приклад 1.Дана функція f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x) у точці графіка з абсцисою x 0 = 1.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Тоді f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Відповідь. y = 10x – 8.

приклад 2.Дана функція f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), паралельної прямої y = 2x – 11.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) '= 3 x 2 – 6x + 2.

Так як до графіка функції f(x) у точці з абсцисою x 0 паралельна прямий y = 2x- 11, то її кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тобто ( x 0) = 2. Знайдемо цю абсцису з умови, що 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ця рівність справедлива лише за x 0 = 0 і при x 0 = 2. Так як у тому та в іншому випадку f(x 0) = 5, то пряма y = 2x + bстосується графіка функції або у точці (0; 5), або у точці (2; 5).

У першому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×0 + b, звідки b= 5, а у другому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×2 + b, звідки b = 1.

Отже, існує дві дотичні y = 2x+ 5 та y = 2x+ 1 до графіку функції f(x), паралельні прямий y = 2x – 11.

Відповідь. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

приклад 3.Дана функція f(x) = x 2 – 6x+ 7. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), що проходить через точку A (2; –5).

Рішення.Так як f(2) -5, то точка Aне належить графіку функції f(x). Нехай x 0 - абсцис точки торкання.

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 6x+ 1) '= 2 x – 6.

Тоді f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Бо точка Aналежить дотичній, то справедливо числова рівність

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

звідки x 0 = 0 або x 0 = 4. Це означає, що через точку Aможна провести дві дотичні до графіку функції f(x).

Якщо x 0 = 0, то рівняння дотичної має вигляд y = –6x+ 7. Якщо x 0 = 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 2x – 9.

Відповідь. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

приклад 4.Дано функції f(x) = x 2 – 2x+ 2 та g(x) = –x 2 – 3. Напишемо рівняння загальної щодо графіків цих функції.

Рішення.Нехай x 1 - абсциса точки торкання прямої з графіком функції f(x), а x 2 - абсцис точки торкання тієї ж прямої з графіком функції g(x).

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 2x+ 2) '= 2 x – 2.

Тоді f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Знайдемо похідну функції g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

У цій статті ми розберемо всі типи завдань на перебування

Згадаймо геометричний зміст похідної: якщо до графіка функції в точці проведена дотична, то коефіцієнт нахилу дотичної (рівний тангенсу кута між дотичною і позитивним напрямом осі) дорівнює похідній функції в точці.

Візьмемо на дотичній довільну точку з координатами:

І розглянемо прямокутний трикутник:

У цьому трикутнику

Звідси

Це і є рівняння дотичної, проведеної графіку функції у точці .

Щоб написати рівняння дотичної, нам достатньо знати рівняння функції та точку, в якій проведено дотичну. Тоді ми зможемо знайти і .

Є три основних типи завдань на складання рівняння дотичної.

1. Дана точка торкання

2. Даний коефіцієнт нахилу дотичної, тобто значення похідної функції у точці .

3. Дано координати точки, через яку проведено дотичну, але яка не є точкою дотику.

Розглянемо кожен тип завдань.

1 . Написати рівняння щодо графіку функції у точці .

.

б) Знайдемо значення похідної у точці . Спочатку знайдемо похідну функції

Підставимо знайдені значення рівняння дотичної:

Розкриємо дужки у правій частині рівняння. Отримаємо:

Відповідь: .

2 . Знайти абсциси точок, у яких дотичні до графіка функції паралельні осі абсцис.

Якщо дотична паралельна осі абсцис, отже кут між дотичною та позитивним напрямком осі дорівнює нулю, отже тангенс кута нахилу дотичної дорівнює нулю. Значить значення похідної функції у точках дотику дорівнює нулю.

а) Знайдемо похідну функції .

б) Прирівняємо похідну до нуля і знайдемо значення, в яких дотична паралельна осі:

Прирівняємо кожен множник до нуля, отримаємо:

Відповідь: 0; 3;

3 . Написати рівняння щодо графіку функції , паралельних прямий .

Дотична паралельна прямий. Коефіцієнт нахилу цієї прямої дорівнює -1. Так як дотична паралельна цій прямій, отже, коефіцієнт нахилу дотичної теж дорівнює -1. Тобто ми знаємо коефіцієнт нахилу дотичної, а, тим самим, значення похідної в точці торкання.

Це другий тип завдань на знаходження рівняння дотичної.

Отже, ми маємо функцію і значення похідної у точці дотику.

а) Знайдемо точки, у яких похідна функції дорівнює -1.

Спочатку знайдемо рівняння похідної.

Прирівняємо похідну до -1.

Знайдемо значення функції у точці.

(за умовою)

.

б) Знайдемо рівняння щодо графіку функції у точці .

Знайдемо значення функції у точці.

(за умовою).

Підставимо ці значення до рівняння дотичної:

.

Відповідь:

4 . Написати рівняння щодо кривої , проходить через точку

Спочатку перевіримо, чи точка не є точкою торкання. Якщо точка є точкою торкання, вона належить графіку функції, і її координати повинні задовольняти рівнянню функції. Підставимо координати точки рівняння функції.

Title="(!LANG:1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} не є точкою торкання.

Це останній тип завдань на знаходження рівняння дотичної. Першим ділом нам потрібно знайти абсцису точки дотику.

Знайдемо значення.

Нехай – точка торкання. Крапка належить дотичну до графіку функції. Якщо ми підставимо координати цієї точки до рівняння дотичної, то отримаємо правильну рівність:

.

Значення функції у точці дорівнює .

Знайдемо значення похідної функції у точці.

Спочатку знайдемо похідну функції. Це.

Похідна в точці дорівнює .

Підставимо вирази для і рівняння дотичної. Отримаємо рівняння щодо:

Вирішимо це рівняння.

Скоротимо чисельник і знаменник дробу на 2:

Наведемо праву частину рівняння до спільного знаменника. Отримаємо:

Спростимо чисельник дробу і помножимо обидві частини на - це вираз строго більше за нуль.

Отримаємо рівняння

Вирішимо його. Для цього зведемо обидві частини у квадрат і перейдемо до системи.

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2)) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Розв'яжемо перше рівняння.

Розв'яжемо квадратне рівняння, отримаємо

Другий корінь не задовольняє умову title="(!LANG:8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Напишемо рівняння дотичної до кривої в точці. Для цього підставимо значення рівняння – ми його вже записували.

Відповідь:
.

На сучасному етапі розвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знань та умінь з кожної теми шкільного курсу математики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння повинні бути дидактичною метою не окремих завдань, а ретельно продуманої системи. У найширшому розумінні під системою розуміється сукупність взаємозалежних елементів, що володіє цілісністю і стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінність від вже відомих полягає в тому, що абсцис точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f"(a) у загальне рівняння дотичної y = f(a) = f "(a)(x – a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішення кожної з ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхід відповідає теорії поетапного формування розумових дій, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

• дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
• дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою дотику, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

• дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
• дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a – кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 у загальному вигляді, складання системи рівнянь та подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання під час вирішення складніших завдань, потребують певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо. буд.). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на знаходження функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Нехай t – абсцису точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

Розглянемо наступний малюнок:

На ньому зображено деяку функцію y = f(x), яка диференційована в точці a. Відзначено точку М з координатами (а; f(a)). Через довільну точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графіка проведена січна МР.

Якщо тепер точку Р зрушувати за графіком до точки М, то пряма МР повертатиметься навколо точки М. При цьому ∆х прагнутиме нуля. Звідси можна сформулювати визначення, що стосується графіку функції.

Стосовна графіку функції

Дотична до графіка функції є граничне положення січе при прагненні збільшення аргументу до нуля. Слід розуміти, що існування похідної функції f у точці х0 означає, що в цій точці графіка існує дотичнадо нього.

При цьому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнюватиме похідної цієї функції в цій точці f'(x0). У цьому полягає геометричний зміст похідної. Дотична до графіка диференційованої в точці х0 функції f - це деяка пряма, що проходить через точку (x0; f (x0)) і має кутовий коефіцієнт f'(x0).

Рівняння дотичної

Спробуємо отримати рівняння щодо графіку деякої функції f у точці А(x0; f(x0)). Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k має такий вигляд:

Так як у нас кутовий коефіцієнт дорівнює похідній f'(x0), то рівняння набуде наступного вигляду: y = f'(x0)* x + b.

Тепер обчислимо значення b. І тому використовуємо те що, що функція проходить через точку А.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, звідси виражаємо b і отримаємо b = f(x0) - f'(x0)*x0.

Підставляємо отримане значення рівняння дотичної:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0) * (x - x0).

Розглянемо наступний приклад: знайти рівняння щодо графіку функції f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 у точці х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2 * 2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3 * x 2 - 4 * x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3 * 2 2 - 4 * 2 = 4.

5. Підставимо отримані значення формулу дотичної, отримаємо: y = 1 + 4*(x - 2). Розкривши дужки та привівши подібні доданки отримаємо: y = 4*x - 7.

Відповідь: y = 4 * x - 7.

Загальна схема складання рівняння дотичноїдо графіка функції y = f(x):

1. Визначити х0.

2. Обчислити f(x0).

3. Обчислити f'(x)

Ця математична програма знаходить рівняння щодо графіку функції \(f(x) \) в заданій користувачем точці \(a \).

Програма не лише виводить рівняння дотичної, а й відображає процес розв'язання задачі.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Якщо вам потрібно знайти похідну функції, то для цього ми маємо завдання Знайти похідну.

Якщо ви не знайомі з правилами введення функцій, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Введіть вираз функції \(f(x)\) та число \(a\)

f(x)=
a=

Знайти рівняння дотичної

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Кутовий коефіцієнт прямий

Нагадаємо, що графіком лінійної функції (y=kx+b) є пряма. Число \ (k = tg \ alpha \) називають кутовим коефіцієнтом прямої, а кут \(\alpha \) - кутом між цією прямою та віссю Ox

Якщо \(k>0\), то \(0 Якщо \(kРівняння щодо графіки функції)

Якщо точка М(а; f(a)) належить графіку функції у = f(x) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то з геометричного сенсу похідної випливає, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f (a). Далі ми виробимо алгоритм складання рівняння щодо графіку будь-якої функції.

Нехай дані функція у = f(x) і точка М(а; f(a)) на графіку цієї функції; нехай відомо, що існує f"(a). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функції в заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд y = kx + b, тому завдання полягає у знаходженні значень коефіцієнтів k та b.

З кутовим коефіцієнтом k все зрозуміло: відомо, що k = f"(a). Для обчислення значення b скористаємося тим, що пряма пряма проходить через точку М(а; f(a)). Це означає, що якщо підставити координати точки М в рівняння прямий, отримаємо правильну рівність: \(f(a)=ka+b \), тобто \(b = f(a) - ka \).

Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів k і b рівняння прямої:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a )(x-a) $$

Нами отримано рівняння дотичної до графіка функції\(y = f(x) \) у точці \(x=a \).

Алгоритм знаходження рівняння щодо графіка функції \(y=f(x) \)
1. Позначити абсцис точки торкання буквою \(a \)
2. Обчислити \(f(a) \)
3. Знайти \(f"(x) \) та обчислити \(f"(a) \)
4. Підставити знайдені числа \(a, f(a), f"(a) \) у формулу \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Книги (підручники) Реферати ЄДІ та ОДЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу Каталог шкіл Росії Каталог СУНЗ Росії Каталог ВНЗ Росії Список завдань Знаходження НОД і НОК Спрощення багаточленів