Будь-який коливальний контур випромінює енергію. Електричне поле, що змінюється, збуджує в навколишньому просторі змінне магнітне поле, і навпаки. Математичні рівняння, що описують зв'язок магнітного та електричного полів, були виведені Максвеллом та носять його ім'я. Запишемо рівняння Максвелла у диференціальній формі для випадку, коли відсутні електричні заряди () та струми ( j= 0 ):

Величини і - електрична та магнітна постійні, відповідно, які пов'язані зі швидкістю світла у вакуумі співвідношенням

Постійні та характеризують електричні та магнітні властивості середовища, яке ми вважатимемо однорідним та ізотропним.

За відсутності зарядів і струмів неможливе існування статичних електричного та магнітного полів. Однак змінне електричне поле збуджує магнітне поле, і навпаки змінне магнітне поле створює електричне поле. Тому є рішення рівнянь Максвелла у вакуумі, відсутність зарядів і струмів, де електричні і магнітні поля виявляються нерозривно пов'язаними один з одним. У теорії Максвелла вперше були об'єднані дві фундаментальні взаємодії, які раніше вважалися незалежними. Тому ми говоримо тепер про електромагнітне поле.

Коливальний процес у контурі супроводжується зміною навколишнього поля. Зміни, що відбуваються в навколишньому просторі, поширюються від точки до точки з певною швидкістю, тобто коливальний контур випромінює в навколишній простір енергію електромагнітного поля.

При строго гармонійній зміні в часі векторів та електромагнітна хвиля називається монохроматичною.

Отримаємо з рівнянь Максвелла хвильові рівняння для векторів та .

Хвильове рівняння для електромагнітних хвиль

Як уже зазначалося в попередній частині курсу, ротор (rot)та дивергенція (div)- це деякі операції диференціювання, які проводяться за певними правилами над векторами. Нижче ми познайомимося з ними ближче.

Візьмемо ротор від обох частин рівняння

При цьому скористаємося формулою, що доводиться в курсі математики:

де - введений вище лапласіан. Перше доданок у правій частині дорівнює нулю з іншого рівняння Максвелла:

Отримуємо в результаті:

Висловимо rot B через електричне поле за допомогою рівняння Максвелла:

і використовуємо цей вираз у правій частині (2.93). У результаті приходимо до рівняння:

Враховуючи зв'язок

і вводячи показник заломлення середи

запишемо рівняння для вектора напруженості електричного поля у вигляді:

Порівнюючи з (2.69), переконуємось, що ми отримали хвильове рівняння, де v- фазова швидкість світла у середовищі:

Взявши ротор від обох частин рівняння Максвелла

та діючи аналогічним чином, прийдемо до хвильового рівняння для магнітного поля:

Отримані хвильові рівняння і означають, що електромагнітне поле може існувати у вигляді електромагнітних хвиль, фазова швидкість яких дорівнює

У відсутність середовища (при) швидкість електромагнітних хвиль збігається зі швидкістю світла у вакуумі.

Основні властивості електромагнітних хвиль

Розглянемо плоску монохроматичну електромагнітну хвилю, що розповсюджується вздовж осі х:

Можливість існування таких рішень випливає із отриманих хвильових рівнянь. Однак напруженості електричного та магнітного полів не є незалежними один від одного. Зв'язок між ними можна встановити, підставляючи рішення (2.99) у рівняння Максвелла. Диференціальну операцію rot, що застосовується до деякого векторного поля Аможна символічно записати як детермінант:

Підставляючи сюди вирази (2.99), що залежать тільки від координати x, знаходимо:

Диференціювання плоских хвиль за часом дає:

Тоді з рівнянь Максвелла випливає:

Звідси випливає, по-перше, що електричне та магнітне поля коливаються у фазі:

Іншими словами, і в ізотропному середовищі,

Тоді можна вибрати координатні осі так, щоб вектор був спрямований уздовж осі у(Рис. 2.27) :

Рис. 2.27. Коливання електричного та магнітного полів у плоскій електромагнітній хвилі

У цьому випадку рівняння (2.103) набувають вигляду:

Звідси випливає, що вектор спрямований уздовж осі z:

Інакше висловлюючись, вектори електричного і магнітного поля ортогональні одне одному і обидва - напряму поширення хвилі. З урахуванням цього факту рівняння (2.104) ще спрощуються:

Звідси випливає звичайний зв'язок хвильового вектора, частоти та швидкості:

а також зв'язок амплітуд коливань полів:

Зазначимо, що зв'язок (2.107) має місце як для максимальних значень (амплітуд) модулів векторів напруженості електричного і магнітного поля хвилі, але й у поточних - у час.

Отже, з рівнянь Максвелла випливає, що електромагнітні хвилі поширюються у вакуумі зі швидкістю світла. Свого часу цей висновок справив величезне враження. Стало ясно, що не тільки електрика та магнетизм є різними проявами однієї й тієї ж взаємодії. Усі світлові явища, оптика також стали предметом теорії електромагнетизму. Відмінності у сприйнятті людиною електромагнітних хвиль пов'язані з їх частотою чи довжиною хвилі.

Шкала електромагнітних хвиль є безперервною послідовністю частот (і довжин хвиль) електромагнітного випромінювання. Теорія електромагнітних хвиль Максвелла дозволяє встановити, що у природі існують електромагнітні хвилі різних довжин, утворені різними вібраторами (джерелами). Залежно від способів отримання електромагнітних хвиль їх поділяють кілька діапазонів частот (або довжин хвиль).

На рис. 2.28 представлена ​​шкала електромагнітних хвиль.

Рис. 2.28. Шкала електромагнітних хвиль

Видно, що діапазони хвиль різних типів перекривають одне одного. Отже, хвилі таких довжин можна отримати у різний спосіб. Принципових відмінностей між ними немає, оскільки всі вони є електромагнітними хвилями, породженими зарядженими частинками, що коливаються.

Рівняння Максвелла призводять також висновку про поперечностіелектромагнітних хвиль у вакуумі (і в ізотропному середовищі): вектори напруженості електричного та магнітного полів ортогональні один одному та напрямку поширення хвилі.

додаткова інформація

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html - Хвильове рівняння. Матеріал із Фізичної Енциклопедії.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html - Рівняння Максвелла. Відеолекції.

http://elementy.ru/trefil/24 - Рівняння Максвелла. Матеріал із «Елементів».

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm - Дуже коротко про рівняння Максвелла.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Рівняння Максвелла та їх фізичний зміст.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Коротко про рівняння максвела для електромагнітного поля.

Ефект Доплера для електромагнітних хвиль

Нехай у деякій інерційній системі відліку Допоширюється пласка електромагнітна хвиля. Фаза хвилі має вигляд:

Спостерігач в іншій інерційній системі відліку До", що рухається щодо першої зі швидкістю Vвздовж осі x, також спостерігає цю хвилю, але користується іншими координатами та часом: t", r".Зв'язок між системами відліку дається перетвореннями Лоренца:

Підставимо ці вирази у вираз для фази , щоб отримати фазу хвилі в системі відліку, що рухається:

Цей вираз можна записати як

де і - циклічна частота і хвильовий вектор щодо системи відліку, що рухається. Порівнюючи з (2.110), знаходимо перетворення Лоренца для частоти та хвильового вектора:

Для електромагнітної хвилі у вакуумі

Нехай напрямок поширення хвилі становить у першій системі відліку кут з віссю х:

Тоді вираз для частоти хвилі в системі відліку, що рухається, набуває вигляду:

Це і є формула Доплера для електромагнітних хвиль.

Якщо , то спостерігач віддаляється від джерела випромінювання і частота хвилі, що сприймається ним, зменшується:

Якщо , то спостерігач наближається до джерела і частота випромінювання йому збільшується:

При швидкостях V<< с можна знехтувати відхиленням квадратного кореня в знаменниках від одиниці, і ми приходимо до формул, аналогічних формул (2.85) для ефекту Доплера в звуковій хвилі.

Відзначимо суттєву особливість ефекту Доплера для електромагнітної хвилі. Швидкість системи відліку, що рухається, відіграє тут роль відносної швидкості спостерігача і джерела. Отримані формули автоматично задовольняють принцип відносності Ейнштейна, і за допомогою експериментів неможливо встановити, що саме рухається - джерело або спостерігач. Це пов'язано з тим, що для електромагнітних хвиль відсутнє середовище (ефір), яке відігравало б ту ж роль, що й повітря для звукової хвилі.

Зауважимо також, що для електромагнітних хвиль має місце поперечний ефект Доплера. При частоті випромінювання змінюється:

у той час як для звукових хвиль рух у напрямку, ортогональному поширенню хвилі, не призводило до зсуву частот. Цей ефект прямо пов'язаний з релятивістським уповільненням часу в системі відліку, що рухається: спостерігач на ракеті бачить збільшення частоти випромінювання або, в загальному випадку, прискорення всіх процесів, що відбуваються на Землі.

Знайдемо тепер фазову швидкість хвилі

в системі відліку, що рухається. Маємо з перетворення Лоренца для хвильового вектора:

Підставимо сюди співвідношення:

Отримуємо:

Звідси знаходимо швидкість хвилі в системі відліку, що рухається:

Ми виявили, що швидкість хвилі в системі відліку, що рухається, не змінилася і, як і раніше, дорівнює швидкості світла з. Зазначимо все ж таки, що при коректних викладках, це не могло не вийти, оскільки інваріантність швидкості світла (електромагнітних хвиль) у вакуумі є основним постулатом теорії відносності вже «закладений» у використані нами перетворення Лоренца для координат і часу (3.109).

приклад 1.Фотонна ракета рухається зі швидкістю V = 0.9 спроведення курс на зірку, що спостерігається з Землі в оптичному діапазоні (довжина хвилі мкм). Знайдемо довжину хвилі випромінювання, яку спостерігатимуть космонавти.

Довжина хвилі обернено пропорційна частоті коливань. З формули (2.115) для ефекту Доплера у разі зближення джерела світла та спостерігача знаходимо закон перетворення довжин хвиль:

звідки слідує результат:

За рис. 2.28 визначаємо, що для космонавтів випромінювання зірки змістилося ультрафіолетовий діапазон.

Енергія та імпульс електромагнітного поля

Об'ємна щільність енергії wелектромагнітної хвилі складається з об'ємних щільностей електричного та магнітних полів.

Рівняння Максвелла та хвильове рівняння

Електромагнітні хвилі

У процесі поширення механічної хвилі в пружному середовищі коливальний рух залучаються частки середовища. Причиною цього є наявність взаємодії між молекулами.

Крім пружних хвиль у природі існує хвильовий процес іншої природи. Йдеться про електромагнітні хвилі, що є процесом поширення коливань електромагнітного поля. Фактично ми живемо у світі ЕМВ. Їхній діапазон неймовірно широкий – це радіохвилі, інфрачервоне випромінювання, ультрафіолетове, рентгенівське випромінювання, γ – промені. Особливе місце у цьому різноманітті займає видима частина діапазону – світло. Саме за допомогою цих хвиль ми отримуємо переважну кількість інформації про навколишній світ.

Що таке електромагнітна хвиля? Якою є її природа, механізм поширення, властивості? Чи існують загальні закономірності, характерні як пружних, так електромагнітних хвиль?

Рівняння Максвелла та хвильове рівняння

Електромагнітні хвилі цікаві тим, що спочатку вони були відкриті Максвеллом на папері. Грунтуючись на запропонованій ним системі рівнянь, Максвелл показав, що електричне і магнітне поля можуть існувати без зарядів і струмів, поширюючись у вигляді хвилі зі швидкістю 3∙10 8 м/с. Майже через 40 років передбачений Максвеллом матеріальний об'єкт – ЕМВ – був виявлений Герцем експериментально.

Рівняння Максвелла є постулатами електродинаміки, сформульованими з урахуванням аналізу досвідчених фактів. Рівняння встановлюють зв'язок між зарядами, струмами та полями – електричним та магнітним. Звернемося до двох рівнянь.

1. Циркуляція вектора напруженості електричного поля за довільним замкнутим контуром lпропорційна швидкості зміни магнітного потоку через поверхню, натягнуту на контур (це закон електромагнітної індукції Фарадея):

(1)

Фізичний зміст цього рівняння - магнітне поле, що змінюється, породжує електричне поле.

2. Циркуляція вектора напруженості магнітного поля за довільним замкнутим контуром lпропорційна швидкості зміни потоку вектора електричної індукції через поверхню, натягнуту на контур:

Фізичний зміст цього рівняння - магнітне поле породжується струмами і змінним електричним полем.

Навіть без будь-яких математичних перетворень цих рівнянь зрозуміло: якщо в якійсь точці змінюється електричне поле, то відповідно до (2) виникає магнітне поле. Це магнітне поле, змінюючись, породжує у відповідність до (1) електричне поле. Поля взаємно індукують один одного, вони вже не пов'язані із зарядами та струмами!

Більш того, процес взаємного індукування полів поширюватиметься у просторі з кінцевою швидкістю, тобто виникає електромагнітна хвиля. Для того щоб довести факт існування в системі хвильового процесу, в якому коливається величина S, необхідно отримати хвильове рівняння

Розглянемо однорідний діелектрик із діелектричною проникністю ε та магнітною проникністю μ. Нехай у цьому середовищі існують магнітне поле. Для простоти вважатимемо, що вектор напруженості магнітного поля розташовується вздовж осі ОY залежить тільки від координати z і часу t: .

Записуємо рівняння (1) і (2) з урахуванням зв'язку між характеристиками полів в однорідному ізотропному середовищі:

Знайдемо потік вектора через прямокутний майданчик KLMN і циркуляцію вектора прямокутним контуром KLPQ (KL = dz, LP = KQ = b LM = KN = a)

Очевидно, що потік вектора через майданчик KLMN і циркуляція контуру KLPQ відмінні від нуля. Тоді циркуляція вектора контуру KLMN і потік вектора через поверхню KLPQ теж відмінні від нуля. Таке можливе лише за умови, що за зміни магнітного поля виникло електричне поле , спрямоване вздовж осі ОX.

Висновок 1:При зміні магнітного поля виникає електричне поле, напруженість якого перпендикулярна до індукції магнітного поля .

З урахуванням сказаного система рівнянь перепишеться

Після перетворень отримуємо:

Рівняння Максвелла містять рівняння безперервності, що виражає закон збереження заряду. 3. Рівняння Максвелла виконуються у всіх інерційних системах звіту. 4. Рівняння Максвелла симетричні.

6.3.4. Електромагнітні хвилі

З рівнянь Максвелла випливає, що електромагнітне поле здатне існувати самостійно, без електричних зарядів та струмів. Електромагнітне поле, що змінюється, має хвильовий характер і поширюється у вакуумі у вигляді електромагнітних хвиль зі швидкістю світла.

Існування електромагнітних хвиль випливає з рівнянь Максвелла, які описуються хвильовими рівняннями для векторів та відповідно:

, (5.18)

, (5.19)

Зміна в часі магнітного поля збуджує змінне електричне поле та, навпаки, зміна в часі електричного поля збуджує змінне магнітне поле. Вихрове електричне поле, індуковане змінним магнітним полем , утворює з вектором лівовинтову систему (рис. 7.2), а вихрове магнітне поле, індуковане електричним полем , утворює з вектором правовинтову систему (рис. 5.2).

Відбувається безперервне їхнє взаємоперетворення, що і дає можливість

існувати і поширюватися їм у просторі та часі за відсутності зарядів та струмів.

Отже, теорія Максвелла як передбачила існування електромагнітних хвиль, а й встановила їх найважливіші властивості:

Швидкість поширення електромагнітної хвилі в нейтральному непровідному та неферомагнітному середовищі

(5.20)

де c – швидкість світла у вакуумі.

Рис. 5.3 Мал. 5.4

3. В електромагнітній хвилі вектори і завжди коливаються в однакових фазах (рис. 5.4), причому між миттєвими значеннями Е та В у будь-якій точці простору

існує зв'язок, а саме: Е = vB або
. (5.21)

Існування електромагнітних хвиль дозволило Максвеллу пояснити хвильову природу світла. Світло це електромагнітні хвилі.

6.3.5. Потік енергії електромагнітного поля

При поширенні електромагнітних хвиль у просторі та часі вони несуть із собою енергію. Вона укладена у електричному і магнітному полях, що взаємно перетворюються.

Об'ємна щільність енергії електричного поля

, (5.22)

де Е – напруженість електричного поля.

Об'ємна щільність енергії магнітного поля

, (5.23)

де В – індукція магнітного поля.

Отже, об'ємна щільність енергії електромагнітного поля в тій області простору, де знаходиться довільний момент часу електромагнітна хвиля,

W= w е + w м =
. (5.24)

Або з урахуванням того, що Е = сВ і
, маємо

w =  o E 2 , (5.25)

або
. (5.26)

Енергію, що переноситься електромагнітною хвилею в одиницю часу через одиничний майданчик, називають щільністю потоку електромагнітної енергії. Вектор густини потоку електромагнітної енергії називають вектором Пойнтінга.

Напрямок вектору Пойнтінга збігається із напрямом поширення електромагнітної хвилі, т. е. із напрямом перенесення енергії. Швидкість перенесення енергії дорівнює фазовій швидкості хвилі.

Якщо електромагнітна хвиля при розповсюдженні проходить крізь деякий майданчик S, перпендикулярний до напряму розповсюдження його, наприклад, уздовж осі Х, то за деякий проміжок часу dt хвиля пройде відстань dx = cdt, де - швидкість поширення хвилі.

Оскільки об'ємна щільність енергії електромагнітної хвилі

то повна енергія dW електромагнітної хвилі, укладена в обсязі

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5.27)

Отже, щільність потоку електромагнітної енергії, що проходить через майданчик S під час dt

. (5.28)

Вектор Пойнтінг збігається у напрямку зі швидкістю розповсюдження електромагнітної хвилі, яка перпендикулярна і , тобто.

. (5.29)

Групою диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння, яким повинен задовольняти кожен із векторів поля окремо, можна отримати винятком інших векторів. Для області поля, яка не містить вільних зарядів і струмів ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$) рівняння для векторів $\overrightarrow(B)$ і $\overrightarrow(E)$ мають вигляд:

Рівняння (1) і (2) - це звичайні рівняння хвильового руху, які позначають, що світлові хвилі поширюються у середовищі зі швидкістю ($v$) рівною:

Примітка 1

Слід зазначити, що поняття швидкості електромагнітної хвилі має певний сенс лише у зв'язку з хвилями простого вигляду, наприклад, плоскими. Швидкість $v$ не є швидкістю поширення хвилі у разі довільного розв'язання рівнянь (1) і (2), оскільки ці рівняння допускають рішення у вигляді стоячих хвиль.

У будь-якій хвильовій теорії світла елементарним процесом вважають гармонійну хвилю у просторі та часі. Якщо частота цієї хвилі лежить в інтервалі $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7,5\cdot (10)^(-14)\frac(1) (c)$, така хвиля викликає у людини фізіологічне відчуття певного кольору.

Для прозорих речовин діелектрична проникність $\varepsilon $ зазвичай більше одиниці, магнітна проникність середовища $\mu $ майже дорівнює одиниці, виходить, відповідно до рівняння (3) швидкість $v$ менша за швидкість світла у вакуумі. Що було вперше експериментально показано для випадку поширення світла у воді вченими Фукоі Фізо.

Зазвичай визначають не саму величину швидкості ($v$), а відношення $\frac(v)(c)$, навіщо користуються законом заломлення . Відповідно до цього закону при падінні плоскої електромагнітної хвилі на плоску межу, яка поділяє два однорідні середовища, відношення синуса кута $(\theta )_1$ падіння до синуса кута заломлення $(\theta )_2$ (рис.1) постійно і одно відношенню швидкостей поширення хвиль у двох середовищах ($v_1\ і (\v)_2$):

Значення постійного відношення виразу (4) зазвичай позначають $n_(12)$. Говорять, що $n_(12)$ -- відносний показник заломлення другої речовини по відношенню до першої, який відчуває хвильовий фронт (хвиля) при проходженні з першого середовища до другого.

Малюнок 1.

Визначення 1

Абсолютним показником заломлення(просто показником заломлення) середовища $n$ називають показник заломлення речовини по відношенню до вакууму:

Речовина, що має більший показник заломлення, є оптично більш щільним. Відносний показник заломлення двох речовин ($n_(12)$) пов'язаний з їх абсолютними показниками ($n_1,n_2$) як:

Формула Максвелла

Визначення 2

Максвелл отримав, що показник заломлення середовища залежить від його діелектричних та магнітних властивостей. Якщо формулу(5) підставити вираз швидкості поширення світла з рівняння (3), ми отримаємо:

\ \

Вираз (7) називається формулою Максвелла. Для більшості немагнітних прозорих речовин, які розглядаються в оптиці, магнітна проникність речовини приблизно можна вважати рівною одиниці, тому часто рівність (7) застосовують у вигляді:

Часто передбачається, що $varepsilon $ є постійною величиною. Однак нам добре відомі досліди Ньютона із призмою з розкладання світла, в результаті цих експериментів стає очевидним, що показник заломлення залежить від частоти світла. Отже, якщо вважати, що формула Максвелла справедлива, слід визнати, що діелектрична проникність речовини залежить від частоти поля. Зв'язок $\varepsilon$ із частотою поля можна пояснити лише в тому випадку, якщо взяти до уваги атомну будову речовини.

Однак треба сказати, що формула Максвелла з постійною діелектричною проникністю речовини, у деяких випадках може бути використана як гарне наближення. Прикладом можуть бути гази з простою хімічною структурою, в яких немає істотної дисперсії світла, що означає слабку залежність оптичних властивостей від кольору. Формула (8) також добре працює для рідких вуглеводнів. З іншого боку, у більшості твердих тіл, наприклад, у стекол, і великої частини рідин спостерігається сильне відхилення від формули (8), якщо вважати $\varepsilon $ постійною.

Приклад 1

Завдання:Яка концентрація вільних електронів в іоносфері, якщо відомо, що для радіохвиль із частотою $\nu$ показник її заломлення дорівнює $n$.

Рішення:

За основу розв'язання задачі візьмемо формулу Максвелла:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\left(1.2\right),\]

де $ \ Varkappa $ - Діелектрична сприйнятливість, P - миттєве значення поляризованості. З (1.1) і (1.2) випливає, що:

У тому випадку, якщо концентрація атомів в іоносфері дорівнює $n_0, то миттєве значення поляризованості дорівнює:

З виразів (1.3) та (1.4) маємо:

де $ omega $ - циклічна частота. Рівняння вимушених коливань електрона без урахування сили опору можна записати як:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\right),\]

де $m_e$ - маса електрона, $q_e$ - заряд електрона. Рішенням рівняння (1.7) служить вираз:

\ \

Нам відома частота радіохвиль, отже, можна знайти циклічну частоту:

\[\omega =2\pi \nu \left(1.10\right).\]

Підставимо в (1.5) праву частину виразу (1.9) замість $x_(max)$ і використовуємо (1.10), отримаємо:

Відповідь:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\left(1-n^2\right).$

Приклад 2

Завдання:Поясніть, чому формула Максвелла суперечить деяким експериментальним даним.

Рішення:

З класичної електромагнітної теорії Максвелла випливає, що показник заломлення середовища можна виразити як:

де оптичної області спектра більшість речовин вважатимуться, що $\mu \approx 1$. Виходить, що показник заломлення для речовини повинен бути постійною величиною, оскільки $ Varepsilon $ - Діелектрична проникність середовища постійна. Тоді як експеримент свідчить, що показник заломлення залежить від частоти. Проблеми, які постали перед теорією Максвелла у цьому питанні, усуває електронна теорія Лоренца. Лоренц розглядав дисперсію світла як результат взаємодії електромагнітних хвиль із зарядженими частинками, які входять до складу речовини та здійснюють вимушені коливання у змінному електромагнітному полі хвилі світла. Використовуючи свою гіпотезу, Лоренц отримав формулу, що зв'язує показник заломлення частотою електромагнітної хвилі (див. приклад 1).

Відповідь:Проблема теорії Максвелла полягає в тому, що вона є макроскопічною і не розглядає структуру речовини.

У техніці НВЧ інтерес представляє переважно поля, змінюються у часі за гармонійним законом (тобто. носять синусоїдальний характер).

Користуючись комплексним методом, запишемо вектори електричного та магнітного полів:

,
, (33)

де – кругова частота
.

Підставимо ці висловлювання в I і II - е рівняння Максвелла

,
.

Після диференціювання маємо:

, (34)

. (35)

Рівняння (34) можна перетворити на вигляд:

,

де
- Комплексна відносна діелектрична проникність з урахуванням втрат у середовищі.

Відношення уявної частини комплексної відносної діелектричної проникності до дійсної представляє тангенс кута діелектричних втрат.
. Таким чином, рівняння Максвелла для гармонійних коливань за відсутності вільних зарядів
мають вигляд:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

У такому вигляді рівняння Максвелла незручні та їх перетворять.

Рівняння Максвелла легко зводяться до хвильових рівнянь, до яких входить лише один із векторів поля. Визначаючи
з (37) і підставляючи його в (36), отримуємо:

розкриємо ліву частину використовуючи формулу III:

Введемо позначення
, Тоді з урахуванням
, Отримаємо:

. (40)

Таке ж рівняння можна отримати відносно

. (41)

Рівняння (40) - (41) отримали назву поранень Гельмгольця. Вони описують поширення хвиль у просторі та є доказом того, що зміна в часі електричного та магнітного полів призводить до поширення електромагнітних хвиль у просторі.

Ці рівняння справедливі будь-якої системи координат. При використанні прямокутної системи координат матимемо:

, (42)

, (43)

де
– ядичні вектори

Якщо підставити співвідношення (42) і (43) до рівнянь (40) і (41), то останні розпадаються на шість незалежних рівнянь:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

де
.

У загальному випадку в прямокутній системі координат для знаходження складових поля необхідно вирішити одне лінійне диференціальне рівняння другого порядку

,

де - Одна із складових поля, тобто.
. Загальне рішення цього рівняння має вигляд

, (46)

де
- функція розподілу поля в площині фронту хвилі не залежить від .

Енергетичні співвідношення у електромагнітному полі. Теорема Умова-Пойнтінга

Однією з найважливіших характеристик електромагнітного поля є енергія. Вперше питання про енергію електромагнітного поля було розглянуто Максвеллом, який показав, що повна енергія поля, укладеного всередині обсягу , складається з енергії електричного поля:

, (47)

та енергії магнітного поля:

. (48)

Таким чином, повна енергія електромагнітного поля дорівнює:

. (49)

У 1874р. проф. Н. А. Умов ввів поняття про потік енергії, а 1880р. це поняття було застосовано Пойнтінг до дослідження електромагнітних хвиль. Процес випромінювання в електродинаміці прийнято характеризувати, визначаючи у кожній точці простору вектор Умова-Пойнтінга.

Фізично правильні результати, що узгоджуються як із законом збереження енергії, так і з рівняннями Максвелла, виходить у тому випадку, якщо висловити вектор Умова-Пойнтінга через миттєві значення
і
наступним чином:

.

Візьмемо перше та друге рівняння Максвелла і помножимо перше на , а друге на
і складемо:

,

де .

Таким чином, рівняння (50) можна записати у вигляді

,

інтегруючи за обсягом і змінюючи знаки, маємо:

Перейдемо від інтеграла за обсягом до інтегралу поверхнею

,

або з урахуванням
отримаємо:

, то
,
,

. (51)

Отримане рівняння виражає закон збереження енергії в електромагнітному полі (теорему Умова-Пойнтінга). Ліва частина рівняння є швидкість зміни в часі повного запасу енергії електромагнітного поля в розглянутому обсязі
. Перший член правої частини є кількість тепла , що виділяється у провідних частинах обсягу за одиницю часу. Другий доданок представляє потік вектора Умова-Пойнтінга через поверхню, що обмежує обсяг .Вектор
є густина потоку енергії електромагнітного поля.Т.к.
, то напрям вектора
можна визначити за правилом векторного твору /правилу буравчика/ (рис. 9). В системі СІвектор
має розмірність
.

Рисунок 9 – До визначення вектора Умова-Пойнтінга