Теорема синусів косінусів та тангенсів. Графік функції косинус, y = cos x

Перша частина теореми: сторони довільного трикутника пропорційний синусам протилежних кутів, тобто:

Друга частина теореми: кожен дріб дорівнює діаметру кола, описаного біля даного трикутника, тобто: .

Коментар репетитора з математики: використання другої частини теореми синусів закладається чи не в кожному другому конкурсному завданні на коло. Чому? Справа в тому, що рівність дозволяє знаходити радіус кола маючи в наявності лише два елементи трикутника. Це дуже часто використовують упорядники сильних завдань, які спеціально так підбирають умову, щоб ніякі інші елементи трикутника (і всього малюнка) не знаходилися б взагалі! «Картинка» при цьому буде плаваючою. Ця обставина сильно ускладнює роботу на іспиті, бо не дає можливість діяти в обхід закладеної якості.

Доказ теореми синусів:

за підручником Атанасяна
Доведемо, що з будь-якого трикутника зі сторонами a, b, c протилежними кутами A, B і З виконується рівність: .
Проведемо висоту BH з вершини В. Можливі два випадки:
1) Точка H лежить на стороні AC (це можливо, коли і — гострі).
За визначенням синуса гострого кута у прямокутному трикутнику ABH запишемо

Аналогічно у трикутнику CBH маємо. Прирівнюючи вирази для BH один до одного отримаємо:
2)Нехай H лежить на продовженні сторони AC (наприклад, ліворуч від А). Це станеться, якщо – тупий. Аналогічно за визначенням синуса гострого кута А в трикутнику ABH запишемо рівність , але оскільки синуси суміжних кутів рівні, то замінивши в цій рівності на , отримаємо як і в першому випадку. Тому незалежно від величин кутів А і С рівність вірна.
Після поділу обох його частин на отримаємо . Аналогічно доводиться рівність другої пари дробів

Доказ теореми синусів за підручником Погорєлова:

Застосуємо формулу площі трикутника для двох кутів A і C:


Після прирівнювання правих частин і скорочення на отримаємо таку ж рівність, як і в доказі першим способом. З нього тим самим шляхом отримуємо рівність дробів.

Доказ другої частини теореми синусів:

Опишемо біля даного трикутника коло і через проведемо її діаметр BD. Оскільки кути D і C спираються однією дугу, всі вони рівні (наслідок з теореми про вписаних кутах). Тоді . Застосуємо в трикутнику ABD визначення синуса кута D: Що потрібно було довести.

Завдання на другу частину теореми синусів:
1) У коло радіуса 15 вписана трапеція. Довжини діагоналі та висоти трапеції відповідно дорівнюють 20 і 6. Знайти бічну сторону.
2) Радіус коло, описаної біля трапеції, дорівнює 25, а косинус її тупого кута дорівнює -0,28 (мінус!). Діагональ трапеції утворює з основою кут. Знайти висоту трапеції.
3) В коло радіуса 10 вписана трапеція. Довжини діагоналі та середньої лінії трапеції відповідно дорівнюють 15 та 12. Знайти довжину бічної сторони трапеції.
4) Олімпіада у Фінансовій академії 2009р. Хорди кола перетинаються в точці Q. Відомо, що радіус кола дорівнює 4см. Знайдіть довжину хорди PN. Олімпіада у Фінансовій академії 2009р.
5) У трикутнику PST. Навколо точки перетину його бісектрис і вершин P і T описано коло з радіусом 8см. Знайдіть радіус кола, описаного біля трикутника PST (авторське завдання).

Детально розібрати теорему синусів та отримати необхідну практику її використання у завданнях вам завжди допоможе репетитор з математики. Її планове шкільне вивчення відбувається у курсі геометрії 9 класу у темі розв'язання трикутників (за всіма програмами). Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики для складання іспиту не менше ніж на 70 балів, доведеться тренуватися у вирішенні міцних планиметричних завдань з номерів С4. Вони теорему синусів часто застосовують до вписаним трикутникам з огляду на співвідношення . Пам'ятайте про це!

З повагою, Колпаков Олександр Миколайович,
репетитор з математики

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.

Історично основним об'єктом дослідження цього розділу математичної науки були прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім було відкрито спеціальні формули, дозволили розширити межі вживання у повсякденні даного розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах.

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівень розвитку, формули із синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділ не вивчається в школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а отже, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі «дугоподібною».

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику у прямокутній системі координат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета (тобто сторони, що знаходиться навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формула є прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулу абсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс і котангенс, правила перетворення і кілька базових формул ви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні складніші формули на аркуші паперу.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний добуток синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним куту бета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки з неуважності

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, годі було перетворювати прості дроби в десяткові до отримання остаточного результату - можна й відповідь залишити як звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма згаєте час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвійний твір сторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна вирахувати відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьох сторін та величини трьох кутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс, виходячи з відомих довжин катетів або гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричної задачі стає знаходження коренів звичайного рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Вивчення тригонометрії ми розпочнемо з прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.

Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.

Гострий кут- менше 90 градусів.

Тупий кут- більший за 90 градусів. Стосовно такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)

Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернімо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .

Кут позначається відповідною грецькою літерою.

Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.

Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.

Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до кута). Інший катет, який лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.

Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:

Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:

Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:

Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):

Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони стануть у нагоді нам при вирішенні завдань.

Давайте доведемо деякі з них.

Добре, ми дали визначення та записали формули. А навіщо потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?

Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.

Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутний трикутник. Це теорема Піфагора: .

Виходить, знаючи два кути в трикутнику, можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Значить, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо у прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) та одна сторона, а знайти треба інші сторони?

З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.

Синус, косинус та тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти інші.

Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .

Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.

Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.

1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .

Завдання вирішується за чотири секунди.

Оскільки , .

2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .

Знайдемо за теоремою Піфагора.

Завдання вирішено.

Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!

Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.

Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто перебування невідомих сторін чи кутів. Але це не все! У варіантах ЄДІ з математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2