Обчислити модуль геометричної суми векторів. Вектори

Багато фізичних величин повністю визначаються завданням деякого числа. Це, наприклад, обсяг, маса, густина, температура тіла та ін. Такі величини називаються скалярними. У зв'язку із цим числа іноді називають скалярами. Але є такі величини, які визначаються завданням як числа, а й деякого напрями. Наприклад, під час руху тіла слід зазначити як швидкість, з якою рухається тіло, а й напрям руху. Так само, вивчаючи дію будь-якої сили, необхідно вказати як значення цієї сили, а й напрям її дії. Такі величини називаються векторні.Для їх опису було введено поняття вектора, яке виявилося корисним для математики.

Визначення вектора

Будь-яка впорядкована пара точок А до простору В визначає спрямований відрізок, тобто. відрізок разом із заданим на ньому напрямом. Якщо точка А перша, її називають початком спрямованого відрізка, а точку У - його кінцем. Напрямком відрізка вважають напрямок від початку до кінця.

Визначення
Спрямований відрізок називається вектором.

Позначатимемо вектор символом \(\overrightarrow(AB) \), причому перша буква означає початок вектора, а друга - його кінець.

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовимта позначається \(\vec(0) \) або просто 0.

Відстань між початком та кінцем вектора називається його довжиноюі позначається \(|\overrightarrow(AB)| \) або \(|\vec(a)| \).

Вектори \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \) називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути спрямовані однаково або протилежно.

Тепер можна сформулювати важливе поняття рівності двох векторів.

Визначення
Вектори \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \) називаються рівними (\(\vec(a) = \vec(b) \)), якщо вони колінеарні, однаково спрямовані та їх довжини рівні .

На рис. 1 зображені зліва нерівні, а праворуч - рівні вектори \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \). З визначення рівності векторів випливає, що якщо цей вектор перенести паралельно самому собі, то вийде вектор, що дорівнює цьому. У зв'язку з цим вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Вектор проекції на вісь

Нехай у просторі задані вісь \(u \) та деякий вектор \(\overrightarrow(AB) \). Проведемо через точки А та В площині, перпендикулярні осі (u). Позначимо через А і В точки перетину цих площин з віссю (див. малюнок 2).

Проекцією вектора \(\overrightarrow(AB)\) на вісь \(u \) називається величина А "В" спрямованого відрізка А "В" на осі \(u \). Нагадаємо, що
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , якщо напрямок \(\overrightarrow(A"B") \) збігається з напрямком осі \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , якщо напрямок \(\overrightarrow(A"B") \) протилежно напрямку осі \(u \),
Позначається проекція вектора \(\overrightarrow(AB) \) на вісь \(u \) так: \(Пр_u \overrightarrow(AB) \).

Теорема
Проекція вектора \(\overrightarrow(AB) \) на вісь \(u \) дорівнює довжині вектора \(\overrightarrow(AB) \) , помноженої на косинус кута між вектором \(\overrightarrow(AB) \) і віссю \( u \), тобто.

\(Пр_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) де \(\varphi \) - кут між вектором \(\overrightarrow(AB) \) та віссю \(u \).

Зауваження
Нехай \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) і задана якась вісь \(u \). Застосовуючи до кожного з цих векторів формулу теореми, отримуємо

\(Пр_u \overrightarrow(A_1B_1) = Пр_u \overrightarrow(A_2B_2) \) тобто. рівні вектори мають рівні проекції на ту саму вісь.

Вектор проекції на осі координат

Нехай у просторі задані прямокутна система координат Oxyz та довільний вектор \(\overrightarrow(AB) \). Нехай, далі, \(X = Пр_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Пр_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Пр_u \overrightarrow(AB) \). Проекції X, Y, Z вектора \(\overrightarrow(AB)\) на осі координат називають його координатами.При цьому пишуть
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Теорема
Якими б не були дві точки A(x 1 ; y 1 ; z 1) і B(x 2 ; y 2 ​​; z 2), координати вектора \(\overrightarrow(AB) \) визначаються такими формулами:

X = x 2 -x 1 Y = y 2 -y 1 Z = z 2 -z 1

Зауваження
Якщо вектор \(\overrightarrow(AB) \) виходить із початку координат, тобто. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, то координати X, Y, Z вектора \(\overrightarrow(AB) \) дорівнюють координатам його кінця:
X = x, Y = y, Z = z.

Напрямні косинуси вектор

Нехай дано довільний вектор \(\vec(a) = (X; Y; Z) \); будемо вважати, що \(\vec(a) \) виходить із початку координат і не лежить в жодній координатній площині. Проведемо через точку А площини, перпендикулярні до осей. Разом з координатними площинами вони утворюють прямокутний паралелепіпед, діагоналлю якого є відрізок ОА (див. малюнок).

З елементарної геометрії відомо, що квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів довжин трьох його вимірів. Отже,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Але \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); таким чином, отримуємо
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
або
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Ця формула виражає довжину довільного вектора через координати.

Позначимо через \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) кути між вектором \(\vec(a) \) та осями координат. З формул проекції вектора на вісь та довжини вектора отримуємо
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) називаються напрямними косинусами вектора \(\vec(a) \).

Зводячи у квадрат ліву та праву частини кожної з попередніх рівностей та підсумовуючи отримані результати, маємо
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
тобто. сума квадратів напрямних косінусів будь-якого вектора дорівнює одиниці.

Лінійні операції над векторами та їх основні властивості

Лінійними операціями над векторами називаються операції складання та віднімання векторів та множення векторів на числа.

Складання двох векторів

Нехай дані два вектори \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \). Сумою \(\vec(a) + \vec(b) \) називається вектор, який йде з початку вектора \(\vec(a) \) на кінець вектора \(\vec(b) \) за умови, що вектор \(\vec(b) \) доданий до кінця вектора \(\vec(a) \) (див. рисунок).

Зауваження
Дія віднімання векторів назад дії додавання, тобто. різницею \(\vec(b) - \vec(a) \) векторів \(\vec(b) \) і \(\vec(a) \) називається вектор, який у сумі з вектором\(\vec(a ) \) дає вектор \(\vec(b) \) (див. рисунок).

Зауваження
Визначивши суму двох векторів можна знайти суму будь-якого числа даних векторів. Нехай, наприклад, дано три вектори \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Склавши \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \), отримаємо вектор \(\vec(a) + \vec(b) \). Додавши тепер до нього вектор \(\vec(c) \), отримаємо вектор \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Добуток вектора на число

Нехай дані вектор \(\vec(a) \neq \vec(0) \) і число \(\lambda \neq 0 \). Добутком \(\lambda \vec(a) \) називається вектор, який колінеарен вектору \(\vec(a) \), має довжину, рівну \(|\lambda| |\vec(a)| \), і напрямок таке ж, як і вектор \(\vec(a) \) , якщо \(\lambda > 0 \), і протилежне, якщо \(\lambda Геометричний сенс операції множення вектора \(\vec(a) \neq \vec (0) \) на число \(\lambda \neq 0 \) можна виразити наступним чином: якщо \(|\lambda| >1 \), то при множенні вектора \(\vec(a) \) на число \( \lambda \) вектор \(\vec(a) \) "розтягується" в \(\lambda \) раз, а якщо \(|\lambda| 1 \).

Якщо \(\lambda =0 \) або \(\vec(a) = \vec(0) \), то добуток \(\lambda \vec(a) \) вважаємо рівним нульовому вектору.

Зауваження
Використовуючи визначення множення вектора на число неважко довести, що якщо вектори \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \) колінеарні і \(\vec(a) \neq \vec(0) \), то існує (і до того лише одне) число \(\lambda \) таке, що \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Основні властивості лінійних операцій

1. Переміщувальна властивість додавання
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Сполучна властивість додавання
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Сполучна властивість множення
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Розподільча властивість щодо суми чисел
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Розподільча властивість щодо суми векторів
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Зауваження
Ці властивості лінійних операцій мають фундаментальне значення, тому що дають змогу робити над векторами звичайні алгебраїчні дії. Наприклад, з властивостей 4 і 5 можна виконувати множення скалярного многочлена на векторний багаточлен «почленно».

Теореми про проекції векторів

Теорема
Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їх проекцій цієї вісь, тобто.
\(Пр_u (\vec(a) + \vec(b)) = Пр_u \vec(a) + Пр_u \vec(b) \)

Теорему можна узагальнити у разі будь-якої кількості доданків.

Теорема
При множенні вектора \(\vec(a) \) число \(\lambda \) його проекція на вісь також множиться цього число, тобто. \(Пр_u \lambda \vec(a) = \lambda Пр_u \vec(a) \)

Слідство
Якщо \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) і \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), то
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Слідство
Якщо \(\vec(a) = (x;y;z) \), то \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) для будь-якого числа \(\lambda \)

Звідси легко виводиться умова колінеарності двох векторів у координатах.
Справді, рівність \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) рівнозначна рівностям \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \) або
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) тобто. вектори \(\vec(a) \) і \(\vec(b) \) колінеарні в тому і лише в тому випадку, коли їх координати пропорційні.

Розкладання вектора за базисом

Нехай вектори \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) - поодинокі вектори осей координат, тобто. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), і кожен з них однаково спрямований з відповідною віссю координат (див. рисунок). Трійка векторів \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) називається базисом.
Має місце така теорема.

Теорема
Будь-який вектор \(\vec(a) \) може бути єдиним чином розкладений по базису \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), тобто. представлений у вигляді
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
де \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) - деякі числа.

Сума векторів. Довжина вектор. Дорогі друзі, у складі типів заднього іспиту присутня група завдань із векторами. Завдання досить широкий спектр (важливо знати теоретичні основи). Більшість вирішується усно. Питання пов'язані із знаходженням довжини вектора, суми (різниці) векторів, скалярного твору. Також багато завдань, при вирішенні яких необхідно здійснити дії з координатами векторів.

Теорія, що стосується теми векторів, нескладна, і її необхідно добре засвоїти. У цій статті розберемо завдання пов'язані зі знаходженням довжини вектора, а також суми (різниці) векторів. Деякі теоретичні моменти:

Концепція вектор

Вектор – це спрямований відрізок.

Всі вектори, що мають однаковий напрямок і рівні по довжині, є рівними.

*Всі представлені вище чотири вектори рівні!

Тобто, якщо ми будемо за допомогою паралельного перенесення переміщати цей вектор, то завжди отримаємо вектор рівний вихідному. Таким чином, рівних векторів може бути безліч.

Позначення векторів

Вектор може бути позначений латинськими великими літерами, наприклад:

При даній формі запису спочатку записується буква, що позначає початок вектора, потім буква, що позначає кінець вектора.

Ще вектор позначається однією літерою латинського алфавіту (великої):

Можливе також позначення без стрілок:

Сумою двох векторів АВ і ВС буде вектор АС.

Записується як АВ +ВС = АС.

Це правило називається - правилом трикутника.

Тобто, якщо ми маємо два вектори – назвемо їх умовно (1) та (2), і кінець вектора (1) збігається з початком вектора (2), то сумою цих векторів буде вектор, початок якого збігається з початком вектора (1) , а кінець збігається з кінцем вектора (2).

Висновок: якщо ми маємо на площині два вектори, то завжди зможемо знайти їхню суму. За допомогою паралельного перенесення можна перемістити будь-який із даних векторів і з'єднати його початок з кінцем іншого. Наприклад:

Перенесемо вектор b, або інакше – побудуємо рівний йому:

Яка сума кількох векторів? За тим же принципом:

* * *

Правило паралелограма

Це є наслідком викладеного вище.

Для векторів із загальним початком їхня сума зображується діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.

Побудуємо вектор рівний вектору bтак, щоб його початок збігався з кінцем вектора a, і ми можемо побудувати вектор, який буде їх сумою:

Ще трохи важливої ​​інформації, яка потрібна на вирішення завдань.

Вектор, рівний по довжині вихідному, але протилежно спрямований, позначається також має протилежний знак:

Ця інформація вкрай корисна для вирішення завдань, у яких стоїть питання про знаходження різниці векторів. Як бачите, різниця векторів це та сама сума в зміненому вигляді.

Нехай дано два вектори, знайдемо їх різницю:

Ми побудували вектор, протилежний вектору b, і знайшли різницю.

Координати вектора

Щоб знайти координати вектора, потрібно від координат кінця відняти відповідні координати початку:

Тобто, координати вектора є парою чисел.

Якщо

І координати векторів мають вигляд:

То c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Якщо

То c 1 = a 1 - b 1 c 2 = a 2 - b 2

Модуль вектор

Модулем вектора називається його довжина, що визначається за формулою:

Формула для визначення довжини вектора, якщо відомі координати його початку та кінця:

Розглянемо завдання:

Дві сторони прямокутника ABCD дорівнюють 6 і 8. Діагоналі перетинаються в точці О. Знайдіть довжину різниці векторів АВ і ВО.

Знайдемо вектор, який буде результатом АТ -ВО:

АТ -ВО = АО + (-ВО ) = АВ

Тобто різниця векторів АТ та ВО буде вектор АВ. А його довжина дорівнює восьми.

Діагоналі ромба ABCDдорівнюють 12 і 16. Знайдіть довжину вектора АВ + AD .

Знайдемо вектор, який буде сумою векторів AD та AB BC дорівнює вектору AD . Значить AB + AD = AB + BC = AC

AC це довжина діагоналі ромба АС, Вона дорівнює 16.

Діагоналі ромба ABCD перетинаються у точці Oі дорівнюють 12 і 16. Знайдіть довжину вектора АО +ВО .

Знайдемо вектор, який буде сумою векторів АО і ВО ВО дорівнює вектору OD, з начит

AD це довжина сторони ромба. Завдання зводиться до знаходження гіпотенузи у прямокутному трикутнику AOD. Обчислимо катети:

За теоремою Піфагора:

Діагоналі ромба ABCD перетинаються в точці O і дорівнюють 12 і 16. Знайдіть довжину вектора АО –ВО.

Знайдемо вектор, який буде результатом АТ -ВО:

АВ це довжина сторони ромба. Завдання зводиться до знаходження гіпотенузи АВ у прямокутному трикутнику AOB. обчислимо катети:

За теоремою Піфагора:

Сторони правильного трикутника ABC дорівнюють 3.

Знайдіть довжину вектора АВ-АС.

Знайдемо результат різниці векторів:

СВ дорівнює трьом, оскільки за умови сказано, що трикутник рівносторонній та його сторони рівні 3.

27663. Знайдіть довжину вектора а (6; 8).

27664. Знайдіть квадрат довжини вектора АВ.

У математиці та фізиці студентам і школярам часто трапляються завдання на векторні величини та виконання різних операцій над ними. У чому відмінність векторних величин від звичних нам скалярних, єдина характеристика яких - це чисельне значення? У тому, що вони мають напрямок.

Найбільш наочно застосування векторних величин пояснюється у фізиці. Найпростішими прикладами є сили (сила тертя, сила пружності, вага), швидкість і прискорення, оскільки крім чисельних значень вони також мають напрямок дії. Для порівняння наведемо приклад скалярних величин: це може бути відстань між двома точками або маса тіла. Для чого необхідно виконувати дії над векторними величинами такі як додавання чи віднімання? Це потрібно, щоб можна було визначити результат дії системи векторів, що складається з 2 або більше елементів.

Визначення векторної математики

Введемо основні визначення, що використовуються під час виконання лінійних операцій.

1. Вектором називають спрямований (що має точку початку та точку кінця) відрізок.
2. Довжина (модуль) – це довжина спрямованого відрізка.
3. Колінеарними називають такі два вектори, які або паралельні одній і тій же прямій, або одночасно лежать на ній.
4. Протилежно спрямованими векторами називають колінеарні та при цьому спрямовані в різні боки. Якщо їх напрям збігається, всі вони є сонаправленными.
5. Вектори є рівними, коли вони співспрямовані та однакові за модулем.
6. Сумою двох векторів aі bє такий вектор c, початок якого збігається з початком першого, а кінець - з кінцем другого за умови, що bпочинається в тій самій точці, в якій закінчується a.
7. Різниця векторів aі bназивають суму aі ( - b ), де ( - b ) - протилежно спрямований до вектора b. Також визначення різниці двох векторів може бути наступне: різницею cпари векторів aі bназивають такою c, який при додаванні з віднімається bутворює зменшуване a.

Аналітичний метод

Аналітичний спосіб має на увазі отримання координат різниці за формулою без побудови. Можна виконати обчислення для плоского (двовимірного), об'ємного (тривимірного) або n-мірного простору.

Для двовимірного простору та векторних величин a {a₁;a₂) та b {b₁;b₂} розрахунки матимуть такий вигляд: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

У разі додавання третьої координати розрахунок буде проводитися аналогічно, і для a {a₁;a₂; a₃) та b {b₁;b₂; b₃) координати різниці будуть також отримані попарним відніманням: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃}.

Обчислення різниці графічно

Для того, щоб побудувати різницю графічним способом, слід скористатися правилом трикутника. Для цього необхідно виконати таку послідовність дій:

1. За заданими координатами побудувати вектори, котрим потрібно знайти різницю.
2. Поєднати їх кінці (тобто побудувати два спрямованих відрізка, рівних заданим, які будуть закінчуватися в одній точці).
3. Поєднати початки обох спрямованих відрізків та вказати напрямок; результуючий буде починатися в тій же точці, де починався вектор, що зменшується, і закінчуватися в точці початку віднімання.

Результат операції віднімання показаний на малюнку нижче.

Також існує метод побудови різниці, який незначно відрізняється від попереднього. Його суть полягає у застосуванні теореми про різницю векторів, яка формулюється наступним чином: для того, щоб знайти різницю пари спрямованих відрізків, достатньо знайти суму першого з них з відрізком, протилежно спрямованим до другого. Алгоритм побудови матиме такий вигляд:

1. Побудувати вихідні спрямовані відрізки.
2. Той, що віднімається, необхідно відобразити, тобто побудувати протилежно спрямований і рівний йому відрізок; потім поєднати його початок зі зменшуваним.
3. Побудувати суму: з'єднати початок першого відрізка із кінцем другого.

Результат такого рішення зображений на малюнку:

Розв'язання задач

Для закріплення навички розберемо кілька завдань, у яких потрібно розрахувати різницю аналітично чи графічно.

Завдання 1. На площині задано 4 точки: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Визначити координати вектора q = AB – CD, а також розрахувати його довжину.

Рішення. Спочатку слід знайти координати ABі CD. Для цього з координат кінцевих точок віднімемо координати початкових. Для ABпочатком є A(1; -3), а кінцем - B(0; 4). Розрахуємо координати спрямованого відрізка:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Аналогічний розрахунок виконується для CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Тепер, знаючи координати, можна знайти різницю векторів. Формула для аналітичного вирішення плоских завдань була розглянута раніше: c = a- bкоординати мають вигляд ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Для конкретного випадку можна записати:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Щоб знайти довжину q, скористаємося формулою q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Завдання 2. На малюнку зображені вектори m, n та p.

Необхідно побудувати їм різниці: p- n; m- n; m- n- p. З'ясувати, яка з них має найменший модуль.

Рішення. У задачі потрібно виконати три побудови. Розглянемо кожну частину завдання докладніше.

Частина 1.Для того, щоб зобразити p- n,скористаємося правилом трикутника. Для цього за допомогою паралельного перенесення з'єднаємо відрізки так, щоб збіглася їхня кінцева точка. Тепер з'єднаємо початкові точки та визначимо напрямок. У нашому випадку вектор різниці починається там же, де і віднімається n.

Частина 2.Зобразимо m - n. Тепер для вирішення скористаємося теоремою про різницю векторів. Для цього слід збудувати вектор, протилежний n,а потім знайти його суму з m.Отриманий результат виглядатиме так:

Частина 3Для того щоб знайти різницю m - n - p,слід розбити вираз на дві дії. Оскільки у векторній алгебрі діють закони аналогічні до законів арифметики, то можливі варіанти:

• m - (n + p): у цьому випадку спочатку будується сума n+p, яка потім віднімається з m;
• (m - n) - p: тут спочатку потрібно знайти m - n, а потім відібрати від цієї різниці p;
• (m - p) - n: першою дією визначається m - p, після чого від отриманого результату потрібно відняти n.

Так як у попередній частині завдання ми вже знайшли різницю m - n, нам залишається лише відняти від неї p. Побудуємо різницю двох даних векторів за допомогою теореми про різницю. Відповідь показана на зображенні нижче (червоним кольором позначено проміжний результат, а зеленим - остаточний).

Залишається визначити, модуль якого із відрізків є найменшим. Згадаймо, що поняття довжини та модуля у векторній математиці є ідентичними. Оцінимо візуально довжини p- n, m- nі m- n- p. Очевидно, що найкоротшим і найменшим модулем, що володіє, є відповідь в останній частині завдання, а саме m- n- p.

Математичні чи фізичні величини може бути представлені як скалярними величинами (чисельним значенням), і векторними величинами (величиною і напрямом у просторі).

Вектор є спрямований відрізок прямий, для якого зазначено, яка з його граничних точок є початком, а яка - кінцем. Таким чином, у векторі присутні дві складові – це його довжина та напрямок.

Вектор зображення на кресленні.

При роботі з векторами часто вводять деяку систему координат декартову в якій визначають координати вектора, розкладаючи його за базисними векторами:

Для вектора, розташованого в просторі координат (x, y, z) і що виходить із початку координат

Відстань між початком і кінцем вектора називається його довжиною, а позначення довжини вектора (його абсолютної величини) користуються символом модуля.

Вектори розташовані або на одній прямій або на паралельних прямих називаються колінеарними. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Серед колінеарних векторів розрізняють однаково спрямовані (соннаправлені) та протилежно спрямовані вектори. Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать або на одній площині, або на прямих, паралельних до однієї і тієї ж площини.

1.Довжина вектора (модуль вектора)

Довжина вектора визначає його скалярне значення і від його координат, але з його напрями. Довжина вектора (або модуль вектора) обчислюється через арифметичний квадратний корінь із суми квадратів координат (компонент) вектора (використовується правило обчислення гіпотенузи прямокутному трикутнику, де сам вектор стає гіпотенузою).

Через координати модуль вектора обчислюється так:

Для вектора, розташованого в просторі координат (x, y) і що виходить із початку координат

Для вектора, розташованого в просторі координат (x, y, z) і вихідного з початку координат, формула буде аналогічна формулі діагоналі прямокутного паралелепіпеда, так як вектор у просторі приймає таке саме положення щодо осей координат.

2. Кут між векторами

Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один із векторів навколо свого початку до положення другого вектора. Кут між векторами визначається за допомогою виразу для визначення скалярного твору векторів

Таким чином, косинус кута між векторами дорівнює відношенню скалярного добутку до довжин або модулів векторів. Даною формулою можна користуватися у випадку, якщо відомі довжини векторів та їх скалярний добуток, або вектори задані координатами прямокутної системи координат на площині або в просторі у вигляді: і .

Якщо вектори A і B задані у тривимірному просторі та координати кожного з них задані у вигляді: і , то кут між векторами визначається за таким виразом:

Слід зазначити, що кут між векторами можна також визначити застосовуючи теорему косинусів для трикутника: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.

де AB, OA, OB – відповідна сторона трикутника.

Теорема косінусів для трикутника

Стосовно векторного обчислення дана формула перепишеться таким чином:

Таким чином, кут між векторами і визначається за таким виразом:

де - модуль (довжина) вектора, а - модуль (довжина) вектора, який визначається з різниці двох векторів. Невідомі входять до рівняння визначаються за координатами векторів та .

3.Складання векторів

Додавання двох векторів (сума двох векторів) - це операція обчислення вектора , всі елементи якого рівні попарної сумі відповідних елементів векторів і . Якщо вектора задані в прямокутній системі координат суму векторів

У графічному вигляді, з кладення двох вільних векторівможна здійснювати як за правилом трикутника, так і за правилом паралелограма.

Складання двох векторів

Додавання двох ковзаючих векторів визначено лише у випадку, коли прямі, на яких вони розташовані, перетинаються. Додавання двох фіксованих векторів визначено лише у випадку, коли вони мають загальний початок.

Правило трикутника.

Для складання двох векторів і за правилом трикутника обидва ці вектори переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.

де - Кут між векторами, коли початок одного збігається з кінцем іншого.

Правило паралелограма.

Для складання двох векторів і за правилом паралелограма обидва ці вектори переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, що виходить із їхнього загального початку.

Модуль (довжину) вектора суми визначають за теоремою косінусів:

де - Кут між векторами що виходять з однієї точки.

Примітка:

Як видно, залежно від того, який кут вибирається, змінюється знак перед косинусом кута у формулі для визначення модуля (довжини) вектора суми.

4. Різниця векторів

Різниця векторів та (віднімання векторів) - це операція обчислення вектора , всі елементи якого рівні попарної різниці відповідних елементів векторів і . Якщо вектора задані в прямокутній системі координат різниця векторіві можна знайти за такою формулою:

У графічному вигляді, різницею векторів і називається сума вектора і протилежного вектора вектору , тобто.

Різниця двох вільних векторів

Різниця двох вільних векторів у графічному вигляді може бути визначена як за правилом трикутника, так і за правилом паралелограма. Модуль (довжина) вектора різниці визначається за теоремою косінусів. Залежно від кута у формулі змінюється знак перед косінусом (розглядалося раніше).

5.Скалярний добуток векторів

Скалярним твором двох векторів називається дійсне число, що дорівнює добутку довжин множуваних векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток векторів і позначається одним із наступних позначень або або визначається за формулою:

де-довжини векторів і, а - косинус кута між векторами.

Скалярний твір двох векторів

Скалярне твір також можна обчислити через координати векторів прямокутної системі координат на площині або в просторі.

Скалярним твором двох векторів на площині або тривимірному просторі в прямокутній системі координат називається сума творів відповідних координат векторів і .

Таким чином, для векторів та на площині у прямокутній декартовій системі координат формула для обчислення скалярного твору має такий вигляд:

Для тривимірного простору формула для обчислення скалярного добутку векторів має такий вигляд:

Властивості скалярного твору.

1.Властивість комутативності скалярного твору

2.Властивість дистрибутивності скалярного твору

3.Сполучна властивість скалярного твору (асоціативність)

де - довільне дійсне число.

Слід зазначити, що у випадку:

Якщо скалярний твір позитивний, отже, кут між векторами – гострий (менше 90 градусів);

Якщо скалярне твір негативно, отже, кут між векторами – тупий (більше 90 градусів);

Якщо скалярний добуток дорівнює 0, отже, вектори є ортогональними (які лежать перпендикулярно один до одного);

Якщо скалярний добуток дорівнює добутку довжин векторів, отже, ці вектори колінеарні між собою (паралельні).

6.Векторний твір векторів

Векторним твором двох векторів і називається вектор для якого виконуються такі умови:

1. вектор ортогональний (перпендикулярний) площині векторів і;