Усі цілі рішення нерівності. Лінійні нерівності, приклади, розв'язання

Нерівністьце вираз с, ≤, або ≥. Наприклад, 3x - 5 Вирішити нерівність означає знайти всі значення змінних, у яких ця нерівність правильна. Кожне з цих чисел є рішенням нерівності, а безліч таких рішень є його безліччю рішень. Нерівності, які мають таку ж безліч рішень, називаються еквівалентними нерівностями.

Лінійні нерівності

Принципи розв'язання нерівностей аналогічні принципам розв'язання рівнянь.

Принципи вирішення нерівностей
Для будь-яких дійсних чисел a, b, і c:
Принцип додавання нерівностей: Якщо a Принцип множення для нерівностей: Якщо a 0 вірно, тоді ac Якщо a bc також вірно.
Подібні твердження також застосовуються для a b.

Коли обидві сторони нерівності множаться на негативне число, необхідно повністю змінити знак нерівності.
Нерівності першого рівня, як у прикладі 1 (нижче), називаються лінійними нерівностями.

Приклад 1Вирішіть кожну з таких нерівностей. Потім зобразіть безліч розв'язків.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Рішення
Будь-яке число, менше 11/5, є рішенням.
Безліч рішень є (x|x
Щоб перевірити, ми можемо намалювати графік y 1 = 3x - 5 і y 2 = 6 - 2x. Тоді звідси видно, що для x
Безліч рішень є (x|x ≤ 1), або (-∞, 1) Графік безлічі рішень зображений нижче.

Подвійні нерівності

Коли дві нерівності з'єднані словом і, аботоді формується подвійна нерівність. Подвійна нерівність, як
-3 і 2x + 5 ≤ 7
називається з'єднаним, тому що в ньому використано і. Запис -3 Подвійні нерівності можуть бути вирішені з використанням принципів додавання та множення нерівностей.

Приклад 2Вирішіть -3 РішенняУ нас є

Безліч рішень (x|x ≤ -1 або x > 3). Ми можемо також написати рішення з використанням позначення інтервалу та символ для об'єднанняабо включення обох множин: (-∞ -1] (3, ∞) Графік множини рішень зображений нижче.

Для перевірки намалюємо y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 і y 3 = 1. Зауважте, що для (x|x ≤ -1 або x > 3), y 1 ≤ y 2 або y 1 > y 3 .

Нерівності з абсолютним значенням (модулем)

Нерівності іноді містять модулі. Наступні властивості використовуються їх вирішення.
Для а > 0 та алгебраїчного виразу x:
|х| |х| > a еквівалентно x чи x > a.
Подібні твердження для |x| ≤ a та |x| ≥ a.

Наприклад,
|х| |y| ≥ 1 еквівалентно y ≤ -1 або y ≥ 1;
та |2x + 3| ≤ 4 еквівалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Приклад 4Вирішіть кожну з таких нерівностей. Побудуйте графік множини рішень.
a) | 3x + 2 | b) |5 - 2x| ≥ 1

Рішення
a) | 3x + 2 |

Безліч рішень є (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Множиною рішення є (x|x ≤ 2 або x ≥ 3), або (-∞, 2].Цілі числа, що входять у даний проміжок - це -3; -2; -1; 0; 1. Всього їх 5.

4) Скільки цілих чисел є розв'язками системи нерівностей?

Наприклад, нерівністю є вираз (x> 5).

Види нерівностей:

Якщо \(a\) і \(b\) – це числа або , то нерівність називається числовим. Фактично, це просто порівняння двох чисел. Такі нерівності поділяються на вірніі невірні.

Наприклад:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неправильна числова нерівність, так як \(17+3=20\), а \(20\) менше \(115\) (а не більше або одно).

Якщо ж \(a\) і \(b\) - це вирази, що містять змінну, то у нас нерівність зі змінною. Такі нерівності поділяють за типами залежно від вмісту:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Змінна тільки в першому ступені
\(3x^2-x+5>0\)				Є змінна в другому ступені (квадраті), але немає старших ступенів (третього, четвертого і т.д.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... і так далі.

Що таке розв'язання нерівності?

Якщо в нерівність замість змінної підставити якесь число, воно перетвориться на числове.

Якщо це значення для ікса перетворює вихідне нерівність вірне числове, воно називається вирішенням нерівності. Якщо ж ні - то це значення рішенням не є. І щоб вирішити нерівність- Треба знайти всі його рішення (або показати, що їх немає).

Наприклад,якщо ми в лінійну нерівність \(x+6>10\), підставимо замість ікса число \(7\) - отримаємо правильну числову нерівність: \(13>10\). А якщо підставимо \(2\), буде неправильна числова нерівність \(8>10\). Тобто \(7\) - це рішення вихідної нерівності, а \(2\) - ні.

Проте, нерівність (x+6>10) має й інші рішення. Справді, ми отримаємо вірні числові нерівності при підстановці і (5), і (12), і (138) ... І як же нам знайти всі можливі рішення? Для цього використовують Для нашого випадку маємо:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Тобто нам підійде будь-яке число більше чотирьох. Тепер слід записати відповідь. Вирішення нерівностей, як правило, записують числовими , додатково позначаючи їх на числовій осі штрихуванням. Для нашого випадку маємо:

Відповідь: \(x\in(4;+\infty)\)

Коли змінюється знак у нерівності?

У нерівностях є одна велика пастка, в яку дуже люблять траплятися учні:

При множенні (або розподілі) нерівності на від'ємне число, змінюється на протилежний («більше» на «менше», «більше чи одно» на «менше чи одно» тощо)

Чому так відбувається? Щоб це зрозуміти, давайте подивимося перетворення числової нерівності \(3>1\). Воно вірне, трійка справді більше одиниці. Спочатку спробуємо помножити його на будь-яке позитивне число, наприклад двійку:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Як бачимо, після множення нерівність залишилася вірною. І на яке б позитивне число ми не множили – завжди отримуватимемо правильну нерівність. А тепер спробуємо помножити на негативне число, наприклад мінус трійку:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Вийшла неправильна нерівність, адже мінус дев'ять менше, ніж мінус три! Тобто для того, щоб нерівність стала вірною (а значить, перетворення множення на негативне було «законним»), потрібно перевернути знак порівняння, ось так: \(−9<− 3\).
З розподілом вийде аналогічно, можете перевірити самі.

Записане вище правило поширюється попри всі види нерівностей, а чи не лише на числові.

Приклад: Розв'язати нерівність \(2(x+1)-1<7+8x\)
Рішення:

\(2x+2-1<7+8x\)	Перенесемо \(8x\) вліво, а \(2\) і \(-1\) вправо, не забуваючи при цьому міняти знаки
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Поділимо обидві частини нерівності на \(-6\), не забувши поміняти з "менше" на "більше"
	Зазначимо на осі числовий проміжок. Нерівність, тому саме значення \(-1\) «виколюємо» і у відповідь не беремо
	Запишемо відповідь у вигляді інтервалу

Відповідь: \(x\in(-1;\infty)\)

Нерівності та ОДЗ

Нерівності, як і рівняння можуть мати обмеження на , тобто значення ікса. Відповідно, із проміжку рішень мають бути виключені ті значення, які неприпустимі за ОДЗ.

Приклад: Розв'язати нерівність \(\sqrt(x+1)<3\)

Рішення: Зрозуміло, що для того щоб ліва частина була меншою (3), підкорене вираз має бути менше (9) (адже з (9) саме (3)). Отримуємо:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Всі? Нам підійде будь-яке значення ікса менше (8)? Ні! Тому що якщо ми візьмемо, наприклад, начебто підходяще під вимогу значення \(-5\) - воно рішенням вихідної нерівності не буде, тому що призведе нас до обчислення кореня з негативного числа.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Тому ми повинні враховувати обмеження на значення ікса – він може бути таким, щоб під коренем було негативне число. Таким чином, маємо другу вимогу на ікс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

І щоб ікс був остаточним рішенням, він повинен задовольняти відразу обом вимогам: він повинен бути меншим (8) (щоб бути рішенням) і більше (-1) (щоб бути допустимим у принципі). Наносячи на числову вісь, маємо остаточну відповідь:

Відповідь: \(\left[-1;8\right)\)

Після отримання початкових відомостей про нерівності зі змінними переходимо до питання їх вирішення. Розберемо розв'язання лінійних нерівностей з однією змінною і всі методи для їх вирішення з алгоритмами та прикладами. Буде розглянуто лише лінійні рівняння з однією змінною.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Що таке лінійна нерівність?

На початку необхідно визначити лінійне рівняння та з'ясувати його стандартний вигляд і чим воно відрізнятиметься від інших. Зі шкільного курсу маємо, що у нерівностей немає принципової різниці, тому необхідно використовувати кілька визначень.

Визначення 1

Лінійна нерівність з однією змінною x – це нерівність виду a · x + b > 0 коли замість > використовується будь-який знак нерівності< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Визначення 2

Нерівності a · x< c или a · x >c , з x є змінною, а a і c деякими числами, називають лінійними нерівностями з однією змінною.

Так як нічого не сказано за те, чи може коефіцієнт дорівнювати 0 тоді строга нерівність виду 0 · x > c і 0 · x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Їх відмінності полягають у:

• формі запису a · x + b > 0 у першому, і a · x > c – у другому;
• допустимості рівності нулю коефіцієнта a, a ≠ 0 - у першому, і a = 0 - у другому.

Вважається, що нерівності a · x + b > 0 і a · x > c рівносильні, тому що отримані перенесенням доданку з однієї частини до іншої. Вирішення нерівності 0 · x + 5 > 0 призведе до того, що його необхідно буде вирішити, причому випадок а = 0 не підійде.

Визначення 3

Вважається, що лінійними нерівностями в одній змінній x вважаються нерівності виду a · x + b< 0 , a · x + b >0 , a · x + b ≤ 0і a · x + b ≥ 0, де a та b є дійсними числами. Замість x може бути звичайне число.

Виходячи з правила, маємо, що 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 · x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 називають зведеними до лінійного.

Як вирішити лінійну нерівність

Основним способом вирішення таких нерівностей зводиться до рівносильних перетворень для того, щоб знайти елементарні нерівності x< p (≤ , >, ≥) , p є деяким числом, при a ≠ 0 , а виду a< p (≤ , >, ≥) при а = 0 .

Для вирішення нерівності з однією змінною, можна застосовувати метод інтервалів або зображати графічно. Будь-який з них можна застосовувати окремо.

Використовуючи рівносильні перетворення

Щоб розв'язати лінійну нерівність виду a · x + b< 0 (≤ , >, ≥) , необхідно застосувати рівносильні перетворення нерівності. Коефіцієнт може дорівнювати або не дорівнює нулю. Розглянемо обидва випадки. Для з'ясування необхідно дотримуватись схеми, що складається з 3 пунктів: суть процесу, алгоритм, саме рішення.

Визначення 4

Алгоритм розв'язання лінійної нерівності a · x + b< 0 (≤ , >, ≥) при a ≠ 0

• число b буде перенесено в праву частину нерівності з протилежним знаком, що дозволить дійти рівносильного a · x< − b (≤ , > , ≥) ;
• проводитиметься розподіл обох частин нерівності на число, що не дорівнює 0 . Причому, коли a є позитивним, знак залишається, коли a – негативне, змінюється на протилежний.

Розглянемо застосування цього алгоритму на рішенні прикладів.

Приклад 1

Вирішити нерівність виду 3 · x + 12 ≤ 0 .

Рішення

Ця лінійна нерівність має a = 3 і b = 12 . Значить, коефіцієнт a при x не дорівнює нулю. Застосуємо вище сказані алгоритми, розв'яжемо.

Необхідно перенести доданок 12 до іншої частини нерівності зі зміною знака перед ним. Тоді одержуємо нерівність виду 3 · x ≤ − 12 . Необхідно зробити поділ обох частин на 3 . Знак не зміниться, тому що 3 є позитивним числом. Отримуємо, що (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , що дасть результат x ≤ − 4 .

Нерівність виду x ≤ − 4 є рівносильною. Тобто рішення для 3 · x + 12 ≤ 0 – це будь-яке дійсне число, яке менше або дорівнює 4 . Відповідь записується як нерівності x ≤ − 4 , чи числового проміжку виду (− ∞ , − 4 ) .

Весь вище прописаний алгоритм записується так:

3 · x + 12 ≤ 0; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

Відповідь: x ≤ − 4 або (− ∞ , − 4].

Приклад 2

Вказати всі наявні розв'язки нерівності − 2 , 7 · z > 0 .

Рішення

З умови бачимо, що коефіцієнт a при z дорівнює - 2, 7, а b у явному вигляді відсутня або дорівнює нулю. Перший крок алгоритму можна використовувати, а відразу переходити до другого.

Виробляємо поділ обох частин рівняння на число - 2 , 7 . Оскільки число негативне, потрібно змінити символ нерівності на протилежний. Тобто отримуємо, що (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Весь алгоритм запишемо у короткій формі:

− 2, 7 · z > 0; z< 0 .

Відповідь: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Приклад 3

Розв'язати нерівність - 5 · x - 15 22 ≤ 0 .

Рішення

За умовою бачимо, що необхідно вирішити нерівність з коефіцієнтом a при змінній x , яка дорівнює - 5 з коефіцієнтом b якому відповідає дріб - 15 22 . Вирішувати нерівність необхідно, слідуючи алгоритму, тобто: перенести - 15 22 в іншу частину з протилежним знаком, розділити обидві частини на - 5, змінити знак нерівності:

5 · x ≤ 15 22; - 5 · x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

При останньому переході для правої частини використовується правило розподілу числа з різними знаками 15 22: - 5 = - 15 22: 5 , після чого виконуємо поділ звичайного дробу на натуральне число - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Відповідь: x ≥ - 3 22 та [ - 3 22 + ∞) .

Розглянемо випадок, коли а = 0. Лінійний вираз виду a · x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Все ґрунтується на визначенні розв'язання нерівності. За будь-якого значення x отримуємо числову нерівність виду b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Усі судження розглянемо як алгоритму розв'язання лінійних нерівностей 0 · x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Визначення 5

Числова нерівність виду b< 0 (≤ , >, ≥) вірно, тоді вихідна нерівність має рішення за будь-якого значення, а невірно тоді, коли вихідна нерівність не має рішень.

Приклад 4

Розв'язати нерівність 0 · x + 7 > 0 .

Рішення

Ця лінійна нерівність 0 · x + 7 > 0 може набувати будь-якого значення x . Тоді отримаємо нерівність виду 7>0. Остання нерівність вважається вірною, отже будь-яке число може бути його вирішенням.

Відповідь: проміжок (− ∞ , + ∞) .

Приклад 5

Знайти розв'язання нерівності 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

Рішення

При підстановці змінної x будь-якого числа отримаємо, що нерівність набуде вигляду − 12 , 7 ≥ 0 . Воно є неправильним. Тобто 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 немає рішень.

Відповідь:рішень немає.

Розглянемо рішення лінійних нерівностей, де обидва коефіцієнти дорівнюють нулю.

Приклад 6

Визначити нерівність, що не має, з 0 · x + 0 > 0 і 0 · x + 0 ≥ 0 .

Рішення

При підстановці будь-якого числа замість x отримаємо дві нерівності виду 0 > 0 та 0 ≥ 0 . Перше є неправильним. Отже, 0 · x + 0 > 0 немає рішень, а 0 · x + 0 ≥ 0 має безліч рішень, тобто будь-яке число.

Відповідь: нерівність 0 · x + 0 > 0 не має рішень, а 0 · x + 0 ≥ 0 має розв'язки.

Цей метод розглядається у шкільному курсі математики. Метод інтервалів здатний вирішувати різні види нерівностей, а також лінійні.

Метод інтервалів застосовується для лінійних нерівностей за значення коефіцієнта x не дорівнює 0 . Інакше доведеться обчислювати за допомогою іншого методу.

Визначення 6

Метод інтервалів – це:

• введення функції y = a · x + b;
• пошук нулів для розбивання області визначення проміжки;
• визначення знаків поняття їх у проміжках.

Зберемо алгоритм для розв'язання лінійних рівнянь a · x + b< 0 (≤ , >, ≥) при a ≠ 0 за допомогою методу інтервалів:

• знаходження нулів функції y = a · x + b, щоб вирішити рівняння виду a · x + b = 0. Якщо a ≠ 0 тоді рішенням буде єдиний корінь, який прийме позначення х 0 ;
• побудова координатної прямої із зображенням точки з координатою х 0 при строгому нерівності точка позначається виколотий, при нестрогому - зафарбованої;
• визначення знаків функції y = a · x + b на проміжках, для цього необхідно знаходити значення функції у точках на проміжку;
• розв'язання нерівності зі знаками > або ≥ на координатній прямій додається штрихування над позитивним проміжком,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Розглянемо кілька прикладів розв'язання лінійної нерівності з допомогою методу інтервалів.

Приклад 6

Розв'язати нерівність - 3 · x + 12 > 0 .

Рішення

З алгоритму випливає, що спочатку потрібно знайти корінь рівняння − 3 · x + 12 = 0 . Отримуємо, що − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необхідно зобразити координатну пряму, де відзначаємо точку 4 . Вона буде виколота, тому що нерівність є суворою. Розглянемо креслення, наведене нижче.

Потрібно визначити знаки на проміжках. Щоб визначити його на проміжку (− ∞ , 4) необхідно провести обчислення функції y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Звідси отримаємо, що − 3 · 3 + 12 = 3> 0 . Знак на проміжку є позитивним.

Визначаємо знак із проміжку (4 , + ∞), тоді підставляємо значення х = 5 . Маємо, що − 3 · 5 + 12 = − 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Ми виконуємо розв'язання нерівності зі знаком > , причому штрихування виконується над позитивним проміжком. Розглянемо креслення, наведене нижче.

З креслення видно, що рішення має вигляд (− ∞ , 4) або x< 4 .

Відповідь: (− ∞ , 4) або x< 4 .

Щоб зрозуміти, як зображати графічно, необхідно розглянути на прикладі 4 лінійні нерівності: 0 , 5 · x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 і 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Їхніми рішеннями будуть значення x< 2 , x ≤ 2 , x >2 та x ≥ 2 . Для цього зобразимо графік лінійної функції y = 0 , 5 · x − 1 , наведений нижче.

Видно що

Визначення 7

• розв'язанням нерівності 0 , 5 · x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• рішенням 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 вважається проміжок, де функція y = 0 , 5 · x − 1 нижче Ох або збігається;
• рішенням 0 , 5 · x − 1 > 0 вважається проміжок, грі функція розташовується вище Ох;
• рішенням 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 вважається проміжок, де графік вище Ох або збігається.

Сенс графічного розв'язання нерівностей полягає у знаходженні проміжків, які необхідно зображати на графіку. У разі отримуємо, що ліва частина має y = a · x + b , а права – y = 0 , причому збігається з Ох.

Визначення 8

Побудова графіка функції y = a · x + b провадиться:

• під час розв'язання нерівності a · x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• під час розв'язання нерівності a · x + b ≤ 0 визначається проміжок, де графік зображується нижче за осю О х або збігається;
• під час розв'язання нерівності a · x + b > 0 проводиться визначення проміжку, де графік зображується вище Ох;
• під час розв'язання нерівності a · x + b ≥ 0 проводиться визначення проміжку, де графік знаходиться вище Ох або збігається.

Приклад 7

Розв'язати нерівність - 5 · x - 3 > 0 з допомогою графіка.

Рішення

Необхідно побудувати графік лінійної функції - 5 · x - 3> 0. Ця пряма є спадною, оскільки коефіцієнт при x є негативним. Для визначення координат точки його перетину з Ох - 5 · x - 3 > 0 отримаємо значення - 3 5 . Зобразимо графічно.

Вирішення нерівності зі знаком > , тоді необхідно звернути увагу на проміжок вище Ох. Виділимо червоним кольором необхідну частину площини та отримаємо, що

Необхідний проміжок є частиною Ох червоного кольору. Отже, відкритий числовий промінь - ∞ , - 3 5 буде розв'язанням нерівності. Якби за умовою мали сувору нерівність, тоді значення точки - 3 5 також було б рішенням нерівності. І збігалося б з Ох.

Відповідь: - ∞ , - 3 5 або x< - 3 5 .

Графічний спосіб рішення використовується, коли ліва частина відповідатиме функції y = 0 · x + b, тобто y = b. Тоді пряма буде паралельна Ох або збігається при b = 0. Ці нагоди показують, що нерівність може мати рішень, чи рішенням може бути будь-яке число.

Приклад 8

Визначити з нерівностей 0 · x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Рішення

Подання y = 0 · x + 7 є y = 7 тоді буде задана координатна площина з прямою, паралельною О х і перебуває вище О х. Значить, 0 · x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Графік функції y = 0 · x + 0 вважається y = 0 тобто пряма збігається з О х. Отже, нерівність 0 · x + 0 ≥ 0 має безліч розв'язків.

Відповідь: друга нерівність має рішення за будь-якого значення x .

Нерівності, що зводяться до лінійних

Розв'язання нерівностей можна звести до розв'язання лінійного рівняння, які називають нерівностями, що зводяться до лінійних.

Дані нерівності були розглянуті у шкільному курсі, оскільки вони були окремим випадком розв'язання нерівностей, що призводило до розкриття дужок та приведення подібних доданків. Наприклад розглянемо, що 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x - 3 5 - 2 · x + 1 > 2 7 · x .

Нерівності, наведені вище, завжди наводяться до виду лінійного рівняння. Після чого розкриваються дужки та наводяться подібні доданки, переносяться з різних частин, змінюючи знак на протилежний.

При зведенні нерівності 5 − 2 · x > 0 до лінійної, подаємо її таким чином, щоб вона мала вигляд − 2 · x + 5 > 0 , а для приведення другої одержуємо, що 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x. Необхідно розкрити дужки, навести подібні доданки, перенести всі доданки в ліву частину і навести подібні доданки. Це виглядає таким чином:

7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ ​​5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

Це наводить рішення до лінійної нерівності.

Ці нерівності розглядаються як лінійні, оскільки мають такий самий принцип вирішення, після чого можливе приведення їх до елементарних нерівностей.

Для вирішення такого виду нерівності такого виду необхідно звести його до лінійного. Це слід робити таким чином:

Визначення 9

• розкрити дужки;
• ліворуч зібрати змінні, а праворуч числа;
• навести подібні доданки;
• розділити обидві частини на коефіцієнт при x.

Приклад 9

Розв'язати нерівність 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1 .

Рішення

Розкриваємо дужки, тоді отримаємо нерівність виду 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . Після приведення подібних доданків маємо, що 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . Після перенесення доданків з лівої до правої, отримаємо, що 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Звідси має нерівність виду 32 ≤ 0 із отриманого при обчисленні 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, що нерівність невірна, отже, нерівність, дана за умовою, не має рішень.

Відповідь: немає рішень.

Варто відзначити, що є безліч нерівностей іншого виду, які можуть зводитись до лінійної або нерівності виду, показаного вище. Наприклад, 5 2 · x − 1 ≥ 1 є показовим рівнянням, яке зводиться до розв'язання лінійного вигляду 2 · x − 1 ≥ 0 . Ці випадки будуть розглянуті під час вирішення нерівностей цього виду.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Попередні відомості

Визначення 1

Нерівність виду $f(x) >(≥)g(x)$, в якій $f(x)$ і $g(x)$ будуть цілими раціональними виразами, називається цілою раціональною нерівністю.

Прикладами цілих раціональних нерівностей є лінійні, квадратні, кубічні нерівності із двома змінними.

Визначення 2

Значення $x$, у якому виконується нерівність з визначення $1$, називається коренем рівняння.

Приклад розв'язання таких нерівностей:

Приклад 1

Вирішити цілу нерівність $4x+3 >38-x$.

Рішення.

Спростимо цю нерівність:

Здобули лінійну нерівність. Знайдемо його рішення:

Відповідь: $ (7, ∞) $.

У цій статті ми розглянемо такі способи вирішення цілих раціональних нерівностей.

Спосіб розкладання на множники

Цей спосіб полягатиме в следующем: Записується рівняння виду $f(x)=g(x)$. Це рівняння наводиться до виду $φ(x)=0$ (де $φ(x)=f(x)-g(x)$). Потім функція $φ(x)$ розкладається на множники з мінімально можливими ступенями. Застосовується правило:Добуток багаточленів дорівнює нулю, коли один з них дорівнює нулю. Далі знайдене коріння відзначається на числовій прямій і будується крива знаків. Залежно від знака початкової нерівності записується відповідь.

Наведемо приклади рішення в такий спосіб:

Приклад 2

Вирішити розкладанням на множники. $y^2-9

Рішення.

Розв'яжемо рівняння $y^2-9

Використовуючи формулу різниці квадратів, маємо

Використовуючи правило рівності нулю добутку множників, отримаємо наступне коріння: $3$ і $-3$.

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «менший», то отримуємо

Відповідь: $(-3,3)$.

Приклад 3

Вирішити розкладанням на множники.

$x^3+3x+2x^2+6 ≥0$

Рішення.

Розв'яжемо наступне рівняння:

$x^3+3x+2x^2+6=0$

Винесемо за дужки загальні множники з перших двох доданків та з останніх двох

$x(x^2+3)+2(x^2+3)=0$

Винесемо загальний множник $(x^2+3)$

$(x^2+3)(x+2)=0$

Використовуючи правило рівності нулю добутку множників, отримаємо:

$x+2=0 \ і \ x^2+3=0$

$x=-2$ і "коріння немає"

Зобразимо криву знаків:

Так як у початковій нерівності знак «більше чи одно», то отримуємо

Відповідь: $(-∞,-2]$.

Спосіб введення нової змінної

Такий спосіб полягає в наступному: Записується рівняння виду $ f (x) = g (x) $. Вирішуємо його так: введемо таку нову змінну, щоб отримати рівняння, спосіб розв'язання якого вже відомий. Його, згодом, вирішуємо та повертаємося до заміни. Із неї і знайдемо рішення першого рівняння. Далі знайдене коріння відзначається на числовій прямій і будується крива знаків. Залежно від знака початкової нерівності записується відповідь.