Загасні коливання. Декремент згасання

Згасанням коливань називається поступове зменшення амплітуди коливань з часом, обумовлене втратою енергії коливальною системою.

Власні коливання без загасання – це ідеалізація. Причини згасання можуть бути різні. У механічній системі до загасання коливань наводить наявність тертя. У електромагнітному контурі до зменшення енергії коливань призводять теплові втратиу провідниках, що утворюють систему. Коли витрачається вся енергія, запасена в коливальній системі, коливання припиняться. Тому амплітуда загасаючих коливаньзменшується, доки стане рівної нулю.

Затухаючі коливання, Як і власні, в системах, різних за своєю природою, можна розглядати з єдиної точкизору – загальних ознак. Однак такі характеристики, як амплітуда і період, вимагають перевизначення, а інші – доповнення та уточнення порівняно з такими самими ознаками для власних коливань. Загальні ознакиі поняття загасаючих коливань такі:

Диференціальне рівняння має бути отримане з урахуванням зменшення в процесі коливань коливальної енергії.

Рівняння коливань – розв'язання диференціального рівняння.

Амплітуда загасаючих коливань залежить від часу.

Частота та період залежать від ступеня згасання коливань.

Фаза і початкова фаза мають той самий сенс, що й для невгамовних коливань.

3.1. Механічні загасаючі коливання

Механічна система: пружинний маятник з урахуванням сил тертя.

Сили, що діють на маятник:

Пружна сила. , де k - Коефіцієнт жорсткості пружини, х - зсув маятника від положення рівноваги.

Сила опору. Розглянемо силу опору, пропорційну швидкості v руху (така залежність й у великого класу сил опору): . Знак "мінус" показує, що напрямок сили опору протилежний напрямку швидкості руху тіла. Коефіцієнт опору r чисельно дорівнює силіопору, що виникає при одиничній швидкості руху тіла:

Закон рухупружинного маятника- Це другий закон Ньютона:

m a = Fупр. + Fсопр.

Враховуючи, що і , Запишемо другий закон Ньютона у вигляді:

Розділивши всі члени рівняння на m, перенісши їх усі праву частину, отримаємо диференціальне рівняннязагасаючих коливань:

Позначимо, де β – коефіцієнт згасання, , де ω 0 – частота незагасаючих вільних коливаньбез втрати енергії в коливальній системі.

У нових позначеннях диференціальне рівняння загасаючих коливань має вигляд:

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку.

Рівняння загасаючих коливаньє розв'язання такого диференціального рівняння:

У додатку 1 показано отримання рішення диференціального рівняння загасаючих коливань методом заміни змінних.

Частота загасаючих коливань:

(Фізичний сенс має тільки речовий корінь, тому).

Період загасаючих коливань:

Сенс, який вкладався в поняття періоду для коливань, що не згасають, не підходить для загасаючих коливань, оскільки коливальна система ніколи не повертається у вихідний стан через втрат коливальної енергії. За наявності тертя коливання йдуть повільніше: .

Періодом загасаючих коливаньназивається мінімальний проміжок часу, протягом якого система проходить двічі положення рівноваги щодо одного напрямі.

Для механічної системипружинного маятника маємо:

, .

Амплітуда загасаючих коливань:

Для пружинного маятника.

Амплітуда загасаючих коливань – величина не постійна, а змінюється згодом тим швидше, що більше коефіцієнт β. Тому визначення для амплітуди, дане раніше для вільних коливань, що загасають, для загасаючих коливань треба змінити.

При невеликих згасаннях амплітудою загасаючих коливаньназивається найбільше відхилення від положення рівноваги у період.

Графікизалежності усунення від часу та амплітуди від часу представлені на Рисунках 3.1 та 3.2.

Рисунок 3.1 – Залежність усунення від часу для загасаючих коливань

Рисунок 3.2 – Залежності амплітуди від часу для загасаючих коливань

3.2. Електромагнітні загасні коливання

Електромагнітні загасаючі коливання виникають в е електромагнітну коливальну систему, званої LCR - контур (Малюнок 3.3).

Малюнок 3.3.

Диференціальне рівнянняотримаємо за допомогою другого закону Кірхгофа для замкнутого LCR – контуру: сума падінь напруги на активному опорі (R) та конденсаторі (С) дорівнює ЕРС індукції, що розвивається в ланцюгу контуру:

Падіння напруги:

На активному опорі: де I – сила струму в контурі;

На конденсаторі (С): де q – величина заряду на одній з обкладок конденсатора.

ЕРС, що розвивається в контурі - це ЕРС індукції, що виникає в котушці індуктивності при зміні струму в ній, а отже, і магнітного потокукрізь її перетин: (Закон Фарадея).

Підставимо значення U R , U C в рівняння, що відображає закон Кірхгофа, отримаємо:

Сила струму визначається як похідна від заряду , тоді , і диференціальне рівняння набуде вигляду:

Позначимо , , отримаємо цих позначеннях диференціальне рівняння загасаючих коливань як:

Рішення диференціального рівняння або рівняння коливань для зарядуна обкладках конденсатора має вигляд:

Амплітуда загасаючих коливань зарядумає вигляд:

Частота загасаючих коливаньв LCR – контурі:

Періодзагасаючих електромагнітних коливань:

Візьмемо рівняння для заряду у вигляді , тоді рівняння для напругина обкладинках конденсатора можна записати так
.

Величина називається амплітудою напруги на конденсаторі.

Струм у контурі змінюється з часом. Рівняння для сили струмуу контурі можна отримати, використовуючи співвідношення та векторну діаграму.

Остаточне рівняння для сили струму таке:

де - Початкова фаза.

Вона не дорівнює α, оскільки сила струму змінюється не за синусом, що дала б похідна від заряду, а за косинус.

Енергіяколивань у контурі складається з енергії електричного поля

та енергії магнітного поля

Повна енергіяу будь-який момент часу:

де W 0 – повна енергіяконтуру в момент часу t=0 .

3.3. Характеристики загасаючих коливань

1.Коефіцієнт згасання β.

Зміна амплітуди загасаючих коливань відбувається за експоненційним законом:

Нехай за час τ амплітуда коливань зменшиться в "e" раз ("е" - основа натурального логарифму, е? 2,718). Тоді, з одного боку, , а з іншого боку, розписавши амплітуди А зат. (t) та А закл. (t+τ), маємо . З цих співвідношень випливає βτ = 1, звідси

Проміжок часу τ, за який амплітуда зменшується в "е" раз, називається часом релаксації.

Коефіцієнт згасанняβ – величина, обернено пропорційна часу релаксації.

2. Логарифмічний декрементзгасання δ - фізична величиначисельно рівна натурального логарифмувідносини двох послідовних амплітуд, віддалених у часі на період.

§6 Затухаючі коливання

Декремент згасання. Логарифмічний декремент згасання.

Вільні коливання технічних систему реальних умовах протікають, коли на них діють сили опору. Дія цих сил призводить до зменшення амплітуди величини, що коливається.

Коливання, амплітуда яких через втрати енергії реальної коливальної системи зменшується з часом, називаються загасаючими.

Найчастіше трапляється випадки, коли сила опору пропорційна швидкості руху

де r- Коефіцієнт опору середовища. Знак мінус показує, щоF Cспрямована у бік протилежної швидкості.

Запишемо рівняння коливань у точці, що коливається в середовищі, коефіцієнт опорів якоїr. За другим законом Ньютона

де - коефіцієнт загасання. Цей коефіцієнт характеризує швидкість загасання коливань, За наявності сил опору енергія коливається системи буде поступово зменшуватися, коливання загасатимуть.

- диференціальне рівняння загасаючих коливань.

У рівняння загасаючих коливань.

ω - частота загасаючих коливань:

Період загасаючих коливань:

Затухаючі коливання при строгому розгляді є періодичними. Тому про період загасаючих коливань можна говорити, коли β мало.

Якщо згасання виражені слабо (β→0), то. Загасні коливання можна

розглядати як гармонійні коливання, амплітуда яких змінюється за експоненційним законом

У рівнянні (1) А 0і φ 0 - довільні константи, що залежать від вибору моменту часу, починаючи з якого ми розглядаємо коливання

Розглянемо коливання протягом деякого часу τ, за яке амплітуда зменшиться в ераз

τ – час релаксації.

Коефіцієнт затихання β обернено пропорційний часу, протягом якого амплітуда зменшується в еразів. Однак коефіцієнта згасання недостатня для характеристики загасань коливань. Тому необхідно ввести таку характеристику для загасання коливань, до якої входить час одного коливання. Такою характеристикою є декремент(російською мовою: зменшення) згасання D, який дорівнює відношенню амплітуд, що віддаляються за часом на період:

Логарифмічний декремент згасання дорівнює логарифму D:

Логарифмічний декремент згасання обернено пропорційний числу коливань, в результаті яких амплітуда коливань зменшилася в еразів. Логарифмічний декремент згасання - постійна для цієї системи величина.

Ще однією характеристикою коливальної системи є добротність.Q.

Добротність пропорційна кількості коливань, що здійснюються системою, за час релаксації τ.

Qколивальної системи є мірою відносної диссипації (розсіювання) енергії.

Qколивальної системи називається число, що показує скільки разів сила пружності більше сили опору.

Чим більша добротність, тим повільніше відбувається загасання, тим коливання, що загасають, ближче до вільних гармонійних.

§7 Вимушені коливання.

Резонанс

У низці випадків виникає необхідність створення систем, що здійснюють незатухаючі коливання. Отримати незагасаючі коливання в системі можна, якщо компенсувати втрати енергії, впливаючи на систему силою, що періодично змінюється.

Нехай

Запишемо вираз для рівняння руху матеріальної точки, що здійснює гармонійний коливальний рух під дією сили, що змушує.

За другим законом Ньютона:

(1)

Диференціальне рівняння вимушених коливань.

Це диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним.

Його рішення дорівнює сумі загального рішення однорідного рівняннята приватного рішення неоднорідного рівняння:

Знайдемо окреме рішення неоднорідного рівняння. Для цього перепишемо рівняння (1) у такому вигляді:

(2)

Приватне рішення цього рівняння шукатимемо у вигляді:

Тоді

Підставимо в (2):

т.к. виконується для будь-когоt, то повинна виконуватись рівність γ = ω , отже,

Це комплексне числозручно подати у вигляді

де Авизначається за формулою (3 нижче), а φ - за формулою (4), отже, рішення (2), комплексній формімає вигляд

Його речова частина, що була рішенням рівняння (1) дорівнює:

де

(3)

(4)

Доданок Х о.о. грає істотну рольтільки в початковій стадіїпри встановленні коливань доти, доки амплітуда вимушених коливань не досягне значення, що визначається рівністю (3). У режимі вимушені коливання відбуваються з частотою ω і є гармонійними. Амплітуда (3) і фаза (4) вимушених коливань залежать від частоти сили, що змушує. При певній частотізмушує сили амплітуда може досягти дуже великих значень. Різке зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти примушує сили до власної частоти механічної системи, називається резонансом.

Частота вимушальної сили, при якій спостерігається резонанс, називається резонансною. Для того щоб знайти значення рез, необхідно знайти умову максимуму амплітуди. Для цього потрібно визначити умову мінімуму знаменника (3) (тобто дослідити (3) на екстремум).

Залежність амплітуди величини, що коливається, від частоти вимушальної сили називається резонансної кривої. Резонансна крива буде тим вищою, чим менший коефіцієнт загасання β та зі зменшенням β, максимум резонансних кривих змішається вправо. Якщо β = 0, то

ω рез = ω 0 .

При ω→0 усі криві приходять до значення- Статичне відхилення.

Параметричний резонанс виникає в тому випадку, коли періодична зміна одного з параметрів система призводить до різкого збільшення амплітуди системи, що коливається. Наприклад, кабіни, що роблять "сонечко" за рахунок зміни положення центру тяжіння система. (То ж у "човниках".) Див. 1 Савельєв І.В.

Автоколиваннями називаються такі коливання, енергія яких періодично поповнюється внаслідок впливу самої системи з допомогою джерела енергії, що у цій системі. Див §59 т.1 Савельєв І.В.

Коливальним називається будь-який рух, що періодично повторюється. Тому залежності координати та швидкості тіла від часу при коливаннях описуються періодичними функціями часу. У шкільному курсіфізики розглядаються такі коливання, в яких залежності та швидкості тіла являють собою тригонометричні функції , або їхню комбінацію, де - деяке число. Такі коливання називаються гармонійними (функції і часто називають гармонійними функціями). Для вирішення завдань на коливання, що входять до програми єдиного державного іспитуз фізики, потрібно знати визначення основних характеристик коливального руху: амплітуди, періоду, частоти, кругової (або циклічної) частоти та фази коливань. Дамо ці визначення і зв'яжемо перераховані величини з параметрами залежності координати тіла від часу, яка у разі гармонійних коливань завжди може бути представлена у вигляді

де , І - деякі числа.

Амплітудою коливань називається максимальне відхилення тіла, що коливається, від положення рівноваги. Оскільки максимальне та мінімальне значеннякосинуса (11.1) дорівнює ±1, то амплітуда коливань тіла, що здійснює коливання (11.1), дорівнює величині . Період коливань – це мінімальний час, через який рух тіла повторюється. Для залежності (11.1) період можна встановити з таких міркувань. Косінус - періодична функціяз періодом. Тому рух повністю повторюється через таке значення, що. Звідси отримуємо

Круговою (або циклічною) частотою коливань називається кількість коливань, що здійснюються за одиниць часу. З формули (11.3) укладаємо, що круговою частотою є величина формули (11.1).

Фазою коливань називається аргумент тригонометричної функції, що описує залежність координати від часу. З формули (11.1) бачимо, що фаза коливань тіла, рух якого описується залежністю (11.1), дорівнює . Значення фази коливань у час = 0 називається початкової фазою. Для залежності (11.1) початкова фаза коливань дорівнює величині. Очевидно, початкова фаза коливань залежить від вибору початку відліку часу (моменту = 0), який є умовним. Зміною початку відліку часу початкова фаза коливань завжди може бути «зроблена» рівною нулю, а синус у формулі (11.1) «перетворений» на косинус або навпаки.

До програми єдиного державного іспиту входить також знання формул для частоти коливань пружинного та математичного маятників. Пружинним маятником прийнято називати тіло, яке може коливати на гладкій горизонтальній поверхні під дією пружини, другий кінець якої закріплений (лівий малюнок). Математичним маятником називається масивне тіло, розмірами якого можна знехтувати, що робить коливання на довгій, невагомій та нерозтяжній нитці (правий малюнок). Назва цієї системи – «математичний маятник» пов'язана з тим, що вона є абстрактною. математичнумодель реального ( фізичного) маятника. Необхідно пам'ятати формули для періоду (або частоти) коливань пружинного та математичного маятників. Для пружинного маятника

де - Довжина нитки, - прискорення вільного падіння. Розглянемо застосування цих термінів і законів з прикладу розв'язання задач.

Щоб знайти циклічну частоту коливань вантажу в Завдання 11.1.1знайдемо спочатку період коливань, та був скористаємося формулою (11.2). Оскільки 10 м 28 с – це 628 с, і за цей час вантаж здійснює 100 коливань, період коливань вантажу дорівнює 6,28 с. Тому циклічна частота коливань дорівнює 1 c -1 (відповідь 2 ). У задачі 11.1.2вантаж за 600 с здійснив 60 коливань, тому частота коливань - 0,1 с -1 (відповідь 1 ).

Щоб зрозуміти, який шлях пройдевантаж за 2,5 періоду ( Завдання 11.1.3), простежимо за його рухом. Через період вантаж повернеться назад до точки максимального відхилення, здійснивши повне коливання. Тому за цей час вантаж пройде відстань, рівне чотирьом амплітудам: до положення рівноваги - одна амплітуда, від положення рівноваги до точки максимального відхилення в інший бік - друга, назад у положення рівноваги - третя, положення рівноваги в початкову точку - четверта. За другий період вантаж знову пройде чотири амплітуди, а за половину періоду, що залишилися, - дві амплітуди. Тому пройдений шлях дорівнює десяти амплітудам (відповідь 4 ).

Величина переміщення тіла – відстань від початкової точки до кінцевої. За 2,5 періоду в задачі 11.1.4тіло встигне здійснити два повні і половину повного коливання, тобто. виявиться на максимальному відхиленні, але з іншого боку положення рівноваги. Тому величина переміщення дорівнює двом амплітудам (відповідь 3 ).

За визначенням фаза коливань - це аргумент тригонометричної функції, якою описується залежність координати тіла, що коливається від часу. Тому правильна відповідь у задачі 11.1.5 - 3 .

Період – це час повного коливання. Це означає, що повернення тіла назад у ту ж точку, з якої тіло почало рух, ще не означає, що пройшов період: тіло має повернутися в ту саму точку з тією ж швидкістю. Наприклад, тіло, почавши коливання з положення рівноваги, за період встигне відхилитися на максимальну величину в один бік, повернутися назад, відхилиться на максимум в іншу сторону і знову повернутися назад. Тому за період тіло встигне двічі відхилитися на максимальну величину від положення рівноваги та повернутися назад. Отже, проходження від положення рівноваги до точки максимального відхилення ( завдання 11.1.6) тіло витрачає четверту частину періоду (відповідь 3 ).

Гармонічними називаються такі коливання, при яких залежність координати тіла, що коливається, від часу описується тригонометричною (синус або косинус) функцією часу. У задачі 11.1.7такими є функції і , незважаючи на те, що параметри, що входять до них, позначені як 2 і 2 . Функція ж – тригонометрична функція квадрата часу. Тому гармонійними є коливання тільки величин і (відповідь 4 ).

При гармонійних коливанняхшвидкість тіла змінюється згідно із законом , де - Амплітуда коливань швидкості (початок відліку часу обрано так, щоб початкова фаза коливань дорівнювала б нулю). Звідси знаходимо залежність кінетичної енергії тіла від часу
(Завдання 11.1.8). Використовуючи далі відому тригонометричну формулу, отримуємо

З цієї формули випливає, що кінетична енергіятіла змінюється при гармонійних коливаннях також за гармонійним законом, але з подвоєною частотою (відповідь 2 ).

За співвідношенням між кінетичною енергією вантажу та потенційною енергією пружини ( Завдання 11.1.9) легко простежити з таких міркувань. Коли тіло відхилено на максимальну величину від положення рівноваги, швидкість тіла дорівнює нулю, і, отже, потенційна енергія пружини більша за кінетичну енергію вантажу. Навпаки, коли тіло проходить положення рівноваги, потенційна енергія пружини дорівнює нулю, і, отже, кінетична енергія більша за потенційну. Тому між проходженням положення рівноваги та максимальним відхиленням кінетична та потенційна енергія один раз порівнюються. А оскільки за період тіло чотири рази проходить від положення рівноваги до максимального відхилення або назад, то за період кінетична енергія вантажу та потенційна енергія пружини порівнюються один з одним чотири рази (відповідь 2 ).

Амплітуду коливань швидкості ( завдання 11.1.10) Найпростіше знайти за законом збереження енергії. У точці максимального відхилення енергія коливальної системи дорівнює потенційної енергіїпружини , де - Коефіцієнт жорсткості пружини, - Амплітуда коливань. При проходженні положення рівноваги енергія тіла дорівнює кінетичній енергії , де - маса тіла, - швидкість тіла при проходженні положення рівноваги, яка є максимальною швидкістютіла в процесі коливань і, отже, є амплітудою коливань швидкості. Прирівнюючи ці енергії, знаходимо

(відповідь 4 ).

З формули (11.5) укладаємо ( Завдання 11.2.2), що від маси математичного маятникайого період не залежить, а при збільшенні довжини в 4 рази період коливань збільшується в 2 рази (відповідь 1 ).

Годинник - це коливальний процес, який використовується для вимірювання інтервалів часу ( Завдання 11.2.3). Слова годинник «поспішають» означає, що період цього процесу менше тогояким він має бути. Тому для уточнення ходу цього годинника необхідно збільшити період процесу. Згідно з формулою (11.5) для збільшення періоду коливань математичного маятника необхідно збільшити його довжину (відповідь 3 ).

Щоб знайти амплітуду коливань у задачі 11.2.4необхідно уявити залежність координати тіла від часу у вигляді однієї тригонометричної функції. Для цієї функції це можна зробити за допомогою введення додаткового кута. Помножуючи і поділяючи цю функцію на та використовуючи формулу додавання тригонометричних функцій, отримаємо

де - такий кут, що . З цієї формули випливає, що амплітуда коливань тіла - (відповідь 4 ).

Ми хочемо тепер трохи розповісти про те, як поводяться амплітуди ймовірності у часі. Ми говоримо «трохи», тому що насправді поведінка в часі з необхідністю включає і поведінку в просторі. Отже, побажавши описати поведінку з усією коректністю та детальністю, ми негайно опинимося у дуже складному становищі. Перед нами виникає наша постійна труднощі - чи вивчати щось строго логічно, але абсолютно абстрактно, чи думати про суворість, а давати якесь уявлення про справжній стан речей, відкладаючи ретельніше дослідження пізніше. Зараз, говорячи про залежність амплітуд від енергії, ми маємо намір обрати другий спосіб. Буде висловлено низку тверджень. При цьому ми не будемо прагнути суворості, а просто розповімо вам про те, що було виявлено, щоб ви змогли відчути, як поводяться амплітуди в часі. У міру ходу нашого викладу точність опису зростатиме, тож, будь ласка, не нервуйте, бачачи, як фокусник витягуватиме звідкись з повітря різні речі. Вони й справді беруться з чогось невловимого - з духу експерименту та з уяви багатьох людей. Але проходити усі стадії історичного розвиткупредмета - справа дуже довга, дещо доведеться просто пропустити. Можна було б поринути в абстракції і все суворо виводити (але ви навряд чи це зрозуміли) або пройти через безліч експериментів, підтверджуючи ними кожне своє твердження. Ми виберемо щось середнє.

Одиночний електрон у порожньому просторі може за деяких умов мати цілком певну енергію. Наприклад, якщо він спочиває (тобто не має ні переміщувального руху, ні імпульсу, ні кінетичної енергією), то у нього є енергія спокою. Об'єкт складніший, наприклад атом, теж може, спочиваючи, володіти певною енергією, але він може виявитися і внутрішньо збудженим - збудженим до іншого рівня енергії. (Механізм цього ми опишемо пізніше.) Часто ми маємо право вважати, що атом у збудженому стані має певну енергію; втім, насправді це вірно лише приблизно. Атом не залишається збудженим назавжди, тому що він завжди прагне розрядити свою енергію, взаємодіючи з електромагнітним полем. Тож завжди є деяка амплітуда того, що виникне новий стан – з атомом у нижчому стані збудження та електромагнітним полем у вищому. Повна енергії системи і до, і після - та сама, але енергія атома зменшується. Тож не дуже точно говорити, що збуджений атом має певну енергію; але часто так говорити зручно та не дуже неправильно.

[До речі, чому все тече в один бік і не тече в інший? Чому атом випромінює світло? Відповідь пов'язана з ентропією. Коли енергія знаходиться в електромагнітному полі, то перед нею відкривається стільки різних шляхів - стільки розпих місць, куди вона може потрапити, - що, відшукуючи умову рівноваги, ми переконуємося, що в ймовірному положенні поле виявляється збудженим одним фотоном, а атом - збудженим. І фотону потрібний чималий час, щоб повернутися і виявити, що він може порушити атом назад. Це повністю аналогічно класичної задачі: чому прискорений заряд випромінює? Не тому, що він «хоче» втратити енергію, ні, адже насправді, коли він випромінює, енергія світу залишається такою самою, як і раніше. Просто випромінювання чи поглинання завжди йде у напрямку зростання ентропії.]

Ядра теж можуть існувати на різних енергетичних рівнях, і в тому наближенні, коли нехтують електромагнітними ефектамиМи маємо право говорити, що ядро в збудженому стані таким і залишається. Хоч ми й знаємо, що воно не залишиться таким назавжди, часто буває корисно виходити з дещо ідеалізованого наближення, яке простіше розглянути. До того ж у деяких обставинах – це узаконене наближення. (Коли ми вперше вводили класичні законипадіння тіл, ми не враховували тертя, адже майже не буває так, щоб тертя зовсім не було.)

Крім того, існують ще "дивні частки" з різними масами. Але масивніші з них розпадаються на легші, тож знову неправильно буде говорити, ніби їхня енергія точно визначена. Це було б правильно, якби вони зберігалися надовго. Тож коли ми наближено вважаємо їх такими, що мають певну енергію, то забуваємо при цьому, що вони повинні розпастися. Але зараз ми навмисне забудемо про такі процеси, а потім, згодом, навчимося брати до уваги і їх.

Нехай є атом (або електрон, або будь-яка частка), що має стан спокою певною енергією. Під енергією ми маємо на увазі масу всього цього, помножену на . У масу входить будь-яка внутрішня енергія; отже, маса збудженого атома відрізняється від маси того ж атома, але в основному стані. (Основний стан означає стан із найнижчою енергією.) Назвемо «енергією спокою».

Для атома, що знаходиться у стані спокою, квантовомеханічна амплітуда виявити його в якомусь місці всюди одна й та сама; від становища вона залежить. Це, зрозуміло, означає, що можливість виявити атом у будь-якому місці - та сама. Але це означає навіть більше. Імовірність могла б не залежати від становища, а фаза амплітуди при цьому могла б змінюватися від точки до точки. Але для частки у спокої повна амплітуда всюди однакова. Проте, вона залежить від часу. Для частки в стані певної енергії амплітуда виявити частинку в точці в момент дорівнює

де – деяка постійна. Амплітуда перебування в такій точці простору для всіх точок однакова, але залежить від часу згідно (5.1). Ми просто припустимо, що це правило є вірним завжди.

Можна, звичайно, (5.1) записати і так:

а – маса спокою атомного стану або частинки. Існують три різні способи визначення енергії: за частотою амплітуди, за енергією в класичному сенсі або але інертною масою. Усі вони рівноцінні; це просто різні способивисловлювати те саме.

Вам може здатися, що дивно уявляти собі «частку», що має однакові амплітуди опинитися в просторі де завгодно. Адже, крім іншого, ми завжди уявляємо собі «частку» як невеликий предмет, розташований десь. Але не забудьте про принцип невизначеності. Якщо частка має певну енергію, то й імпульс у неї певний. Якщо невизначеність у імпульсі дорівнює нулю, то співвідношення невизначеностей каже, що невизначеність у положенні має бути нескінченною; саме це ми й стверджуємо, говорячи, що існує однакова амплітуда виявити частинку у всіх точках простору.

Якщо внутрішні частини атома перебувають у іншому стані з іншою повною енергією, тоді амплітуда змінюється у часі інакше. А якщо ви не знаєте, в якому стані знаходиться атом, то з'явиться деяка амплітуда перебування в одному стані та деяка амплітуда перебування в іншому, і кожна з цих амплітуд матиме свою частоту. Між цими двома різними компонентами з'явиться інтерференція на кшталт биття, які можуть бути як змінна ймовірність. Усередині атома щось «назріватиме», навіть якщо він «спокоїтиметься» в тому сенсі, що його центр мас не рухатиметься. Якщо ж атом має тільки одну певну енергію, то амплітуда дається формулою (5.1) і квадрат модуля амплітуди від часу не залежить. Отже, ви бачите, що якщо енергія якоїсь речі визначена і якщо ви задаєте «опитування про ймовірність чогось у цій речі, то від часу не залежить. Хоча самі амплітуди від часу залежать, але якщо певна енергія, вони змінюються як уявна експонента і абсолютне значення(модуль) їх змінюється.

Ось чому ми часто говоримо, що атом на певному енергетичному рівніперебуває у стаціонарному стані. Якщо ви щось вимірюєте всередині нього, ви виявляєте, що нічого (імовірно) у часі не змінюється. Щоб ймовірність змінювалась у часі, має бути інтерференція двох амплітуд при двох різних частотах, а це означало б, що невідомо, яка енергія. У предмета були б одна амплітуда перебування у стані з однією енергією та інша амплітуда перебування у стані з іншою енергією. Так у квантовій механіці описується щось, якщо поведінка цього «чогось» залежить від часу.

Якщо є випадок, коли змішані два різні стани з різними енергіями, то амплітуди кожного з двох станів змінюються згодом відповідно до рівняння (5.2), скажімо, як

І якщо є комбінація цих двох станів, то з'явиться інтерференція. Але зауважте, що додавання до обох енергій однієї константи нічого не змінює. Якщо хтось інший користувався іншою шкалою енергій, де всі енергії зрушені на константу (скажімо, на ), то амплітуди опинитися у цих двох станах, з його погляду, було б

Всі його амплітуди виявилися б помноженими на один і той самий множник , і в усі лінійні комбінації, у всі інтерференції потів би той самий множник. Обчислюючи визначення ймовірностей модулі, він дійшов тим самим відповідям. Вибір початку відліку на нашій шкалі енергії нічого не змінює; енергію можна відраховувати від будь-якого нуля. У релятивістських завданнях приємніше вимірювати енергію так, щоб до неї входила маса спокою, але для багатьох інших не релятивістських цілей часто краще відняти від усіх енергій, що з'являються. стандартну величину. Наприклад, у разі атома зазвичай буває зручно відняти енергію , де - маса окремих його частин, ядра та електронів, що відрізняється, звичайно, від маси самого атома. В інших завданнях корисно буває відняти від усіх енергії число , де - Маса всього атома в основному стані; тоді енергія, що залишається, є просто енергія збудження атома. Отже, норою ми маємо право зрушувати наш нуль енергії дуже і дуже сильно, я це все одно нічого не змінює (за умови, що всі енергії в даному приватному розрахунку зрушені на те саме число). На цьому ми розлучимося з частинками, що покоїться.

Розділ 5

ЗАЛЕЖНІСТЬ АМПЛІТУД ВІД ЧАСУ

§ 1. Покояться атоми; стаціонарні стани

§ 2.Рівномірний рух

§ 3. Потенційна енергія; збереження енергії

§ 4.Сили; класична межа

§ 5. «Прецесія» частки зі спином 1/2

Повторити:гол. 17 (вип. 2) «Простір-час»; гол. 48 (вип. 4) «Бієння»

§ 1. Покояться атоми; стаціонарні стани

Ми хочемо тепер трохи розповісти про те, як поводяться амплітуди ймовірності у часі. Ми говоримо «трохи», тому що насправді поведінка в часі з необхідністю включає і поведінку в просторі. Отже, побажавши описати поведінку з усією коректністю та детальністю, ми негайно опинимося у дуже складному становищі. Перед нами виникає наша постійна труднощі - чи вивчати щось строго логічно, але абсолютно абстрактно, чи думати про суворість, а давати якесь уявлення про справжній стан речей, відкладаючи ретельніше дослідження пізніше. Зараз, говорячи про залежність амплітуд від енергії, ми маємо намір обрати другий спосіб. Буде висловлено низку тверджень. При цьому ми не будемо прагнути суворості, а просто розповімо вам про те, що було виявлено, щоб ви змогли відчути, як поводяться амплітуди в часі. У міру ходу нашого викладу точність опису зростатиме, тож, будь ласка, не нервуйте, бачачи, як фокусник витягуватиме звідкись з повітря різні речі. Вони й справді беруться з чогось невловимого - з духу експерименту та з уяви багатьох людей. Але проходити всі стадії історичного розвитку предмета – справа дуже довга, дещо доведеться просто пропустити. Можна було б поринути в абстракції і все суворо виводити (але ви навряд чи це зрозуміли) або пройти через безліч експериментів, підтверджуючи ними кожне своє твердження. Ми виберемо щось середнє.

Одиночний електрон у порожньому просторі може за деяких умов мати цілком певну енергію Наприклад, якщо він спочиває (тобто не має ні переміщувального руху, ні імпульсу, ні кінетичної енергії), то він має енергію спокою. Об'єкт складніше, наприклад атом, теж може, спочивав, мати певну енергію, але може виявитися і внутрішньо збудженим -збудженим до іншого рівня енергії. (Механізм цього ми опишемо пізніше.) Часто ми маємо право вважати, що атом у збудженому стані має певну енергію; втім, насправді це вірно лише приблизно. Атом не залишається збудженим назавжди, тому що він завжди прагне розрядити свою енергію, взаємодіючи з електромагнітним полем. Так що завжди є деяка амплітуда того, що виникне новий стан - з атомом нижчому станізбудження та електромагнітним полем у вищому. Повна енергія системи і до, і після - та сама, але енергія атомазменшується. Так що не дуже точно говорити, що збуджений атом має певнаенергія; але часто так говорити зручно та не дуже неправильно.

[До речі, чому все тече в один бік і не тече в інший? Чому атом випромінює світло? Відповідь пов'язана з ентропією Коли енергія знаходиться в електромагнітному полі, то перед нею відкривається стільки різних шляхів - стільки різних місць, куди вона може потрапити, - що, знаходячи умову рівноваги, ми переконуємося, що в ймовірному положенні поле виявляється збудженим одним фотоном, а атом – незбудженим. І фотону потрібен чималий час, щоб повернутися і виявити, що він може порушити атом назад. Це цілком аналогічно класичному завданню: чому прискорений заряд випромінює? Не тому, що він «хоче» втратити енергію, ні, адже насправді, коли він випромінює, енергія світу залишається такою самою, як і раніше. Просто випромінювання чи поглинання завжди йде у напрямку зростання ентропії.

Ядра теж можуть існувати на різних енергетичних рівнях, і в тому наближенні, коли нехтують електромагнітними ефектами, ми можемо говорити, що ядро в збудженому стані таким і залишається. Хоч ми й знаємо, що воно не залишиться таким назавжди, часто буває корисно виходити з дещо ідеалізованого наближення, яке простіше розглянути. До того ж у деяких обставинах – це узаконене наближення. (Коли ми вперше вводили класичні закони падіння тіл, ми не враховували тертя, адже майже не буває так, щоб тертя зовсімне було.)

Крім того, існують ще "дивні частки" з різними масами. Але масивніші з них розпадаються на легші, тож знову неправильно буде говорити, ніби їхня енергія точно визначена. Це було б правильно, якби вони зберігалися надовго. Тож коли ми наближено вважаємо їх такими, що мають певну енергію, то забуваємо при цьому, що вони повинні розпастися. Але зараз ми навмисне забудемо про такі процеси, а потім, згодом вивчимося брати до уваги і їх.

Нехай є атом (або електрон, або будь-яка частка), що має стан спокою певною енергією E 0 . Під енергією Е 0 ми маємо на увазі масу всього цього, помножену на з 2 . У масу входить будь-яка внутрішня енергія; отже, маса збудженого атома відрізняється від маси того ж атома, але в основному стані. (Основнестан означає стан із найнижчою енергією.) Назвемо Е 0 "енергією спокою". Для атома, що перебуває в стані спокою,квантовомеханічна амплітудавиявити його в якомусь місці всюди те саме;від становища вона не залежить.Це, зрозуміло, означає, що можливість виявитиатом у будь-якому місці - та сама. Але це означає навіть більше. Ймовірністьмогла б не залежати від становища, а фаза амплітудипри цьому могла б ще змінюватися від точки до точки. Але для частки у спокої повна амплітуда всюди однакова. Однак вона залежить від часу.Для частки у стані певної енергії Е 0 , амплітуда виявити частинку в точці (х, у, z)у момент tдорівнює

де а -деяка стала. Амплітуда перебування в такій точці простору для всіх точок однакова, але залежить від часу згідно (5.1). Ми просто припустимо, що це правило є вірним завжди.

Можна, звичайно, (5.1) записати і так:

а М- Маса спокою атомного стану або частки. Існують три різні способи визначення енергії: за частотою амплітуди, енергії в класичному сенсі або інертною масою. Усі вони рівноцінні; це просто різні способи виражати те саме.

Вам може здатися, що дивно уявляти собі «частку», що має однакові амплітуди опинитися в просторі де завгодно. Адже, крім іншого, ми завжди уявляємо собі «частку» як невеликий предмет, розташований десь. Але не забудьте про принцип невизначеності. Якщо частка має певну енергію, то й імпульс у неї певний. Якщо невизначеність у імпульсі дорівнює нулю, то співвідношення невизначеностей D р D x=h каже, що невизначеність у положенні має бути нескінченною; саме це ми й стверджуємо, говорячи, що існує однакова амплітуда виявити частинку у всіх точках простору.

Якщо внутрішні частини атома перебувають у іншому стані з іншою повною енергією, тоді амплітуда змінюється у часі інакше. А якщо ви не знаєте, в якому стані знаходиться атом, то з'явиться деяка амплітуда перебування в одному стані та деяка амплітуда перебування в іншому, і кожна з цих амплітуд матиме свою частоту. Між цими двома різними компонентами з'явиться інтерференція на кшталт биття, які можуть бути як змінна ймовірність. Усередині атома щось «назріватиме», навіть якщо він «спокоїтиметься» в тому сенсі, що його центр мас не рухатиметься. Якщо ж атом має тільки одну певну енергію, то амплітуда дається формулою (5.1) і квадрат модуля амплітуди від часу не залежить. Отже, ви бачите, що якщо енергія якоїсь речі визначена і якщо ви ставите питання про ймовірностічогось у цій речі, то від часу не залежить. Хоча самі амплітудивід часу залежать, але якщо енергія певна,вони змінюються як уявна експонента та абсолютне значення (модуль) їх не змінюється.

Ось чому ми часто говоримо, що атом на певному енергетичному рівні знаходиться в стаціонарному стані.Якщо ви щось вимірюєте всередині нього, ви виявляєте, що нічого (імовірно) у часі не змінюється. Щоб ймовірність змінювалась у часі, має бути інтерференція двох амплітуд при двох різних частотах, а це означало б, що невідомо, яка енергія. У предмета були б одна амплітуда перебування у стані з однією енергією та інша амплітуда перебування у стані з іншою енергією. Так у квантової механікиописується щось, якщо поведінкацього «чогось» залежить від часу.

І якщо є комбінація цих двох станів, то з'явиться інтерференція. Але зауважте, що додавання до обох енергій однієї константи нічого не змінює. Якщо хтось інший користувався іншою шкалою енергій, де всі енергії зрушені на константу (скажімо, на а),то амплітуди опинитися в цих двох станах, на його думку, були б

Всі його амплітуди виявилися б помноженими на один і той самий множник

ехр[- i(A/h)/t], і в усі лінійні комбінації, у всі інтерференції увійшов би той самий множник. Обчислюючи визначення ймовірностей модулі, він дійшов тим самим відповідям. Вибір початку відліку на нашій шкалі енергії нічого не змінює; енергію можна відраховувати від будь-якого нуля. У релятивістських завданнях приємніше вимірювати енергію так, щоб до неї входила маса спокою, але для багатьох інших нерелятивістських цілей часто краще відняти від усіх енергій, що з'являються, стандартну величину. Наприклад, у разі атома зазвичай буває зручно відняти енергію М s з 2 де М s - маса окремихйого частин, ядра та електронів, що відрізняється, звичайно, від маси самого атома. В інших завданнях корисно буває відняти від усіх енергій число M g c 2 , де M g - маса всього атома в основномустан; тоді енергія, що залишається, є просто енергія збудження атома. Значить, часом ми маємо право зрушувати, наш нуль енергії дуже і дуже сильно, і це все одно нічого не змінює (за умови, що всі енергії в даному приватному розрахунку зрушені на одне й те число). На цьому ми розлучимося з частинками, що покоїться.

§ 2. Рівномірний рух

Якщо ми припускаємо, що теорія відносності вірна, то частка, яка лежить в одній інерційної системи, в іншій інерційній системі може опинитися в рівномірному русі. У системі спокою частки амплітуда ймовірності для всіх х, уі zоднакова, але залежить від t. Величинаамплітуди для всіх tоднакова, а фазазалежить від t.Ми можемо отримати картину поведінки амплітуди, якщо проведемо лінії рівної фази (скажімо, нульової) як функції хі t.Для частки у спокої ці лінії рівної фази паралельні осі хі розташовані по осі tна рівних відстанях(Показано пунктирними лініями на фіг. 5.1).

Фіг. 5.1. Релятивістське перетворення амплітуди покоїться. частинки у систему х-t.

В іншій системі, х", у", z", t",що рухається щодо частки, скажімо, у напрямку х,координати х"і t"деякої приватної точки простору пов'язані з хі tперетворенням Лоренца. Це перетворення можна зобразити графічно, провівши осі х"і t",як показано на фіг. 5.1 [див. гол. 17 (вип. 2), фіг. 17.2]. Ви бачите, що у системі х"--t"точки рівної фази вздовж осі t"розташовані інших відстанях, отже частота тимчасових змін вже інша. Крім того, фаза змінюється і по х".тобто амплітуда ймовірності має бути функцією х".

При перетворенні Лоренца для швидкості vспрямованої, скажімо, вздовж негативного спрямування х.час tпов'язано з часом t"формулою

і тепер наша амплітуда змінюється так:

У штрихованій системі вона змінюється у просторі та в часі. Якщо амплітуду записати у вигляді

то видно, що Е" р =Е 0 /Ц( 1-v 2/с 2). Це енергія, обчислена за класичними правилами для частки з енергією спокою Е 0 , що рухається зі швидкістю v; p"=E" p v/c 2 - відповідний імпульс частки.

Ви знаєте, що х m =(t, х, y, z) та р m =(Е, р х , р y , р г ) - чотиривектори, a p m x m = Et-р·х-Скалярний інваріант. У системі спокою частки p m x mпросто одно Et;отже, при перетворенні на іншу систему Etслід замінити на

Отже, амплітуда ймовірності для частки, імпульс якої є р, буде пропорційна

де Е р - енергія частки з імпульсом р,тобто.

а Е 0 , як і раніше, -енергія спокою. У нерелятивістських завданнях можна писати

де W p - надлишок (або нестача) енергії в порівнянні з енергією спокою М s з 2 частин атома. У загальному випадку в W pмали б увійти і кінетична енергія атома, і його енергія зв'язку або збудження, які можна назвати «внутрішньою» енергією. Тоді ми б писали

а амплітуди мали б вигляд

Ми збираємося всі розрахунки вести нерелятивістськи, тому саме таким видом амплітуд ймовірностей ми й користуватимемося.

Зауважте, що наше релятивістське перетворення забезпечило нас формулою зміни амплітуди атома, що рухається у просторі, не вимагаючи будь-яких додаткових припущень. Хвильова кількість її змін у просторі, як це випливає з (5.9), дорівнює

отже, довжина хвилі

Це та сама довжина хвилі, яку ми раніше використовували для часток з імпульсом нар.Саме таким шляхом де Бройль вперше прийшов до цієї формули. Для частинки, що рухається частотазміни амплітуди, як і раніше, дається формулою

Абсолютна величина (5.9) дорівнює просто одиниці, так що для частки, що рухається з певною енергією,ймовірність виявити її будь-де - одна і та ж всюди і з часом не змінюється. (Важливо відзначити, що амплітуда це комплекснахвиля. Якби ми користувалися речовинною синусоїдою, то її квадрат від точки до точки змінювався б, що було б неправильно.)

Звичайно, ми знаємо, що трапляються випадки, коли частинки рухаються від одного місця до іншого, так що ймовірність залежить від положення і змінюється з часом. Як же слід описувати такі випадки? Це можна зробити, розглядаючи амплітуди, які є суперпозицією двох або більшого числаамплітуд для станів із певною енергією. Таке становище ми вже обговорювали в гол. 48 (вип. 4), причому саме для амплітуд ймовірності! Ми знайшли тоді, що сума двох амплітуд із різними хвильовими числами k(т. е. імпульсами) і частотами w (т. е. енергіями) призводить до інтерференційних пагорбів, або биття, так що квадрат амплітуди змінюється і в просторі, і в часі. Ми знайшли також, що ці биття рухаються з так званою груповою швидкістю, яка визначається формулою

де Dk і Dw - різниці хвильових чисел та частот двох хвиль. У складніших хвилях, складених із суми багатьох амплітуд із близькими частотами, групова швидкість дорівнює

Так як w =Е р /h, a k = p/h,то

Але з (5.6) випливає, що

а так як E p =Mc 2 , то

а це якраз класична швидкість частки. Навіть застосовуючи нерелятивістські висловлювання, ми матимемо

тобто знову класичну швидкість.

Результат наш, отже, полягає в тому, що якщо є кілька амплітуд для чистих енергетичний станз майже однаковою енергією, їх інтерференція призводить до «сплесків» ймовірності, які рухаються крізь простір зі швидкістю, рівної швидкостікласичної частинки з такою самою енергією. Але треба, однак, зауважити, що, коли ми говоримо, що можемо складати дві амплітуди з різними хвильовими числами, щоб отримувати пакети, що відповідають частинці, що рухається, ми при цьому вносимо щось нове - щось, що не виводиться з теорії відносності. Ми сказали, як змінюється амплітуда у нерухомої частинки, і потім вивели з цього, як вона мала б змінюватися, якби частка рухалася. Але з цих міркувань ми не в змозівивести, що трапилося б, якби були двіхвилі, що рухаються з різними швидкостями. Якщо ми зупинимо одну з них, ми не зможемо зупинити іншу. Так що ми тишком-нишком додали ще однугіпотезу: крім того, що (5.9) є можливерішення ми. припускаємо, що в тієї ж системи можуть бути ще рішення з різними pі що різні члени будуть інтерферувати.

§ 3. Потенціальна енергія; збереження енергії

А тепер ми хотіли б з'ясувати питання, що буває; коли енергія частки може змінюватись. Почнемо з роздумів про частинку, яка рухається в полі сил, що описується потенціалом. Розглянемо спочатку вплив постійного потенціалу. Нехай у нас є велика металева скринька, яку ми зарядили до деякого електростатичного потенціалу j (фіг. 5.2).

|Фіг. 5.2. Частка з масою M та імпульсом р в області постійного потенціалу.

Якщо всередині ящика є заряджені об'єкти, то їх потенційна енергія дорівнюватиме q j; ми позначимо це число буквою V.Воно за умовою зовсім залежить від становища самого об'єкта. Від накладання потенціалу жодних фізичних змін усередині скриньки не станеться, адже постійний потенціал нічого не змінює у тому, що відбувається всередині скриньки. Отже, закон, за яким тепер змінюватиметься амплітуда, вивести не можна. Можна лише здогадатися. Ось він, правильна відповідь - він виглядає приблизно так, як і слід очікувати: замість енергії потрібно поставити суму потенційної енергії Vта енергії Е р , яка сама є сумою внутрішньої та кінетичної енергій. Амплітуда тоді буде пропорційна

Загальний принципполягає в тому, що коефіцієнт при t,який можна було б назвати зі, завжди дається повною енергієюсистеми: внутрішньою енергією («енергією маси») плюс кінетична енергія плюс потенційна енергія:

Або в нерелятивістському випадку

Ну а що можна сказати про фізичні явища всередині ящика? Якщо фізичний станне одне, а кілька, що ми отримаємо? В амплітуду кожного стану увійдеодин і той же додатковий множник

e -( i / h ) Vt

понад те, що було при V=0. Це нічим не відрізняється від зсуву нуля нашої енергетичної шкали. Вийде однаковий зсув всіх фаз усіх амплітуд, а це, як ми раніше переконалися, не змінює жодних ймовірностей. Усі фізичні явища залишаються тими самими. (Ми припустили, що мова йдепро різних станаходного і того ж зарядженого об'єкта, тож q j у них у всіх однаково. Якби об'єкт міг змінювати свій заряд, переходячи від одного стану до іншого, то ми дійшли б зовсім іншого результату, але збереження заряду оберігає нас від цього.)

Досі наше припущення узгоджувалося з тим, чого слід очікувати від простої змінирівня відліку енергії. Але якщо воно насправді справедливе, то має виконуватися і для потенційної енергії, яка не є простою постійною. У загальному випадку Vможе змінюватися довільним чином і в часі, і в просторі, і остаточний результат для амплітуди має виражатися мовою диференціальних рівнянь. Але ми не хочемо відразу приступати до загального випадку, а обмежимося деяким уявленням у тому, що відбувається. Тож поки що ми розглянемо лише потенціал, який постійний у часі та повільно змінюється у просторі. Тоді ми зможемо порівняти між собою класичні та квантові уявлення.

Припустимо, що ми розмірковуємо про випадок, зображений на фіг. 5.3 де два ящика підтримуються при постійних потенціалах j 1 і j 2 , а в області між ними потенціал плавно змінюється від j 1 до j 2 .

Фіг. 5.3. Амплітуда для частки, що переходить від одного потенціалу до іншого.

Уявімо, що деяка частка має амплітуду опинитися в одній з цих областей. Допустимо також, що імпульс досить великий, так що в будь-якій малій області, в якій міститься багато довжин хвиль, потенціал майже постійний. Тоді ми маємо право вважати, що в будь-якій частині простору амплітуда має виглядати так, як (5.18), тільки Vу кожній частині простору буде своє.

Розглянемо окремий випадок, коли j 1 =0, так що потенційна енергія в першій скриньці дорівнює нулю, у другій нехай q j 2 буде негативно, так що класично частка в ньому матиме більшу кінетичну енергію. У класичному сенсі вона в другому ящику буде рухатися швидше, у неї буде і більший імпульс. Подивимося, як це може вийти із квантової механіки.

При наших припущеннях амплітуда в першій скриньці мала бути пропорційною

Ми вважатимемо, що усі потенціали у часі постійні, отже за умов нічого змінюється. Потім ми припустимо, що зміни амплітуди (тобто її фази) усюди мають одну і ту ж частотою,тому що в середовищі між ящиками немає, так би мовити, нічого, що залежало б від часу. Якщо в просторі нічого не змінюється, то можна вважати, що хвиля в одній області «генерує» у всьому просторі допоміжні хвилі, які всі коливаються з однаковою частотою і, подібно до світлових хвиль, що проходять через речовину, що покоїться, не змінюють своєї частоти. Якщо частоти (5.21) і (5.22) однакові, то повинна виконуватися рівність

Тут з обох боків стоять просто класичні повні енергії, тож (5.23) є твердження про збереження енергії. Іншими словами, класичне твердження про збереження енергії цілком рівноцінне квантовомеханічному твердженню про те, що частоти у частинки скрізь однакові, якщо умови в часі не змінюються. Все це узгоджується з уявленням про те, що h w =E.

У тому окремому випадку, коли V 1 =0, a V 2 негативно (5.23) означає, що p 2 більше р 1, т.т. е. в області 2 хвилі коротше. Поверхні рівної фази показано на фіг. 5.3 пунктиром. Там ще викреслено графік речової частини амплітуди, з якого також видно, як зменшується довжин хвилі при переході від області 1 до області 2. Групова швидкість хвиль, рівна р/М,теж зростає так, як і слід очікувати класичного збереження енергії, тому що воно просто збігається з (5.23).

Існує цікавий окремий випадок, коли V 2 стає настільки великим, що V 2 - V 1 вже перевищує p 2 1 /2M.Тоді p 2 2 , що дається формулою

стає негативним.А це означає, що р 2 - уявляємо число, скажімо ip".Класично ми сказали б, що частка ніколи не потрапить в область 2, їй не вистачить енергії, щоб піднятися на потенційний пагорб. Однак у квантовій механіці амплітуда, як і раніше, є рівнянням (5.22); її зміни в просторі, як і раніше, дотримуються закону

Але раз p 2 - уявне число, то просторова залежність перетворюється на речовинну експоненту. Якщо, скажімо, частка спочатку рухалася в напрямку +х,то амплітуда почне змінюватися, як

Зі зростанням хвона швидко падає.

Уявимо, що обидві області з різними потенціалами розташовані дуже тісно один до одного, так що потенційна енергія раптово змінюється від V 1 к V 2 (фіг. 5.4 а).

Фіг. 5.4. Амплітуда для частки, що наближається до потенціалу, що сильно відштовхує.

Накресливши графік речової частини амплітуди ймовірності, Ми отримаємо залежність, показану на фіг. 5.4, б.Хвиля області 1 відповідає частинці, яка намагається потрапити в область 2, але там амплітуда швидко спадає. Є якийсь шанс, що її помітять в області 2, де класично вона ні за що бНе виявилася, але амплітуда цього дуже мала (крім місця біля самого кордону). Положення речей дуже схоже на те, що ми виявили для повного внутрішнього відображеннясвітла. Зазвичай світло не виходить, але його можна все ж таки помітити, якщо поставити що-небудь на відстані в одну-дві довжини хвилі від поверхні.

Згадайте, що якщо помістити другу поверхню впритул до кордону, де світло повністю відбивалося, то можна домогтися того, щоб у другому шматку речовини все ж таки поширювалося якесь світло. Те саме відбувається і з частинками в квантовій механіці. Якщо є вузька область з таким високим потенціалом V,що класична кінетична енергія там негативна, то частка ніколи не пройде крізь неї. Але в квантовій механіці амплітуда, що експоненційно зменшується, може пробитися крізь цю область і дати слабку ймовірність того, що частинку виявлять по інший бік - там, де кінетична енергія знову позитивна. Все це зображено на фіг. 5.5.

Фіг. 5.5. Проникнення амплітуди через потенційний бар'єр.

Ефект називається квантовомеханічним «проникненням крізь бар'єр».

Проникнення квантово-механічної амплітуди крізь бар'єр дає пояснення (або опис) a-розпаду ядра урану. Крива залежності потенційної енергії a-частинки від відстані від центру показано на фіг. 5.6, а.

Фіг. 5.6. Потенціал a-частки в ядрі урану (а) та якісний виглядамплітуди ймовірності (б).

Якби спробувати вистрілити a-часткою з енергією Е в ядро,то вона відчула б електростатичне відштовхування від ядерного заряду zі за класичними канонами не підійшла б до ядра ближче, ніж на таку відстань r 1 при якому її повна енергія зрівняється з потенційною V.Але десь усередині ядра потенційна енергія виявиться набагато нижчою через сильне тяжіння короткодіючих ядерних сил. Як же тоді пояснити, чому при радіоактивному розпадіми виявляємо a-частинки, які, спочатку перебуваючи всередині ядра, виявляються потім зовні з енергією Е?Тому що вони. з самого початку володіючи енергією E, «просочилися» крізь потенційний бар'єр Схематичний малюнок амплітуди ймовірності дано на фіг. 5.6, б,хоча насправді експоненційний спад набагато сильніший, ніж показано. Дуже примітно, що середній час життя a-частки в ядрі урану досягає 4 1/2 мільярда років, тоді як природні коливання всередині ядра надзвичайно швидкі, їх за секунду буває 10 22 ! Як можна з 10 -2 2 сікотримати кількість близько 10 9 років? Відповідь полягає в тому, що експонента дає нечувано малий множник порядку 10 -4 5 , що призводить до дуже малої, хоч і цілком певної, ймовірності просочування. Якщо вже а-частка потрапила в ядро, то майже немає жодної амплітуди виявити її не в ядрі; якщо, однак, взяти таких ядер якомога більше і почекати довше, то вам, можливо, пощастить і ви побачите, як частка вискочить назовні.

§ 4. Сили; класична межа

Припустимо, що частка рухається крізь область, де є потенціал, що змінюється впоперек руху. Класично ми описали б цей випадок так, як показано на фіг. 5.7.

Фіг. 5.7. Відхилення частки поперечним градієнтом потенціалу.

Якщо частка рухається у напрямку хі вступає в область, де є потенціал, що змінюється вздовж y, то частка отримає поперечне прискорення від сили F=-дV/дy.Якщо сила присутня лише в обмеженій ділянці шириною w,то вона діятиме лише протягом часу w/v.Частка отримає поперечний імпульс

p y = Fw/v

Тоді кут відхилення dq дорівнюватиме

де р -Початковий імпульс. Підставляючи замість Fчисло - дV/дy,отримуємо

Тепер ми маємо з'ясувати, чи вдасться отримати цей результат за допомогою уявлення про те, що хвилі підпорядковуються рівнянню (5.20). Ми розглянемо те саме явище квантовомеханічно, припускаючи, що всі масштаби в ньому набагато перевершують довжини хвиль наших амплітуд ймовірності. У будь-якій маленькій області можна вважати, що амплітуда змінюється як

Чи можемо ми побачити, як звідси вийде відхилення частинок, коли у VЧи буде поперечний градієнт? На фіг. 5.8 ми прикинули, як виглядатимуть хвилі амплітуди ймовірності.

Фіг. 5.8. Амплітуда ймовірності області з поперечним градієнтом потенціалу.

Ми накреслили ряд «вузлів хвиль», які можна вважати, скажімо, поверхнями, де фаза амплітуди дорівнює нулю. У будь-якій невеликій області довжина хвилі (відстань між сусідніми вузлами) дорівнює

де рпов'язано з Vформулою

В області, де Vбільше, там рменше, а хвилі довші. Тому напрямок ліній вузлів хвиль поступово змінюється, як показано малюнку.

Щоб знайти зміну нахилу ліній вузлів хвиль, зауважимо, що двома шляхами аі bє різниця потенціалів D V=(дV/дy)D,отже, і різниця D рміж імпульсами. Цю різницю можна отримати з (5.28):

Хвильове число p/hтому теж на різних шляхахпо-різному, що означає, що фази ростуть уздовж них з різною швидкістю. Різниця у швидкості зростання фази є D k=D р/h, та накопичена на всьому шляху wрізниця фаз дорівнюватиме

Це число показує, наскільки на момент виходу зі смуги фаза вздовж шляху b«випереджає» фазу вздовж колії а.Але на виході зі смуги таке випередження фаз відповідає випередженню вузла хвилі на величину.

Звертаючись до фіг. 5.8 ми бачимо, що новий фронт хвилі повернеться на кут dq, що дається формулою

так що ми маємо

А це збігається з (5.26), якщо замінити р/Мна v,а D V/Dна дV/дy.

Результат, який ми щойно отримали, вірний лише, коли потенціал змінюється повільно і плавно - у так званому класичній межі.Ми показали, що за цих умов отримаємо ті ж рухи частинок, що вийшли б і з F=ma, якщо припустити, що потенціал дає внесок у фазу амплітуди ймовірності, що дорівнює Vt/h. У класичній межі квантована механіка виявляється, у згоді з ньютонівською механікою.

§ 5. «Прецесія» частки зі спином 1 / 2

Зверніть увагу, що ми не припускали, що потенційна енергія у нас якась особлива, це просто енергія, похідна від якої дає силу. Наприклад, у досвіді Штерна – Герлаха енергія мала вигляд U=-m·B; звідси за наявності у просторової варіації і виходила сила. Якби нам потрібно було квантовомеханічне опис досвіду, ми мали б сказати, що в частинок в одному пучку енергія змінюється в один бік, а в іншому пучку - в зворотний бік, (Магнітну енергію Uможна було б вставити або в потенційну енергію V,або у «внутрішню» енергію Wкуди саме, зовсім неважливо.) Через варіації енергії хвилі заломлюються, пучки викривляються вгору або вниз. (Ми тепер знаємо, що квантова механіка передбачає те саме викривлення, яке випливає і з розрахунку з класичної механіки.)

З залежності амплітуди від потенційної енергії також випливає, що в частки, що сидить в однорідному магнітному полі, спрямованому по осі z, амплітуда ймовірності повинна змінюватися в часі за законом

понад те, що було без поля. Оскільки у частинки зі спином 1/2 величина m z може дорівнювати плюс або мінус якомусь числу, скажімо m, то у двох мислимих станівв однорідному полі фази змінюватимуться з однаковою швидкістю на протилежні сторони. Амплітуди помножаться на

Цей результат призводить до цікавих наслідків. Нехай частка зі спином 1/2 знаходиться в якомусь стані, який не є ні чистим станом зі спином вгору, ні чистим станом зі спином вниз. Його можна описати через амплітуди перебування у цих двох станах. Але в магнітному полі цих двох станів фази почнуть змінюватися з різною швидкістю. І якщо ми поставимо якесь питання щодо амплітуд, то відповідь залежатиме від того, скільки часу частка провела в цьому полі.

Як приклад розглянемо розпад мюона в магнітному полі. Коли мюони виникають внаслідок розпаду p-мезонів, вони виявляються поляризованими (іншими словами, вони мають кращий напрямок спина). Мюони у свою чергу розпадаються (у середньому через 2,2 мксек),випускаючи електрон та пару нейтрино:

При цьому розпаді виявляється, що (принаймні при високих енергіях) електрони випускаються переважно в протилежному напрямку напрямку спина мюона.

Допустимо, що є експериментальний пристрій (фіг. 5.9): поляризовані мюони входять зліва і в блоці речовини Азупиняються, а трохи згодом розпадаються.

Фіг.. 5.9. Досвід із розпадом мюона.

Електрони, що випускаються, виходять, взагалі кажучи, у всіх мислимих напрямках. Уявимо, однак, що всі мюони входитимуть у блок, що гальмує Атак, що їхні спини будуть повернені у напрямку х.Без магнітного поля там спостерігався якийсь кутовий розподіл напрямів розпаду; ми хочемо знати, як змінилося б цей розподіл за наявності магнітного поля. Очікується, що воно якось змінюватиметься з часом. Те, що вийде, можна дізнатися, запитавши, якою буде в кожну мить амплітуда того, що мюон виявиться в змозі (+ x).

Це завдання можна сформулювати наступним чином: нехай відомо, що в момент t = 0 спин мюона спрямований по + х; яка амплітуда того, що в момент т він опиниться в тому ж стані? І хоча ми не знаємо правил поведінки частки зі спином 1/2 в магнітному полі, перпендикулярному до спину, зате ми знаємо, що буває зі станами, коли спини спрямовані вгору або вниз по полю, тоді їх амплітуди множаться на вираз (5.34) . Наша процедура тоді полягатиме в тому, щоб вибрати уявлення, в якому базисні стани - це напрями спином вгору або спином вниз щодо z(щодо напряму поля). І будь-яке питання тоді може бути виражене через амплітуди цих станів.

Нехай |y(t)> представляє стан мюона. Коли він входить до блоку А,його стан є | y(0)>, а ми. хочемо знати |y(t)> у більш пізній час t. Якщо два базисних стану позначити (+z) і (-z), то нам відомі амплітуди і - вони відомі тому, що ми знаємо, що |y(0)> є станом зі спином у напрямку (+ x). З попереднього розділу випливає, що ці амплітуди рівні

Вони виявляються однаковими. Якщо вони відносяться до положення при t=0, позначимо їх З+ (0) та З - (0).

Але якщо нам відомі C + (t)і C - (t),то у нас є все, щоб знати умови в момент t.Треба подолати тільки ще одну скруту: потрібна нам ймовірність того, що спин (у момент t)виявиться спрямованим по + х.Але наші загальні правила враховують і це завдання. Ми пишемо, що амплітуда перебування у стані (+x)у момент t[позначимо її A + (t)]є

Знову користуючись результатом останнього розділу(або краще рівністю

* З гол. 3), ми пишемо

Отже, у (5.37) все відомо. Ми отримуємо

Напрочуд простий результат! Зауважте: відповідь узгоджується з тим, що очікувалося при t= 0. Ми отримуємо А + (0)= 1, і це цілком правильно, тому що спершу і було припущено, що при t=0 мюон був у стані (+ x).

Ймовірність Р + того, що мюон виявиться в стані (+х)у момент t,є (А+) 2, тобто.

Імовірність коливається від нуля до одиниці, як показано на Фіг. 5.10.

Фіг. 5.10. Тимчасова залежність імовірності того. що частка зі спином 1 / 2 виявиться в стані (+) по відношенню до осі х.

Зауважте, що можливість повертається до одиниці при m Bt/h=p (а не за 2p). Через те, що косинус зведений у квадрат, ймовірність повторюється з частотою 2mВ/h.

Отже, ми виявили, що шанс зловити в електронному лічильнику, показаному на фіг. 5.9 розпадний електрон періодично змінюється з величиною інтервалу часу, протягом якого мюон сидів в магнітному полі. Частота залежить від магнітного моменту (Л. Саме таким чином і був насправді виміряний магнітний моментмюона.

Тим же методом, звичайно, можна скористатися, щоб відповісти на інші питання розпаду мюона. Наприклад, як залежить від часу tшанс помітити розпадний електрон у напрямку у,під 90° до напрямку х,але як і раніше під прямим кутом до поля? Якщо ви вирішите це завдання, то побачите, що ймовірність опинитися в стані (+у)змінюється як cos 2 ((m Bt/h)-(p/4)); вона коливається з тим самим періодом, але досягає максимуму на чверть циклу пізніше, коли mВt/h=p/4. Насправді відбувається ось що: з часом мюон проходить через послідовність станів, що відповідають повній поляризації у напрямку, що безперервно обертається навколо осі. z.Це можна описати, говорячи, що спин прецесуєіз частотою

Вам має ставати зрозуміло, в яку форму виливається квантовомеханічний опис, коли ми описуємо поведінку чогось у часі.

* Якщо ви пропустили гол. 4, то можете поки що просто вважати (5.35) невиведеним правилом. Пізніше, у гол. 8, ми розберемо прецесію спина докладніше, будуть отримані ці амплітуди.

* Ми припускаємо, що фази повинні мати те саме значення у відповідних точках у двох системах координат. Втім, це дуже тонке місце, оскільки в квантовій механіці фаза значною мірою довільна. Щоб до кінця виправдати це припущення, потрібні детальніші міркування, які враховують інтерференцію двох або кількох амплітуд.