Вживання квадратних дужок у російській мові. Правило розкриття дужок під час проведення

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та літерних виразах, а також у виразах зі змінними. Від виразу зі дужками зручно перейти до тотожно рівному виразубез дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Розкрити дужки означає позбавити вираз цих дужок.

На окрему увагу заслуговує ще один момент, який стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираззі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу
3−(5−7) ми отримуємо вираз 3−5+7. Обидва ці вирази ми можемо записати як рівності 3−(5−7)=3−5+7.

І ще один важливий момент. У математиці для скорочення записів прийнято не писати знак плюс, якщо він стоїть у виразі чи дужках першим. Наприклад, якщо ми складаємо два позитивних числаНаприклад, сім і три, то пишемо не +7+3, а просто 7+3, незважаючи на те, що сімка теж позитивне число. Аналогічно, якщо ви бачите, наприклад, вираз (5+x) – знайте, що і перед дужкою стоїть плюс, який не пишуть, і перед п'ятіркою стоїть плюс +(+5+x).

Правило розкриття дужок під час додавання

При розкритті дужок, якщо перед дужками стоїть плюс, цей плюс опускається разом із дужками.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2+ (7+3) Перед дужками плюс, значить знаки перед числами у дужках не міняємо.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Правило розкриття дужок під час віднімання

Якщо перед дужками стоїть мінус, цей мінус опускається разом із дужками, але доданки, які були у дужках, змінюють свій знак на протилежний. Відсутність знака перед першим доданком у дужках має на увазі знак +.

приклад. Розкрити дужки у виразі 2 − (7 + 3)

Перед дужками стоїть мінус, отже, потрібно поміняти знаки перед числами з дужок. У дужках перед цифрою 7 знака немає, це означає, що сімка позитивна, вважається, що перед нею знак +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

При розкритті дужок прибираємо з прикладу мінус, який був перед дужками, і самі дужки 2 − (+ 7 + 3) , а знаки, що були у дужках, міняємо протилежні.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Розкриття дужок під час множення

Якщо перед дужками стоїть знак множення, то кожне число, що стоїть усередині дужок, множиться на множник, що стоїть перед дужками. При цьому множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Таким чином, дужки у творах розкриваються відповідно до розподільної властивості множення.

приклад. 2 · (9 - 7) = 2 · 9 - 2 · 7

При множенні дужки на дужку кожен член першої дужки перемножується з кожним членом другої дужки.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Насправді немає необхідності запам'ятовувати всі правила, досить пам'ятати тільки одне, ось це: c(a−b)=ca−cb. Чому? Тому що якщо в нього замість c підставити одиницю, вийде правило (a-b) = a-b. Якщо ж підставити мінус одиницю, отримаємо правило −(a−b)=−a+b. Ну а якщо замість c підставити іншу дужку – можна отримати останнє правило.

Розкриваємо дужки при розподілі

Якщо після дужок стоїть знак поділу, то кожне число, що стоїть усередині дужок, ділиться на дільник, що стоїть після дужок, і навпаки.

приклад. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3

Як розкрити вкладені дужки

Якщо у виразі присутні вкладені дужки, їх розкривають по порядку, починаючи із зовнішніх чи внутрішніх.

При цьому важливо при розкритті однієї з дужок не чіпати решту дужок, просто переписуючи їх як є.

приклад. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Розкриття дужок є одним із видів перетворення виразу. У цьому розділі ми опишемо правила розкриття дужок, а також розглянемо приклади завдань, що найчастіше зустрічаються.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що називається розкриттям дужок?

Дужки використовуються для вказівки на порядок виконання дій у числових та літерних виразах, а також у виразах зі змінними. Від виразу зі дужками зручно перейти до тотожно рівного виразу без дужок. Наприклад, замінити вираз 2 · (3 + 4) на вираз виду 2 · 3 + 2 · 4без дужок. Цей прийом називається розкриття дужок.

Визначення 1

Під розкриттям дужок маються на увазі прийоми позбавлення від дужок і розглядають його зазвичай щодо виразів, які можуть містити:

знаки «+» або «-» перед дужками, які містять суми чи різниці;
добуток числа, літери або кількох літер та суми чи різниці, яка поміщена у дужки.

Так ми звикли розглядати процес розкриття дужок у курсі шкільної програми. Однак ніхто не заважає нам подивитися на цю дію ширше. Ми можемо назвати розкриттям дужок перехід від виразу, який містить негативні числа в дужках, до виразу, що не має дужок. Наприклад, ми можемо перейти від 5+(−3)−(−7) до 5−3+7. Фактично це теж розкриття дужок.

Так само ми можемо замінити добуток виразів у дужках виду (a + b) · (c + d) на суму a · c + a · d + b · c + b · d . Такий прийом також суперечить сенсу розкриття дужок.

Ось ще один приклад. Ми можемо припустити, що у виразах замість чисел та змінних можуть бути використані будь-які вирази. Наприклад, виразу x 2 · 1 a - x + sin (b) буде відповідати вираз без дужок виду x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) .

На окрему увагу заслуговуватиме ще один момент, який стосується особливостей запису рішень при розкритті дужок. Ми можемо записати початковий вираз зі дужками та отриманий після розкриття дужок результат як рівність. Наприклад, після розкриття дужок замість виразу 3 − (5 − 7) ми отримуємо вираз 3 − 5 + 7 . Обидва ці вирази ми можемо записати у вигляді рівності 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Проведення дій з громіздкими виразами може вимагати запису проміжних результатів. Тоді рішення матиме вигляд ланцюжка рівностей. Наприклад, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 або 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила розкриття дужок, приклади

Приступимо до розгляду правил розкриття дужок.

У одиночних чисел у дужках

Негативні числа у дужках часто зустрічаються у виразах. Наприклад, (−4) та 3+(−4) . Позитивні числа в дужках теж мають місце.

Сформулюємо правило розкриття дужок, у яких укладено поодинокі позитивні числа. Припустимо, що а – це будь-яке позитивне число. Тоді (а) ми можемо замінити а, + (а) на + а, - (а) на – а. Якщо замість а взяти конкретне число, то згідно з правилом: число (5) запишеться як 5 , вираз 3 + (5) без дужок набуде вигляду 3 + 5 , оскільки + (5) замінюється на + 5 , а вираз 3 + (− 5) еквівалентний виразу 3 − 5 , так як + (− 5) замінюється на − 5 .

Позитивні числа зазвичай записуються без використання дужок, оскільки дужки у разі зайві.

Тепер розглянемо правило розкриття дужок, усередині яких міститься одиночне від'ємне число. + (− a)ми замінюємо на − a, − (− a) замінюється на + a . Якщо вираз починається з негативного числа (− a), Яке записано в дужках, то дужки опускаються і замість (− a)залишається − a.

Наведемо приклади: (− 5) можна записати як − 5 , (− 3) + 0 , 5 набуває вигляду − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) перетворюється на 4 − 3 , а − (− 4) − (− 3) після розкриття дужок набуває вигляду 4 + 3 , оскільки − (− 4) та − (− 3) замінюється на +4 і +3.

Слід розуміти, що записати вираз 3 · (-5) як 3 · - 5 не можна. Про це мова підеу наступних пунктах.

Давайте подивимося, на чому ґрунтуються правила розкриття дужок.

Відповідно до правила різницю a − b дорівнює a + (− b) . На основі властивостей дій з числами ми можемо скласти ланцюжок рівностей (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = aяка буде справедлива. Цей ланцюжок рівностей через сенс віднімання доводить, що вираз a + (− b) - це різниця a − b.

Грунтуючись на властивостях протилежних чиселі правил віднімання негативних чисел ми можемо стверджувати, що − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Зустрічаються вирази, які складаються з числа, знаків мінусу та кількох пар дужок. Використання наведених вище правил дозволяє послідовно позбавлятися від дужок, просуваючись від внутрішніх дужок до зовнішніх або зворотному напрямку. Прикладом такого виразу може бути - (- ((- (5)))) . Розкриємо дужки, просуваючись зсередини назовні: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Також цей приклад можна розібрати і у зворотному напрямку: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Під aі b можна розуміти не тільки числа, але також довільні числові або буквені виразизі знаком «+» попереду, які не є сумами чи різницями. У всіх цих випадках можна застосовувати правила так само, як ми робили це щодо одиночних чисел у дужках.

Наприклад, після розкриття дужок вираз − (− 2 · x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 · x · y 2: z)набуде вигляду 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Як ми це зробили? Ми знаємо, що − (− 2 · x) є + 2 · x , тому що цей вираз стоїть спочатку, то + 2 · x можна записати як 2 · x , − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x та − (2 · x · y 2: z) = − 2 · x · y 2: z.

У творах двох чисел

Почнемо з правила розкриття дужок у добутку двох чисел.

Припустимо, що aі b – це два позитивні числа. У цьому випадку добуток двох негативних чисел − aі − b виду (− a) · (− b) ми можемо замінити на (a · b) , а добутки двох чисел з протилежними знакамивиду (− a) · b та a · (− b) замінити на (− a · b). Множення мінусу на мінус дає плюс, а множення мінусу на плюс, як і множення плюсу на мінус дає мінус.

Вірність першої частини записаного правила підтверджується правилом множення негативних чисел. Для підтвердження другої частини правила ми можемо використовувати правила множення чисел з різними знаками.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1

Розглянемо алгоритм розкриття дужок у творі двох негативних чисел - 4 3 5 і - 2, виду (-2) · - 4 3 5 . Для цього замінимо вихідний вираз на 2 · 4 3 5 . Розкриємо дужки та отримаємо 2 · 4 3 5 .

А якщо ми візьмемо приватне негативних чисел (−4) : (−2) , то запис після розкриття дужок матиме вигляд 4:2

На місці негативних чисел − aі − b можуть бути будь-які вирази зі знаком мінус попереду, які не є сумами чи різницями. Наприклад, це можуть бути твори, приватні, дроби, ступеня, коріння, логарифми, тригонометричні функціїі т.п.

Розкриємо дужки у виразі - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5). Відповідно до правила, ми можемо зробити такі перетворення: - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) = - 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Вираз (−3) · 2можна перетворити на вираз (−3 · 2). Після цього можна розкрити дужки: − 3 · 2.

2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5

Поділ чисел з різними знаками також може вимагати попереднього розкриття дужок: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 і 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

Правило може бути використане для виконання множення та поділу виразів із різними знаками. Наведемо два приклади.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) · (- x 2) = (- sin (x) · x 2) = - sin (x) · x 2

У творах трьох та більшої кількості чисел

Перейдемо до твору та приватних, які містять більша кількістьчисел. Для розкриття дужок тут діятиме таке правило. При парній кількості негативних чисел можна опустити дужки, замінивши числа протилежними. Після цього необхідно укласти отриманий вираз у нові дужки. При непарному кількості негативних чисел, опустивши дужки, замінити числа протилежні. Після цього отриманий вираз необхідно взяти у нові дужки та поставити перед ним знак мінус.

Приклад 2

Наприклад, візьмемо вираз 5 · (− 3) · (− 2) , який є добутком трьох чисел. Негативних чисел два, отже, ми можемо записати вираз як (5 · 3 · 2) і потім остаточно розкрити дужки, отримавши вираз 5 · 3 · 2 .

У творі (−2, 5) · (−3): (−2) · 4: (−1,25): (−1) п'ять чисел є негативними. тому (−2, 5) · (−3) : (−2) · 4: (−1, 25) : (−1) = (−2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Остаточно розкривши дужки, отримуємо −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обґрунтувати наведене вище правило можна в такий спосіб. По-перше, такі висловлювання ми можемо переписати як твір, замінивши множенням на зворотне число поділ. Представляємо кожне негативне число як добуток розмножувального числа і - 1 або - 1 замінюємо на (− 1) · a.

Використовуючи переміщувальну властивість множення міняємо місцями множники та переносимо всі множники, рівні − 1 , На початок висловлювання. Добуток парного числа мінус одиниць дорівнює 1 , а непарного – одно − 1 що дозволяє нам використовувати знак мінус.

Якби ми не використовували правило, то ланцюжок дій з розкриття дужок у виразі - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 виглядав би наступним чином:

2 3: (-2) · 4: - 6 7 = - 2 3 · - 1 2 · 4 · - 7 6 = = (- 1) · 2 3 · (- 1) · 1 2 · 4 · (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Наведене вище правило може бути використане при розкритті дужок у виразах, які є творами і приватними зі знаком мінус, що не є сумами або різницями. Візьмемо для прикладу вираз

x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .

Його можна призвести до вираження без дужок x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Розкриття дужок, перед якими стоїть знак.

Розглянемо правило, яке можна застосувати для розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс, а вміст цих дужок не множиться і не ділиться на якесь число або вираз.

Згідно з правилом дужки разом зі знаком, що стоїть перед ними, опускаються, при цьому знаки всіх доданків у дужках зберігаються. Якщо перед першим доданком у дужках не стоїть ніякого знака, потрібно поставити знак плюс.

Приклад 3

Для прикладу наведемо вираз (12 − 3 , 5) − 7 . Опустивши дужки, ми зберігаємо знаки доданків у дужках і ставимо перед першим доданком знак плюс. Запис матиме вигляд (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . У наведеному прикладі знак перед першим доданком ставити не обов'язково, тому що + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Приклад 4

Розглянемо ще один приклад. Візьмемо вираз x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x і проведемо з ним дії x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Ось ще один приклад розкриття дужок:

Приклад 5

2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x · y · z + 2 · x - 1 - 1 + x + x 2

Як розкриваються дужки, перед якими стоїть знак мінус

Розглянемо випадки, коли перед дужками стоїть знак мінус, і які не множаться (чи діляться) на якесь число чи вираз. Згідно з правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак "-", дужки зі знаком "-" опускаються, при цьому знаки всіх доданків усередині дужок змінюються на протилежні.

Приклад 6

Наприклад:

1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2

Вирази зі змінними можуть бути перетворені з використанням того самого правила:

X + x 3 - 3 - - 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2

отримуємо x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .

Розкриття дужок при множенні числа на дужку, вирази на дужку

Тут ми розглянемо випадки, коли потрібно розкрити дужки, які множаться чи поділяються на якесь число чи вираз. Тут застосовні формули виду (a 1 ± a 2 ± … ± a n) · b = (a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b) або b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), де a 1 , a 2 , … , a nі b – деякі числа чи вирази.

Приклад 7

Наприклад, проведемо розкриття дужок у виразі (3 − 7) · 2. Відповідно до правила, ми можемо провести такі перетворення: (3 - 7) · 2 = (3 · 2 - 7 · 2) . Отримуємо 3 · 2 - 7 · 2 .

Розкривши дужки у виразі 3 · x 2 · 1 - x + 1 x + 2, отримуємо 3 x 2 · 1 - 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Розмноження дужки на дужку

Розглянемо добуток двох дужок виду (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2). Це допоможе нам отримати правило для розкриття дужок під час проведення множення дужки на дужку.

Для того щоб вирішити наведений приклад, позначимо вираз (b 1 + b 2)як b. Це дозволить нам використовувати правило множення дужки на вираз. Отримаємо (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b . Виконавши зворотну заміну bна (b 1 + b 2), знову застосуємо правило множення виразу на дужку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · (b 1 + b 2) + a 2 · (b 1 + b 2) = = (a 1 · b 1 + a 1 · b 2) + (a 2 · b 1 + a 2 · b 2) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Завдяки ряду нескладних прийомів ми можемо дійти суми творів кожного з доданків з першої дужки на кожне з доданків з другої дужки. Правило можна поширити на будь-яку кількість складених усередині дужок.

Сформулюємо правила множення дужки на дужку: щоб перемножити між собою дві суми, необхідно кожне із доданків першої суми перемножити на кожне із доданків другої суми і скласти отримані результати.

Формула матиме вигляд:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + +. . . + + a m b 1 + a m b 1 +. . . a m b n

Проведемо розкриття дужок у виразі (1 + x) · (x 2 + x + 6) Воно є добутком двох сум. Запишемо рішення: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Окремо варто зупинитися на тих випадках, коли в дужках є знак мінус поряд зі знаками плюс. Наприклад візьмемо вираз (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Спочатку представимо вирази у дужках у вигляді сум: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Тепер ми можемо застосувати правило: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))

Розкриємо дужки: 1 · 3 · x · y - 1 · 2 · x · y 3 - x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Розкриття дужок у творах кількох дужок та виразів

За наявності у виразі трьох і більше виразів у дужках розкривати дужки необхідно послідовно. Почати перетворення необхідно з того, що два перші множники беруть у дужки. Усередині цих дужок ми можемо проводити перетворення згідно з правилами, розглянутими вище. Наприклад, дужки у виразі (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8).

У виразі міститься відразу три множники (2 + 4) , 3 та (5 + 7 · 8) . Розкриватимемо дужки послідовно. Укладемо перші два множники ще в одні дужки, які для наочності зробимо червоними: (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) = ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8).

Відповідно до правила множення дужки на число ми можемо провести такі дії: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8).

Помножуємо дужку на дужку: (2 · 3 + 4 · 3) · (5 + 7 · 8) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Дужка в натуральному ступені

Ступені, основами яких є деякі вирази, записані в дужках, натуральними показникамиможна розглядати як добуток кількох дужок. При цьому за правилами із двох попередніх пунктів їх можна записати без цих дужок.

Розглянемо процес перетворення виразу (a + b + c) 2 . Його можна записати у вигляді твору двох дужок (a + b + c) · (a + b + c). Зробимо множення дужки на дужку і отримаємо a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Розберемо ще один приклад:

Приклад 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Поділ дужки на число та дужки на дужку

Розподіл дужки на число передбачає, що необхідно розділити на число всі укладені в дужки доданки. Наприклад, (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Поділ можна попередньо замінити множенням, після чого можна скористатися відповідним правилом розкриття дужок у творі. Це ж правило застосовується і при розподілі дужки на дужку.

Наприклад, нам необхідно розкрити дужки у виразі (x + 2): 2 3 . Для цього спочатку замінимо розподіл множенням на зворотне число (x + 2): 23 = (x + 2) · 23. Помножимо дужку на число (x + 2) · 23 = x · 23 + 2 · 23.

Ось ще один приклад поділу на дужку:

Приклад 9

1 x + x + 1: (x + 2).

Замінимо поділ множенням: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Виконаємо множення: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок розкриття дужок

Тепер розглянемо порядок застосування правил, розібраних вище у виразах загального вигляду, тобто. у виразах, що містять суми з різницею, твори з приватними, дужки у натуральному ступені.

Порядок виконання дій:

насамперед необхідно виконати зведення дужок у натуральний ступінь;
на другому етапі проводиться розкриття дужок у творах та приватних;
заключним кроком буде розкриття дужок у сумах та різницях.

Розглянемо порядок виконання дій на прикладі виразу (-5) + 3 · (-2) : (-4) - 6 · (-7). Намнемо перетворення з виразів 3 · (− 2) : (− 4) та 6 · (− 7) , які мають набути вигляду (3 · 2: 4)та (− 6 · 7) . При підстановці отриманих результатів у вихідний вираз отримуємо: (−5) + 3 · (− 2) : (−4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7). Розкриваємо дужки: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7 .

Маючи справу з виразами, що містять дужки в дужках, зручно проводити перетворення, просуваючись зсередини назовні.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Скрізь. Скрізь і всюди, куди не глянь, зустрічаються такі конструкції:

Ці «конструкції» у грамотних людей викликають неоднозначну реакцію. Як мінімум типу «невже так – правильно?».
Взагалі, особисто я не можу зрозуміти, звідки пішла «мода» не закривати зовнішні лапки. Перша і єдина аналогія, що приходить з цього приводу - аналогія з дужками. Ніхто не сумнівається, що дві дужки поспіль - це нормально. Наприклад: "Сплатити весь тираж (200 шт. (З них 100 - шлюб))". А от у нормальності постановки двох лапок поспіль хтось засумнівався (цікаво, хто перший?)… І тепер усі поголовно стали з чистою совістюплодити конструкції типу ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко".
Але навіть якщо ви в житті не бачили правила, про яке йтиметься трохи нижче, то єдиним логічно обґрунтованим варіантом (на прикладі дужок) був би наступний: ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко"".
Отже, безпосередньо правило:
Якщо на початку або в кінці цитати (те ж стосується прямої мови) зустрічаються внутрішні і зовнішні лапки, то вони повинні відрізнятися між собою малюнком (так звані «ялинки» і «лапочки»), причому зовнішні лапки не повинні опускатися, наприклад: борти пароплава передали по радіо: «„Ленінград“ увійшов у тропіки і слідує далі своїм курсом». Про Жуковського Бєлінський пише: «Сучасники юності Жуковського дивилися нею переважно як у автора балад, й у одному своєму посланні Батюшков називав його «баладником»».
© Правила російської орфографії та пунктуації. – Тула: Автограф, 1995. – 192 с.
Відповідно... якщо у вас немає можливості набрати лапки-«ялинки», то, що вже поробиш, доведеться користуватися такими значками. Однак, неможливість (або небажання) використовувати російські лапки аж ніяк не є причиною, через яку можна не закривати зовнішні лапки.
Таким чином з невірністю констукції ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко" начебто розібралися. Зустрічаються ще конструкції виду ТОВ "Фірма "ПупковЪ і Ко".
З правила цілком зрозуміло, що й такі конструкції неписьменні... (Правильно: ТОВ «Фірма „ПупковЪ і Ко“)
Проте!
У «Довіднику видавця та автора» А. Е. Мільчина (видання 2004 року) зазначено, що можна використовувати два варіанти оформлення у подібних випадках. Використання «ялинок» та «лапок» та (за відсутності технічних засобів) використання тільки «ялинок»: двох відкриваючих та однієї закриваючої.
Довідник це «свіжий» і особисто у мене тут відразу виникає 2 питання. По-перше, з якою все ж таки радості можна використовувати одну закриваючу лапку-ялинку (ну нелогічно це, див. вище), а по-друге, особливо привертає увагу фраза «за відсутності технічних засобів». Це як, вибачте? Ось відкрийте Notepad і наберіть там «тільки ялинки: дві, що відкривають, і одну, що закриває». На клавіатурі таких символів немає. Надрукувати «ялинку» не виходить... Поєднання Shift + 2 видає знак " (який, як відомо, і лапкою-то не є). А тепер відкрийте Microsoft Word і знову натисніть Shift + 2. Програма виправить " на « (або » ). Що ж, виходить що правило, що існувало не один десяток років, взяли і переписали під Microsoft Word? Мовляв, якщо ворд з "Фірма "ПупковЪ і Ко" робить "Фірма "ПупковЪ і Ко", то нехай тепер це буде допустимо і коректно???
Схоже, що так. А якщо це так, то є всі підстави засумніватися у правильності такого нововведення.
Так, і ще одне уточнення... про ту саму «відсутність технічних засобів». Справа в тому, що на будь-якому комп'ютері з Windows завжди є « технічні коштидля введення і «ялинок», і «лапок», так що це нове «правило» (для мене воно – саме в лапках) неправильно спочатку!
Всі спеціальні символи шрифту можна легко набрати, знаючи відповідний номер цього символу. Достатньо затиснути Alt та набрати на NumLock-клавіатурі (NumLock натиснутий, індикаторна лампочка горить) відповідний номер символу:
„Alt + 0132 (ліва «лапка»)
Alt + 0147 (права «лапка»)
«Alt + 0171 (ліва «ялинка»)
» Alt + 0187 (права «ялинка»)

Якщо ви хочете включити інформацію, пов'язану з основним текстом, але ця інформація не вписується в основну частину пропозиції або абзацу, вам необхідно взяти цю інформацію в дужки. Взявши її в круглі дужки, ви тим самим зменшуєте її значущість, тому вона не відволікає від основного сенсу в тексті.

Приклад: Дж. Р. Р. Толкін (автор "Володар кілець") та К. С. Льюїс (автор "Хроніки Нарнії") були постійними членами літературної дискусійної групи, відомої як "Інклінги".

Примітки у дужках.Часто, коли ви пишете літером чисельне значення, корисно також вказувати це значення в цифрах. Ви можете вказати чисельну форму, помістивши її у дужки.

Приклад: Вона має сплатити сімсот доларів ($700) за оренду до кінця цього тижня.

Використання цифр або літер при перерахуванні.Коли вам потрібно перерахувати ряд інформації всередині абзацу або пропозиції, нумерація кожного пункту може зробити список менш заплутаним. Ви повинні взяти цифри або літери, які використовуються для позначення кожного пункту в дужки.

Приклад: Компанія шукає кандидата на роботу, який (1) дисциплінований, (2) знає все, що потрібно знати про останні тенденції в редагуванні фотографій та покращення програмного забезпеченнята (3) має щонайменше п'ять років професійного стажу в даній галузі.
Приклад: Компанія шукає кандидата на роботу, який (А) дисциплінований, (Б) знає все, що потрібно знати про останні тенденції в редагуванні фотографій та покращення програмного забезпечення та (В) має щонайменше п'ять років професійного стажу в даній галузі.

Позначення множини.У тексті, ви можете говорити про щось в однині, в той же час маючи на увазі і множину. Якщо відомо, що читач отримає користь, знаючи, що ви маєте на увазі як множинне, так і однина, ви можете позначити свій намір, вказавши в дужках відразу після іменника відповідне закінчення, властиве даному іменникуво множині, якщо іменник має таку форму.

Приклад: Організатори цьогорічного фестивалю сподіваються на велика кількістьглядачів, тому не забудьте придбати додатковий квиток(и).

Позначення скорочень.При написанні назви організації, продукту або інших об'єктів, які зазвичай мають загальновідомі скорочення, вам необхідно вказати повне ім'яоб'єкт вперше, як ви його згадуєте в тексті. Якщо далі ви збираєтеся звертатися до об'єкта, використовуючи загальновідому абревіатуру, ви повинні вказати цю абревіатуру в дужках, щоб читачі знали що шукати пізніше.

Приклад: Співробітники та волонтери Ліги Зашити Тварин (ЛЗЖ) сподіваються зменшити і, зрештою, ліквідувати випадки жорстокого поводження з тваринами та неналежного поводження в рамках спільноти.

Згадка знаменних дат.Хоча це не завжди необхідно, у певних контекстах, вам може знадобитися вказати дату народження та/або дату смерті певної особи, про яку ви згадуєте в тексті. Такі дати потрібно укласти у дужки.

Приклад: Джейн Остін (1775-1817) відома своїми літературними роботами«Гордість і упередження» та «Розум і почуття»
Джордж Мартін (д.р. 1948) є людиною, яка започаткувала популярний серіал «Гра престолів».

Використання вступних цитат.У науковій літературі, вступні цитати повинні бути включені в текст, коли ви безпосередньо або опосередковано цитуєте іншу роботу. Ці цитати містять бібліографічну інформацію і мають бути поміщені в дужки відразу після запозиченої інформації.

Приклад: Дослідження показують, що існує зв'язок між мігренню та клінічною депресією (Сміт, 2012).
Приклад: Дослідження показують, що існує зв'язок між мігренню та клінічною депресією (Сміт 32).
Для отримання додаткової інформаціїпро правильному використанніу тексті вступних цитат дивіться "Як правильно використовувати цитати в тексті".