Трикутний вигляд матриці. Властивості верхньої трикутної матриці

Верхня трикутна матриця

Трикутна матриця- Квадратна матриця , в якій всі елементи нижче або вище головної діагоналі дорівнюють нулю.

Приклад верхньотрикутної матриці

Верхньотрикутна матриця- Квадратна матриця , в якій всі елементи нижче головної діагоналі дорівнюють нулю.

Нижньотрикутна матриця- Квадратна матриця, в якій всі елементи вище головної діагоналі дорівнюють нулю.

Унітрекутна матриця(верхня чи нижня) - трикутна матриця, де всі елементи на головній діагоналі рівні одиниці.

Трикутні матриці використовуються в першу чергу при вирішенні лінійних систем рівнянь, коли матриця системи зводиться до трикутного вигляду, використовуючи таку теорему:

Рішення систем лінійних рівняньз трикутною матрицею ( Зворотній хід) не представляє складнощів.

Властивості

Визначник трикутної матриці дорівнює творуелементів її головної діагоналі.
Визначник унітрекутної матриці дорівнює одиниці.
Безліч невироджених верхньотрикутних матриць порядку nз множення з елементами з поля kутворює групу, яка позначається UT(n, k) або UT n (k).
Безліч невироджених нижньотрикутних матриць порядку nз множення з елементами з поля kутворює групу, що позначається LT(n, k) або LT n (k).
Безліч верхніх унітрекутних матриць з елементами з поля kутворює підгрупу UT n (k) за множенням, що позначається SUT(n, k) або SUT n (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрекутних матриць позначається SLT(n, k) або SLT n (k).
Безліч всіх верхньотрикутних матриць з елементами кільця k утворює алгебру щодо операцій складання, множення на елементи кільця і перемноження матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
Група UT nможна розв'язати, а її унітрекутна підгрупа SUT nнільпотентна.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Верхня трикутна матриця" в інших словниках:

Трикутна матриця квадратна матриця, де всі елементи нижче або вище головної діагоналі дорівнюють нулю. Приклад верхньотрикутної матриці … Вікіпедія

Трикутна матриця квадратна матриця, де всі елементи нижче або вище головної діагоналі дорівнюють нулю. Приклад верхньотрикутної матриці Верхньотрикутна матриця квадратна матриця, в якій всі елементи нижче головної діагоналі дорівнюють нулю.

Для покращення цієї статті бажано?: Знайти та оформити у вигляді виносок посилання на авторитетні джерела, що підтверджують написане. Проставивши виноски, внести точніші вказівки на джерела. Додати ілюстрації … Вікіпедія

Подання симетричної позитивно певної матриці у вигляді де нижня трикутна матриця зі строго позитивними елементами на діагоналі. Іноді розкладання записується в еквівалентній формі: , де верхня трикутна матриця.

SFLASH асиметричний алгоритм цифрового підпису, рекомендований проектом NESSIE European у 2003 році. SFLASH заснований на Matsumoto Imai (MI) схемою, так само званою C *. Алгоритм належить до сімейства багатовимірних схем з відкритим ключем, то ... Вікіпедія

Процес ортогоналізації, алгоритм побудови для даної лінійно незалежної системивекторів евклідова або ермітового простору V ортогональної системи ненульових векторів, що породжують той самий підпростір у V. Найбільш відомим є… Математична енциклопедія

Коефіцієнт кореляції- (Correlation coefficient) Коефіцієнт кореляції це статистичний показникзалежності двох випадкових величинВизначення коефіцієнта кореляції, види коефіцієнтів кореляції, властивості коефіцієнта кореляції, обчислення та застосування. Енциклопедія інвестора

Послаблення мета, метод ітераційного рішеннясистеми лінійних алгебраїч. рівнянь Ах=b, елементарний крок до рого полягає у зміні тільки однієї компоненти вектора невідомих, причому номери компонентів, що змінюються, вибираються в деякому цикліч. Математична енциклопедія

У якій усі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю.

Нижньотрикутна матриця- Квадратна матриця, в якій всі елементи вище головної діагоналі дорівнюють нулю.

Рішення систем лінійних рівнянь із трикутною матрицею (зворотний хід) не становить складнощів.

Властивості

Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів її головної діагоналі.
Визначник унітрекутної матриці дорівнює одиниці.
Безліч невироджених верхньотрикутних матриць порядку nз множення з елементами з поля kутворює групу, яка позначається UT(n, k) або UT n (k).
Безліч невироджених нижньотрикутних матриць порядку nз множення з елементами з поля kутворює групу, що позначається LT(n, k) або LT n (k).
Безліч верхніх унітрекутних матриць з елементами з поля kутворює підгрупу UT n (k) за множенням, що позначається SUT(n, k) або SUT n (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрекутних матриць позначається SLT(n, k) або SLT n (k).
Безліч всіх верхньотрикутних матриць з елементами кільця k утворює алгебру щодо операцій складання, множення на елементи кільця і перемноження матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
Група UT nможна розв'язати, а її унітрекутна підгрупа SUT nнільпотентна.

Див. також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Трикутна матриця" в інших словниках:

трикутна матриця- - Трикутна матриця Квадратна матриця, у якої рівні нулю всі елементи, розташовані під або над головною діагоналлю (СР Діагональна матриця). У першому випадку маємо… …

Трикутна матриця- Квадратна матриця, у якої рівні нулю всі елементи, розташовані під або над головною діагоналлю (СР діагональна матриця). У першому випадку маємо верхню Т.м. у другому нижню …

Квадратна матриця, у якій всі елементи, розташовані нижче (або вище) головної діагоналі, дорівнюють нулю. У першому випадку матриця зв. верхньою трикутною матрицею, у другому нижньою трикутною матрицею. Визначник Т. м. дорівнює добутку всіх її … Математична енциклопедія

Трикутна матриця МОБ- матриця коефіцієнтів міжгалузевого балансу (МОБ), що відповідає такій виробничої системи, в якій будь-який продукт може витрачатися у своєму власному виробництві та у виробництві будь-якого наступного… Економіко-математичний словник

трикутна матриця МОБ- Матриця коефіцієнтів міжгалузевого балансу (МОБ), що відповідає такій виробничій системі, в якій будь-який продукт може витрачатися у своєму власному виробництві та у виробництві будь-якого наступного за ним продукту, але ніякого… Довідник технічного перекладача

Блочно-трикутна матриця- - матриця, яку можна розбити на підматриці таким чином, щоб з одного боку її «головної діагоналі», складеної з підматриць, стояли нулі. Прикладами блочно трикутних матриць можуть служити … Економіко-математичний словник

блочно-трикутна матриця- Матриця, яку можна розбити на підматриці таким чином, щоб з одного боку її «головної діагоналі», складеної з підматриць, стояли нулі. Прикладами блочно трикутних матриць можуть бути трикутна матриця і блочно діагональна матриця … Довідник технічного перекладача

Матриця- система елементів (чисел, функцій та інших величин), розміщених у вигляді прямокутної таблиці, над якою можна виробляти певні дії. Таблиця має наступний вигляд: Елемент матриці в загальному виглядіпозначається aij це… … Економіко-математичний словник

матриця- Логічна мережа, налаштована у вигляді прямокутного масиву перетинів вхідних/вихідних каналів. матриця Система елементів (чисел, функцій та інших величин), розташованих у вигляді прямокутної… Довідник технічного перекладача

Матриця – це особливий об'єкт у математиці. Зображується у формі прямокутної або квадратної таблиці, складеної з певної кількості рядків та стовпців. У математиці є велика різноманітність видів матриць, що різняться за розмірами чи змістом. Числа її рядків та стовпців називаються порядками. Ці об'єкти використовуються в математиці для впорядкування запису систем лінійних рівнянь та зручного пошуку їх результатів. Рівняння з використанням матриці вирішуються за допомогою методу Карла Гауса, Габріеля Крамера, мінорів та додатків алгебри, а також багатьма іншими способами. Базовим уміннямпри роботі з матрицями є приведення до стандартного вигляду. Однак спочатку давайте розберемося, які види матриць виділяють математики.

Нульовий тип

Усі компоненти цього виду матриці – нулі. Тим часом кількість її рядків і стовпців абсолютно різна.

Квадратний тип

Кількість стовпців та рядків цього виду матриці збігається. Інакше кажучи, вона є таблицею форми "квадрат". Число її стовпців (або рядків) називаються порядком. Приватними випадками вважають існування матриці другого порядку (матриця 2x2), четвертого порядку (4x4), десятого (10x10), сімнадцятого (17x17) і так далі.

Вектор-стобіць

Це один з найпростіших видів матриць, що містить тільки один стовпець, який включає три чисельних значення. Вона представляє низку вільних членів (чисел, незалежних від змінних) у системах лінійних рівнянь.

Вигляд, аналогічний попередньому. Складається із трьох чисельних елементів, у свою чергу організованих в один рядок.

Діагональний тип

Числові значення в діагональному вигляді матриці набувають лише компоненти головної діагоналі (виділена зеленим кольором). Основна діагональ починається з елемента, що знаходиться у правому верхньому кутку, а закінчується числом у третьому стовпці третього рядка. Інші компоненти дорівнюють нулю. Діагональний тип є лише квадратною матрицею будь-якого порядку. Серед матриць діагонального вигляду можна назвати скалярну. Усі її компоненти набувають однакових значень.

Підвид діагональної матриці. Усі її числові значенняє одиницями. Використовуючи одиничний тип матричних таблиць, виконують її базові перетворення або знаходять матрицю, обернену до вихідної.

Канонічний тип

Канонічний вид матриці вважається одним із основних; приведення до нього часто необхідне роботи. Число рядків і стовпців у канонічній матриці по-різному, вона необов'язково належить до квадратного типу. Вона дещо схожа на одиничну матрицю, однак у її випадку не всі компоненти основної діагоналі набувають значення, рівну одиниці. Головнодіагональних одиниць може бути дві, чотири (все залежить від довжини та ширини матриці). Або одиниці можуть бути зовсім (тоді вона вважається нульовою). Інші компоненти канонічного типу, як і елементи діагонального та одиничного, дорівнюють нулю.

Трикутний тип

Один з найважливіших видівматриці, що застосовується при пошуку її детермінанта та при виконанні найпростіших операцій. Трикутний тип походить від діагонального, тому матриця також є квадратною. Трикутний вид матриці поділяють на верхньотрикутний та нижньотрикутний.

У верхньотрикутній матриці (рис. 1) тільки елементи, які знаходяться над головною діагоналлю, набувають значення, що дорівнює нулю. Компоненти самої діагоналі і частини матриці, що знаходиться під нею, містять числові значення.

У нижньотрикутній (рис. 2), навпаки, елементи, що знаходяться в нижній частині матриці, дорівнюють нулю.

Вигляд необхідний знаходження рангу матриці, і навіть для елементарних дій з них (поруч із трикутним типом). Ступінчаста матриця названа так, тому що в ній містяться характерні "сходи" з нулів (як показано на малюнку). У ступінчастому типі утворюється діагональ з нулів (необов'язково головна), і всі елементи під даною діагоналлю теж мають значення рівні нулю. Обов'язковою умовою є таке: якщо в ступінчастої матриціє нульовий рядок, то інші рядки, що знаходяться нижче за неї, також не містять числових значень.

Таким чином, ми розглянули найважливіші типиматриць, необхідних роботи з ними. Тепер розберемося із завданням перетворення матриці на необхідну форму.

Приведення до трикутного вигляду

Як привести матрицю до трикутного вигляду? Найчастіше у завданнях потрібно перетворити матрицю на трикутний вигляд, щоб знайти її детермінант, по-іншому званий визначником. Виконуючи цю процедуру, дуже важливо "зберегти" головну діагональ матриці, тому що детермінант трикутної матриці дорівнює саме добутку компонентів її головної діагоналі. Нагадаю також альтернативні методи знаходження визначника. Детермінант квадратного типу перебуває з допомогою спеціальних формул. Наприклад, можна скористатися методом трикутника. Для інших матриць використовують метод розкладання по рядку, стовпцю або їх елементам. Також можна застосовувати метод мінорів та алгебраїчних доповнень матриці.

Докладно розберемо процес приведення матриці до трикутного виду прикладах деяких завдань.

Завдання 1

Необхідно знайти детермінант представленої матриці, використовуючи метод його приведення до трикутного вигляду.

Дана нам матриця є квадратною матрицею третього порядку. Отже, для її перетворення на трикутну форму нам знадобиться звернути в нуль два компоненти першого стовпця і один компонент другого.

Щоб привести її до трикутного вигляду, почнемо перетворення з лівого нижнього кута матриці - з числа 6. Щоб повернути його в нуль, помножимо перший рядок на три і віднімемо його з останнього рядка.

Важливо! Верхній рядок не змінюється, а залишається таким самим, як і у вихідній матриці. Записувати рядок, в чотири рази більший за вихідний, не потрібно. Але значення рядків, компоненти яких потрібно обернути на нуль, постійно змінюються.

Залишилось тільки останнє значення- Елемент третього рядка другого стовпця. Це число (-1). Щоб повернути його в нуль, з першого рядка віднімемо другий.

Виконаємо перевірку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Отже, відповідь завдання: -22.

Завдання 2

Необхідно визначити детермінант матриці шляхом приведення його до трикутного вигляду.

Подана матриця належить квадратному типу і є матрицею четвертого порядку. Отже, необхідно звернути в нуль три компоненти першого стовпця, два компоненти другого стовпця та один компонент третього.

Почнемо приведення її з елемента, що знаходиться в нижньому кутку ліворуч - з числа 4. Нам потрібно звернути це числона нуль. Найзручніше зробити це, помноживши на чотири верхній рядок, а потім відняти його з четвертого. Запишемо результат першого етапу перетворення.

Отже, компонент четвертого рядка перетворений на нуль. Перейдемо до першого елемента третього рядка, до 3. Виконуємо аналогічну операцію. Помножуємо на три перший рядок, віднімаємо його з третього рядка та записуємо результат.

Нам вдалося звернути у нуль усі компоненти першого стовпця даної квадратної матриці, крім числа 1 - елемента головної діагоналі, не потребує перетворення. Тепер важливо зберегти отримані нулі, тому виконуватимемо перетворення з рядками, а не зі стовпцями. Перейдемо до другого стовпця представленої матриці.

Знову почнемо з нижньої частини – з елемента другого стовпця останнього рядка. Це число (-7). Однак у даному випадкузручніше почати з числа (-1) – елемента другого стовпця третього рядка. Щоб повернути його в нуль, віднімемо з третього рядка другий. Потім помножимо другий рядок на сім і віднімемо його з четвертого. Ми отримали нуль замість елемента, розташованого у четвертому рядку другого стовпця. Тепер перейдемо до третього стовпця.

У даному стовпці нам потрібно звернути в нуль тільки одне число - 4. Зробити це нескладно: просто додаємо до останнього рядка третій і бачимо необхідний нам нуль.

Після всіх вироблених перетворень ми навели запропоновану матрицю до трикутного вигляду. Тепер, щоб знайти її детермінант, потрібно тільки зробити множення елементів головної діагоналі. Отримуємо: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Отже, рішенням є 160.

Отже, тепер питання приведення матриці до трикутного вигляду вам не ускладнить.

Приведення до східчастого вигляду

При елементарних операціях над матрицями ступінчастий вигляд менш "затребуваним", ніж трикутний. Найчастіше він використовується для знаходження рангу матриці (тобто кількості її ненульових рядків) або визначення лінійно залежних і незалежних рядків. Однак ступінчастий вид матриці є більш універсальним, тому що підходить не тільки для квадратного типу, але і для решти.

Щоб привести матрицю до східчастого виглядуспочатку потрібно знайти її детермінант. Для цього підійдуть названі методи. Мета знаходження детермінанта така: з'ясувати, чи можна перетворити її на ступінчастий вид матриці. Якщо детермінант більший або менший за нуль, то можна спокійно приступати до завдання. Якщо ж він дорівнює нулю, виконати приведення матриці до східчастого вигляду не вдасться. У такому випадку потрібно перевірити, чи немає помилок у записі або перетворення матриці. Якщо таких неточностей немає, завдання вирішити неможливо.

Розглянемо, як привести матрицю до ступінчастого вигляду на прикладах кількох завдань.

Завдання 1.Знайти ранг цієї матричної таблиці.

Перед нами є квадратна матриця третього порядку (3x3). Ми знаємо, що для знаходження рангу необхідно привести її до ступінчастого вигляду. Тому спочатку нам потрібно знайти детермінант матриці. Скористаємося методом трикутника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детермінант = 12. Він більший за нуль, отже, матрицю можна привести до ступінчастого вигляду. Приступимо до її перетворень.

Почнемо його з елемента лівого стовпця третього рядка - числа 2. Помножуємо верхній рядок на два і віднімаємо його з третього. Завдяки цій операції як потрібний нам елемент, так і число 4 - елемент другого стовпця третього рядка звернулися в нуль.

Ми, що у результаті приведення утворилася трикутна матриця. У нашому випадку продовжити перетворення не можна, оскільки решта компонентів не вдасться навернути в нуль.

Значить, робимо висновок, що кількість рядків, що містять числові значення, у цій матриці (або її ранг) – 3. Відповідь до завдання: 3.

Завдання 2.Визначити кількість лінійно незалежних рядків цієї матриці.

Нам потрібно знайти такі рядки, які не можна будь-якими перетвореннями звернути нанівець. Фактично нам потрібно знайти кількість ненульових рядків або ранг представленої матриці. Для цього виконаємо її спрощення.

Ми бачимо матрицю, яка не належить до квадратного типу. Вона має розміри 3х4. Почнемо приведення також із елемента лівого нижнього кута - числа (-1).

Подальші її перетворення неможливі. Отже, робимо висновок, що кількість лінійно незалежних рядків у ній та відповідь до завдання – 3.

Тепер приведення матриці до ступінчастого вигляду не є для вас нездійсненним завданням.

На прикладах даних завдань ми розібрали приведення матриці до трикутного вигляду та ступінчастого вигляду. Щоб навернути в нуль потрібні значенняматричних таблиць, окремих випадкахпотрібно виявити фантазію і правильно перетворити їх стовпці чи рядки. Успіхів вам у математиці та в роботі з матрицями!

Сторінка 2

Трикутною матрицею називається матриця, яка має всі елементи з одного боку від головної чи побічної діагоналі рівні нулю. Чому дорівнює визначник трикутної матриці?

Трикутною матрицею називається матриця, у якої всі елементи, що стоять по один бік від головної або побічної діагоналі, дорівнюють нулю. Чому дорівнює визначник трикутної матриці?

Операції щодо виконання прямого ходу методу Гаусса відповідно до теорем лінійної алгебри не змінюють величини визначника. Очевидно, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.

Це інтуїтивне уявлення знаходить у деяких випадках точне кількісне вираз. Наприклад, ми знаємо (див. (6) з § 1), що визначник трикутної матриці (верхньої чи нижньої) дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

Трикутні матриці мають багато чудових властивостей, через які вони широко використовуються в побудові самих різних методіврозв'язання задач алгебри. Так, наприклад, для квадратних матрицьсума і добуток однойменних трикутних матриць є трикутною матрицею того ж найменування, визначник трикутної матриці дорівнює добутку діагональних елементів, власні значеннятрикутної матриці збігаються з її діагональними елементами, трикутна матриця легко звертається та зворотна до неї також буде трикутною.

Раніше зазначалося, що безпосереднє знаходження визначника вимагає великого обсягу обчислень. Разом про те легко обчислюється визначник трикутної матриці: він дорівнює добутку її діагональних елементів.

Чим більше нулівсеред елементів матриці А і чим краще вони розташовані, тим легше обчислювати визначник det А. Це інтуїтивне уявлення знаходить у деяких випадках точне кількісне віфаження. Наприклад, ми знаємо (див. (6) з § 1), що визначник трикутної матриці (верхньої чи нижньої) дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі.

Наприклад, множення визначника на скаляр еквівалентне множенню елементів будь-якого рядка або будь-якого стовпця матриці на цей скаляр. З рівняння (40) і з того, що розкладання застосовується до алгебраїчному доповненнютак само, як до визначника, слід, що визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.

Ця можливість випливає із трьох основних властивостейвизначників. Додавання кратного одного рядка до іншого не змінює визначника. Переставлення двох рядків змінює знак визначника. Визначник трикутної матриці дорівнює просто добутку її діагональних елементів. DECOMP використовує останню компонент вектора провідних елементів, щоб помістити туди значення 1, якщо було зроблено парне числоперестановок і значення - 1, якщо непарне. Щоб отримати визначник, це значення потрібно помножити на добуток діагональних елементів вихідної матриці.