Кут між векторами визначення. Записи з міткою "знайти косинус кута між векторами"

На ваші прохання!

1. Виключіть ірраціональність у знаменнику:

3. Розв'яжіть показове рівняння:

4. Вирішити нерівність:

Арифметичний квадратний корінь існує лише з невід'ємного числа і завжди виражається невід'ємним числом, тому, ця нерівність буде вірною для всіх х, які відповідають умові: 2-х≥0. Звідси одержуємо: х≤2. Записуємо відповідь у вигляді числового проміжку: (-∞; 2].

5. Розв'язати нерівність: 7 x > -1.

За визначенням: показовою називають функцію виду y = a x , де а >0, a≠1, x - будь-яке число. Областью значень показової функції є безліч всіх позитивних чисел, Оскільки позитивне число будь-якої міри буде позитивним. Саме тому 7 x >0 за будь-якого x, і більше 7 x > -1 , тобто. нерівність вірна за всіх х ∈ (-∞; +∞).

6. Перетворити на твір:

Застосуємо формулу суми синусів: сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми цих кутів на косинус їхньої напіврізності.

8. Відомо, що f(x) = -15 х +3. За яких значень х, f(x)=0?

Підставимо замість f(x) число 0 і розв'язуємо рівняння:

15х+3=0 ⇒ -15х=-3 ⇒ х=3:15 ⇒ х = 1/5.

11 . У першому та другому сплавах мідь та цинк знаходяться у співвідношенні 5:2 та 3:4. Скільки кожного сплаву потрібно взяти, щоб отримати 28 кг нового сплаву з рівним вмістом міді та цинку.

Розуміємо, що у новому сплаві буде 14 кг міді та 14 кг цинку. Подібні завдання вирішуються однаково: становлять рівняння, у лівій і правій частинах якого одне й те кількість речовини (візьмемо мідь), записане по-різному (виходять із конкретного умови завдання). У нас 14 кг міді у новому сплаві буде складено з міді обох цих сплавів. Нехай маса першого сплаву хкг, тоді маса другого сплаву дорівнює ( 28-х) кг. У першому сплаві 5 частин міді та 2 частини цинку, отже міді буде (5/7) від х кг. Щоб знайти дріб від числа, потрібно цей дріб помножити на дане число. У другому сплаві 3 частини міді та 4 частини цинку, тобто. міді міститься (3/7) від (28-х) кг. Отже:

12. Розв'яжіть рівняння: log 2 8 x = -1.

За визначенням логарифму:

8 х = 2 -1 ⇒ 2 3х = 2 -1 ⇒ 3х = -1 ⇒ х = -1/3.

15. Знайдіть похідну функцію f(x) = -ln cosx 2 .

20. Знайти значення виразу:

Модуль числа може виражатися лише невід'ємним числом.Якщо під знаком модуля знаходиться негативний вираз, то при розкритті модульних дужок всі доданки записують із протилежними знаками.

22. Розв'яжіть систему нерівностей:

Спочатку вирішуємо кожну нерівність окремо.

Зверніть увагу, що найменшим загальним періодом для цих функцій буде 2π,тому і ліворуч і праворуч приписали 2πn. Відповідь С).

23. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції y=3-|x-3| і прямий у = 0.

Графік цієї функції складатиметься з двох напівпрямих, що виходять з однієї точки. Запишемо рівняння прямих. При x≥3 ми розкриваємо модульні дужки та отримуємо: y=3-x+3 ⇒ y=6-x.При x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Трикутник, обмежений графіком функції та відрізком осі Ох – фігура, площу якої потрібно знайти. Звісно, обійдемося тут без інтегралів. Знайдемо площу трикутника як половину твору його основи на висоту, проведену до цієї основи. Основа у нас дорівнює 6 одиничним відрізкам, а висота, проведена до цієї основи, дорівнює 3 одиничним відрізкам. Площа дорівнюватиме 9 кв. од.

24. Знайдіть косинус кута А трикутника з вершинами в точках А(1; 4), В(-2; 3), С(4; 2).

Щоб знайти координати вектора, заданого координатами його кінців, потрібно від координат кінця відняти координати початку.

Кут А утворюють вектори:

25. У коробці лежать 23 кулі: червоні, білі та чорні. Білих куль у 11 разів більше, ніж червоних. Скільки чорних кульок?

Нехай у коробці лежить хчервоні кулі. Тоді білих 11хкуль.

Червоних та білих х+11х= 12хкуль. Отже, чорних куль 23-12х.Так як це ціле число куль, то можливе лише значення х = 1. Виходить: 1 червона куля, 11 білих куль і 11 чорні кулі.

Кут між двома векторами :

Якщо кут між двома векторами гострий, їх скалярне твір позитивно; якщо кут між векторами тупий, то скалярний добуток цих векторів негативний. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.

Завдання.Знайти кут між векторами та

Рішення.Косинус шуканого кута

16. Обчислення кута між прямими, прямою та площиною

Кут між прямою та площиною, що перетинає цю пряму і не перпендикулярну до неї, - це кут між прямою та її проекцією на цю площину.

Визначення кута між прямою і площиною дозволяє укласти, що кут між прямою і площиною являє собою кут між двома прямими, що перетинаються: самої прямої і її проекцією на площину. Отже, кут між прямою та площиною є гострий кут.

Кут між перпендикулярними прямою і площиною вважають рівним , а кут між паралельними прямою і площиною або не визначають зовсім, або вважають рівним .

§ 69. Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими у просторі вирішується так само, як і на площині (§ 32). Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2 а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

? 90 ° (рис. 206,6), то ? = 180 ° - ?. Вочевидь, що у обох випадках правильна рівність cos φ = |cos ψ|. За формулою (1) § 20 маємо

отже,

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

Тоді кут між прямими визначається за допомогою формули

Якщо одна з прямих (або обидві) задана не канонічних рівнянь, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

17. Паралельні прямі, Теореми про паралельні прямі

Визначення.Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Кут між двома векторами.

З визначення скалярного твору:

Умова ортогональності двох векторів:

Умова колінеарності двох векторів:

Слід з визначення 5 - . Дійсно, з визначення твору вектора на число випливає . Тому, виходячи з правила рівності векторів, запишемо , , , звідки випливає . Але вектор , що у результаті множення вектора на число , колінеарен вектору .

Вектор проекції на вектор:

Приклад 4. Дано крапки , , , .

Знайти скалярний твір.

Рішення. знайдемо за формулою скалярного добутку векторів, поставлених своїми координатами. Оскільки

, ,

Приклад 5.Дано крапки , , , .

Знайти проекцію.

Рішення. Оскільки

, ,

На підставі формули проекції, маємо

Приклад 6.Дано крапки , , , .

Знайти кут між векторами та .

Рішення. Зауважимо, що вектор

, ,

не є колінеарними, оскільки не пропорційні їх координати:

Ці вектори є також перпендикулярними, оскільки їх скалярний добуток .

Знайдемо,

Кут знайдемо з формули:

Приклад 7.Визначити за яких векторів і колінеарні.

Рішення. У разі колінеарності відповідні координати векторів і повинні бути пропорційними, тобто:

Звідси і.

Приклад 8. Визначити, за якого значення вектора і перпендикулярні.

Рішення. Вектор і перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. На цьому умови отримуємо: . Стало бути, .

Приклад 9. Знайти , якщо , , .

Рішення. В силу властивостей скалярного твору маємо:

Приклад 10. Знайдіть кут між векторами і , де і - одиничні вектори і кут між векторами дорівнює 120о.

Рішення. Маємо: , ,

Остаточно маємо: .

5.б. Векторний витвір.

Визначення 21.Векторним творомвектора на вектор називається вектор , або , який визначається наступними трьома умовами:

1) Модуль вектора дорівнює , де - Кут між векторами і , тобто. .

Звідси випливає, що модуль векторного твору чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах.

2) Вектор перпендикулярний кожному із векторів і ( ; ), тобто. перпендикулярний площині паралелограма, побудованого на векторах і .

3) Вектор спрямований так, що якщо дивитися з його кінця, то найкоротший поворот від вектора до вектора був би проти годинникової стрілки (вектори, утворюють праву трійку).

Як визначити кути між векторами?

При вивченні геометрії чимало питань виникає на тему векторів. Особливі труднощі учень відчуває за необхідності знайти кути між векторами.

Основні терміни

Перед тим як розглядати кути між векторами необхідно ознайомитися з визначенням вектора і поняттям кута між векторами.

Вектором називають відрізок, що має напрямок, тобто відрізок, для якого визначено його початок та кінець.

Кутом між двома векторами на площині, що мають загальний початок, називають менший з кутів, на величину якого потрібно перемістити один із векторів навколо загальної точки, до положення, коли їх напрямки збігаються.

Формула для вирішення

Зрозумівши, що являє собою вектор і як визначається його кут, можна обчислити кут між векторами. Формула рішення для цього досить проста, і результатом її застосування буде значення косинуса кута. Згідно з визначенням, він дорівнює приватному скалярному твору векторів та твору їх довжин.

Скалярний добуток векторів вважається як сума помножених один на одного відповідних координат векторів-співмножників. Довжина вектора або його модуль обчислюється як квадратний корінь із суми квадратів його координат.

Отримавши значення косинуса кута, обчислити величину самого кута можна за допомогою калькулятора або скориставшись тригонометричною таблицею.

приклад

Після того, як ви розберетеся з тим, як обчислити кут між векторами, розв'язання відповідного завдання стане простим і зрозумілим. Як приклад варто розглянути нескладне завдання про знаходження величини кута.

Насамперед зручніше обчислити необхідні рішення значення довжин векторів та його скалярного твори. Скориставшись описом, наведеним вище, отримаємо:

Підставивши отримані значення формулу, обчислимо значення косинуса шуканого кута:

Це число не є одним із п'яти поширених значень косинуса, тому для отримання величини кута доведеться скористатися калькулятором або тригонометричною таблицею Брадіса. Але перед тим, як отримати кут між векторами, формула може бути спрощена, щоб позбавитися зайвого негативного знака:

Підсумкову відповідь для збереження точності можна залишити в такому вигляді, а можна визначити значення кута в градусах. За таблицею Брадіса його величина становитиме приблизно 116 градусів та 70 хвилин, а калькулятор покаже значення 116,57 градуса.

Обчислення кута в n-мірному просторі

При розгляді двох векторів у тривимірному просторі, зрозуміти, про який кут йде мова набагато складніше, якщо вони не лежать в одній площині. Для спрощення сприйняття можна накреслити два відрізки, що перетинаються, які утворюють найменший кут між ними, він і буде шуканим. Незважаючи на наявність третьої координати у векторі, процес того, як обчислюються кути між векторами, не зміниться. Обчисліть скалярний твір і модулі векторів, арккосинус їхнього приватного і буде відповіддю на це завдання.

У геометрії нерідко зустрічаються завдання з просторами, що мають більше трьох вимірів. Але й їм алгоритм знаходження відповіді виглядає аналогічно.

Різниця між 0 та 180 градусами

Одна з поширених помилок при написанні відповіді на задачу, розраховану на те, щоб обчислити кут між векторами, - рішення записати, що вектори паралельні, тобто кут, що шукається, вийшов дорівнює 0 або 180 градусів. Ця відповідь є невірною.

Отримавши за підсумками рішення значення кута 0 градусів, правильною відповіддю буде позначення векторів як сонаправленных, тобто векторів збігатися напрямок. У разі отримання 180 градусів вектори матимуть характер протилежно спрямованих.

Специфічні вектори

Знайшовши кути між векторами, можна зустріти один із особливих типів, крім описаних вище сонаправленных і протилежно спрямованих.

Декілька векторів паралельних однієї площини називаються компланарними.
Вектори, однакові за довжиною та напрямком, називаються рівними.
Вектори, що лежать на одній прямій, незалежно від напрямку, називаються колінеарними.
Якщо довжина вектора дорівнює нулю, тобто його початок і кінець збігаються, його називають нульовим, і якщо одиниці, то одиничним.

Як знайти кут між векторами?

Допоможіть будь ласка! формулу знаю, а вирахувати не виходить ((
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Олександр Титов

Кут між векторами, заданими своїми координатами, знаходиться за стандартним алгоритмом. Спочатку потрібно знайти скалярний добуток векторів a і b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Підставляємо сюди координати даних векторів та вважаємо:
(a, b) = 8 * 5 + 10 * (-20) = 4 * (-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Далі визначаємо довжини кожного із векторів. Довжина або модуль вектора - це квадратний корінь із суми квадратів його координат:
|a| = корінь із (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корінь із (8^2 + 10^2 + 4^2) = корінь із (64 + 100 + 16) = корінь із 180 = 6 коренів з 5
|b| = корінь із (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корінь із (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корінь із (25 + 400 + 100) = корінь із 525 = 5 коренів із 21.
Розмножуємо ці довжини. Отримуємо 30 коренів із 105.
І нарешті, ділимо скалярний добуток векторів на добуток довжин цих векторів. Отримуємо, -200/(30 коренів зі 105) або
- (4 кореня зі 105) / 63. Це - косинус кута між векторами. А сам кут дорівнює арккосинусу з цього числа
ф = arccos (-4 кореня зі 105) / 63.
Якщо я все правильно порахував.

Як обчислити синус кута між векторами за координатами векторів

Михайло ткачов

Помножуємо ці вектори. Їх скалярний добуток дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Кут нам невідомий, натомість відомі координати.
Математично запишемо це так.
Нехай дані вектора a(x1;y1) і b(x2;y2)
Тоді

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Розмірковуємо.
a*b-скалярний добуток векторів, що дорівнює сумі творів відповідних координат координат цих векторів, тобто дорівнює x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-твор довжин векторів, дорівнює √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Отже, косинус кута між векторами дорівнює:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Знаючи косинус кута, можемо обчислити його синус. Розмірковуємо, як це зробити:

Якщо косинус кута позитивний, це кут лежить в 1 або 4 чверті, значить його синус або позитивний, або негативний. Але оскільки кут між векторами-менше або дорівнює 180 градусів, то його синус - позитивний. Аналогічно міркуємо, якщо косинус – негативний.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ось так)))) удачі розібратися)))

Дмитро левищів

Те, що прямо синус не можна – це неправда.
Крім формули:
(a, b) = | a | * | b | * cos A
Є ще й така:
||=|a|*|b|*sin A
Тобто замість скалярного добутку можна взяти модуль векторного добутку.

Основні терміни

Вектором називають відрізок, що має напрямок, тобто відрізок, для якого визначено його початок та кінець.

Формула для вирішення

приклад

Підставивши отримані значення формулу, обчислимо значення косинуса шуканого кута:

Обчислення кута в n-мірному просторі

Різниця між 0 та 180 градусами

Специфічні вектори

Декілька векторів паралельних однієї площини називаються компланарними.
Вектори, однакові за довжиною та напрямком, називаються рівними.
Вектори, що лежать на одній прямій, незалежно від напрямку, називаються колінеарними.
Якщо довжина вектора дорівнює нулю, тобто його початок і кінець збігаються, його називають нульовим, і якщо одиниці, то одиничним.

Інструкція

Нехай на площині задано два ненульові вектори, відкладені від однієї точки: вектор A з координатами (x1, y1) B з координатами (x2, y2). Кутміж ними позначено як θ. Щоб знайти градусну міру кута θ, необхідно скористатися визначенням скалярного твору.

Скалярним твором двох ненульових називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто (A,B)=|A|*|B|*cos(θ). Тепер потрібно виразити з даної косинус кута: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Скалярний добуток можна знайти також за формулою (A,B)=x1*x2+y1*y2, оскільки добуток двох ненульових векторів дорівнює сумі творів відповідних цих векторів. Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні (кут між ними дорівнює 90 градусів) і подальші обчислення можна не проводити. Якщо скалярний добуток двох векторів позитивний, то кут між цими векторамигострий, і якщо негативно, то кут тупий.

Тепер порахуйте довжини векторів A і B за формулами: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Довжина вектора обчислюється як квадратний корінь із суми квадратів його координат.

Знайдені значення скалярного добутку та довжин векторів підставте в отриману за кроком 2 формулу для кута, тобто cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+√(x2²+y2²)). Тепер, знаючи значення , щоб знайти градусну міру кута між векторамипотрібно скористатися таблицею Брадіса або взяти з цього: θ = arccos (cos (θ)).

Якщо вектори A і B задані тривимірному просторі і мають координати (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно, то при знаходженні косинуса кута додається ще одна координата. У цьому випадку косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Корисна порада

Якщо два вектори відкладено не від однієї точки, то знаходження кута з-поміж них паралельним переносом потрібно поєднати початку цих векторів.
Кут між двома векторами не може бути більшим за 180 градусів.

Джерела:

як обчислити кут між векторами
Кут між прямою та площиною

Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці та лінійній алгебрі необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твору та яка величина з'являється в результаті цього твору.

Інструкція

Кут між векторами у векторному лінійному просторі – мінімальний кут при , який досягається сонаправленность векторів. Здійснюється один із векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидним, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (см. до кроку).

При цьому цілком справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.

Результат скалярного добутку – число, інакше скаляр. Запам'ятайте (це важливо знати), щоб не допустити подальших розрахунків помилок. Формула скалярного твору, розташованих площині чи просторі векторів, має вигляд (див. малюнок кроку).

Якщо вектори розташовуються у просторі, то розрахунок робіть аналогічним способом. Єдиним буде поява доданку в ділимому - це доданок за аплікату, тобто. третій компонент вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих у просторі, останнє вираз перетворюється так (див. малюнок 6 до кроку).

Вектор – це відрізок із заданим напрямком. Кут між векторами має фізичне значення, наприклад, при знаходженні довжини проекції вектора на вісь.

Інструкція

Кут між двома ненульовими векторами за допомогою обчислення скалярного добутку. За визначенням твір дорівнює добутку довжин на кутку між ними. З іншого боку, скалярний добуток для двох векторів a з координатами (x1; y1) та b з координатами (x2; y2) обчислюється: ab = x1x2 + y1y2. З цих двох способів скалярного добутку легко кут між векторами.

Знайдіть довжини чи модулі векторів. Для наших векторів a та b: |a| = (x1² + y1²) ^ 1/2, | b | = (x2² + y2²) ^ 1/2.

Знайдіть скалярний добуток векторів, перемноживши їх координати попарно: ab = x1x2 + y1y2. З визначення скалярного добутку ab = | a | * | b | * cos α, де - кут між векторами. Тоді матимемо, що x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тоді cos = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Знайдіть кут α за допомогою таблиць Брадіса.

Відео на тему

Зверніть увагу

Скалярне твір - це скалярна характеристика довжин векторів та кута між ними.

Площина – одне з вихідних понять у геометрії. Площиною називається поверхня, для якої правильне твердження - будь-яка пряма, що з'єднує дві її точки, повністю належить цій поверхні. Площини заведено позначати грецькими літерами α, β, γ тощо. Дві площини завжди перетинаються прямою лінією, яка належить обом площинам.

Інструкція

Розглянемо напівплощини α та β утворені при перетині. Кут, утворений прямий a двома напівплощинами α і β двогранним кутом. При цьому напівплощини утворюють двогранний кут гранями, пряма по якій перетинаються площини називається ребром двогранного кута.

Двогранний кут, як і плоский кут, у градусах. Щоб двогранний кут необхідно з його межі вибрати довільну точку O. В обох через точку O проводяться два промені a. Утворений кут AOB називається лінійним кутом двогранного кута a.

Отже, нехай заданий вектор V = (а, b, с) і площину А x + В y + C z = 0, де А, В і C – координати нормалі N. Тоді косинус кута між векторами V і N дорівнює:сos α = (а А + b + З C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²)).

Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від виразу розрахувати функцію, зворотну до косінус, тобто. арккосинус:α = аrссos ((а А + b В + з C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²))).

приклад: знайдіть кутміж вектором(5, -3, 8) та площиною, Заданої загальним рівнянням 2 x - 5 y + 3 z = 0.Рішення: випишіть координати нормального вектора площині N = (2, -5, 3). Підставте всі відомі значення у наведену формулу: сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Відео на тему

Складіть рівність і вичленуйте з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів дорівнює їх довжинам, перемноженим один на одного і на косинус кута, а за іншою - сумою творів координат уздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кутаповинен дорівнювати відношенню суми творів координат до твору довжин векторів.

Запишіть отриману рівність. І тому треба позначити обох векторів. Припустимо, вони дано в тривимірній декартовій системі та їх початкові точки координатної сітки. Напрямок та величина першого вектора буде задана точкою (X₁,Y₁,Z₁), другого - (X₂,Y₂,Z₂), а кут позначте буквою γ. Тоді довжини кожного з векторів можна , наприклад, за теоремою Піфагора для , утворених їх проекціями на кожну з координатних осей: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) та √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Підставте ці вирази у сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте рівність: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) )).

Використовуйте той факт, що сума зведених у квадрат синусаі до синусавід кутаоднієї величини завжди дає одиницю. Отже, звівши отримане на попередньому кроці для синусау квадрат і відібравши від одиниці, а потім