Види функції та його властивості. Основні поняття та властивості функцій

Визначення: Числовою функцією називається відповідність, яка кожному числу х з деякої заданої множини зіставляє однина y.

Позначення:

де x - незалежна змінна (аргумент), y - залежна змінна (функція). Безліч значень x називається областю визначення функції (позначається D(f)). Безліч значень y називається областю значень функції (позначається E(f)). Графіком функції називається безліч точок площини з координатами (x, f(x))

Способи завдання функції.

аналітичний метод (за допомогою математичної формули);
табличний спосіб (за допомогою таблиці);
описовий спосіб (за допомогою словесного опису);
графічний метод (за допомогою графіка).

Основні властивостіфункції.

1. Парність та непарність

Функція називається парною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля
f(-x) = f(x)

Графік парної функції симетричний щодо осі 0y

Функція називається непарною, якщо
– область визначення функції симетрична щодо нуля
– для будь-якого х з області визначення f(-x) = -f(x)

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

2.Періодичність

Функція f(x) називається періодичною з періодом , якщо для будь-якого х з області визначення f(x) = f(x+Т) = f(x-Т) .

Графік періодичної функціїскладається з однакових фрагментів, що необмежено повторюються.

3. Монотонність (зростання, спадання)

Функція f(x) зростає на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1

Функція f(x) зменшується на множині Р, якщо для будь-яких x 1 і x 2 з цієї множини, таких, що x 1 f(x 2) .

4. Екстремуми

Точка Х max називається точкою максимуму функції f(x) якщо для всіх х з деякої околиці Х max виконано нерівність f(х) f(X max).

Значення Ymax = f(Xmax) називається максимумом цієї функції.

Х max – точка максимуму
У max – максимум

Точка Х min називається точкою мінімуму функції f(x) , якщо всім х з деякої околиці Х min , виконано нерівність f(х) f(X min).

Значення Y min = f (X min) називається мінімум цієї функції.

X min – точка мінімуму
Y min – мінімум

X min , Х max – точки екстремуму
Y min , У max – екстремуми.

5. Нулі функції

Нулем функції y = f(x) називається таке значення аргументу х, у якому функція перетворюється на нуль: f(x) = 0.

Х 1 Х 2 Х 3 - нулі функції y = f (x).

Завдання та тести на тему "Основні властивості функції"

Властивості функцій - Числові функції 9 клас
Уроків: 2 Задань: 11 Тестів: 1
Властивості логарифмів - Показова та логарифмічні функції 11 клас
Уроків: 2 Задань: 14 Тестів: 1
Функція квадратного кореня, його властивості та графік - функція квадратного кореня. Властивості квадратного кореня 8 клас
Уроків: 1 Задань: 9 Тестів: 1
Ступінні функції, їх властивості та графіки - Ступені та коріння. Ступінні функції 11 клас
Уроків: 4 Задань: 14 Тестів: 1
Функції - Важливі темидля повторення ЄДІпо математиці
Завдань: 24

Вивчивши цю тему, Ви повинні вміти знаходити область визначення різних функцій, визначати за допомогою графіків проміжки монотонності функції, досліджувати функції на парність та непарність. Розглянемо розв'язання таких завдань на наступних прикладах.

приклади.

1. Знайти область визначення функції.

Рішення:область визначення функції перебуває з умови

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Область визначення та область значень функції.В елементарній математиці вивчаються функції лише на безлічі дійсних чисел R.Це означає, що аргумент функції може набувати ті дійсні значення, у яких функція визначено, тобто. вона також набуває лише дійсних значень. Безліч Xвсіх допустимих дійсних значень аргументу x, при яких функція y= f(x)визначена, називається областю визначення функції. Безліч Yвсіх дійсних значень y, які приймає функція, називається областю значень функції. Тепер можна дати більше точне визначенняфункції: правило(закон) відповідності між множинами X та Y, за яким для кожного елемента з множиниX можна знайти один і тільки один елемент з множини Y, називається функцією.

З цього визначення випливає, що функція вважається заданою, якщо:

Задано область визначення функції X ;

Задано область значень функції Y ;

Відомо правило (закон) відповідності, причому таке, що для кожного

Значення аргументу можна знайти лише одне значення функції.

Ця вимога однозначності функції є обов'язковою.

Монотонна функція.Якщо для будь-яких двох значень аргументу x 1 і x 2 з умови x 2 > x 1 слід f(x 2) > f(x 1), то функція f(x) називається зростаючою; якщо для будь-яких x 1 і x 2 з умови x 2 > x 1 слід f(x 2) < f(x 1), то функція f(x) називається спадаючою. Функція, яка тільки зростає або лише зменшується, називається монотонної.

Обмежена та необмежена функції.Функція називається обмеженоюякщо існує таке додатне число M, що | f(x) | Mдля всіх значень x.Якщо такої кількості немає, то функція - необмежена.

Приміри.

Функція, зображена на рис.3 є обмеженою, але не монотонною. Функція на рис.4 - саме навпаки, монотонна, але необмежена. (Поясніть це, будь ласка!).

Безперервна та розривна функції.Функція y = f (x) називається безперервний у точціx = a, якщо:

1) функція визначена при x = a, Тобто. f (a) існує;

2) існує кінцевиймежа lim f (x) ;

x→a

(Див. «Межі функцій»)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Якщо не виконується хоча б одна з цих умов, то функція називається розривнийу точці x = a.

Якщо функція безперервна у всіх точках своєї галузі визначення, то вона називається безперервною функцією.

Парна та непарна функції.Якщо для будь-якого x f(- x) = f (x), то функція називається парної;якщо має місце: f(- x) = - f (x), то функція називається непарний. Графік парної функціїсиметричний щодо осі Y(рис.5), а графік непарної функції цимметричний щодо початку координат(Рис.6).

Періодична функція.Функція f (x) - періодичнаякщо існує таке відмінне від нулячисло T, що для будь-якого xв галузі визначення функції має місце: f (x + T) = f (x). Таке найменшечисло називається періодом функції. всі тригонометричні функціїє періодичними.

П р і м е р 1 . Довести, що sin xмає період 2 .

Рішення. Ми знаємо, що sin ( x+ 2n) = sin x, де n= 0, ± 1, ± 2, …

Отже, додавання 2 nдо аргументу синуса не

Змінює його значення. Чи існує інше число з таким

А якістю?

Припустимо, що P- Таке число, тобто. рівність:

Sin ( x+ P) = sin x,

Справедливо для будь-якого значення x. Але тоді воно має

Місце і при x= / 2, тобто.

Sin (/ 2 + P) = sin / 2 = 1.

Але за формулою приведення sin (/2 + P) = cos P. Тоді

З двох останніх рівностей випливає, що cos P= 1, але ми

Знаємо, що це правильно лише за P = 2n. Оскільки найменшим

Відмінним від нуля числом із 2 nє 2, то це число

І є період sin x. Аналогічно доводиться, що 2з nє , таким чином, це період 2 x.

Нулі функції.Значення аргументу, у якому функція дорівнює 0, називається нулем (коренем) функції. Функція може мати кілька нулів.Наприклад, функція y = x (x + 1) (x-3) має три нулі: x= 0, x= -1, x= 3. Геометрично нуль функції - це абсциса точки перетину графіка функції з віссю Х .

На рис.7 представлений графік функції з нулями: x= a, x = bі x= c.

Асимптота.Якщо графік функції необмежено наближається до деякої прямої при віддаленні від початку координат, то ця пряма називається асимптотою.

Нулі функції
Нулем функції називається те значення х, при якому функція звертається до 0, тобто f(x)=0.

Нулі – це точки перетину графіка функції з віссю Ох.

Парність функції
Функція називається парною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = f(x)

Парна функція симетрична щодо осі Оу

Непарність функції
Функція називається непарною, якщо для будь-кого хз області визначення виконується рівність f(-x) = -f(x).

Непарна функція симетрична щодо початку координат.
Функція яка не є ні парною, ні непарною називається функцією загального вигляду.

Зростання функції
Функція f(x) називається зростаючою, якщо більшого значенняаргументу відповідає більше значення функції, тобто.

Зменшення функції
Функція f(x) називається спадною, якщо більшого значення аргументу відповідає менше значення функції, тобто.

Проміжки, на яких функція або лише зменшується, або тільки зростає, називаються проміжками монотонності. Функція f(x) має 3 проміжки монотонності:

Знаходять проміжки монотонності за допомогою сервісу Інтервали зростання та зменшення функції

Локальний максимум
Крапка х 0називається точкою локального максимуму, якщо для будь-кого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0) > f(x)

Локальний мінімум
Крапка х 0називається точкою локального мінімуму, якщо для будь-кого хз околиці точки х 0виконується нерівність: f(x 0)< f(x).

Точки локального максимуму та точки локального мінімуму називаються точками локального екстремуму.

точки локального екстремуму