У двовимірному просторі дві прямі перетинаються тільки в одній точці, що задається координатами (x, y). Так як обидві прямі проходять через точку їх перетину, то координати (х, y) повинні задовольняти обидва рівняння, які описують ці прямі. Скориставшись деякими додатковими навичками, ви зможете знаходити точки перетину парабол та інших квадратичних кривих.

Кроки

Точка перетину двох прямих

Запишіть рівняння кожної прямої, відокремивши змінну у на лівій стороні рівняння.Інші члени рівняння повинні розміщуватись на правій стороні рівняння. Можливо, дане рівняння замість «у» міститиме змінну f(x) або g(x); у цьому випадку відокремте таку змінну. Для відокремлення змінної виконайте відповідні математичні операції на обох сторонах рівняння.

• Якщо рівняння прямих вам не дано, на основі відомої вам інформації.
• приклад. Дані прямі, що описуються рівняннями та y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Щоб у другому рівнянні відокремити «у», додайте до обох сторін рівняння число 12:

1. Ви шукаєте точку перетину обох прямих, тобто точку, координати (х,у) якої задовольняють обидва рівняння. Так як на лівій стороні кожного рівняння знаходиться змінна "у", то вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння, можна прирівняти. Запишіть нове рівняння.

   • приклад. Так як y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)і y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), можна записати таку рівність: .

2. Знайдіть значення змінної "х".Нове рівняння містить лише одну змінну "х". Для знаходження "х" відокремте цю змінну на лівій стороні рівняння, виконавши відповідні математичні операції на обох сторонах рівняння. Ви повинні отримати рівняння х = __ (якщо ви не можете це зробити, цього розділу).

   • приклад. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Додати 2 x (\displaystyle 2x)до кожної сторони рівняння:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Відніміть 3 з кожної сторони рівняння:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Розділіть кожну сторону рівняння на 3:
   • x = 3 (\displaystyle x = 3).

3. Використовуйте знайдене значення змінної "х" для обчислення значення змінної "у".Для цього підставте знайдене значення «х» у рівняння (будь-яке) пряме.

   • приклад. x = 3 (\displaystyle x = 3)і y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Перевірте відповідь.Для цього підставте значення "х" в інше рівняння прямої і знайдіть значення "у". Якщо ви отримаєте різні значення у, перевірте правильність ваших обчислень.

   • Приклад: x = 3 (\displaystyle x = 3)і y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Ви отримали таке ж значення "у", тому у ваших обчисленнях помилок немає.

5. Запишіть координати (х, у).Обчисливши значення "х" та "у", ви знайшли координати точки перетину двох прямих. Запишіть координати точки перетину як (х,у).

   • приклад. x = 3 (\displaystyle x = 3)і y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Таким чином, дві прямі перетинаються у точці з координатами (3,6).

6. Обчислення у особливих випадках.У деяких випадках значення змінної "х" знайти не можна. Але це не означає, що ви припустилися помилки. Особливий випадок має місце при виконанні однієї з наступних умов:

   • Якщо дві прямі паралельні, вони не перетинаються. При цьому змінна «х» просто скоротиться, а ваше рівняння перетвориться на безглузду рівність (наприклад, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). У цьому випадку у відповіді запишіть, що прямі не перетинаються або рішення немає.
   • Якщо обидва рівняння описують одну пряму, точок перетину буде безліч. При цьому змінна «х» просто скоротиться, а ваше рівняння перетвориться на сувору рівність (наприклад, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). У цьому випадку у відповіді запишіть, що дві прямі збігаються.

   Завдання з квадратичними функціями

   1. Визначення квадратичної функції.У квадратичній функції одна або кілька змінних мають другий ступінь (але не вище), наприклад, x 2 (\displaystyle x^(2))або y 2 (\displaystyle y^(2)). Графіки квадратичних функцій є криві, які можуть не перетинатися або перетинатися в одній або двох точках. У цьому розділі ми розповімо вам, як знайти точку чи точки перетину квадратичних кривих.

   2. Перепишіть кожне рівняння, відокремивши змінну у на лівій стороні рівняння.Інші члени рівняння повинні розміщуватись на правій стороні рівняння.

      • приклад. Знайдіть точку (точки) перетину графіків x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)і
      • Відокремте змінну «у» на лівій стороні рівняння:
      • і y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • У цьому прикладі вам дана одна квадратична функція та одна лінійна функція. Пам'ятайте, що якщо вам дано дві квадратичні функції, обчислення аналогічні крокам, викладеним далі.

   3. Прирівняйте вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння.Так як на лівій стороні кожного рівняння знаходиться змінна "у", то вирази, розташовані з правого боку кожного рівняння, можна прирівняти.

      • приклад. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)і y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Перенесіть усі члени отриманого рівняння на його ліву сторону, а на правій стороні запишіть 0.Для цього виконайте базові математичні операції. Це дозволить вам вирішити отримане рівняння.

      • приклад. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Відніміть «x» з обох сторін рівняння:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Відніміть 7 з обох сторін рівняння:

   5. Розв'яжіть квадратне рівняння.Перенісши всі члени рівняння на його ліву сторону, ви одержали квадратне рівняння. Його можна вирішити трьома способами: за допомогою спеціальної формули і .

      • приклад. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • При розкладанні рівняння на множники ви отримаєте два двочлени, при перемноженні яких виходить вихідне рівняння. У нашому прикладі перший член x 2 (\displaystyle x^(2))можна розкласти на х * х. Зробіть наступний запис: (x) (x) = 0
      • У нашому прикладі вільний член -6 можна розкласти на такі множники: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • У прикладі другий член – це х (чи 1x). Складіть кожну пару множників вільного члена (у нашому прикладі -6), поки не отримаєте 1. У нашому прикладі придатною парою множників вільного члена є числа -2 і 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), так як − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Заповніть прогалини знайденої парою чисел: .

   6. Не забудьте про другу точку перетину двох графіків.Якщо ви вирішуєте завдання швидко та не дуже уважно, ви можете забути про другу точку перетину. Ось як знайти координати «х» двох точок перетину:

      • Приклад (розкладання на множники). Якщо у рівнянні (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)один із виразів у дужках дорівнюватиме 0, то все рівняння дорівнюватиме 0. Тому можна записати так: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x = 2) і x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (тобто ви знайшли два корені рівняння).
      • Приклад (використання формули або доповнення до повного квадрата). При використанні одного з цих методів у процесі вирішення з'явиться квадратний корінь. Наприклад, рівняння з нашого прикладу набуде вигляду x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Пам'ятайте, що при витягуванні квадратного кореня ви отримаєте два рішення. У нашому випадку: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), і 25 = (−5) ∗ (−5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Тому запишіть два рівняння та знайдіть два значення «х».

   7. Графіки перетинаються в одній точці або взагалі не перетинаються.Такі ситуації мають місце за дотримання таких умов:

      • Якщо графіки перетинаються в одній точці, квадратне рівняння розкладається на однакові множники, наприклад, (х-1) (х-1) = 0, а у формулі з'являється квадратний корінь з 0 ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). І тут рівняння має лише одне рішення.
      • Якщо графіки взагалі перетинаються, то рівняння на множники не розкладається, а формулі з'являється квадратний корінь з негативного числа (наприклад, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). У цьому випадку напишіть у відповіді, що рішення немає.

При вирішенні деяких геометричних завдань методом координат доводиться знаходити координати точки перетину прямих. Найчастіше доводиться шукати координати точки перетину двох прямих на площині, проте іноді виникає потреба у визначенні координат точки перетину двох прямих у просторі. У цій статті ми розберемося зі знаходженням координат точки, в якій перетинаються дві прямі.

Навігація на сторінці.

Крапка перетину двох прямих – визначення.

Давайте спочатку дамо визначення точки перетину двох прямих.

Таким чином, щоб знайти координати точки перетину двох прямих, визначених на площині загальними рівняннями, потрібно вирішити систему, що складається з рівнянь заданих прямих.

Розглянемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть точку перетину двох прямих, визначених у прямокутній системі координат на площині рівняннями x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Рішення.

Нам дано два загальні рівняння прямих, складемо з них систему: . Рішення отриманої системи рівнянь легко знаходяться, якщо дозволити її перше рівняння щодо змінної x і підставити цей вираз до другого рівняння:

Знайдене рішення системи рівнянь дає нам шукані координати точки перетину двох прямих.

Відповідь:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 та 5x-2y-16=0 .

Отже, знаходження координат точки перетину двох прямих, визначених загальними рівняннями на площині, зводиться до розв'язання системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими змінними. А як бути, якщо прямі на площині задані не загальними рівняннями, а рівняннями іншого виду (дивіться види рівняння прямої на площині)? У цих випадках можна спочатку привести рівняння прямих до загального вигляду, а вже після цього знаходити координати точки перетину.

приклад.

та .

Рішення.

Перед знаходженням координат точки перетину заданих прямих наведемо їх рівняння до загального вигляду. Перехід від параметричних рівнянь прямої до загального рівняння цієї прямої виглядає так:

Тепер проведемо необхідні дії з канонічним рівнянням прямої:

Таким чином, шукані координати точки перетину прямих є рішенням системи рівнянь виду . Використовуємо для її вирішення:

Відповідь:

M 0 (-5, 1)

Існує ще один спосіб знаходження координат точки перетину двох прямих на площині. Його зручно застосовувати, коли одна з прямих задана параметричними рівняннями виду , а інша – рівнянням прямої іншого виду. В цьому випадку в інше рівняння замість змінних x та y можна підставити вирази і , Звідки можна буде отримати значення , яке відповідає точці перетину заданих прямих. При цьому точка перетину прямих має координати.

Знайдемо координати точки перетину прямих із попереднього прикладу цим способом.

приклад.

Визначте координати точки перетину прямих та .

Рішення.

Підставимо в рівняння прямої вирази:

Розв'язавши отримане рівняння, отримуємо . Це значення відповідає загальній точці прямих та . Обчислюємо координати точки перетину, підставивши параметричні рівняння прямої:
.

Відповідь:

M 0 (-5, 1).

Для повноти картини слід обговорити ще один момент.

Перед знаходженням координат точки перетину двох прямих на площині корисно переконатися, що задані прямі дійсно перетинаються. Якщо з'ясується, що вихідні прямі збігаються або паралельні, то про знаходження координат точки перетину таких прямих не може бути мови.

Можна, звичайно, обійтися і без такої перевірки, а одразу скласти систему рівнянь виду і вирішити її. Якщо система рівнянь має єдине рішення, воно дає координати точки, у якій вихідні прямі перетинаються. Якщо система рівнянь рішень немає, можна робити висновок про паралельність вихідних прямих (оскільки немає такої пари дійсних чисел x і y , яка б задовольняла одночасно обом рівнянням заданих прямих). З наявності нескінченної множини рішень системи рівнянь випливає, що вихідні прямі мають нескінченно багато загальних точок, тобто збігаються.

Розглянемо приклади, які підходять під ці ситуації.

приклад.

З'ясуйте, чи прямі і , і якщо перетинаються, то знайдіть координати точки перетину.

Рішення.

Заданим рівнянням прямих відповідають рівняння і . Вирішимо систему, складену з цих рівнянь .

Очевидно, що рівняння системи лінійно виражаються один через одного (друге рівняння системи виходить з першого множенням обох його частин на 4), отже, система рівнянь має безліч рішень. Таким чином, рівняння визначають одну і ту ж пряму, і ми не можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Відповідь:

Рівняння і визначають у прямокутній системі координат Oxy ту саму пряму, тому ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих і , якщо це можливо.

Рішення.

Умова завдання припускає, що прямі можуть бути такими, що не перетинаються. Складемо систему даних рівнянь. Застосуємо для її вирішення, тому що він дозволяє встановити спільність або несумісність системи рівнянь, а у разі її спільності знайти рішення:

Останнє рівняння системи після прямого ходу методу Гауса звернулося в неправильну рівність, отже, система рівнянь немає рішень. Звідси можна дійти невтішного висновку, що вихідні прямі паралельні, і ми можемо говорити про знаходження координат точки перетину цих прямих.

Другий спосіб розв'язання.

Давайте з'ясуємо, чи перетинаються задані прямі.

- нормальний вектор прямий , а вектор є нормальним вектором прямої . Перевіримо виконання і : рівність Правильно, оскільки , отже, нормальні вектори заданих прямих колінеарні. Тоді ці прямі паралельні або збігаються. Отже, ми можемо знайти координати точки перетину вихідних прямих.

Відповідь:

Координати точки перетину заданих прямих знайти неможливо, оскільки ці прямі паралельні.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину прямих 2x-1=0 і якщо вони перетинаються.

Рішення.

Складемо систему із рівнянь, які є загальними рівняннями заданих прямих: . Визначник основної матриці цієї системи рівнянь відмінний від нуля Тому система рівнянь має єдине рішення, що свідчить про перетин заданих прямих.

Для знаходження координат точки перетину прямих нам потрібно вирішити систему:

Отримане рішення дає нам координати точки перетину прямих, тобто, 2x-1=0 та .

Відповідь:

Знаходження координат точки перетину двох прямих у просторі.

Координати точки перетину двох прямих тривимірному просторі знаходяться аналогічно.

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть координати точки перетину двох прямих, заданих у просторі рівняннями і .

Рішення.

Складемо систему рівнянь із рівнянь заданих прямих: . Рішення цієї системи дасть нам шукані координати точки перетину прямих у просторі. Знайдемо рішення записаної системи рівнянь.

Основна матриця системи має вигляд , а розширена - .

Визначимо А і ранг матриці T. Використовуємо

Перетин на осі абсцис необхідно вирішити рівняння y₁=y₂, тобто k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Перетворіть цю нерівність, отримавши k₁x-k₂x=b₂-b₁. Тепер виразіть x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Таким чином, ви знайдете точку перетину графіків, яка знаходиться по осі OX. Знайдіть точку перетину на осі ординат. Просто підставте в якусь із функцій значення x, яке ви знайшли раніше.

Попередній варіант підходить для графіків. Якщо функція , скористайтеся наступними інструкціями. Так само, як і з лінійною функцією, знайдіть значення x. Для цього розв'яжіть квадратне рівняння. У рівнянні 2x² + 2x - 4=0 знайдіть (рівняння дано для прикладу). І тому використовуйте формулу: D= b² – 4ac, де b – значення перед X, а c – це числове значення.

Підставивши числові значення, отримайте вираз виду D = 4 + 4 * 4 = 4 + 16 = 20. Від значення дискримінанта залежать рівняння. Тепер до значення змінної b зі знаком «-» додайте або відніміть (по черзі) корінь з отриманого дискримінанта і поділіть на подвійний добуток коефіцієнта a. Так ви знайдете коріння рівняння, тобто координати точок перетину.

Графіки функції мають особливість: вісь OX перетинатиметься двічі, тобто ви знайдете дві координати осі абсцис. Якщо ви отримаєте періодичне значення залежності X від Y, тоді знайте, що графік перетинається у нескінченній кількості точок із віссю абсцис. Перевірте, чи знайшли точки перетину. Для цього підставте значення X рівняння f(x)=0.

Джерела:

• Знаходження точок перетину прямих

Якщо ви знаєте значення а, то ви можете сказати, що вирішили квадратне рівняння, тому що його коріння буде знайдено дуже легко.

Вам знадобиться

• -формула дискримінанта квадратного рівняння;
• -знання таблиці множення

Інструкція

Відео на тему

Корисна порада

Дискримінант квадртаного рівняння може бути позитивним, негативним, або дорівнювати 0.

Джерела:

• Розв'язання квадратних рівнянь
• дискримінант парний

Порада 3: Як знайти координати точок перетину графіка функції

Графік функції y = f(х) - це безліч усіх точок площини, координати х, які задовольняють співвідношенню y = f(x). Графік функції наочно ілюструє поведінку та властивості функції. Для побудови графіка зазвичай вибирається кілька значень аргументу x для них обчислюються відповідні значення функції y=f(x). Для більш точного та наочного побудови графіка корисно знайти його точки перетину з осями координат.

Інструкція

При перетині осі абсцис (осі Х) значення функції дорівнює 0, тобто. y=f(x)=0. Для обчислення x необхідно розв'язати рівняння f(x)=0. У разі функції отримуємо рівняння ax+b=0 і знаходимо x=-b/a.

Таким чином, вісь Х перетинається у точці (-b/a,0).

У складніших випадках, наприклад, у разі квадратичної залежності y від х, рівняння f(x)=0 має два корені, отже, вісь абсцис перетинається двічі. У залежності від х, наприклад y=sin(x), має нескінченну кількість точок перетину з віссю Х.

Для перевірки правильності знаходження координат точок перетину графіка функції з віссю Х необхідно підставити знайдені значення x(x). Значення виразу при будь-якому з обчислених х має дорівнювати 0.

Інструкція

Спочатку необхідно обговорити вибір зручної на вирішення завдання системи координат. Зазвичай, у завданнях такого роду одну з трикутника поміщають на осі 0Х так, щоб одна точка збігалася з початком координат. Тому не варто відходити від загальноприйнятих канонів рішення та зробити також (див. рис. 1). Спосіб завдання самого трикутника не відіграє принципової ролі, тому що завжди можна перейти від одного з них до (у чому ви надалі зможете переконатися).

Нехай шуканий трикутник заданий двома векторами його сторін АС і АВ a(x1, y1) та b(x2, y2), відповідно. Понад те, по побудові y1=0. Третя сторона ВС відповідає c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2) згідно з даною ілюстрацією. Точка А вміщена на початок координат, тобто її координатиА(0, 0). Легко також помітити, що координати(x2, y2), a C (x1, 0). Звідси можна дійти невтішного висновку, що завдання трикутника двома векторами автоматично збіглося з його завданням трьома точками.

Далі слід добудувати шуканий трикутник до відповідного за розмірами паралелограма ABDC. При цьому, що в точці перетинуДіагонал паралелограма вони діляться так, що АQ медіана трикутника АВС, опускається з А на сторону ВС. Вектор діагоналі містить цю і є, за правилом паралелограма, геометричною сумою a і b. Тоді s = a + b, яке координати s(x1+x2, y1+y2) = s(x1+x2, y2). Такі ж координатибудуть і біля точки D(x1+x2, y2).

Тепер можна переходити до складання рівняння прямої, що містить s, медіану AQ і, найголовніше, шукану точку перетинумедіан H. Оскільки сам вектор s є напрямним для даної прямої, а також відома точка А(0, 0), що належить їй, то найпростіше – це використовувати рівняння плоскої прямої в канонічному вигляді:(x-x0)/m =(y-y0)/n.Тут (x0, y0) координатидовільної точки прямої (точка А(0, 0)), а (m, n) - координати s (вектор (x1+x2, y2)) І так, шукана пряма l1 матиме вигляд: x/(x1+x2)=y/ y2.

Самий спосіб знаходження – її у перетині. Тому слід знайти ще одну пряму, що містить т. зв. для цього на рис. 1 побудова ще одного паралелограма АPBC, діагональ якого g = a + c = g (2x1-x2, -y2) містить другу медіану CW, опущену З на бік АВ. Це діагональ містить точку С(x1, 0), координатиякої будуть відігравати роль (x0, y0), а напрямний вектор тут буде g(m, n) = g(2x1-x2, -y2). Звідси l2 визначається рівнянням: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Щоб знайти координати точки перетину графіків функцій потрібно прирівняти обидві функції один до одного, перенести в ліву частину всі члени, що містять $ x $, а в праву інші і знайти коріння отриманого рівняння.
2. Другий спосіб полягає в тому, що потрібно скласти систему рівнянь та вирішити її шляхом підстановки однієї функції до іншої
3. Третій спосіб має на увазі графічну побудову функцій та візуальне визначення точки перетину.

Випадок двох лінійних функцій

Розглянемо дві лінійні функції $ f (x) = k_1 x + m_1 $ і $ g (x) = k_2 x + m_2 $. Ці функції називаються прямими. Побудувати їх досить легко, потрібно взяти будь-які два значення $x_1$ і $x_2$ і знайти $f(x_1)$ та $(x_2)$. Потім повторити те саме і з функцією $g(x)$. Далі візуально знайти координату точки перетину графіків функцій.

Слід знати, що лінійні функції мають лише одну точку перетину і лише тоді, коли $ k_1 \neq k_2 $. Інакше, у разі $k_1=k_2$ функції паралельні один одному, тому що $k$ - це коефіцієнт кута нахилу. Якщо $ k_1 \neq k_2 $, але $ m_1 = m_2 $, тоді точкою перетину буде $ M (0; m) $. Це правило бажано запам'ятати для прискореного вирішення завдань.

Приклад 1

Нехай дані $ f (x) = 2x-5 $ і $ g (x) = x +3 $. Знайти координати точки перетину графіків функцій.

Рішення

Як це зробити? Оскільки представлені дві лінійні функції, то насамперед дивимося на коефіцієнт кута нахилу обох функцій $ k_1 = 2 $ і $ k_2 = 1 $. Помічаємо, що $ k_1 \neq k_2 $ тому існує одна точка перетину. Знайдемо її за допомогою рівняння $ f (x) = g (x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносимо доданки з $ x $ в ліву частину, а інші в праву: $$ 2x - x = 3+5 $$ Отримали $x=8$ абцису точки перетину графіків, а тепер знайдемо ординату. Для цього підставимо $ x = 8 $ у будь-яке з рівнянь хоч у $ f (x) $, або в $ g (x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Отже, $M(8;11)$ - є точкою перетину графіків двох лінійних функцій. Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача!

Відповідь

$$ M (8;11) $$

Випадок двох нелінійних функцій

Приклад 3

Знайти координати точки перетину графіків функцій: $f(x)=x^2-2x+1$ та $g(x)=x^2+1$

Рішення

Як бути із двома нелінійними функціями? Алгоритм простий: прирівнюємо рівняння один до одного і знаходимо коріння: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Розносимо з різних боків рівняння члени з $ x $ і без нього: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Знайдено абцису шуканої точки, але її недостатньо. Ще не вистачає ординати $y$. Підставляємо $ x = 0 $ у будь-яке з двох рівнянь умови завдання. Наприклад: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - точка перетину графіків функцій

Відповідь

$$ M (0;1) $$

Урок із серії «Геометричні алгоритми»

Здрастуйте, дорогий читачу!

Продовжимо знайомитись з геометричними алгоритмами. На минулому уроці ми виявили рівняння прямої лінії за координатами двох точок. У нас вийшло рівняння виду:

Сьогодні ми напишемо функцію, яка за рівняннями двох прямих ліній знаходитиме координати їхньої точки перетину (якщо така є). Для перевірки рівності дійсних чисел будемо використовувати спеціальну функцію RealEq().

Крапки на площині описуються парою дійсних чисел. При використанні речового типу операції порівняння краще оформити спеціальними функціями.

Причина відома: на типі Real у системі програмування Паскаль немає відношення порядку, тому записи виду a = b, де a та b речові числа, краще не використовувати.
Сьогодні ми введемо у вжиток функцію RealEq() для реалізації операції “=” (суворо одно):

Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Завдання. Встановлено рівняння двох прямих: і . Знайти точку їхнього перетину.

Рішення. Очевидне рішення полягає в тому, щоб розв'язати систему рівнянь прямих: Давайте перепишемо цю систему дещо інакше:
(1)

Введемо позначення: , , . Тут D - визначник системи, а - визначники, що виходять в результаті заміни стовпця коефіцієнтів за відповідним невідомим стовпцем вільних членів. Якщо , то система (1) є певною, тобто має єдине рішення. Це рішення можна знайти за такими формулами: , , які називаються формулами Крамера. Нагадаю, як обчислюється визначник другого порядку. У визначнику розрізняють дві діагоналі: головну та побічну. Головна діагональ складається з елементів, взятих у напрямку від лівого верхнього кута визначника в нижній правий кут. Побічна діагональ – з правого верхнього до нижнього лівого. Визначник другого порядку дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.

У програмному коді для перевірки перевірки рівності використовується функція RealEq(). Обчислення над речовими числами виробляються з точністю до _Eps = 1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real = 1e-7; (точність обчислень) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: Real; Function RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (Строго одно) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Ми склали програму, за допомогою якої можна, знаючи рівняння ліній, знайти координати їхньої точки перетину.