Зв'язок між потенціалом та напруженістю поля. Потенціал заданого розподілу заряду

Формула-закон Кулону

де коефіцієнт пропорційності

q1,q2 нерухомі точкові заряди

r відстань між зарядами

3. Напруженість електричного поля- Векторна фізична величина, що характеризує електричне поле в даній точці і чисельно дорівнює відношенню сили, що діє на нерухомий пробний заряд, поміщений в дану точку поля, до величини цього заряду: .

Напруженість електричного поля точкового заряду

[ред.] В одиницях СІ

Для точкового заряду в електростатиці вірний закону Кулону

Напруженість електричного поля довільного розподілу зарядів

За принципом суперпозиції для напруженості поля сукупності дискретних джерел маємо:

де кожне

4. Принцип суперпозиції- один із найзагальніших законів у багатьох розділах фізики. У найпростішому формулюванні принцип суперпозиції говорить:

· Результат впливу на частину кількох зовнішніх сил векторна сума впливу цих сил.

Найбільш відомий принцип суперпозиції в електростатиці, в якій він стверджує, що Напруженість електростатичного поля, створюваного в даній точці системою зарядів, є сума напруженостей полів окремих зарядів.

Принцип суперпозиції може приймати й інші формулювання, які повністю еквівалентнінаведеної вище:

· Взаємодія між двома частинками не змінюється при внесенні третьої частки, що також взаємодіє з першими двома.

· Енергія взаємодії всіх частинок у багаточастковій системі є просто сума енергій парних взаємодійміж усіма можливими парами частинок. У системі немає багаточасткових взаємодій.

· Рівняння, що описують поведінку багаточасткової системи, є лінійнимиза кількістю частинок.

Саме лінійність фундаментальної теорії в галузі фізики є причиною виникнення в ній принципу суперпозиції.

В електростатиціПринцип суперпозиції є наслідком того факту, що рівняння Максвелла у вакуумі лінійні. Саме з цього випливає, що потенційну енергію електростатичної взаємодії системи зарядів можна легко порахувати, обчисливши потенційну енергію кожної пари зарядів.

5. Робота електричного поля.

6. Електростатичний потенціалдорівнює відношенню потенційної енергії взаємодії заряду з полем до величини цього заряду:

Напруженість електростатичного поля та потенціал пов'язані співвідношенням

7. Принцип суперпозиції електростатичних полів. Сили чи поля від різних зарядів складаються з урахуванням їхньої позиції чи спрямованості (вектора). Це виражає принцип "суперпозиції" поля або потенціалів: потенціал поля декількох зарядів дорівнює сумі алгебри потенціалів окремих зарядів, φ=φ 1+φ2+…+φn= ∑i nφi. Знак потенціалу збігається зі знаком заряду, φ=kq/r.

8. Потенційна енергія заряду у електричному полі.Продовжимо порівняння гравітаційної взаємодії тіл та електростатичної взаємодії зарядів. Тіло масою mу полі тяжкості Землі має потенційну енергію.
Робота сили тяжіння дорівнює зміні потенційної енергії, взятій із протилежним знаком:

A = -(W p2- W p1) = mgh.

(Тут і далі ми позначатимемо енергію буквою W.)
Так само, як тіло масою mу полі сили тяжіння має потенційну енергію, пропорційну масу тіла, електричний заряд в електростатичному полі має потенційну енергію W p , пропорційної заряду q. Робота сил електростатичного поля Адорівнює зміні потенційної енергії заряду в електричному полі, взятому з протилежним знаком:

9. Теорема про циркуляцію вектора напруженості в інтегральній формі:

У диференційній формі:

10. Зв'язок потенціалу та напруженості. E= - grad = -Ñ.

Напруженість у будь-якій точці електричного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому зі зворотним знаком. Знак "мінус" вказує, що напруженість Eспрямована у бік спадання потенціалу

11. Потік вектора напруженості.

Теорема Гауса в інтегральній формі:де

· - Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню.

· - Повний заряд, що міститься в об'ємі, який обмежує поверхню.

· - Електрична постійна.

Даний вираз є теоремою Гауса в інтегральній формі.

У диференційній формі: Тут – об'ємна щільність заряду (у разі присутності середовища – сумарна щільність вільних та пов'язаних зарядів), а – оператор набла.

12. Застосування закону Гауса.1. Напруженість електростатичного поля, створюваного рівномірно зарядженою сферичною поверхнею.

Нехай сферична поверхня радіуса R (рис. 13.7) несе рівномірно розподілений заряд q, тобто. поверхнева густина заряду в будь-якій точці сфери буде однакова.

a. Заключимо нашу сферичну поверхню симетричну поверхню S з радіусом r>R. Потік вектора напруженості через поверхню S дорівнюватиме

За теоремою Гауса

Отже

c. Проведемо через точку В, що знаходиться всередині зарядженої сферичної поверхні, сферу S радіусом г

Напруженість поля рівномірно зарядженої нескінченної прямолінійної нитки(або циліндра).

Припустимо, що порожниста циліндрична поверхня радіуса R заряджена з постійною лінійною щільністю .

Проведемо коаксіальну циліндричну поверхню радіусу Потік вектора напруженості через цю поверхню

За теоремою Гауса

З останніх двох виразів визначаємо напруженість поля, що створюється рівномірно зарядженою ниткою:

У цей вираз не входять координати, отже електростатичне поле буде однорідним, а напруженість їх у будь-якій точці поля однакова.

13. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ДИПОЛЬ.

Електричний диполь- система двох рівних за модулем різноіменних точкових зарядів (), відстань між якими значно менша за відстань до розглянутих точок поля.
Плечо диполя- Вектор , спрямований по осі диполя (прямий, що проходить через обидва заряди) від негативного заряду до позитивної і дорівнює відстані між зарядами .
Електричний момент диполя (дипольний момент):
.

Потенціал поля диполя:

Напруженість поля диполяу довільній точці (згідно з принципом суперпозиції):

де - напруженості полів, створюваних відповідно позитивним і негативним зарядами.

Напруженість поля диполя на продовженні осі диполя у точці А:
.
Напруженість поля диполя на перпендикулярі, відновленому до осі з його середини у точці B:
.

Олександр Миколайович Фурс Білоруський державний університет, пр. Незалежності, 4, 220030, м. Мінськ, Республіка Білорусь

Анотація

У калібруванні Кулона розраховано потенціали поля довільного розподілу зарядів та струмів. Показано, що векторний потенціал визначається не тільки значеннями щільності струму в моменти часу, що запізнюються, але і передісторією зміни щільності заряду на тимчасовому інтервалі, обмеженому запізнюючим і поточним моментами. Отримано різні уявлення потенціалів Лієнара – Віхерта у калібруванні Кулона. Вони застосовані до випадку рівномірно і прямолінійно точкового заряду, що рухається.

Біографія автора

Олександр Миколайович Фурс, Білоруський державний університет, пр. Незалежності, 4, 220030, м. Мінськ, Республіка Білорусь

доктор фізико-математичних наук, доцент; професор кафедри теоретичної фізики та астрофізики фізичного факультету

Література

1. Ландау Л. Д., Ліфшиц Є. М. Теорія поля. М., 1973.
2. Джексон Дж. Класична електродинаміка. М., 1965.
3. Бредов М. М., Румянцев В. В., Топтигін І. Н. Класична електродинаміка. М., 1985.
4. Гайтлер В. Квантова теорія випромінювання. М., 1956.
5. Гінзбург В. Л. Теоретична фізика та астрофізика. Додаткові розділи. М., 1980.
6. Wundt BJ, Jentschura U.D. Phys. 2012. Vol. 327 № 4. P. 1217-1230.
7. Ахієзер А. І., Берестецький В. Б. Квантова електродинаміка. М., 1969.

Ключові слова

Калібрувальна інваріантність, калібрування Лоренца і Кулона, запізнювальні потенціали, потенціали Лієнара – Віхерта

Автори зберігають за собою авторські права на роботу та надають журналу право першої публікації роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (КК BY-NC 4.0).
Автори зберігають право укладати окремі контрактні домовленості щодо неексклюзивного поширення версії роботи в опублікованому тут вигляді (наприклад, розміщення її в інститутському сховищі, публікацію в книзі) з посиланням на її оригінальну публікацію в цьому журналі.
Автори мають право розміщувати їх роботу в інтернеті (наприклад, в інститутському сховищі або на персональному сайті) до та під час процесу розгляду її даним журналом, оскільки це може призвести до продуктивного обговорення та більшої кількості посилань на цю роботу. (Див.

Напруженість поля відокремленого позитивного точкового заряду qу точці Aна відстані rвід заряду (рис.2.1) дорівнює

Тут ― одиничний вектор, спрямований вздовж прямої, що з'єднує цю точку та заряд.

Рис.2.1. Поле точкового заряду

Нехай потенціал дорівнює нулю на нескінченності. Тоді потенціал довільної точки поля точкового заряду

У разі об'ємного розподілу заряду (в кінцевій галузі) з урахуванням маємо:

Аналогічно маємо:

для поверхневого розподілу заряду ,

для лінійного розподілу заряду .

Рівняння Пуассона та Лапласа

Раніше було отримано
. Тоді:

Звідки одержуємо рівнянням Пуассона:

або .

- Оператор Лапласа(Лапласіян, оператор дельта).

У декартовій системі координат може бути представлено у формі

Рішення рівняння Пуассонау загальному вигляді можна знайти таким чином. Припустимо, що в обсязі Vє заряди густиною r. Ці заряди представимо у вигляді сукупності точкових зарядів r dV, де dV― елемент об'єму. Складова потенціалу d j електричного поля від елементарного заряду r dVдорівнює .

Значення j визначається як сума (інтеграл) потенціалів від усіх зарядів поля:

Передбачається, що потенціал на нескінченності дорівнює нулю і заряди, що створюють поля розподілені в обмеженій області (інакше інтеграл може бути розбіжним).

У реальних умовах вільні заряди розташовуються на поверхні провідників нескінченно тонким шаром. У діелектриках, якими розділені заряджені провідники, об'ємні заряди відсутні . І тут у діелектриці маємо рівняння Лапласа:

або .

Для однозначного розв'язання диференціальних рівнянь поля потрібні граничні умови.

Граничні умови для векторів електричного поля

Нехай на поверхні розділу двох діелектриків з різними діелектричними проникностями ε 1 і ε 2 розподілений поверхневий заряд щільністю σ.

Оточимо точку на поверхні розділу середовищ елементарним циліндром ( висота циліндра набагато менше радіусу) таким чином, щоб його основи знаходилися в різних середовищах і були перпендикулярні до нормалі, проведеної в точці (рис.2.2). Цей циліндр охоплює малу площадку поверхні розділу середовищ із зарядом σ .

Вектори електричного зміщення в першому та другому середовищах позначимо відповідно і .

Застосуємо до поверхні циліндра теорему Гауса

де S― поверхня елементарного циліндра.

Рис.2.2. Вектори електричного зміщення на межі середовищ

Спрямуємо обсяг циліндра до нуля за умови, що висота циліндра значно менша за його радіус. У цьому випадку можна знехтувати потоком вектора крізь бічну поверхню. Враховуючи малі розміри майданчиків основ, можна вважати, що вектор у межах свого майданчика має одне й те саме значення. З огляду на це після інтегрування для проекцій вектора на номаль отримаємо

Враховуючи що , після скорочення отримуємо граничну умову нормальної складової вектора електричного зміщення

D n 2 –D n 1 = σ . (**)

Нормальна проекція вектора електричного зміщення на межі розділу двох середовищ зазнає стрибка, що дорівнює поверхневій щільності вільних зарядів, розподілених на цьому кордоні..

За відсутності на поверхні поділу середовищ поверхневого заряду маємо .

На межі поділу двох діелектриків у разі відсутності на межі поділу двох середовищ вільного заряду дорівнюють нормальні складові вектора електричного зміщення.

Виділимо на межі розділу середовищ малий контур таким чином, щоб його сторони abі cdзнаходилися в різних середовищах і були перпендикулярні до нормалі, проведеної в точці (рис.2.3). Розміри сторін спрямуємо до нуля контуру задовольняють умову.

Рис.2.3. Вектори напруженості електричного поля на межі середовищ

Застосуємо до контуру друге рівняння Максвелла в інтегральній формі:

де ― площа поверхні, обмеженої контуром abcd; ― вектор елементарного майданчика, спрямований перпедикулярно до майданчика.

При інтегруванні нехтуємо вкладом в інтеграл на бічних сторонах daі bcчерез їх дрібниці. Тоді:

Так як кінцева величина, а прагне нуля, то

(***)

На межі розділу двох діелектриків дорівнюють тангенціальні складові вектора напруженості електричного поля.

При відсутності на поверхні розділу середовищ поверхневого заряду

Виразів (*) і (***) отримуємо співвідношення, що визначає заломлення векторів і на межі поділу середовищ

Поле точкового заряду.

Нехай є один точковий заряд q. Це окремий випадок сферичної симетрії. У нас є формула: , де
– заряд усередині сфери радіусу rале якщо заряд точки, то для точкового заряду
, за будь-якого r. Зрозуміло, чому, на будь-якому радіусі всередині сфери точка залишається точкою. І для точкового заряду
. Це поле точкового заряду. Потенціал поля точкового заряду:
.

Поле системи точкових зарядів. Принцип суперпозиції.

Нехай ми маємо систему зарядів
, Тоді напруженість поля, створювана системою точкових зарядів, у будь-якій точці дорівнює сумі напруженостей, створюваних кожним із зарядів. Я міг би одразу написати
якщо б ви вільно читали формули. Вчіться читати формули оповідально. Заряд помножте на вектор
, і розділіть модуль цього вектора, а що таке модуль вектора це довжина. Ця вся штука дає вектор, спрямований вздовж вектора
.

Те, що поля складаються, це зовсім не очевидно. Це наслідок лінійності рівнянь Максвелла. Рівняння лінійні за . Це означає, що якщо ви знайшли два рішення, то вони складаються. Чи бувають поля, для яких не виконується принцип суперпозиції? Бувають. Гравітаційне поле над ньютонівської теорії, а правильної, не задовольняє принципу суперпозиції. Земля створює у певній точці певну напруженість. Місяць також. Поставили Землю і Місяць, напруженість у точці не дорівнює сумі напруженостей. Рівняння поля не лінійне, фізично це означає, що гравітаційне поле є джерелом. Так. Все кінець.

Минулого разу ми зупинилися на обговоренні поля, яке створюється системою зарядів. І бачили, що поля, створювані кожним зарядом окремо у цій точці, складаються. При цьому я підкреслив, що це не очевидна річ, - це властивість електромагнітної взаємодії. Фізично воно пов'язане з тим, що саме поле для себе не є джерелом, формально це наслідок того, що рівняння лінійні. Є приклади фізичних полів, які є джерелом. Тобто якщо в якомусь обсязі це поле є, так воно створює саме поле в навколишньому просторі, формально це проявляється в тому, що рівняння не лінійні. Я там написав формулу для напруженості
, напишемо формулу для потенціалу.

Потенціал системи точкових набоїв.

І є система зарядів
і т.д. І тоді для певної точки ми напишемо таку формулу:
. Отже, такий рецепт для потенціалу. Напруженість дорівнює сумі напруженостей, потенціал дорівнює сумі потенціалів.

З мітка. Практично завжди зручніше обчислювати потенціал, а не напруженість, зі зрозумілих причин: напруженість – це вектор, і вектори треба складати за правилом складання векторів, ну, правилом паралелограма, це заняття, звичайно, нудніше, ніж складати числа, потенціал – це скалярна величина . Тому практично завжди, коли ми маємо досить щільний розподіл заряду, шукаємо потенціал, напруженість поля потім знаходимо за формулою:
. 1)

Поле, створюване довільним обмеженим розподілом заряду 1).

Ну що тут означає епітет «обмежений»? Те, що заряд локалізований у кінцевій області простору, тобто ми можемо охопити цей заряд замкнутою поверхнею такою, що поза цією поверхнею заряду немає. Зрозуміло, що з погляду фізики це не обмеження, ну і справді ми маємо справу практично завжди тільки з обмеженими розподілами, немає такої ситуації, щоб заряд був розмазаний по всьому всесвіту, він концентрується у певних областях.

У

від така проблема: область зайнята зарядом, по цій області розмазано електричний заряд, ми повинні повністю охарактеризувати цей заряд і знайти створюване ним поле. Що означає повністю охарактеризувати розподіл заряду? Візьмемо елемент об'єму
, положення цього елемента задається радіус-вектором в цьому елементі сидить заряд
. Щоб знайти поле, нам потрібно знати заряд кожного елемента об'єму, це означає, що нам потрібно знати щільність заряду в кожній точці. Ось ця функція
пред'явлена, вона нашої мети вичерпно характеризує розподіл заряду, більше нічого знати зайве.

Нехай нас цікавить поле у точці . А далі принцип суперпозиції. Ми можемо вважати заряд dq, що сидить у цьому елементі об'єму, точковим 2). Ми можемо написати відразу вираз для потенціалу, який створює цей елемент у цій точці:
, це потенціал, створюваний елементом у точці . А тепер зрозуміло, що повний потенціал у цій точці ми знайдемо підсумовуванням по всіх елементах. Ну, і напишемо цю суму як інтеграл:
. 3)

Цей рецепт спрацьовує залізно для будь-якого розподілу заряду, ніяких проблем, крім обчислення інтеграла, немає, але комп'ютер таку суму порахує. Напруженість поля знаходиться:
. Коли інтеграл обчислений, то напруженість просто диференціюванням.

де кожне

Підставивши, отримуємо:

Для безперервного розподілу аналогічно:

де V- область простору, де розташовані заряди (ненульова щільність заряду), або весь простір, - радіус-вектор точки, для якої вважаємо - радіус-вектор джерела, що пробігає всі точки області ^ Vпри інтегруванні, dV- Елемент обсягу.

Електричне поле, в якому напруженість однакова за модулем і напрямом у будь-якій точці простору, називається однорідним електричним полем .

Приблизно однорідним є електричне поле між двома зарядженими плоскими металевими пластинами. Лінії напруженості в однорідному електричному полі паралельні одна одній

При рівномірному розподілі електричного заряду qпо поверхні площі Sповерхнева щільність заряду постійна і рівна

4. Потенц. електростат. поля. Еквіпотенц. поверхн. Ур-е еквіп. поверхн.

Електростатичним полем називається електричне поле нерухомих у вибраній системі відліку зарядів. Основними характеристиками електростатичного поля є напруженість та потенціал. Потенціал у будь-якій точці ел.стат. поля є фізична величина, яка визначається потенційною енергією позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Різниця потенціалів двох точок дорівнює роботі при переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 до точки 2.

За нульовий потенціал часто зручно приймати потенціал нескінченно віддаленої точки простору. Потенціал- Енергетична характеристика електростатичного поля. Якщо нульовий рівень потенційної енергії системи зарядів умовно вибрати на нескінченності, то вираз являє собою роботу зовнішньої сили по переміщенню одиничного позитивного заряду з нескінченності до точки, що розглядається: ;

Поверхня, у всіх точках якої потенціал електричного поля має однакові значення, називається еквіпотенційною поверхнею.

Між двома будь-якими точками на еквіпотзенційній поверхні різниця потенціалів дорівнює нулю, тому робота сил електричного поля при будь-якому переміщенні заряду по еквіпотенційній поверхні дорівнює нулю. Це означає, що вектор сили Fе в будь-якій точці траєкторії руху заряду по еквіпотенційній поверхні перпендикулярний вектору швидкості. Отже, лінії напруженості електростатичного поля перпендикулярні до еквіпотенційної поверхні.

Якщо потенціал заданий як функція координат (x, y, z), то рівняння еквіпотенційної поверхні має вигляд:

φ(x, y, z) = const

Еквіпотенційними поверхнями поля точкового заряду є сфери, в центрі яких розташований заряд. Еквіпотенційні поверхні однорідного електричного поля є площинами, перпендикулярними лініям напруженості.

5. Зв'язок між напряж.і потенціалом. Потенціали полів точкового заряду та произв. заряд. тіла. Потенці. однорідного поля.

Знайдемо взаємозв'язок між напруженістю електростатичного поля, що є його силовою характеристикою, та потенціалом – енергетичною характеристикою поля.

Робота з переміщення одиничного точкового позитивного заряду з однієї точки в іншу вздовж осі х за умови, що точки розташовані нескінченно близько один до одного А=Exdxq0. Та ж робота дорівнює A=(1-2)q0=-d Прирівнявши обидва вирази, можемо записати

Ex=-д/дx. Аналогічно Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Отже Е = Exi + Eyj + Ezk де i, j, k - поодинокі вектори координатних осей х, у, z. Тоді т. е. напруженість Е поля дорівнює градієнту потенціалу зі знаком мінус. Знак мінус визначається тим, що вектор напруженості Е поля спрямований у бік зменшення потенціалу.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля, як і у разі нуля тяжіння, користуються еквіпотенційними поверхнями - поверхнями, у всіх точках яких потенціал має одне і те ж значення.

Якщо поле створюється точковим зарядом, його потенціал, відповідно, =(1/40)Q/r. Отже, еквіпотенційні поверхні у разі - концентричні сфери.

З іншого боку, лінії напруженості у разі точкового заряду – радіальні прямі. Отже, лінії напруженості у разі точкового заряду перпендикулярні до еквіпотенційних поверхонь.

^ Потенціал поля точкового заряду Q в однорідному ізотропному середовищі з діелектричною проникністю  :

Потенціал однорідного поля:
φ = W п / q = -E x x + C
Значення потенціалу цієї точки залежить від вибору нульового рівня для відліку потенціалу. Цей рівень вибирають довільно.

6. робота сил елктростат. поля з перенесення точкового заряду. Циркуляція та ротор електростат. Поля

Елементарна робота, що здійснюється силою F при переміщенні точкового електричного заряду qпр з однієї точки електростатичного поля в іншу на відрізку шляху dl , за визначенням дорівнює

де - Кут між вектором сили F і напрямом руху dl. Якщо робота відбувається зовнішніми силами, то dA=0. Інтегруючи останній вираз, отримаємо, що робота проти сил поля при переміщенні пробного заряду qпр з точки “а” в точку “b” дорівнюватиме…

де - Кулонівська сила, що діє на пробний заряд qпр в кожній точці поля з напруженістю Е. Тоді робота ...

Нехай заряд переміщається в поле заряду q з точки "а", віддаленої від q на відстані в точку "b", віддалену від q на відстані (рис. 1.12).

Як видно з малюнка тоді отримаємо

Як було сказано вище, робота сил електростатичного поля, що здійснюється проти зовнішніх сил, дорівнює за величиною і протилежна за знаком роботи зовнішніх сил, отже

Робота електростатичних сил за будь-яким замкнутим контуром дорівнює нулю. тобто. циркуляція електростатичного поля за будь-яким контуром дорівнює нулю. Візьмемо будь-яку поверхню S, що спирається на контур Г.

По теоремі Стокса: так як це для будь-якої поверхні

Існує тотожність: . тобто. силові лінії електростатичного поля не циркулюють у просторі.

7. Т-ма гауса для поля вектора E(r). Діверг. Електростат. Поля. Ур-е Пуасона для потенц. Електростат. Поля

^ Теорема Гауса- основна теорема електродинаміки, що застосовується обчислення електричних полів. Вона виражає зв'язок між потоком напруженості електричного поля крізь замкнуту поверхню та зарядом в об'ємі, обмеженою цією поверхнею.

Потік вектора напруженості електричного поля через будь-яку, довільно вибрану замкнуту поверхню пропорційний ув'язненому в цій поверхні електричному заряду. , де Для теореми Гауса справедливий принцип суперпозиції, тобто потік вектора напруженості через поверхню не залежить від розподілу заряду всередині поверхні.

Теорема Гауса для вектора напруженості електростатичного поля може бути сформульована і диференціальної формі. Справді, розглянемо поле точкового електричного заряду, розташованого на початку координат: Зі співвідношення випливає

Легко перевірити, що для точки спостереження, в якій немає електричного заряду, справедливе співвідношення: (1.55) Математична операція у лівій частині співвідношення (1.55) має спеціальну назву "дивергенція векторного поля та спеціальне позначення

Рівняння Пуассона- еліптичне ду у приватних похідних, яке, серед іншого, описує електростатичне поле. Це рівняння має вигляд:

де Δ - оператор Лапласа або лапласіан, а f- дійсна чи комплексна функція на деякому різноманітті.

У тривимірній декартовій системі координат рівняння набуває форми:

У декартовій системі координат оператор Лапласа записується у формі і рівняння Пуассона набуває вигляду: Якщо fпрагне нуля, то рівняння Пуассона перетворюється на ур-е Лапласа: де Ф – електростатичний потенціал, – об'ємна щільність заряду, а – діелектрична проникність вакууму.

В області простору, де немає непарної щільності заряду, маємо: =0 і рівняння потенціалу перетворюється на рівняння Лапласа:

Електростатичне поле - поле, створене нерухомими у просторі та незмінними у часі електричними зарядами (за відсутності електричних струмів).

Якщо просторі є система заряджених тіл, то кожному точці цього простору існує силове електричне поле. Воно визначається через силу, що діє на пробний заряд, вміщений у цьому полі. Пробний заряд має бути малим, ніж вплинути на характеристику електростатичного поля.

У силу принципу суперпозиції потенціал всієї сукупності зарядів дорівнює сумі потенціалів, створюваних у цій точці поля кожним із зарядів окремо: *

Величинаназивається електричним дипольним моментом системи зарядів.

^ Електрич. дипольним моментом або просто дипольним моментомСистеми зарядів q i називається сума творів величин зарядів на їх радіус-вектори.

Зазвичай дипольний момент позначається латинською літерою d або латинською літерою p.

Дипольний момент має надзвичайне значення у фізиці щодо нейтральних систем. Дія електричного поля на нейтральну систему зарядів та електричне поле створене нейтральною системою визначаються насамперед дипольним моментом. Це, зокрема, стосується атомів та молекул.

Нейтральні системи зарядів з відмінним від нуля дипольним моментом називають диполями.

Властивості:Усього певний вище дипольний момент залежить від системи відліку. Однак для нейтральної системи сума всіх набоїв дорівнює нулю, тому залежність від системи відліку зникає.

Самий диполь складається з двох однакових за абсолютною величиною, але протилежних за зарядами + q і -q, які знаходяться на певній відстані r один від одного. Дипольний момент тоді дорівнює абсолютної величині qr і спрямований від позитивного до негативного заряду. У разі безперервного розподілу заряду із щільністю дипольний момент визначається інтегруванням

9. Диполь у зовнішньому електростаті. Поле. Момент сил, що діє диполь, потенц. Енергія диполя у однорідному полі.

Електричним диполем називають систему двох однакових за величиною різноіменних точкових зарядів і відстань між якими значно менше відстані до тих точок, в яких визначається поле системи. Пряма, що проходить через обидва заряди, називається віссю диполя. Відповідно до принципу суперпозиції потенціал поля у певній точці А дорівнює: .

Нехай точка А обрана так, що довжина набагато менша відстаней і . І тут можна покласти, що ; та формулу для потенціалу диполя можна переписати:

де - кут між віссю диполя та напрямком до точки А, проведеним від диполя. Твір називається електричним моментом диполяабо дипольним моментом.

Вектор спрямований на осі диполя від негативного заряду до позитивного. Таким чином, твір у формулі є дипольним моментом і відповідно:

Момент сил, що діє на диполь у зовнішньому електричному полі.

Помістимо диполь у електричне поле. Нехай напрямок диполя становить із напрямком вектора напруженості певний кут. На негативний заряд діє сила, спрямована проти поля, на позитивний заряд діє сила, спрямована вздовж поля. Ці сили утворюють пару силз крутним моментом: У векторному вигляді:

^ Диполь в однорідному зовнішньому полі повертається під дією моменту, що обертає. таким чином, щоб сила, що діє на позитивний заряд диполя, збігалася з вектором і віссю диполя. Цьому положенню відповідає і

10. Діелектрики в електростаті. Поле. Вектори поляризованості та ел. Зміщення. Діел. Сприймч. І проник. Середовище. Зв'язок між ними.

Діелектрики – речовини, які мають практично вільних носіїв заряду. Тому вони не проводять струму, заряди не переходять, але поляризуються. діелектрики - це речовини молекулярної будови, сили зв'язку їх зарядів усередині більше сил зовнішнього поля і вони пов'язані, замкнуті всередині молекул і зовнішньому полі лише частково зсуваються, викликаючи поляризацію.

За наявності зовнішнього електростатичного поля напруженістю молекули діелектрика деформуються. Позитивний заряд зміщується за напрямом зовнішнього поля, а негативний – у протилежному напрямку, утворюючи диполь – пов'язаний заряд. У діелектриках, що мають дипольні молекули, їх електричні моменти під впливом зовнішнього поля частково орієнтуються у напрямку поля. Більшість діелектриків напрям вектора поляризованості збігається з напрямом вектора напруженості зовнішнього поля, а напрям вектора напруженості поляризованих зарядів протилежно напрямку вектора напруженості зовнішнього поля (від + Qдо – Q).

Вектор поляризованостівизначають геометричної сумі електричних моментів диполів в одиниці обсягу. Більшість діелектриків де k – відносна діелектрична сприйнятливість.

У електротехнічних розрахунках використовується також вектор електричного зміщення (індукції):,Де .Вектор залежить як від вільних, так і від пов'язаних зарядів.

Діелектрична проникністьсередовища ε показує, у скільки разів сила взаємодії двох електричних зарядів у середовищі менша, ніж у вакуумі. Діелектрична сприйнятливість (поляризованість) речовини - фізична величина, міра здатності речовини поляризуватися під впливом електричного поля. Поляризованість пов'язана з діелектричною проникністю ε соотн: , або.

11. Т-ма Гауса для полів векторів P(r) та D(r) в інтегр. І деф. формах

Теорема Гауса для вектора: Потік вектора поляризованості крізь замкнуту поверхню дорівнює взятому з протилежним знаком надмірному зв'язаному заряду діелектрика в об'ємі, що охоплюється поверхнею.

Диференціальна форма: дивергенція вектора поляризованості дорівнює взятій з протилежним знаком об'ємної щільності надлишкового заряду пов'язаного в цій же точці.

Точки, де – джерела поля (з них лінії поля розходяться), і навпаки, точки, де – стоки поля.

Густина; , коли:

1) - діелектрик неоднорідний; 2) – поле неоднорідне.

При поляризації однорідного ізотропного діелектрика з'являються поверхневі пов'язані заряди, а об'ємні – ні.

^ Теорема Гауса для вектора D

Потік вектора електричного зміщення D крізь замкнуту поверхню S дорівнює сумі алгебри вільних зарядів, розташованих в об'ємі, обмеженому цією поверхнею, тобто (1)

Якщо не залежить від координат (ізотропне середовище), то

З ур-я (1) випливає, що коли заряд розташований поза об'ємом, обмеженим замкненою поверхнею S, потік вектора D крізь поверхню S дорівнює нулю.

Застосовуючи до лівої частини (1) теорему Гауса - Остроградського та висловлюючи qчерез об'ємну щільність заряду р, одержуємо:

Так як обсяг обраний довільно, то підінтегральні ф-ції дорівнюють:

Диференційна формаТеорема Гауса - Остроградського (2-78) стверджує, що джерелами вектора електричного зміщення є електричні заряди. У тих галузях простору, де р=0, джерел вектора електричного зміщення немає і, отже, силові лінії немає розривів, т. к. div D=0. Для середовищ з абсолютною діелектричною проникністю, що залежить від координат, можна записати:

У металевих провідниках є вільні носії заряду – електрони провідності (вільні електрони), які під дією зовнішнього електричного поля переміщатися у всьому провіднику. У відсутність зовнішнього поля електричні поля електронів провідності та позитивних іонів металу взаємно компенсуються. Якщо металевий провідник внести у зовнішнє електростатичне поле, то під дією цього поля електрони провідності перерозподіляються у провіднику таким чином, щоб у будь-якій точці всередині провідника електричне поле електронів провідності та позитивних іонів компенсувало зовнішнє поле.

^ Явищем електростатичної індукції називається перерозподіл зарядів у провіднику під впливом зовнішнього електростатичного поля. При цьому на провіднику виникають заряди, чисельно рівні один одному, але протилежні за знаками індуковані (наведені) заряди, які зникають, як тільки провідник видаляється з електричного поля.

Оскільки всередині провідника E=-grad фі=0, то потенціал буде постійною величиною. Некомпенсовані заряди розміщуються у провіднику лише з його поверхні.

при приміщенні нейтрального провідника у зовнішнє поле вільні заряди почнуть переміщатися: позитивні – полем, а негативні – проти поля. В одному кінці провідника буде надлишок позитивних зарядів, іншому – негативних. Остаточно всередині провідника напруженість поля дорівнюватиме нулю, а лінії напруженості поза провідником – перпендикулярними його поверхні.

^ Електроємність відокремленого провідника.

Ємність відокремленого провідникавизначається зарядом повідомлення якого провіднику змінює його потенціал на одиницю. С=Q/.

для кулірадіусом R

Конденсатори.

Конденсатори - пристрої здатні накопичувати значні за величиною заряди. Місткість конденсатора - фізична величина дорівнює відношенню заряду Q накопиченого в конденсаторі до різниці потенціалів між його обкладками. C=Q/( 1 - 2). для плоского кон-ра.

У паралельно з'єднаних кон-рів різниця потенціалів однакова, у послідовно з'єднаних кон-рів заряди всіх обкладок рівні по модулю.

14. Енергія зарядженого конденсатора. Енергія та щільність енергії електростатичного поля.

Як всякий заряджений провідник, конденсатор має енергію, яка дорівнює

W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) де Q - заряд конденсатора, С - його ємність,  - різниця потенціалів між обкладками.

Використовуючи вираз (1), можна знайти механічну силу, з якою пластини конденсатора притягують одна одну. Для цього припустимо, що відстань між пластинами змінюється, наприклад, на величину Ах. Тоді діюча сила здійснює роботу dA=Fdx внаслідок зменшення потенційної енергії системи

Fdx=-dW, звідки F=dW/dx. (2)

Виробляючи диференціювання за конкретного значення енергії знайдемо шукану силу:

де знак мінус показує, що сила F є силою тяжіння.

^ Енергія електростатичного поля.

Перетворимо формулу (1), що виражає енергію плоского конденсатора за допомогою зарядів та потенціалів, скориставшись виразом для ємності плоского конденсатора (C = 0/d) та різниці потенціалів між його обкладками ( =Ed). Тоді отримаємо

де V = Sd – обсяг конденсатора. Ця ф-ла показує, що енергія конденсатора виражається через величину, що характеризує електростатичне поле, - напруженість Е.

Об'ємна щільність енергії електростатичного поля(Енергія одиниці обсягу)

w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95.8)

Вираз (95.8) справедливий тільки для ізотропного діелектрика, для якого

виконується співвідношення Р=0Е.

Формули (1) і (95.7) відповідно пов'язують енергію конденсатора із зарядом на його обкладках та з напруженістю поля.

Електромагнітне поле - тензор електромагнітного поля.
^ Вектор магнітної індукції.

p align="justify"> Вектор магнітної індукції є кількісною характеристикою магнітного поля.

Магнітна індукція однорідного магнітного поля визначається максимальним моментом, що обертає, діючим на рамку з магн. моментом рівним одиниці, коли нормаль перпендикулярна до напрямку поля.

^ Принцип суперпозиції магнітних полів : якщо магнітне поле створено кількома провідниками зі струмами, то вектор магнітної індукції в будь-якій точці цього поля дорівнює векторній сумі магнітних індукцій, створених у цій точці кожним струмом окремо:

Сила Лоренца.

Сила, що діє на ел. заряд Q, що рухається в магн. поле зі швидкістю v називається силою Лоренца. F = Q. Напрямок сили Лоренца визначається за правилом лівої руки. Магнітне поле не діє на заряд, що покоїться. Якщо на заряд, що рухається, крім магн. поля діє ел. поле то результуюча сила дорівнює векторній сумі сил. F = QE + Q.

Модуль сили Лоренца дорівнює добутку модуля індукції магнітного поля B(вектор), в якому знаходиться заряджена частка, модуля заряду цієї частини q, її швидкості υ і синуса кута між напрямками швидкості і вектора індукції магнітного поля Так як сила Лоренца перпендикулярна вектору швидкості частинки, то вона може змінити значення швидкості, а змінює лише її напрям і, отже, не здійснює роботи.

^ Рух заряджених частинок у магнітному полі.

Якщо заряджена частка рухається в магн. поле перпендикулярно вектору, то сила Лоренца постійна по модулю і нормальна до траєкторії руху частинки.

^ Електричний струм - це упорядкований рух заряджених частинок у провіднику. Щоб він виник, слід попередньо створити електричне поле, під дією якого вищезгадані заряджені частинки почнуть рухатися.

^ Закон Ома-Сила струму в однорідній ділянці ланцюга прямо пропорційна напрузі, прикладеному до ділянки, і обернено пропорційна електричному опору цієї ділянки.

Сила струму - скалярна фізична величина, що визначається ставленням заряду Δq, що проходить через поперечний переріз провідника за деякий проміжок Δt, до цього проміжку часу.