Ймовірністюподії називається відношення числа елементарних результатів, які сприяють даній події, до всіх рівноможливих результатів досвіду в якому може з'явитися ця подія. Імовірність події А позначають через Р(А) (тут Р – перша літера французького слова probabilite – ймовірність). Відповідно до визначення
(1.2.1)
де - Число елементарних результатів, що сприяють події А; - Число всіх рівноможливих елементарних результатів досвіду, що утворюють повну групу подій.
Це визначення ймовірності називають класичним. Воно виникло початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

Імовірність події має такі властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці. Позначимо достовірну подію літерою. Для достовірної події , тому
(1.2.2)
2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю. Позначимо неможливу подію літерою. Для неможливої ​​події , тому
(1.2.3)
3. Імовірність випадкової події виражається позитивним числом, меншим за одиницю. Оскільки для випадкової події виконуються нерівності , або , то
(1.2.4)
4. Імовірність будь-якої події задовольняє нерівності
(1.2.5)
Це випливає із співвідношень (1.2.2) -(1.2.4).

приклад 1.У урні 10 однакових за розмірами та вагою куль, з яких 4 червоні та 6 блакитні. з урни витягується одна куля. Яка ймовірність того, що витягнута куля виявиться блакитною?

Рішення. Подія "витягнута куля виявилася блакитною" позначимо буквою А. Дане випробування має 10 рівноможливих елементарних результатів, з яких 6 сприяють події А. Відповідно до формули (1.2.1) отримуємо

приклад 2.Усі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках та поміщені до скриньки. Після ретельного перемішування карток із урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться кратним 5?

Рішення.Позначимо через А подію "число на взятій картці кратно 5". У цьому випробуванні є 30 рівноможливих елементарних результатів, у тому числі події А сприяють 6 результатів (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Отже,

приклад 3.Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Знайти ймовірність події, що полягає в тому, що на верхніх гранях кубиків в сумі буде 9 очок.

Рішення.У цьому випробуванні всього 62 = 36 рівноможливих елементарних результатів. Події У сприяють 4 результати: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), тому

Приклад 4. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 10. Яка ймовірність того, що це число є простим?

Рішення.Позначимо літерою З подія "вибране число є простим". У разі n = 10, m = 4 (прості числа 2, 3, 5, 7). Отже, шукана ймовірність

Приклад 5.Підкидаються дві симетричні монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на верхніх сторонах обох монет опинилися цифри?

Рішення.Позначимо літерою D подію "на верхній стороні кожної монети виявилася цифра". У цьому випробуванні 4 рівноможливі елементарні результати: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запис (Г, Ц) означає, що у першій монеті герб, другого - цифра). Події D сприяє один елементарний результат (Ц, Ц). Оскільки m = 1, n = 4, то

Приклад 6.Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Рішення.Двозначними числами є числа від 10 до 99; всього таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (це числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так як у цьому випадку m = 9, n = 90, то
,
де А - подія "число з однаковими цифрами".

Приклад 7.З літер слова диференціалнавмання вибирається одна літера. Яка ймовірність того, що ця літера буде: а) гласною, б) згодною, в) літерою год?

Рішення. У слові диференціал 12 букв, з них 5 голосних і 7 приголосних. Літери году цьому слові немає. Позначимо події: А - "голосна буква", В - "згодна буква", С - "літера годЧисло сприятливих елементарних результатів: -для події А, - для події В, - для події С. Оскільки n = 12, то
, та .

Приклад 8.Підкидається два гральні кубики, відзначається число очок на верхній грані кожного кубика. Знайти ймовірність того, що на обох кубиках випало однакове число очок.

Рішення.Позначимо цю подію буквою А. Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Усього рівноможливих елементарних результатів, які утворюють повну групу подій, у разі n=6 2 =36. Отже, шукана ймовірність

Приклад 9.У книзі 300 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка матиме порядковий номер, кратний 5?

Рішення.З умови завдання випливає, що всіх рівноможливих елементарних наслідків, що утворюють повну групу подій, буде n = 300. З них m = 60 сприяють настанню вказаної події. Дійсно, номер, кратний 5, має вигляд 5k, де k -натуральне число, причому , звідки . Отже,
, де А - подія "сторінка" має порядковий номер, кратний 5".

Приклад 10. Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше -отримати в сумі 7 або 8?

Рішення. Позначимо події: А – "випало 7 очок", В – "випало 8 очок". Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а події - 5 результатів: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Усіх рівноможливих елементарних результатів n = 6 2 = 36. Значить, та .

Отже, Р(А)>Р(В), тобто одержати в сумі 7 очок - більш імовірну подію, ніж одержати в сумі 8 очок.

Завдання

1. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число кратне 3?
2. В урні aчервоних та bблакитних куль, однакових за розмірами та вагою. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання витягнута куля з цієї урни виявиться блакитною?
3. Наудачу вибрано число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число є дільником зо?
4. У урні аблакитних та bчервоних куль, однакових за розмірами та вагою. З цієї урни витягають одну кулю і відкладають убік. Ця куля виявилася червоною. Після цього з урни виймають ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що друга куля також червона.
5. Наудачу вибрано наryральне число, що не перевищує 50. Яка ймовірність того, що це число є простим?
6. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше - отримати в сумі 9 чи 10 очок?
7. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок, що випали. Що найімовірніше - отримати у сумі 11 (подія А) чи 12 очок (подія В)?

Відповіді

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - можливість отримати у сумі 9 очок; p 2 = 27/216 - можливість отримати у сумі 10 очок; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Запитання

1. Що називають ймовірністю події?
2. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?
3. Чому дорівнює ймовірність неможливої ​​події?
4. У яких межах є можливість випадкової події?
5. У яких межах є можливість будь-якої події?
6. Яке визначення ймовірності називають класичним?

Професійний беттер повинен добре орієнтуватися в коефіцієнтах, швидко та правильно оцінювати ймовірність події за коефіцієнтомі за необхідності вміти перевести коефіцієнти з одного формату до іншого. У даному мануалі ми розповімо про те, які бувають види коефіцієнтів, а також на прикладах розберемо, як можна вираховувати ймовірність за відомим коефіцієнтомі навпаки.

Які типи коефіцієнтів?

Існує три основні види коефіцієнтів, які пропонують гравцям букмекери: десяткові коефіцієнти, дробові коефіцієнти(англійські) та американські коефіцієнти. Найбільш поширені коефіцієнти у Європі – десяткові. У Північній Америці популярні американські коефіцієнти. Дробові коефіцієнти - найбільш традиційний вид, вони відразу ж відображають інформацію про те, скільки потрібно поставити, щоб отримати певну суму.

Десятні коефіцієнти

Десятковіабо ще їх називають європейські коефіцієнти- це звичний формат числа, представлений десятковим дробом з точністю до сотих, інколи ж навіть до тисячних. Приклад десяткового коефіцієнта – 1.91. Розрахувати прибуток у випадку з десятковими коефіцієнтами дуже просто, достатньо лише помножити суму вашої ставки на цей коефіцієнт. Наприклад, у матчі "Манчестер Юнайтед" – "Арсенал" перемога "МЮ" виставлена ​​з коефіцієнтом – 2.05, нічия оцінена коефіцієнтом – 3.9, а перемога "Арсеналу" дорівнює – 2.95. Припустимо, що ми впевнені у перемозі "Юнайтед" та ставимо на них 1000 доларів. Тоді наш можливий дохід розраховується так:

2.05 * $1000 = $2050;

Адже правда нічого складного?! Так само розраховується можливий дохід при ставці на нічию та перемогу "Арсеналу".

Нічия: 3.9 * $1000 = $3900;
Перемога "Арсеналу": 2.95 * $1000 = $2950;

Як розрахувати ймовірність події за десятковими коефіцієнтами?

Уявимо тепер, що нам потрібно визначити ймовірність події за десятковими коефіцієнтами, які виставив букмекер. Робиться це дуже просто. І тому ми одиницю ділимо цей коефіцієнт.

Візьмемо вже наявні дані та порахуємо ймовірність кожної події:

Перемога "Манчестер Юнайтед": 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Нічия: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Перемога "Арсеналу": 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Дробові коефіцієнти (Англійські)

Як відомо з назви дробовий коефіцієнтпредставлений звичайним дробом. Приклад англійського коефіцієнта – 5/2. У чисельнику дробу знаходиться число, що є потенційною сумою чистого виграшу, а в знаменнику розташоване число, яке означає суму, яку потрібно поставити, щоб цей виграш отримати. Простіше кажучи, ми повинні поставити $2 долари, щоб виграти $5. Коефіцієнт 3/2 означає, що для того, щоб отримати $3 чистого виграшу, нам доведеться зробити ставку в розмірі $2.

Як розрахувати ймовірність події за дробовими коефіцієнтами?

Імовірність події за дробовими коефіцієнтами розрахувати так само не складно, потрібно всього лише розділити знаменник на суму чисельника та знаменника.

Для дробу 5/2 розрахуємо ймовірність: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Для дробу 3/2 розрахуємо ймовірність:

Американські коефіцієнти

Американські коефіцієнтив Європі непопулярні, зате в Північній Америці дуже. Мабуть, цей вид коефіцієнтів найскладніший, але це лише на перший погляд. Насправді, і в цьому типі коефіцієнтів нічого складного немає. Зараз у всьому розберемося по черзі.

Головною особливістю американських коефіцієнтів є те, що вони можуть бути як позитивними, так і негативними. Приклад американських коефіцієнтів – (+150), (-120). Американський коефіцієнт (+150) означає, що для того, щоб заробити $150, нам потрібно поставити $100. Іншими словами, позитивний американський коефіцієнт відображає потенційний чистий заробіток при ставці в $100. Негативний американський коефіцієнт відображає суму ставки, яку необхідно зробити для того, щоб отримати чистий виграш у $100. Наприклад, коефіцієнт (- 120) нам говорить про те, що поставивши $120 ми виграємо $100.

Як розрахувати ймовірність події за американськими коефіцієнтами?

Імовірність події за американським коефіцієнтом вважається за такими формулами:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), де M – негативний американський коефіцієнт;
100/(P+100), де P – позитивний американський коефіцієнт;

Наприклад, ми маємо коефіцієнт (-120), тоді ймовірність розраховується так:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); підставляємо замість "M" значення (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Таким чином, ймовірність події з американським коефіцієнтом (-120) дорівнює 54,5%.

Наприклад, ми маємо коефіцієнт (+150), тоді ймовірність розраховується так:

100/(P+100); підставляємо замість "P" значення (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Таким чином, ймовірність події з американським коефіцієнтом (+150) дорівнює 40%.

Як знаючи відсоток ймовірності перевести його на десятковий коефіцієнт?

Для того щоб розрахувати десятковий коефіцієнт за відомим відсотком ймовірності потрібно 100 розділити на ймовірність події у відсотках. Наприклад, ймовірність події становить 55%, тоді десятковий коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме 1,81.

100 / 55% = 1,81

Як знаючи відсоток ймовірності перевести його на дробовий коефіцієнт?

Для того щоб розрахувати дробовий коефіцієнт за відомим відсотком ймовірності потрібно від поділу 100 на ймовірність події у відсотках відібрати одиницю. Наприклад, маємо відсоток ймовірності 40%, тоді дробовий коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробний коефіцієнт дорівнює 1,5/1 чи 3/2.

Як знаючи відсоток можливості перевести його в американський коефіцієнт?

Якщо ймовірність події більше 50%, то розрахунок здійснюється за такою формулою:

- ((V) / (100 - V)) * 100, де V – ймовірність;

Наприклад, маємо ймовірність події 80%, тоді американський коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Якщо ймовірність події менше 50%, то розрахунок проводиться за формулою:

((100 - V) / V) * 100, де V – ймовірність;

Наприклад, маємо відсоток ймовірності події 20%, тоді американський коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Як перевести коефіцієнт до іншого формату?

Трапляються випадки, коли необхідно перевести коефіцієнти з одного формату до іншого. Наприклад, у нас є дробовий коефіцієнт 3/2, і нам потрібно перевести його в десятковий. Для переведення дробового коефіцієнта до десяткового ми спочатку визначаємо ймовірність події з дробовим коефіцієнтом, а потім цю ймовірність переводимо до десяткового коефіцієнта.

Імовірність події з дробовим коефіцієнтом 3/2 дорівнює 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Тепер переведемо ймовірність події у десятковий коефіцієнт, для цього 100 ділимо на ймовірність події у відсотках:

100 / 40% = 2.5;

Таким чином, дробовий коефіцієнт 3/2 дорівнює десятковому коефіцієнту 2.5. Аналогічно переводяться, наприклад, американські коефіцієнти в дробові, десяткові в американські і т.д. Найскладніше у всьому цьому лише розрахунки.

Початковий рівень

Теорія імовірності. Розв'язання задач (2019)

Що таке можливість?

Зіткнувшись із цим терміном перший раз, я б не зрозумів, що це таке. Тож спробую пояснити доступно.

Імовірність – це шанс того, що станеться потрібна нам подія.

Наприклад, ти вирішив зайти до знайомого, пам'ятаєш під'їзд і навіть поверх, на якому він живе. А ось номер та розташування квартири забув. І ось стоїш ти на сходовій клітці, а перед тобою двері на вибір.

Який шанс (імовірність) того, що якщо ти зателефонуєш до перших дверей, тобі відкриє твій друг? Усього квартири, а друг живе лише за однією з них. З рівним шансом ми можемо вибрати будь-які двері.

Але який цей шанс?

Двері, потрібні двері. Можливість вгадати, зателефонувавши перші двері: . Тобто один раз із трьох ти точно вгадаєш.

Ми хочемо дізнатися, зателефонувавши раз, як часто ми вгадуватимемо двері? Давай розглянь усі варіанти:

1. Ти подзвонив у 1юдвері
2. Ти подзвонив у 2юдвері
3. Ти подзвонив у 3юдвері

А тепер розглянемо всі варіанти, де може бути друг:

а. За Першийдверима
б. За Другийдверима
в. За 3ейдверима

Зіставимо всі варіанти як таблиці. Галочкою позначені варіанти, коли твій вибір збігається з місцем розташування друга, хрестиком - коли не збігається.

Як бачиш всього можливо варіантіврозташування друга і твого вибору, в які двері дзвонити.

А сприятливих результатів всього . Тобто рази з ти вгадаєш, зателефонувавши в двері, тобто. .

Це і є ймовірність - ставлення сприятливого результату (коли твій вибір збігся з розташуванням друга) до кількості можливих подій.

Визначення - і є формула. Імовірність прийнято позначати p, тому:

Таку формулу писати не дуже зручно, тому приймемо за кількість сприятливих результатів, а за загальну кількість результатів.

Імовірність можна записувати у відсотках, для цього потрібно помножити результат, що вийшов на:

Напевно, тобі кинулося у вічі слово «виходи». Оскільки математики називають різні дії (у нас така дія – це дзвінок у двері) експериментами, то результатом таких експериментів прийнято називати результат.

Ну а результати бувають сприятливі та несприятливі.

Повернімося до нашого прикладу. Припустимо, ми зателефонували в одне з дверей, але нам відкрив незнайомий чоловік. Ми не вгадали. Яка ймовірність, що якщо подзвонимо в одну з дверей, що залишилися, нам відкриє наш друг?

Якщо ти подумав, що це помилка. Давай розбиратись.

У нас залишилося два двері. Таким чином, у нас є можливі кроки:

1) Зателефонувати до 1-шудвері
2) Подзвонити в Другудвері

Друг, при цьому, точно знаходиться за однією з них (адже за тією, в яку ми дзвонили, його не виявилося):

а) Друг за 1-ийдверима
б) Друг за Другийдверима

Давай знову намалюємо таблицю:

Як бачиш, всього є варіанти, з яких – сприятливі. Тобто ймовірність дорівнює.

А чому ні?

Розглянута нами ситуація - приклад залежних подій.Перша подія – це перший дзвінок у двері, друга подія – це другий дзвінок у двері.

А залежними вони називаються, бо впливають на наступні дії. Адже якби після першого дзвінка у двері нам відчинив друг, то якою була б ймовірність того, що він перебуває за однією з двох інших? Правильно, .

Але якщо є залежні події, то мають бути і незалежні? Мабуть, бувають.

Хрестоматійний приклад – кидання монетки.

1. Кидаємо монету разів. Яка ймовірність того, що випаде, наприклад, орел? Правильно - адже варіантів всього (або орел, або решка, знехтуємо ймовірністю монетки стати на ребро), а влаштовує нас тільки.
2. Але випала решка. Гаразд, кидаємо ще раз. Яка ймовірність випадання орла? Нічого не змінилося, так само. Скільки варіантів? Два. А скільки нас влаштовує? Один.

І хай хоч тисячу разів поспіль випадатиме решка. Імовірність випадання орла на раз буде все також. Варіантів завжди, а сприятливих – .

Відрізнити залежні події від незалежних легко:

1. Якщо експеримент проводиться раз (якщо кидають монетку, 1 раз дзвонять у двері тощо), то події завжди незалежні.
2. Якщо експеримент проводиться кілька разів (монетку кидають раз, у двері дзвонять кілька разів), то перша подія завжди є незалежною. А далі, якщо кількість сприятливих чи кількість всіх наслідків змінюється, то події залежні, а якщо ні – незалежні.

Давай трохи потренуємось визначати ймовірність.

приклад 1.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що двічі поспіль випаде орел?

Рішення:

Розглянемо всі можливі варіанти:

1. Орел-орел
2. Орел решка
3. Решка-орел
4. Решка-рішка

Як бачиш, всього варіанта. З них нас влаштовує лише. Тобто ймовірність:

Якщо в умові просять просто знайти ймовірність, то відповідь потрібно давати у вигляді десяткового дробу. Якщо було б зазначено, що відповідь потрібно дати у відсотках, тоді ми помножили б.

Відповідь:

приклад 2.

У коробці цукерок усі цукерки упаковані в однакову обгортку. Однак із цукерок - з горіхами, з коньяком, з вишнею, з карамеллю та з нугою.

Яка можливість, узявши одну цукерку, дістати цукерку з горіхами. Відповідь дайте у відсотках.

Рішення:

Скільки всього можливих наслідків? .

Тобто, взявши одну цукерку, вона буде однією з наявних у коробці.

А скільки сприятливих наслідків?

Тому що в коробці лише цукерок із горіхами.

Відповідь:

приклад 3.

У коробці куль. їх білі, - чорні.

1. Яка можливість витягнути білу кулю?
2. Ми додали до коробки ще чорних куль. Яка тепер можливість витягнути білу кулю?

Рішення:

а) У коробці всього куль. Із них білих.

Імовірність дорівнює:

б) Тепер куль у коробці стало. А білих залишилося стільки ж.

Відповідь:

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Припустимо, у ящику червоних та зелених куль. Яка можливість витягнути червону кулю? Зелена куля? Червона чи зелена куля?

Імовірність витягнути червону кулю

Зелена куля:

Червона або зелена куля:

Як бачиш, сума всіх можливих подій дорівнює (). Розуміння цього моменту допоможе тобі вирішити багато завдань.

приклад 4.

У ящику лежить фломастерів: зелений, червоний, синій, жовтий, чорний.

Яка можливість витягнути не червоний фломастер?

Рішення:

Давай порахуємо кількість сприятливих результатів.

НЕ червоний фломастер, тобто зелений, синій, жовтий або чорний.

Імовірність усіх подій. А ймовірність подій, які ми вважаємо несприятливими (коли витягнемо червоний фломастер) - .

Таким чином, можливість витягнути не червоний фломастер - .

Відповідь:

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Що таке незалежні події, ти вже знаєш.

А якщо потрібно знайти ймовірність того, що дві (або більше) незалежні події відбудуться поспіль?

Допустимо ми хочемо знати, яка ймовірність того, що кидаючи монету рази, ми двічі побачимо орла?

Ми вже рахували - .

А якщо кидаємо монету разів? Яка можливість побачити орла рази поспіль?

Усього можливих варіантів:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Не знаю як ти, але я раз помилився, складаючи цей список. Ух! А підходить нам лише варіант (перший).

Для 5 кидків можеш скласти список можливих наслідків сам. Але математики не такі працьовиті, як ти.

Тому вони спочатку помітили, а потім довели, що ймовірність певної послідовності незалежних подій щоразу зменшується на ймовірність однієї події.

Іншими словами,

Розглянемо з прикладу тієї ж, злощасної, монетки.

Імовірність випадання орла у випробуванні? . Тепер ми кидаємо монету вкотре.

Яка можливість випадання разів поспіль орла?

Це правило працює не тільки, якщо нас просять знайти ймовірність того, що відбудеться одна і та сама подія кілька разів поспіль.

Якби ми хотіли знайти послідовність РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА, при кидках поспіль, ми надійшли б також.

Імовірність випадання решка -, орла -.

Імовірність випадання послідовності РІШКА-ОРЕЛ-РІШКА-РІШКА:

Можеш перевірити сам, склавши таблицю.

Правило складання ймовірностей несумісних подій.

Так стоп! Нове визначення.

Давай розбиратись. Візьмемо нашу зношену монетку та кинемо її рази.
Можливі варіанти:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-орел-решка
3. Орел-рішка-орел
4. Орел-решка-решка
5. Решка-орел-орел
6. Решка-орел-решка
7. Решка-рішка-орел
8. Решка-решка-решка

Отож несумісні події, це певна, задана послідовність подій. – це несумісні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність двох (чи більше) несумісних подій ми складаємо ймовірності цих подій.

Потрібно зрозуміти, що випадання орла чи решки – це дві незалежні події.

Якщо хочемо визначити, яка ймовірність випадання послідовності) (чи будь-який інший), ми користуємося правилом множення ймовірностей.
Яка ймовірність випадання при першому кидку орла, а при другому та третьому реші?

Але якщо хочемо дізнатися, яка ймовірність випадання однієї з кількох послідовностей, наприклад, коли орел випаде рівно раз, тобто. варіанти і, ми повинні скласти ймовірності цих послідовностей.

Усього варіантів, нам підходить.

Те саме ми можемо отримати, склавши ймовірності появи кожної послідовності:

Таким чином, ми складаємо ймовірності, коли хочемо визначити ймовірність деяких, несумісних послідовностей подій.

Є відмінне правило, що допомагає не заплутатися, коли множити, а коли складати:

Повернемося наприклад, коли ми підкинули монету рази, і хочемо дізнатися можливість побачити орла разів.
Що має статися?

Повинні випасти:
(Орел І решка І решка) АБО (решка І орел І решка) АБО (рішка І решка І орел).
Ось і виходить:

Давайте розглянемо кілька прикладів.

Приклад 5.

У коробці лежить олівці. червоних, зелених, помаранчевих та жовтих та чорних. Яка можливість витягнути червоний або зелений олівці?

Рішення:

Що має статися? Ми повинні витягнути (червоний АБО зелений).

Тепер зрозуміло, складаємо ймовірність цих подій:

Відповідь:

Приклад 6.

Гральну кістку кидають двічі, якою є ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок?

Рішення.

Як ми можемо отримати очки?

(і) або (і) або (і) або (і) або (і).

Імовірність випадання однієї (будь-якої) грані - .

Вважаємо ймовірність:

Відповідь:

Тренування.

Думаю, тепер тобі стало зрозуміло, коли треба як рахувати ймовірності, коли їх складати, а коли множити. Чи не так? Давай трохи потренуємось.

Завдання:

Візьмемо карткову колоду, в якій карти, з них пік, хробаків, 13 треф та 13 бубон. Від туза кожної масті.

1. Яка можливість витягнути трефи поспіль (першу витягнуту карту ми кладемо назад у колоду і перемішуємо)?
2. Яка можливість витягнути чорну карту (піки або трефи)?
3. Яка можливість витягнути картинку (вальта, даму, короля чи туза)?
4. Яка можливість витягнути дві картинки поспіль (першу витягнуту карту ми прибираємо з колоди)?
5. Яка ймовірність, взявши дві карти, зібрати комбінацію - (валет, пані чи король) і туз Послідовність, у якій витягнуть карти, немає значення.

Відповіді:

1. У колоді карти кожної гідності означає:
2. Події залежать, оскільки після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшилася (як і кількість «картинок»). Усього вальтів, дам, королів і тузів у колоді спочатку, а значить ймовірність першою картою витягнути «картинку»:

   Оскільки ми прибираємо з колоди першу карту, то в колоді залишилося вже карта, з них картинок. Імовірність другою картою витягнути картинку:

   Оскільки нас цікавить ситуація, коли ми дістаємо з колоди: «картинку» та «картинку», то треба перемножувати ймовірності:

   Відповідь:

3. Після першої витягнутої карти кількість карт у колоді зменшиться. Таким чином, нам підходить два варіанти:
   1) Першою картою витягуємо Туза, другою – валета, даму чи короля
   2) Першою картою витягуємо валета, даму чи короля, другий - туза. (туз і (валет чи дама чи король)) чи ((валет чи дама чи король) і туз). Не забуваємо про зменшення кількості карт у колоді!

Якщо ти зміг сам вирішити всі завдання, то великий молодець! Тепер завдання на теорію ймовірностей в ЄДІ ти клацатимеш як горішки!

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Розглянемо приклад. Припустимо, ми кидаємо гральну кістку. Що це за така кістка, знаєш? Так називають кубик із цифрами на гранях. Скільки граней, стільки та цифр: від до скільки? До.

Отже, ми кидаємо кістку і хочемо, щоб випало чи. І нам випадає.

Теоретично ймовірностей кажуть, що сталося сприятлива подія(Не плутай з благополучним).

Якби випало, подія теж була б сприятливою. Разом може статися лише дві сприятливі події.

А скільки несприятливих? Раз всього можливих подій, значить, несприятливі з них події (це якщо випаде або).

Визначення:

Імовірністю називається відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій. Тобто можливість показує, яка частка з усіх можливих подій припадає на сприятливі.

Позначають можливість латинської буквою (мабуть, від англійського слова probability - можливість).

Прийнято вимірювати ймовірність у відсотках (див. тему , ). Для цього значення ймовірності потрібно множити. У прикладі з гральною кісткою імовірність.

На відсотках: .

Приклади (виріши сам):

1. З якою ймовірністю при киданні монетки випаде орел? А з якою ймовірністю випаде решка?
2. З якою ймовірністю при киданні гральної кістки випаде парне число? А з якою – непарне?
3. У ящику простих, синіх та червоних олівців. Навмання тягнемо один олівець. Яка можливість витягнути простий?

Рішення:

1. Скільки варіантів? Орел і решка – лише два. А скільки з них є сприятливими? Тільки один – орел. Отже, ймовірність

   З рішкою те саме: .

2. Усього варіантів: (скільки сторін у кубика, стільки й різних варіантів). Сприятливі з них: (це всі парні числа:).
   Імовірність. З непарними, природно, те саме.
3. Усього: . Сприятливих: . Можливість: .

Повна ймовірність

Усі олівці у ящику зелені. Яка можливість витягнути червоний олівець? Шансів немає: ймовірність (адже сприятливі події -).

Така подія називається неможливою.

А яка можливість витягнути зелений олівець? Сприятливих подій рівно стільки, скільки подій всього (всі події - сприятливі). Значить, ймовірність дорівнює чи.

Така подія називається достовірною.

Якщо в ящику зелених та червоних олівців, яка ймовірність витягнути зелений чи червоний? Знову ж. Зауважимо таку річ: можливість витягнути зелений дорівнює, а червоний - .

У сумі ці ймовірності рівні рівно. Тобто, сума ймовірностей всіх можливих подій дорівнює або.

Приклад:

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість не витягнути зелений?

Рішення:

Пам'ятаємо, що всі ймовірності у сумі дають. А можливість витягнути зелений дорівнює. Отже, можливість не витягнути зелений дорівнює.

Запам'ятай цей прийом:ймовірність того, що подія не відбудеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Незалежні події та правило множення

Ти кидаєш монетку разу, і хочеш, щоб обидва рази випав орел. Яка ймовірність цього?

Давай переберемо всі можливі варіанти та визначимо, скільки їх:

Орел-Орел, Решка-Орел, Орел-Рішка, Решка-Рішка. Які ще?

Усього варіанта. З них нам підходить лише один: Орел-Орел. Отже, ймовірність дорівнює.

Добре. А тепер кидаємо монету разів. Порахуй сам. Вийшло? (Відповідь).

Ти міг помітити, що з додаванням кожного наступного кидка можливість зменшується в рази. Загальне правило називається правилом множення:

Імовірності незалежних подій змінюються.

Що таке незалежні події? Все логічно: це ті, що не залежать один від одного. Наприклад, коли ми кидаємо монету кілька разів, щоразу робиться новий кидок, результат якого не залежить від усіх попередніх кидків. З таким самим успіхом ми можемо кидати одночасно дві різні монетки.

Ще приклади:

1. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що обидва рази випаде?
2. Монетку кидають рази. Яка ймовірність, що вперше випаде орел, а потім двічі решка?
3. Гравець кидає дві кістки. Яка ймовірність, що сума чисел на них дорівнюватиме?

Відповіді:

1. Події незалежні, отже, працює правило множення: .
2. Імовірність орла дорівнює. Імовірність решітки – теж. Перемножуємо:
3. 12 може вийти тільки, якщо випадуть дві-ки: .

Несумісні події та правило додавання

Несумісними називаються події, які доповнюють одна одну до ймовірності. З назви видно, що вони можуть статися одночасно. Наприклад, якщо кидаємо монету, може випасти або орел, або решка.

приклад.

У коробці олівців, у тому числі синіх, червоних, зелених, простих, жовтий, інші - оранжеві. Яка можливість витягнути зелений чи червоний?

Рішення .

Імовірність витягнути зелений олівець дорівнює. Червоний - .

Сприятливих подій: зелених + червоних. Отже, можливість витягнути зелений чи червоний дорівнює.

Цю ж можливість можна у вигляді: .

Це і є правило додавання:ймовірності несумісних подій складаються.

Завдання змішаного типу

приклад.

Монетку кидають двічі. Яка ймовірність того, що результат кидків буде різним?

Рішення .

Мається на увазі, якщо першим випав орел, другий має бути решка, і навпаки. Виходить, що тут дві пари незалежних подій і ці пари одна з одною несумісні. Як би не заплутатися, де множити, а де складати.

Існує просте правило для таких ситуацій. Спробуй описати, що має статися, поєднуючи події спілками «І» чи «АБО». Наприклад, у цьому випадку:

Повинні випасти (орел та решка) або (решка та орел).

Там де стоїть союз «і», буде множення, а там де «або» – додавання:

Спробуй сам:

1. З якою ймовірністю при двох киданнях монетки обидва рази випаде один і той же бік?
2. Гральну кістку кидають двічі. Яка ймовірність, що у сумі випаде очок?

Рішення:

1. (Випав орел і випав орел) або (випала решка та випала решка): .
2. Які є варіанти? в. Тоді:
   Випало (і) або (і) або (і): .

Ще приклад:

Кидаємо монету рази. Яка ймовірність, що хоча б один раз випаде орел?

Рішення:

Ой, як не хочеться перебирати варіанти… Орел-решка-решка, Орел-орел-решка, … А й не треба! Згадуємо про цілковиту ймовірність. Згадав? Яка ймовірність, що орел не випаде жодного разу? Це просто: весь час летять решки, значить.

ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Імовірність – це відношення кількості сприятливих подій до кількості всіх можливих подій.

Незалежні події

Дві події незалежні, якщо при настанні одного ймовірність наступу іншого не змінюється.

Повна ймовірність

Імовірність всіх можливих подій дорівнює ().

Імовірність того, що подія не станеться, дорівнює мінус ймовірність того, що подія відбудеться.

Правило множення ймовірностей незалежних подій

Імовірність певної послідовності незалежних подій дорівнює твору ймовірностей кожної з подій

Несумісні події

Несумісними називаються події, які не можуть статися одночасно в результаті експерименту. Ряд несумісних подій утворюють повну групу подій.

Імовірності несумісних подій складаються.

Описав що має статися, використовуючи спілки «І» чи «АБО», замість «І» ставимо знак множення, а замість «АБО» — додавання.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 999 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

У другому випадку ми подаруємо тобітренажер "6000 завдань з рішеннями та відповідями, по кожній темі, за всіма рівнями складності". Його точно вистачить, щоб набити руку на вирішенні завдань з будь-якої теми.

Насправді, це набагато більше, ніж просто тренажер - ціла програма підготовки. Якщо знадобиться, ти зможеш нею так само скористатися БЕЗКОШТОВНО.

Доступ до всіх текстів та програм надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Ймовірність протилежної події

Розглянемо деяку випадкову подію Aі нехай його ймовірність p(A)відома. Тоді ймовірність протилежної події визначається за формулою

. (1.8)

Доведення.Згадаймо, що за аксіомою 3 для несумісних подій

p(A+B) = p(A) + p(B).

Через несумісність Aі

Слідство.тобто ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

За допомогою формули (1.8) визначається, наприклад, ймовірність промаху, якщо відома ймовірність попадання (або, навпаки, ймовірність попадання, якщо відома ймовірність промаху; наприклад, якщо ймовірність попадання для зброї 0,9, ймовірність промаху для нього (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Імовірність суми двох подій

Тут доречно нагадати, що для несумісних подій ця формула має вигляд:

приклад.Завод виробляє 85% продукції першого сорту та 10% - другого. Інші вироби вважаються шлюбом. Яка ймовірність, що взявши навмання виріб, ми отримаємо шлюб?

Рішення. P = 1 - (0,85 + 0,1) = 0,05.

Імовірність суми двох будь-яких випадкових подійдорівнює

Доведення.Уявимо подію A + Bу вигляді суми несумісних подій

Враховуючи несумісність Aі , отримаємо згідно з аксіомою 3

Аналогічно знаходимо

Підставляючи останнє у попередню формулу, отримаємо шукану (1.10) (рис 2).

приклад.З 20 студентів 5 осіб склали на двійку іспит з історії, 4 – з англійської мови, причому 3 студенти отримали двійки з обох предметів. Який відсоток студентів у групі, які не мають двійок з цих предметів?

Рішення. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Умовна ймовірність

У деяких випадках необхідно визначити ймовірність випадкової події Bза умови, що сталася випадкова подія Aщо має ненульову ймовірність. Те, що подія Aсталося, звужує простір елементарних подій до безлічі A, що відповідає цій події. Подальші міркування проведемо з прикладу класичної схеми. Нехай W складається з n рівноможливих елементарних подій (виходів) та події Aсприяє m(A), а події AB - m(AB)результатів. Позначимо умовну ймовірність події Bза умови, що Aсталося, - p(B|A).За визначенням,

= .

Якщо Aсталося, то реалізований один з m(A)наслідків та подія Bможе статися, тільки якщо відбудеться один із результатів, що сприяють AB; таких результатів m(AB). Тому природно покласти умовну ймовірність події Bза умови, що Aсталося, що дорівнює відношенню

Узагальнюючи, дамо загальне визначення: умовною ймовірністю події B за умови, що подія A з ненульовою ймовірністю відбулася , називається

. (1.11)

Легко можна перевірити, що введене таким чином визначення задовольняє всім аксіомам і, отже, справедливі раніше доведені теореми.

Часто умовну ймовірність p(B|A)можна легко знайти з умови завдання, у складніших випадках доводиться користуватися визначенням (1.11).

приклад.У урні лежить N куль, їх n білих і N-n чорних. З неї дістають кулю і, не кладучи її назад ( вибірка без повернення ), дістають ще один. Чому дорівнює ймовірність того, що обидві кулі білі?

Рішення.При вирішенні цього завдання застосуємо і класичне визначення ймовірності, і правило твору: позначимо через A подію, що полягає в тому, що першим вийняли білу кулю (тоді - першою вийняли чорну кулю), а через B - подія, що полягає в тому, що другим вийняли біла куля; тоді

.

Легко бачити, що ймовірність того, що три вийняті підряд (без повернення) кулі білі:

і т.д.

приклад.З 30 екзаменаційних білетів студент підготував лише 25. Якщо він відмовляється відповідати за першим взятим білетом (якого він не знає), то йому дозволяється взяти другий. Визначити ймовірність того, що другий квиток виявиться щасливим.

Рішення.Нехай подія Aполягає в тому, що перший витягнутий квиток виявився для студента "поганим", а B- другий - "хорошим". Бо після настання події Aодин із «поганих» вже витягнуто, то залишається всього 29 квитків, з яких 25 студент знає. Звідси шукана ймовірність, припускаючи, що поява будь-якого квитка рівноможлива і вони не повертаються назад, дорівнює .

1. Вірогідність твору

Співвідношення (1.11), припускаючи, що p(A)або p(B)не дорівнюють нулю, можна записати у вигляді

Це співвідношення називають теорема про ймовірність твору двох подій , яка може бути узагальнена на будь-яке число множників, наприклад, для трьох вона має вигляд

приклад.За умовами попереднього прикладу знайти можливість успішної складання іспиту, якщо для цього студент повинен відповісти на перший квиток або, не відповівши на перший, обов'язково відповісти на другий.

Рішення.Нехай події Aі Bполягають у тому, що, відповідно, перший і другий квитки «хороші». Тоді – поява „поганого” квитка вперше. Іспит буде складено, якщо відбудеться подія Aабо одночасно і B. Тобто подія С - успішна сдача іспиту - виражається наступним чином: C = A+ .Звідси

Тут ми скористалися несумісністю Aі , а отже, несумісністю Aта , теоремами про ймовірність суми та твору та класичним визначенням ймовірності при підрахунку p(A)та .

Це завдання можна вирішити і простіше, якщо скористатися теоремою про ймовірність протилежної події:

1. Незалежність подій

Випадкові події A та Bназвемонезалежними, якщо

Для незалежних подій з (1.11) випливає, що ; справедливе та зворотне твердження.

Незалежність подійозначає, що настання події A не змінює ймовірності появи події B, тобто умовна ймовірність дорівнює безумовній .

приклад.Розглянемо попередній приклад з урною, що містить N куль, з яких n білих, але змінимо досвід: вийнявши кулю, ми кладемо її назад і тільки потім виймаємо наступний ( вибірка із поверненням ).

A - подія, що полягає в тому, що першим вийняли білу кулю, - подія, що полягає в тому, що першим вийняли чорну кулю, а B - подія, що полягає в тому, що другим вийняли білу кулю; тоді

тобто в цьому випадку події A та В незалежні.

Таким чином, при вибірці з поверненням події при другому вийманні кулі не залежить від подій першого виймання, а при вибірці без повернення це не так. Однак за великих N і n ці ймовірності дуже близькі один до одного. Цим користуються, тому що іноді виробляють вибірку без повернення (наприклад, при контролі якості, коли тестування об'єкта призводить до його руйнування), а розрахунки проводять за формулами для вибірки з поверненням, які простіше.

На практиці при розрахунку ймовірностей часто користуються правилом, згідно з яким з фізичної незалежності подій випливає їхня незалежність у теоретико-імовірнісному сенсі .

приклад.Імовірність того, що людина у віці 60 років не помре у найближчий рік, дорівнює 0,91. Страхова компанія страхує на рік життя двох людей 60 років.

Імовірність того, що жоден з них не помре: 0,91×0,91 = 0,8281.

Імовірність того, що вони обоє помруть:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Імовірність того, що помре хоча б один:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Імовірність того, що помре один:

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Систему подій A 1 , A 2 ,..., A nназвемо незалежною в сукупності, якщо ймовірність твору дорівнює твору ймовірностей для будь-якої комбінації співмножників із цієї системи. У цьому випадку, зокрема,

приклад.Шифр сейфа складається із семи десяткових цифр. Чому дорівнює ймовірність, що злодій з першого разу набере його правильно?

У кожній з 7 позицій можна набрати будь-яку з 10 цифр 0,1,2,...,9, всього 10 7 чисел, починаючи з 0000000 і закінчуючи 9999999.

приклад.Шифр сейфа складається з російської літери (їх 33) та трьох цифр. Чому дорівнює ймовірність, що злодій з першого разу набере його правильно?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

приклад.У більш загальному вигляді завдання про страховку: ймовірність того, що людина у віці … років не помре у найближчий рік, дорівнює p. Страхова компанія страхує на рік життя людей цього віку.

Імовірність того, що жоден їх не помре: pn (не доведеться платити страхову премію нікому).

Імовірність того, що помре хоча б один: 1 – p n (передбачаються виплати).

Імовірність того, що вони всі помруть: (1 – p) n (найбільші виплати).

Імовірність того, що помре один: n × (1 – p) × p n-1 (якщо людей пронумерувати, то той, хто помре, може мати номер 1, 2,…, n – це n різних подій, кожна з яких має ймовірність (1 – p) × p n-1).

1. Формула повної ймовірності

Нехай події H 1 , H 2 , ... , H nзадовольняють умовам

Якщо і .

Таку сукупність називають повною групою подій.

Припустимо, що відомі ймовірності p(H i), p(A/H i). В цьому випадку застосовна формула повної ймовірності

. (1.14)

Доведення.Скористаємося тим, що H i(їх зазвичай називають гіпотезами ) попарно несумісні (отже несумісні та H i× A), та їх сума є достовірною подією

Ця схема має місце завжди, коли можна говорити про розбиття всього простору подій на кілька різнорідних областей. В економіці це – розбиття країни чи району на регіони різного розміру та різних умов, коли відома частка кожного регіону p(H i)і ймовірність (частка) якогось параметра у кожному регіоні (наприклад, відсоток безробітних – у кожному регіоні він свій) – p(A/H i). На складі може лежати продукція з трьох різних заводів, які постачають різну кількість продукції з різною часткою шлюбу тощо.

приклад.Лиття в болванках надходить із двох цехів до третього: 70% з першого та 30% з другого. У цьому продукція першого цеху має 10% шлюбу, а другого – 20%. Знайти ймовірність того, що одна взята навмання болванка має дефект.

Рішення: p(H 1) = 0,7; p(H 2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H 2) = 0,2;

P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (у середньому 13% болванок у третьому цеху дефектні).

Математична модель може бути, наприклад, такою: є кілька урн різного складу; у першій урні n 1 куль, з яких m 1 білих, і т.д. За формулою повної ймовірності шукається ймовірність, вибравши навмання урну, дістати з неї білу кулю.

За цією ж схемою вирішуються задачі й у загальному випадку.

приклад.Повернемося наприклад з урною, що містить N куль, у тому числі n білих. Дістаємо з неї (без повернення) дві кулі. Яка ймовірність, що друга куля біла?

Рішення. H 1 – перша куля біла; p(H 1)=n/N;

H 2 - перший шар чорний; p(H 2)=(N-n)/N;

В - друга куля біла; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);

Ця модель може бути застосована при вирішенні такої задачі: з N квитків студент вивчив тільки n. Що йому вигідніше – тягнути квиток найпершим чи другим? Виявляється, у будь-якому випадку він із ймовірністю n/Nвитягне гарний квиток і з ймовірністю ( N-n)/N -поганий.

приклад.Визначити ймовірність того, що мандрівник, що вийшов з пункту А, потрапить до пункту В, якщо на роздоріжжі доріг він навмання вибирає будь-яку дорогу (крім зворотної). Схема доріг вказано на рис. 1.3.

Рішення.Нехай прихід мандрівника до пунктів H 1 , H 2 , H 3 та H 4 буде відповідними гіпотезами. Очевидно, вони утворюють повну групу подій та за умовою завдання

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Всі напрямки з А для мандрівника рівноможливі). Згідно зі схемою доріг умовні ймовірності попадання в B за умови, що мандрівник пройшов через H i рівні:

Застосовуючи формулу повної ймовірності, отримаємо

1. Формула Байєса

Припустимо, що виконуються умови попереднього пункту та додатково відомо, що подія Aсталося. Знайдемо ймовірність того, що при цьому було реалізовано гіпотезу H k. За визначенням умовної ймовірності

. (1.15)

Отримане співвідношення називають формулою Байєса. Вона дозволяє за відомими
(до проведення досвіду) апріорним ймовірностям гіпотез p(H i)та умовним ймовірностям p(A|H i)визначити умовну ймовірність p(H k |A), яку називають апостеріорної (тобто отримана за умови, що в результаті досвіду подія Aвже сталося).

приклад. 30% пацієнтів, які надійшли до лікарні, належать першій соціальній групі, 20% – другій та 50% – третій. Імовірність захворювання на туберкульоз для представника кожної соціальної групи, відповідно, дорівнює 0,02, 0,03 та 0,01. Проведені аналізи для випадково вибраного пацієнта показали наявність туберкульозу. Знайти ймовірність, що це представник третьої групи.

Коротка теорія

Для кількісного порівняння подій за ступенем можливості їх появи вводиться числова міра, яка називається ймовірністю події. Імовірністю випадкової подіїназивається число, що є виразом об'єктивної можливості появи події.

Величини, що визначають, наскільки значні об'єктивні підстави розраховувати появу події, характеризуються ймовірністю події. Необхідно підкреслити, що ймовірність є об'єктивна величина, яка існує незалежно від того, хто пізнає, і обумовлена ​​всією сукупністю умов, які сприяють появі події.

Пояснення, які ми дали поняттю ймовірності, є математичним визначенням, оскільки де вони визначають це поняття кількісно. Існує кілька визначень ймовірності випадкової події, які широко застосовуються під час вирішення конкретних завдань (класичне, аксіоматичне, статистичне тощо).

Класичне визначення ймовірності подіїзводить це поняття до елементарнішого поняття рівноможливих подій, яке вже не підлягає визначенню і передбачається інтуїтивно ясним. Наприклад, якщо гральна кістка – однорідний куб, то випадання будь-якої з граней цього куба будуть рівноможливими подіями.

Нехай достовірна подія розпадається на рівноможливі випадки, сума яких дає подію. Тобто випадки, на які розпадається, називаються сприятливими для події, оскільки поява одного з них забезпечує наступ.

Імовірність події позначатимемо символом.

Імовірність події дорівнює відношенню числа випадків , що сприяють йому, із загального числа можливих, рівноможливих і несумісних випадків до , тобто.

Це класичне визначення ймовірності. Таким чином, для знаходження ймовірності події необхідно, розглянувши різні результати випробування, знайти сукупність єдино можливих, рівноможливих і несумісних випадків, підрахувати їх загальне число n, число випадків m, що сприяють даній події, і потім виконати розрахунок за вищенаведеною формулою.

Імовірність події, що дорівнює відношенню числа сприятливих події наслідків досвіду до загального числа наслідків досвіду називається класичною ймовірністювипадкової події.

З визначення випливають такі властивості ймовірності:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Властивість 4. Імовірність настання подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці.

Властивість 5. Імовірність настання протилежної події визначається так само, як і ймовірність настання події A.

Число випадків, що сприяють появі протилежної події. Звідси ймовірність настання протилежної події дорівнює різниці між одиницею та ймовірністю настання події A:

Важливе достоїнство класичного визначення ймовірності події у тому, що з допомогою ймовірність події можна визначити, не вдаючись до досвіду, а з логічних міркувань.

При виконанні комплексу умов достовірна подія обов'язково станеться, а неможлива обов'язково не станеться. Серед подій, які при створенні комплексу умов можуть статися, а можуть не відбутися, на появу одних можна розраховувати з великою підставою, на появу інших з меншою підставою. Якщо, наприклад, в урні білих куль більше, ніж чорних, то сподіватися появу білої кулі при вийманні з урни навмання більше підстав, ніж поява чорної кулі.

Приклад розв'язання задачі

Приклад 1

У ящику знаходиться 8 білих, 4 чорних та 7 червоних куль. Навмання витягнуто 3 кулі. Знайти ймовірності наступних подій: – витягнуто принаймні 1 червону кулю, – є принаймні 2 кулі одного кольору, – є принаймні 1 червона та 1 біла куля.

Рішення задачі

Загальна кількість результатів випробування знайдемо як кількість поєднань із 19 (8+4+7) елементів по 3:

Знайдемо ймовірність події– витягнуто принаймні 1 червону кулю (1,2 або 3 червоні кулі)

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні 2 кулі одного кольору (2 або 3 білі кулі, 2 або 3 чорні кулі та 2 або 3 червоні кулі)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Нехай подія– є принаймні одна червона і 1 біла куля

(1 червоний, 1 білий, 1 чорний або 1 червоний, 2 білих або 2 червоні, 1 білий)

Число результатів, що сприяють події:

Шукана ймовірність:

Відповідь: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Приклад 2

Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок не менше ніж 5.

Рішення

Нехай подія – сума очок не менше 5

Скористаємося класичним визначенням ймовірності:

Загальна кількість можливих результатів випробування

Число випробувань, що сприяють цікавій для нас події

На грані першого грального кубика, що випала, може з'явитися одне очко, два очки ..., шість очок. аналогічно шість результатів можливі при киданні другого кубика. Кожен з наслідків кидання першої кістки може поєднуватися з кожним із наслідків другої. Таким чином, загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості розміщень з повтореннями (вибір з розміщеннями 2 елементів із сукупності обсягу 6):

Знайдемо ймовірність протилежної події – сума очок менше 5

Сприятиме події наступні поєднання очок, що випали:

№

1-а кістка

2-я кістка

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Викладено геометричне визначення ймовірності та наведено рішення широко відомого завдання про зустріч.