Тотожні перетворення логарифмічних виразів приклади. Перетворення виразів з використанням властивостей логарифмів, приклади, рішення

Придністровський державний університет

ім. Т.Г. Шевченка

Фізико-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

та методики викладання математики

КУРСОВА РОБОТА

«Тотожні перетворення

показових та логарифмічних

виразів»

Роботу виконала:

студентка _______ групи

фізико-математичного ф-ту

_________________________

Роботу перевірила:

_________________________

Тираспіль, 2003р.

Вступ……………………………………………………………………2

Глава 1. Тотожні перетворення та методика викладання у шкільному курсі алгебри та початку аналізу……………………………………..4

§1. Формування навичок застосування конкретних видів перетворень…………………………………………………………………………….4

§2. Особливості організації системи знань щодо тотожних перетворень.…….………………………….………..………….5

§3. Програма з математики ……………………………………….11

Розділ 2. Тотожні перетворення та обчислення показових та логарифмічних виразів……………………………...…………………13

§1. Узагальнення поняття ступеня……………………………………..13

§2. Показова функція…………………………………………..15

§3. Логарифмічна функція……………………………………….16

Розділ 3. Тотожні перетворення показових та логарифмічних виразів на практиці..........................................................................19

Заключение………………………………………………………………..24

Список використаної литературы…………………………………….25
Вступ

У цій роботі буде розглянуто тотожні перетворення показової та логарифмічної функції, розглянуто методику викладання їх у шкільному курсі алгебри та початку аналізу.

Перший розділ даної роботи визначає методику викладання тотожних перетворень у шкільному курсі математики, так само включає програму з математики в курсі «Алгебри та початку аналізу» з вивченням показової та логарифмічної функції.

Другий розділ розглядає безпосередньо саму показову та логарифмічну функції, їх основні властивості, що використовуються при тотожних перетвореннях.

Третій розділ - вирішення прикладів та завдань з використанням тотожних перетворень показової та логарифмічної функції.

Вивчення різних перетворень виразів та формул займає значну частину навчального часу в курсі шкільної математики. Найпростіші перетворення, що спираються на властивості арифметичних операцій, виробляються вже в початковій школі та IV-V класах. Але основне навантаження щодо формування вмінь та навичок виконання перетворень несе на собі курс шкільної алгебри. Це пов'язано як з різким збільшенням числа та різноманітності скоєних перетворень, так і з ускладненням діяльності з їх обґрунтування та з'ясування умов застосування, з виділенням та вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, рівносильного перетворення, логічного слідування.

Культура виконання тотожних перетворень розвивається як і, як і культура обчислень, з урахуванням міцних знань властивостей операцій над об'єктами (числами, векторами, многочленами тощо. буд.) та алгоритмів їх виконання. Вона проявляється не тільки в умінні правильно обґрунтувати перетворення, але і в умінні знайти найкоротший шлях переходу від вихідного аналітичного виразу до виразу, що найбільш відповідає меті перетворення, в умінні простежити за зміною області визначення аналітичних виразів у ланцюжку тотожних перетворень, у швидкості та безпомилок .

Забезпечення високої культури обчислень та тотожних перетворень становить важливу проблему навчання математики. Однак ця проблема вирішується ще далеко не задовільно. Доказ цього - статистичні дані органів народної освіти, в яких щорічно констатуються помилки та нераціональні прийоми обчислень та перетворень, які допускаються учнями різних класів при виконанні контрольних робіт. Це підтверджується і відгуками вищих навчальних закладів щодо якості математичних знань та навичок абітурієнтів. Не можна не погодитися з висновками органів народної освіти та вузів про те, що недостатньо високий рівень культури обчислень та тотожних перетворень у середній школі є наслідком формалізму у знаннях учнів, відриву теорії від практики.

Глава 1.

Тотожні перетворення та методика викладання

у шкільному курсі алгебри та початку аналізу.

§1. Формування навичок застосування

конкретних видів преобравань.

p align="justify"> Система прийомів і правил проведення перетворень, що використовується на етапі почав алгебри, має дуже широку область додатків: вона використовується у вивченні всього курсу математики. Однак саме через свою малу специфічність ця система потребує додаткових перетворень, що враховують особливості структури перетворюваних виразів і властивості нововведених операцій і функцій. Освоєння відповідних видів перетворень починається із запровадження формул скороченого множення. Потім розглядаються перетворення, пов'язані з операцією зведення у ступінь, з різними класами елементарних функцій – показових, статечних, логарифмічних, тригонометричних. Кожен із цих типів перетворень проходить етап вивчення, у якому увагу зосереджується на засвоєнні їх характерних рис.

У міру накопичення матеріалу з'являється можливість виділити і загальні риси всіх перетворень, що розглядаються, і на цій основі ввести поняття тотожного і рівносильного перетворень.

Слід звернути увагу, що поняття тотожного перетворення дається у шкільному курсі алгебри над повної спільності, лише у застосуванні до выражениям. Перетворення поділяються на два класи: тотожні перетворення - це перетворення виразів, і рівносильні - перетворення формул. У разі, коли виникає потреба у спрощенні однієї частини формули, у цій формулі виділяється вираз, який і служить аргументом тотожного перетворення, що застосовується. Відповідний предикат у своїй вважається незмінним.

Що стосується організації цілісної системи перетворень(синтез), то основна її мета полягає у формуванні гнучкого та потужного; апарату, придатного для використання у вирішенні різноманітних навчальних завдань.

У курсі алгебри і започаткування аналізу цілісна система перетворень, в основних рисах вже сформована, продовжує поступово вдосконалюватися. До неї також додаються деякі нові види перетворень, проте вони лише збагачують її, розширюють її можливості, але не змінюють її структуру. Методика вивчення цих нових перетворень практично не відрізняється від алгебри, що застосовується в курсі.

§2. Особливості організаціїсистеми завдань

щодо тотожних перетворень.

Основний принцип організації будь-якої системи завдань - пред'явлення їх від простого до складного з урахуванням необхідності подолання учнями посильних труднощів та проблемних ситуацій. Зазначений основний принцип вимагає конкретизації стосовно особливостей даного навчального матеріалу. Для опису різних систем завдань у методиці математики використовується поняття циклу вправ.Цикл вправ характеризується з'єднанням у послідовності вправ кількох аспектів вивчення та прийомів розташування матеріалу. По відношенню до тотожні перетворення уявлення про цикл може бути дано наступним чином.

Цикл вправ пов'язані з вивченням одного тотожності, навколо якого групуються інші тотожності, що з ним у природному зв'язку. До складу циклу поряд з виконавчими входять завдання, що вимагають розпізнавання застосування тотожності, що розглядається. Точество, що вивчається, застосовується для проведення обчислень на різних числових областях. Враховується специфіка тотожності; зокрема, організуються пов'язані з ним мовні звороти.

Завдання у кожному циклі розбиті на дві групи. До першої відносяться завдання, які виконуються при початковому знайомстві з тотожністю. Вони служать навчальним матеріалом для кількох уроків, що йдуть поспіль, об'єднаних однією темою. Друга група вправ пов'язує тотожність, що вивчається, з різними додатками. Ця група не утворює композиційної єдності - вправи тут розкидані з різних тем.

Описана структура циклу належить до етапу формування навичок застосування конкретних видів перетворень. На заключному етапі – етапі синтезу цикли видозмінюються. По-перше, об'єднуються обидві групи завдань, що утворюють «розгорнутий» цикл, причому з першої групи виключаються найпростіші за формулюванням або складністю виконання завдання. Типи завдань, що залишилися, ускладнюються. По-друге, відбувається злиття циклів, що відносяться до різних тотожностей, внаслідок чого підвищується роль дій щодо розпізнавання застосовності того чи іншого тотожності.

Зазначимо особливості циклів завдань, пов'язаних із тотожністю для елементарних функцій. Ці особливості зумовлені тим, що, по-перше, відповідні тотожності вивчаються у зв'язку з вивченням функціонального матеріалу і, по-друге, вони з'являються пізніше тотожності першої групи та вивчаються з використанням уже сформованих навичок проведення тотожних перетворень.

Кожна елементарна функція, що знову вводиться, різко розширює область чисел, які можуть бути позначені і названі індивідуально. Тому до першої групи завдань циклів мають увійти завдання встановлення зв'язку цих нових числових областей з вихідною областю раціональних чисел. Наведемо приклади таких завдань.

Приклад 1 . Обчислити:

Поруч із кожним виразом зазначено тотожність, у циклах якими можуть бути запропоновані завдання. Мета таких завдань - у освоєнні особливостей записів, що включають символи нових операцій та функцій, та у розвитку навичок математичної мови.

Значна частина використання тотожних перетворень, пов'язаних з елементарними функціями, посідає рішення ірраціональних і трансцендентних рівнянь. У цикли, які стосуються засвоєння тотожностей, входять лише найпростіші рівняння, але тут доцільно проводити роботу з засвоєнню прийому розв'язання таких рівнянь: зведення його шляхом заміни невідомого до рівня алгебри.

Послідовність кроків у цьому способі рішення така:

а) визначити функцію , на яку дане рівняння представимо як ;

б) зробити підстановку і розв'язати рівняння;

в) розв'язати кожне з рівнянь, де - безліч коренів рівняння.

При використанні описаного способу часто крок б) виконується в неявному вигляді, без введення позначення . Крім того, учні часто воліють з різних шляхів, які ведуть до знаходження відповіді, вибирати ту, яка швидше і простіше призводить до рівня алгебри.

Приклад 2 . Вирішити рівняння .

Перший спосіб:

Другий спосіб:

Тут видно, що з першому способі крок а) складніше, ніж із другому. Першим способом «важче розпочати», хоча подальший перебіг рішення значно простіший. З іншого боку, другий спосіб має переваги, що перебувають у більшій легкості, більшій відпрацьованості в навчанні зведення до рівня алгебри.

Для шкільного курсу алгебри типові завдання, у яких перехід до рівня алгебри здійснюється навіть ще простіше, ніж у даному прикладі. Основне навантаження таких завдань відноситься до виділення кроку в) як самостійної частини процесу рішення, пов'язаного з використанням властивостей елементарної функції, що вивчається.

Приклад 3 . Вирішити рівняння:

Ці рівняння зводяться до рівнянь: а) чи ; б) або . Для вирішення цих рівнянь потрібно знання лише найпростіших фактів про показову функцію: її монотонність, область значень. Як і завдання попереднього прикладу, рівняння а) та б) можна віднести до першої групи циклу вправ на розв'язання квадратно-показових рівнянь.

Таким чином, приходимо до класифікації завдань у циклах, що належать до розв'язання трансцендентних рівнянь, що включають показову функцію:

1) рівняння, що зводяться до рівнянь виду і мають простий, загальний формою відповідь: ;

2) рівняння, що зводяться до рівнянь , де - ціле число, або , де ;

3) рівняння, що зводяться до рівнянь та потребують явного аналізу форми, в якій записано число .

Аналогічно можна класифікувати завдання й інших елементарних функций.

Значна частина тотожностей, що вивчаються в курсах алгебри та алгебри та почав аналізу, доводиться в них або, принаймні, пояснюється. Ця сторона вивчення тотожностей має значення для обох курсів, оскільки доказові міркування у яких із найбільшою чіткістю і строгістю проводяться саме стосовно тотожностей. За межами цього матеріалу докази зазвичай менш повні, вони не завжди виділяються із складу застосовуваних засобів обґрунтування.

Як опора, на якій будуються докази тотожностей, використовуються властивості арифметичних операцій.

Виховний вплив обчислень і тотожних перетворень можливо, спрямовано розвиток логічного мислення, якщо від учнів будуть систематично вимагатися обгрунтування обчислень і тотожних перетворень, в розвитку функціонального мислення, що досягається різними шляхами. Цілком очевидно значення обчислень та тотожних перетворень у розвитку волі, пам'яті, кмітливості, самоконтролю, творчої ініціативи.

Запити побутової, виробничої обчислювальної практики вимагають формування в учнів міцних, автоматизованих навичок раціональних обчислень та тотожних перетворень. Ці навички виробляються в процесі будь-якої обчислювальної роботи, проте необхідні спеціальні тренувальні вправи в швидких обчисленнях і перетвореннях.

Так, якщо на уроці передбачається вирішення логарифмічних рівнянь з використанням основної логарифмічної тотожності, то корисно до плану уроку включити усні вправи на спрощення або обчислення значень виразів: , , . Мета вправ завжди повідомляється учням. У ході виконання вправи може виникнути потреба вимагати від учнів обґрунтувань окремих перетворень, дій або вирішення всього завдання, навіть якщо це не планувалося. Там, де можливі різні способи вирішення завдання, бажано завжди ставити питання: «Яким способом вирішувалося завдання?», «Хто вирішив завдання іншим способом?»

Поняття тотожності і тотожного перетворення вони явно вводяться в курсі алгебри VI класу. Саме визначення тотожних виразів не може бути практично використано для доказу тотожності двох виразів, і зрозуміти, що сутність тотожних перетворень полягає у застосуванні до виразу визначень та властивостей тих дій, які зазначені у виразі, або у додаванні до нього виразу, тотожно рівного 0, або у множенні його на вираз, що тотожно дорівнює одиниці. Але, навіть засвоївши ці становища, учні часто розуміють, чому зазначені перетворення дозволяють стверджувати, що вихідне і отримане вираз тотожні, тобто. набувають однакових значень при будь-яких системах (наборах) значень змінних.

Важливо так само домогтися, щоб учні добре розуміли, що такі висновки тотожних перетворень є наслідками визначень та властивостей відповідних дій.

Апарат тотожних перетворень, накопичений попередні роки, в VI класі розширюється. Це розширення починається запровадженням тотожності, що виражає властивість добутку ступенів з однаковими основами: , де , - Цілі числа.

§3. Програма математики.

У шкільному курсі «Алгебра та початку аналізу» учні систематично вивчають показову та логарифмічну функції та їх властивості, тотожні перетворення логарифмічних та показових виразів та їх застосування до розв'язання відповідних рівнянь та нерівностей, знайомляться з основними поняттями, твердженнями.

У XI класі на уроки алгебри йде по 3 години на тиждень, всього виходить 102 години на рік. На вивчення показової, логарифмічної та статечної функції за програмою потрібно 36 годин.

До програми входить розгляд та вивчення наступних питань:

Поняття про рівень із раціональним показником. Розв'язання ірраціональних рівнянь. Показова функція, її властивості та графік. тотожні перетворення показових виразів. Вирішення показових рівнянь та нерівностей. Логарифм числа. Основні властивості логарифмів. Логарифмічна функція, її властивості та графік. Розв'язання логарифмічних рівнянь та нерівностей. Похідна показової функції. Число та натуральний логарифм. Похідна статечної функції.

Основною метою розділу вивчення показової та логарифмічної функції є ознайомлення учнів із показовою, логарифмічною та статечною функцією; навчити учнів вирішувати показові та логарифмічні рівняння та нерівності.

Поняття кореня -ого ступеня та ступеня з раціональним показником є ​​узагальненням понять квадратного кореня та ступеня з цілим показником. Слід звернути увагу учнів, що аналізовані тут властивості коренів і ступенів з раціональним показником аналогічні тим властивостям, якими володіють вивчені раніше квадратні корені та ступеня з цілими показниками. Необхідно приділити достатньо часу відпрацюванню властивостей ступенів та формуванню навичок тотожних перетворень. Поняття ступеня з ірраціональним показником запроваджується на наочно-інтуїтивній основі. Цей матеріал відіграє допоміжну роль і використовується для введення показової функції.

Вивчення властивостей показової, логарифмічної та статечної функції побудовано відповідно до прийнятої загальної схеми дослідження функцій. При цьому огляд властивостей залежить від значень параметрів. Показові та логарифмічні нерівності вирішуються з опорою на вивчені властивості функцій.

Характерною особливістю курсу є систематизація та узагальнення знань учнів, закріплення та розвиток умінь та навичок, отриманих у курсі алгебри, що здійснюється як при вивченні нового матеріалу, так і при проведенні узагальнюючого повторення.
Розділ 2.

Тотожні перетворення та обчислення

показових та логарифмічних виразів

§1. Узагальнення поняття ступеня.

Визначення:Коренем -ой ступеня з чиста називається таке число, -я ступінь якого дорівнює.

Відповідно до даного визначення корінь -ого ступеня з числа - це рішення рівняння. Число коренів цього рівняння залежить від і . Розглянемо функцію. Як відомо, на проміжку ця функція за будь-якого зростає і набуває всіх значень з проміжку . По теоремі про корені рівняння для будь-якого має невід'ємний корінь і лише один. Його називають арифметичним коренем -ого ступеня з числаі позначають; число називають показником кореня, а саме число - підкореним виразом. Знак називають так само радикалом.

Визначення: Арифметичним коренем -ого ступеня з числа називають невід'ємне число, -я ступінь якого дорівнює.

При парних функція парна. Звідси випливає, що якщо , то рівняння, крім кореня, має також корінь. Якщо , то один корінь: ; якщо , це рівняння коренів немає, оскільки парний ступінь будь-якого числа неотрицательна.

При непарних значеннях функція зростає на всій числовій прямій; її область значень - безліч всіх дійсних чисел. Застосовуючи теорему про корені, знаходимо, що рівняння має один корінь за будь-якого і, зокрема, при . Цей корінь для будь-якого значення позначають.

Для коріння непарного ступеня справедлива рівність. Фактично, , тобто. число - є корінь-го ступеня. Але такий корінь при непарному єдиний. Отже, .

Примітка 1:Для будь-якого дійсного

Нагадаємо відомі властивості арифметичних коренів -ого ступеня.

Для будь-якого натурального, цілого та будь-яких невід'ємних цілих чисел і справедливі рівності:

Ступінь із раціональним показником.

Вираз визначено всім і , крім випадку при . Нагадаємо властивості таких ступенів.

Для будь-яких чисел і будь-яких цілих чисел і справедливі рівності:

Зазначимо також, що якщо , то при і при .

Визначення:Ступенем числа з раціональним показником, де - ціле число, а - натуральне, називається число.

Отже, за визначенням.

При сформульованому визначенні ступеня з раціональним показником зберігаються основні властивості ступенів, вірні будь-яких показників (різниця у тому, що властивості правильні лише позитивних підстав).

§2. Показова функція.

Визначення:Функція, задана формулою (де , ), називається показовою функцією з основою.

Сформулюємо основні властивості показової функції.

Графік функції (рис. 1)

Ці формули називають основними властивостями ступенів.

Можна також помітити, що функція безперервна на безлічі дійсних чисел.

§3. Логарифмічна функція.

Визначення: Логарифмом числа з основи називається показник ступеня, в який потрібно звести основу. Щоб отримати число .

Формулу (де , і ) називають основною логарифмічною тотожністю.

При роботі з логарифмами застосовуються такі властивості, що випливають з властивостей показової функції:

За будь-якого( )та будь-яких позитивних та виконані рівності:

5. для будь-якого дійсного.

Основні властивості логарифмів широко застосовуються в ході перетворення виразів, що містять логарифми. Наприклад, часто використовується формула переходу від однієї основи логарифму до іншого: .

Нехай - позитивне число, що не дорівнює 1.

Визначення:Функцію, задану формулою називають логарифмічною функцією з основою.

Перелічимо основні властивості логарифмічної функції.

1. Область визначення логарифмічної функції - безліч всіх позитивних чисел, тобто. .

2. Область значень логарифмічної функції – безліч усіх дійсних чисел.

3. Логарифмічна функція по всій області визначення зростає (при ) чи убуває (при ).

Графік функції (рис. 2)

Графіки показової та логарифмічної функцій, що мають однакову основу, симетричні щодо прямої(Рис. 3).

Розділ 3.

Тотожні перетворення показових та

логарифмічних виразів практично.

Завдання 1.

Обчисліть:

Рішення:

Відповідь:; ; ; ; .; , отримуємо, що

Розглянула методи формування навичок в учнів щодо даного матеріалу. Також представила програму з математики вивчення курсу показової та логарифмічної функції у курсі «Алгебри та початку аналізу».

У роботі були наведені завдання, різні за складністю та за змістом, з використанням тотожних перетворень. Дані завдання може бути використані щодо контрольних чи самостійних робіт перевірки знань учнів.

Курсова робота, на мою думку, виконана в рамках методики викладання математики в середньо-освітніх закладах і може бути використана як наочний посібник для вчителів шкіл, а також для студентів денного та заочного відділень.

Список використаної литературы:

1. Алгебра та початку аналізу. За ред. Колмогорова О.М. М.: Просвітництво, 1991р.
2. Програма для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв. Математика 5-11 кл. М.: Дрофа, 2002р.
3. І.Ф. Шаригін, В.І. Голубєв. Факультативний курс з математики (вирішення задач). Уч. посібник для 11 кл. М.: Просвітництво, 1991р.
4. В.А. Оганесян та ін. Методика викладання математики в середній школі: Загальна методика; Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету педагогічних інститутів. -2-е видання перероблено та доповнено.М.: Просвітництво, 1980р.
5. Черкасов Р.С., Столяр О.О. Методика викладання математики у середній школі. М.: Просвітництво, 1985р.
6. Журнал "Математика у школі".

ВІДКРИТИЙ УРОК ПО АЛГЕБРІ В 11 «б» КЛАСІ

ТЕМА УРОКА

« ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ,

ТІ, хто містить ЛОГАРИФМИ»

Цілі уроку:

повторити визначення логарифму числа, основне логарифмічне тотожність;

закріпити основні властивості логарифмів;

посилити практичну спрямованість цієї теми для якісної підготовки до ЕНТ;

сприяти міцному засвоєнню матеріалу;

сприяти розвитку в учнів навичок самоконтролю.

Тип уроку: комбінований із використанням інтерактивного тесту.

Обладнання: проектор, екран, плакати із завданнями, лист відповідей.

План уроку:

Організаційний момент.

Актуалізація знань.

Інтерактивний тест

Турнір з логарифмами

Розв'язання задач за підручником.

Підведення підсумків. Заповнення аркуша відповідей.

Виставлення оцінок.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

2. Визначення цілей уроку.

Здрастуйте, хлопці! Сьогодні у нас незвичайний урок, урок – гра, яку ми проведемо у вигляді турніру з логарифмами.

Почнемо урок із інтерактивного тесту.

3. Інтерактивний тест:

4. Турнір з логарифмами:

Визначення логарифму.

Логарифмічні тотожності:

Спростіть:

Знайдіть значення виразу:

Властивості логарифмів .

Перетворення:

Робота із підручником.

Підведення підсумків.

Учні самостійно заповнюють аркуш відповідей.

Ставлять оцінки за кожну свою відповідь.

Виставлення оцінок. Домашнє завдання. Додаток 1.

Ви сьогодні поринули в логарифми,

Безпомилково їх треба обчислювати.

На іспиті, звичайно, ви їх зустрінете,

Залишається вам успіхів побажати!

I різновид

а) 9 ½ =3; б) 7 0 =1.

а)log8 = 6; б)log9=-2.

а) 1,7 log 1,7 2 ; б) 2 log 2 5 .

4. Обчислити:

а) lg8 + lg125;

б) log 2 7-log 2 7/16

в)log 3 16/log 3 4.

II різновид

1. Знайти логарифм на основі а числа, поданого у вигляді ступеня з підставою а:

а) 32 1/5 =2; б) 3 -1 =1/3.

2. Перевірте справедливість рівності:

а)log27 = -6; б)log 0,5 4=-2.

3. Спростити вираз, користуючись основними логарифмічними тотожностями:

а) 5 1+ log 5 3 ; б) 10 1- lg 2

4. Обчислити:

а) log 12 4+log 12 36;

б) lg13-lg130;

в) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III різновид

1. Знайти логарифм на основі а числа, поданого у вигляді ступеня з підставою а:

а) 27 2/3 =9; б) 32 3/5 =8.

2. Перевірте справедливість рівності:

а)log 2 128=;

б)log 0,2 0,008=3.

3. Спростити вираз, користуючись основними логарифмічними тотожностями:

а) 4 2 log 4 3 ;

б) 5 -3 log 5 1/2 .

4. Обчислити:

а) log 6 12+log 6 18;

б) log 7 14-log 7 6+log 7 21;

в) (log 7 3/ log 7 13)∙ log 3 169.

IV різновид

1. Знайти логарифм на основі а числа, поданого у вигляді ступеня з підставою а:

а) 81 3/4 =27; б) 125 2/3 =25.

2. Перевірте справедливість рівності:

а)log √5 0,2=-2;

б)log 0,2 125=-3.

3. Спростити вираз, користуючись основними логарифмічними тотожностями:

а) (1/2) 4 log 1/2 3 ;

б) 6 -2 log 6 5 .

4. Обчислити:

а) log 14 42-log 14 3;

б) log 2 20-log 2 25+log 2 80;

в) log 7 48/ log 7 4- 0,5 log 2 3.

Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, у прикладних завданнях, а також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.

Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:

Основна логарифмічна тотожність:

Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:

*Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм його заснування.

* * *

*Перехід до нової основи

* * *

Ще властивості:

* * *

Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.

Перерахуємо деякі з них:

Суть цієї властивості полягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:

Наслідок з цієї властивості:

* * *

При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.

* * *

Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна хороша практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.

Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!

На цьому все! Успіху Вам!

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Перелічені рівності при перетворенні виразів з логарифмами використовуються як праворуч, так і зліва направо.

Варто зауважити, що запам'ятовувати наслідки з властивостей необов'язково: при проведенні перетворень можна обійтися основними властивостями логарифмів та іншими фактами (наприклад, при b≥0), з яких відповідні наслідки випливають. «Побічний ефект» такого підходу проявляється лише в тому, що рішення буде трохи довшим. Наприклад, щоб уникнути слідства, яке виражається формулою , А відштовхуватися лише від основних властивостей логарифмів, доведеться провести ланцюжок перетворень наступного виду: .

Те саме можна сказати і про останню властивість з наведеного вище списку, якому відповідає формула , оскільки воно також випливає з основних властивостей логарифмів. Головне розуміти, що завжди є можливість у ступеня позитивного числа з логарифмом у показнику поміняти місцями основу ступеня та число під знаком логарифму. Заради справедливості, зауважимо, що приклади, що передбачають здійснення подібних перетворень, на практиці зустрічаються рідко. Декілька прикладів ми наведемо нижче за текстом.

Перетворення числових виразів із логарифмами

Властивості логарифмів згадали, тепер настав час вчитися застосовувати їх на практиці для перетворення виразів. Природно розпочати з перетворення числових виразів, а чи не висловів зі змінними, оскільки у них зручніше і простіше пізнавати ази. Так ми і зробимо, причому почнемо з дуже простих прикладів, щоб навчитися вибирати потрібну властивість логарифму, але поступово ускладнюватимемо приклади, аж до моменту, коли для отримання кінцевого результату потрібно буде застосовувати кілька властивостей поспіль.

Вибір потрібної якості логарифмів

Властивостей логарифмів не так мало, і зрозуміло, що потрібно вміти вибрати з них потрібне, яке в даному конкретному випадку призведе до необхідного результату. Зазвичай це зробити неважко, зіставивши вид логарифму, що перетворюється, або вирази з видами лівих і правих частин формул, що виражають властивості логарифмів. Якщо ліва чи права частина однієї з формул збігається із заданим логарифмом або виразом, то, швидше за все, саме ця властивість і треба застосовувати при перетворенні. Наступні приклади це демонструють.

Почнемо з прикладів перетворення виразів з використанням визначення логарифму, якому відповідає формула a log a b = b, a>0, a≠1, b>0.

приклад.

Обчисліть, якщо це можливо: а) 5 log 5 4 б) 10 lg(1+2·π) , в) г) 2 log 2 (-7) д) .

Рішення.

У прикладі під буквою а) явно видно структуру a log a b де a = 5, b = 4 . Ці числа задовольняють умовам a>0, a≠1, b>0, тому можна безбоязно скористатися рівністю a log a b = b. Маємо 5 log 5 4=4.

б) Тут a=10 , b=1+2·π , умови a>0 , a≠1 , b>0 виконані. У цьому має місце рівність 10 lg(1+2·π) =1+2·π .

в) І в цьому прикладі ми маємо справу зі ступенем виду a log a b де і b = ln15 . Так .

Незважаючи на приналежність до того ж виду a log a b (тут a = 2, b = -7), вираз під буквою г) не можна перетворити за формулою a log a b = b. Причина в тому, що воно не має сенсу, оскільки містить від'ємну кількість під знаком логарифму. Більше того, число b=−7 не задовольняє умові b>0 , що не дає можливості вдатися до формули a log a b =b тому, що вона вимагає виконання умов a>0, a≠1, b>0. Отже, не можна говорити про обчислення значення 2 log 2 (-7). В цьому випадку запис 2 log 2 (-7) = -7 буде помилкою.

Аналогічно й у прикладі під літерою д) не можна навести рішення виду , Оскільки вихідне вираз немає сенсу.

Відповідь:

а) 5 log 5 4 =4 , б) 10 lg(1+2·π) =1+2·π , в) , г), д) вирази не мають сенсу.

Часто буває корисне перетворення, у якому позитивне число представляється як ступеня якогось позитивного і відмінного від одиниці числа з логарифмом у показнику. У його основі лежить те саме визначення логарифму a log a b = b , a>0 , a≠1 , b>0 , але формула застосовується праворуч наліво, тобто у вигляді b = a log a b . Наприклад, 3=e ln3 або 5=5 log 5 5 .

Переходимо до застосування властивостей логарифмів перетворення виразів.

приклад.

Знайдіть значення виразу: а) log −2 1 , б) log 1 1 , в) log 0 1 , г) log 7 1 , д) ln1 , е) lg1 , ж) log 3,75 1 , з) log 5· π 7 1 .

Рішення.

У прикладах під літерами a), б) і в) дано вирази log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 , які не мають сенсу, тому що в основі логарифму не повинно знаходитися від'ємне число, нуль чи одиниця, адже ми визначили логарифм лише для позитивного та відмінного від одиниці основи. Тому, в прикладах а) - в) не може бути й мови про знаходження значення виразу.

У всіх інших завданнях, очевидно, в підставах логарифмів знаходяться позитивні та відмінні від одиниці числа 7, e, 10, 3,75 і 5 7 7 відповідно, а під знаками логарифмів всюди стоять одиниці. А нам відома властивість логарифму одиниці: log a 1=0 для будь-якого a>0, a≠1. Таким чином, значення виразів б) – е) дорівнюють нулю.

Відповідь:

а), б), в) вирази не мають сенсу; 1=0.

приклад.

Обчислити: а), б) lne, в) lg10, г) log 5·π 3 −2 (5·π 3 −2)д) log −3 (−3) , е) log 1 1 .

Рішення.

Зрозуміло, що ми маємо скористатися властивістю логарифму основи, якому відповідає формула log a a=1 при a>0 , a≠1 . Справді, у завданнях під усіма літерами число під знаком логарифму збігається з його основою. Таким чином, хочеться відразу сказати, що значення кожного із заданих виразів є 1 . Однак не варто поспішати з висновками: у завданнях під літерами а) – г) значення виразів дійсно рівні одиниці, а в завданнях д) та е) вихідні вирази не мають сенсу, тому не можна сказати, що значення цих виразів дорівнюють 1 .

Відповідь:

а), б) lne = 1, в) lg10 = 1, г) log 5·π 3 −2 (5·π 3 −2)=1, д), е) вирази не мають сенсу.

приклад.

Знайти значення: а) log 3 3 11 б) , в), г) log −10 (−10) 6 .

Рішення.

Очевидно, під знаками логарифмів стоять деякі ступені основи. Виходячи з цього, розуміємо, що тут нам знадобиться властивість ступеня основи: log a a p = p , де a>0, a≠1 і p – будь-яке дійсне число. З огляду на це маємо такі результати: а) log 3 3 11 =11 , б) , в) . А чи можна записати аналогічну рівність для прикладу під літерою г) виду log −10 (−10) 6 =6 ? Ні, не можна, тому що вираз log −10 (−10) 6 не має сенсу.

Відповідь:

а) log 3 3 11 = 11 б) , в) , г) вираз не має сенсу.

приклад.

Подайте вираз у вигляді суми або різниці логарифмів з тієї ж підстави: а) , б) , в) lg ((-5) · (-12)).

Рішення.

а) Під знаком логарифму знаходиться твір, а нам відома властивість логарифму твору log a (x · y) = log a x + log a y, a> 0, a 1, x> 0, y> 0 . У нашому випадку число на підставі логарифму та числа у творі є позитивними, тобто задовольняють умовам обраної властивості, тому ми його можемо спокійно застосовувати: .

б) Тут скористаємось властивістю логарифму частки , де a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . У нашому випадку основа логарифму є позитивне число e, чисельник і знаменник π позитивні, отже, задовольняють умовам властивості, тому ми маємо право на застосування обраної формули: .

в) По-перше, зауважимо, що вираз lg((−5)·(−12)) має сенс. Але при цьому для нього ми не маємо права застосовувати формулу логарифму твору log a (x · y) = log a x + log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , оскільки числа −5 і −12 – негативні і задовольняють умовам x>0 , y>0 . Тобто не можна провести таке перетворення: lg((−5)·(−12))=lg(−5)+lg(−12). А що робити? У подібних випадках вихідний вираз потребує попереднього перетворення, що дозволяє уникнути негативних чисел. Про подібні випадки перетворення виразів з негативними числами під знаком логарифму ми докладно поговоримо в одному з , а поки що наведемо рішення цього прикладу, яке зрозуміло наперед і без пояснень: lg((−5)·(−12))=lg(5·12)=lg5+lg12.

Відповідь:

а) , б) в) lg((−5)·(−12))=lg5+lg12 .

приклад.

Спростити вираз: а) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 б) .

Рішення.

Тут нам допоможуть ті самі властивості логарифму твору та логарифму приватного, які ми використовували в попередніх прикладах, тільки зараз ми будемо їх застосовувати праворуч наліво. Тобто, суму логарифмів перетворимо на логарифм твору, а різницю логарифмів – на логарифм приватного. Маємо
а) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 = log 3 (0,25 · 16 · 0,5) = log 3 2.
б) .

Відповідь:

а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, б) .

приклад.

Позбавтеся ступеня під знаком логарифму: а) log 0,7 5 11 , б) , в) log 3 (-5) 6 .

Рішення.

Неважко помітити, що маємо справу з виразами виду log a b p . Відповідна властивість логарифму має вигляд log a b p = p·log a b , де a>0 , a≠1 , b>0 , p - будь-яке дійсне число. Тобто, при виконанні умов a>0, a≠1, b>0 від логарифму ступеня log a b p ми можемо переходити до твору p·log a b. Проведемо це перетворення із заданими виразами.

а) І тут a=0,7 , b=5 і p=11 . Так log 0,7 5 11 = 11 · log 0,7 5 .

б) Тут , умови a>0, a≠1, b>0 виконуються. Тому

в) Вираз log 3 (-5) 6 має ту ж структуру log a b p, a = 3, b = -5, p = 6. Але для b не виконується умова b>0 , що унеможливлює застосування формули log a b p = p·log a b . То що ж, не можна впоратися з поставленим завданням? Можна, але потрібне попереднє перетворення виразу, про який ми докладно поговоримо нижче у пункті під заголовком . Рішення буде таким: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 · log 3 5.

Відповідь:

а) log 0,7 5 11 = 11 · log 0,7 5 ,
б)
в) log 3 (-5) 6 = 6 · log 3 5 .

Досить часто формулу логарифма ступеня під час проведення перетворень доводиться застосовувати праворуч наліво як p·log a b=log a b p (при цьому потрібно виконання тих самих умов для a , b і p ). Наприклад, 3·ln5=ln5 3 і lg2·log 2 3=log 2 3 lg2 .

приклад.

а) Обчисліть значення log 2 5 якщо з відомо, що lg2≈0,3010 і lg5≈0,6990 . б) Подайте дріб у вигляді логарифму на підставі 3 .

Рішення.

а) Формула початку нової основи логарифма дозволяє даний логарифм у вигляді відносини десяткових логарифмів, значення яких нам відомі: . Залишається лише провести обчислення, маємо .

б) Тут достатньо скористатися формулою переходу до нової основи, причому застосувати її праворуч наліво, тобто у вигляді . Отримуємо .

Відповідь:

а) log 2 5≈2,3223 б) .

На цьому етапі ми досить скрупульозно розглянули перетворення найпростіших виразів з використанням основних властивостей логарифмів та визначення логарифму. У цих прикладах нам доводилося застосовувати якусь одну властивість і нічого більше. Тепер із спокійною совістю можна переходити до прикладів, перетворення яких вимагає використання кількох властивостей логарифмів та інших додаткових перетворень. Ними ми і візьмемося в наступному пункті. Але перед цим ще коротко зупинимося на прикладах застосування наслідків з основних властивостей логарифмів.

приклад.

а) Позбавтеся кореня під знаком логарифму. б) Перетворіть дріб у логарифм на основі 5 . в) Звільніться від ступенів під знаком логарифму та в його підставі. г) Обчисліть значення виразу . д) Замініть вираз ступенем із основою 3 .

Рішення.

а) Якщо згадати про наслідок з якості логарифму ступеня , то можна відразу відповідати: .

б) Тут скористаємося формулою справа наліво, маємо .

в) У разі до результату наводить формула . Отримуємо .

г) А тут достатньо застосувати слідство, якому відповідає формула . Так .

д) Властивість логарифму дозволяє нам досягти потрібного результату: .

Відповідь:

а) . б) . в) . г) . д) .

Послідовне застосування кількох властивостей

Реальні завдання на перетворення виразів з використанням властивостей логарифмів зазвичай складніші за ті, якими ми займалися в попередньому пункті. У них, як правило, результат виходить не в один крок, а рішення вже полягає в послідовному застосуванні однієї властивості за іншим разом з додатковими тотожними перетвореннями, такими як розкриття дужок, приведення подібних доданків, скорочення дробів і т.п. Тож давайте підбиратися ближче до таких прикладів. Складного в цьому нічого немає, головне діяти акуратно та послідовно, дотримуючись порядку виконання дій.

приклад.

Обчислити значення виразу (log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5.

Рішення.

Різницю логарифмів у дужках за властивістю логарифму частки можна замінити логарифмом log 3 (15:5) і далі обчислити його значення log 3 (15:5) = log 3 3 = 1 . А значення виразу 7 log 7 5 визначення логарифму дорівнює 5 . Підставимо ці результати у вихідний вираз, отримуємо (log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 =1·5=5.

Наведемо варіант рішення без пояснень:
(log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 =log 3 (15:5)·5=
= log 3 3 · 5 = 1 · 5 = 5 .

Відповідь:

(log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 =5.

приклад.

Чому дорівнює значення числового виразу log 3 log 2 2 3 −1?

Рішення.

Перетворимо спочатку логарифм, що під знаком логарифму, за формулою логарифму ступеня: log 2 2 3 =3 . Таким чином, log 3 log 2 2 3 = log 3 3 і далі log 3 3 = 1 . Так log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0.

Відповідь:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

приклад.

Спростити вираз.

Рішення.

Формула переходу до нової основи логарифму дозволяє відношення логарифмів по одній основі уявити як log 3 5 . При цьому вихідний вираз набуде вигляду. За визначенням логарифму 3 log 3 5 =5, тобто , А значення отриманого виразу в силу того ж визначення логарифму дорівнює двом.

Ось короткий варіант рішення, який зазвичай і наводиться: .

Відповідь:

.

Для плавного переходу до інформації наступного пункту давайте поглянемо на вирази 5 2+log 5 3 і lg0,01 . Їхня структура не підходить ні під одну з властивостей логарифмів. То що виходить, їх не можна перетворити з використанням властивостей логарифмів? Можна, якщо провести попередні перетворення, які готують дані висловлювання до застосування властивостей логарифмів. Так 5 2 + log 5 3 = 5 2 · 5 log 5 3 = 25 · 3 = 75, та lg0,01=lg10 −2 =−2 . Далі ми докладно розберемося, як здійснюється така підготовка виразів.

Підготовка виразів до застосування властивостей логарифмів

Логарифми у складі перетворюваного висловлювання дуже часто структурою записи від лівих і правих частин формул, відповідальних властивостям логарифмів. Не менш часто перетворення цих висловів передбачає використання властивостей логарифмів: їх використання лише потрібна попередня підготовка. А полягає ця підготовка у проведенні певних тотожних перетворень, що призводять до виду логарифми, зручному для застосування властивостей.

Заради справедливості, зауважимо, що як попередні перетворення можуть виступати практично будь-які перетворення виразів, від банального приведення подібних доданків до застосування тригонометричних формул. Це і зрозуміло, тому що перетворювані вирази можуть містити будь-які математичні об'єкти: дужки, модулі, дроби, коріння, ступеня і т.д. Таким чином, потрібно бути готовим виконати будь-яке перетворення, щоб далі отримати можливість скористатися властивостями логарифмів.

Відразу скажемо, що в цьому пункті ми не ставимо собі завдання класифікувати і розібрати всі мислимі попередні перетворення, що дозволяють надалі застосувати властивості логарифмів або визначення логарифму. Тут ми зупинимося лише на чотирьох з них, які найбільш характерні та найчастіше зустрічаються на практиці.

А тепер докладно про кожного з них, після чого в рамках нашої теми залишиться лише розібратися із перетворенням виразів із змінними під знаками логарифмів.

Виділення ступенів під знаком логарифму та в його основі

Почнемо одразу з прикладу. Нехай перед нами логарифм. Очевидно, в такому вигляді його структура не сприяє застосування властивостей логарифмів. А чи можна якось перетворити цей вислів, щоб спростити його, а ще краще обчислити його значення? Для відповіді на це запитання уважно подивимося на числа 81 і 1/9 у контексті нашого прикладу. Тут неважко помітити, що ці числа допускають подання у вигляді ступеня числа 3 дійсно 81 = 3 4 і 1/9 = 3 -2 . При цьому вихідний логарифм представляється у вигляді та з'являється можливість застосування формули . Отже, .

Аналіз розібраного прикладу породжує таку думку: за можливості можна спробувати виділити ступінь під знаком логарифму та у його підставі, щоб застосувати властивість логарифму ступеня чи його наслідки. Залишається лише з'ясувати, як ці ступені виділяти. Дамо деякі рекомендації з цього питання.

Іноді досить очевидно, що число під знаком логарифму та/або в його підставі є деяким цілим ступенем, як у розглянутому вище прикладі. Практично постійно доводиться мати справу зі ступенями двійки, які добре набридли: 2 9 1024 = 2 10 . Це ж можна сказати і про ступеня трійки: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, … Взагалі, не завадить, якщо перед очима буде перебувати таблиця ступенів натуральних чиселне більше десятка. Також не важко працювати з цілими ступенями десяти, ста, тисячі і т.д.

приклад.

Обчислити значення або спростити вираз: а) log 6216, б), в) log 0,000001 0,001.

Рішення.

а) Вочевидь, що 216=6 3 , тому log 6 216=log 6 6 3 =3 .

б) Таблиця ступенів натуральних чисел дозволяє подати числа 343 та 1/243 у вигляді ступенів 7 3 та 3 −4 відповідно. Тому можливе наступне перетворення заданого логарифму:

в) Так як 0,000001 = 10 -6 і 0,001 = 10 -3, то log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Відповідь:

а) log 6 216 = 3 б) в) log 0,000001 0,001 = 1/2.

У складніших випадках виділення ступенів чисел доводиться вдаватися до .

приклад.

Перетворіть вираз до більш простого вигляду log 3648 log 2 3 .

Рішення.

Давайте подивимося, що є розкладання числа 648 на прості множники:

Тобто, 648 = 23 · 34. Таким чином, log 3 648 · log 2 3 = log 3 (2 3 · 3 4) · log 2 3.

Тепер логарифм твору перетворимо на суму логарифмів, після чого застосуємо властивості логарифму ступеня:
log 3 (2 3 ·3 4) · log 2 3 = (log 3 2 3 +log 3 3 4) · log 2 3 =
= (3 · log 3 2 +4) · log 2 3 .

З огляду на властивості логарифму ступеня, якому відповідає формула , Твір log32 · log23 є твір , а воно, як відомо, дорівнює одиниці. Враховуючи це, отримуємо 3·log 3 2·log 2 3+4·log 2 3=3·1+4·log 2 3=3+4·log 2 3.

Відповідь:

log 3 648·log 2 3=3+4·log 2 3.

Досить часто вирази під знаком логарифму і в його підставі є творами або відносинами коренів та/або ступенів деяких чисел, наприклад, , . Подібні вирази можна подати у вигляді ступеня. Для цього здійснюється перехід від коренів до ступенів і застосовуються і. Зазначені перетворення дозволяють виділити ступеня під знаком логарифму та в його підставі, після чого застосувати властивості логарифмів.

приклад.

Обчисліть: а) б) .

Рішення.

а) Вираз в основі логарифму є добуток ступенів з однаковими основами, за відповідною властивістю ступенів маємо 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Тепер перетворимо дріб під знаком логарифму: перейдемо від кореня до ступеня, після чого скористаємось властивістю відношення ступенів з однаковими основами: .

Залишається підставити отримані результати у вихідний вираз, скористатися формулою і закінчити перетворення:

б) Оскільки 729=3 6 , а 1/9=3 −2 , вихідний вираз можна переписати як .

Далі застосовуємо властивість кореня зі ступеня, здійснюємо перехід від кореня до ступеня та використовуємо властивість відношення ступенів, щоб перетворити основу логарифму на ступінь: .

Враховуючи останній результат, маємо .

Відповідь:

а) б) .

Зрозуміло, що в загальному випадку для отримання ступенів під знаком логарифму і в його підставі можуть бути потрібні різні перетворення різних виразів. Наведемо кілька прикладів.

приклад.

Чому дорівнює значення виразу: а) , б) .

Рішення.

Далі відзначаємо, що заданий вираз має вигляд log A B p , де A = 2 B = x +1 і p = 4 . Числові вирази подібного виду ми перетворювали за властивістю логарифму ступеня log ab = p log a b , тому, із заданим виразом хочеться вчинити аналогічно, і від log 2 (x + 1) 4 перейти до 4 log 2 (x + 1) . А тепер давайте обчислимо значення вихідного виразу та виразу, отриманого після перетворення, наприклад, при x=−2 . Маємо log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , а 4·log 2 (−2+1)=4·log 2 (−1)- Вираз, що не має сенсу. Це викликає закономірне питання: "Що ми зробили не так"?

А причина в наступному: ми виконали перетворення log 2 (x + 1) 4 = 4 log 2 (x + 1) , спираючись на формулу log a b p = p log a b , але цю формулу ми маємо право застосовувати лише при виконанні умов a >0, a≠1, b>0, p - будь-яке дійсне число. Тобто, зроблене нами перетворення має місце, якщо x+1>0 , що те саме x>-1 (для A і p - умови виконані). Однак у нашому випадку ОДЗ змінної x для вихідного виразу складається не тільки з проміжку x>-1, але і з проміжку x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необхідність обліку ОДЗ

Продовжимо розбирати перетворення вибраного нами виразу log 2 (x+1) 4 і зараз подивимося, що відбувається з ОДЗ при переході до виразу 4·log 2 (x+1) . У попередньому пункті ми знайшли ОДЗ вихідного виразу – це безліч (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Тепер знайдемо область допустимих значень змінної x для виразу 4 log 2 (x +1) . Вона визначається умовою x+1>0 , якій відповідає множина (−1, +∞) . Вочевидь, що з переході від log 2 (x+1) 4 до 4·log 2 (x+1) відбувається звуження області допустимих значень. А ми домовилися уникати перетворень, що призводять до звуження ОДЗ, оскільки це може спричинити різні негативні наслідки.

Тут собі варто відзначити, що корисно контролювати ОДЗ кожному кроці перетворення і допускати її звуження. І якщо раптом на якомусь етапі перетворення відбулося звуження ОДЗ, то варто дуже уважно подивитися, а чи допустиме це перетворення і чи ми мали право його проводити.

Заради справедливості скажемо, що на практиці зазвичай доводиться працювати з висловлюваннями, у яких ОДЗ змінних така, що дозволяє при проведенні перетворень використовувати властивості логарифмів без обмежень у вже відомому нам вигляді, причому як зліва направо, так і праворуч наліво. До цього швидко звикаєш і починаєш проводити перетворення механічно, не замислюючись, а чи можна було їх проводити. І в такі моменти, як на зло, прослизають складніші приклади, в яких неакуратне застосування властивостей логарифмів призводить до помилок. Тож треба завжди бути на чеку, і стежити, щоб не відбувалося звуження ОДЗ.

Не завадить окремо виділити основні перетворення на базі властивостей логарифмів, які потрібно проводити дуже уважно, які можуть призводити до звуження ОДЗ, і як наслідок – до помилок:

Деякі перетворення виразів за властивостями логарифмів можуть призводити і до зворотного розширення ОДЗ. Наприклад, перехід від 4·log 2 (x+1) до log 2 (x+1) 4 розширює ОДЗ з множини (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Такі перетворення мають місце, якщо залишатися в рамках ОДЗ для вихідного виразу. Так щойно згадане перетворення 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 має місце на ОДЗ змінної x для вихідного виразу 4·log 2 (x+1) , тобто, при x+1> 0 , що те саме (−1, +∞) .

Тепер, коли ми обговорили нюанси, на які потрібно звертати увагу при перетворенні виразів зі змінними з використанням властивостей логарифмів, залишається розібратися, як правильно проводити ці перетворення.

X+2>0. Чи виконується воно у нашому випадку? Для відповіді це запитання поглянемо на ОДЗ змінної x . Вона визначається системою нерівностей , яка дорівнює умові x+2>0 (при необхідності дивіться статтю розв'язання систем нерівностей). Таким чином, ми можемо спокійно застосовувати властивість логарифму ступеня.

Маємо
3·lg(x+2) 7 −lg(x+2)−5·lg(x+2) 4 =
=3·7·lg(x+2)−lg(x+2)−5·4·lg(x+2)=
=21 lg(x+2)−lg(x+2)−20 lg(x+2)=
=(21−1−20)·lg(x+2)=0 .

Можна діяти й інакше, благо ОДЗ дозволяє це робити, наприклад:

Відповідь:

3·lg(x+2) 7 −lg(x+2)−5·lg(x+2) 4 =0.

А що робити, коли на ОДЗ не виконуються умови, що супроводжують властивості логарифмів? Розбиратимемося з цим на прикладах.

Нехай від нас потрібно спростити вираз lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Перетворення цього виразу, на відміну від виразу з попереднього прикладу, не допускає вільного використання властивості логарифму ступеня. Чому? ОДЗ змінної x у цьому випадку є об'єднання двох проміжків x>−2 і x<−2 . При x>−2 ми можемо спокійно застосовувати властивість логарифму ступеня та діяти як у розібраному вище прикладі: lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 =4lg(x+2)−2lg(x+2)=2lg(x+2). Але ОДЗ містить ще один проміжок x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lg(−|x+2|) 4 −lg(−|x+2|) 2і далі з властивостей ступеня до lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2 . Отримане вираз можна перетворювати за якістю логарифму ступеня, оскільки |x+2|>0 за будь-яких значеннях змінної. Маємо lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Тепер можна звільнитися від модуля, тому що він свою справу зробив. Оскільки ми проводимо перетворення у x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Розглянемо ще один приклад, щоб робота з модулями стала звичною. Нехай ми задумали від висловлювання перейти до суми та різниці логарифмів лінійних двочленів x−1, x−2 та x−3. Спочатку знаходимо ОДЗ:

На проміжку (3, +∞) значення виразів x−1 , x−2 та x−3 – позитивні, тому ми спокійно можемо застосовувати властивості логарифму суми та різниці:

На інтервалі (1, 2) значення виразу x−1 – позитивні, а значення виразів x−2 і x−3 – негативні. Тому на інтервалі, що розглядається, представляємо x−2 і x−3 з використанням модуля як −|x−2| та −|x−3| відповідно. При цьому

Тепер можна застосовувати властивості логарифму твору і частки, так як на інтервалі (1, 2), що розглядається, значення виразів x−1 , |x−2| та |x−3| - Позитивні.

Маємо

Отримані результати можна об'єднати:

Взагалі, аналогічні міркування дозволяють на базі формул логарифму твору, відносини та ступеня отримати три практично корисні результати, якими досить зручно користуватися:

• Логарифм добутку двох довільних виразів X та Y виду log a (X · Y) можна замінити сумою логарифмів log a | X | + log a | Y | , a>0, a≠1.
• Логарифм приватного виду log a (X: Y) можна замінити різницею логарифмів log a | X | - log a | Y | , a>0 , a≠1 , X та Y – довільні вирази.
• Від логарифму деякого виразу B парною мірою p виду log a B p можна перейти до виразу p·log a |B| , де a>0, a≠1, p – парне число і B – довільне вираз.

Аналогічні результати наведено, наприклад, у вказівках до вирішення показових та логарифмічних рівнянь у збірнику завдань з математики для вступників до вузів за редакцією М. І. Сканаві.

приклад.

Спростіть вираз .

Рішення.

Було б добре застосувати властивості логарифму ступеня, суми та різниці. Але чи можемо ми тут це робити? Для відповіді це питання нам потрібно знати ОДЗ.

Визначимо її:

Досить очевидно, що вирази x+4 , x−2 і (x+4) 13 області допустимих значень змінної x можуть набувати як позитивні, і негативні значення. Тому нам доведеться діяти через модулі.

Властивості модуля дозволяють переписати як , тому

Також ніщо не заважає скористатися властивістю логарифму ступеня, після чого навести такі складові:

До такого ж результату призводить й інша послідовність перетворень:

і оскільки на ОДЗ вираз x−2 може набувати як позитивних, так і негативних значень, то при винесенні парного показника ступеня 14