Завдання. Методи математичної морфології під час обробки зображень

Математична морфологія

Форма (синя) та її морфологічне розширення (зелене) та звуження (жовте) ромбічним структурним елементом.

Математична морфологія(ММ) - (Морфологія від грец. μορφή «форма» та λογία «наука») - теорія та техніка аналізу та обробки геометричних структур, заснована на теорії множин, топології та випадкових функціях. В основному застосовується в обробці цифрових зображень, але також може бути застосована на графах, полігональній сітці, стереометрії та багатьох інших просторових структурах.

Бінарна морфологія

У бінарній морфології двійкове зображення представлене у вигляді впорядкованого набору (упорядкованої множини) чорно-білих точок (пікселів), або 0 і 1. Під областю зображення зазвичай розуміється деяке підмножина точок зображення. Кожна операція двійкової морфології є деяким перетворенням цієї множини. Як вихідні дані приймаються двійкове зображення B і деякий структурний елемент S. Результатом операції також є двійкове зображення.

Структурний елемент

Структурний елемент є деяким двійковим зображенням (геометричною формою). Він може бути довільного розміру та довільної структури. Найчастіше використовуються симетричні елементи, як прямокутник фіксованого розміру (BOX(l, w)), чи коло деякого діаметра (DISK(d)). У кожному елементі виділяється особлива точка, яка називається початковою (origin). Вона може бути розташована в будь-якому місці елемента, хоча в симетричних це зазвичай центральний піксель.

Найбільш поширені структурні елементи: BOX - прямокутник заданого розміру, DISK [R] - диск заданого розміру, RING [R] - кільце заданого розміру.

Основні операції

Спочатку результуюча поверхня заповнюється 0, утворюючи повністю біле зображення. Потім здійснюється зондування (probing) чи сканування вихідного зображення піксель за пікселем структурним елементом. Для зондування кожного пікселя на зображення «накладається» структурний елемент так, щоб поєдналися зондована та початкові точки. Потім перевіряється деяка умова відповідність пікселів структурного елемента і точок зображення «під ним». Якщо умова виконується, то на результуючому зображенні у відповідному місці ставиться 1 (у деяких випадках додаватиметься не один одиничний піксель, а всі одиниці з структурного елемента).

За розглянутою схемою виконуються базові операції. Такими операціями є розширення та звуження. Похідні операції - це деяка комбінація базових, що виконуються послідовно. Основними з них є відкриття та закриття.

Базові операції

Перенесення

Приклад перенесення при t=(2,1).

Операція перенесення X t множини пікселів X на вектор t задається у вигляді X t =(x+t|x∈X). Отже, перенесення безлічі одиничних пікселів на бінарному зображенні зрушує всі множини пікселів на задану відстань. Вектор перенесення t може задаватися у вигляді впорядкованої пари (r, c), де r - компонент вектора переносу в напрямку рядків, а c - компонент вектора переносу в напрямку стовпців зображення.

Нарощування

Нарощування зображення структурний елемент квадрат.

Нарощування бінарного зображення A структуруючим елементом B позначається та задається виразом:

.

У цьому виразі оператор об'єднання можна вважати оператором, що застосовується на околиці пікселів. Структуруючий елемент B застосовується до всіх пікселів бінарного зображення. Щоразу, коли початок координат структуруючого елемента поєднується з одиничним бінарним пікселем, до всього структуруючого елемента застосовується перенесення і наступне логічне додавання (логічне АБО) з відповідними пікселами бінарного зображення. Результати логічного додавання записуються у вихідне бінарне зображення, яке спочатку ініціалізується нульовими значеннями.

Нарощування темно-синього квадрата дисковим структурним елементом, що результує на яскраво-блакитний квадрат із закругленими кінцями.

Ерозія

Ерозія зображення структурний елемент квадрат.

Ерозія бінарного зображення А структуруючим елементом позначається і задається виразом:

.

При виконанні операції ерозії структурний елемент проходить по всіх пікселах зображення. Якщо в деякій позиції кожен одиничний піксел структурного елемента збігається з одиничним пікселем бінарного зображення, виконується логічне додавання центрального пікселя структурного елемента з відповідним пікселем вихідного зображення. В результаті застосування операції ерозії всі об'єкти, менші за структурний елемент, стираються, об'єкти, з'єднані тонкими лініями, стають роз'єднаними і розміри всіх об'єктів зменшуються.

Ерозія темно-синього квадрата дисковим структурним елементом, що результує на яскраво-блакитний квадрат.

Похідні операції

Замикання

Замикання темно-синьої форми (об'єднання двох квадратів) дисковим структурним елементом, що результує на темно-синю форму і світло-блакитні площі.

Замикання бінарного зображення А структурним елементом позначається і задається виразом:

.

Операція замикання «закриває» невеликі внутрішні «дірки» у зображенні і прибирає поглиблення по краях області. Якщо до зображення застосувати спочатку операцію нарощування, ми зможемо позбутися малих дірок і щілин, але при цьому відбудеться збільшення контуру об'єкта. Уникнути цього збільшення дозволяє операція ерозія, виконана відразу після нарощування з тим самим структурним елементом.

Розмикання

Розмикання темно-синього квадрата дисковим структурним елементом, що результує світло синій квадрат із закругленими кутами.

Розмиканням бінарного зображення А структуруючим елементом позначається і задається виразом:

.

Операція ерозії корисна для видалення малих об'єктів і різних шумів, але в цій операції є недолік - всі об'єкти, що залишаються, зменшуються в розмірі. Цього ефекту можна уникнути, якщо після операції ерозії застосувати операцію нарощування з тим самим структурним елементом. Розмикання відсіює всі об'єкти, менші ніж структурний елемент, але допомагає уникнути сильного зменшення розміру об'єктів. Також розмикання ідеально підходить для видалення ліній, товщина яких менша, ніж діаметр структурного елемента. Також важливо пам'ятати, що після цієї операції контури об'єктів стають гладкішими.

Умовне нарощування

Виділення кордонів

Див. також

Посилання

Література

• Л. Шапіро, Дж. Стокман.Комп'ютерний зір. вид. – М.: БІНОМ. Лабораторія знань, 2006. – 752 с.
• Д.Форсайт, Ж.Понс.Комп'ютерний зір. Сучасний підхід вид. – М.: Вільямс, 2004. – 928 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Переклад з англ.Іванова І. І.
Джерело:[Електронний ресурс] // Режим доступу: http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-1-4419-0211-5_23

Анотація

Математична морфологія – це нелінійний метод обробки зображень за допомогою двовимірних операцій згортки, у тому числі морфологія бінарних, напівтонових морфологій та кольорової морфології. Ерозія, дилатація, відкриття та експлуатація закривають операції лежать в основі математичної морфології. Математична морфологія може бути використана для виявлення контурів, сегментації зображень, шумів, ліквідації, виділення ознак та інших задач обробки зображень. Вона широко використовується в галузі обробки зображень. На основі поточного прогресу, ця теза дає всебічне пояснення математичної морфологічної класифікації та застосування до розпізнавання хвороб. У результаті відкриття проблеми та подальше дослідження математичної морфології є актуальним.

Ключові слова:

морфологія бінарних, напівтонових зображень, морфологія, кольорова морфологія, ерозія, дилатація, розвиток хвороб сільськогосподарських культур.

ВСТУП

Математична морфологія – це нова теорія та спосіб, який використовується в галузі цифрової обробки зображень та розпізнавання. Її математична основа та мова – набір теорії. Математична морфологія з'явилася в 1964 році, вона вперше була запропонована студентом-науковцем Дж. Серрою та його науковим керівником Г. Мазоном. Вони запропонували «проникну/пропускаючу трансформації», ввели вираз морфології на рівні теорії та встановили метод аналізу частинок. У 1968 році вони виявили дослідницький інститут математичної морфології Фонтенбло. Заснована на важкій роботі дослідників у цьому інституті та дослідників з іншої країни, математична морфологія поступово розроблялася і стала самодостатньою наукою. У 1970-х роках, з комерційними додатками аналізатора зерна та публікації Мазона про «випадковий та невід'ємний набір», розробка математичної морфології зосередилася на аспектах рівня сірого. У 1982 році, після публікації про «аналіз зображень та математичної морфології» Дж. Серра, математична морфологія стала всесвітньо відомою. Математична морфологія швидко розвивалася згодом. Тому що алгоритм математичної морфології має паралельно реалізуючу структуру, яка розуміє аналіз морфології та алгоритми паралельних процесів, і метод може бути реалізований легко з апаратної точки зору, що підвищує швидкість процесу аналізу зображень.

У математичній морфології виявили самостійну математичну теорію та її ідеї та методи мають великий вплив на теорію зображень та технологій, а також були використані у процесі аналізу зображень у багатьох областях. Крім того, застосування математичної морфології призвело до значних покращень у галузі сільського господарства. Додаток фокусується на розпізнаванні захворювань сільськогосподарських культур, зокрема пшениці, бавовни, овочів і т.д. У цій статті автор узагальнює застосування математичної морфології в галузі сільського господарства та обговорює відкриті проблеми та подальші дослідження.

Класифікація математичної морфології

Завдяки зусиллям людей математична морфологія використовується в бінарному зображенні, хоча спочатку морфологія була застосовна тільки до зображень з градаціями сірого. Але швидкий прогрес у теорії, і вже математична морфологія можна було застосувати й інших дослідженнях. Нещодавно дослідження математичної морфології зробило ставку на кольорові зображення і на даний момент є деякі досягнення. Відповідно до способу опису та формату відображення об'єкта дослідження, ця стаття класифікує математичну морфологію на такі види: бінарна морфологія, морфологія в градаціях сірого та кольорова морфологія.

Бінарна морфологія

Математична морфологія, висунута Мажорном та Серрою, досліджувала двійковий зображення та була названа бінарною. Морфологічні перетворення бінарного зображення математичної морфології – це набір формул, описує ці перетворення. Сенс морфологічного оператора у взаємодії між множинами, що описують об'єкт, його форму та структуру, форма елемента структури може містити інформацію про форму сигналу, виконану операцію. Морфологічна обробка зображення – це безліч операцій переміщення структурного елемента у зображенні, а потім трансформації чи об'єднання між структурою елемента та бінарного зображення. Основні морфологічні операції - це ерозії та розширення (дилатація).

У морфологічній операції елемент структури є найбільш основною і важливою складовою, яка відіграє роль хвильової фільтрації в процесі сигналу. Якщо В(х) виражає елемент структури, для кожної точки Х робочої області Е, ерозії та розширення визначаються відповідно, як:

Рисунок 1 – Формули визначення ерозії та дилатації

Через можливість реалізації паралельної обробки та апаратного забезпечення, бінарне зображення може бути оброблено декількома способами, такими як виділення меж, сегментації зображення, стоншення, виділення ознак, фігурний аналіз. Тим не менш, за інших умов, вибір елемента конструкції та відповідного алгоритму відрізняється. Розмір елемента структури та вибір форми впливатимуть на результат зображення морфологічної операції.

Морфологія Хуанга та ін. була адаптована для круглих, трикутних, квадратних та інших основних геометричних фігур як елемента структури двійкових файлів у деяких випадках, вони виділяють шестикутники методом сегментації фільтруючого зображення з морфологічним шаблоном. Результат показав, що алгоритм сегментації може мати кращий результат і встановити початкове місце для розпізнавання хвороби на зображенні.

Боуяна та ін. у 2008 р. відкрили оператор просторово-варіантної математичної морфології в евклідовому просторі та представили геометричну структуру елементів на основі просторової змінної, результат зімітував теорію та довів величезний потенціал у багатьох видах програми для обробки зображень.

Морфологія для зображень у градаціях сірого

Морфологія такого виду природний розвиток бінарних зображень у сірих тонах, в ній немає наборів виразів, але є функція зображень. Для такої морфології, перетин та об'єднання, які використовуються у двійковій морфології, замінені операціями максимуму та мінімуму. Ерозія та розширення зображення у градаціях сірого можуть бути обчислені безпосередньо з функції такого зображення та елемента структури. Якщо g(x, y) виражає структурний елемент, для однієї точки f(x,y) на зображення, ерозія та розширення обчислюються як:

Рисунок 2 – Формули визначення ерозії та дилатації

Щоб практично застосувати такий вид морфологію, деякі вчені пропонують набагато покращені алгоритми. Кан та ін. у 2006 р. запропонував розширене визначення математичної морфології для проблеми, яке, незважаючи на те, що методи виявлення кордонів засновані на класичній морфології, має хорошу здатність усунення шуму, але його алгоритм не міг визначити всі межі об'єктів. І вони запропонували метод визначення кордонів з урахуванням розширеної математичної морфології.

Результат моделювання показав, що це метод як ефективно усуває шум, але й хороший у визначенні меж об'єктів. Боуяна та ін. у 2008 р. запропонували просторово-варіантну математичну морфологію та презентували геометричну концепцію структурної функції. Результати моделювання показали потенційну міць цієї теорії у додатках, які аналізують зображення.

Морфологія кольорових зображень

Досліджень про морфології в галузі обробки кольорових зображень не так багато. Хоча деякі вчені представили деякі методи морфології, які використовуються для кольорового зображення. Більшість їх розглядають кожен вектор зображення окремо, нехтуючи відносини між векторами. Це ефективний та розумний підхід дослідження, щоб обробити кольори пікселя з використанням векторних методів, що описують співвідношення між кожним вектором. Дослідження трансформацій морфології колірного простору може вказати на свій зв'язок із морфологією зображень у градаціях сірого.

Для кольорового зображення (V(x), x є X, X є DV), де DV є областю зображення RGB колірному просторі. Ерозія та дилатація в кольоровій морфології для структури елемента визначаються як:

В останні роки багато вчених приділяють увагу своїм дослідженням про кольорову морфологію. Чжан у 2006р. запропонував метод визначення меж на основі математичної морфології. У цьому методі зображення попередньо оброблене, а потім перетворення градієнта здійснюється за допомогою математичної морфології. Потім краї виявляються методом виявлення кордонів на основі статистичних даних. Спосіб виключає тіньові контури, викликаних освітленням, витягує межі об'єктів безпосередньо і впливає на придушення фонового шуму.

Програми з використанням математичної морфології

Основна ідея математичної морфології та її методи можуть бути використані у будь-яких аспектах у галузі обробки зображень. З розвитком комп'ютерів, обробки зображень, розпізнавання образів та машинного зору, математична морфологія розвивається швидко, і сфера застосування стає ширшою. Особливо у сфері розпізнавання хвороб культур. У існуючих системах програмного забезпечення багато реалізацій математичної морфології. Математична морфологія застосовується у багатьох областях, як-от виявлення контурів об'єктів, сегментації зображень, усунення шуму, виділення ознак, тощо.

Виділення меж об'єктів

Математична морфологія зображує та аналізує зображення на основі кутів множини, робить геометричну трансформацію для цільових об'єктів за допомогою «пробного» набору (структурний елемент) для того, щоб відкинути необхідну інформацію. Поряд з безперервним розвитком та вдосконаленням математичної теорії морфології, математична морфологія досліджується та широко застосовується у виявленні меж зображення.

Порівняно з традиційними алгоритмами виділення контурів зображення (оператор оператора Собеля або Прюїта ін.), морфологія має унікальну перевагу у виявленні меж і досягає кращих результатів. Морфологічний метод виявлення краю зображення може зберегти детальні характеристики зображення і вирішує проблему координації точності виявлення краю та продуктивності анти-шуму.

Чжоу був першим, хто зробив обробку кольорового зображення за допомогою морфології в градаціях сірого, потім використовував метод математичної морфології виявлення меж, де структурним елементом був квадрат розмірів 3х3. Цей метод зміг вирішити проблеми ліквідації шуму і виявлення меж шкідників у зерні, що зберігається. Канг у 2006 р. запропонував розширений метод визначення контурів об'єктів за допомогою математичної морфології для того, щоб вирішити проблему якості розпізнавання меж об'єктів. Вибір визначення відстані оператора було дано і концепція аналізу мульти-дозвіл була застосована в розширеному морфологічному методі. Результати показали, що цей метод має високу ефективність.

Виділення ознак

Загалом виділення ознак – це перетворення, яке відображає або переносить зразки з високою розмірністю простору у просторі моєї розмірності для того, щоб зменшити ступінь розмірності. У застосуванні розпізнавання хвороб сільського господарства широко використовуються такі особливості рослин, як колір, текстура, форма. За допомогою математичної морфології, ІС витягуватиме не тільки властивості текстури захворювання, такі як енергія, ентропія, момент інерції, але й особливості форм захворювання, як периметр, площа, ступінь округлості, відношення довжини до ширини. Хуан (2007) застосував той же метод до Phalaenopsis захворювання розсади Phalaenopsis і отримав такі функції, як центр координації, площа, ступінь округлості. Чжен та ін використовували математичну морфологію досягти чотири функції форми бавовни за допомогою квадратної шаблонної матриці 3х3, як елемента структури в обробці.

Скориставшись пошуком, я з подивом виявив, що на Хабрі зовсім немає статей, що описують апарат математичної морфології, але цей апарат незамінний в області низькорівневої обробки зображень. Якщо вам це цікаво, прошу під кат.

Основні визначення

Термін морфологія відноситься до опису властивостей форми та структури будь-яких об'єктів. У тих машинного зору цей термін відноситься до опису властивостей форми областей на зображенні. Операції математичної морфології спочатку були визначені як операції над множинами, але незабаром з'ясувалося, що вони також корисні в задачах обробки множини точок у двовимірному просторі. Безліч математичної морфології представляються об'єкти на зображенні. Легко помітити, що безліч всіх фонових пікселів бінарного зображення є одним з варіантів його повного опису.
У першу чергу математична морфологія використовується для отримання деяких властивостей зображення, корисних для його представлення та опису. Наприклад, контурів, кістяків, опуклих оболонок. Також інтерес становлять морфологічні методи, що застосовуються на етапах попередньої та підсумкової обробки зображень. Наприклад, морфологічна фільтрація, потовщення або утоплення.
Вхідними даними для апарату математичної морфології є два зображення: оброблюване і спеціальне, що залежить від виду операції та завдання. Таке спеціальне зображення прийнято називати примітивом чи структурним елементом. Як правило, структурний елемент набагато менше оброблюваного зображення. Структурний елемент вважатимуться опис області з деякою формою. Зрозуміло, що форма може бути будь-якою, головне, щоб її можна було уявити у вигляді бінарного зображення заданого розміру. У багатьох пакетах обробки зображень найбільш поширені структурні елементи мають спеціальні назви: BOX - прямокутник заданого розміру, DISK [R] - диск заданого розміру, RING [R] - кільце заданого розміру.

Результат морфологічної обробки залежить як від розміру та конфігурації вихідного зображення, так і від структурного примітиву.
Розмір структурного елемента зазвичай дорівнює 3*3, 4*4 або 5*5 пікселів. Це зумовлено головною ідеєю морфологічної обробки, у процесі якої перебувають характерні деталі зображення. Подробиця, що шукається, описується примітивом, і в результаті морфологічної обробки можна підкреслити або видалити такі деталі на всьому зображенні.
Однією з основних переваг морфологічної обробки є її простота: як на вході, так і на виході процедури обробки ми отримуємо бінаризоване зображення. Інші методи, як правило, з вихідного зображення спочатку отримують напівтонове, яке потім наводиться до бінарного за допомогою граничної функції.

Основні операції

Основними операціями математичної морфології є нарощування, ерозія, замикання та розмикання. У цих назвах відображена суть операцій: нарощування збільшує область зображення, а ерозія робить її менше, операція замикання дозволяє замкнути внутрішні отвори області та усунути затоки вздовж кордону області, операція розмикання допомагає позбутися дрібних фрагментів, що виступають назовні області поблизу її кордону. Далі будуть представлені математичні визначення морфологічних операцій.

Об'єднання, перетин, доповнення, різницю

Перш ніж переходити до операцій морфології, є сенс розглянути теоретико-множинні операції, що лежать в основі математичної морфології.
Об'єднання двох множин A і B, яке позначається C=A∪B, є за визначенням множина всіх елементів, що належать або множині A, або множині B, або обох множин одночасно. Аналогічно, перетин двох множин A і B, яке позначається C=A∩B, є за визначенням множина всіх елементів, що належать одночасно обом множинам A і B. Доповнення множини A є безліч елементів, що не містяться в A: A c =(w| w∉A). Різниця двох множин A і B позначається A\B і визначається наступним чином: A\B=(w│w∈A,w∉B)=A∩B c . Ця множина складається з елементів A, які не входять до множини B.
Розглянемо всі перелічені операції на конкретному прикладі.

Перенесення

Операція перенесення X t множини пікселів X на вектор t задається у вигляді X t =(x+t|x∈X). Отже, перенесення безлічі одиничних пікселів на бінарному зображенні зрушує всі множини пікселів на задану відстань. Вектор перенесення t може задаватися у вигляді впорядкованої пари (∆r,∆c), де ∆r – компонент вектора перенесення у напрямку рядків, а ∆c - компонент вектора перенесення у напрямку стовпців зображення.

Нарощування, ерозія, замикання, розмикання

Наступні операції ми розглянемо на прикладі. Нехай у нас є наступне бінарне зображення та структурний елемент:

Нарощування

Структурний елемент S застосовується до всіх пікселів бінарного зображення. Щоразу, коли початок координат структурного елемента поєднується з одиничним бінарним пікселем, до всього структурного елементу застосовується перенесення і наступне логічне додавання відповідних пікселів бінарного зображення. Результати логічного додавання записуються у вихідне бінарне зображення, яке спочатку ініціалізується нульовими значеннями.

Ерозія

При виконанні операції ерозії структурний елемент проходить по всіх пікселах зображення. Якщо в деякій позиції кожен одиничний піксел структурного елемента збігається з одиничним пікселем бінарного зображення, виконується логічне додавання центрального пікселя структурного елемента з відповідним пікселем вихідного зображення.

В результаті застосування операції ерозії всі об'єкти, менші за структурний елемент, стираються, об'єкти, з'єднані тонкими лініями, стають роз'єднаними і розміри всіх об'єктів зменшуються.

Розмикання

Операція ерозії корисна для видалення малих об'єктів і різних шумів, але в цій операції є недолік - всі об'єкти, що залишаються, зменшуються в розмірі. Цього ефекту можна уникнути, якщо після операції ерозії застосувати операцію нарощування з тим самим структурним елементом.
Розмикання відсіює всі об'єкти, менші ніж структурний елемент, але допомагає уникнути сильного зменшення розміру об'єктів. Також розмикання ідеально підходить для видалення ліній, товщина яких менша, ніж діаметр структурного елемента. Також важливо пам'ятати, що після цієї операції контури об'єктів стають гладкішими.

Замикання

Якщо до зображення застосувати спочатку операцію нарощування, ми зможемо позбутися малих дірок і щілин, але при цьому відбудеться збільшення контуру об'єкта. Уникнути цього збільшення дозволяє операція ерозія, виконана відразу після нарощування з тим самим структурним елементом.

Умовне нарощування

Одним із типових застосувань бінарної морфології є виділення на бінарному зображенні компонентів, у яких форма та розміри задовольняють заданим обмеженням. У багатьох подібних завданнях можлива побудова структурного елемента, який після застосування до бінарного зображення видаляє компоненти, що не задовольняють обмеженням, і залишає кілька одиничних пікселів, відповідних задовольняючим обмеженням компонентів. Але для подальшої обробки можуть знадобитися компоненти повністю, а не тільки їх фрагменти, що залишилися після ерозії. Для вирішення цієї проблеми було запроваджено операцію умовного нарощування.
Багато отримане в результаті ерозії циклічно нарощується структурним елементом S, і на кожному кроці результат зменшується до підмножини пікселів, які мають одиничні значення на початковому зображенні B. Операція умовного нарощування пояснена на малюнку нижче. На цьому малюнку бінарне зображення B було піддане ерозії елементом V виділення компонент, що містять вертикальні фрагменти висотою 3 пікселя. На отриманому зображенні є дві таких компоненти. Щоб виділити ці компоненти повністю, зображення C умовно нарощується елементом D щодо вихідного зображення B.

Виділення кордонів

Морфологічні операції можна використовувати виділення меж бінарного об'єкта. Ця операція дуже важлива, тому що кордон є повним, і в той же час досить компактним описом об'єкта.
Легко помітити, що граничні точки мають як мінімум один фоновий піксел у своїй околиці. Таким чином, застосувавши оператор ерозії із структурним елементом, що містить усі можливі сусідні елементи, ми видалимо всі граничні точки… Тоді кордон вийде за допомогою операції різниці множин між вихідним зображенням та зображенням, отриманим у результаті ерозії.

Таким чином, ми з вами розглянули основні операції математичної морфології та кілька способів їх застосування. Сподіваюся, цей апарат стане вам у нагоді в подальшій діяльності.

Визначення Морфологія (від грец. Morphe - Форма) може
розшифровуватись як «форма», «структура».
Математична морфологія призначена для
дослідження структури деяких множин
однотипних об'єктів. Будь-яке зображення в
комп'ютерної графіки також зазвичай
представляється у вигляді набору пікселів, тому
операції математичної морфології можуть
бути застосовані і до зображення - для
дослідження деяких властивостей його форми та
структури, а також для її обробки.

Визначення 2

Математична морфологія (ММ)
(Морфологія від грец. μορφή «форма» та λογία
«наука») - теорія та техніка аналізу та обробки
геометричних структур, заснована на теорії
множин, топології та випадкових функціях. У
основному застосовується в обробці цифрових
зображень, але також може бути застосована
на графах, полігональній сітці, стереометрії та
багатьох інших просторових структурах.

Основні операції над множинами

Приклад суміщення зображень на основі логічних операцій

Базові поняття

Як вихідні дані приймаються двійкове
зображення B та деякий структурний елемент S.
Результатом операції також є двійкове
зображення.
Структурний елемент суть теж деяка двійкова
зображення (геометрична форма – shape). Він може
бути довільного розміру та довільної структури.
Найчастіше використовуються симетричні елементи, як
прямокутник фіксованого розміру або коло
деякого діаметра. У кожному елементі виділяється
особлива точка, яка називається початковою (origin). Вона може
бути розташована в будь-якому місці елемента, хоча в
симетричний це зазвичай центральний піксел.

SE = strel (shape, parameters)

Приклади структурних елементів

Алгоритм

На початку результуюча поверхня заповнюється 0 утворюючи
повністю чорне зображення. Потім здійснюється зондування
(probing) або сканування вихідного зображення піксель за
пікселем структурний елемент. Для зондування кожного
пікселя на зображення «накладається» структурний елемент так,
щоб поєдналися зондована та початкові точки. Потім
перевіряється деяка умова на відповідність пікселів
структурного елемента та точок зображення «під ним». Якщо умова
виконується, то на результуючому зображенні у відповідному
місці ставиться 1 (у деяких випадках додаватиметься не один
одиничний піксель, а всі одиниці зі структурного елемента).

Дилатація – нарощування

B S Sb
b B
заповнення «дірок» певної
форми та розміру, що задаються
структурним елементом

Ерозія – звуження

B S (b | b s B s S)
видалення об'єктів певної
форми та розміру, що задаються
структурним елементом

Замикання (closing)

B S (B S) S
згладжує контури об'єкта
«заливає» вузькі розриви та вузькі
поглиблення
ліквідує невеликі отвори
заповнює проміжки контуру

Розмикання (opening)

B S (B S) S
згладжує контури об'єкта
обриває вузькі перешийки
ліквідує вузькі виступи

Порівняння замикання та розмикання

Виділення кордонів

Над парою двійкових зображень також можуть
застосовуватися звичайні теоретико-множинні
логічні операції, як AND, OR, NOT, MINUS.
Виділення кордонів:
В (B-S) - внутрішній кордон;
(S)\B- зовнішня межа.

Перетворення успіх/невдача (hit-or-miss)

Завдання – знайти на зображенні
місце розташування об'єктів заданої
форми
Використовується складовий структурний
елемент: B1 – для виділення об'єкта, B2 – для виділення фону

Приклади

– Отримати зовнішній та внутрішній кордони
- Провести скелетонізацію
– Провести виділення об'єктів, порівняти з результатами
(додатково)
Для роботи можна використовувати бінарне зображення
https://yadi.sk/i/jXKrtZcTbskTR
Обробити заголовки газетної статті

- без картинок)

Вступ:

Слово "Морфологія" можна розшифрувати як "форма", "структура". Математична морфологія варта дослідження структури деяких множин однотипних об'єктів. Будь-яке зображення в комп'ютерній графіці також зазвичай представляється у вигляді набору пікселів, тому операції математичної морфології можуть бути застосовані до зображення, для дослідження деяких властивостей його форми і структури.

Сенс операцій морфології

Ми розглядатимемо морфологію двійкових зображень. Двійкове зображення подається у вигляді впорядкованого набору (упорядкованої множини) чорно-білих точок (пікселів), або 0 і 1. Під областю ( region ) зображення зазвичай розуміється деяке підмножина 1-чек зображення. Кожна операція двійкової морфології є деяким перетворенням цієї множини. Як вихідні дані приймаються двійкове зображення B та деякий структурний елемент S . Результатом операції є двійкове зображення.

Структурний елементсуть також деяке двійкове зображення (геометрична форма – shape ). Він може бути довільного розміру та довільної структури. Найчастіше використовуються симетричні елементи, як прямокутник фіксованого розміру ( BOX(l,w )), або коло деякого діаметра ( DISK (d )). У кожному елементі виділяється особлива точка, яка називається початковий (origin ). Вона може бути розташована в будь-якому місці елемента, хоча в симетричних це зазвичай центральний піксель.

Спочатку результуюча поверхня заповнюється 0, утворюючи повністю чорне зображення. Потім здійснюється зондування (probing ) або сканування вихідного зображення пікселя за пікселем структурним елементом. Для зондування кожного пікселя на зображення "накладається" структурний елемент так, щоб поєдналися зондована та початкові точки. Потім перевіряється деяка умова відповідність пікселів структурного елемента і точок зображення “під ним”. Якщо умова виконується - то на результуючому зображенні у відповідному місці ставиться 1 (у деяких випадках додаватиметься не один одиничний піксель, а всі одиниці з структурного елемента).

За розглянутою вище схемою виконуються базисні (Basic ) Операції. Такими операціями є розширення ( dilation) та звуження (erosion). Похідні операції - це деяка комбінація базисних, що виконуються послідовно. Основними є відкриття ( opening) та закриття (closing).

Базові операції

Def: Перенесення(translation ) множини пікселів X на вектор t визначається як

Перенесення t може бути визначений як упорядкована пара чисел , де - рух вздовж осі х, а - рух вздовж осі y.

Def: Розширення двійкового зображення B на структурний елемент S записується у вигляді та визначається як:

Якщо при зондуванні початкова точка структурного елемента накладається на 1, весь структурний елемент записується в результуюче зображення. Таким чином, при виконанні розширення розміри зображення збільшуються.

Def: Звуження двійкового зображення B на структурний елемент S

Тобто. перевіряється, що кожна 1 структурному елементі накладається на 1 у вихідному зображенні. Якщо ця умова виконана, то результуюче зображення записується піксель під початковою точкою структурного елемента.

Def: Закриття двійкового B на структурний елемент S записується як і визначається:

Операція закриття "закриває" невеликі внутрішні "дірки" у зображенні, і прибирає поглиблення ( bays ) по краях області.

Def: Відкриття її двійкового B на структурний елемент S записується як і визначається як:

Відкриття дозволяє позбавитися невеликих шматочків зображення, що виходять за кордон області.

Над парою двійкових зображень також можуть застосовуватися звичайні теоретико-множинні логічні операції як AND, OR, NOT, MINUS.

Скелетонізація

Для розпізнавання об'єктів часто потрібно вивчити його форму. Її зручно представляти як деякого “скелета” (інакше – медіани, чи серединної осі форми). З'ясувалося, що скомбінувавши кілька операцій математичної морфології можна отримати похідну, що дозволяє виділяти з об'єкта його "скелет", і, відповідно, отримала назву "скелетонізації".

n-м елементом скелета S зображення X по структурному елементу Q називається

де N-max (n: X-nQ! = / 0),

Не дорівнює

/0 – порожня множина

/ - теоретико-множинне віднімання

(X * nQ де * - знак операції, позначає послідовне застосування операції до зображення n разів)

Тоді частковим скелетом S(k) зображення X по структурному елементу Q назвемо об'єднання

Метод математичної морфології виділення скелета зручний тим, що з допомогою застосування операції розширення з того ж структурному елементу до скелета ми зможемо відновити вихідне зображення. Тому вводиться поняття реконструкції відкриття по скелету S структурним елементом Q:

Якщо k одно 0, то , і реконструкція називається точної. Якщо , то ми отримуємо часткову реконструкцію, тобто. відкриття (згладжування) X до kQ. Варіюючи k ми можемо отримувати різні ступені згладжування вихідного зображення X.

На малюнку:

(a) - Звуження

(b ) - Відкриття розширення

(с) - n -і елементи скелета

(d ) – розширені елементи скелета

(e ) – часткові об'єднання елементів скелета

(f ) – часткові розширення

Приклад застосування операцій :

Застосування двійкової морфології

Більшість зображень, отриманих при обробці та вивченні реальних об'єктів, містять безліч невеликих похибок, неточностей. Окремі частини або компоненти зображень, що несуть найбільш важливу для нас інформацію, можуть легко виділятися оком за специфічними ознаками їх структури, організації. У той самий час ці компоненти на зображенні можуть мати чітко виділених кордонів чи бути з'єднаними перемичками, переходами, що значно утрудняє їх машинну обробку. У цьому випадку на допомогу приходять засоби математичної морфології.

Операції закриття та відкриття дозволяють позбутися невеликих “дір”, тонких перемичок та виступів. Комбінації розширення та звуження з використанням різних структурних елементів можуть "виділити" із зображення області одиниць потрібного розміру, що відповідають певним критеріям форми, "згладити" контури компонентів.

Математична морфологія також застосовується для розпізнавання образів. Її операції дозволяють отримати найпростіші властивості геометрії об'єкта із зображення, що у подальшому може бути основою його розпізнавання. Наприклад, якщо область з гострими кутами буде відкрита за допомогою структурного елемента – диск вийде зображення із округленими кутами. Якщо відняти отримане з вихідного, то залишаться одні кути.

Умовне розширення

Def : Умовне розширеннядвійкового зображення на структурний елемент S за вихідним двійковим зображенням B визначається як:

де індекс m - Мінімальний індекс, при якому

Умовне розширення застосовується тоді, коли після звуження зображення необхідно його розширити лише тими пікселями, які входили в початкове зображення.

Завдання

Мета завдання:

Вирішити деяке завдання (виділення скелета – скелетонізацію) засобами математичної морфології. Таким чином, завдання можна подразбить на два:
Завдання №1Реалізувати базові операції математичної морфології (розширення, звуження, відкриття, закриття) (5 балів)
Завдання №2Реалізувати операцію скелетонізації, та розширення його за тим самим структурним елементом до вихідного зображення. (+ 5 балів)

Зручність інтерфейсу та краса виведення даних враховуються.

Інтерфейс:

Інтерфейс програми повинен допускати введення зображення та застосування до нього послідовності операцій. На екрані має бути два зображення – вихідне та отримане. Якщо вихідне зображення не вводиться, вихідним для операції стає раніше отримане зображення. Має бути можливість введення довільного структурного елемента. За замовчуванням структурний елемент – квадрат
3*3, заповнений одиничками з початковою точкою у центрі квадрата.

Оформлення завдання:

Див. попередні завдання та faq.