Рівняння, що описує гармонічні коливання. Коливальний рух

Змінюється у часі за синусоїдальним законом:

де х- Значення коливається в момент часу t, А- Амплітуда, ω - Кругова частота, φ - Початкова фаза коливань, ( φt + φ ) - повна фаза коливань. При цьому величини А, ω і φ - Постійні.

Для механічних коливань величиною, що коливається. хє, зокрема, зміщення і швидкість, для електричних коливань - напруга та сила струму.

Гармонічні коливання займають особливе місце серед усіх видів коливань, тому що це єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється при проходженні через будь-яке однорідне середовище, тобто хвилі, що поширюються від джерела гармонійних коливань, також гармонійними. Будь-яке негармонійне коливання може бути представлене у вигляді сум (інтеграла) різних гармонійних коливань (у вигляді спектру гармонійних коливань).

Перетворення енергії за гармонійних коливань.

У процесі коливань відбувається перехід потенційної енергії W pу кінетичну W kі навпаки. У положенні максимального відхилення положення рівноваги потенційна енергія максимальна, кінетична дорівнює нулю. У міру повернення до положення рівноваги швидкість тіла, що коливається, зростає, а разом з нею зростає і кінетична енергія, досягаючи максимуму в положенні рівноваги. Потенційна енергія у своїй падає до нуля. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, яка падає до нуля, коли відхилення досягає свого другого максимуму. Потенційна енергія тут збільшується до свого початкового (максимального) значення (за відсутності тертя). Таким чином, коливання кінетичної та потенційної енергій відбуваються з подвоєною (порівняно з коливаннями самого маятника) частотою і знаходяться в протифазі (тобто між ними існує зсув фаз, рівний π ). Повна енергія коливань Wзалишається незмінною. Для тіла, що коливається під дією сили пружності, вона дорівнює:

де v m- максимальна швидкість тіла (у положенні рівноваги), х m = А- Амплітуда.

Через наявність тертя та опору середовища вільні коливання згасають: їх енергія та амплітуда з часом зменшуються. Тому практично частіше використовують не вільні, а вимушені коливання.

Ми розглянули кілька фізично різних систем, і переконалися, що рівняння руху наводяться до однієї й тієї формі

Відмінності між фізичними системами виявляються лише у різному визначенні величини і в різному фізичному сенсі змінної x: це може бути координата, кут, заряд, струм і т. д. Зазначимо, що при цьому, як випливає із самої структури рівняння (1.18), величина завжди має розмірність зворотного часу.

Рівняння (1.18) описує так звані гармонійні коливання.

Рівняння гармонійних коливань (1.18) є лінійним диференціальним рівнянням другого порядку (оскільки воно містить другу похідну від змінної) x). Лінійність рівняння означає, що

якщо якась функція x(t)є рішенням цього рівняння, то функція Cx(t)також буде його рішенням ( C- Довільна постійна);

якщо функції x 1 (t)і x 2 (t)є рішеннями цього рівняння, їх сума x 1 (t) + x 2 (t)також буде вирішенням того ж рівняння.

Доведено також математичну теорему, згідно з якою рівняння другого порядку має два незалежні рішення. Всі інші рішення, згідно з властивостями лінійності, можуть бути отримані як їх лінійні комбінації. Безпосереднім диференціюванням легко перевірити, чи незалежні функції задовольняють рівняння (1.18). Отже, загальне рішення цього рівняння має вигляд:

де C 1 ,C 2- Довільні постійні. Це рішення може бути подане і в іншому вигляді. Введемо величину

і визначимо кут співвідношеннями:

Тоді загальне рішення (1.19) записується як

Згідно з формулами тригонометрії, вираз у дужках дорівнює

Остаточно приходимо до загальному рішенню рівняння гармонійних коливаньу вигляді:

Невід'ємна величина Aназивається амплітудою коливання, - початковою фазою коливання. Весь аргумент косинуса – комбінація – називається фазою коливання.

Вирази (1.19) і (1.23) цілком еквівалентні, тому ми можемо користуватися будь-яким з них, виходячи з міркувань простоти. Обидва рішення є періодичними функціями часу. Справді, синус та косинус періодичні з періодом . Тому різні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу t*, за який фаза коливання отримує приріст, кратне :

Звідси слідує що

Найменша з цих часів

називається періодом коливань (рис. 1.8), а - його круговий (циклічний) частотою.

Рис. 1.8.

Використовують також частоту вагань

Відповідно, кругова частота дорівнює числу коливань за секунд.

Отже, якщо система в момент часу tхарактеризується значенням змінної x(t),те ж саме значення, змінна буде мати через проміжок часу (рис.1.9), тобто

Це значення, природно, повториться через час 2T, ЗTі т.д.

Рис. 1.9. Період коливань

До загального рішення входять дві довільні постійні ( C 1 , C 2або A, a), значення яких повинні визначатися двома початковими умовами. Зазвичай (хоч і не обов'язково) їхню роль відіграють початкові значення змінної x(0)та її похідною.

Наведемо приклад. Нехай рішення (1.19) рівняння гармонійних коливань визначає рух пружинного маятника. Значення довільних постійних залежить від способу, яким ми вивели маятник зі стану рівноваги. Наприклад, ми відтягли пружину на відстань і відпустили кульку без початкової швидкості. В цьому випадку

Підставляючи t = 0в (1.19), знаходимо значення постійної З 2

Рішення, таким чином, має вигляд:

Швидкість вантажу знаходимо диференціюванням за часом

Підставляючи сюди t = 0, знаходимо постійну З 1:

Остаточно

Порівнюючи з (1.23), знаходимо, що - це амплітуда коливань, яке початкова фаза дорівнює нулю: .

Виведемо тепер маятник із рівноваги іншим способом. Вдаримо по вантажу, так що він придбає початкову швидкість, але практично не зміститься за час удару. Маємо тоді інші початкові умови:

наше рішення має вигляд

Швидкість вантажу змінюватиметься згідно із законом:

Підставимо сюди:

Рухи, які мають той чи інший ступінь повторюваності, називаються коливаннями.

Якщо значення фізичних величин, що змінюються в процесі руху, повторюються через рівні проміжки часу, такий рух називається періодичним. Залежно від фізичної природи коливального процесу розрізняють механічні та електромагнітні коливання. За способом порушення коливання ділять на: вільні(Власні), що відбуваються в представленій самій собі системі біля положення рівноваги після будь-якого первісного впливу; вимушені- що відбуваються при періодичному зовнішньому впливі.

Умови виникнення вільних коливань: а) при виведенні тіла із положення рівноваги в системі повинна виникнути сила, яка прагне повернути його в положення рівноваги; б) сили тертя у системі мають бути досить малі.

А плітка А – модуль максимального відхилення точки, що коливається від положення рівноваги.

Коливання точки, що відбуваються з постійною амплітудою, називають незатухаючими, а коливання з амплітудою, що поступово зменшується – загасаючими.

Час, протягом якого відбувається повне коливання, називають періодом(Т).

Частотою періодичних коливань називають число повних коливань, що здійснюються за одиницю часу:

Одиниця частоти коливань - герц(Гц). Герц - це частота коливань, період яких дорівнює 1 с: 1 Гц = 1 с -1.

Циклічноюабо круговою частотоюперіодичних коливань називається число повних коливань, що здійснюються за час 2p з: . = Рад/с.

Гармонійні– це такі коливання, що описуються періодичним законом:

або (1)

де – величина, що періодично змінюється (зсув, швидкість, сила і т.д.), А – амплітуда.

Система, закон руху якої має вигляд (1), називається гармонічним осцилятором . Аргумент синуса чи косинуса називається фазою коливань.Фаза коливання визначає усунення в момент часу t. Початкова фаза визначає зміщення тіла на момент початку відліку часу.

Розглянемо усунення xколивається тіла щодо положення рівноваги. Рівняння гармонійного коливання:

Перша похідна від часу дає вираз для швидкості руху тіла: ; (2)

Швидкість досягає свого максимального значення в момент часу, коли =1: . Зміщення точки в цей момент рано нулю = 0 (рис. 17.1, б).

Прискорення змінюється згодом також за гармонійним законом:

де - максимальне значення прискорення. Знак мінус означає, що прискорення спрямоване у бік, протилежний зсуву, тобто. прискорення та зміщення змінюються у протифазі (рис. 17.1 в). Видно, що швидкість досягає максимального значення, коли точка, що коливається, проходить положення рівноваги. У цей момент усунення і прискорення дорівнюють нулю.

1.18. ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Визначення гармонійних коливань. Характеристики гармонійних коливань: усунення положення рівноваги, амплітуда коливань, фаза коливання, частота і період коливань. Швидкість і прискорення точки, що коливається. Енергія гармонійного осцилятора. Приклади гармонійних осциляторів: математичний, пружинний, крутильний та фізичний ський маятники.

Акустика, радіотехніка, оптика та інші розділи науки та техніки базуються на вченні про коливання та хвилі. Велику роль грає теорія коливань у механіці, особливо у розрахунках на міцність літальних апаратів, мостів, окремих видів машин і вузлів.

Коливання є процесами, що повторюються через однакові проміжки часу (при цьому далеко не всі процеси, що повторюються, є коливаннями!). Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розрізняють коливання механічні, електромагнітні, електромеханічні і т.п. При механічних коливаннях періодично змінюються положення та координати тіл.

Повертаюча сила - Сила, під дією якої відбувається коливальний процес. Ця сила прагне тіло чи матеріальну точку, відхилену від стану спокою, повернути у вихідне становище.

Залежно від характеру впливу на тіло, що вагається, розрізняють вільні (або власні) коливання і вимушені коливання.

Залежно від характеру впливу на систему, що коливається, розрізняють вільні коливання, вимушені, автоколивання і параметричні коливання.

Вільними (Власними) коливаннями називаються такі коливання, які у системі, наданої самої собі після того, як їй було повідомлено поштовх, чи було виведено зі становища рівноваги, тобто. коли на тіло, що коливається, діє тільки повертаюча сила. Прикладом можуть служити коливання кульки, підвішеної на нитці. Для того, щоб викликати коливання, треба або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її. У тому випадку, якщо не відбувається розсіювання енергії, вільні коливання незатухають. Проте, реальні коливальні процеси загасають, т.к. на тіло, що вагається, діють сили опору руху (в основному сили тертя).

· Вимушеними називаються такі коливання, в процесі яких система, що коливається, піддається впливу зовнішньої періодично змінюється сили (наприклад, коливання моста, що виникають при проходженні по ньому людей, що крокують в ногу). У багатьох випадках системи роблять коливання, які вважатимуться гармонійними.

· Автоколивання , як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на систему зовнішніх сил, що коливається, однак, моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються самої коливається системою. Тобто система сама управляє зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, в якому маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

· Параметричні коливання здійснюються при періодичній зміні параметрів системи, що коливається (качається на гойдалках людина періодично піднімає і опускає свій центр тяжіння, тим самим змінюючи параметри системи). За певних умов система стає нестійкою - випадкове відхилення з положення рівноваги призводить до виникнення і наростання коливань. Це називається параметричним порушенням коливань (тобто. коливання порушуються з допомогою зміни параметрів системи), а самі коливання – параметрическими.

Попри різну фізичну природу, для коливань характерні одні й самі закономірності, які досліджуються загальними методами. Важливою кінематичною характеристикою форма коливань. Вона визначається видом тієї функції часу, яка визначає зміну тієї чи іншої фізичної величини при коливаннях. Найбільш важливими є такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса чи косинуса . Вони називаються гармонійними .

Гармонічними коливанняминазиваються коливання, при яких фізична величина, що коливається, змінюється за законом синуса (або косинуса).

Цей вид коливань особливо важливий з таких причин. По-перше, коливання в природі та в техніці часто мають характер дуже близьких до гармонійних. По-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладення, або суперпозиція, гармонійних коливань.

Рівняння гармонійного осцилятора

Гармонічне коливання описується періодичним законом:

Рис. 18.1. Гармонічне коливання

З

десь
- характеризує зміна будь-якої фізичної величини при коливаннях (зсув положення маятника з положення рівноваги; напруга на конденсаторі в коливальному контурі і т.д.), A - амплітуда коливань ,
- фаза коливань , - початкова фаза ,
- циклічна частота ; величину
називають також власною частотою коливань. Така назва підкреслює, що ця частота визначається параметрами коливальної системи. Система, закон руху якої має вигляд (18.1), називається одновимірним гармонічним осцилятором . Крім перерахованих величин для характеристики коливань вводять поняття періоду , тобто. часу одного вагання.

(Періодом коливань T називається найменший проміжок часу, після якого повторюються стану коливається системи (здійснюється одне повне коливання) і фаза коливання отримує збільшення 2p).

і частоти
, Що визначає кількість коливань в одиницю часу За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Цю одиницю називають герцем (Гц ).

Частотою коливаньn називається величина обернена до періоду коливань - число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу.

Амплітуда- максимальне значення усунення чи зміни змінної величини при коливальному чи хвильовому русі.

Фаза коливань- аргумент періодичної функції або описує гармонійний коливальний процес (ω-кутова частота, t- Час, - Початкова фаза коливань, тобто фаза коливань у початковий момент часу t = 0).

Перша і друга похідні за часом від величини, що гармонічно коливається, також здійснюють гармонічні коливання тієї ж частоти:

У разі за основу взято рівняння гармонійних коливань, записане за законом косинуса. При цьому перше з рівнянь (18.2) описує закон, за яким змінюється швидкість коливається матеріальної точки (тіла), друге рівняння описує закон, за яким змінюється прискорення точки, що коливається (тіла).

Амплітуди
і
рівні відповідно
і
. Коливання
випереджає
по фазі на; а коливання
випереджає
на . Значення Aі можуть бути визначені із заданих початкових умов
і
:

,
. (18.3)

Енергія коливань осцилятора

П

Рис. 18.2. Пружинний маятник

оглянемо тепер, що відбуватиметься з енергією коливань . Як приклад гармонійних коливань розглянемо одномірні коливання, які здійснюють тіло маси m під дією пружною сили
(наприклад, пружинний маятник, див. рис. 18.2). Сили іншої природи, ніж пружні, але у яких виконується умова F = -kx, називаються квазіпружними.Під дією цих сил тіла також здійснюють гармонійні коливання. Нехай:

усунення:
швидкість:
прискорення:

Тобто. рівняння таких коливань має вигляд (18.1) із власною частотою
. Квазіпружна сила є консервативної . Тому повна енергія таких гармонійних коливань має залишатися постійною. У процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії E доу потенційну E пі навпаки, причому у моменти найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія дорівнює максимальному значенню потенційної енергії, а при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія дорівнює максимальному значенню кінетичної енергії. З'ясуємо, як змінюється згодом кінетична та потенційна енергія:

Кінетична енергія:

Потенційна енергія:

(18.5)

З огляду на те, що тобто. , Останній вираз можна записати у вигляді:

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання виявляється постійною. Зі співвідношень (18.4) і (18.5) також випливає, що середні значення кінетичної та потенційної енергії дорівнюють один одному і половині повної енергії, оскільки середні значення
і
за період дорівнюють 0,5. Використовуючи тригонометричні формули, можна отримати, що кінетична та потенційна енергія змінюються із частотою
, тобто. з частотою вдвічі перевищує частоту гармонійного коливання.

Як приклади гармонійного осцилятора можуть бути пружинний, фізичний, математичний маятники і крутильні маятники.

1. Пружинний маятник- це вантаж масою m, який підвішений на абсолютно пружній пружині та здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = -kx, де k - жорсткість пружини. З формули (18.8) випливає, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання за законом х = Асоs(ω 0 t+φ) з циклічною частотою

(18.9) та періодом

(18.10) Формула (18.10) правильна для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука, т. е. якщо маса пружини мала проти масою тіла. Потенційна енергія пружинного маятника, використовуючи (18.9) та формулу потенційної енергії попереднього розділу, дорівнює (див.18.5)

2. Фізичний маятник- це тверде тіло, яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі, яка проходить через точку О, яка не збігається з центром мас тіла (рис. 1).

Рис.18.3 Фізичний маятник

Якщо маятник з положення рівноваги відхилили на деякий кут α, то, використовуючи рівняння динаміки обертального руху твердого тіла, момент M сили, що повертає (18.11) де J - момент інерції маятника щодо осі, яка проходить через точку підвісу О, l - відстань між віссю і центром мас маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - повертаюча сила (знак мінус вказує на те, що напрямки F τ і α завжди протилежні; малі кути). Рівняння (18.11) запишемо як

Або Приймаючи (18.12) отримаємо рівняння

Ідентичне з (18.8), рішення якого знайдемо та запишемо як:

(18.13) З формули (18.13) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою 0 і періодом

(18.14) де введено величину L=J/(m l) - . Точка О" на продовженні прямої ОС, яка віддалена від точки Про підвісу маятника на відстані наведеної довжини L, називається центром коливаньфізичного маятника (рис. 18.3). Застосовуючи теорему Штейнера на момент інерції осі, знайдемо

Т. е. ГО" завжди більше ОС. Точка підвісу Про маятника і центр хитань О" мають властивість взаємозамінності: якщо точку підвісу перенести в центр коливань, то колишня точка Про підвіс буде новим центром коливань, і при цьому не зміниться період коливань фізичного маятника.

3. Математичний маятник- це ідеалізована система, що складається з матеріальної точки масою m, яка підвішена на нерозтяжній невагомій нитці, яка коливається під дією сили тяжіння. Хороше наближення математичного маятника є невелика важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці. Момент інерції математичного маятника

(8) де l- Довжина маятника.

Оскільки математичний маятник є окремим випадком фізичного маятника, якщо припустити, що вся його маса зосереджена в одній точці - центрі мас, то, підставивши (8) в (7), знайдемо вираз для періоду малих коливань математичного маятника (18.15) Зіставляючи формули (18.13) ) та (18.15), бачимо, що якщо наведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині lматематичного маятника, то періоди коливань цих маятників однакові. Значить, наведена довжина фізичного маятника- Це довжина такого математичного маятника, у якого період коливань збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Для математичного маятника (матеріальної точки масою m, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці завдовжки lу полі сили тяжіння з прискоренням вільного падіння рівним g) при малих кутах відхилення (що не перевищують 5-10 кутових градусів) від положення рівноваги власна частота коливань:
.

4. Тіло, підвішене на пружній нитці або іншому пружному елементі, що здійснює коливання в горизонтальній площині, є крутильний маятник.

Ця механічна коливальна система, яка використовує сили пружних деформацій. На рис. 18.4 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора, що здійснює крутильні коливання. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

де I = IC- момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією із вантажем на пружині можна отримати.

Загальні відомості про коливання

Глава 6 Коливальний рух

Коливанняминазиваються процеси, що відрізняються тим чи іншим ступенем повторюваності.

Такою властивістю повторюваності володіють, наприклад, коливання маятника годинника, коливання струни або ніжок камертону, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача і т.п.

Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розрізняють коливання:

- Механічні;

- Електромагнітні;

- електромеханічні і т.д.

Залежно від характеру впливу на систему, що коливається, розрізняють:

- вільні (або власні);

- Вимушені;

- Автоколивання;

- Параметричні коливання.

Вільнимиабо власниминазиваються такі коливання, що відбуваються у системі, наданої самої собі після того, як їй було повідомлено поштовх або вона була виведена із положення рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, підвішеного на нитки (маятник).

Вимушениминазиваються такі коливання, у процесі яких коливається система піддається впливу зовнішньої сили, що періодично змінюється.

Автоколиваннясупроводжуються впливом на систему зовнішніх сил, що коливається, проте моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються самої коливається системою - система сама керує зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, в якому маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

При параметричнихколиваннях за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи, наприклад, довжини нитки маятника.

Найпростішими є гармонійні коливання, Т. е. такі коливання, при яких коливається величина (наприклад, відхилення маятника) змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Найважливішим серед коливальних рухів є так званий простий чи гармонійний коливальний рух.

Характер такого руху найкраще розкривається за допомогою наступної кінематичної моделі. Припустимо, що геометрична точка Mрівномірно обертається по колу радіусу a з постійною кутовою швидкістю (рис. 6.1). Її проекція Nна діаметр, наприклад, на вісь X, здійснюватиме коливальний рух від крайнього становища до іншого крайнього становища і назад. Таке коливання точки Nназивають простим чи гармонійним коливанням.

Щоб його описати, треба знайти координату xкрапки Nяк функцію часу t. Припустимо, що у початковий момент часу радіус OM утворив із віссю Xкут. Через час t цей кут отримає приріст і стане рівним. З рис. 6.1. видно що

. (6.1)

Це формула і описує аналітично гармонійний коливальний рух точки Nвздовж діаметра.

Величина aдає максимальне відхилення коливається точки від положення рівноваги. Вона називається амплітудоюколивання. Розмір 0 називається циклічною частотою. Величину називають фазоюколивання, та її значення при , т. е. величину – початковийфазою. По закінченню часу

фаза отримує збільшення , а точка, що коливається, повертається у своє вихідне положення зі збереженням початкового напрямку руху. Час Tназивається періодом коливання.

Швидкість точки, що коливається, знайдеться диференціюванням виразу (6.1) за часом. Це дає

Диференціюючи вдруге, отримуємо прискорення

або, використовуючи (6.1),

Сила, що діє на матеріальну точку при гармонійному коливанні, дорівнює

. (6.6)

Вона пропорційна відхиленню x і має протилежний напрямок. Вона завжди спрямована на положення рівноваги.

Розглянемо гармонійні коливання вантажу на пружині, один кінець якої закріплений, а до іншого підвішено тіло маси m(Рис. 6.2). Нехай - Довжина не деформованої пружини. Якщо пружину розтягнути чи стиснути до довжини l, то виникає сила F, що прагне повернути тіло в положення рівноваги. При невеликих розтягуваннях справедлива закон Гука- Сила пропорційна розтягуванню пружини: . У цих умовах рівняння руху тіла має вигляд

Постійна kназивається коефіцієнтомпружності чи жорсткості пружини. Знак мінус означає, що сила Fспрямована у бік, протилежний зсуву x, Т. е. до положення рівноваги.

При виведенні рівняння (6.7) передбачалося, що інші сили на тіло не діють. Покажемо, що тому рівнянню підпорядковується рух тіла, підвішеного на пружині в однорідному полі тяжкості. Позначимо в цьому випадку буквою Xподовження пружини, тобто різницю . Пружина тягне вантаж нагору з силою, сила тяжіння – вниз. Рівняння руху має вигляд

Нехай означає подовження пружини у положенні рівноваги. Тоді . Виключаючи вагу, отримаємо . Ведемо позначення, тоді рівняння руху набуде колишнього вигляду (6.7). Величина x, як і раніше, означає зміщення вантажу з положення рівноваги. Однак положення рівноваги зміщується під дією сили тяжіння. З іншого боку, за наявності тяжкості змінюється значення величини . Тепер вона означає рівнодіючу сил натягу пружини та ваги вантажу. Але все це не торкається математичної сторони процесу. Тому можна міркувати так, ніби сили тяжіння зовсім не було. Так ми й зробимо.

Результуюча сила має такий самий вигляд, як і сила у виразі (6.6). Якщо покласти , то рівняння (6.7) перейде до

. (6.8)

Це рівняння збігається з рівнянням (6.5). Функція (6.1) є рішенням такого рівняння за будь-яких постійних значень aта a. Це загальне рішення. З викладеного випливає, що вантаж на пружині здійснюватиме гармонійні коливання з круговою частотою

та періодом

. (6.10)

Коливання, що описуються рівнянням (6.8) є вільними(або власними).

Потенційна та кінетична енергії тіла даються виразами

. (6.11)

Кожна змінюється у часі. Проте їхня сума Eу часі має залишатися постійною:

(6.12)

Все викладене тут можна застосувати до гармонійних коливань будь-яких механічних систем з одним ступенем свободи. Миттєве положення механічної системи з одним ступенем свободи може бути визначене за допомогою будь-якої однієї величини q, званої узагальненою координатою, наприклад, кута повороту, зміщення вздовж деякої лінії та ін Похідна узагальненої координати за часом називається узагальненою швидкістю. При розгляді коливань механічних систем з одним ступенем свободи за вихідне зручніше брати не рівняння руху Ньютона, а рівняння енергії. Припустимо, що механічна система така, що її потенційна та кінетична енергії виражаються формулами виду

, (6.14)

де d та b – позитивні постійні (параметри системи). Тоді закон збереження енергії призводить до рівняння

. (6.15)

Воно відрізняється від рівняння (6.12) лише позначеннями, що з математичному розгляді немає значення. З математичної тотожності рівнянь (6.12) і (6.15) випливає, як і загальні рішення однакові. Тому якщо рівняння енергії наводиться до виду (6.15), то

, (6.16)

тобто узагальнена координата qздійснює гармонійне коливання з круговою частотою