Оснащення заняття: конспект лекцій.

Критерії оцінок

Порядок виконання роботи

Завдання 1.

Ознайомитись із лекцією № 9

Завдання 2.

лекція 9.

невизначеним інтегралом від цієї функції:

10 .

( dx)" = d ( dx) = f(x) dx

20. Невизначений інтеграл від диференціалу функції дорівнює цій функції плюс довільна постійна:

30. Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтегралу.

40.Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі алгебри невизначених інтегралів від доданків:

50. Якщо а - постійна, то справедлива формула

Перегляд вмісту документа
«Техніка інтегрування Безпосереднє інтегрування»

Практична робота№ 7

Техніка інтегрування. Безпосереднє інтегрування

Цілі:

вивчити формули та правила для обчислення невизначеного інтеграла

навчитись вирішувати приклади на безпосереднє інтегрування

Оснащення заняття: конспект лекцій.

Критерії оцінок

оцінка «5» ставиться за вірне виконання всіх завдань роботи

оцінка «4» ставиться виконання завдання 1 і правильне рішення будь-яких десяти прикладів із завдання 2.

оцінка «3» ставиться виконання завдання 1 і правильне рішення будь-яких семи прикладів із завдання 2.

Порядок виконання роботи

Завдання 1.

Ознайомитись із лекцією № 9

Користуючись лекціями, відповісти на запитання та відповіді записати у зошит:

1. Які характеристики невизначеного інтеграла ви знаєте?

2. Виписати до основних формул інтегрування

3. Які випадки можливі за безпосереднього інтегрування?

Завдання 2.

Розв'язати приклади для самостійного вирішення

лекція 9.

Тема “Невизначений інтеграл. Безпосереднє інтегрування»

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо F"(x) = f(x).

Будь-яка безперервна функція f(x) має безліч первісних, які відрізняються один від одного постійним доданком.

Загальний вираз F(x) +З сукупності всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від цієї функції:

dx = F(x) +C, якщо d(F(x) +C) = dx

Основні властивості невизначеного інтегралу

1 0 .Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції і диференціал від нього дорівнює підінтегральному виразу:

( dx)" = d ( dx) = f(x) dx

2 0 . Невизначений інтеграл від диференціалу функції дорівнює цій функції плюс довільна постійна:

3 0 . Постійний множник можна нести за знак невизначеного інтеграла.

4 0 .Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі алгебри невизначених інтегралів від доданків функцій:

+ dx

5 0 . Якщо а – постійна, то справедлива формула

Основні формули інтегрування (табличні інтеграли)

4.

5.

7.

9. = - ctgx + C

12. = arcsin + C

При застосуванні формул (3) (10). (11) знак абсолютної величини пишеться тільки у випадках, коли вираз, що стоїть під знаком логарифму, може мати негативне значення.

Кожну формулу легко перевірити. В результаті диференціювання правої частини виходить підінтегральний вираз.

Безпосереднє інтегрування.

Безпосереднє інтегрування ґрунтується на прямому використанні таблиці інтегралів. Тут можуть бути такі випадки:

1) даний інтеграл знаходиться безпосередньо за відповідним табличний інтеграл;

2) даний інтеграл після застосування властивостей 30 і 40 наводиться до одного або кількох табличних інтегралів;

3) даний інтеграл після елементарних тотожних перетворень над підінтегральною функцією та застосування властивостей 30 і 40 наводиться до одного або кількох табличних інтегралів.

приклади.

На підставі властивості 3 0 постійний множник 5 виноситься за знак інтеграла та, використовуючи формулу 1, отримаємо

Рішення. Використовуючи властивість 3 0 та формулу 2, отримаємо

6

Рішення. Використовуючи властивості 3 0 та 4 0 та формули 1 та 2, маємо

Х + 3) = 4 + 12 = 4 - 4 + 12х + С = + 12х + С

Постійна інтегрування дорівнює алгебраїчній сумі трьох постійних інтегрування, так як кожен інтеграл має свою довільну постійну (С 1 - С 2 + С 3 = С)

Рішення. Зводячи в квадрат та інтегруючи кожен доданок, маємо

Використовуючи тригонометричну формулу 1 + ctg 2 x =

= = - ctgx - x + C

Рішення. Віднімаючи та додаючи в чисельнику підінтегральної функції число 9, отримаємо

= = + = - =

Х + 9 + С = - х +

Приклади для самостійного вирішення

Обчисліть інтеграли, використовуючи безпосереднє інтегрування:

Контроль знань учнів:

перевірити практичну роботу;

Вимоги до оформлення практичної роботи:

Завдання має бути виконане у зошиті для практичних робіт

Роботу здати після заняття

Метод безпосереднього інтегрування заснований на перетворенні підінтегральної функції, застосуванні властивостей невизначеного інтеграла та приведенні підінтегрального виразу до табличної форми.

Наприклад:

Перевірка

Перевірка

2. Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод ґрунтується на введенні нової змінної. В інтегралі зробимо підстановку:

;

Отже, отримаємо:

Наприклад:

1)

Перевірка:

2)

Перевірка(На підставі властивості №2 невизначеного інтегралу):

Інтегроване частинами

Нехай u і v - Диференційовані функції. Розкриємо диференціал добутку цих функцій:

,

звідки

Проінтегруємо отриманий вираз:

Наприклад:

Перевірка(На підставі властивості №1 невизначеного інтегралу):

2)

Вирішуємо

Перевірка(На підставі властивості №1 невизначеного інтегралу):

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Завдання для домашнього вирішення

Знайти інтеграл:

а) ; е) ;

в) ; з)

г) ; і)

д); к)

а); е) ;

в); з) ;

д); к) .

а); в); д)

б); г); е)

Завдання для вирішення на практичних заняттях:

I. Метод безпосереднього інтегрування

а) ; ж);

б) ; з);

в) ; і)

г) ; к)

е) ; м)

ІІ. Метод підстановки (заміни змінної)

г); к) ;

д) ; л);

ІІІ. Метод інтегрування частинами

ТЕМА №4

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

При математичних розрахунках нерідко потрібно визначити збільшення первинної функції при зміні її аргументу в заданих межах. Таке завдання доводиться вирішувати при обчисленні площ та обсягів різних фігур, щодо середнього значення функції, при обчисленні роботи змінної сили. Ці завдання можна вирішити обчисленням відповідних певних інтегралів.

Мета заняття:

1. Навчитися обчислювати певний інтеграл за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

2. Вміти застосовувати поняття певного інтеграла на вирішення прикладних завдань.

ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ ТА ЙОГО ГЕОМЕТРИЧНИЙ ДУМКА

Розглянемо завдання знаходження площі криволінійної трапеції.

Нехай дана деяка функція y=f(x), графік якої зображений малюнку.

Рис 1. Геометричний зміст певного інтегралу.

На осі 0х оберемо крапки “a” і "в" і відновимо їх перпендикуляри до перетину з кривою. Фігура обмежена кривою, перпендикулярами та віссю 0х називається криволінійною трапецією. Розіб'ємо інтервал на ряд невеликих відрізків. Виберемо довільний відрізок. Добудуємо криволінійну трапецію, що відповідає цьому відрізку до прямокутника. Площа такого прямокутника визначиться як:

Тоді площа всіх добудованих прямокутників в інтервалі дорівнюватиме:

;

Якщо кожен із відрізків досить малий і прагне нулю, то сумарна площа прямокутників прагнутиме площі криволінійної трапеції:

;

Отже, завдання про обчислення площі криволінійної трапеції зводиться визначення межі суми.

Інтегральна сума є сума творів збільшення аргументу на значення функції f(x) , взятої у певній точці інтервалу, у межах якого змінюється аргумент. Математично завдання про знаходження межі інтегральної суми, якщо збільшення незалежної змінної прагне нулю, призводить до поняття певного інтеграла.

Функція f(x ) у деякому інтервалі від х = а до х = в інтегрована, якщо існує таке число, якого прагне інтегральна сума при Dх®0 . У цьому випадку число J називають певним інтегралом функції f(x) в інтервалі:

;

де ] а, в[ - Область інтегрування,

а-нижня межа інтегрування,

в-Верхня межа інтегрування.

Таким чином, з точки зору геометрії певний інтеграл є площа фігури, обмеженою графіком функції в певному інтервалі. а, в [і віссю абцис.

У цій темі ми докладно поговоримо про властивості невизначеного інтеграла та про знаходження самих інтегралів за допомогою згаданих властивостей. Також попрацюємо з таблицею невизначених інтегралів. Матеріал, викладений тут, є продовженням теми "Невизначений інтеграл. Початок" . Чесно кажучи, у контрольних роботах рідко зустрічаються інтеграли, які можна взяти з використанням типових таблиць та (або) найпростіших властивостей. Ці характеристики можна порівняти з абеткою, знання і розуміння якої необхідні розуміння механізму рішення інтегралів за іншими темах. Нерідко інтегрування з допомогою таблиць інтегралів і якостей невизначеного інтеграла називають безпосереднім інтегруванням.

До чого я веду: функції змінюються, але формула перебування похідної залишається незмінною, - на відміну інтеграла, котрому вже довелося перерахувати два методу.

Ходімо далі. Щоб знайти похідну $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ застосовна все та а формула $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, в яку доведеться підставити $u=x^(-\frac(1)(2))$, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ А ось щоб знайти інтеграл $\int x^(-\frac(1)(2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ потрібно застосування нового методу - підстановок Чебишева.

Ну і насамкінець: для знаходження похідної функції $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$ знову застосовна формула $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, в яку замість $u$ і $v$ підставимо відповідно $\sin x$ і $\frac(1)(x)$.А от $\int \sin x\cdot\frac(1)(x) dx$ не точніше, не виражається через кінцеве число елементарних функцій.

Підіб'ємо підсумки: там, де для знаходження похідної знадобилася одна формула, для інтеграла знадобилося чотири (і це не межа), - причому в останньому випадку інтеграл перебувати відмовився взагалі. Змінили функцію – знадобився новий метод інтегрування. Ось звідси і маємо багатосторінкові таблиці у довідниках. Відсутність загального методу (придатного для вирішення "вручну") призводить до великої кількості приватних методик, які застосовні лише для інтегрування свого, вкрай обмеженого класу функцій (у подальших темах ми займемося цими методами докладно). Хоча не можу не відзначити наявність алгоритму Ріша (раджу почитати опис у Вікіпедії), але він придатний лише для програмної обробки невизначених інтегралів.

Питання №3

Але якщо цих властивостей так багато, як мені навчитися брати інтеграли? Із похідними було легше!

Для людини поки існує лише один спосіб: вирішити якнайбільше прикладів на застосування різних методик інтегрування, щоб при появі нового невизначеного інтеграла можна було підібрати для нього метод рішення, ґрунтуючись на своєму досвіді. Розумію, що відповідь не надто обнадіює, але ні.

Властивості невизначеного інтегралу

Властивість №1

Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, тобто. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Ця властивість цілком природна, бо інтеграл і похідна – взаємно зворотні операції. Наприклад, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx\ right)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ і так далі.

Властивість №2

Невизначений інтеграл від диференціалу певної функції дорівнює цій функції, тобто. $ \ int \ mathrm d F (x) = F (x) + C $.

Зазвичай ця властивість сприймається трохи складно, оскільки здається, що під інтегралом "нічого немає". Щоб цього уникнути, можна записати зазначену властивість так: $ int 1 mathrm d F (x) = F (x) + C $. Приклад застосування цієї властивості: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ або, якщо завгодно, у такій формі: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Властивість №3

Постійний множник можна виносити знак інтеграла, тобто. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (думаємо, що $a\neq 0$).

Властивість досить проста і, мабуть, коментарів не вимагає. Приклади: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Властивість №4

Інтеграл суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів від цих функцій:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Приклади: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

У стандартних контрольних роботах зазвичай застосовуються властивості №3 і №4, на них ми зупинимося детальніше.

Приклад №3

Знайти $\int 3 e^x dx$.

Використовуємо якість №3 і винесемо константу, тобто. число $3$, за знак інеграла: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Тепер відкриємо таблицю інтегралів і підставивши формулу №4 $u=x$ отримаємо: $\int e^x dx=e^x+C$. Звідси випливає, що $ int 3 e^x dx = 3 cdot int e ^ x dx = 3e ^ x + C $. Припускаю, що тут одразу виникне питання у читача, тому сформулюю це питання окремо:

Питання №4

Якщо $\int e^x dx=e^x+C$, то $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! Чому замість $3e^x+3C$ записали просто $3e^x+C$?

Питання цілком розумне. Справа в тому, що інтегральну константу (тобто те саме число $ C $) можна представляти у вигляді будь-якого виразу: головне, щоб цей вислів "пробігав" всі множини дійсних чисел, тобто. змінювалося в межах від $-\infty$ до $+\infty$. Наприклад, якщо $-\infty≤ C ≤ +\infty$, то $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, тому константа $C$ представима у формі $\frac(C)( 3) $. Можна записати, що $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ і тоді $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. Як бачите, ніякої суперечності тут немає, але потрібно бути обережними при зміні форми інтегральної константи. Наприклад, якщо уявити константу $C$ як $C^2$, це буде помилкою. Річ у тім, що $C^2 ≥ 0$, тобто. $C^2$ не змінюється від $-\infty$ до $+\infty$, не "пробігає" всі дійсні числа. Так само буде помилкою представляти константу як $\sin C$, оскільки $-1≤ \sin C ≤ 1$, тобто. $\sin C$ не "пробігає" всіх значень дійсної осі. Надалі це питання обговорювати особливо не будемо, а просто писатимемо константу $C$ для кожного невизначеного інтеграла.

Приклад №4

Знайти $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Використовуємо властивість №4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Тепер винесемо константи (числа) за знаки інтегралів:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

Далі попрацюємо з кожним отриманим інтегралом окремо. Перший інтеграл, тобто. $\int \sin x dx$, легко знайти у таблиці інтегралів під №5. Підставляючи у формулу №5 $u=x$ отримаємо: $\int \sin x dx=-cos x+C$.

Для знаходження другого інтеграла $\int\frac(dx)(x^2+9)$ потрібно застосувати формулу №11 з таблиці інтегралів. Підставляючи в неї $u=x$ і $a=3$ отримаємо: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x)( 3) + C $.

І, нарешті, для знаходження $\int x^3dx$ використовуємо формулу №1 з таблиці, підставивши в неї $u=x$ і $\alpha=3$: $\int x^3dx=\frac(x^(3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Всі інтеграли, що входять у вираз $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$, знайдені. Залишилося лише підставити їх:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Завдання вирішено, відповідь така: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\frac(17 )(3)cdotarctgfrac(x)(3)-2cdot x^4+C$. Додам все ж таки одну маленьку примітку до цього завдання:

Зовсім маленька примітка

Можливо, ця вставка нікому не знадобиться, але все-таки згадаю, що $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Тобто. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9) $.

Розберемо приклад, у якому використовуємо формулу №1 з таблиці інтегралів для інтеррування ірраціональностей (коріння, простіше кажучи).

Приклад №5

Знайти $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Для початку зробимо ті ж дії, що і в прикладі №3, а саме: розкладемо інтеграл на два і винесемо константи за знаки інтегралів:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Оскільки $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, то $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7) )) dx $. Для знаходження даного інтеграла застосуємо формулу №1, підставивши в неї $u=x$ і $\alpha=\frac(4)(7)$: $\int x^(\frac(4)(7))dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)))(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. За бажання можна уявити $\sqrt(x^(11))$ як $x\cdot\sqrt(x^(4))$, але це не обов'язково.

Звернемося до другого інтегралу, тобто. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Оскільки $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) )$, то інтеграл, що розглядається, можна представити в такій формі: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$. Для знаходження отриманого інтеграла застосуємо формулу №1 з таблиці інтегралів, підставивши в неї $u=x$ і $\alpha=-\frac(6)(11)$: $\int x^(-\frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Підставляючи отримані результати, отримаємо відповідь:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11))))( 11)-frac(154cdotsqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Відповідь: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

І, нарешті, візьмемо інтеграл, який підпадає під формулу №9 таблиці інтегралів. Приклад №6, до якого ми зараз перейдемо, можна вирішити й іншим способом, але про це йтиметься в наступних темах. Поки що залишатимемося в рамках застосування таблиці.

Приклад №6

Знайти $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Для початку зробимо ту ж операцію, що й раніше: винесення константи (числа $12$) за знак інтеграла:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Отриманий інтеграл $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ вже близький до табличного $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ (формула №9 таблиці інтегралів). Відмінність нашого інтеграла в тому, що перед $x^2$ під коренем стоїть коефіцієнт $7$, якого табличний інтеграл не допускає. Отже, потрібно позбавитися цієї сімки, винісши її за знак кореня:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)( 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Якщо порівняти табличний інтеграл $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ і $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^ 2))$ стає видно, що вони мають однакову структуру. Тільки в інтегралі $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ замість $u$ коштує $x$, а замість $a^2$ коштує $\frac (15) (7) $. Що ж, якщо $a^2=\frac(15)(7)$, то $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Підставляючи $u=x$ і $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ у формулу $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin\ frac(u)(a)+C$, отримаємо такий результат:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Якщо врахувати, що $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, то результат можна переписати без "триповерхових" дробів:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Завдання вирішено, відповідь отримана.

Відповідь: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Приклад №7

Знайти $\int\tg^2xdx$.

Для інтегрування тригонометричних функцій є методи. Однак у разі можна обійтися знанням простих тригонометричних формул. Оскільки $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, то $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Враховуючи $\sin^2x=1-\cos^2x$, отримаємо:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Таким чином, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Розкладаючи отриманий інтеграл на суму інтегралів та застосовуючи табличні формули, матимемо:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Відповідь: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Оскільки зараз йтиметься лише про невизначений інтеграл, то для скорочення термін «невизначений» опускатимемо.

Щоб навчитися обчислювати інтеграли (чи, як кажуть, інтегрувати функції), потрібно, передусім, вивчити таблицю інтегралів:

Таблиця 1. Таблиця інтегралів

2. ( ),u>0. 2a. (α=0); 2б. (α=1); 2в. (α= ). 3. 3а. 4. 5. 5а) 6а. 7. 7а.

8. 9. 10. 10а. 11. 11а. 12. 13. 13а.

Крім того, потрібно вміння обчислювати похідну від заданої функції, а отже, потрібно згадати правила диференціювання та таблицю похідних основних елементарних функцій:

Таблиця 2. Таблиця похідних та правила диференціювання:

6.а .

(sin і) = cos і  і (cos u) = – sin і і

А ще нам знадобиться вміння знаходити диференціал функції. Нагадаємо, що диференціал функції
знаходять за формулою
, тобто. диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на диференціал її аргументу. Корисно пам'ятати і такі відомі співвідношення:

Таблиця 3. Таблиця диференціалів

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Причому використовувати ці формули можна як читаючи їх зліва направо, так і праворуч наліво.

Розглянемо послідовно три основні прийоми обчислення інтегралу. Перший з них називають методом безпосереднього інтегрування.Він заснований на використанні властивостей невизначеного інтеграла, включає два основні прийоми: розкладання інтеграла на алгебраїчну сумубільш простих і підведення під знак диференціалу, причому ці прийоми можна використовувати як самостійно, і у сукупності.

а)Розглянемо розкладання на суму алгебри– цей прийом передбачає використання тотожних перетворень підінтегральної функції та властивостей лінійності невизначеного інтеграла:
в.

приклад 1. Знайти інтеграли:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Рішення.

а)Перетворимо підінтегральну функцію, розділивши почленно чисельник на знаменник:

Тут використано властивість ступенів:
.

б) Спочатку перетворимо чисельник дробу, потім розділимо почленно чисельник на знаменник:

Тут також використано властивість ступенів:
.

Тут використано властивість:
,
.

.

Тут використані формули 2 та 5 таблиці 1.

приклад 2. Знайти інтеграли:

а)
; б)
;

в)
г)

д)
.

Рішення.

а)Перетворимо підінтегральну функцію, використовуючи тригонометричну тотожність:

.

Тут знову використано почленное розподіл чисельника на знаменник та формули 8 та 9 таблиці 1.

б) Аналогічно перетворимо, використовуючи тотожність
:

.

в) Спочатку розділимо почленно чисельник на знаменник і винесемо за знак інтеграла константи, потім використовуємо тригонометричну тотожність
:

г) Застосуємо формулу зниження ступеня:

,

д) Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворюємо:

Б)Розглянемо прийом інтегрування, який називають п відведенням під знак диференціалу. В основі цього прийому лежить властивість інваріантності невизначеного інтегралу:

якщо
, то для будь-якої функції, що диференціюється і=і(х) має місце:
.

Ця властивість дозволяє значно розширити таблицю найпростіших інтегралів, оскільки в силу цієї властивості формули таблиці 1 справедливі не тільки для незалежної змінної і, але і у випадку, коли і– диференційована функція будь-якої іншої змінної.

Наприклад,
, але і
, і
, і
.

Або
і
, і
.

Суть методу полягає у виділенні в заданому підінтегральному вираженні диференціала деякої функції так, щоб цей виділений диференціал разом з рештою виразу становили табличну формулу щодо цієї функції. У разі потреби при такому перетворенні можна додавати константи відповідним чином. Наприклад:

(В останньому прикладі записано ln(3 + x 2) замість ln | 3 + x 2 | , так як вираз 3+ x 2 завжди позитивно).

приклад 3. Знайти інтеграли:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
; е)
;

ж)
; з)
.

Рішення.

а).

Тут використані формули 2а, 5а та 7а таблиці 1, дві останні з яких отримані якраз шляхом підведення під знак диференціала:

Інтегрувати функції виду
доводиться дуже часто в рамках обчислення інтегралів від більш складних функцій. Щоб не повторювати описані вище дії, рекомендуємо запам'ятати відповідні формули, наведені в таблиці 1.

.

Тут використано формулу 3 таблиці 1.

в) Аналогічно, враховуючи що , перетворюємо:

.

Тут використано формулу 2в таблиці 1.

г)

.

д);

е)

.

ж);

з)

.

приклад 4. Знайти інтеграли:

а)
б)

в)
.

Рішення.

а) Перетворимо:

Тут також використана формула 3 таблиці 1.

б) Використовуємо формулу зниження ступеня
:

Тут використані формули 2а та 7а таблиці 1.

Тут поряд з формулами 2 і 8 таблиці 1 використані формули таблиці 3:
,
.

Приклад 5. Знайти інтеграли:

а)
; б)

в)
; г)
.

Рішення.

а) Твір
можна доповнити (див. формули 4 та 5 таблиці 3) до диференціалу функції
, де аі b- будь-які константи,
. Справді, звідки
.

Тоді маємо:

.

б) Використовуючи формулу 6 таблиці 3, маємо
, а також
отже, присутність у підінтегральному вираженні твору
означає підказку: під знак диференціалу слід внести вираз
. Тому отримуємо

в) Так само як у пункті б), твір
можна доповнити до диференціалу функції
. Тоді отримаємо:

.

г) Спочатку скористаємось властивостями лінійності інтеграла:

Приклад 6. Знайти інтеграли:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Рішення.

а)Враховуючи що
(Формула 9 таблиці 3), перетворимо:

б) Використовуючи формулу 12 таблиці 3, отримаємо

в) Враховуючи формулу 11 таблиці 3, перетворюємо

г) Використовуючи формулу 16 таблиці 3, отримаємо:

.

Приклад 7. Знайти інтеграли:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

Рішення.

а)Усі представлені у цьому прикладі інтеграли мають спільну особливість: підінтегральна функція містить квадратний тричлен. Тому і спосіб обчислення цих інтегралів буде заснований на тому самому перетворенні – виділення повного квадрата в цьому квадратному тричлені.

.

б)

.

в)

г)

p align="justify"> Прийом підведення під знак диференціала є усною реалізацією більш загального прийому обчислення інтеграла, званого методом підстановки або заміною змінної. Дійсно, щоразу, підбираючи відповідну формулу таблиці 1 до отриманої в результаті підведення під знак диференціала функції, ми подумки замінювали буквою іфункцію, що внесена під знак диференціала. Тому, якщо інтегрування шляхом підведення під знак диференціала не дуже виходить, можна робити заміну змінної. Докладніше про це – у наступному пункті.