Види матриць. Ступінчастий вид матриці

Опр. Прямокутна таблиця, що складається з трядків та пстовпців дійсних чисел називається матрицеюрозміру т×п. Матриці позначають великими латинськими буквами: А, У,…, а масив чисел виділяють круглими чи квадратними дужками.

Числа, що входять до таблиці, називаються елементами матриці та позначаються малими латинськими літерами з подвійним індексом , де i- номер рядка, j- Номер стовпця, на припиненні яких розташований елемент. У загальному вигляді матриця записується так:

Дві матриці вважаються рівнимиякщо рівні їхні відповідні елементи.

Якщо кількість рядків матриці тдорівнює числу її стовпців п, то матриця називається квадратний(інакше – прямокутної).

Матриця розміру
називається матрицею-рядком. Матриця розміру

називається матрицею-стовпцем.

Елементи матриці, що мають рівні індекси (
і т.д.), утворюють головну діагональматриці. Інша діагональ називається побічною.

Квадратна матриця називається діагональноїякщо всі її елементи, розташовані поза головною діагоналі, дорівнюють нулю.

Діагональна матриця, у якої діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і має стандартне позначення Е:

Якщо всі елементи матриці, розташовані вище (або нижче) головної діагоналі дорівнюють нулю, кажуть, що матриця має трикутний вигляд:

§2. Операції над матрицями

1. Транспонування матриці – перетворення, у якому рядки матриці записують як стовпців за збереження їх порядку. Для квадратної матриці це перетворення еквівалентне симетричному відображенню щодо головної діагоналі:

.

2. Матриці однакової розмірності можна підсумовувати (віднімати). Сумою (різністю) матриць називається матриця тієї ж розмірності, кожен елемент якої дорівнює сумі (різниці) відповідних елементів вихідних матриць:

3. Будь-яку матрицю можна множити на число. Добутком матриці на число називається матриця того ж порядку, кожен елемент якої дорівнює добутку відповідного елемента вихідної матриці на це число:

.

4. Якщо число стовпців однієї матриці дорівнює числу рядків іншого, можна виконати множення першої матриці на другу. Добутком таких матриць називається матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі попарних творів елементів відповідного рядка першої матриці та елементів відповідного стовпця другої матриці.

Слідство. Зведення матриці до ступеня до>1 є добуток матриці А доразів. Визначено лише для квадратних матриць.

приклад.

Властивості операцій над матрицями.

1. (А+В)+З=А+(В+З);

   до(А+В)=кА+кВ;

   А(В+З)=АВ+АС;

   (А+В)С=АС+ВС;

   до(АВ)=(кА)В=А(кВ);

   А(ВС)=(АВ)С;

2. (кА) Т = кА Т;

   (А + В) Т = А Т + В Т;

   (АВ) Т = В Т А Т;

Наведені вище властивості аналогічні властивостям операцій над числами. Є й специфічні властивості матриць. До них відноситься, наприклад, відмінна властивість множення матриць. Якщо добуток АВ існує, то добуток ВА

Може не існувати

Може відрізнятись від АВ.

приклад. Підприємство випускає продукцію двох видів А і В і використовує при цьому сировину трьох типів S 1 , S 2 і S 3 . Норми витрати сировини задані матрицею N=
, де n ij– кількість сировини j, що витрачається на виробництво одиниці продукції i. План випуску продукції заданий матрицею С=(100 200), а вартість одиниці кожного виду сировини – матрицею . Визначити витрати сировини, необхідні планового випуску продукції і на загальну вартість сировини.

Рішення. Витрати сировини визначимо як добуток матриць С та N:

Загальну вартість сировини обчислимо як добуток S та Р.

Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, що складається з m однакової довжини рядків або n однакової довжини стовпців.

aij- елемент матриці, який знаходиться в i -ому рядку та j -м стовпці.

Для стислості матрицю можна позначати однією великою літерою, наприклад, Аабо У.

У загальному вигляді матрицю розміром m× nзаписують так

Приклади:

Якщо в матриці число рядків дорівнює числу стовпців, то матриця називається квадратний, причому число її рядків або стовпців називається порядкомматриці. У наведених прикладах квадратними є друга матриця – її порядок дорівнює 3, і четверта матриця – її порядок 1.

Матриця, в якій число рядків не дорівнює числу стовпців, називається прямокутної. У прикладах це перша матриця та третя.

Головною діагоналлюквадратної матриці назвемо діагональ, що йде з лівого верхнього в нижній правий кут.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, що лежать нижче за головну діагональ, рівні нулю, називається трикутноїматрицею.

.

Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім, можливо, стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональноїматрицею. Наприклад, або .

Діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називається одиничноюматрицею і позначається буквою E. Наприклад, одинична матриця 3-го порядку має вигляд .

назад до змісту

(36) 85. Що таке лінійні операції над матрицями? приклади.

У всіх випадках, коли вводяться нові математичні об'єкти, необхідно домовлятися про правила дій над ними, а також визначити - які об'єкти вважаються рівними між собою.

Природа об'єктів не має жодного значення. Це можуть бути речові чи комплексні числа, вектори, матриці, рядки чи щось інше.

До стандартних дій відносяться лінійні операції, а саме: множення на число і додавання; в даному конкретному випадку - множинні матриці на число та додавання матриць.

При множенні матриці на число кожен матричний елемент множиться на це число, а додавання матриць має на увазі попарне додавання елементів, розташованих в еквівалентних позиціях.

Термінологічний вираз "лінійна комбінація<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

Матриці A = || a i j|| і B = || a i j|| вважаються рівними, якщо вони мають однакові розміри та їх відповідні матричні елементи попарно рівні:

Додавання матрицьОперація додавання визначена лише для матриць однакових розмірів. Результатом складання матриць A = | a i j|| і B = | b i j|| є матриця C = | c i j|| , елементи якої дорівнюють сумі відповідних матричних елементів.

Матриця позначається великими латинськими літерами ( А, У, З,...).

Визначення 1. Прямокутна таблиця виду

складається з mрядків та nстовпців, називається матрицею.

Елемент матриці, i – номер рядка, j – номер шпальти.

Види матриць:

елементів, що стоять на головній діагоналі:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Визначники 2, 3 та n-го порядку

Нехай дані дві квадратні матриці:

Визначення 1. Визначником другого порядку матриці А 1 називається число, що позначається ∆ і дорівнює , де

приклад. Обчислити визначник 2-го порядку:

Визначення 2. Визначником 3-го порядку квадратної матриці А 2 називається число виду:

Це один із способів обчислення визначника.

приклад. Обчислити

Визначення 3. Якщо визначник складається з n-рядків і n-стовпців, він називається визначником n-го порядку.

Властивості визначників:

Визначник не змінюється під час транспонування (тобто якщо в ньому рядки та стовпці поміняти місцями зі збереженням порядку прямування).

Якщо в визначнику поміняти місцями якісь два рядки або два стовпці, то визначник змінить лише знак.

Загальний множник якогось рядка (стовпця) можна виносити за знак визначника.

Якщо всі елементи якогось рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

Визначник дорівнює нулю, якщо елементи двох рядків рівні або пропорційні.

Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на те саме число.

приклад.

Визначення 4.Визначник, отриманий з даного шляхом викреслення стовпця та рядка, називається міноромвідповідного елемента. М ij елемента a ij.

Визначення 5. Алгебраїчним доповненнямелемента а ij називається вираз

§3. Дії над матрицями

Лінійні операції

1) При складанні матриць складаються їх однойменні елементи.

При відніманні матриць віднімаються їх однойменні елементи.

При множенні матриці на число кожен елемент матриці множиться на це число:

3.2.Умноження матриць.

твірматриці Ана матрицю Ує нова матриця , елементи якої дорівнюють сумі творів елементів Ана відповідні елементи j-го стовпця матриці У. Твір матриці Ана матрицю Уможна знаходити тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців матриці Адорівнює числу рядків матриці Ст.В іншому випадку, твір неможливий.

Примітка:

(Не підкоряється властивості комутативності)

§ 4. Зворотня матриця

Зворотна матриця існує лише для квадратної матриці, причому матриця має бути невиродженою.

Визначення 1. Матриця Аназивається невиродженою, якщо визначник цієї матриці не дорівнює нулю

Визначення 2. А-1 називається зворотною матрицеюдля цієї невиродженої квадратної матриці Аякщо при множенні цієї матриці на дану як праворуч, так зліва виходить одинична матриця.

Алгоритм обчислення зворотної матриці

1 спосіб (за допомогою додатків алгебри)

Приклад 1:

Матриці. Види матриць. Операції над матрицями та його властивості.

Визначник матриці n-го порядку. N, Z, Q, R, C,

Матрицею порядку m*n називається прямокутна таблиця з чисел, що містить m-рядок і n - стовпців.

Рівність матриць:

Дві матриці називаються рівними, якщо число рядків і стовпців однієї з них дорівнює відповідно числу рядків і стовпців іншого і відповідн. ел-ти цих матриць рівні.

Примітка: Ел-ти, які мають однакові індекси, є відповідними.

Види матриць:

Квадратна матриця: матриця називається квадратною, якщо число її рядків дорівнює числу стовпців.

Прямокутна: матриця називається прямокутною, якщо число рядків не дорівнює числу стовпців.

Матриця рядок: матриця порядку 1 * n (m = 1) має вигляд a11, a12, a13 і називається матрицею рядка.

Матриця стовпець:………….

Діагональна: діагональ квадратної матриці, що йде від верхнього лівого кута до правого нижнього кута, тобто складається з елементів а11, а22 ... - називається головною діагоналлю. (опред: квадратна матриця всі елементи якої дорівнюють нулю, крім тих, що розташовані на головній діагоналі, називається діагональною матрицею.

Поодинока: діагональна матриця називається одиничною, якщо всі елементи розташовані на головній діагоналі і дорівнюють 1.

Верхня трикутна: А = | | aij | | називається верхньою трикутною матрицею, якщо aij=0. За умови i>j.

Нижня трикутна: aij=0. i

Нульова: це матриця Ел-ти якої дорівнює 0.

Операції над матрицями.

1.Транспонування.

2.Умножение матриці на число.

3.Складання матриць.

4.Умноження матриць.

Основні св-ва події над матрицями.

1.A+B=B+A (комутативність)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативність)

3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивність)

4.(a+b)A=aA+bA (дистриб'ютор)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.)

6.AB≠BA (відсутня кому.)

7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –виконується, якщо опред. Виробів матриць виконується.

8.A(B+C)=AB+AC (дистриб'ютор)

(B+C)A=BA+CA (дистриб'ютор)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Визначник квадратної матриці - визначення та його властивості. Розкладання визначника по рядках та стовпцях. Способи обчислення визначників.

Якщо матриця має порядок m>1, то визначник цієї матриці – число.

Алгебраїчним доповненням Aij ел-та aij матриці А називається мінор Mij, помножений на число

ТЕОРЕМА1: Визначник матриці А дорівнює сумі творів всіх елементів довільного рядка (стовпця) з їхньої алгебраїчні доповнення.

Основні властивості визначників.

1. Визначник матриці не зміниться під час її транспонування.

2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак, а абсолютна величина його не змінюється.

3. Визначник матриці, що має два однакові рядки (стовпці) дорівнює 0.

4.При множенні рядка (стовпця) матриці на число її визначник множиться на це число.

5. Якщо один із рядків (стовпців) матриці складається з 0, то визначник цієї матриці дорівнює 0.

6. Якщо всі елементи i-го рядка (стовпця) матриці представлені у вигляді суми двох доданків, то її визначник можна подати у вигляді суми визначників двох матриць.

7. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного стовпця (рядка) додати відповідно ел-ти іншого стовпця (рядка) попередньо множ. на те саме число.

8.Сума довільних елементів якогось стовпця (рядка) визначника на відповідне додаток алгебри елементів іншого стовпця (рядка) дорівнює 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Способи обчислення визначника:

1. За визначенням чи теоремою 1.

2. Приведення до трикутного вигляду.

Визначення та властивості зворотної матриці. Обчислення зворотної матриці. Матричні рівняння.

Визначення: Квадратна матриця порядку n називається зворотною до матриці А того ж порядку і позначається

Для того, щоб для матриці А існувала зворотна матриця, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А був відмінний від 0.

Властивості зворотної матриці:

1. Єдиність: для цієї матриці А її зворотна – єдина.

2. визначник матриці

3. Операція взяття транспонування та взяття матриці зворотної.

Матричні рівняння:

Нехай А та В дві квадратні матриці того ж порядку.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Поняття лінійної залежності та незалежності стовпців матриці. Властивості лінійної залежності та лінійної незалежності системи стовпців.

Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно залежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю.

Стовпці А1, А2 ... Аn називаються лінійно незалежними, якщо існує їх не тривіальна лінійна комбінація, що дорівнює 0-му стовпцю.

Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі коефіцієнти С(l) дорівнюють 0 і не тривіальною в іншому випадку.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2.для того, щоб стовпці були лінійно залежні необхідно і достатньо, щоб який-небудь стовпець був лінійною комбінацією інших стовпців.

Нехай 1 з стовпців є лінійною комбінацією інших стовпців.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" лінійно залежні, то і всі стовпці лінійно залежні.

4. Якщо система шпальт лінійно незалежна, то будь-яка її підсистема так само лінійно незалежна.

(Все, що сказано щодо стовпців, справедливо і для рядків).

Мінори матриці. Базисні мінори. Ранг матриці. Метод обрамляють мінорів обчислення рангу матриці.

Мінором порядку до матриці А називається визначник елементи якого розташовані на перетині до рядків і до стовпців матриці А.

Якщо всі мінори до-го порядку матриці А = 0, то будь-який мінор порядку до +1 теж дорівнює 0.

Базовий мінор.

Рангом матриці А називається порядок її базового мінору.

Метод обрамляють мінорів: - Вибираємо не нульовий елемент матриці А (Якщо такого елемента не існує, то ранг А = 0)

Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку. (Якщо цей мінор не дорівнює 0, то ранг >=2) Якщо ранг цього мінору =0, то обрамляємо вибраний мінор 1-го порядку іншими мінорами 2-го порядку. (Якщо всі мінори 2-го порядку = 0, то ранг матриці = 1).

Ранг матриці. Способи знаходження рангу матриці.

Рангом матриці А називається порядок його базисного мінору.

Способи обчислення:

1) Метод окаймляющих мінорів: -Вибираємо ненульовий елемент матриці А (якщо такого елемента немає, то ранг =0) - Обрамляємо мінор попередній 1-го порядку мінором 2-го порядку..gif" width="40" >r+1 Mr+1=0.

2) Приведення матриці до ступінчастого вигляду: цей метод ґрунтується на елементарних перетвореннях. При елементарних перетвореннях ранг матриці змінюється.

Елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:

Перестановка двох рядків (стовпців).

Умножение всіх елементів деякого стовпця (рядки) число не =0.

Додаток до всіх елементів деякого стовпця (рядка) елементів іншого стовпця (рядка), попередньо помножених на одне і те ж число.

Теорема про базисний мінор. Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника.

Базовим мінором матриці А називається мінор найбільшого до-го порядку відмінного від 0.

Теорема про базисний мінор:

Базисні рядки (стовпці) лінійно незалежні. Будь-який рядок (стовпець) матриці А є лінійною комбінацією базисних рядків (стовпців).

Рядки та стовпці на перетині яких стоїть базисний мінор називаються відповідно базисними рядками та стовпцями.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необхідні та достатні умови рівності нулю визначника:

Для того щоб визначник n-го порядку = 0, необхідно і достатньо, щоб рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Системи лінійних рівнянь, їх класифікація та форми запису. Правило Крамер.

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь із трьома невідомими:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

називається визначником системи.

Складемо ще три визначники наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Доведення. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь із трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на додаток алгебри A11 елемента a11, 2-е рівняння – на A21 і 3-е – на A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Розглянемо кожну зі дужок та праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладання визначника за елементами 1-го стовпця

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Аналогічно можна показати, що і .

Нарешті неважко помітити, що

Отже, отримуємо рівність: .

Отже, .

Аналогічно виводяться рівність і , звідки і випливає твердження теореми.

Системи лінійних рівнянь. Умова сумісності лінійних рівнянь. Теорема Кронекер-Капеллі.

Рішенням системи алгебраїчних рівнянь називається така сукупність n чисел C1, C2, C3……Cn, яка при підстановці у вихідну систему на місце x1, x2, x3…..xn звертає всі рівняння системи у тотожності.

Система лінійних рівнянь алгебри називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має безліч рішень.

Умови сумісності систем лінійних рівнянь алгебри.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: Для того щоб система m лінійних рівнянь з n невідомими була спільною необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці дорівнював рангу матриці А.

Примітка: Ця теорема дає лише критерії існування рішення, але не вказує способу пошуку рішення.

10 питання.

Системи лінійних рівнянь. Метод базисного мінору - загальний спосіб відшукування всіх рішень систем лінійних рівнянь.

A=a21 a22…..a2n

Метод базисного мінору:

Нехай система спільна та RgA=RgA'=r. Нехай базовий мінор розписаний у верхньому лівому кутку матриці А.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Якщо ранг основної матриці і аналізованої дорівнює r=n, то в цьому випадку dj=bj і система має єдине рішення.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь алгебри називається однорідною, якщо всі її вільні члени рівні нулю.

AX=0 – однорідна система.

АХ = В – неоднорідна система.

Однорідні системи завжди спільні.

Х1 = х2 = .. = хn = 0

Теорема 1.

Однорідні системи мають неоднорідні рішення, коли ранг матриці системи менший за кількість невідомих.

Теорема 2.

Однорідна система n-лінійних рівнянь з n-невідомими має нульове рішення, коли визначник матриці А дорівнює нулю. (detA=0)

Властивості розв'язків однорідних систем.

Будь-яка лінійна комбінація рішення однорідної системи є рішенням цієї системи.

α1C1 +α2C2; α1 та α2- деякі числа.

А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (AC2) = 0

Для неоднорідної системи це властивість немає місця.

Фундаментальна система рішень.

Теорема 3.

Якщо ранг матричної системи рівняння з n-невідомими дорівнює r, ця система має n-r лінійно-незалежних рішень.

Нехай базовий мінор у лівому верхньому кутку. Якщо r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система n-r лінійно-незалежних рішень однорідної системи лінійних рівнянь з n-невідомими рангами r називається фундаментальною системою рішень.

Теорема 4.

Будь-яке рішення системи лінійних рівнянь є лінійною комбінацією рішення фундаментальної системи.

С = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r

Якщо r

12 питання.

Загальне розв'язання неоднорідної системи.

Сон (заг. неоднор.) = Соо + Сч (приватне)

АХ = В (неоднорідна система); АХ = 0

(АСоо) +АСч = АСч = В, тому що (АСоо) = 0

Сон = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч

Метод Гауса.

Це спосіб послідовних винятків невідомих (змінних) – у тому, що з допомогою елементарних перетворень, вихідна система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх змінних, знаходять решту змінних.

Нехай а≠0 (якщо це не так, то перестановкою рівнянь домагаються цього).

1) виключаємо змінну х1 з другого, третього ... n-го рівняння, помножуючи перше рівняння на відповідні числа і додаючи отримані результати до 2-го, 3-го ... n-го рівняння, тоді отримуємо:

Отримуємо систему рівносильну вихідній.

2) виключаємо змінну х2

3) виключаємо змінну х3 і т.д.

Продовжуючи процес послідовного виключення змінних х4; х5 ... хr-1 отримаємо для (r-1) кроку.

Число нуль останніх n-r в рівняннях означають, що їхня ліва частина має вигляд: 0х1 +0х2+..+0хn

Якщо хоча б одне із чисел вr+1, вr+2… не дорівнюють нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) не спільна. Таким чином, для будь-якої спільної системи ця вr+1 … вm дорівнює нулю.

Останнє n-r рівняння у системі (1;r-1) є тотожностями і можна не брати до уваги.

Можливі два випадки:

а) число рівнянь системи (1; r-1) дорівнює числу невідомих, тобто r = n (у цьому випадку система має трикутний вигляд).

б) r

Перехід від системи (1) до рівносильної системи (1;r-1) називається прямим ходом методу Гаусса.

Про перебування змінної із системи (1;r-1) – зворотним ходом методу Гаусса.

Перетворення Гауса зручно проводити, здійснюючи їх не з рівняннями, а з розширеною матрицею їх коефіцієнтів.

13 питання.

Подібні матриці.

Розглянемо тільки квадратні матриці порядку n/

Матриця А називається подібною матриці (А~В), якщо існує така неособлива матриця S, що А=S-1BS.

Властивості таких матриць.

1) Матриця А подібна сама до себе. (А~А)

Якщо S=Е, тоді ЕАЕ=Е-1АЕ=А

2) Якщо А ~ В, то В ~ А

Якщо А = S-1ВS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Якщо А~В і одночасно В~С, то А~С

Дано, що А=S1-1BS1 і В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, де S3 = S2S1

4)Визначники подібних матриць рівні.

Дано, що А~В, треба довести, що detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (скорочуємо) = detB.

5) Ранги подібних матриць збігаються.

Власні вектори та власні значення матриць.

Число λ називається власним значенням матриці А, якщо існує ненульовий вектор Х(матр. стовпець) такий, що АХ= λ Х, вектор Х називається власним вектором матриці А, а сукупність всіх власних значень називається спектром матриці А.

Властивості власних векторів.

1)При множенні власного вектора число отримаємо власний вектор із тим самим власним значенням.

АХ = λ Х; Х≠0

α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ)

2) Власні вектори з попарно-різними власними значеннями лінійно незалежні λ1, λ2,.. λк.

Нехай система складається з одного вектора, зробимо індуктивний крок:

С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn = 0 (1) – множимо на А.

С1 АХ1 + С2 АХ2 + .. + Сn АХn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Помножуємо на λn+1 і віднімемо

С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn Хn + Сn +1 Хn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Потрібно щоб С1 = С2 = ... = Сn = 0

Сn+1 Хn+1 λn+1 =0

Характеристичне рівняння.

А-λЕ називається характеристичною матрицею для матриці А.

Для того, щоб ненульовий вектор Х був власним вектором матриці А, відповідний власному значенню необхідно, щоб він був рішенням однорідної системи лінійно-алгебраїчних рівнянь (А - λЕ)Х = 0

Нетривіальне рішення система має тоді, коли det (А – XЕ) = 0 – це характеристичне рівняння.

Твердження!

Характеристичні рівняння таких матриць збігаються.

det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ)

Характеристичний багаточлен.

det(A – λЕ)- функція щодо параметра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Цей многочлен називається характеристичним многочленом матриці А.

Наслідок:

1) Якщо матриці А~В, то сума їх діагональних елементів збігається.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2)Багато власних значень подібних матриць збігаються.

Якщо характеристичні рівняння матриць збігаються, всі вони необов'язково подібні.

Для матриці А

Для матриці В

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Для того, щоб матриця А порядку n була діагоналізована, необхідно, щоб існували лінійно-незалежні власні вектори матриці А.

Слідство.

Якщо всі власні значення матриця А різні, вона діагоналізована.

Алгоритм знаходження власних векторів та власних значень.

1)складаємо характеристичне рівняння

2) знаходимо коріння рівнянь

3)складаємо систему рівнянь визначення свого вектора.

λi (A-λi E)X = 0

4) знаходимо фундаментальну систему рішень

x1,x2..xn-r, де r - ранг характеристичної матриці.

r = Rg(A - λi E)

5) власний вектор, власні значення λi записуються у вигляді:

X = С1 Х1 + С2 Х2 + .. + Сn-r Хn-r, де С12 + С22 + ... С2n ≠ 0

6) перевіряємо, чи може матриця бути приведена до діагонального вигляду.

7) знаходимо Ag

Ag = S-1AS S =

15 питання.

Базис прямої, площини, простору.

DIV_ADBLOCK410">

Модулем вектора називається його довжина, тобто відстань між А та В (││, ││). Модуль вектора дорівнює нулю тоді, коли цей вектор нульовий (│ō│=0)

4.Орт вектор.

Ортом даного вектора називається вектор, який спрямований однаково з цим вектором і має модуль, що дорівнює одиниці.

Рівні вектори мають рівні орти.

5. Кут між двома векторами.

Це менша частина площі, обмежена двома променями, що виходять із однієї точки і спрямовані однаково з цими векторами.

Складання векторів. Умноження вектора на число.

1) Додавання двох векторів

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2)Умножение вектора на скаляр.

Добутком вектора та скаляра називають новий вектор, який має:

а) = добутки модуля множення вектора на абсолютну величину скаляра.

б) напрямок однаковий з множуваним вектором, якщо скаляр позитивний, і протилежний, якщо скаляр негативний.

λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Властивості лінійних операцій над векторами.

1. Закон комунітативності.

2. Закон асоціативності.

3. Додавання з нулем.

а(вектор)+ō= а(вектор)

4.Складання з протилежним.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Закон дистрибутивності.

Вираз вектор через його модуль і орт.

Максимальна кількість лінійно-незалежних векторів називаються базисом.

Базисом на прямий є будь-який вектор.

Базисом на площині є будь-які два некаленіарні вектори.

Базисом у просторі є система будь-яких трьох некомпланарних векторів.

Коефіцієнт розкладання вектора деяким базисом називається компонентами або координатами вектора в даному базисі.

Виконати дію складання та множення на скаляр, то в результаті будь-якої кількості таких дій отримаємо:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, що дорівнює ?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> називаються лінійно-незалежними, якщо не існує їхня нетривіальна лінійна комбінація.

Властивості лінійно-залежних та Незалежних векторів:

1) система векторів, що містить нульовий вектор лінійно-залежна.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> були лінійно-залежними, необхідно, щоб якийсь вектор був лінійною комбінацією інших векторів.

3) якщо частина векторів із системи а1(вектор), а2(вектор) ... ак(вектор) лінійно-залежні, то і всі вектори лінійно-залежні.

4)якщо всі вектори .

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Лінійні операції у координатах.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK413">

Скалярний добуток 2-х векторів – це число, що дорівнює добутку векторів на косинус кута між ними.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0, тоді і тільки тоді, коли вектори ортоганальні або якийсь із векторів дорівнює 0.

4. Дистрибутивність (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Вираз скалярного твору a та b через їх координати

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

При виконанні умови (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> і називається третій вектор який задовольняє наступним рівнянням:

3. - права

Властивості векторного твору:

4. Векторний твір координатних ортів

Ортонормований базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Часто для позначення ортів ортонормованого базису використовуються 3 символи

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Якщо – це ортонормований базис, то

DIV_ADBLOCK414">

Пряма лінія на площині. Взаємне розташування 2 прямих. Відстань від точки до прямої лінії. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності 2-х прямих.

1. Часовий випадок розташування 2-х прямих на площині.

1)- рівняння прямої паралельної осі ОХ

2) - рівняння прямої паралельної осі ОУ

2. Взаємне розташування 2-х прямих.

Теорема 1 Нехай щодо афінної системи координат дано рівняння прямих

А) Тоді необхідна та достатня умова коли вони перетинаються має вигляд:

Б) Тоді необхідна і достатня умова того, що прямі паралельні є умова:

B) Тоді необхідною і достатньою умовою того, що прямі зливаються в одну є умова:

3. Відстань від точки до прямої.

Теорема. Відстань від точки до прямої щодо декартової системи координат:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Кут між двома прямими. Умови перпендикулярності.

Нехай 2 прямі задані щодо декартової системи координат загальними рівняннями.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Якщо , то прямі перпендикулярні.

24 питання.

Площина у просторі. Умова комплонарності вектора та площини. Відстань від точки до площини. Умова паралельності та перпендикулярності двох площин.

1. Умова комплонарності вектора та площини.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Кут між 2-ма площинами. Умови перпендикулярності.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Якщо , то площини перпендикулярні.

25 питання.

Пряма ліня у просторі. Різні види рівняння прямої лінії у просторі.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторне прямого рівняння в просторі.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Канонічне рівняння пряме.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Безім'яний3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 питання.

Еліпс. Виведення канонічного рівняння еліпса. Форма. Властивості

Еліпс – геометричне місце точок, котрим сума відстаней від двох фіксованих відстаней, званих фокусами є це число 2a, більше відстань 2c між фокусами.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="image043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

на рис.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ур-е дотичної до еліпсу

DIV_ADBLOCK417">

Канонічне рівняння гіперболи

Форма та св-ва

y=±b/a помножити на корінь (x2-a2)

Вісь симетрії гіперболи - її осі

Відрізок 2a - дійсна вісь гіперболи

Ексентриситет e=2c/2a=c/a

Якщо b=a виходить рівнобока гіпербола

Асимтота - називається пряма, якщо при необмеженому видаленні точки M1 по кривій відстань від точки до прямої прагне до нуля.

lim d=0 при x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

дотична гіперболи

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

парабола - геометричне місце точок, рівновіддалене від точки, названої фокусом і даною прямою, названою директрисою

Канонічне рівняння параболи

властивості

вісь симетрії параболи проходить через її фокус і перпендіукулярна до директриси.

якщо обертати параболу вийде еліптичний параболоїд

всі параболи подібні

питання 30. Дослідження рівняння загального виду кривої другого порядку.

Тип кривої опр. при старших членах A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->крива параболічного типу

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Якщо Е=0 => Ax2+2Dx+F=0

то x1 = x2 - зливається в одну

x1≠x2 - прямі паралельні Оу

x1≠x2 і коріння уявне, не має геометричного образу

З≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Висновок: крива параболічного типу це або парабола, або 2 паралельні прямі, або уявні, або в одну зливаються.

2.AC>0 -> крива еліптичного типу

Доповнюючи до повного квадрата вихідне рівняння перетворимо до канонічного, тоді отримаємо випадки

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - еліпс

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - уявний еліпс

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка з координатою x0 y0

Висновок: крива ел. типу це або еліпс, або уявний, або крапка

3. АС<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 гіпербола, дійсна вісь паралельна Ох

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 гіпербола, дійсна вісь паралельна Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ур-е двох прямих

Висновок: крива гіперболічного типу це або гіпербола, або дві прямі

Матриці в математиці - одне з найважливіших об'єктів, мають прикладне значення. Часто екскурс до теорії матриць починають зі слів: "Матриця - це прямокутна таблиця...". Ми розпочнемо цей екскурс дещо з іншого боку.

Телефонні книги будь-якого розміру та з будь-яким числом даних про абонента – ні що інше, як матриці. Такі матриці мають приблизно такий вигляд:

Зрозуміло, що такими матрицями ми користуємося майже кожен день. Ці матриці бувають з різним числом рядків (розрізняються як випущений телефонною компанією довідник, в якому можуть бути тисячі, сотні тисяч і навіть мільйони рядків і щойно розпочата Вами нова записна книжка, в якій менше десяти рядків) і стовпців (довідник посадових осіб який- ні організації, в якому можуть бути такі стовпці, як посада і номер кабінету і та ж Ваша записник, де може не бути жодних даних, крім імені, і, таким чином, в ній тільки два стовпці - ім'я та телефон).

Будь-які матриці можна складати і множити, а також проводити над ними інші операції, проте немає необхідності складати та множати телефонні довідники, від цього немає жодної користі, до того ж можна й поміркувати.

Але дуже багато матриць можна і потрібно складати і перемножувати і вирішувати таким чином різні нагальні завдання. Нижче наведені приклади таких матриць.

Матриці, у яких стовпці - випуск одиниць продукції тієї чи іншої виду, а рядки - роки, у яких ведеться облік випуску цієї продукції:

Можна складати матриці такого виду, в яких враховано випуск аналогічної продукції різними підприємствами, щоб отримати сумарні дані з галузі.

Або матриці, що складаються, наприклад, з одного стовпця, в яких рядки - середня собівартість того чи іншого виду продукції:

Матриці двох останніх видів можна множити, а результаті вийде матриця-рядок, що містить собівартість всіх видів продукції за роками.

Матриці, основні визначення

Прямокутна таблиця, що складається з чисел, розташованих у mрядках та nстовпцях, називається mn-матрицею (або просто матрицею ) і записується так:

(1)

У матриці (1) числа називаються її елементами (як і у визначнику, перший індекс означає номер рядка, другий - стовпця, на перетині яких стоїть елемент; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Матриця називається прямокутної якщо .

Якщо ж m = n, то матриця називається квадратний , А число n - її порядком .

Визначником квадратної матриці A називається визначник, елементами якого є елементи матриці A. Він означає символом | A|.

Квадратна матриця називається неособливою (або невиродженою , несингулярною ), якщо її визначник не дорівнює нулю, та особливою (або виродженою , сингулярною ), якщо її визначник дорівнює нулю.

Матриці називаються рівними , якщо вони мають однакову кількість рядків і стовпців і всі відповідні елементи збігаються.

Матриця називається нульовий , Якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Нульову матрицю позначатимемо символом 0 або .

Наприклад,

Матрицею-рядком (або малої ) називається 1 n-матриця, а матрицею-стовпцем (або стовпцевий ) – m 1-матриця.

Матриця A" , яка виходить із матриці Aзаміною в ній місцями рядків та стовпців, що називається транспонованої щодо матриці A. Таким чином, для матриці (1) транспонованої є матриця

Операція переходу до матриці A" , транспонованої щодо матриці Aназивається транспонуванням матриці A. Для mn-матриці транспонованої є nm-матриця.

Транспонованою щодо матриці є матриця A, тобто

(A")" = A .

приклад 1.Знайти матрицю A" , транспоновану щодо матриці

і з'ясувати, чи рівні визначники вихідної та транспонованої матриць.

Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна лінія, що з'єднує її елементи, у яких обидва індекси однакові. Ці елементи називаються діагональними .

Квадратна матриця, у якої всі елементи поза головною діагоналі дорівнюють нулю, називається діагональної . Не обов'язково всі діагональні елементи діагональної матриці відмінні від нуля. Серед них можуть бути рівні нулю.

Квадратна матриця, у якої елементи, що стоять на головній діагоналі, рівні одному й тому ж числу, відмінному від нуля, а всі інші рівні нулю, називається скалярною матрицею .

Поодинокою матрицею називається діагональна матриця, яка має всі діагональні елементи рівні одиниці. Наприклад, одиничною матрицею третього порядку є матриця

приклад 2.Дані матриці:

Рішення. Обчислимо визначники даних матриць. Користуючись правилом трикутників, знайдемо

Визначник матриці Bобчислимо за формулою

Легко отримуємо, що

Отже, матриці Aі - неособливі (невироджені, несингулярні), а матриця B- Особлива (вироджена, сингулярна).

Визначник одиничної матриці будь-якого порядку, очевидно, дорівнює одиниці.

Вирішити завдання на матриці самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 3.Дано матриці

,

,

Встановити, які є неособливими (невиродженими, несингулярними).

Застосування матриць у математико-економічному моделюванні

У вигляді матриць просто і зручно записуються структуровані дані про той чи інший об'єкт. Матричні моделі створюються як для зберігання цих структурованих даних, а й у вирішення різних завдань із цими даними засобами лінійної алгебри.

Так, відомою матричною моделлю економіки є модель "витрати-випуск", запроваджена американським економістом російського походження Василем Леонтьєвим. Ця модель виходить із припущення, що весь виробничий сектор економіки розбитий на nчистих галузей. Кожна з галузей випускає продукцію лише одного виду та різні галузі випускають різну продукцію. Через такий поділ праці між галузями існують міжгалузеві зв'язки, зміст яких полягає в тому, що частина продукції кожної галузі передається іншим галузям як ресурс виробництва.

Обсяг продукції i-ї галузі (вимірюваний певною одиницею вимірювання), яка була зроблена за звітний період, позначається через і називається повним випуском i-ї галузі. Випуски зручно розмістити у n-компонентний рядок матриці

Кількість одиниць продукції i-ї галузі, яку необхідно витратити j-ї галузі для виробництва одиниці своєї продукції, позначається та називається коефіцієнтом прямих витрат.