Записати рівняння коливань пружинного маятника. Вільні коливання пружинного маятника

(1.7.1)

Якщо змістити кульку від положення рівноваги на відстань х, то подовження пружини дорівнюватиме Δl 0 + х. Тоді результуюча сила набуде значення:

Враховуючи умову рівноваги (1.7.1), отримаємо:

Знак "мінус" показує, що зміщення та сила мають протилежні напрямки.

Пружна сила f має такі властивості:

1. Вона пропорційна усунення кульки з положення рівноваги;
2. Вона завжди спрямована на положення рівноваги.

Для того, щоб повідомити систему усунення х, потрібно здійснити проти пружної сили роботу:

Ця робота йде на створення запасу потенційної енергії системи:

Під дією пружної сили кулька рухатиметься до положення рівноваги з дедалі більшою швидкістю. Тому потенційна енергія системи зменшуватиметься, зате зростає кінетична енергія (масою пружини нехтуємо). Прийшовши в положення рівноваги, кулька продовжуватиме рухатися за інерцією. Це – уповільнений рух і припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перейде у потенційну. Потім такий самий процес протікатиме при русі кульки у зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутнє, кулька коливатиметься необмежено довго.

Рівняння другого закону Ньютона у разі має вигляд:

Перетворимо рівняння так:

Вводячи позначення, отримаємо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку:

Прямою підстановкою легко переконатися, що загальне рішення рівняння (1.7.8) має вигляд:

де а - амплітуда і - початкова фаза коливання - постійні величини. Отже, коливання пружинного маятника є гармонійним (рис. 1.7.2).

Рис. 1.7.2. Гармонічне коливання

Внаслідок періодичності косинуса різні стани коливальної системи повторюються через певний проміжок часу (період коливань) Т, протягом якого фаза коливання отримує збільшення 2π. Розрахувати період можна за допомогою рівності:

звідки слідує:

Число коливань в одиницю часу називається частотою:

За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Таку одиницю називають 1 Гц.

З (1.7.11) випливає, що:

Отже, ω 0 - це число коливань, що відбувається за 2 секунд. Величину 0 називають круговою або циклічною частотою. Використовуючи (1.7.12) та (1.7.13), запишемо:

Диференціюючи () за часом, отримаємо вираз для швидкості кульки:

З (1.7.15) випливає, що швидкість також змінюється за гармонійним законом і випереджає зміщення фазою на ½π. Диференціюючи (1.7.15), отримаємо прискорення:

1.7.2. Математичний маятник

Математичним маятникомназивають ідеалізовану систему, що складається з нерозтяжної невагомої нитки, де підвішено тіло, вся маса якого зосереджена лише у точці.

Відхилення маятника від положення рівноваги характеризують кутом φ, утвореним ниткою з вертикаллю (рис. 1.7.3).

Рис. 1.7.3. Математичний маятник

При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає крутний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху з огляду на те, що момент його інерції дорівнює ml 2:

Це рівняння можна привести до вигляду:

Обмежуючись випадком малих коливань sinφ ≈ φ і вводячи позначення:

рівняння (1.7.19) може бути подане так:

що збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. Отже, його вирішенням буде гармонійне коливання:

З (1.7.20) випливає, що циклічна частота коливань математичного маятника залежить від його довжини та прискорення вільного падіння. Використовуючи формулу для періоду коливань () та (1.7.20), отримаємо відоме співвідношення:

1.7.3. Фізичний маятник

Фізичним маятником називається тверде тіло, здатне здійснювати коливання навколо нерухомої точки, що не збігається з центром інерції. У положенні рівноваги центр інерції маятника знаходиться під точкою підвісу Про на одній з нею вертикалі (Рис. 1.7.4).

Рис. 1.7.4. Фізичний маятник

При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут φ виникає обертальний момент, який прагне повернути маятник у положення рівноваги:

де m - маса маятника, l - відстань між точкою підвісу та центром інерції маятника.

Напишемо для маятника рівняння динаміки обертального руху, враховуючи, що момент його інерції дорівнює I:

Для малих коливань sinφ ≈ φ. Тоді, вводячи позначення:

що також збігається формою з рівнянням коливань пружинного маятника. З рівнянь (1.7.27) і (1.7.26) випливає, що при малих відхиленнях фізичного маятника від положення рівноваги він здійснює гармонійне коливання, частота якого залежить від маси маятника, моменту інерції та відстані між віссю обертання та центром інерції. За допомогою (1.7.26) можна обчислити період коливань:

Порівнюючи формули (1.7.28) та () отримаємо, що математичний маятник з довжиною:

матиме такий самий період коливань, як і розглянутий фізичний маятник. Величину (1.7.29) називають наведеною довжиноюфізичний маятник. Отже, наведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.

Крапка на прямій, що з'єднує точку підвісу з центром інерції, що лежить на відстані наведеної довжини від осі обертання, називається центром хитанняфізичний маятник. По теоремі Штайнера момент інерції фізичного маятника дорівнює:

де I 0 – момент інерції щодо центру інерції. Підставляючи (1.7.30) (1.7.29), отримаємо:

Отже, наведена довжина завжди більша за відстань між точкою підвісу і центром інерції маятника, так що точка підвісу і центр гойдання лежать по різні боки від центру інерції.

1.7.4. Енергія гармонійних коливань

При гармонійному коливанні відбувається періодичне взаємне перетворення кінетичної енергії коливається тіла Е до і потенційної енергії Е п, обумовленої дією квазіпружної сили. З цих енергій складається повна енергія Е коливальної системи:

Розпишемо останній вираз

Але до = mω 2 , тому отримаємо вираз для повної енергії тіла, що коливається

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання стала і пропорційна квадрату амплітуди і квадрату кругової частоти коливання.

1.7.5. Затухаючі коливання .

Під час вивчення гармонійних коливань не враховувалися сили тертя і опору, які у реальних системах. Дія цих сил суттєво змінює характер руху, коливання стає загасаючим.

Якщо в системі, крім квазіпружної сили, діють сили опору середовища (сили тертя), то другий закон Ньютона можна записати так:

де r - коефіцієнт тертя, що характеризує властивості середовища чинити опір руху. Підставимо (1.7.34б) у (1.7.34а):

Графік цієї функції показаний на рис.1.7.5 суцільною кривою 1, а штриховою лінією 2 зображено зміну амплітуди:

При дуже малому терті період загасаючого коливання близький до періоду вільного коливання незатухающего (1.7.35.б)

Швидкість зменшення амплітуди коливань визначається коефіцієнтом згасання: чим більше β, тим сильніша гальмівна дія середовища і тим швидше зменшується амплітуда. На практиці, ступінь згасання часто характеризують логарифмічним декрементом згасання, розуміючи під цим величину, що дорівнює натуральному логарифму відношення двох послідовних амплітуд коливань, розділених інтервалом часу, рівним періоду коливань:

;

Отже, коефіцієнт загасання та логарифмічний декремент згасання пов'язані досить простою залежністю:

При сильному згасанні формули (1.7.37) видно, що період коливання є уявною величиною. Рух у цьому випадку вже називається аперіодичним. Графік аперіодичного руху у вигляді показаний на рис. 1.7.6. Незагасні та загасаючі коливання називають власними або вільними. Вони виникають внаслідок початкового усунення чи початкової швидкості і відбуваються за відсутності зовнішнього впливу з допомогою спочатку накопиченої енергії.

1.7.6. Вимушені коливання. Резонанс .

Вимушеними коливаннями називаються такі, що виникають у системі за участю зовнішньої сили, що змінюється за періодичним законом.

Припустимо, що на матеріальну точку крім квазіпружної сили та сили тертя діє зовнішня сила, що змушує.

,

де F 0 - Амплітуда; ω - кругова частота коливань сили, що змушує. Складемо диференціальне рівняння (другий закон Ньютона):

,

Амплітуда вимушеного коливання (1.7.39) прямо пропорційна амплітуді вимушує сили і має складну залежність від коефіцієнта загасання середовища та кругових частот власного та вимушеного коливання. Якщо ? 0 і ? резонансної.

Саме явище - досягнення максимальної амплітуди для заданих 0 і β - називають резонансом.

Рис. 1.7.7. Резонанс

За відсутності опору амплітуда вимушених коливань при резонансі дуже велика. У цьому з ω рез =ω 0 , тобто. резонанс у системі без згасання настає тоді, коли частота сили, що змушує, збігається з частотою власних коливань. Графічна залежність амплітуди вимушених коливань від кругової частоти примусової сили при різних значеннях коефіцієнта згасання показана на рис. 5.

Механічний резонанс може бути як корисним, і шкідливим явищем. Шкідлива дія резонансу пов'язана головним чином із руйнуванням, яке може викликати. Так, у техніці, враховуючи різні вібрації, необхідно передбачати можливі виникнення резонансних умов, інакше можуть бути руйнування та катастрофи. Тіла зазвичай мають кілька власних частот коливань і кілька резонансних частот.

Якщо коефіцієнт загасання внутрішніх органів людини був невеликий, то резонансні явища, що виникли в цих органах під впливом зовнішніх вібрацій або звукових хвиль, могли б призвести до трагічних наслідків: розриву органів, ушкодження зв'язок тощо. Однак такі явища при помірних зовнішніх впливах практично не спостерігаються, оскільки коефіцієнт загасання біологічних систем досить великий. Тим не менш, резонансні явища при дії зовнішніх механічних коливань відбуваються у внутрішніх органах. У цьому, мабуть, одна з причин негативного впливу інфразвукових коливань та вібрацій на організм людини.

1.7.7. Автоколивання

Існують і такі коливальні системи, які самі регулюють періодичне заповнення витраченої енергії і тому можуть коливатися тривалий час.

Незагасні коливання, які у будь-якій системі за відсутності змінного зовнішнього впливу, називаються автоколиваннями, а самі системи - автоколивальними.

Амплітуда та частота автоколивань залежать від властивостей у самій автоколивальній системі, на відміну від вимушених коливань вони не визначаються зовнішніми впливами.

У багатьох випадках автоколивальні системи можна уявити трьома основними елементами (рис.1.7.8): 1) власне коливальна система; 2) джерело енергії; 3) регулятор надходження енергії у власне коливальну систему. Коливальна система каналом зворотного зв'язку (рис. 6) впливає на регулятор, інформую регулятор про стан цієї системи.

Класичним прикладом механічної автоколивальної системи є годинник, в якому маятник або баланс є коливальною системою, пружина або піднята гиря - джерелом енергії, а анкер - регулятором надходження енергії від джерела в коливальну систему.

Багато біологічних систем (серце, легені та інших.) є автоколивальними. Характерний приклад електромагнітної автоколивальної системи – генератори автоколивальних коливань.

1.7.8. Складання коливань одного напряму

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2).

Гармонічне коливання можна задати за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливань, а напрям утворює з деякою віссю кут, що дорівнює початковій фазі коливань. Якщо цей вектор обертається з кутовою швидкістю 0, то його проекція на обрану вісь буде змінюватися за гармонічним законом. Виходячи з цього, виберемо деяку вісь Х і представимо коливання за допомогою векторів а1 і а2 (рис.1.7.9).

З рис.1.7.6 випливає, що

.

Схеми, у яких коливання зображуються графічно як векторів на площині, називаються векторними діаграмами.

З формули 1.7.40 випливає. Якщо різниця фаз обох коливань дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються. Якщо різниця фаз коливань, що складаються, дорівнює, то амплітуда результуючого коливання дорівнює. Якщо частоти коливань, що складаються, не однакові, то вектори, відповідні цим коливанням будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з незмінною швидкістю. Отже, в результаті додавання виходить не гармонійне коливання, а складний коливальний процес.

1.7.9. Биття

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку мало відрізняються за частотою. Нехай частота одного з них дорівнює ω , а другого ω+∆ω, причому ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 = cos ωt, x 2 = cos(ω+∆ω)t.

Склавши ці вирази і використовуючи формулу для суми косінусів, отримуємо:

Коливання (1.7.41) можна як гармонійне коливання частотою ω, амплітуда якого змінюється за законом . Ця функція є періодичною з частотою вдвічі перевищує частоту висловлювання, що стоїть під знаком модуля, тобто. із частотою ∆ω. Таким чином, частота пульсацій амплітуди, звана частотою биття, дорівнює різниці частот коливань, що складаються.

1.7.10. Додавання взаємно перпендикулярних коливань (фігури Лісажу)

Якщо матеріальна точка здійснює коливання як вздовж осі х, так і вздовж осі у, то вона рухатиметься деякою криволінійною траєкторією. Нехай частота коливань однакова і початкова фаза першого коливання дорівнює нулю, тоді рівняння коливань запишемо як:

Рівняння (1.7.43) є рівнянням еліпса, осі якого орієнтовані довільно щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса та величина його півосей залежать від амплітуду а і b і різниці фаз α. Розглянемо деякі окремі випадки:

(m=0, ±1, ±2, …). У цьому випадку рівняння має вигляд

Це рівняння еліпса, осі якого збігаються з осями координат, яке півосі рівні амплітудам (рис. 1.7.12). Якщо амплітуди рівні, то еліпс стає коло.

Рис.1.7.12

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на малу величину ∆ω, їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з різницею фаз, що повільно змінюється. У цьому випадку рівняння коливань можна записати

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

і вираз ∆ωt+α розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається за кривою, що повільно змінюється, яка буде послідовно приймати форму, що відповідає всім значенням різниці фаз від -π до +π.

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторія результуючого руху має вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Лісажу. Нехай, наприклад, частоти коливань, що складаються, відносяться як 1 : 2 і різницю фаз π/2. Тоді рівняння коливань мають вигляд

x = cos ωt, y = b cos.

За той час, поки вздовж осі х точка встигає переміститися з одного крайнього положення в інше, уздовж осі, вийшовши з нульового положення, вона встигає досягти одного крайнього положення, потім іншого і повернутися. Вигляд кривої показано на рис. 1.7.13. Крива при такому співвідношенні частот, але різниці фаз рівної нулю показана на рис.1.7.14. Відношення частот коливань, що складаються, назад відношенню числа точок перетину фігур Ліссажу з прямими, паралельними осям координат. Отже, за видом фігур Ліссажу можна визначити співвідношення частот коливань, що складаються, або невідому частоту. Якщо одна із частот відома.

Рис.1.7.13

Рис.1.7.14

Чим ближче до одиниці раціональний дріб, що виражає відношення частот коливань, тим складніше фігури Ліссажу, що виходять.

1.7.11. Поширення хвиль у пружному середовищі

Якщо в будь-якому місці пружного (твердого рідкого або газоподібного) середовища збудити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання поширюватиметься в середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю υ. процес поширення коливань у просторі називається хвилею.

Частинки середовища, у якій поширюється хвиля, не залучаються хвилею в поступальний рух, вони лише коливання біля своїх положень рівноваги.

Залежно від напрямів коливань частинок стосовно напрямку, у якому поширюється хвиля, розрізняють поздовжні та поперечніхвилі. У поздовжній хвилі частинки середовища коливаються вздовж поширення хвилі. У поперечній хвилі частки середовища коливаються у напрямах, перпендикулярних до напряму поширення хвиль. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що має опір зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можливе виникнення лише поздовжніх хвиль. У твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, і поперечних хвиль.

На рис. 1.7.12 показано рух частинок при поширенні серед поперечної хвилі. Номерами 1,2 і т. д. позначені частинки відстають один від одного на відстань, що дорівнює (? υT), тобто. на відстань, що проходить хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частинками. У момент, прийнятий за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі зліва направо, досягла частки 1, внаслідок чого частка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою наступні частинки. Через чверть періоду частка 1 досягає крайнього верхнього положення рівноваги частка 2. Після наступу чверті періоду перша частина проходитиме положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частка досягне крайнього верхнього положення, а третя частка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу рівний T, перша частка закінчить повний цикл коливання і перебуватиме в такому стані руху, як початковий момент. Хвиля на момент часу T, пройшовши шлях (υT), досягне частки 5.

Рис. 1.7.13 показано рух частинок при поширенні в середовищі поздовжньої хвилі. Всі міркування щодо поведінки частинок у поперечній хвилі можуть бути віднесені і до цього випадку із заміною зсувів вгору і вниз зсувами вправо і вліво.

З малюнка видно, що при поширенні поздовжньої хвилі в середовищі створюються згущення, що чергуються, і розрядження частинок (місця згущення обведені на малюнку пунктиром), що переміщаються в напрямку поширення хвилі зі швидкістю υ.

Рис. 1.7.15

Рис. 1.7.16

На рис. 1.7.15 та 1.7.16 показані коливання частинок, положення, рівноваги яких лежать на осі x.Насправді коливаються як частинки, розташовані вздовж осі x,а сукупність частинок, ув'язнених у певному обсязі. Поширюючись від джерел коливань, хвильовий процес охоплює нові і нові частини простору, геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називається фронтом хвилі(або хвильовим фронтом). Фронт хвилі є ту поверхню, яка відокремлює частину простору, вже залучену в хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею . Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Отже, хвильових поверхонь існує безліч, тоді як хвильовий фронт кожен момент часу лише один. Хвильові поверхні залишаються не рухливими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в одній фазі ). Хвильовий фронт постійно переміщається.

Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери. Відповідно хвиля у цих випадках називається плоскою чи сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні є безліч паралельних один одному площин, у сферичній хвилі - безліч концентричних сфер.

Рис. 1.7.17

Нехай плоска хвиля поширюється вздовж осі x. Тоді всі точки сфери, положення, рівноваги яких мають однакову координату x(але відмінність значення координат yі z),коливаються у однаковій фазі.

Рис. 1.7.17 зображено криву, яка дає зміщення ξ із положення рівноваги точок з різними xу певний час. Не слід сприймати цей малюнок як видиме зображення хвилі. На малюнку показано графік функцій ξ (x, t)для деякого фіксованого моменту часу t.Такий графік можна будувати як для поздовжньої, так і для поперечної хвилі.

Відстань λ, на короткий поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Очевидно, що

де - швидкість хвилі, T- період коливань. Довжину хвилі можна визначити також як відстань між найближчими точками середовища, що коливаються з різницею фаз, що дорівнює 2π (див. рис. 1.7.14)

Замінивши у співвідношенні(1.7.45) T через 1/ν (ν - частота коливань), отримаємо

До цієї формули можна прийти також з таких міркувань. За одну секунду джерело хвиль здійснює коливання ν, породжуючи в середовищі при кожному коливанні один "гребінь" і одну "впадину" хвилі. До того моменту, коли джерело завершуватиме - коливання, перший "гребінь" встигне пройти шлях υ. Отже, "гребенів" і "впадин" хвилі повинні вкластися в довжині υ.

1.7.12. Рівняння плоскої хвилі

Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення коливної частки як функцію її координат x, y, z та часу t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(маються на увазі координати рівноважного становища частинки). Ця функція має бути періодичною щодо часу t , і щодо координат x, y, z. . Періодичність за часом випливає з того, що точки, віддалені одна від одної на відстані λ , коливаються однаковим чином.

Знайдемо вигляд функції ξ у разі плоскої хвилі, припускаючи, що коливання мають гармонійний характер. Для спрощення направимо осі координат так, щоб вісь x збігалася із напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярними до осі. x і, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, ξ буде залежати тільки від x і t:

ξ = ξ (x, t) .

Рис.1.7.18

Нехай коливання точок, що лежать у площині x = 0 (рис. 1.7.18), мають вигляд

Знайдемо вид коливання точок у площині, що відповідає довільному значенню x . Для того, щоб пройти шлях від площини x=0 до цієї площині хвилі потрібен час( υ - швидкість поширення хвилі). Отже, коливання частинок, що лежать у площині x , відставатимуть за часом на τ від коливань частинок у площині x = 0 , тобто. матимуть вигляд

Отже, рівняння плоскої хвилі(Поздовжньої, і поперечної), що поширюється в напрямку осі x , виглядає наступним чином:

Цей вираз визначає зв'язок між часом t і тим місцем x , В якому фаза має зафіксоване значення. Значення dx/dt, що випливає з нього, дає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціювавши вираз (1.7.48), отримаємо

Рівняння хвилі, що поширюється у бік спадання x :

При виведенні формули (1.7.53) ми припускали, що амплітуда коливань залежить від x . Для плоскої хвилі це спостерігається у тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. При поширенні в поглинаючому енергію середовищі інтенсивність хвилі з віддаленням від джерела коливань поступово зменшується - спостерігається згасання хвилі. Досвід показує, що в однорідному середовищі таке загасання відбувається за експоненційним законом:

Відповідно рівняння плоскої хвилі, з урахуванням згасання, має такий вигляд:

(1.7.54)

(a 0 – амплітуда у точках площині x = 0).

Періодичні коливання називаються гармонійними якщо коливається величина змінюється з часом за законом косинуса або синуса:

Тут
- циклічна частота коливань, A- максимальне відхилення величини, що коливається, від положення рівноваги ( амплітуда коливань ), φ( t) = ω t+ φ 0 – фаза коливань , φ 0 – початкова фаза .

Графік гармонійних коливань представлений малюнку 1.

Малюнок 1- Графік гармонійних коливань

При гармонійних коливаннях повна енергія системи з часом не змінюється. Можна показати, що повна енергія механічної коливальної системи при гармонійних коливаннях дорівнює:

.

Гармонічно вагається величина s(t) підпорядковується диференціальному рівнянню:

, (1)

яке називається диференціальним рівнянням гармонійних коливань.

Математичним маятником називається матеріальна точка, підвішена на нерозтяжній невагомій нитці, що здійснює коливальний рух в одній вертикальній площині під дією сили тяжіння.

Період кодебань

Фізичний маятник.

Фізичним маятником називається тверде тіло, закріплене на нерухомій горизонтальній осі (осі підвісу), що не проходить через центр тяжіння, і коливання щодо цієї осі під дією сили тяжіння. На відміну від математичного маятника, масу такого тіла не можна вважати точковою.

При невеликих кутах відхилення (рис. 7.4) фізичний маятник так само здійснює гармонічні коливання. Вважатимемо, що вага фізичного маятника прикладена до його центру тяжкості в точці С. Силою, яка повертає маятник у положення рівноваги, в даному випадку буде складовою сили тяжіння – сила F.

Для виведення закону руху математичного та фізичного маятників використовуємо основне рівняння динаміки обертального руху

Момент сили: визначити явно не можна. З урахуванням всіх величин, що входять у вихідне диференціальне рівняння коливань фізичного маятника, має вигляд:

Вирішення цього рівняння

Визначимо довжину l математичного маятника, коли він період його коливань дорівнює періоду коливань фізичного маятника, тобто. або

. З цього співвідношення визначаємо

Ця формула визначає наведену довжину фізичного маятника, тобто. довжину такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника.

Пружинний маятник

Це вантаж, прикріплений до пружини, масою якої можна знехтувати.

Поки пружина не деформована, сила пружності тіло не діє. У пружинному маятнику коливання відбуваються під впливом сили пружності.

Запитання 36 Енергія гармонічних коливань

При гармонійних коливаннях повна енергія системи з часом не змінюється. Можна показати, що повна енергія механічної коливальної системи при гармонійних коливаннях дорівнює.

Гармонічні коливання

Найпростішими з коливань гармонійні коливання, тобто. такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса або косинуса.

Механічні коливання, що відбуваються під дією сили (відновлююча сила), пропорційної зміщенню і спрямованої протилежно йому, називають гармонійними коливаннями -диференціальне рівняння, -рішення

x- зміщення коливається від позитивної рівноваги

66.Основні характеристики ГК

А - амплітуда-максимальне зміщення від положення рівноваги

0 ) – фаза коливань – визначає зміщення в даний момент часу

0 - Початкова фаза - визначається положенням системи в початковий момент часу

ω – власна частота коливань, що визначається параметрами системи

Роль початкових умов - А, початкова фаза

67.Способи графічного представлення коливальних процесів:

Плоска діаграма

Векторна діаграма

68. Векторна діаграма– спосіб графічного завдання коливального руху як вектора.

Візьмемо вісь, яку позначимо літерою х. З т. про взятої на осі, відкладемо вектор довжини а, що утворює з віссю кут α. Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю ω 0 , то проекція кінця вектора переміщатиметься по сох в межах від –а до +а, причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом х=а cos (ω 0 t + α ).

Отже, проекція вектора на вісь здійснюватиме гармонійне коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.

Т.о. гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина кіт дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю х кут, що дорівнює початковій фазі коливань.

69.Пружинний маятник– вантаж підвішений на пружині.

Виведемо диф ур-е пружинного маятника

70. Математичним маятникомназивають ідеалізовану систему, що складається з невагомої та нерозтяжної нитки, на якій підвішена маса, зосереджена в одній точці. Відхилення маятника від положення рівноваги характеризуватимемо кутом, утвореним ниткою з вертикаллю. При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає момент, що обертає М, рівний M=-mgl sin .Він має такий напрям, що прагне повернути маятник в положення рівноваги.

71. Фізичний маятник -будь-яке тверде тіло, що має вісь обертання, яка не збігається із центром мас.

Висновок диференціального ур-я коливань:

72.Наведена довжина фізичного маятника- Довжина такого матем маятника, період коливань якого збігається з періодом даного фізичного маятника.

Власна частота для пружинного маятника

Власна частота математичного маятника

73. Періодичні або майже періодичні зміни заряду, сили струму та напруги називаються електромагнітними коливаннями.

Найпростіша система, в якій можуть відбуватися вільні електромагнітні коливання, складається з конденсатора та котушки, приєднаної до його обкладок. Така система називається коливальним контуром.

Частота коливань – це кількість коливань за одиницю часу. υ = 1/T

Тривалість одного повного коливання називається періодом коливання. T = 1/υ

де L – індуктивність, С – електроємність

74.Складання колінеарних коливань однакової частоти:

Зміщення х тіла, що коливається, буде сумою зсувів х1 і х2, які запишуться таким чином: х 1 =а 1 cos (ω 0 t+α 1) х 2 =а 2 cos (ω 0 t+α 2)

Представимо обидва коливання за допомогою векторів а1 та а2. Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор а. Проекція цього вектора на вісь х дорівнює сумі проекцій доданків векторів: х1 = х1 + х2. Отже, вектор а є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю 0, як і вектори а1 і а2, так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою 0, амплітудою а і початковою фазою α.

75. Нехай маленьке тіло коливається на взаємно перпендикулярних пружинках однакової жорсткості.За якою траєкторією рухатиметься це тіло? Це рівняння траєкторії у параметричному вигляді.

Для отримання явної залежності між координатами x та y треба з рівнянь виключити параметр t. З першого рівняння:

З другого:

Після підстановки:

Позбавимося кореня: - це рівняння еліпса.

76.В реальних умовах завжди присутні розсіяні сили (десепативні?), Що призводять до зменшення енергії в контурі. Розглянемо окремий випадок механічних коливань за наявності сили в'язкого тертя.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань

77. Основні параметри загасаючих коливань.

ω0- власна частота коливальної системи, без загасання, β - коефіцієнт загасання-характеризує швидкість загасання

Час релаксації, протягом якого амплітуда зменшується в е раз.

Добротність - показник швидкості догляду енергії з коливальної системи

Q=2π , де Е-енергія, запасена контурі, - енергія у період. Q=πNe, деNe – у коливань під час релаксації.

Диференціальне рівняння загасаючих коливань для пружинного маятника.

79.Диференційне рівняння для загасаючих коливань ем контура

Його рішенням є функція

q(t)=q 0 e - βtcos (ωt+ ), де частота коливань ω= Для коливального контуру

80.Амплітуда і частота загасаючих коливаньамплітуда загасаючих коливань

ω0- власна частота коливальної системи, без згасання. Частота загасаючих коливань менше ніж власна частота.

Амплітуда зменшується за експоненційним законом, де

Тут - частота загасаючих коливань.

τ- перехідний режим, після нього коливання встановлюються з частотою сили, що змушує.

83. Вимушені коливання –відбуваються в коливальних системах під впливом зовнішньої періодичної сили, що змінюється за гармонійним законом:

f 0 – амплітуда вимушеної сили

Частота вимушеної сили

Амплітуда вимушених коливань залежить від частоти сили, що змушує.

Резонанс - явище різкого зростання амплітуди при частоті вимушених коливань близькою до своєї.

Резонансна частота

84.Амплітудно -частотні показники. У контурі з великою добротністю амплітуда резонансу велика, але мала смуга пропускання, а контурі з різкою добротністю амплітуда мала, але велика ширина смуги пропускання в контурах, де коефіцієнт загасання близький до критичного.

Мета роботи. Ознайомитися з основними характеристиками вільних механічних коливань, що незатухають і загасають.

Завдання. Визначити період своїх коливань пружинного маятника; перевірити лінійність залежності квадрата періоду від маси; визначити жорсткість пружини; визначити період загасаючих коливань та логарифмічний декремент загасання пружинного маятника.

Прилади та приладдя. Штатив зі шкалою, пружина, набір вантажів різної маси, посуд з водою, секундомір.

1. Вільні коливання пружинного маятника. Загальні відомості

Коливаннями називають процеси, в яких періодично змінюється одна або кілька фізичних величин, що описують ці процеси. Коливання можуть бути описані різними періодичними функціями часу. Найпростішими коливаннями є гармонійні коливання - такі коливання, при яких величина, що коливається (наприклад, зміщення вантажу на пружині) змінюється з часом за законом косинуса або синуса. Коливання, що виникають після на систему зовнішньої короткочасної сили, називаються вільними.

Якщо вантаж вивести із положення рівноваги, відхиливши на величину x, то сила пружності зростає: Fупр = - kx 2= – k(x 1 + x). Дійшовши до положення рівноваги, вантаж матиме відмінну від нуля швидкість і пройде положення рівноваги за інерцією. У міру подальшого руху збільшуватиметься відхилення від положення рівноваги, що призведе до зростання сили пружності, і процес повториться у зворотному напрямку. Таким чином, коливальний рух системи обумовлений двома причинами: 1) прагненням тіла повернутися в положенні рівноваги і 2) інерцією, яка не дозволяє тілу миттєво зупинитися в положенні рівноваги. Без сил тертя коливання тривали б як завгодно довго. Наявність сили тертя призводить до того, що частина енергії коливань переходить у внутрішню енергію та коливання поступово згасають. Такі коливання називаються загасаючими.

Незагасні вільні коливання

Спочатку розглянемо коливання пружинного маятника, який не діють сили тертя – незатухающие вільні коливання. Згідно з другим законом Ньютона з урахуванням знаків проекцій на вісь X

З умови рівноваги усунення, що викликається силою тяжкості: . Підставляючи в рівняння (1), отримаємо: Диференціал" диференціальне рівняння

https://pandia.ru/text/77/494/images/image008_28.gif" width="152" height="25 src=">.

Дане рівняння називається рівнянням гармонійних коливань. Найбільше відхилення вантажу від положення рівноваги А 0 називається амплітудою коливань. Величина , що стоїть у аргументі косинуса, називається фазою коливання. Постійна φ0 є значення фази в початковий момент часу ( t= 0) і називається початковою фазою коливань. Величина

є кругова чи циклічна частота власних коливань, пов'язана з періодом коливань Тспіввідношенням https://pandia.ru/text/77/494/images/image012_17.gif" width="125" height="55">.

Затухаючі коливання

Розглянемо вільні коливання пружинного маятника за наявності сили тертя (загасні коливання). У найпростішому і водночас найбільш часто зустрічається випадку сила тертя пропорційна швидкості υ руху:

Fтр = – rυ, (6)

де r- Постійна, звана коефіцієнтом опору. Знак мінус показує, що сила тертя та швидкість мають протилежні напрямки. Рівняння другого закону Ньютона у проекції на вісь Х за наявності пружної сили та сили тертя

ma = – kx – rυ. (7)

Це диференціальне рівняння з урахуванням υ = dx/ dtможна записати

https://pandia.ru/text/77/494/images/image014_12.gif" width="59" height="48 src="> – коефіцієнт згасання; – циклічна частота вільних незагасальних коливань даної коливальної системи, т. е. за відсутності втрат енергії (? = 0). Рівняння (8) називають диференціальним рівнянням загасаючих коливань.

Щоб отримати залежність усунення xвід часу t, необхідно вирішити диференціальне рівняння (8)..gif" width="172"

де А 0 і φ0 – початкова амплітуда та початкова фаза коливань;
- циклічна частота загасаючих коливань при ω >> (10)

На графіку функції (9), рис. 2, пунктирними лініями показано зміну амплітуди (10) загасаючих коливань.

Рис. 2. Залежність усунення хвантажу від часу tза наявності сили тертя

Для кількісної характеристики ступеня згасання коливань вводять величину, що дорівнює відношенню амплітуд, що відрізняються на період, і звану декрементом згасання:

. (11)

Часто використовують натуральний логарифм цієї величини. Такий параметр називається логарифмічним декрементом згасання:

Амплітуда зменшується в nраз, то з рівняння (10) випливає, що

Звідси для логарифмічного декременту отримуємо вираз

Якщо за час t" амплітуда зменшується в ераз ( е= 2,71 – основа натурального логарифму), то система встигне здійснити кількість коливань

Рис. 3. Схема установки

Установка складається із штативу 1 з вимірювальною шкалою 2 . До штатива на пружині 3 підвішуються вантажі 4 різної маси. При вивченні загасаючих коливань у завданні 2 для посилення згасання використовується кільце 5 , що міститься в прозору посудину 6 з водою.

У завданні 1 (виконується без судини з водою та кільця) у першому наближенні згасанням коливань можна знехтувати та вважати гармонійними. Як випливає з формули (5) для гармонійних коливань залежність T 2 = f (m) – лінійна, з якої можна визначити коефіцієнт жорсткості пружини kза формулою

де – кутовий коефіцієнт нахилу прямої T 2 від m.

Завдання 1.Визначення залежності періоду своїх коливань пружинного маятника від маси вантажу.

1. Визначити період коливань пружинного маятника за різних значень маси вантажу m. Для цього за допомогою секундоміра для кожного значення mтричі виміряти час tповних nколивань ( n≥10) і за середнім значенням часу. Результати занести в таблицю 1.

2. За результатами вимірів побудувати графік залежності квадрата періоду T2 від маси m. З кутового коефіцієнта графіка визначити жорсткість пружини kза формулою (16).

Таблиця 1

Результати вимірів для визначення періоду власних коливань

3. Додаткове завдання. Оцінити випадкову, повну та відносну ε tпомилки вимірювання часу значення маси m = 400 г.

Завдання 2.Визначення логарифмічного декременту згасання пружинного маятника.

1. На пружину підвісити вантаж масою m= 400 г з кільцем і помістити в посудину з водою, щоб кільце повністю знаходилося у воді. Визначити період загасаючих коливань для цього значення mза методом, викладеним у п. 1 завдання 1. Вимірювання повторити тричі і результати занести до лівої частини табл. 2.

2. Вивести маятник із положення рівноваги і, відзначивши по лінійці його початкову амплітуду, виміряти час t" протягом якого амплітуда коливань зменшується в 2 рази. Вимірювання зробити тричі. Результати занести до правої частини табл. 2.

Таблиця 2

Результати вимірів

для визначення логарифмічного декременту згасання

Вимірювання періоду коливань	Вимірювання часу зменшення амплітуди у 2 рази

4. Контрольні питання та завдання

1. Які коливання називаються гармонійними? Дайте визначення їх основних характеристик.

2. Які коливання називаються загасаючими? Дайте визначення їх основних характеристик.

3. Поясніть фізичний зміст логарифмічного декременту згасання та коефіцієнта згасання.

4. Вивести залежності від часу швидкості та прискорення вантажу на пружині, що здійснює гармонічні коливання. Навести графіки та проаналізувати.

5. Вивести залежності від часу кінетичної, потенційної та повної енергії для вантажу, що коливається на пружині. Навести графіки та проаналізувати.

6. Отримати диференціальне рівняння вільних коливань та його розв'язання.

7. Побудувати графіки гармонійних коливань із початковими фазами π/2 та π/3.

8. У яких межах може змінюватись логарифмічний декремент згасання?

9. Навести диференціальне рівняння загасаючих коливань пружинного маятника та його розв'язання.

10. За яким законом змінюється амплітуда загасаючих коливань? Чи є загасаючі коливання періодичними?

11. Який рух називається аперіодичним? За яких умов воно спостерігається?

12. Що називається власною частотою коливань? Як вона залежить від маси тіла, що коливається, для пружинного маятника?

13. Чому частота загасаючих коливань менша за частоту власних коливань системи?

14. Підвішена до пружини мідна кулька робить вертикальні коливання. Як зміниться період коливань, якщо до пружини підвісити замість мідної кульки алюмінієвий того ж радіусу?

15. При якому значенні логарифмічного декремента загасання коливання загасають швидше: за θ1 = 0,25 чи θ2 = 0,5? Навести графіки цих загасаючих коливань.

бібліографічний список

1. Трофімова Т. І. Курс фізики/. - 11-е вид. - М.: Академія, 2006. - 560 с.

2. Савельєв І. В. Курс загальної фізики: 3 т. / . - СПб. : Лань, 2008. - Т. 1. - 432 с.

3. Ахматов А. С. Лабораторний практикум з фізики/.
- М.: Вищ. шк., 1980. - 359 с.

Пружинний маятник - це коливальна система, що складається з матеріальної точки масою т пружини. Розглянемо горизонтальний пружинний маятник (рис. 13.12 а). Він є масивним тілом, просвердленим посередині і одягненим на горизонтальний стрижень, уздовж якого воно може ковзати без тертя (ідеальна коливальна система). Стрижень закріплений між двома вертикальними опорами. До тіла одним кінцем прикріплена невагома пружина. Інший її кінець закріплений на опорі, яка в найпростішому випадку знаходиться у спокої щодо інерційної системи відліку, в якій відбуваються коливання маятника. На початку пружина не деформована, і тіло знаходиться в положенні рівноваги С. Якщо, розтягнувши або стиснувши пружину, вивести тіло з положення рівноваги, то з боку деформованої пружини на нього почне діяти сила пружності завжди спрямована до положення рівноваги. Нехай ми стиснули пружину, перемістивши тіло в положення А, і відпустили \((\upsilon_0=0).\) Під дією сили пружності воно рухатиметься прискорено. При цьому в положенні А на тіло діє максимальна сила пружності, тому що тут повне подовження x m пружини найбільше. Отже, в цьому положенні максимальне прискорення. При русі тіла до положення рівноваги абсолютне подовження пружини зменшується, а отже, зменшується прискорення, що повідомляється силою пружності. Але так як прискорення при даному русі сонаправлено зі швидкістю, швидкість маятника збільшується і в положенні рівноваги вона буде максимальна. Досягши положення рівноваги, тіло не зупиниться (хоча в цьому положенні пружина не деформована, і сила пружності дорівнює нулю), а володіючи швидкістю, буде по інерції рухатися далі, розтягуючи пружину. Виникаюча при цьому сила пружності спрямована проти руху тіла і гальмує його. У точці D швидкість тіла виявиться рівною нулю, а прискорення максимально, тіло на мить зупиниться, після чого під дією сили пружності почне рухатися у зворотний бік до положення рівноваги. Знову пройшовши його за інерцією, тіло, стискаючи пружину і сповільнюючи рух, сягне точки А (оскільки тертя відсутня), тобто. зробить повне коливання. Після цього рух тіла повторюватиметься в описаній послідовності. Отже, причинами вільних коливань пружинного маятника є дія сили пружності, що виникає при деформації пружини, та інертність тіла.

За законом Гука \(~F_x=-kx.\) За другим законом Ньютона \(~F_x = ma_x.\) Отже, \(~ma_x = -kx.\) Звідси

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) або \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - динамічне рівняння руху пружинного маятника.

Бачимо, що прискорення прямопропорційне до змішання і протилежно йому спрямоване. Порівнюючи отримане рівняння з рівнянням гармонійних коливань \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) бачимо, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою \(\omega = \sqrt \frac(k)(m)\) Так як \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) то

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\)- період коливань пружинного маятника.

За цією формулою можна розраховувати і період коливань вертикального пружинного маятника (рис. 13.12. б). Дійсно, у положенні рівноваги завдяки дії сили тяжіння пружина вже розтягнута на деяку величину x 0 , що визначається співвідношенням \(~mg=kx_0.\) При зміщенні маятника з положення рівноваги Oна хпроекція сили пружності \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) і за другим законом Ньютона \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Підставляючи сюди значення \(~kx_0 =mg,\) отримаємо рівняння руху маятника \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) збігається з рівнянням руху горизонтального маятника.

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 377-378.