Спрощення виразів із раціональними показниками. Ступінні вирази (вирази зі ступенями) та їх перетворення

Вираз a n (ступінь з цілим показником) буде визначено у всіх випадках, за винятком випадку, коли a = 0 і при цьому n менше або дорівнює нулю.

Властивості ступенів

Основні властивості ступенів із цілим показником:

a m *a n = a (m+n);

a m: a n = a (m-n) (при aне рівному нулю);

(a m) n = a (m * n);

(a * b) n = a n * b n;

(a/b) n = (a n)/(b n) (при bне рівному нулю);

a 0 = 1 (при aне рівному нулю);

Ці властивості будуть справедливі для будь-яких чисел a, b та будь-яких цілих чисел m і n. Варто відзначити також таку властивість:

Якщо m>n, то a m > a n при a>1 і a m

Можна узагальнити поняття ступеня числа на випадки, коли як показник ступеня виступають раціональні числа. При цьому хотілося б, щоб виконувалися всі вище перелічені властивості або хоча б частина їх.

Наприклад, при виконанні властивості (a m) n = a (m * n) виконувалася б така рівність:

(a (m/n)) n = a m.

Ця рівність означає, що число a (m/n) має бути коренем n-го ступеня з числа a m.

Ступенем деякого числа a (більшого нуля) з раціональним показником r = (m/n), де m - деяке ціле число, n - деяке натуральне число більше одиниці, називається число n√(a m). З визначення: a (m/n) = n√(a m).

Для всіх позитивних r буде визначено ступінь числа нуль. За визначенням 0 r = 0. Зазначимо також, що за будь-якого цілого, будь-яких натуральних m і n, і позитивного аПравильно така рівність: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Наприклад: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

З визначення ступеня з раціональним показником безпосередньо випливає той факт, що для будь-якого позитивного а та будь-якого раціонального r число a r буде позитивним.

Основні властивості ступеня з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел p, q і будь-яких a>0 і b>0 вірні такі рівності:

1. (a p) * (a q) = a (p + q);

2. (a p): (b q) = a (p-q);

3. (a p) q = a (p * q);

4. (a * b) p = (a p) * (b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Дані властивості випливають із властивостей коренів. Всі дані властивості доводяться аналогічним способом, тому обмежимося доказом лише одного з них, наприклад першого (a p) * (a q) = a (p + q) .

Нехай p = m/n, a q = k/l, де n, l – деякі натуральні числа, а m, k – деякі цілі числа. Тоді треба довести, що:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Спочатку наведемо дроби m/n k/l до спільного знаменника. Отримаємо дроби (m*l)/(n*l) та (k*n)/(n*l). Перепишемо ліву частину рівності за допомогою цих позначень і отримаємо:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n) + (k/l)).

Відеоурок «Ступінь з раціональним показником» містить наочний навчальний матеріал для ведення уроку на цю тему. У відеоуроці міститься інформація про поняття ступеня з раціональним показником, властивості таких ступенів, а також приклади, що описують застосування навчального матеріалу для вирішення практичних завдань. Завдання даного відеоуроку - наочно і зрозуміло уявити навчальний матеріал, полегшити його освоєння та запам'ятовування учнями, формувати вміння вирішувати завдання з використанням вивчених понять.

Основні переваги відеоуроку - можливість проводити наочно перетворення та обчислення, можливість використання анімаційних ефектів для покращення ефективності навчання. Голосовий супровід допомагає розвивати правильну математичну мову, а також дає можливість замінити пояснення вчителя, звільняючи його для індивідуальної роботи.

Відеоурок починається з подання теми. Зв'язуючи вивчення нової теми з раніше вивченим матеріалом, пропонується згадати, що n √a інакше позначається a 1/n для натурального n і позитивного a. Дане уявлення кореня n-ступеня відображається на екрані. Далі пропонується розглянути, що означає вираз a m/n, в якому a - позитивне число, а m/n - деяка дріб. Дається виділене у рамці визначення ступеня з раціональним показником як a m/n = n a m. У цьому зазначено, що може бути натуральним числом, а m - цілим.

Після визначення ступеня з раціональним показником її значення розкривається на прикладах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Також демонструється приклад, в якому ступінь, представлений десятковим дробом, перетворюється на звичайний дріб, щоб бути представленим у вигляді кореня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 і приклад із негативним значенням ступеня: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Окремо вказується особливість окремого випадку, коли основа ступеня - нуль. Зазначено, що цей ступінь має сенс лише з позитивним дробовим показником. І тут її значення дорівнює нулю: 0 m/n =0.

Відзначено ще одну особливість ступеня з раціональним показником - те, що ступінь із дробовим показником неспроможна розглядатися з дробовим показником. Наведено приклади некоректного запису ступеня: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Далі у відеоуроці розглядаються властивості ступеня із раціональним показником. Помічено, що властивості ступеня з цілим показником будуть справедливі і для ступеня з раціональним показником. Пропонується згадати перелік властивостей, які також справедливі у цьому випадку:

При множенні ступенів з однаковими основами їх показники складаються: a p a q = a p+q .
Розподіл ступенів з однаковими основами зводиться до ступеня з цією основою та різницею показників ступенів: a p:a q =a p-q .
Якщо звести ступінь у деякий ступінь, то в результаті отримуємо ступінь з цією основою та добутком показників: (a p) q = a pq.

Всі дані властивості справедливі для ступенів з раціональними показниками p, q і позитивною основою a>0. Також вірними залишаються перетворення ступеня при розкритті дужок:

(ab) p = a p b p - зведення до певної міри з раціональним показником добутку двох чисел зводиться до добутку чисел, кожне з яких зведено в дану міру.
(a/b) p =a p /b p - зведення у ступінь з раціональним показником дробу зводиться до дробу, чисельник і знаменник якого зведено в даний ступінь.

У відеоуроці розглядається рішення прикладів, у яких використовуються розглянуті властивості ступенів із раціональним показником. У першому прикладі пропонується знайти значення виразу, в якому містяться змінні х в дрібній мірі: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Незважаючи на складність вираження, із застосуванням властивостей ступенів воно вирішується досить просто. Рішення завдання починається зі спрощення виразу, в якому використовується правило зведення ступеня з раціональним показником у ступінь, а також перемноження ступенів з однаковою основою. Після підстановки заданого значення х=8 у спрощений вираз х 1/3+48 легко отримати значення - 50.

У другому прикладі потрібно скоротити дріб, чисельник і знаменник якого міститиме ступеня з раціональним показником. Використовуючи властивості ступеня, виділяємо з різниці множник х 1/3 , який потім скорочується в чисельнику та знаменнику, а використовуючи формулу різниці квадратів, на множники розкладається чисельник, що дає ще скорочення однакових множників у чисельнику та знаменнику. Підсумком таких перетворень стає короткий дріб х 1/4+3.

Відеоурок «Ступінь із раціональним показником» може бути використаний замість пояснення вчителем нової теми уроку. Також цей посібник містить досить повну інформацію для самостійного вивчення учнем. Матеріал може бути корисним і при дистанційному навчанні.

Виразом виду a (m/n) , де n - деяке натуральне число, m - деяке ціле число і основа ступеня а більше нуля, називається ступінь із дробовим показником.Причому вірною є така рівність. n√(a m) = a (m/n).

Як ми знаємо, числа виду m/n, де n - деяке натуральне число, а m - деяке ціле число, називають дробовими чи раціональними числами. З усього вищесказаного отримуємо, що ступінь визначено, для будь-якого раціонального показника ступеня та будь-якої позитивної основи ступеня.

Для будь-яких раціональних чисел p,q і будь-яких a>0 і b>0 вірні такі рівності:

1. (a p)*(a q) = a (p+q)
2. (a p): (b q) = a (p-q)
3. (a p) q = a (p*q)
4. (a*b) p = (a p)*(b p)
5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Дані властивості широко використовуються при перетворенні різних виразів, де містяться ступені з дрібними показниками.

Приклади перетворень виразів, що містять ступінь із дробовим показником

Розглянемо кілька прикладів, що демонструють застосування цих властивостей перетворення виразів.

1. Обчислити 7 (1/4) * 7 (3/4).

7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Обчислити 9 (2/3): 9 (1/6).

9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Обчислити (16 (1/3)) (9/4).

(16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Обчислити 24 (2/3).

24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Обчислити (8/27) (1/3).

(8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Спростити вираз ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a * b.

7. Обчислити (25 (1/5)) * (125 (1/5)).

(25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Спростити вираз

(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)))/( a (2/3) + a (-1/3)).
(a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3)))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
= ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
= 1 + a - (1-a) = 2 * a.

Як бачите, використовуючи ці властивості, можна значно спростити деякі вирази, які містять ступеня з дробовими показниками.

Урок №30 (Алгебра та початки аналізу, 11 клас)

Тема урока: Ступінь із раціональним показником.

Мета уроку: 1 . Розширити поняття ступеня, дати поняття ступеня із раціональним показником; навчити перекладати ступінь з раціональним показником у корінь та навпаки; обчислювати міри з раціональним показником.

2. Розвиток пам'яті, мислення.

3. Формування активності.

«Нехай хтось спробує викреслити

з математики ступеня, і він побачить,

Що без них далеко не поїдеш»М.В.Ломоносов

Хід уроку.

I. Повідомлення теми та мети уроку.

ІІ. Повторення та закріплення пройденого матеріалу.

1. Розбір невирішених домашніх прикладів.

2. Контролююча самостійна робота:

Варіант 1.

1. Розв'язати рівняння: √(2х – 1) = 3х – 12

2. Вирішити нерівність: √(3х – 2) ≥ 4 – х

Варіант 2.

1. Розв'язати рівняння: 3 – 2х = √(7х + 32)

2. Вирішити нерівність: √(3х + 1) ≥ х – 1

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

1 . Згадаймо розширення поняття чисел: N є Z є Q є R.

Це краще подати у вигляді наведеної нижче схеми:

Натуральні (N)

Нуль

Невід'ємні числа

Негативні числа

Дробові числа

Цілі числа (Z)

Ірраціональні

Раціональні (Q)

Справжні числа

2. У молодших класах було визначено поняття ступеня числа із цілим показником. а) Згадайте визначення ступеня а) з натуральним; б) з цілим негативним; в) з нульовим показником.Підкреслити, що вираз a n має сенс за всіх цілих n і будь-яких значеннях а, крім а=0 і n≤0.

б) Перерахуйте властивості ступенів із цілим показником.

3 . Усна робота.

1). Обчислити: 1 -5; 4 -3; (-10) 0; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1.

2). Запишіть у вигляді ступеня із негативним показником:

1/4 5; 1/21 3; 1/х 7; 1/а 9 .

3).Порівняйте з одиницею: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Тепер необхідно зрозуміти зміст виразів 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 і т.д. Для цього треба таким чином узагальнити поняття ступеня, щоб виконувалися всі ці властивості ступенів. Розглянемо рівність (a m/n) n = а m . Тоді за визначенням кореня п-го ступеня розумно вважати, що a m/n буде коренем п-го ступеня з числа a m . Дається визначення ступеня із раціональним показником.

5. Розглянути приклади 1 та 2 з підручника.

6. Зробимо ряд зауважень, пов'язаних із поняттям ступеня з раціональним показником.

Зауваження 1 : Для будь-якого а>0 та раціонального числа r число a r >0

Зауваження 2 : За основною властивістю дробів раціональне число m/n можна записати у вигляді mk/nk для будь-якого натурального числа k. Тодізначення ступеня залежить від форми запису раціонального числа,оскільки a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Примітка 3: При а Пояснимо це з прикладу. Розглянемо (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. З іншого боку: 1/3 = 2/6 і тоді (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Отримуємо протиріччя.