Хвильова функція частки. Фізичний зміст хвильової функції

> Хвильова функція

Читайте про хвильової функціїта теорії ймовірностей квантової механіки: суть рівняння Шредінгера, стан квантової частки, гармонійний осцилятор, схема.

Йдеться про амплітуду ймовірності в квантовій механіці, що описує квантовий стан частки та її поведінку.

Завдання навчання

• Об'єднати хвильову функцію та щільність ймовірності визначення частинки.

Основні пункти

• |ψ| 2 (x) відповідає щільності ймовірності визначення частинки в конкретному місці та моменті.
• Закони квантової механіки характеризують еволюцію хвильової функції. Рівняння Шредінгера пояснює її найменування.
• Хвильова функція має задовольняти безліч математичних обмежень для обчислень та фізичної інтерпретації.

Терміни

• Рівняння Шредінгера – частковий диференціал, що характеризує зміну стану фізичної системи. Його сформулював у 1925 році Ервін Шредінгер.
• Гармонійний осцилятор - система, яка при зміщенні від початкової позиції, відчуває вплив сили F, пропорційної зміщення х.

У межах квантової механіки хвильова функція відображає амплітуду ймовірності, що характеризує квантовий стан частинки та її поведінку. Зазвичай значення – комплексне число. Найбільш поширеними символами хвильової функції виступають ψ(x) або Ψ(x). Хоча ψ – комплексне число, |ψ| 2 - речове і відповідає щільності ймовірності знаходження частки в конкретному місці та часі.

Тут відображені траєкторії гармонійного осцилятора в класичній (А-В) та квантовій (C-H) механіки. У квантовій кулі має хвильову функцію, відображену з реальною частиною в синьому і уявною в червоному. ТраєкторіїC-F – приклади стоячих хвиль. Кожна така частота буде пропорційною до можливого рівня енергії осцилятора

Закони квантової механіки еволюціонують згодом. Хвильова функція нагадує інші, на зразок хвиль у воді чи струні. Справа в тому, що формула Шредінгера є типом хвильового рівняння в математиці. Це призводить до двоїстості хвильових частинок.

Хвильова функція має відповідати обмеженням:

• завжди кінцева.
• завжди безперервна і безперервно диференційована.
• задовольняє відповідну умову нормування, щоб частка існувала зі 100% визначеністю.

Якщо вимоги не задоволені, то хвильову функцію не можна інтерпретувати як амплітуду ймовірності. Якщо ми проігноруємо ці позиції і скористаємося функцією хвиль, щоб визначити спостереження квантової системи, то не отримаємо кінцевих і певних значень.

корпускулярно - хвильовим дуалізмом у квантовій фізиці стан частки описується за допомогою хвильової функції ($\psi (\overrightarrow(r),t)$-псі-функція).

Визначення 1

Хвильова функція- це функція, яка використовується у квантовій механіці. Вона визначає стан системи, яка має розміри у просторі. Вона є вектором стану.

Ця функція є комплексною та формально має хвильові властивості. Рух будь-якої частинки мікросвіту визначений імовірнісними законами. Розподіл ймовірності виявляється під час проведення великої кількості спостережень (вимірювань) чи великої кількості часток. Отриманий розподіл аналогічний розподілу інтенсивності хвилі. Тобто в місцях із максимальною інтенсивністю відзначено максимальну кількість частинок.

Набір аргументів хвильової функції визначає її представлення. Так, можливе координатне уявлення: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, імпульсне уявлення: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$ і т.д.

У квантовій фізиці метою ставиться не точність передбачення події, а оцінка ймовірності тієї чи іншої події. Знаючи величину ймовірності знаходять середні значення фізичних величин. Хвильова функція дозволяє знаходити подібні можливості.

Так, ймовірність присутності мікрочастинки в обсязі dV в момент часу t може бути визначена як:

де $\psi^*$- комплексно пов'язана функція до функції $\psi.$ Щільність ймовірності (ймовірність в одиниці об'єму) дорівнює:

Імовірність є величиною, яку можна спостерігати у експерименті. У цей час хвильова функція не доступна спостереження, оскільки вона є комплексної (у класичній фізиці параметри, які характеризують стан частки, доступні спостереження).

Умова нормування $\psi$-функції

Хвильова функція визначена з точністю до постійного постійного множника. Даний факт не впливає на стан частки, яку $\psi$-функція описує. Однак хвильову функцію вибирають таким чином, що вона задовольняє умову нормування:

де інтеграл беруть по всьому простору або області, в якій хвильова функція не дорівнює нулю. Умова нормування (2) означає те, що у всій області, де $\psi\ne 0$ частка достовірно є. Хвильову функцію, яка підкоряється умові нормування, називають нормованою. Якщо $(\left|\psi\right|)^2=0$, то ця умова означає, що частки в досліджуваній області напевно немає.

Нормування типу (2) можливе при дискретному діапазоні своїх значень.

Умова нормування може виявитися неможливим. Так, якщо $\psi$ -- функція є плоскою хвилею де Бройля і ймовірність знаходження частки є однаковою для всіх точок простору. Дані випадки розглядають як ідеальну модель, в якій частка є у великій, але має обмеження області простору.

Принцип суперпозиції хвильової функції

Цей принцип є одним з основних постулатів квантової теорії. Його сенс у наступному: якщо для деякої системи можливі стани, що описуються хвильовими функціями $\psi_1\(\rm і)\$$\psi_2$, то для цієї системи існує стан:

де $ C_ (1 \) і \ C_2 $ - постійні коефіцієнти. Принцип суперпозиції підтверджується емпірично.

Можна говорити про складання будь-якої кількості квантових станів:

де $(\left|C_n\right|)^2$ -- ймовірність того, що система виявляється в стані, який описується хвильовою функцією $\psi_n.$ Для хвильових функцій, підпорядкованих умові нормування (2) виконується умова:

Стаціонарні стани

У квантовій теорії особливу роль відіграють стаціонарні стани (стани в яких усі фізичні параметри, що спостерігаються, не змінюються в часі). (Сама хвильова функція принципово не спостерігається). У стаціонарному стані $\psi$- функція має вигляд:

де $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ не залежить від часу, $E$- енергія частки. Побачивши (3) хвильової функції щільність ймовірності ($P$) є постійною часу:

З фізичних властивостей стаціонарних станів випливають математичні вимоги до хвильової функції $ psi left (overrightarrow (r) right) to (psi (x, y, z)) $.

Математичні вимоги до хвильової функції для стаціонарних станів

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- функція повинна бути у всіх точках:

• безперервна,
• однозначна,
• кінцева.

Якщо потенційна енергія має поверхню розриву, то на подібних поверхнях функція $psileft(overrightarrow(r)right)$ і її перша похідна повинні залишатися безперервними. В області простору, де потенційна енергія стає нескінченною, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ повинна дорівнювати нулю. Безперервність функції $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ вимагає, щоб на будь-якому кордоні цієї області $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Умова безперервності накладається на приватні похідні від хвильової функції ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \psi)(\ partial z) $).

Приклад 1

Завдання:Для деякої частки задана хвильова функція виду: $ \ psi = \ frac (A) (r) e ^ (- (r) / (a)) $, де $ r $ - відстань від частки до центру сили (рис.1 ), $ a = const $. Застосуйте умову нормування, знайдіть нормувальний коефіцієнт A.

Малюнок 1.

Рішення:

Запишемо умову нормування для нашого випадку у вигляді:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

де $dV=4\pi r^2dr$ (див.рис.1 З умов зрозуміло, що завдання має сферичну симетрію). З умов завдання маємо:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a )) \ left (1.2 \ right).

Підставимо $dV$ і хвильові функції (1.2) за умови нормування:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\) right).)\]

Проведемо інтегрування у лівій частині:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a = 1 \ left (1.4 \ right).) \]

З формули (1.4) виразимо шуканий коефіцієнт:

Відповідь:$A=\sqrt(\frac(1)(2pi a)).$

Приклад 2

Завдання:Якою є найбільш ймовірна відстань ($r_B$) електрона від ядра, якщо хвильова функція, яка описує основний стан електрона в атомі водню може бути визначена як: $\psi=Ae^(-(r)/(a))$, де $ r$- відстань від електрона до ядра, $a$ -- перший Борівський радіус?

Рішення:

Використовуємо формулу, яка визначає можливість присутності мікрочастинки в обсязі $dV$ в момент часу $t$:

де $dV=4\pi r^2dr.\ $Отже, маємо:

У такому випадку $p=\frac(dP)(dr)$ запишемо як:

Для визначення найбільш ймовірної відстані похідну $\frac(dp)(dr)$ дорівнює до нуля:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Оскільки рішення $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ (\rm при)\ r_B\to \infty $, нам не підходить, то відсмоктується:

Виявлення хвильових властивостей мікрочастинок свідчило у тому, що класична механіка неспроможна дати правильного описи поведінки таких частинок. Теорія, що охоплює всі властивості елементарних частинок, повинна враховувати як їх корпускулярні властивості, а й хвильові. З дослідів, розглянутих раніше, випливає, що пучок елементарних частинок має властивості плоскої хвилі, що поширюється у напрямку швидкості частинок. У разі поширення вздовж осі цей хвильовий процес може бути описаний рівнянням хвилі де Бройля (7.43.5):

(7.44.1)

де - Енергія, - імпульс частинки. При поширенні у довільному напрямку:

(7.44.2)

Назвемо функцію хвильовою функцією та з'ясуємо її фізичний зміст шляхом порівняння дифракції світлових хвиль та мікрочастинок.

Відповідно до хвильових уявлень про природу світла, інтенсивність дифракційної картини пропорційна квадрату амплітуди світлової хвилі. За уявленнями фотонної теорії, інтенсивність визначається числом фотонів, які у цю точку дифракційної картини. Отже, число фотонів у цій точці дифракційної картини задається квадратом амплітуди світлової хвилі, у той час як для одного фотона квадрат амплітуди визначає можливість попадання фотона в ту чи іншу точку.

Дифракційна картина, що спостерігається для мікрочастинок, також характеризується різним розподілом потоків мікрочастинок. Наявність максимумів у дифракційної картині з погляду хвильової теорії означає, що це напрями відповідають найбільшої інтенсивності хвиль де Бройля. Інтенсивність більше там, де більше число частинок. Отже, дифракційна картина для мікрочастинок є проявом статистичної закономірності і можна говорити, що знання виду хвилі де Бройля, тобто. Ψ -функції, що дозволяє судити про ймовірність того чи іншого з можливих процесів.

Отже, в квантовій механіці стан мікрочастинок описується принципово по-новому – за допомогою хвильової функції, яка є основним носієм інформації про їх корпускулярні та хвильові властивості. Імовірність знаходження частки в елементі об'ємом дорівнює

(7.44.3)

Величина

(7.44.4)

має сенс густини ймовірності, тобто. визначає ймовірність знаходження частки в одиничному обсязі в околиці заданої точки. Отже, фізичний сенс має сама - функція, а квадрат її модуля , яким задається інтенсивність хвиль де Бройля. Ймовірність знайти частинку в момент часу в кінцевому обсязі, згідно з теоремою складання ймовірностей, дорівнює

(7.44.5)

Так як частка існує, то вона обов'язково десь виявляється у просторі. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці, тоді

. (7.44.6)

Вираз (7.44.6) називається умовою нормування ймовірності. Хвильова функція, що характеризує ймовірність виявлення дії мікрочастинки в елементі об'єму, повинна бути кінцевою (ймовірність не може бути більше одиниці), однозначною (ймовірність не може бути неоднозначною величиною) і безперервною (ймовірність не може змінюватися стрибком).

Хвильова функція
Wave function

Хвильова функція (Або вектор стану) - комплексна функція, що описує стан квантовомеханічної системи. Її знання дозволяє отримати максимально повні відомості про систему, що є принципово досяжними в мікросвіті. Так з її допомогою можна розрахувати всі вимірювані фізичні властивості системи, можливість перебування їх у певному місці простору і еволюцію у часі. Хвильова функція може бути знайдена в результаті розв'язання хвильового рівняння Шредінгера.
Хвильова функція ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) точкової безструктурної частки є комплексною функцією координат цієї частки та часу. Найпростішим прикладом такої функції є хвильова функція вільної частки з імпульсом та повною енергією Е (плоска хвиля)

.

Хвильова функція системи частинок А містить координати всіх частинок: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадрат модуля хвильової функції окремої частки ψ (, t) | 2 = ψ * (, t) ψ (, t) дає можливість виявити частинку в момент часу t в точці простору, що описується координатами, а саме, | ψ (, t) | 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t) | 2 dxdydz це можливість знайти частинку в області простору об'ємом dv = dxdydz навколо точки x, y, z. Аналогічно, можливість знайти у момент часу t систему А частинок з координатами 1 , 2 ,..., A елементі обсягу багатовимірного простору дається величиною | ψ (1, 2, ..., A, t) | 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Хвильова функція повністю визначає всі фізичні властивості квантової системи. Так середнє спостерігається значення фізичної величини F у системи дається виразом

,

де - оператор цієї величини та інтегрування проводиться по всій області багатовимірного простору.
Як незалежні змінні хвильової функції замість координат частинок x, y, z можуть бути обрані їх імпульси p x , p y , p z або інші набори фізичних величин. Цей вибір залежить від уявлення (координатного, імпульсного чи іншого).
Хвильова функція ψ (,t) частки не враховує її внутрішніх характеристик і ступенів свободи, тобто описує її рух як цілого безструктурного (точкового) об'єкта деякою траєкторією (орбітою) у просторі. Цими внутрішніми характеристиками частинки можуть бути її спин, спіральність, ізоспін (для сильновзаємодіючих частинок), колір (для кварків та глюонів) та деякі інші. Внутрішні характеристики частки задаються спеціальною функцією хвильової її внутрішнього стану φ. При цьому повна хвильова функція частки може бути представлена ​​у вигляді добутку функції орбітального руху ψ і внутрішньої функції φ:

оскільки зазвичай внутрішні показники частки та її ступеня свободи, що описують орбітальний рух, не залежать одна від одної.
Як приклад обмежимося випадком, коли єдиною внутрішньою характеристикою, що враховується функцією є спин частинки, причому цей спин дорівнює 1/2. Частка з таким спином може перебувати в одному з двох станів - з проекцією спина на вісь z, що дорівнює +1/2 (спин вгору), і з проекцією спина на вісь z, що дорівнює -1/2 (спин вниз). Цю двоїстість описують спиновою функцією взятою у вигляді двокомпонентного спинора:

Тоді хвильова функція Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ описуватиме рух частинки зі спином 1/2, спрямованим вгору, по траєкторії, що визначається функцією ψ , а хвильова функція Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ буде описувати рух по тій же траєкторії цієї частини, але зі спином, спрямованим вниз.
Наприкінці зазначимо, що у квантової механіці можливі такі стану, які можна описати з допомогою хвильової функції. Такі стани називають змішаними та їх описують у межах складнішого підходу, що використовує поняття матриці щільності. Стан квантової системи, що описуються хвильовою функцією, називають чистими.

Для опису корпускулярно-хвильових властивостей електрона у квантовій механіці використовують хвильову функцію, що позначається грецькою буквою псі (Т). Основні характеристики хвильової функції такі:

• у будь-якій точці простору з координатами х, у, zвона має певні знак та амплітуду: ЧДд:, у, г);
• квадрат модуля хвильової функції ЧДх, y,z)| 2 дорівнює ймовірності знаходження частки одиниці обсягу, тобто. густини ймовірності.

Щільність ймовірності виявлення електрона різних відстанях від ядра атома зображують декількома способами. Часто її характеризують кількістю точок в одиниці обсягу (рис. 9.1, а).Точкове зображення щільності ймовірності нагадує хмару. Говорячи про електронну хмару, слід мати на увазі, що електрон - це частка, що виявляє одночасно і корпускулярні, і хвильові

Рис. 9.1.

властивості. Область ймовірності виявлення електрона немає чітких меж. Однак можна виділити простір, де ймовірність його виявлення велика чи навіть максимальна.

На рис. 9.1, аштриховою лінією позначено сферичну поверхню, всередині якої ймовірність виявлення електрона становить 90%. На рис. 9.1 б наведено контурне зображення електронної щільності в атомі водню. Найближчий до ядра контур охоплює область простору, в якій ймовірність виявлення електрона 10%, ймовірність виявлення електрона всередині другого від ядра контуру становить 20%, всередині третього - 30% і т.д. На рис. 9.1 в електронну хмару зображено у вигляді сферичної поверхні, всередині якої ймовірність виявлення електрона становить 90%.

Зрештою, на рис. 9.1 г і б двома способами показана ймовірність виявлення електрона Is на різних відстанях гвід ядра: вгорі показаний «розріз» цієї ймовірності, що проходить через ядро, а внизу - сама функція 4лг 2 | 2 .

Рівняння Шредінгсра. Це фундаментальне рівняння квантової механіки було сформульовано австрійським фізиком Е. Шредінгером у 1926 р. Воно пов'язує повну енергію частки Е,рівну сумі потенційної та кінетичної енергій, потенційну енергію?„, масу частки тта хвильову функцію 4*. Для однієї частинки, наприклад електрона масою т е,воно має такий вигляд:

З математичної точки зору це рівняння з трьома невідомими: У, Еі?„. Вирішити його, тобто. знайти ці невідомі, можна, якщо вирішувати його разом із двома іншими рівняннями (для перебування трьох невідомих потрібно три рівняння). Як такі рівняння використовують рівняння для потенційної енергії та граничних умов.

Рівняння потенційної енергії не містить хвильової функції У. Воно описує взаємодію заряджених частинок за законом Кулона. При взаємодії одного електрона з ядром, що має заряд +z, потенційна енергія дорівнює

де г =У* 2 + у 2+ z 2 .

Це випадок так званого одноелектронного атома. У складніших системах, коли заряджених часток багато, рівняння потенційної енергії складається з суми таких самих кулонівських членів.

Рівнянням граничних умов є вираз

Воно означає, що хвильова функція електрона прагне нулю великих відстанях від ядра атома.

Рішення рівняння Шредінгера дозволяє знайти хвильову функцію електрона? = (х, у, z) як функцію координат. Цей розподіл називається орбіталлю.

Орбіталь -це задана у просторі хвильова функція.

Система рівнянь, що включає рівняння Шредінгера, потенційної енергії та граничних умов, має не одне, а багато рішень. Кожне рішення одночасно включає 4 х = (х, у, г)і Е, тобто. описує електронну хмару та відповідну їй повну енергію. Кожне рішення визначається квантовими числами.

Фізичний зміст квантових чисел можна зрозуміти, розглянувши коливання струни, у яких утворюється стояча хвиля (рис. 9.2).

Довжина стоячої хвилі Xта довжина струни bпов'язані рівнянням

Довжина стоячої хвилі може мати лише строго певні значення, що відповідають числу п,яке набуває тільки цілочисленних невід'ємних значень 1,2,3 і т.д. Як очевидно з рис. 9.2 число максимумів амплітуди коливань, тобто. форма стоячої хвилі, однозначно визначається значенням п.

Оскільки електронна хвиля в атомі є більш складним процесом, ніж стояча хвиля струни, значення хвильової функції електрона визначаються не одним, а че-

Рис. 9.2.

трьома числами, які називаються квантовими числами та позначаються буквами п, /, ті s.Даному набору квантових чисел п, /, тодночасно відповідають певна хвильова функція Ч"лДл, і повна енергія E„j.Квантове число тпри Ене вказують, тому що без зовнішнього поля енергія електрона від тне залежить. Квантове число sне впливає ні на 4 * п хт,ні на E n j.

• ~ elxv dlxv 62*p
• Символи --, --- означають другі приватні похідні від fir1 дуг 8z2 Ч"-функції. Це похідні від перших похідних. Сенс першої похідної збігається з тангенсом кута нахилу функції Ч" від аргументу х, уілі z на графіках? = j(x), Т =/2(у), Ч" =/:!(z).