Тригонометрія від початку детальне пояснення. Уроки: Тригонометрія

Колись у школі на вивчення тригонометрії виділявся окремий курс. В атестат виставляли оцінки з трьох математичних дисциплін: алгебри, геометрії та тригонометрії.

Потім у рамках реформи шкільної освіти тригонометрія припинила існувати як окремий предмет. У сучасній школі перше знайомство із тригонометрією відбувається в курсі геометрії 8 класу. Більш глибоке вивчення предмета продовжується у курсі алгебри 10 класу.

Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу спочатку даються в геометрії через зв'язок сторін прямокутного трикутника.

гострого кута в прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.

Косинусомгострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсомгострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення протилежного катета до прилеглого.

Котангенсомгострого кута у прямокутному трикутнику називається відношення прилеглого катета до протилежного.

Ці визначення можна застосовувати лише для гострих кутів (від 0º до 90°).

Наприклад,

у трикутнику ABC, де ∠C=90°, BC - катет, що протилежить куту A, AC - прилеглий до кута A катет, AB - гіпотенуза.

У курсі алгебри 10 класу вводяться визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для будь-якого кута (у тому числі негативного).

Розглянемо коло радіуса R із центром на початку координат — точці O(0;0). Точку перетину кола з позитивним напрямом осі абсцис позначимо P 0 .

У геометрії кут сприймається як частина площини, обмежена двома променями. За такого визначення величина кута змінюється від 0° до 180°.

У тригонометрії кут розглядають як наслідок повороту променя OP 0 навколо початкової точки O.

При цьому поворот променя проти годинникової стрілки домовилися вважати позитивним напрямом обходу, за годинниковою стрілкою - негативним (ця угода пов'язана з дійсним рухом Сонця навколо Землі).

Наприклад, при повороті променя OP 0 навколо точки O на кут α проти годинникової стрілки точка P 0 перейде в точку P α

при повороті на кут α за годинниковою стрілкою в точку F.

При такому визначенні величина кута може набувати будь-яких значень.

Якщо продовжити обертання променя OP 0 проти годинникової стрілки, при повороті на кут α°+360°, α°+360°·2,…,α°+360°·n, де n — ціле число (n∈Ζ), знову потрапимо до точки P α:

Кути вимірюють у градусах та у радіанах.

1° - це кут, що дорівнює 1/180 частини градусної міри розгорнутого кута.

1 радіан - це центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу кола:

∠AOB=1 рад.

Позначення радіану зазвичай не пишуть. Позначення градуса у записі пропускати не можна.

Наприклад,

Точка P α отримана з точки P 0 поворотом променя OP 0 навколо точки O на кут α проти годинникової стрілки має координати P α (x; y).

Опустимо з точки P α перпендикуляр P α A на вісь абсцис.

У прямокутному трикутнику OP α A:

P α A - катет, що протилежить куту α,

OA - катет, що прилягає до кута α,

OP α - гіпотенуза.

P A = y, OA = x, OP = R.

За визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу у прямокутному трикутнику маємо:

Таким чином, у разі кола з центром на початку координат довільного радіусу синусомкута α називається відношення ординати точки P α до довжини радіусу.

Косинусомкута α називається відношення абсциси точки P α до довжини радіусу.

Тангенсомкута α називається відношення ординати точки P α до її абсцис.

Котангенсомкута α називається відношення абсциси точки P α до її ординати.

Значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать тільки від величини α і не залежать від довжини радіусу R (це випливає з подібності кіл).

Тому зручно вибрати R=1.

Окружність з центром на початку координат і радіусом R=1 називається одиничною.

Визначення

1) Синусомкута α називається ордината точки P α (x; y) одиничного кола:

2) Косинусомкута α називається абсциса точки P α (x; y) одиничного кола:

3) Тангенсомкута α називається відношення ординати точки P α (x; y) до її абсцисі, тобто відношення sinα до cosα (де cosα≠0):

4) Котангенсомкута α називається відношення абсциси точки P α (x; y) до її ординати, тобто відношення cosα до sinα (де sinα≠0):

Введені таким чином визначення дозволяють розглядати не тільки тригонометричні функції кутів, але й тригонометричні функції числових аргументів (якщо розглядати sinα, cosα, tgα і ctgα як відповідні тригонометричні функції кута в радіан, тобто синус числа α — це синус кута в радіан, косинус числа α - це косинус кута в α радіан і т.д.).

Властивості тригонометричних функцій вивчаються в курсі алгебри у 10 чи 11 класі окремою темою. Тригонометричні функції широко застосовуються у фізиці.

Рубрика: |

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

1. Введення.

Підходячи до школи, чую голоси хлопців із спортивної зали, йду далі – співають, малюють… скрізь емоції, почуття. Мій кабінет, урок алгебри, десятикласники. Ось і наш підручник, у якому курс тригонометрії складає половину його обсягу, і в ньому дві закладки – це ті місця, де я знайшла слова, які не належать до теорії тригонометрії.

До небагатьох відносяться учні, які люблять математику, відчуває її красу і не питає, навіщо потрібно вивчати тригонометрію, де застосовується вивчений матеріал? Більшість - хто просто виконує завдання, щоб не отримати погану оцінку. І твердо впевнені в тому, що прикладне значення математики – це отримати знання, достатні для успішної здачі ЄДІ та вступу до ВНЗ (надійти та забути).

Основна мета уроку – показати прикладне значення тригонометрії в різних сферах діяльності людини. Наведені приклади допоможуть учням побачити зв'язок цього розділу математики коїться з іншими предметами, які вивчаються у шкільництві. Зміст цього уроку – елемент професійної підготовки учнів.

Розповісти нове про, здавалося б, давно відомий факт. Показати логічний зв'язок між тим, що вже знаємо, і те, що належить вивчити. Трохи прочинити двері і заглянути за рамки шкільної програми. Незвичайні завдання, зв'язок із подіями сьогоднішнього дня – ось ті прийоми, які я використовую для досягнення поставленої мети. Адже шкільна математика як предмет сприяє не так навчанню, як розвитку особистості, його мислення, культури.

2. Конспект уроку з алгебри та початків аналізу (10 клас).

Організаційний момент:Розставити шість столів півколом (модель транспортира), листи із завданнями для учнів на столах (Додаток 1).

Оголошення теми уроку: “Тригонометрія – це і зрозуміло”.

У курсі алгебри і початку аналізу ми приступаємо до вивчення тригонометрії, мені хотілося б розповісти про прикладне значення цього розділу математики.

Теза уроку:

“Велика книга природи може бути прочитана тільки тими, хто знає мову, якою вона написана, і ця мова – математика”.
(Г. Галілей).

Наприкінці уроку подумаємо разом, чи змогли ми заглянути в цю книгу і зрозуміти мову, якою вона написана.

Тригонометрія гострого кута.

Тригонометрія – слово грецьке й у перекладі означає “вимір трикутників”. Виникнення тригонометрії пов'язані з вимірами землі, будівельною справою, астрономією. А перше знайомство з нею сталося тоді, коли ви взяли до рук транспортир. Звернете увагу на те, як стоять столи? Прикиньте в думці: якщо прийняти один стіл за хорду, то яка градусна міра дуги, яку вона стягує?

Згадаймо про міру вимірювання кутів: 1 ° = 1/360частина кола (“градус” – від латинського grad – крок). Чи знаєте ви, чому коло розділили на 360 частин, чому не розбили на 10, 100 або 1000 частин, як це відбувається, наприклад, при вимірі довжин? Розкажу вам одну із версій.

Раніше люди вважали, що Земля - це центр Всесвіту і вона нерухома, а Сонце здійснює за добу один оберт навколо Землі, геоцентрична система світу, "гео" - Земля ( Малюнок №1). Вавилонські жерці, які проводили астрономічні спостереження, виявили, що в день рівнодення Сонце від сходу до заходу сонця описує на небесному склепінні півколо, в якому видимий діаметр (діаметр) Сонця укладається рівно 180 разів. ° - Слід Сонця. ( Малюнок № 2).

Тривалий час тригонометрія мала чисто геометричний характер. Ви продовжуєте знайомство з тригонометрією, вирішуючи прямокутні трикутники. Дізнаєтеся, що синус гострого кута прямокутного трикутника – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус – відношення прилеглого катета до гіпотенузи, тангенс – відношення протилежного катета до прилеглого катета і котангенс – відношення прилеглого катета до протилежного. І запам'ятовуєте, що у прямокутному трикутнику, що має цей кут, стосунки сторін не залежать від розмірів трикутника. Знайомтесь з теоремами синусів та косінусів для вирішення довільних трикутників.

2010 року московському метрополітену виповнилося 75 років. Щодня ми спускаємось у метро і не помічаємо, що …

Завдання №1.Кут нахилу всіх ескалаторів московського метро дорівнює 30 градусам. Знаючи це, кількість ламп на ескалаторі та зразкову відстань між лампами, можна обчислити приблизну глибину закладення станції. На ескалаторі станції "Кольоровий бульвар" 15 ламп, а на станції "Празька" 2 лампи. Розрахуйте, якою є глибина закладення цих станцій, якщо відстані між лампами, від входу ескалатора до першої лампи і від останньої лампи до виходу з ескалатора дорівнюють 6 м ( Малюнок №3). Відповідь: 48 м та 9 м

Домашнє завдання. Найглибша станція московського метро – Парк Перемоги. Яка глибина її закладання? Пропоную вам самостійно знайти дані для вирішення домашнього завдання.

У мене в руках лазерна указка, вона ж далекомір. Виміряємо, наприклад, відстань до дошки.

Китайський дизайнер Хуань Цяокун здогадався з'єднати в один пристрій два лазерні далекоміри, транспортир і отримав інструмент, що дозволяє визначати відстань між двома точками на площині. Малюнок № 4). Як ви вважаєте, за допомогою якої теореми вирішується це завдання? Згадайте формулювання теореми косінусів. Чи погоджуєтесь ви зі мною, що ваших знань вже достатньо для того, щоб зробити такий винахід? Вирішуйте завдання з геометрії та робіть кожен день маленькі відкриття!

Сферична тригонометрія.

Крім плоскої геометрії Евкліда (планіметрії) можуть існувати інші геометрії, в яких розглядаються властивості фігур не на площині, а на інших поверхнях, наприклад на поверхні кулі ( Малюнок № 5). Перший математик, який заклав фундамент у розвиток неевклидовых геометрій був Н.І. Лобачевський - "Коперник геометрії". З 1827 р. протягом 19 років він був ректором Казанського Університету.

Сферична тригонометрія, що є частиною сферичної геометрії, розглядає співвідношення між сторонами та кутами трикутників у сфері, утворених дугами великих кіл у сфері ( Малюнок № 6).

Історично сферична тригонометрія та геометрія виникли з потреб астрономії, геодезії, навігації, картографії. Подумайте, який із цих напрямів останніми роками отримав такий бурхливий розвиток, що його результат вже застосовується в сучасних комунікаторах. … Сучасне застосування навігації – це система супутникової навігації, яка дозволяє визначити місцезнаходження та швидкість об'єкта за сигналом його приймача.

Глобальна навігаційна система (GPS). Для визначення широти та довготи приймача необхідно, як мінімум, приймати сигнали від трьох супутників. Прийом сигналу від четвертого супутника дозволяє визначити висоту об'єкта над поверхнею ( Малюнок № 7).

Комп'ютер приймача вирішує чотири рівняння з чотирма невідомими доти, доки не знайдеться рішення, яке проводить усі кола через одну точку ( Малюнок № 8).

Знання з тригонометрії гострого кута виявилися недостатні для вирішення складніших практичних завдань. При вивченні обертальних та кругових рухів значення величини кута та кругової дуги не обмежені. Виникла необхідність переходу до тригонометрії узагальненого аргументу.

Тригонометрія узагальненого аргументу.

В якості моделі, за допомогою якої математики працюють з кутами, було обрано коло ( Малюнок № 9). Позитивні кути відкладаються проти годинникової стрілки, негативні – за годинниковою. Чи знайомі ви з історією такої угоди?

Як відомо, механічний і сонячний годинник влаштовані так, що їх стрілки обертаються "по сонцю", тобто. в тому ж напрямку, в якому ми бачимо рух Сонця навколо Землі. (Згадайте початок уроку – геоцентрична система світу). Але з відкриттям Коперником істинного (позитивного) руху Землі навколо Сонця, видимий нами (тобто здається) рух Сонця навколо Землі є фіктивним (негативним). Геліоцентрична система світу (геліо – Сонце) ( Малюнок № 10).

Розминка.

Витягнути праву руку перед собою, паралельно поверхні столу та виконати круговий поворот на 720 градусів.
Витягнути ліву руку перед собою, паралельно поверхні столу та виконати круговий поворот на (–1080) градусів.
Покладіть кисті рук на плечі і зробіть по 4 кругові рухи вперед і назад. Яка сума кутів повороту?

У 2010 р. пройшли Зимові Олімпійські ігри у Ванкувері, критерії виставлення оцінок за виконану вправу фігуристом ми дізнаємося, вирішивши завдання.

Завдання №2.Якщо фігурист робить поворот на кут 10 800 градусів під час виконання вправи “гвинт” за 12 секунд, він отримує оцінку “відмінно”. Визначте, яку кількість обертів здійснить фігурист за цей час та швидкість його обертання (обороти на секунду). Відповідь: 2,5 обороти/сек.

Домашнє завдання. На який кут повертається фігурист, який отримав оцінку "незадовільно", якщо за такого ж часу обертання його швидкість була 2 обороти на секунду.

Найбільш зручною мірою вимірювання дуг і кутів, пов'язаних з обертальними рухами, виявилася радіальна (радіусна) міра, як більша одиниця виміру кута або дуги ( Малюнок № 11). Ця міра виміру кутів увійшла до науки через чудові праці Леонарда Ейлера. Швейцарець за походженням, він 30 років прожив у Росії, був членом Петербурзької Академії наук. Саме йому завдячуємо “аналітичної” трактуванням всієї тригонометрії, він вивів формули, які ви зараз вивчаєте, ввів однакові знаки:. sin x, cos x, tg x, ctg x.

Якщо до 17-го століття розвиток вчення про тригонометричні функції будувалося на геометричній основі, то, починаючи з 17-го століття, тригонометричні функції почали застосовувати до вирішення завдань механіки, оптики, електрики, для опису коливальних процесів, поширення хвиль. Скрізь, де доводиться мати справу з періодичними процесами та коливаннями, знайшли застосування тригонометричні функції. Функції, що виражають закони періодичних процесів, мають особливу лише їм властиву властивість: вони повторюють свої значення через один і той же проміжок зміни аргументу. Зміни будь-якої функції найбільш наочно передаються з її графіці ( Малюнок № 12).

Ми вже зверталися за допомогою до свого організму при вирішенні завдань на обертання. Давайте прислухаємось до биття свого серця. Серце – самостійний орган. Головний мозок управляє будь-яким нашим м'язом, крім серцевого. Вона має власний центр управління – синусний вузол. При кожному скороченні серця по всьому організму – починаючи від синусного вузла (розміром із просяне зерно) – поширюється електричний струм. Його можна зареєструвати за допомогою електрокардіографів. Він викреслює електрокардіограму (синусоїду) ( Малюнок № 13).

Тепер поговоримо про музику. Математика – це музика, це спілка розуму та краси.
Музика – це математика з обчислень, алгебра з абстрагування, тригонометрія з краси. Гармонійне коливання (гармоніка) – це синусоїдальне коливання. Графік показує, як змінюється повітряний тиск на барабанну перетинку слухача: вгору і вниз дугою, періодично. Повітря тисне то сильніше, то слабше. Сила впливу зовсім невелика і коливання відбуваються дуже швидко: сотні та тисячі поштовхів кожну секунду. Такі періодичні коливання ми сприймаємо як звук. Додавання двох різних гармонік дає коливання складнішої форми. Сума трьох гармонік – ще складніша, а природні, природні звуки та звуки музичних інструментів складаються з великої кількості гармонік. ( Малюнок № 14.)

Кожна гармоніка характеризується трьома параметрами: амплітудою, частотою та фазою. Частота коливань показує, скільки поштовхів тиску повітря відбувається за секунду. Великі частоти сприймаються як "високі", "тонкі" звуки. Понад 10 КГц – писк, свист. Маленькі частоти сприймаються як "низькі", "басові" звуки, гуркіт. Амплітуда – це розмах вагань. Чим більший розмах, тим сильніший вплив на барабанну перетинку, і тим гучніший звук, який ми чуємо ( Малюнок № 15). Фаза – це усунення коливань у часі. Фаза може вимірюватися у градусах чи радіанах. Залежно від фази зміщується нульовий відлік графіку. Для завдання гармоніки достатньо вказати фазу від -180 до +180 градусів, оскільки при більших значеннях повторюється коливання. Два синусоїдальні сигнали з однаковими амплітудою і частотою, але різними фазами складаються алгебраїчно ( Малюнок № 16).

Підсумок уроку.Як ви думаєте, чи змогли ми прочитати кілька сторінок з Великої книги природи? Дізнавшись про прикладне значення тригонометрії, чи стала вам зрозуміліша її роль у різних сферах діяльності людини, чи зрозумілий вам був викладений матеріал? Тоді згадайте та перерахуйте сфери застосування тригонометрії, з якими ви познайомилися сьогодні чи знали раніше. Я сподіваюся, що кожен із вас знайшов у сьогоднішньому уроці щось нове для себе, цікаве. Можливо, це нове підкаже вам шлях у виборі майбутньої професії, але, ким би ви не стали, ваша математична освіченість допоможе стати професіоналом своєї справи та інтелектуально розвиненою людиною.

Домашнє завдання. Ознайомитись з конспектом уроку (

Ще 1905 р. російські читачі могли прочитати у книзі Вільяма Джеймса “Психологія” його міркування у тому, “чому зубрение представляє такий поганий спосіб вчення?”

“Знання, набуті шляхом простого зубріння, майже неминуче забуваються абсолютно безвісти. Навпаки, розумовий матеріал, що набирається пам'яттю поступово, день за днем, у зв'язку з різними контекстами, пов'язаний асоціативно з іншими зовнішніми подіями і неодноразово обговорений, утворює таку систему, вступає в такий зв'язок з іншими сторонами нашого інтелекту, легко відновлюється в пам'яті масою зовнішніх приводів, що надовго залишається міцним придбанням”.

З того часу минуло понад 100 років, а ці слова вражаюче залишаються злободенними. У цьому щодня переконуєшся, займаючись зі школярами. Масові прогалини у знаннях настільки великі, що можна стверджувати: шкільний курс математики в дидактичному та психологічному відносинах – не система, а такий собі пристрій, що заохочує короткочасну пам'ять і анітрохи не піклується про довготривалу пам'ять.

Знати шкільний курс математики – отже володіти матеріалом кожного з напрямів математики, бути в змозі актуалізувати будь-яке їх у час. Щоб досягти цього, потрібно систематично звертатися до кожного з них, що часом не завжди можливо через сильну завантаженість на уроці.

Є інший шлях довготривалого запам'ятовування фактів та формул – це опорні сигнали.

Тригонометрія – один із великих розділів шкільної математики, що вивчається в курсі геометрії 8, 9 класів та в курсі алгебри 9 класу, алгебри та почав аналізу у 10 класі.

Найбільший обсяг матеріалу, що вивчається по тригонометрії припадає на частку 10 класу. Більшість цього матеріалу з тригонометрії можна вивчити і запам'ятати на тригонометричному колі(Окружність одиничного радіусу з центром на початку прямокутної системи координат). Додаток1.ppt

Це такі поняття тригонометрії:

визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута;
радіальний вимір кутів;
область визначення та область значень тригонометричних функцій
значення тригонометричних функцій для деяких значень числового та кутового аргументу;
періодичність тригонометричних функцій;
парність та непарність тригонометричних функцій;
зростання та зменшення тригонометричних функцій;
формули наведення;
значення обернених тригонометричних функцій;
вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь;
вирішення найпростіших нерівностей;
основні формули тригонометрії

Розглянемо вивчення цих понять на тригонометричному колі.

1) Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Після введення поняття тригонометричного кола (коло одиничного радіусу з центром на початку координат), початкового радіусу (радіус кола у напрямку осі Ох), кута повороту, учні самостійно отримують визначення для синуса, косинуса, тангенса і котангенса на тригонометричному колі, використовуючи визначення з курсу геометрії, тобто, розглядаючи прямокутний трикутник із гіпотенузою, що дорівнює 1.

Косинусом кута називається абсцис точки на колі при повороті початкового радіусу на даний кут.

Синусом кута називається ордината точки на колі при повороті початкового радіусу на даний кут.

2) Радіанний вимір кутів на тригонометричному колі.

Після введення радіанної міри кута (1 радіан – це центральний кут, якому відповідає довжина дуги, рівна довжині радіуса кола), учні роблять висновок, що радіанне вимір кута – це числове значення кута повороту на колі, що дорівнює довжині відповідної дуги при повороті початкового радіуса на заданий кут. .

Тригонометричне коло поділено на 12 рівних частин діаметрами кола. Знаючи, що кут радіанам, можна визначити радіальний вимір для кратних кутів .

А радіальні виміри кутів, кратних, виходять аналогічно:

3) Область визначення та область значень тригонометричних функцій.

Чи буде відповідність кутів повороту та значень координат точки на колі функцією?

Кожному куту повороту відповідає єдина точка на колі, отже це відповідність – функція.

Отримуємо функції

На тригонометричному колі видно, область визначення функцій – безліч всіх дійсних чисел, а область значень - .

Введемо поняття ліній тангенсів та котангенсів на тригонометричному колі.

1) Нехай Введемо допоміжну пряму, паралельну осі Оу, де визначаються тангенси для будь-якого числового аргументу.

2) Аналогічно отримуємо лінію котангенсів. Нехай у = 1, тоді. Значить значення котангенса визначаються на прямій, паралельній осі Ох.

На тригонометричному колі легко можна визначити область визначення і область значень тригонометричних функцій:

для тангенсу -

для котангенсу -

4) Значення тригонометричних функцій на тригонометричному колі.

Катет, протилежний куту дорівнює половині гіпотенузи, тобто Інший катет по теоремі Піфагора:

Значить за визначенням синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу можна визначити значення для кратних кутів або радіанам. Значення синуса визначаються по осі Оу, косинуса по осі Ох, а значення тангенсу та котангенсу можна визначити за додатковими осями, паралельними осям Оу та Ох відповідно.

Табличні значення синуса та косинуса розташовані на відповідних осях наступним чином:

Табличні значення тангенсу та котангенсу -

5) Періодичність тригонометричних функцій.

На тригонометричному колі видно, що значення синуса, косинуса повторюються через кожні радіана, а тангенсу та котангенсу – через радіан.

6)парність і непарність тригонометричних функцій.

Цю властивість можна отримати, порівнюючи значення позитивних та протилежних кутів повороту тригонометричних функцій. Отримуємо, що

Отже, косинус – парна функція, й інші функції – непарні.

7) Зростання та спадання тригонометричних функцій.

По тригонометричному колу видно, що функція синус зростає і зменшується

Аналогічно розмірковуючи, отримуємо проміжки зростання та зменшення функцій косинуса, тангенсу та котангенсу.

8) Формули наведення.

За кут беремо менше значення кута на тригонометричному колі. Усі формули виходять порівняно значень тригонометричних функцій на катетах виділених прямокутних трикутників.

Алгоритм застосування формул приведення:

1) Визначити знак функції під час повороту на заданий кут.

При повороті на кут функція зберігається, при повороті на кут - ціле, непарне число, виходить кофункція (

9) Значення зворотних тригонометричних функцій.

Введемо зворотні функції для тригонометричних функцій, використовуючи визначення функції.

Кожному значенню синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу на тригонометричному колі відповідає лише одне значення кута повороту. Значить для функції область визначення , область значень - Для функції область визначення - , область значень - . Аналогічно отримуємо область визначення та область значень зворотних функцій для косинуса та котангенсу.

Алгоритм знаходження значень зворотних тригонометричних функцій:

1) знаходження на відповідній осі значення аргументу зворотної тригонометричної функції;

2) знаходження кута повороту початкового радіусу з урахуванням області значень зворотної тригонометричної функції.

Наприклад:

10) Вирішення найпростіших рівнянь на тригонометричному колі.

Щоб розв'язати рівняння виду, знайдемо точки на колі, ординати яких рівні і запишемо відповідні кути з урахуванням періоду функції.

Для рівняння знайдемо точки на колі, абсциси яких рівні і запишемо відповідні кути з урахуванням періоду функції.

Аналогічно для рівнянь виду Значення визначаються лініях тангенсів і котангенсів і записуються відповідні кути повороту.

Усі поняття та формули тригонометрії одержують самі учні під чітким керівництвом вчителя за допомогою тригонометричного кола. Надалі це “коло” служитиме їм опорним сигналом чи зовнішнім чинником відтворення у пам'яті понять і формул тригонометрії.

Вивчення тригонометрії на тригонометричному колі сприяє:

вибору оптимального для цього уроку стиль спілкування, організації навчального співробітництва;
цільові орієнтири уроку стають особистісно значущими кожного учня;
новий матеріал спирається на особистий досвід дії, мислення, відчуття учня;
урок включає різні форми роботи та способи отримання і засвоєння знань; присутні елементи взаємо- та самонавчання; само- та взаємоконтролю;
має місце швидке реагування на нерозуміння та помилку (спільне обговорення, опори-підказки, взаємоконсультації).

Синус, косинус, тангенс - при проголошенні цих слів у присутності учнів старших класів можна бути впевненим, що дві третини з них втратить інтерес до подальшої розмови. Причина полягає в тому, що основи тригонометрії у школі викладаються у повному відриві від реальності, а тому учні не бачать сенсу у вивченні формул та теорем.

Насправді дана область знань при найближчому розгляді виявляється дуже цікавою, а також прикладною - тригонометрія знаходить застосування в астрономії, будівництві, фізиці, музиці та багатьох інших областях.

Ознайомимося з основними поняттями та назвемо кілька причин вивчити цей розділ математичної науки.

Історія

Невідомо, коли людство почало створювати майбутню тригонометрію з нуля. Однак документально зафіксовано, що вже у другому тисячолітті до нашої ери єгиптяни були знайомі з азами цієї науки: археологами знайдено папірус із завданням, в якому потрібно знайти кут нахилу піраміди з двох відомих сторін.

Більш серйозних успіхів досягли вчені Стародавнього Вавилону. Протягом століть займаючись астрономією, вони освоїли низку теорем, запровадили особливі способи вимірювання кутів, якими, до речі, ми користуємося сьогодні: градуси, хвилини та секунди були запозичені європейською наукою у греко-римській культурі, до якої ці одиниці потрапили від вавилонян.

Передбачається, що знаменита теорема Піфагора, що відноситься до основ тригонометрії, була відома вавилонянам майже чотири тисячі років тому.

Назва

Дослівно термін «тригонометрія» можна перекласти як «вимір трикутників». Основним об'єктом вивчення в рамках даного розділу науки протягом багатьох століть був прямокутний трикутник, а точніше – взаємозв'язок між величинами кутів та довжинами його сторін (сьогодні з цього розділу починається вивчення тригонометрії з нуля). У житті нерідкі ситуації, коли практично виміряти всі необхідні параметри об'єкта (або відстань до об'єкта) неможливо, і тоді виникає необхідність відсутні дані отримати за допомогою розрахунків.

Наприклад, у минулому людина не могла виміряти відстань до космічних об'єктів, а ось спроби ці відстані розрахувати зустрічаються задовго до настання нашої ери. Найважливішу роль грала тригонометрія і в навігації: маючи деякі знання, капітан завжди міг зорієнтуватися вночі по зірках і скоригувати курс.

Основні поняття

Для освоєння тригонометрії з нуля потрібно зрозуміти та запам'ятати кілька основних термінів.

Синус деякого кута - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Уточнимо, що протилежний катет - це сторона, що лежить навпроти кута, що розглядається нами. Таким чином, якщо кут становить 30 градусів, синус цього кута завжди, за будь-якого розміру трикутника, дорівнюватиме ½. Косинус кута – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенс - це ставлення протилежного катета до прилеглого (чи, що те саме, ставлення синуса до косинусу). Котангенс – це одиниця, поділена на тангенс.

Варто згадати і знамените число Пі (3,14 ...), яке є половиною довжини кола з радіусом в одну одиницю.

Етимологія слова «синус»

Історія слова "синус" воістину незвичайна. Справа в тому, що буквальний переклад цього слова з латини означає «впадина». Все тому, що правильне розуміння слова загубилося під час перекладу з однієї мови на іншу.

Назви базових тригонометричних функцій походять з Індії, де поняття синуса позначалося словом «тетива» на санскриті - справа в тому, що відрізок разом з дугою кола, на яке він спирався, був схожий на цибулю. За часів розквіту арабської цивілізації індійські досягнення в галузі тригонометрії були запозичені, і термін перейшов до арабської мови у вигляді транскрипції. Сталося так, що в цій мові вже було схоже слово, що означає западину, і якщо араби розуміли фонетичну різницю між рідним і запозиченим словом, то європейці, які перекладають наукові трактати латиною, помилково буквально переклали арабське слово, яке ніякого відношення до поняття синуса не має . Ним ми і користуємося досі.

Таблиці значень

Існують таблиці, в які занесені числові значення для синусів, косінусів та тангенсів усіх можливих кутів. Нижче подаємо дані для кутів 0, 30, 45, 60 і 90 градусів, які необхідно вивчити як обов'язковий розділ тригонометрії для «чайників», добре запам'ятати їх досить легко.

Якщо сталося так, що числове значення синуса чи косинуса кута «вилетіло з голови», є спосіб вивести його самостійно.

Геометрична вистава

Накреслимо коло, через його центр проведемо осі абсцис та ординат. Вісь абсцис розташовується горизонтально, вісь ординат – вертикально. Зазвичай вони підписуються як «X» та «Y» відповідно. Тепер з центру кола проведемо пряму таким чином, щоб між нею та віссю X вийшов потрібний нам кут. Нарешті, з тієї точки, де пряма перетинає коло, опустимо перпендикуляр на вісь X. Довжина відрізка, що вийшов, дорівнюватиме чисельному значенню синуса нашого кута.

Цей спосіб дуже актуальний, якщо ви забули потрібне значення, наприклад, на іспиті, і підручника з тригонометрії під рукою немає. Точної цифри ви таким чином не отримаєте, але різницю між ½ і 1,73/2 (синус та косинус кута 30 градусів) ви точно побачите.

Застосування

Одними з перших фахівців, які використовують тригонометрію, були моряки, які не мали жодного іншого орієнтиру у відкритому морі, крім неба над головою. Сьогодні капітани кораблів (літаків та інших видів транспорту) не шукають найкоротшого шляху зірками, зате активно вдаються до допомоги GPS-навігації, яка без використання тригонометрії була б неможлива.

Практично в кожному розділі фізики на вас чекають розрахунки з використанням синусів і косинусів: будь то додаток сили в механіці, розрахунки шляху об'єктів у кінематиці, коливання, поширення хвиль, заломлення світла - без базової тригонометрії у формулах просто не обійтися.

Ще одна професія, яка немислима без тригонометрії – це геодезист. Використовуючи теодоліт і нівелір чи складніший прилад - тахіометр, ці люди вимірюють різницю у висоті між різними точками на земній поверхні.

Повторюваність

Тригонометрія має справу не лише з кутами та сторонами трикутника, хоча саме з цього вона починала своє існування. У всіх областях, де є циклічність (біології, медицини, фізики, музики і т. д.) ви зустрінетеся з графіком, назва якого напевно вам знайома - це синусоїда.

Такий графік є розгорнутою вздовж осі часу коло і зовні схожий на хвилю. Якщо ви коли-небудь працювали з осцилографом на заняттях з фізики, ви розумієте, про що йдеться. Як музичний еквалайзер, і прилад, що відображає серцеві ритми, використовують формули тригонометрії у роботі.

На закінчення

Замислюючись про те, як вивчити тригонометрію, більшість учнів середньої та старшої школи починають вважати її складною та непрактичною наукою, оскільки знайомляться лише із нудною інформацією з підручника.

Що стосується непрактичності - ми вже побачили, що тією чи іншою мірою вміння поводитися з синусами та тангенсами потрібно практично у будь-якій сфері діяльності. А щодо складності… Подумайте: якщо люди користувалися цими знаннями більше двох тисяч років тому, коли доросла людина мала менше знань, ніж сьогоднішній старшокласник, чи реально вивчити цю галузь науки на базовому рівні особисто вам? Кілька годин вдумливих занять із вирішенням завдань – і ви досягнете своєї мети, вивчивши базовий курс, так звану тригонометрію для «чайників».

На цьому уроці ми познайомимося із визначеннями тригонометричних функцій та їх основними властивостями, дізнаємося, як працювати з тригонометричним колом, з'ясуємо, що таке період функціїі згадаємо про різні способи вимірювання кутів. Крім цього, розберемося із застосуванням формул приведення.

Цей урок допоможе Вам підготуватися до одного з типів завдання О 7.

Підготовка до ЄДІ з математики

Експеримент

Урок 7.Введення у тригонометрію.

Теорія

Конспект уроку

Сьогодні ми з вами починаємо розділ, який має лякаючу для багатьох назву «Тригонометрія». Давайте відразу з'ясуємо, що це не окремий предмет, схожий за назвою на геометрію, як дехто думає. Хоча в перекладі з грецької слово "тригонометрія" означає "вимір трикутників" і має пряме відношення до геометрії. Крім цього тригонометричні обчислення широко застосовуються у фізиці та техніці. Але ми з вами почнемо саме з розгляду того, як основні тригонометричні функції вводяться в геометрії за допомогою прямокутного трикутника.

Щойно ми використовували термін «тригонометрична функція» - це означає, що ми введемо цілий клас певних законів відповідності однієї змінної величини від іншої.

Для цього розглянемо прямокутний трикутник, у якому для зручності використовуються стандартні позначення сторін та кутів, які ви можете бачити на малюнку:

Розглянемо, наприклад, куті введемо для нього такі дії:

Ставлення протилежного катета до гіпотенузи назвемо синусом, тобто.

Ставлення прилеглого катета до гіпотенузи назвемо косинус, тобто. ;

Ставлення протилежного катета до прилеглого назвемо тангенсом, тобто. ;

Ставлення прилеглого катета до протилежного назві котангенсом, тобто. .

Всі ці дії з кутом називають тригонометричними функціями. Сам кут, при цьому, прийнято називати аргументом тригонометричної функціїі його можна позначати, наприклад, іксом, як це зазвичай заведено в алгебрі.

Важливо відразу зрозуміти, що тригонометричні функції залежать саме від кута прямокутному трикутнику, а не від його сторін. Це легко довести, якщо розглянути трикутник, подібний до цього, в ньому довжини сторін будуть іншими, а всі кути і стосунки сторін не зміняться, тобто. залишаться незмінними та тригонометричні функції кутів.

Після такого визначення тригонометричних функцій може виникнути питання: «А чи існує наприклад? Адже кутау прямокутному трикутнику бути не може» . Як не дивно, але відповідь на це запитання ствердна, причому, значення цього виразу дорівнює , а це ще більше дивує, оскільки всі тригонометричні функції є ставленням сторін прямокутного трикутника, а довжини сторін є позитивними числами.

Але жодного парадоксу у цьому немає. Справа в тому, що, наприклад, у фізиці при описі деяких процесів необхідно використовувати тригонометричні функції кутів не тільки великих, але і великих і навіть. Для цього необхідно запровадити більш узагальнене правило обчислення тригонометричних функцій за допомогою так званої «одиничного тригонометричного кола».

Вона являє собою коло з одиничним радіусом, зображене так, що її центр знаходиться на початку координат декартової площини.

Для зображення кутів у цьому колі необхідно домовитись, звідки їх відкладати. Прийнято за промінь відліку кутів приймати позитивний напрямок осі абсцис, тобто. осі іксів. Напрямком відкладення кутів прийнято вважати напрямок проти годинникової стрілки.Виходячи з цих домовленостей, відкладемо спочатку гострий кут. Саме для таких гострих кутів ми вже вміємо обчислювати значення тригонометричних функцій прямокутного трикутника. Виявляється, що за допомогою зображеного кола також можна обчислювати тригонометричні функції, тільки зручніше.

Значення синуса та косинуса гострого кута є координатами точки перетину сторони цього кута з одиничним колом:

Це можна записувати у такому вигляді:

Виходячи з того факту, що координати по осі абсцис показують значення косинуса, а координати по осі ординат значення синуса кута, назви осей у системі координат з одиничним колом зручно перейменувати так, як ви бачите на малюнку:

Вісь абсцис перейменовується на вісь косінусів, а вісь ординат на вісь синусів.

Зазначене правило визначення синуса і косинуса узагальнюється і тупі кути, і кути, що у діапазоні від до . У такому разі синуси та косинуси можуть набувати як позитивних, так і негативних значень. Різні знаки значень цих тригонометричних функційв залежності від того, в яку чверть потрапляє кут, що розглядається, прийнято зображати наступним чином:

Як бачите, знаки тригонометричних функцій визначаються позитивними та негативними напрямками відповідних їм осей.

Крім того, варто звернути увагу на те, що оскільки найбільша координата точки на одиничному колі і по осі абсцис і по осі ординат дорівнює одиниці, а найменша мінус одиниці, то і значення синуса та косинусаобмежені цими числами:

Ці записи ще прийнято записувати у такому вигляді:

Для того щоб ввести функції тангенсу і котангенсу на тригонометричному колі, необхідно зобразити додаткові елементи: дотичну до кола в точці A - по ній визначається значення тангенса кута, і дотичну до точки B - по ній визначається значення котангенса кута .

Проте ми заглиблюватимемося у визначення тангенсів і котангенсів по тригонометричному колу, т.к. їх легко можна обчислити, знаючи значення синуса та косинуса даного кута, що ми вже вміємо робити. Якщо вам цікаво ознайомитися з обчисленням тангенсу та котангенсу по тригонометричному колу, повторіть програму курсу алгебри 10 класу.

Вкажемо лише зображення на колі знаків тангенсів та котангенсівв залежності від кута:

Зазначимо, що аналогічно діапазонам значень синуса та косинуса можна вказати діапазони значень тангенсу та котангенсу. Виходячи з їх визначення на тригонометричному колі, значення цих функцій не обмежені:

Що можна записати ще так:

Крім кутів в діапазоні від до тригонометричне коло дозволяє працювати і з кутами, які більше і навіть з негативними кутами. Такі значення кутів хоч і здаються безглуздими для геометрії, але використовуються для опису деяких фізичних процесів. Наприклад, що ви дасте відповідь на запитання: «На який кут повернеться стрілка годинника за добу?»За час вона виконає два повних обороту, а й за один оборот пройде , тобто. за добу повернеться на . Як бачите, такі значення мають цілком практичне значення. Знаки кутів використовуються для позначення напрямку обертання - один із напрямків домовляються вимірювати позитивними кутами, а інший негативними. Як же це враховувати в тригонометричному колі?

На колі з такими кутами працюють так:

1) Кути, які більше відкладаються проти годинникової стрілки з проходженням початку відліку стільки разів, скільки це потрібно. Наприклад, для побудови кута необхідно пройти два повні обороти та ще . Для остаточного становища обчислюються все тригонометричні функції. Неважко побачити, що значення всіх тригонометричних функцій для і будуть однаковими.

2) Негативні кути відкладаються точно за тим же принципом, що й позитивні, тільки за годинниковою стрілкою.

Вже за способом побудови великих кутів можна дійти невтішного висновку, що значення синусів і косінусів кутів, які різняться на , однакові. Якщо проаналізувати значення тангенсів та котангенсів, то вони будуть однакові для кутів, що відрізняються на .

Такі мінімальні ненульові числа, при додаванні яких до аргументу не змінюється значення функції, називають періодомцієї функції.

Таким чином, періодсинуса та косинуса дорівнює, а тангенсу та котангенсу. А це означає, що скільки не додай або забирай ці періоди від кутів, що розглядаються, значення тригонометричних функцій не зміняться.

Наприклад, , а т.д.

Пізніше ми ще повернемося до докладнішого пояснення та застосування цієї властивості тригонометричних функцій.

Між тригонометричними функціями одного і того ж аргументу існують певні співвідношення, які дуже часто використовуються та називаються основні тригонометричні тотожності.

Вони виглядають так:

1) , так звана «тригонометрична одиниця»

Зауважимо, що, наприклад, позначення означає, що вся тригонометрична функція зводиться у квадрат. Тобто. це можна уявити у такій формі: . Важливо розуміти, що це не таке запису як , в цьому випадку зводиться в квадрат тільки аргумент, а не вся функція, до того ж вирази такого виду зустрічаються вкрай рідко.

З першого тотожності є два дуже корисні наслідки, які можуть стати в нагоді при вирішенні багатьох типів завдань. Після нескладних перетворень можна виразити синус через косинус того ж кута і навпаки:

Два можливі знаки виразів виникають, т.к. Вилучення арифметичного квадратного кореня дає лише невід'ємні значення, а синус і косинус, як ми вже бачили, можуть мати і негативні значення. Причому знаки цих функцій найзручніше визначати саме за допомогою тригонометричного кола залежно від того, які кути в них присутні.

Тепер давайте згадаємо про те, що вимір кутів можна здійснювати двома способами: у градусах та у радіанах. Вкажемо визначення одного градуса та одного радіана.

Один градус- це кут, утворений двома радіусами, які стягують дугу рівну колу.

Один радіан- це кут, утворений двома радіусами, які стягує дуга, що дорівнює по довжині радіусів.

Тобто. це просто два різні способи вимірювати кути, які абсолютно рівноправні. В описі фізичних процесів, що характеризуються тригонометричними функціями, прийнято використовувати радіальну міру кутів, тому нам теж доведеться до неї звикати.

Вимірювати кути в радіанах прийнято частками числа пі, наприклад, або . У цьому значення числа «пі», яке дорівнює 3,14, можна підставляти, але робиться рідко.

Для переведення градусної міри кутів у радіальнукористуються тим фактом, що кут , з чого легко отримати загальну формулу перекладу:

Наприклад, переведемо в радіани: .

Існує і зворотна формулапереведення з радіан у градуси:

Наприклад, переведемо в градуси: .

Використовувати радіальну міру кута у цій темі ми будемо досить часто.

Тепер саме час згадати, які саме значення можуть давати тригонометричні функції різних кутів. Для деяких кутів, кратних , існує таблиця значень тригонометричних функцій. У ній для зручності наведені кути в градусних та радіанних заходах.

Ці кути часто зустрічаються в багатьох завданнях і в цій таблиці бажано вміти впевнено орієнтуватися. Значення тангенсу та котангенсу деяких кутів не мають сенсу, що зазначено в таблиці у вигляді прочерків. Подумайте самі чому так чи ознайомтеся з цим детальніше у вставці до уроку.

Останнє, з чим нам треба ознайомитись у нашому першому уроці з тригонометрії, це перетворення тригонометричних функцій за так званими формулами приведення.

Виявляється, є певний вид виразів для тригонометричних функцій, який досить часто зустрічається і зручно спрощується. Наприклад, це висловлювання: тощо.

Тобто. мова піде про функції, у яких як аргумент виступає довільний кут, змінений на цілу або половинну частину. Такі функції спрощуються до аргументу, який дорівнює довільному куту додавання чи віднімання частин . Наприклад, , а . Як бачимо результатом, може стати протилежна функція, і функція може змінити знак.