Рівняння максвела є законом повного струму. Рівняння максвела та їх фізичний зміст

Система рівнянь Максвелла є узагальненням основних законів про електричні та електромагнітні явища. Вона описує абсолютно всіелектромагнітні явища. Будучи основою теорії електромагнітного поля, ця система рівнянь дозволяє вирішувати завдання, пов'язані з відшуканням електричних та магнітних полів, створюваних заданим розподілом електричних зарядів та струмів. Рівняння Максвелла були відправною точкою до створення загальної теорії відносності Ейнштейна. Теоретично Максвелла розкривається електромагнітна природа світла. Рівняння сформульовані Дж. Максвеллом у шістдесятих роках 19 століття з урахуванням узагальнення емпіричних законів та розвитку ідей вчених, які досліджували електромагнітні явища перед ним (Закони Кулона, Біо – Савара, Ампера і, особливо, дослідження Фарадея). Сам Максвелл записав 20 рівнянь із 20 невідомими у диференціальній формі, які пізніше були перетворені. Сучасна форма Максвелла дана німецьким фізиком Г. Герцем та англійським фізиком О. Хевісайдом. Запишемо рівняння, використовуючи систему одиниць Гауса.

Система рівнянь Максвелла

До складу системи рівнянь Максвелла входять чотири рівняння.

Перше рівняння:

Це Закон Фарадея (Закон електромагнітної індукції).

де -напруженість електричного поля, -вектор магнітної індукції, c - швидкість світла у вакуумі.

Це рівняння говорить про те, що ротор напруженості електричного поля дорівнює потоку (тобто швидкості зміни в часі) вектора магнітної індукції крізь цей контур.

Це ж рівняння можна записати в інтегральній формі, тоді воно набуде наступного вигляду:

де – проекція на нормаль до майданчика dS вектора магнітної індукції,

- Магнітний потік.

Рис. 2.

Циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж замкнутого контуру L (ЕРС індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції через поверхню обмежену цим контуром. Знак мінус за правилом Ленца означає напрямок індукційного струму.

Згідно з Максвеллом закон електромагнітної індукції (а це саме він), справедливий для будь-якого замкнутого контуру, довільно обраного в змінному магнітному полі.

Сенс цього рівняння: Змінне магнітне поле у ​​будь-якій точці простору створює вихрове електричне поле.

де вектор магнітної напруженості, - щільність електричного струму, - вектор електричного зміщення.

Це рівняння Максвелла є узагальненням емпіричного закону Біо-Савара у тому, що магнітні поля збуджуються електричними струмами. Сенс другого рівняння у цьому, що джерелом виникнення вихрового магнітного поля є також змінне електричне полі, магнітне дію якого характеризується струмом усунення. (-Щільність струму зміщення).

В інтегральному вигляді друге рівняння Максвелла (Теорема про циркуляцію магнітного поля) представлено таким чином:

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля за довільним контуром дорівнює сумі алгебри струмів провідності і струму зміщення, зчеплених з контуром.

Коли Максвел вводив рівняння (понад сто років тому!), природа електромагнітного поля була не зрозуміла. Нині природа поля з'ясована, і зрозуміли, що може бути названо «струмом» лише формально. По ряду розрахункових міркувань таку назву, не надаючи йому прямого фізичного сенсу, доцільно зберегти, що у електротехніці і робиться. З цієї причини вектор D, що входить у вираз для струму зміщення, називають вектором електричного зміщення.

Крім перших двох рівнянь у систему рівнянь Максвелла входить теорема Гаусса-Остроградського для електричного та магнітного полів:

де -Щільність електричного заряду.

Що в інтегральному вигляді являє собою таке:

де потік електричного зміщення - потік магнітної індукції крізь замкнуту поверхню, що охоплює вільний заряд q.

Сенс рівняння 3.2. Електричний заряд – джерело електричної індукції.

Рівняння 4.2 висловлює факт відсутності вільних магнітних зарядів.

Повна система рівнянь Максвелла у диференціальному вигляді (характеризує поле у ​​кожній точці простору):

Повна система рівнянь Максвелла в інтегральному вигляді

Повна система рівнянь Максвелла в інтегральному вигляді (інтегральна форма запису рівнянь полегшує їх фізичну інтерпретацію так як робить їх візуально ближче до відомих емпіричних законів):

Систему рівнянь Максвелла доповнюють «матеріальними рівняннями», що зв'язують вектори з величинами, що описують електричні та магнітні властивості середовища.

де - відносна діелектрична проникність, - відносна магнітна проникність, -питома електропровідність, - електрична постійна, - магнітна постійна. Середовище передбачається ізотропною, неферромагнітною, несегнетоелектричною.

На межі розділу двох середовищ виконуються граничні умови:

де - поверхнева щільність вільних зарядів, n- одиничний вектор нормалі до межі розділу, проведений із середовища 2 в 1, одиничний вектор, що стосується кордону, - проекція вектора щільності поверхневих струмів провідності на одиничний вектор.

Дані рівняння виражають безперервність нормальних складових вектора магнітної індукції та стрибок нормальних складових вектора зміщення. Безперервність дотичних складових вектора напруженостей електричного поля на межі розділу та стрибок цих складових для напруженості магнітного поля.

Приклади розв'язання задач

ПРИКЛАД 1

Завдання

З системи рівнянь Максвелла отримати рівняння безперервності струмів та закон збереження заряду.

Рішення

Використовуємо рівняння: Проведемо йому операцію дивергенції ( чи ). Отримаємо: із системи рівнянь Максвелла знаємо, що , (c) Підставимо (с) в (b) отримаємо: звідси випливає або в інтегральній формі: Відповідно для замкнутих ізольованих областей отримаємо: Це рівняння безперервності для струму, що містить закон збереження заряду – один з фундаментальних принципів, який підтверджується експериментом.

у довільному середовищі. Максвелла рівняннясформульовані Дж. До. Максвеллом у 60-х роках 19 століття на основі узагальнення емпіричних законів електричних та магнітних явищ. Спираючись на ці закони та розвиваючи плідну ідею М.М. Фарадея про те, що взаємодії між електрично зарядженими тілами здійснюються за допомогою електромагнітного поля Максвелл створив теорію електромагнітних процесів, математично виражається Максвелла рівнянняСучасна форма Максвелла рівняннядана німецьким фізиком Г. Герцем та англійським фізиком О. Хевісайдом.

Максвелла рівнянняпов'язують величини, що характеризують електромагнітне поле, з його джерелами, тобто з розподілом у просторі електричних зарядів та струмів. У порожнечі електромагнітне поле характеризується двома векторними величинами, що залежать від просторових координат та часу: напруженістю електричного поля Ета магнітною індукцією У. Ці величини визначають сили, що діють з боку поля на заряди та струми, розподіл яких у просторі задається щільністю заряду r (зарядом в одиниці об'єму) та щільністю струму j(Зарядом, що переноситься в одиницю часу через одиничний майданчик, перпендикулярну до напрямку руху зарядів). Для опису електромагнітних процесів у матеріальному середовищі (в речовині), крім векторів Еі У, вводяться допоміжні векторні величини, що залежать від стану та властивостей середовища: електрична індукція Dта напруженість магнітного поля Н.

Максвелла рівняннядозволяють визначити основні характеристики поля ( Е, В, Dі Н) у кожній точці простору у будь-який момент часу, якщо відомі джерела поля jі r як функції координат та часу. Максвелла рівнянняможуть бути записані в інтегральній або диференціальній формі (нижче вони дані в абсолютній системі одиниць Гаусса; див. СГС система одиниць ).

Максвелла рівнянняв інтегральній формі визначають за заданими зарядами та струмами не самі вектори поля Е, В, D, Нв окремих точках простору, а деякі інтегральні величини, що залежать від розподілу цих характеристик поля: циркуляцію векторів Еі Нвздовж довільних замкнутих контурів та потоки векторів Dі через довільні замкнуті поверхні.

Перше Максвелла рівнянняє узагальненням на змінні поля емпіричного Ампера закону про збудження магнітного поля електричними струмами. Максвел висловив гіпотезу, що магнітне поле породжується не тільки струмами, що йдуть у провідниках, а й змінними електричними полями в діелектриках або вакуумі. Величина, пропорційна швидкості зміни електричного поля у часі, було названо Максвеллом струмом усунення. Струм зміщення збуджує магнітне поле за тим самим законом, що й струм провідності (пізніше це було підтверджено експериментально). Повний струм, що дорівнює сумі струму провідності та струму зміщення, завжди є замкнутим.

Перше Максвелла рівняннямає вигляд:

тобто циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж замкнутого контуру L(сума скалярних творів вектора Ну цій точці контуру на нескінченно малий відрізок dlконтура) визначається повним струмом через довільну поверхню j n- проекція щільності струму провідності jна нормаль до нескінченно малого майданчика ds, Що є частиною поверхні S, - проекція щільності струму зміщення на ту саму нормаль, а з= 3×10 10 см/сек -постійна, рівна швидкості поширення електромагнітних взаємодій у вакуумі.

Друге Максвелла рівнянняє математичним формулюванням закону електромагнітної індукції Фарадея (див. Електромагнітна індукція ) записується у вигляді:

, (1, б)

тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля вздовж замкнутого контуру L(Едс індукції) визначається швидкістю зміни потоку вектора магнітної індукції через поверхню S, обмежену цим контуром. Тут n- проекція на нормаль до майданчика dsвектор магнітної індукції У; знак мінус відповідає Ленца правилу для спрямування індукційного струму.

Третє Максвелла рівняннявисловлює досвідчені дані про відсутність магнітних зарядів, аналогічних електричним (магнітне поле породжується лише струмами):

тобто потік вектора магнітної індукції через довільну замкнуту поверхню Sдорівнює нулю.

Четверте Максвелла рівняння(зазвичай зване Гауса теорема ) є узагальнення закону взаємодії нерухомих електричних зарядів - Кулон закону :

, (1, г)

тобто потік вектора електричної індукції через довільну замкнуту поверхню Sвизначається електричним зарядом, що знаходиться всередині цієї поверхні (в обсязі , обмеженому даною поверхнею).

Якщо вважати, що вектори електромагнітного поля ( Е, В, D, Н) є безперервними функціями координат, то, розглядаючи циркуляцію векторів Ні Еза нескінченно малими контурами та потоками векторів і Dчерез поверхні, що обмежують нескінченно малі обсяги, можна від інтегральних співвідношень (1, а - г) перейти до системи диференціальних рівнянь, справедливих у кожній точці простору, тобто отримати диференціальну форму Максвелла рівняння(зазвичай зручнішу на вирішення різних завдань):

rot ,

Тут rot і div – диференціальні оператори ротор (див. Вихор ) та дивергенція , що діють на вектори Н, Е, і D. Фізичний зміст рівнянь (2) той самий, як і рівнянь (1).

Максвелла рівнянняу формі (1) або (2) не утворюють повну замкнуту систему, що дозволяє розраховувати електромагнітні процеси за наявності матеріального середовища. Необхідно їх доповнити співвідношеннями, що зв'язують вектори Е, Н, D, Ві j, які є незалежними. Зв'язок між цими векторами визначається властивостями середовища та її станом, причому Dі jвиражаються через Е, а - через Н:

D = D(E), = (Н), j = j(E). (3)

Ці три рівняння називаються рівняннями стану, чи матеріальними рівняннями; вони описують електромагнітні властивості середовища проживання і кожної конкретної середовища мають певну форму. У вакуумі Dº Еі º Н. Сукупність рівнянь поля (2) та рівнянь стану (3) утворюють повну систему рівнянь.

Макроскопічні Максвелла рівнянняописують середовище феноменологічно, не розглядаючи складного механізму взаємодії електромагнітного поля із зарядженими частинками середовища. Максвелла рівнянняможуть бути отримані з Лоренца - Максвелла рівнянь для мікроскопічних полів та певних уявлень про будову речовини шляхом усереднення мікрополів по малих просторово-часових інтервалах. Таким способом виходять як основні рівняння поля (2), і конкретна форма рівнянь стану (3), причому вид рівнянь поля залежить від властивостей середовища.

Рівняння стану у випадку дуже складні, оскільки вектори D, і jу цій точці простору в даний момент часу можуть залежати від полів Еі Ну всіх точках середовища у всі попередні моменти часу. В деяких середовищах вектори Dі можуть бути відмінними від нуля при Еі рівних нулю ( сегнетоелектрики і феромагнетики ). Однак для більшості ізотропних середовищ, аж до вельми значних полів, рівняння стану мають просту лінійну форму:

D= e E, = m H, j= s E+ jз тр. (4)

Тут e ( x, у, z) - діелектрична проникність , а m ( x, у, z) - магнітна проникність середовища, що характеризують відповідно її електричні та магнітні властивості (у вибраній системі одиниць для вакууму e = m = 1); величина s ( x, у, z) називається питомою електропровідністю; j cтр - щільність про сторонніх струмів, тобто струмів, підтримуваних будь-якими силами, крім сил електричного поля (наприклад, магнітним полем, дифузією тощо. буд.). У феноменологічній теорії Максвелла макроскопічні характеристики електромагнітних властивостей середовища e, m і s мають бути знайдені експериментально. У мікроскопічній теорії Лоренца - Максвелла вони можуть бути розраховані.

Проникності e і m фактично визначають той внесок у електромагнітне поле, який вносять звані пов'язані заряди, що входять до складу електрично нейтральних атомів і молекул речовини. Експериментальне визначення e, m, s дозволяє розраховувати електромагнітне поле в середовищі, не вирішуючи важке допоміжне завдання про розподіл зв'язаних зарядів та відповідних струмів в речовині. Щільність заряду r та щільність струму jв Максвелла рівняння- це щільність вільних зарядів і струмів, причому допоміжні вектори Ні Dвводяться так, щоб циркуляція вектора Нвизначалася лише рухом вільних зарядів, а потік вектора D- Щільністю розподілу цих зарядів у просторі.

Якщо електромагнітне поле розглядається у двох межах, що межують, то на поверхні їх розділу вектори поля можуть зазнавати розривів (стрибки); у цьому випадку рівняння (2) мають бути доповнені граничними умовами:

[nH] 2 - [nH] 1 = ,

[nE] 2 - [nE] 1 = 0, (5)

(nD) 2 - (nD) 1 = 4ps,

(nB) 2 - (nB) 1 = 0.

Тут j пові s - щільності поверхневих струму та заряду, квадратні та круглі дужки - відповідно векторне та скалярне твори векторів, n- одиничний вектор нормалі до поверхні розділу в напрямку від першого середовища до другого (12), а індекси відносяться до різних сторін межі розділу.

Основні рівняння для поля (2) лінійні, рівняння стану (3) можуть бути і нелінійними. Зазвичай нелінійні ефекти виявляються досить сильних полях. У лінійних середовищах [задовольняють співвідношенням (4)] і, зокрема, у вакуумі Максвелла рівняннялінійні і, таким чином, виявляється справедливим суперпозиції принцип: при накладенні полів вони не впливають один на одного.

З Максвелла рівняннявипливає низка законів збереження. Зокрема, із рівнянь (1, а) та (1, г) можна отримати співвідношення (так зване рівняння безперервності):

, (6)

являє собою закон збереження електричного заряду: повний струм, що протікає за одиницю часу через будь-яку замкнуту поверхню S, дорівнює зміні заряду всередині об'єму V, обмеженого цією поверхнею. Якщо струм через поверхню відсутня, заряд в обсязі залишається незмінним.

З Максвелла рівнянняслід, що електромагнітне поле має енергію та імпульс (кількістю руху). Щільність енергії w (енергії одиниці об'єму поля) дорівнює:

, (7)

Електромагнітна енергія може переміщатися у просторі. Щільність потоку енергії визначається так званим вектором Пойнтінга

Напрямок вектора Пойнтінга перпендикулярно як Е, так і Ні збігається з напрямом поширення електромагнітної енергії, а його величина дорівнює енергії, що переноситься в одиницю часу через одиницю поверхні, перпендикулярної вектору П. Якщо не відбувається перетворень електромагнітної енергії на інші форми, то, відповідно Максвелла рівняння, Зміна енергії в деякому обсязі за одиницю часу дорівнює потоку електромагнітної енергії через поверхню, що обмежує цей обсяг. Якщо всередині обсягу рахунок електромагнітної енергії виділяється тепло, то закон збереження енергії записується у формі:

(9)

Де Q- кількість теплоти, що виділяється в одиницю часу.

Щільність імпульсу електромагнітного поля g(Імпульс одиниці об'єму поля) пов'язана із щільністю потоку енергії співвідношенням:

Існування імпульсу електромагнітного поля вперше було виявлено експериментально у дослідах П.М. Лебедєва з вимірювання тиску світла (1899).

Як видно з (7), (8) і (10), електромагнітне поле завжди має енергію, а потік енергії та електромагнітний імпульс відмінні від нуля лише у випадку, коли одночасно існують і електричне та магнітне поля (причому ці поля не паралельні один одному) ).

Максвелла рівнянняпризводять до фундаментального висновку про кінцівку швидкості поширення електромагнітних взаємодій (рівний з= 3×10 10 см/сек). Це означає, що при зміні щільності заряду або струму в деякій точці простору електромагнітне поле, що ними породжується в точці спостереження, змінюється не в той же момент часу, а через час t = R/c, де R- Відстань від елемента струму або заряду до точки спостереження. Внаслідок кінцевої швидкості поширення електромагнітних взаємодій можливе існування електромагнітних хвиль , окремим випадком яких (як вперше показав Максвелл) є світлові хвилі.

Електромагнітні явища протікають однаково у всіх інерційних системах відліку, тобто задовольняють принцип відносності. Відповідно з цим Максвелла рівнянняне змінюють своєї форми під час переходу від однієї інерційної системи відліку до іншої (релятивістські інваріантні). Виконання принципу відносності для електромагнітних процесів виявилося несумісним з класичними уявленнями про простір і час, вимагало перегляду цих уявлень і призвело до створення спеціальної теорії відносності (А.А. Ейнштейн, 1905; див. Відносності теорія ). Форма Максвелла рівняннязалишається незмінною при переході до нової інерційної системи відліку, якщо просторів, координати та час, вектори поля Е, Н, В, D, щільність струму jі щільність заряду r змінюються відповідно до Лоренца перетвореннями (що виражають нові, релятивістські уявлення про простір та час). Релятивістсько-інваріантна форма Максвелла рівнянняпідкреслює той факт, що електричне та магнітне поля утворюють єдине ціле.

Максвелла рівнянняописують велику область явищ. Вони лежать в основі електротехніки та радіотехніки та відіграють найважливішу роль у розвитку таких актуальних напрямків сучасної фізики, як фізика плазми та проблема керованих термоядерних реакцій, магнітна гідродинаміка, нелінійна оптика, конструювання прискорювачів заряджених частинок , астрофізика і т.д. Максвелла рівняннянепридатні лише за високих частотах електромагнітних хвиль, коли стають суттєвими квантові ефекти, тобто коли енергія окремих квантів електромагнітного поля - фотонів - велика й у процесах бере участь порівняно невелика кількість фотонів.

Літ.:Максвелл Дж. До., Вибрані твори з теорії електромагнітного поля, переклад з англійської, М., 1952; Тамм І. Є., Основи теорії електрики, 7 видавництво, М., 1957; Калашніков С. Р., Електрика, М., 1956 (Загальний курс фізики, т. 2); Фейнман Р., Лейтон Р., Сендс М., Фейнмановські лекції з фізики, (переклад з англійської], ст 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Ліфшиц Е. М., Теорія поля , 5 видавництва, М., 1967 (Теоретична фізика, т. 2), їх же, Електродинаміка суцільних середовищ, М., 1959.

Г. Я. Мякішев.

Стаття про слово Максвелла рівнянняу Великій Радянській Енциклопедії була прочитана 36718 разів

Третє рівняння Максвелла є узагальненням закону Гауса на випадок змінних процесів. Закон Гауса пов'язує потік вектора електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню S із зарядом Q, зосередженим усередині цієї поверхні:

де dS = n0 dS; n0 - орт зовнішньої нормалі до поверхні S.

До Максвелла рівняння (1.40) розглядалося лише у застосуванні до постійних полів. Максвелл припустив, що він справедливий і у разі змінних полів.

Заряд Q може бути довільно розподілений усередині поверхні S. Тому у випадку

де ρ – об'ємна густина зарядів; V- об'єм, обмежений поверхнею S. Об'ємна щільність зарядів

де ΔQ – заряд, зосереджений обсягом ΔV. Розмірність - кулон на кубічний метр (Кл/м3).

Підставляючи (1.41) (1.40), отримуємо

. (1.43)

Рівняння (1.43) зазвичай називають третім рівнянням Максвелла в інтегральній формі.Для початку диференціальної формі перетворимо ліву частину цього рівняння по теоремі Остроградського-Гаусса (П. 19). В результаті отримаємо:

.

Ця рівність має виконуватися при довільному обсязі V, що можливо тільки в тому випадку, якщо

divD = ρ. (1.44)

Співвідношення (1.44) прийнято називати третім рівнянням Максвелла. У декартовій системі координат воно записується як

.

З рівності (1.44) випливає, що дивергенція вектора D відмінна від нуля у тих точках простору, де є вільні заряди. У цих точках лінії вектора D мають початок (витік) або кінець (стік). Лінії вектора D починаються на позитивних зарядах та закінчуються – на негативних.

На відміну від вектора D витоками (стоками) вектора можуть бути як вільні, так і пов'язані заряди. Щоб показати це, перепишемо рівняння (1.44) для вектора Е. Підставляючи співвідношення (1.4) в (1.44), отримуємо εоdiv Е = ρ – div P. середовища (такі заряди називатимемо поляризаційними):

divP = -. (1.45)

Пояснимо виникнення поляризаційних зарядів на прикладі. Нехай є поляризоване середовище (рис. 1.8). Виділимо подумки всередині неї об'єм ΔV, обмежений поверхнею ΔS. Внаслідок поляризації в середовищі відбувається зміщення зарядів, пов'язаних з молекулами речовини. Якщо обсяг ΔV малий, а поляризація нерівномірна, то обсяг ΔV з одного боку може увійти більше зарядів, ніж вийде з іншого (на рис. 1.8 обсяг ΔVпоказаний пунктиром). Підкреслимо, що поляризаційні заряди є "пов'язаними" і виникають лише під дією електричного поля. Знак мінус у формулі (1.45) випливає із визначення вектора Р (див. 1.2.1).

Рис. 1.8. Поляризоване середовище

Лінії вектора Р починаються на негативних зарядах та закінчуються на позитивних. З урахуванням формули (1.45) приходимо до співвідношення εоdiv Е = ρ + ρp, з якого і випливає зроблене вище твердження, що витоками (стоками) ліній вектора Е (силових ліній електричного поля) є як вільні, так і пов'язані заряди.

Четверте рівняння Максвелла в інтегральній формі збігається із законом Гауса для магнітного поля, який можна сформулювати в такий спосіб. Потік вектора через будь-яку замкнуту поверхню S дорівнює нулю, тобто.

.(1.46)

Це означає, що не існує ліній вектора, які тільки входять у замкнуту поверхню S (або, навпаки, тільки виходять з поверхні S): вони завжди пронизують її (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Лінії вектора В, що пронизують поверхню S

Рівняння (1.46) називають четвертим рівнянням Максвелла в інтегральній формі.До диференціальної форми рівняння (1.46) можна перейти з допомогою теореми Остроградського-Гаусса як і, як було зроблено у разі третього рівняння Максвелла. В результаті отримаємо

divB = 0. (1.47)

Рівняння (1.47) є четвертим рівнянням Максвелла. Воно показує, що у природі відсутні відокремлені магнітні заряди одного знака. З цього рівняння також випливає, що лінії вектора (силові лінії магнітного поля) є безперервними.

У разі стаціонарних (тобто не міняються в часі) електричного і магнітного полів, походження яких пов'язане з зарядами для електричного поля, що покояться, і зі стаціонарними струмами для магнітного поля, ці поля є незалежними один від одного, що дозволяє розглядати їх окремо один від одного.

Рівняння Максвелла- Це система рівнянь, що описують природу походження та властивості електричного та магнітного полів.

Рівняння Максвелла для стаціонарних полів:

Таким чином, рівняння Максвелла для стаціонарних полів:

I.; ІІ. ;

III.; IV. .

Векторні характеристики електростатичного поля і пов'язані між собою наступним співвідношенням:

,

де - Електрична постійна,  – діелектрична проникність середовища.

Векторні характеристики магнітного поля і пов'язані між собою наступним співвідношенням:

,

де - магнітна постійна, – магнітна проникність середовища.

Тема 8. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля

Згідно теорії Максвелла для електромагнітного поляу разі нестаціонарних (тобто змінюються в часі) електричного і магнітного полів, джерелами електричного поля можуть бути або електричні заряди, або магнітне поле, що змінюється в часі, а джерелами магнітного поля можуть бути або рухомі електричні заряди (електричні струми), або змінне електричне поле.

На відміну від стаціонарних полів змінні електричне та магнітне поля не є незалежними один від одного і розглядаються як електромагнітне поле.

Рівняння Максвелла,як система рівнянь, що описують природу походження та властивості електричного та магнітного полів в разі електромагнітного полямає вигляд:

I.
тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля визначається швидкістю зміни вектора індукції магнітного поля. ( швидкість зміни вектора індукції ).

Це рівняння показує, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, а й магнітні поля, що змінюються в часі.

II.
, тобто потік вектора електричного зміщення через довільну замкнуту поверхню S, дорівнює сумі алгебри зарядів, укладених всередині обсягу V, обмеженого цією замкнутою поверхнею S (  об'ємна щільність заряду).

III.
, тобто циркуляція вектора напруженості за довільним замкнутим контуром L визначається повним струмом I повн., що пронизує поверхню S, обмежену цим контуром L.

повний струм I повний, що складається з струму провідності I і струму зміщення I див., тобто I повн. = I + I див. .

Сумарний струм провідності Iвизначається загалом через поверхневу щільність струму j (
) інтегруванням, тобто

.

Струм зміщення I см, що пронизує поверхню S, визначається загалом

випадок через поверхневу щільність струму зміщення
(
) інтегруванням, тобто:
.

Введене Максвеллом поняття «струму зміщення», величина якого визначається швидкістю зміни вектора електричного зміщення тобто величиною , показує, що магнітні поля можуть збуджуватися не тільки зарядами, що рухаються (електричними струмами провідності), але і змінними електричними полями.

IV.
тобто потік вектора індукції магнітного поля через довільну замкнуту поверхню Sдорівнює нулю.

Введення Максвеллом поняття струму усунення призвело до завершення створеної ним макроскопічної теорії електромагнітного поля, яка дозволяє з єдиної точки зору пояснити не тільки електричні та магнітні явища, а й передбачити нові, існування яких було згодом підтверджено.

В основі теорії Максвелла лежать 4 рівняння:

1. Електричне поле може бути як потенційним, так і вихровим, тому напруженість результуючого поля дорівнює:

Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватися або зарядами, що рухаються (електричними струмами), або змінними електричними полями.

3. Теорема Гауса для поля:

Отримуємо

Отже, повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі:

	1),
	2),

Величини, які входять у рівняння Максвелла, є незалежними і з-поміж них існує зв'язок.

Для ізотропних, несегнетоелектричних та неферомагнітних середовищ запишемо формули зв'язку:

	б) ,
	в) ,

де - електрична постійна, - магнітна постійна,

Діелектрична проникність середовища, m - магнітна проникність середовища,

r - питомий електричний опір; - питома електрична провідність.

З рівнянь Максвелла випливає, що:

джерелом електричного поля можуть бути або електричні заряди, або магнітні поля, що змінюються в часі, які можуть порушуватися або рухомими електричними зарядами (струмами), або змінними електричними полями.

Рівняння Максвелла не симетричні щодо електричного та магнітного полів. Це з тим, що у природі немає магнітних зарядів.

Якщо і (стаціонарні поля), то рівняння Максвелла набувають такого вигляду:

Джерелами електричного стаціонарного поля є лише електричні заряди, джерелами стаціонарного магнітного поля - лише струми провідності .

Електричне і магнітне поле у ​​разі незалежні друг від друга, що дозволяє вивчати окремо постійні електричне і магнітне поля.

Диференціальна форма запису рівнянь Максвелла:

	3) ,

Інтегральна форма запису рівнянь Максвелла є загальнішою, якщо є поверхні розриву. Диференціальна форма запису рівняння Максвелла передбачає, що це величини у просторі та часу змінюються безперервно.

Рівняння Максвелла - найбільш загальні рівняння для електричних і магнітних полів в середовищах, що покояться. Вони грають у вченні про електромагнетизм таку ж важливу роль, як і закони Ньютона у механіці. З рівнянь Максвелла випливає, що змінне магнітне поле завжди пов'язане зі змінним електричним полем, а змінне електричне поле завжди пов'язане з магнітним полем, що породжується ним, тобто. електричне та магнітне поле нерозривно пов'язані один з одним – вони утворюють єдине електромагнітне поле.

Властивості рівнянь Максвелла

Рівняння Максвелла лінійні. Вони містять лише перші похідні полів Е і В за часом і просторовими координатами і першими ступенями щільності електричних зарядів і струмів j. Властивість лінійності рівнянь Максвелла пов'язані з принципом суперпозиції, якщо два якихось поля задовольняють рівнянням Максвелла, це стосується і сумі цих полів.

Рівняння Максвелла містять рівняння безперервності, що виражають закон збереження електричного заряду. Щоб отримати рівняння безперервності, необхідно взяти дивергенцію від обох частин першого з рівнянь Максвелла в диференціальній формі запису:

Рівняння Максвелла виконуються у всіх інерційних системах відліку. Вони є релятивістки інваріантними. Це є наслідком принципу відносності, за яким усі інерційні системи відліку фізично еквівалентні одна одній. Вигляд рівнянь Максвелла при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої не змінюється, проте величини, що входять до них, перетворюються за певними правилами. Тобто. Рівняння Максвелла є правильними рівняннями релятивістськими на відміну, наприклад, від рівнянь механіки Ньютона.

Рівняння Максвелла несиметричні щодо електричного та магнітного полів. Це пов'язано з тим, що у природі електричні заряди існують, а магнітні заряди немає.

З рівнянь Максвелла випливає важливий висновок існування принципово нового явища: електромагнітне поле здатне існувати самостійно – без електричних зарядів і струмів. При цьому зміна його обов'язково має хвильовий характер. Поля цього називають електромагнітними хвилями. У вакуумі вони завжди поширюються зі швидкістю рівної швидкості світла. Теорія Максвелла передбачила існування електромагнітних хвиль і дозволила встановити всі основні властивості.