через дві сторони і кут і через діагоналі.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони тотожні.

Насамперед проведемо діагональ (AC). Виходять два трикутники: (ABC) і (ADC).

Так як $ABCD $ - паралелограм, то справедливо таке:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 $як лежачи навхрест.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 $як лежачи навхрест.

Отже, (за другою ознакою: і (AC) - загальна).

І, отже, $\triangle ABC = \triangle ADC $, то $AB = CD $ і $AD = BC $.

2. Протилежні кути тотожні.

Згідно з доказом властивості 1Ми знаємо, що $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 $. Таким чином, сума протилежних кутів дорівнює: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 $. Враховуючи що $\triangle ABC = \triangle ADC $отримуємо $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $.

3. Діагоналі розділені навпіл крапкою перетину.

за властивості 1ми знаємо, що протилежні сторони тотожні: \(AB = CD). Ще раз відзначимо навхрест рівні кути, що лежать.

Таким чином видно, що $\triangle AOB = \triangle COD $за другою ознакою рівності трикутників (два кути та сторона між ними). Тобто, $BO = OD $ (напроти кутів $\angle 2 $ і $\angle 1 $ ) і $AO = OC $ (напроти кутів $\angle 3 $ і $ \angle 4 $ відповідно).

Ознаки паралелограма

Якщо лише одна ознака у вашому завданні є, то фігура є паралелограмом і можна використовувати всі властивості даної фігури.

Для кращого запам'ятовування, зауважимо, що ознака паралелограма відповідатиме на наступне запитання "як дізнатися?". Тобто як дізнатися, що задана фігура це паралелограм.

1. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні.

$AB = CD $; $AB || CD \Rightarrow ABCD $- Паралелограм.

Розглянемо докладніше. Чому $AD||BC$?

$\triangle ABC = \triangle ADC $по властивості 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ як навхрест що лежать при паралельних $AB $ і $CD $ і січній $AC $ .

Але якщо $\triangle ABC = \triangle ADC $, то $\angle 3 = \angle 4 $ (лежать навпроти $AD || BC $ ($\angle 3 $ і $\angle 4 $ - навхрест лежачі теж рівні).

Перша ознака вірна.