Кут позитивний та негативний. Негативний кут

Відлік кутів на тригонометричному колі.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Він майже такий, як у попередньому уроці. Є осі, коло, кут, все чин-чинарем. Додані номери чвертей (у куточках великого квадрата) – від першої до четвертої. А то раптом хтось не знає? Як бачите, чверті (їх ще називають гарним словом "квадранти") нумеруються проти ходу годинникової стрілки. Додано значення кута на осях. Все відомо, ніяких проблем.

І додано зелену стрілку. Із плюсом. Що вона означає? Нагадаю, що нерухома сторона кута завжди прибита до позитивної півосі ОХ. Так от, якщо рухливий бік кута ми будемо крутити зі стрілкою з плюсом, тобто. за зростанням номерів чвертей, кут вважатиметься позитивним.Наприклад на малюнку показаний позитивний кут +60°.

Якщо відкладатимемо кути у зворотний бік, по ходу годинникової стрілки, кут вважатиметься негативним.Наведіть курсор на зображення (або торкніться зображення на планшеті), побачите синю стрілку з мінусом. Це - напрямок негативного відліку кутів. Наприклад показаний негативний кут (- 60°). А ще ви побачите, як змінилися циферки на осях... Я їх також перевів у негативні кути. Нумерація квадрантів не змінюється.

Ось тут, як правило, починаються перші непоняття. Як так!? А якщо негативний кут на колі збігатиметься з позитивним!? Та й взагалі, виходить що, те саме положення рухомої сторони (або точки на числовому колі) можна обізвати як негативним кутом, так і позитивним!?

Так. Саме так. Скажімо, позитивний кут 90 градусів займає на колі таке саме положення, що і негативний кут мінус 270 градусів. Позитивний кут, наприклад, +110 градусів займає таке саме становище, як і негативний кут -250°.

Не питання. Вибір позитивного або негативного обчислення кута залежить від умови завдання. Якщо в умові нічого не сказано відкритим текстом про знак кута, (типу "визначити найменший позитивнийкут і т.д.), то працюємо зі зручними нам величинами.

Винятком (а як без них?!) є тригонометричні нерівності, але там ми цю фішку освоїмо.

А тепер вам питання. Як я дізнався, що положення кута 110 ° збігається з положенням кута -250?
Натякну, що це пов'язано з повним оборотом. У 360 ° ... Незрозуміло? Тоді малюємо коло. Самі малюємо на папері. Відзначаємо кут приблизно 110 °. І вважаємоскільки залишається до повного обороту. Залишиться якраз 250°...

Вловили? А тепер – увага! Якщо кути 110 ° і -250 ° займають на колі одне і теж становище, то що? Та те, що у кутів 110 ° і -250 ° абсолютно однакові синус, косинус, тангенс та котангенс!
Тобто. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) тощо. Ось це вже справді важливо! І саме собою є маса завдань, де треба спростити висловлювання, і як база для подальшого освоєння формул приведення та інших премудростей тригонометрії.

Зрозуміло, 110° і -250° я взяв навмання, чисто для прикладу. Всі ці рівності працюють для будь-яких кутів, що займають одне становище на колі. 60 ° і -300 °, -75 ° і 285 °, ну і так далі. Відзначу відразу, що кути в цих парочках різні.А ось тригонометричні функції у них - однакові.

Думаю, що таке негативні кути ви зрозуміли. Це дуже просто. Проти ходу годинникової стрілки – позитивний відлік. По ходу – негативний. Вважати кут позитивним, або негативним залежить від нас. Від нашого бажання. Ну, і ще від завдання, звичайно... Сподіваюся, ви зрозуміли і як переходити в тригонометричних функціях від негативних кутів до позитивних та назад. Намалювати коло, приблизний кут, і побачити, скільки немає до повного обороту, тобто. до 360 °.

Кути більше 360 °.

Займемося кутами, які більше 360°. А такі трапляються? Бувають, звісно. Як їх намалювати на колі? Та не проблема! Припустимо, нам треба зрозуміти, яку чверть потрапить кут в 1000°? Легко! Робимо один повний оборот проти ходу годинникової стрілки (кут нам дали позитивний!). Відмотали 360 °. Ну і крутимо далі! Ще оборот – уже вийшло 720 °. Скільки залишилось? 280 °. На повний оборот не вистачає... Але кут більше 270° - а це межа між третьою та четвертою чвертю. Отже наш кут в 1000 ° потрапляє в четверту чверть. Всі.

Як бачите, це дуже просто. Ще раз нагадаю, що кут 1000 і кут 280, який ми отримали шляхом відкидання "зайвих" повних оборотів - це, строго кажучи, різнікути. Але тригонометричні функції у цих кутів абсолютно однакові! Тобто. sin1000 ° = sin280 °, cos1000 ° = cos280 ° і т.д. Якби я був синусом, я не помітив би різниці між цими двома кутами...

Навіщо це все потрібно? Навіщо нам переводити кути з одного до іншого? Та все за тим самим.) З метою спрощення виразів. Спрощення виразів, власне, головне завдання шкільної математики. Ну і, принагідно, голова тренується.)

Ну що, потренуємось?)

Відповідаємо на питання. Спершу прості.

1. У яку чверть потрапляє кут -325?

2. У яку чверть потрапляє кут 3000?

3. У яку чверть попадає кут -3000 °?

Є проблеми? Чи невпевненість? Ідемо в Розділ 555, Практична робота з тригонометричним колом. Там, у першому уроці цієї "Практичної роботи..." все докладненько... У такихпитаннях невпевненості бути не повинно!

4. Який знак має sin555°?

5. Який знак має tg555?

Визначили? Чудово! Сумніваєтесь? До речі, там навчитеся малювати тангенс і котангенс на тригонометричному колі. Дуже корисна штучка.

А тепер питання мудріші.

6. Привести вираз sin777° до синуса найменшого позитивного кута.

7. Привести вираз cos777° до косінусу найбільшого негативного кута.

8. Привести вираз cos(-777°) до косінусу найменшого позитивного кута.

9. Привести вираз sin777° до синуса найбільшого негативного кута.

Що, питання 6-9 спантеличили? Звикайте, на ЄДІ і не такі формулювання зустрічаються... Так і бути, переведу. Тільки для вас!

Слова "привести вираз до..." означають перетворення виразу так, щоб його значення не змінилося,а зовнішній вигляд змінився відповідно до завдання. Так, у завданні 6 та 9 ми повинні отримати синус, усередині якого стоїть найменший позитивний кут.Все інше – не має значення.

Відповіді видам по порядку (порушуючи наші правила). А що робити, знаки всього два, а чверті всього чотири... Не розбіжишся у випадках.

6. sin57 °.

7. cos (-57 °).

8. cos57 °.

9. -sin (-57 °)

Припускаю, що відповіді на запитання 6 -9 декого збентежили. Особливо -sin (-57 °), Правда?) Справді, в елементарних правилах відліку кутів є місце для помилок ... Саме тому довелося зробити урок: "Як визначати знаки функцій і наводити кути на тригонометричному колі?" У Розділі 555. Там завдання 4 – 9 розібрані. Добре розібрані, з усіма підводними каменями. А вони тут є.

У наступному уроці ми розберемося із загадковими радіанами та числом "Пі". Навчимося легко і правильно переводити градуси в радіани та назад. І з подивом виявимо, що ця елементарна інформація на сайті вже вистачає щоб вирішувати деякі нестандартні завдання з тригонометрії!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Минулого уроку ми з вами успішно освоїли (або повторили – кому як) ключові поняття всієї тригонометрії. Це тригонометричне коло , кут на колі , синус та косинус цього кута , а також освоїли знаки тригонометричних функцій за чвертями . Освоїли докладно. На пальцях можна сказати.

Але цього поки що мало. Для успішного практичного застосування всіх цих простих понять нам потрібна ще одна корисна навичка. А саме – правильна робота з кутами у тригонометрії. Без цього вміння у тригонометрії – ніяк. Навіть у найпримітивніших прикладах. Чому? Та тому, що кут – ключова фігура, що діє, у всій тригонометрії! Ні, не тригонометричні функції, не синус з косинусом, не тангенс з котангенсом, а саме сам кут. Немає кута – немає і тригонометричних функцій, так…

Як правильно працювати з кутами на колі? Для цього нам треба залізно засвоїти два пункти.

1) Яквідраховуються кути на колі?

2) У чомувони вважаються (вимірюються)?

Відповідь перше запитання – і є тема сьогоднішнього уроку. З першим питанням ми детально розберемося тут і зараз. Відповіді на друге питання тут не дам. Бо він досить розгорнутий. Як і саме друге питання дуже слизьке, так.) Вдаватися в подробиці поки не буду. Це тема наступного окремого уроку.

Почнемо?

Як відраховуються кути на колі? Позитивні та негативні кути.

У тих, хто прочитав назву параграфа, можливо, вже волосся стало дибки. Як так?! Негативні кути? Хіба таке взагалі можливе?

До негативних числамми з вами вже звикли. На числовій осі їх зображати вміємо: праворуч від нуля позитивні, ліворуч від нуля негативні. Та й на градусник за вікном поглядаємо періодично. Особливо взимку, на мороз.) І грошики на телефоні в "мінус" (тобто. борг) іноді йдуть. Це все знайоме.

А що ж із кутами? Виявляється, негативні кути в математиці теж бувають!Все залежить від того, як відраховувати цей самий кут ... ні, не на числовий прямий, а на числовому колі! Тобто на колі. Коло - ось він, аналог числової прямої в тригонометрії!

Отже, як же відраховуються кути на колі?Нічого не вдієш, доведеться нам для початку це саме коло намалювати.

Я намалюю ось таку гарну картинку:

Вона дуже схожа на картинки минулого уроку. Є осі, є коло, є кут. Але є й нова інформація.

Також я додав циферки 0, 90, 180, 270 і 360 на осях. Ось це вже цікавіше.) Що це за циферки? Правильно! Це значення кутів, відраховані від нашої нерухомої сторони, які потрапляють на координатні осі.Згадуємо, що нерухома сторона кута у нас завжди міцно прив'язана до позитивної півосі ОХ. І будь-який кут у тригонометрії відраховується саме від цієї півосі. Це базове початок відліку кутів треба пам'ятати залізно. А осі - вони ж під прямим кутом перетинаються, правда? Ось і додаємо по 90 ° у кожній чверті.

І ще додана Червона стрілочка. Із плюсом. Червона – це спеціально, щоб у вічі впадала. І на згадку добре врізалася. Бо це треба запам'ятати надійно.) Що означає ця стрілочка?

Так от виявляється, якщо наш кут ми будемо крутити по стрілочці з плюсом(проти годинникової стрілки, по ходу нумерації чвертей), то кут буде вважатися позитивним!Як приклад на малюнку показаний кут +45 °. До речі, зверніть увагу, що осьові кути 0, 90, 180, 270 і 360 також відмотані саме в плюс! За червоною стрілочкою.

А тепер подивимося на іншу картинку:

Тут майже все те саме. Тільки кути на осях пронумеровані у зворотний бік.По годинниковій стрілці. І мають знак "мінус".) Ще намальована синя стрілочка. Також із мінусом. Ця стрілочка - напрямок негативного відліку кутів на колі. Вона нам показує, що якщо ми відкладатимемо наш кут по ходу годинникової стрілки, то кут вважатиметься негативним.Наприклад я показав кут -45°.

До речі, прошу зауважити, що нумерація чвертей ніколи не змінюється! Неважливо, в плюс чи мінус ми мотаємо кути. Завжди суворо проти годинникової стрілки.)

Запам'ятовуємо:

1. Початок відліку кутів – від позитивної півосі ОХ. Щогодини – "мінус", проти годинника – "плюс".

2. Нумерація чвертей завжди проти годинникової стрілки незалежно від напрямку обчислення кутів.

До речі, підписувати кути на осях 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, щоразу малюючи коло – зовсім не обов'язкове. Це для розуміння суті зроблено. Але ці циферки обов'язково повинні бути присутніми у вашій головіпри розв'язанні будь-якої задачі з тригонометрії. Чому? Та тому, що ці елементарні знання дають відповіді на багато інших питань у всій тригонометрії! Найголовніше питання – в яку чверть потрапляє кут, що нас цікавить? Хочете вірте, хочете ні, але правильна відповідь на це питання вирішує левову частку решти всіх проблем з тригонометрією. Цим важливим заняттям (розподілом кутів по чвертях) ми займемося в цьому ж уроці, але пізніше.

Величини кутів, що лежать на осях координат (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° і 360 °), треба запам'ятати! Запам'ятати міцно, до автоматизму. Причому як плюс, так і мінус.

А ось із цього моменту починаються перші сюрпризи. І разом із ними і каверзні питання на мою адресу, так...) А що буде, якщо негативний кут на колі збігається з позитивним?Виходить, що одну й ту саму точкуна колі можна позначити як позитивним кутом, і негативним???

Абсолютно вірно! Так і є.) Наприклад, позитивний кут +270 ° займає на колі те саме положення що негативний кут -90°. Або, наприклад, позитивний кут +45 ° на колі займе те саме положення що негативний кут -315°.

Дивимося на черговий малюнок і все бачимо:

Так само позитивний кут +150 ° потрапить туди ж, куди і негативний кут -210 °, позитивний кут +230 ° - туди ж, куди і негативний кут -130 °. І так далі…

І що тепер робити? Як саме рахувати кути, якщо можна і так і сяк? Як правильно?

Відповідь: по-різному правильно!Жоден із двох напрямів відліку кутів математика не забороняє. А вибір конкретного напряму залежить лише від завдання. Якщо у завданні нічого не сказано прямим текстом про знак кута (типу "визначте найбільший негативнийкут"і т.п.), то працюємо з найбільш зручними нам кутами.

Звичайно, наприклад, у таких крутих темах, як тригонометричні рівняння та нерівності напрям обчислення кутів може колосально впливати на відповідь. І у відповідних темах ми це підводне каміння розглянемо.

Запам'ятовуємо:

Будь-яку точку на колі можна позначити як позитивним, і негативним кутом. Будь-яким! Яким хочемо.

А тепер задумаємося ось над чим. Ми з'ясували, що кут 45 ° точно збігається з кутом -315 °? Як же я дізнався про ці 315° ? Чи не здогадуєтеся? Так! Через повний оборот.) 360°. Ми маємо кут 45°. Скільки не вистачає до повного обігу? Забираємо 45° від 360° – ось і отримуємо 315° . Мотаємо в негативну сторону - і отримуємо кут -315 °. Все одно незрозуміло? Тоді дивимося на картинку ще раз.

І так треба чинити завжди при переведенні позитивних кутів у негативні (і навпаки) – малюємо коло, відзначаємо приблизнозаданий кут, вважаємо, скільки градусів не вистачає до повного обороту, і мотаємо різницю, що вийшла, в протилежний бік. І все.)

Чим ще цікаві кути, що займають на колі те саме положення, як ви думаєте? А тим, що у таких кутів абсолютно однакові синус, косинус, тангенс та котангенс! Завжди!

Наприклад:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120 ° = cos (-240 °)

Tg249 ° = tg (-111 °)

Ctg333° = ctg(-27°)

А ось це вже дуже важливо! Навіщо? Та все за тим самим!) Для спрощення виразів. Бо спрощення виразів – ключова процедура успішного вирішення будь-якихзавдань із математики. І з тригонометрії в тому числі.

Отже, із загальним правилом відліку кутів на колі розібралися. Ну а коли ми тут заїкнулися про повні оберти, про чверті, то час уже покрутити і помалювати ці самі кути. Помалюємо?)

Почнемо поки що з позитивнихкутів. Вони простіші в малюванні будуть.

Малюємо кути в межах одного обороту (між 0 і 360).

Намалюємо, наприклад, кут 60 °. Тут все просто, жодних проблем. Малюємо координатні осі, коло. Можна прямо від руки, без жодного циркуля та лінійки. Малюємо схематично: у нас не креслення з вами Жодних ГОСТів дотримуватися не треба, не покарають.)

Можна (для себе) відзначити значення кутів на осях та вказати стрілочку у напрямку проти годинника.Адже ми ж у плюс відкладати збираємося?) Можна цього й не робити, але в голові пам'ятати треба.

І тепер проводимо другу (рухливу) сторону кута. В якій чверті? У першій, зрозуміло! Бо 60 градусів – це між 0° і 90°. Ось і малюємо у першій чверті. Під кутом приблизно 60 градусів до нерухомого боку. Як відрахувати приблизно 60 градусів без транспорту? Легко! 60 ° - це дві третини від прямого кута!Ділимо подумки першу чортвертинку кола на три частини, забираємо собі дві третини. І малюємо... Скільки у нас там за фактом вийде (якщо прикласти транспортир і поміряти) – 55 градусів або 64 – не має значення! Важливо, що все одно десь близько 60 °.

Отримуємо картинку:

От і все. І інструментів не знадобилося. Розвиваємо окомір! Цей непоказний малюнок буває незамінним, коли треба подряпати коло і кут на швидку руку, не особливо замислюючись про красу. Але при цьому подряпати правильно, Без помилок, з усією необхідною інформацією. Наприклад, як допоміжний засіб при розв'язанні тригонометричних рівнянь та нерівностей.

Намалюємо тепер кут, наприклад, 265 °. Прикидаємо, де він може розташовуватися? Ну, зрозуміло, що не в першій чверті і навіть не в другій: вони на 90 і на 180 градусів закінчуються. Можна зрозуміти, що 265° - це 180° плюс ще 85°. Тобто до негативної півосі ОХ (там, де 180°) треба додати приблизно 85 °. Або ще простіше здогадатися, що 265° не дотягує до негативної півосі OY (там, де 270°) якихось нещасних 5°. Одним словом, у третій чверті буде цей кут. Дуже близько до негативної півосі OY, до 270 градусів, але все-таки третьої!

Малюємо:

Повторюся, абсолютна точність тут не потрібна. Нехай насправді цей кут вийшов, скажімо 263 градуси. Але на найголовніше питання (яка чверть?)ми відповіли безпомилково. Чому це питання найголовніше? Та тому, що будь-яка робота з кутом у тригонометрії (неважливо, ми малюватимемо цей кут чи не будемо) починається з відповіді саме на це питання! Завжди. Якщо це питання проігнорувати чи пробувати відповісти подумки, то помилки майже неминучі, так… Воно вам треба?

Запам'ятовуємо:

Будь-яка робота з кутом (у тому числі і малювання цього самого кута на колі) завжди починається з визначення чверті, до якої потрапляє цей кут.

Тепер, я сподіваюся, ви вже безпомилково зобразите кути, наприклад, 182 °, 88 °, 280 °. У правильнихчвертях. У третій, першій та четвертій, якщо що…)

Четверта чверть закінчується кутом 360 °. Це один повний обіг. Ясний перець, що цей кут займає на колі те саме положення, що і 0° (тобто початок відліку). Але кути на цьому не закінчуються, так…

Що робити з кутами, більшими за 360°?

"А такі хіба бувають?"- Запитайте ви. Буває, ще як! Буває, наприклад, кут 444 °. А буває, скажімо, кут 1000 °. Будь-які кути бувають.) Просто візуально такі екзотичні кути сприймаються трохи складніше, ніж звичні нам кути в межах одного обороту. Але малювати та прораховувати такі кути теж треба вміти, так.

Для правильного малювання таких кутів на колі необхідно все те саме – з'ясувати, в яку чверть потрапляє цікавий для нас кут. Тут вміння безпомилково визначати чверть значно важливіше, ніж для кутів від 0° до 360°! Сама процедура визначення чверті ускладнюється лише одним кроком. Яким скоро побачите.

Отже, наприклад, нам треба з'ясувати, в яку чверть попадає кут 444°. Починаємо крутити. Куди? У плюс, зрозуміло! Кут нам дали позитивний! +444 °. Крутимо, крутимо… Крутанули на один оборот – дійшли до 360°.

Скільки там залишилося до 444?Вважаємо хвостик, що залишився:

444 ° -360 ° = 84 °.

Отже, 444 ° - це один повний оборот (360 °) плюс ще 84 °. Очевидно, це перша чверть. Отже, кут 444 ° потрапляє у першу чверть.Півсправи зроблено.

Залишилося тепер зобразити цей кут. Як? Дуже просто! Робимо один повний оберт за червоною (плюсовою) стрілкою і додаємо ще 84 °.

Ось так:

Тут я вже не став захаращувати малюнок – підписувати чверті, малювати кути на осях. Це все добро вже давно в голові має бути.)

Зате я "равликом" або спіралькою показав, як саме складається кут 444 ° з кутів 360 ° і 84 °. Пунктирна червона лінія – це повний оборот. До якого додатково прикручуються 84 ° (суцільна лінія). До речі, зверніть увагу, що якщо цей найповніший оборот відкинути, то це ніяк не вплине на положення нашого кута!

А це важливо! Положення кута 444° повністю збігаєтьсяіз положенням кута 84°. Ніяких чудес немає, то вже виходить.)

А чи можна відкинути не один повний оборот, а два чи більше?

А чому ні? Якщо кут величезний, то не просто можна, а навіть потрібно! Кут не зміниться! Точніше, сам кут за величиною, звичайно ж, зміниться. А ось його становище на колі - ніяк немає!) На те вони й повніобороти, що скільки екземплярів не додай, скільки не зменшуй, все одно будеш в одну і ту ж точку потрапляти. Приємно, правда?

Запам'ятовуємо:

Якщо до кута додати (відібрати) будь-яке цілечисло повних оборотів, положення вихідного кута на колі не зміниться!

Наприклад:

В яку чверть попадає кут 1000?

Ніяких проблем! Вважаємо, скільки повних обертів сидить у тисячі градусів. Один оборот - це 360 °, ще один - вже 720 °, третій - 1080 ° ... Стоп! Перебір! Значить, у куті 1000 ° сидить дваповного обороту. Викидаємо їх із 1000° і вважаємо залишок:

1000 ° - 2 · 360 ° = 280 °

Значить, положення кута 1000 ° на колі теж саме, Що і біля кута 280 °. З яким працювати вже набагато приємніше.) І куди ж потрапляє цей кут? У четверту чверть він потрапляє: 270 ° (негативна піввісь OY) плюс ще десяточка.

Малюємо:

Тут я вже не малював пунктирною спіралькою два повні оберти: аж надто довга вона виходить. Просто намалював хвостик, що залишився. від нуля, відкинувши всізайві обороти. Ніби їх і не було зовсім.)

І ще раз. По-хорошому, кути 444 і 84, а також 1000 і 280 - різні. Але для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу ці кути – однакові!

Як ви бачите, для того щоб працювати з кутами, великими 360 °, треба визначити, скільки повних обертів сидить у заданому великому куті. Це і є той додатковий крок, який обов'язково треба попередньо проробляти при роботі з такими кутами. Нічого складного, правда?

Відкидання повних оборотів, звичайно, заняття приємне.) Але на практиці при роботі з дуже кошмарними кутами трапляються і труднощі.

Наприклад:

У яку чверть потрапляє кут 31240?

І що ж, багато разів будемо додавати по 360 градусів? Можна, якщо не горить особливо. Але ж ми не тільки складати можемо.) Ще й ділити вміємо!

Ось і поділимо наш величезний кут на 360 градусів!

Цією дією ми якраз і дізнаємось, скільки повних обертів заховано у наших 31240 градусах. Можна куточком поділити, можна (шепну на вушко:)) на калькуляторі.

Отримаємо 31240:360 = 86,777777.

Те, що число вийшло дрібним – не страшно. Нас же лише ціліобороти цікавлять! Отже, до кінця ділити і не треба.

Отже, у нашому кудлатому вугіллі сидить аж 86 повних обертів. Жах…

У градусах це буде86 · 360 ° = 30960 °

Ось так. Саме стільки градусів можна безболісно викинути із заданого кута 31240°. Залишиться:

31240 ° - 30960 ° = 280 °

Всі! Положення кута 31240 ° повністю ідентифіковано! Там же де і 280°. Тобто. четверта чверть.) Здається, ми вже зображували цей кут раніше? Коли кут 1000 ° малювали?) Там ми теж на 280 градусів вийшли. Збіг.)

Отже, мораль цієї байки така:

Якщо нам заданий страшний кут, то:

1. Визначаємо, скільки повних обертів сидить у цьому вугіллі. Для цього ділимо вихідний кут на 360 і відкидаємо дрібну частину.

2. Вважаємо, скільки градусів в отриманій кількості обертів. Для цього множимо число оборотів на 360.

3. Віднімаємо ці обороти від вихідного кута та працюємо зі звичним кутом у межах від 0° до 360°.

Як працювати з негативними кутами?

Не питання! Так само, як і з позитивними, тільки з однією єдиною відмінністю. Яким? Так! Крутити кути треба в зворотний бік, у мінус! По ходу годинникової стрілки.)

Намалюємо, наприклад, кут -200 °. Спочатку все як завжди для позитивних кутів - осі, коло. Ще синю стрілочку з мінусом зобразимо та кути на осях по-іншому підпишемо. Їх, звичайно, також доведеться відраховувати у негативному напрямку. Це будуть ті самі кути, що крокують через 90°, але відраховані у зворотний бік, в мінус: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Картинка стане ось такою:

Працюючи з негативними кутами часто виникає відчуття легкого подиву. Як так?! Виходить, що та сама вісь – це одночасно, скажімо, і +90° і -270°? Неї, щось тут нечисто ...

Та все чисто та прозоро! Адже ми вже в курсі, що будь-яку точку на колі можна обізвати як позитивним кутом, так і негативним! Цілком будь-яку. У тому числі і на якійсь із координатних осей. У нашому випадку нам потрібно негативнеобчислення кутів. Ось і відштовхуємо в мінус усі кути.)

Тепер намалювати правильно кут -200 ° не складно. Це -180 ° і мінусще 20 °. Починаємо мотати від нуля в мінус: четверту чверть пролітаємо, третю теж повз, доходимо до -180 °. Куди мотати двадцятку, що залишилася? Та все туди! По годинах.) Разом кут -200 ° потрапляє в другучверть.

Тепер ви розумієте, наскільки важливо залізно пам'ятати кути на осях координат?

Кути на осях координат (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) треба пам'ятати саме для того, щоб безпомилково визначати чверть, куди потрапляє кут!

А якщо кут великий, з декількома повними обертами? Нічого страшного! Яка різниця, куди ці найповніші оберти крутити – у плюс чи мінус? Точка на колі не змінить свого становища!

Наприклад:

У яку чверть попадає кут -2000?

Все теж саме! Для початку вважаємо, скільки повних обертів сидить у цьому злом вугіллі. Щоб не косити в знаках, залишимо мінус поки в спокої і просто поділимо 2000 на 360. Отримаємо 5 з хвостиком. Хвостик нас поки що не хвилює, його трохи пізніше порахуємо, коли малюватимемо кут. Вважаємо п'ятьповних обертів у градусах:

5 · 360 ° = 1800 °

Ось. Саме стільки зайвих градусів можна сміливо викинути з нашого кута без шкоди здоров'ю.

Вважаємо хвостик, що залишився:

2000 ° - 1800 ° = 200 °

А ось тепер можна і про мінус згадати.) Куди мотатимемо хвостик 200 °? У мінус, звичайно! А нам негативний кут заданий.)

2000 ° = -1800 ° - 200 °

Ось і малюємо кут -200 °, тільки вже без зайвих обертів. Щойно його малювали, але, так і бути, накаляю ще разок. Від руки.

Ясний перець, як і заданий кут -2000°, як і -200°, потрапляє в другу чверть.

Отже, мотаємо собі на кру… пардон… на вус:

Якщо заданий дуже великий негативний кут, то перша частина роботи з ним (пошук числа повних оборотів та їх відкидання) та сама, що і при роботі з позитивним кутом. Знак "мінус" на даному етапі рішення не відіграє жодної ролі. Враховується знак лише наприкінці, під час роботи з кутом, що залишився після видалення повних оборотів.

Як бачите, малювати негативні кути на колі не складніше, ніж позитивні.

Все те саме, тільки в інший бік! По годинах!

А ось тепер – найцікавіше! Ми розглянули позитивні кути, негативні кути, великі кути, маленькі повний асортимент. Також ми з'ясували, що будь-яку точку на колі можна обізвати позитивним та негативним кутом, відкидали повні оберти… Немає жодних думок? Повинно відкластися...

Так! Яку точку на колі не візьми, їй відповідатиме безліч кутів! Великих і не дуже, позитивних та негативних – усіляких! І різниця між цими кутами становитиме ціле кількість повних оборотів. Завжди! Так вже тригонометричне коло влаштоване, так...) Саме тому зворотназавдання - знайти кут за відомим синусом/косинусом/тангенсом/котангенсом - вирішується неоднозначно. І набагато складніше. На відміну від прямого завдання - по заданому кутку знайти весь набір його тригонометричних функцій. І на більш серйозних темах тригонометрії ( арки, тригонометричні рівнянняі нерівності ) Ми з цією фішкою зіштовхуватимемося постійно. Звикаємо.)

1. У яку чверть попадає кут -345°?

2. У яку чверть попадає кут 666°?

3. У яку чверть попадає кут 5555°?

4. У яку чверть попадає кут -3700?

5. Який знак маєcos999 °?

6. Який знак маєctg999 °?

І це вийшло? Прекрасно! Є проблеми? Тоді вам.

Відповіді:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Цього разу відповіді видано по порядку з порушенням традицій. Бо чвертей лише чотири, а знаків так і зовсім два. Особливо не розбіжишся ...)

У наступному уроці ми з вами поговоримо про радіани, про загадкове число пі, навчимося легко і просто переводити радіани в градуси і назад. І з подивом виявимо, що навіть цих простих знань та навичок нам буде вже цілком достатньо для успішного вирішення багатьох нетривіальних завдань із тригонометрії!

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Пара різних променів Оа і Оb, що виходять з однієї точки, називається кутом і позначається символом (а, b). Точка О називається вершиною кута, а промені Оа u Оb - сторонами кута. Якщо А і В – дві точки променів Оа та Оb, то (а, b) позначається також символом АОВ (рис. 1.1).

Кут (а, Ь) називають розгорнутим, якщо промені Оа і Ob, що виходять з однієї точки, лежать на одній прямій і не збігаються (тобто протилежно спрямовані).

Рис.1.1

Два кути вважаються рівними, якщо один кут можна накласти на інший так, щоб сторони кутів збігалися. Бісектрисою кута називається промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.

Говорять, що промінь ОС, що виходить із вершини кута АОВ, лежить між його сторонами, якщо він перетинає відрізок АВ (рис. 1.2). Говорять, що точка С лежить між сторонами кута, якщо через цю точку можна провести промінь з початком у вершині кута, що лежить між сторонами кута. Безліч точок площини, що лежать між сторонами кута, утворює внутрішню область кута (рис. 1.3). Безліч точок площини, що не належать внутрішній області та сторонам кута, утворює зовнішню область кута.

Кут (а, b) вважають більше кута (c, d), якщо кут (с, d) можна накласти на кут (а, b) так, що після поєднання однієї пари сторін друга сторона кута (с, d) лежатиме між сторонами кута (а, b). На рис. 1.4 АОВ більше за АОС.

Нехай промінь лежить між сторонами кута (а, b) (рис. 1.5). Пари променів а, с і с, b утворюють два кути. Про вугілля (а, b) говорять, що він є сумою двох кутів (а, с) та (с, b), і пишуть: (а, b) = (а, с) + (с, b).

Рис.1.3

Зазвичай у геометрії мають справу з кутами, меншими від розгорнутого. Однак в результаті складання двох кутів може вийти кут, більший за розгорнутий. В цьому випадку ту частину площини, яка вважається внутрішньою областю кута, відзначають дугою. На рис. 1.6 внутрішня частина кута АОВ, отриманого в результаті складання кутів АОС та СОВ та більшого розгорнутого, відзначена дугою.

Рис.1.5

Існують також кути великі 360 °. Такі кути утворюються, наприклад, обертанням пропелера літака, обертанням барабана, на який намотується канат, і т.д.

Надалі при розгляді кожного кута умовимося вважати одну із сторін цього кута його початковою стороною, а іншу - кінцевою стороною.

Будь-який кут, наприклад, кут АОВ (рис. 1.7), можна отримати в результаті обертання рухомого променя навколо вершини О від початкової сторони кута (ОА) до його кінцевої сторони (ОВ). Ми вимірюватимемо цей кут, враховуючи повну кількість оборотів, зроблених при цьому навколо точки О, а також напрямок, в якому відбувалося обертання.

Позитивні та негативні кути.

Нехай ми маємо кут, утворений променями ОА та ВВ (рис.1.8). Рухомий промінь, обертаючись навколо точки Від свого початкового положення (ОА), може зайняти кінцеве положення (ОВ) при двох різних напрямках обертання. Ці напрями показані малюнку 1.8 відповідними стрілками.

Рис.1.7

Подібно до того, як на числовій осі один з двох напрямків вважається позитивним, а інший негативним, розрізняють і два різні напрямки обертання рухомого променя. Умовилися вважати позитивним напрямом обертання той напрямок, який протилежний напряму обертання годинникової стрілки. Напрямок обертання, що збігається із напрямком обертання годинникової стрілки, вважається негативним.

Відповідно до цих визначень кути також поділяються на позитивні та негативні.

Позитивним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки у позитивному напрямку.

На малюнку 1.9 дано деякі позитивні кути. (Напрямок обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)

Негативним кутом називається кут, утворений обертанням рухомого променя навколо початкової точки у негативному напрямку.

На малюнку 1.10 зображено деякі негативні кути. (Напрямок обертання рухомого променя показано на кресленнях стрілками.)

Але два збігаються променя можуть утворити і кути +360°п і -360°п (п = 0,1,2,3,...). Позначимо через байт найменший можливий невід'ємний кут повороту, що переводить промінь ОА в положення ВВ. Якщо тепер промінь ВВ зробить додатково повний оборот навколо точки, то отримаємо іншу величину кута, а саме: АВО = б + 360 °.

Вимірювання кутів дугами кола. Одиниці виміру дуг та кутів

У ряді випадків виявляється зручним вимірювати кути за допомогою дуг кола. Можливість такого виміру основа на відомому реченні планиметрії у тому, що у одному колі (чи рівних колах) центральні кути і відповідні їм дуги перебувають у прямої пропорційної залежності.

Нехай деяка дуга цього кола прийнята за одиницю виміру дуг. Відповідний цій дузі центральний кут приймемо за одиницю виміру кутів. За такої умови будь-яка дуга кола та відповідний цій дузі центральний кут будуть містити те саме число одиниць вимірювання. Тому, вимірюючи дуги кола, можна визначати і величину відповідних цих дуг центральних кутів.

Розглянемо дві найпоширеніші системи вимірювання дуг та кутів.

Градусний замір вимірювання кутів

При градусному вимірі кутів як основна одиниця виміру кутів (еталонного кута, з яким порівнюються різні кути) береться кут в один градус (позначається 1?). Кут в один градус - це кут, що дорівнює 1/180 частини розгорнутого кута. Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в 1°, - це кут в одну хвилину (позначається 1"). Кут, що дорівнює 1/60 частини кута в одну хвилину, - це кут в одну секунду (позначається 1").

Радіанний замір вимірювання кутів

Поряд із градусною мірою вимірювання кутів у геометрії та тригонометрії використовується й інша міра вимірювання кутів, яка називається радіанною. Розглянемо коло радіусу R з центром О. Проведемо два радіуси О А і ОВ так, щоб довжина дуги АВ дорівнювала радіусу кола (рис. 1.12). Центральний кут АОВ, що вийшов при цьому, буде кутом в один радіан. Кут 1 радіан приймається за одиницю вимірювання радіанної міри вимірювання кутів. При радіанному вимірі кутів розгорнутий кут дорівнює р радіан.

Градусна та радіанна одиниці виміру кутів пов'язані рівностями:

1 радіан = 180? / р57 ° 17 "45"; 1?=р/180 радіана0,017453радіана;

1"=р/180 * 60 радіана0,000291 радіана;

1""=р/180*60*60 радіана0,000005 радіана.

Градусну (або радіанну) міру кута також називають величиною кута. Величину кута АОВ іноді позначають /

Класифікація кутів

Кут, рівний 90°, або радіанною мірою р/2, називається прямим кутом; його часто позначають літерою d. Кут, менший за 90°, називається гострим; кут, більший за 90°, але менший за 180°, називається тупим.

Два кути, що мають одну загальну сторону і в сумі 180°, називаються суміжними кутами. Два кути, що мають одну загальну сторону і в сумі 90°, називаються додатковими кутами.