Значення гармонійного руху в енциклопедії брокгауза та ефрону. Простий гармонійний рух

Гармонійний осцилятор(У класичній механіці) - система , яка при виведенні її з положення рівноваги відчуває дію сили, що повертає F, пропорційної зсуву x :

де k- Постійний коефіцієнт.

Якщо F- єдина сила, що діє на систему, то систему називають простимабо консервативним гармонічним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичний рухблизько положення рівноваги(Гармонічні коливання). Частота і амплітуда у своїй постійні, причому частота залежить від амплітуди.

Механічними прикладами гармонійного осцилятора є математичний маятник (з малими кутами відхилення), торсійний маятник та акустичні системи. Серед немеханічних аналогів гармонійного осцилятора можна виділити електричний гармонійний осцилятор (див. LC-ланцюг).

Вільні коливання консервативного гармонійного осцилятора

Рівняння та його рішення

Нехай x- Зміщення матеріальної точки щодо її положення рівноваги, а F- чинна на точку повертаюча сила будь-якої природи виду

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

де k= Const. Тоді, використовуючи другий закон Ньютона, можна записати прискорення як

a = − k m x (\displaystyle a=-(\frac(k)(m))x).

Позначаючи ω 0 2 = k / m (\displaystyle (\omega _(0))^(2)=k/m)та замінюючи aна другу похідну від координати за часом x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))), маємо

x ¨ + ω 0 2 x = 0 (\displaystyle (\ddot (x))+\omega _(0)^(2)x=0).

Це диференціальне рівняння визначає поведінку консервативного гармонійного осцилятора. Величину ω 0 (\displaystyle \omega _(0))називають циклічною частотою. (Мається на увазі кругова частота, що вимірюється в радіанах за секунду. Щоб перевести її в частоту, що виражається в герцах, треба розділити на 2 π (\displaystyle 2\pi ).)

Шукатимемо рішення цього рівняння у вигляді

x(t) = A sin ⁡ (ω t + φ).

Тут A- Амплітуда, ω - Частота коливань, φ - Початкова фаза .

Підставляємо в диференціальне рівняння та отримуємо:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ), − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 (\displaystyle -A\omega ^(2)\sin(\omega t+\varphi)+\omega _(0)^(2)A\sin(\omega t+\varphi)=0).

Амплітуда скорочується. Отже, може мати будь-яке значення (зокрема і нульове - це означає, що матеріальна точка лежить у становищі рівноваги). На синус також можна скоротити, тому що рівність повинна виконуватись у будь-який момент часу t. Таким чином, залишається умова для частоти коливань:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , (\displaystyle -\omega ^(2)+\omega _(0)^(2)=0,) ω = ± ω 0 . (\displaystyle \omega =\pm \omega _(0).)

Просте гармонійне рух є основою деяких способів аналізу складніших видів руху. Одним з таких способів є спосіб, заснований на перетворенні Фур'є, суть якого зводиться до розкладання складного виглядуруху до ряду простих гармонійних рухів.

Приклади осциляторів

Будь-яка система, в якій відбувається простий гармонійний рух, має дві ключові властивості:

коли система виведена зі стану рівноваги, повинна існувати сила, що повертає, що прагне повернути систему в рівновагу;
повертаюча сила повинна точно або приблизно бути пропорційна переміщенню.

Нижче наведено кілька прикладів.

Горизонтальна система вантаж-пружина

Типовим прикладом системи, в якій відбувається простий гармонійний рух, є ідеалізована система вантаж-пружина, в якій вантаж приєднаний до пружини і знаходиться на горизонтальній поверхні. Якщо пружина не стиснута і не розтягнута, то на вантаж не діє жодних змінних сил і він перебуває у стані механічної рівноваги. Однак, якщо вантаж вивести із положення рівноваги, пружина деформується і з її боку діятиме сила, яка прагне повернути вантаж у положення рівноваги. У разі системи вантаж-пружина такою силою є сила пружності пружини, яка підпорядковується закону Гука:

F = − k x (\displaystyle F=-kx),

де kмає цілком конкретне значення - це коефіцієнт жорсткості пружини.

Одного разу зміщений вантаж піддається дії сили, що повертає, прискорює його і прагне повернути в початкову точку, тобто в положення рівноваги. У міру того, як вантаж наближається до положення рівноваги, сила, що повертає, зменшується і прагне до нуля. Однак у положенні x = 0 вантаж володіє деякою кількістю руху (імпульсом), набутим завдяки дії сили, що повертає. Тому вантаж проскакує положення рівноваги, починаючи знову деформувати пружину (але вже у протилежному напрямку). Повертаюча сила буде прагнути сповільнити його, доки швидкість стане рівною нулю; і сила знову прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги.

Якщо немає втрат енергії, вантаж коливатиметься як описано вище; такий рух є періодичним.

Вертикальна система вантаж-пружина

У разі вертикально підвішеного на пружині вантажу поряд із силою пружності діє сила тяжіння, тобто сумарно сила складе

F = − k x − mg (\displaystyle F=-kx-mg).

Якщо зробити заміну змінною, щоб оперувати не величиною x (\displaystyle x), а величиною X = x + mg / k (\displaystyle X = x + mg / k), то рівняння руху набуде вигляду, ідентичного випадку горизонтальної геометрії, тільки для змінної X (\displaystyle X).

Коливання відбуватимуться з тією самою частотою ω 0 = k / m (\displaystyle \omega _(0)=(\sqrt (k/m))). Однак, якщо у горизонтальному випадку рівновазі відповідав стан недеформованої пружини, то у вертикальному варіанті пружина в рівновазі буде розтягнута. Залежність частоти від величини прискорення вільного падіння g (\displaystyle g)при цьому немає; g (\displaystyle g)впливає лише на зрушення положення рівноваги m g / k (\displaystyle mg/k).

Вимірювання частоти (або періоду) коливань вантажу на пружині використовуються в пристроях для визначення маси тіла - так званих масметрах, що застосовуються на космічних станціях, коли ваги не можуть функціонувати через невагомість.

Універсальний рух по колу

Просте гармонійне рух у деяких випадках можна розглядати як одновимірну проекцію універсального руху по колу.

Якщо об'єкт рухається з постійною кутовою швидкістю ω по колу радіусу rцентром якої є початок координат площини x − y, то такий рух вздовж кожної з координатних осейє простим гармонійним з амплітудою rі круговою частотою?

Вантаж як простий маятник

У наближенні малих кутів рух простого маятника близький до простого гармонійного. Період коливань такого маятника, прикріпленого до стрижня завдовжки ℓ , дається формулою

T = 2 π ℓ g. (Displaystyle T = 2 pi (sqrt (frac (ell) (g))).)

де g- прискорення вільного падіння. Це показує, що період коливань не залежить від амплітуди та маси маятника, але залежить від gТому, при тій же довжині маятника, на Місяці він буде гойдатися повільніше, тому що там слабша гравітація і менше значенняприскорення вільного падіння.

Зазначене наближення є коректним лише при невеликих кутах відхилення, оскільки вираз для кутового прискорення пропорційно синусу координати:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α (\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,)

де I- момент інерції ; в даному випадку I = m ℓ 2 . Невеликі кути реалізуються в умовах, коли амплітуда коливаньзначно менше за довжину стрижня.

ℓ m g θ = I α, (\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,)

що робить кутове прискоренняпрямо пропорційним куту θ , а це задовольняє визначення простого гармонійного руху.

Вільні коливання гармонійного осцилятора із загасанням

Рівняння та його рішення

При розгляді осцилятора із загасанням за основу береться модель консервативного осцилятора, до якої додається сила в'язкого тертя. Сила в'язкого тертя спрямована проти швидкості руху вантажу щодо середовища та прямо пропорційна цій швидкості. Тоді повна сила, що діє на вантаж, записується так:

F = − k x − α v . (\displaystyle F=-kx-\alpha v.)

Використовуючи другий закон Ньютона, отримуємо диференціальне рівняння, що описує загасаючий осцилятор:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. .)

Тут введено позначення: 2 γ = α / m (\displaystyle 2\gamma =\alpha /m). Коефіцієнт γ (\displaystyle \gamma)носить назву постійної згасання. Він також має розмірність частоти.

Рішення розпадається на три випадки.

x (t) = A e − γ t sin (ω f t + φ) , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\gamma t)sin(\omega _(f)t+\varphi),)

де ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- Частота вільних коливань.

x (t) = (A + B t) e − γ t . (\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^(-\gamma t).) x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , (\displaystyle x(t)=Ae^(-\beta _(1)t)+Be^(-\beta _(2) t),)

де β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2))).)

Транскрипт

1 І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Гармонійний рухПеред розв'язанням завдань листка слід повторити статтю « Механічні коливання», у якій викладено всю необхідну теорію. При гармонійному русі координата тіла змінюється згідно із законом синуса чи косинуса. Наприклад, якщо x = A sin ωt, то проекція швидкості а проекція прискорення v x = ẋ = Aω cos ωt, a x = v x = ẍ = A sin ωt. Завдання 1. («Підкори Воробйови гори!», 014,) Два тіла масами M і з'єднані пружиною, як показано на малюнку. Тіло здійснює гармонічні коливання по вертикалі з частотою і амплітудою A. Пружина невагома. Знайдіть відношення найбільшої F 1 і найменшої сил сил тиску системи на площину столу. Прискорення вільного падіння дорівнює g. F1 = (M+)g+Aω F (M+)g Aω при (M+)g > Aω Завдання. (Всеросс., 006, фінал, 9) Брусок масою M, що лежить на горизонтальному столі, і пружинний маятник, що складається з вантажу масою і легкої довгої пружини, пов'язані легкою нерозтяжною ниткою, перекинутою через ідеальний нерухомий блок (див. рисунок). Коефіцієнт тертя між основою бруска та поверхнею столу µ = 0,3. Відношення маси бруска до маси вантажу M/ = 8. Вантаж здійснює вертикальні коливання з періодом T = 0,5 c. Якою є максимально можлива амплітуда A таких коливань, при яких вони залишаються гармонійними? A() µm 1 gt 4pi = 8,8 см, A gt 4π = 6,3 см; таким чином, A = 6,3 см. Завдання 3. Маятник здійснює гармонічні коливання. Протягом якої частки періоду коливань маятник віддалений від положення рівноваги лише на половину амплітуди? 1/3 Завдання 4. (МФТІ, 006) Куля, що висить на пружній пружині, здійснює коливання з періодом T і амплітудою A вздовж вертикалі. Маса кулі набагато більша за масу пружини. 1) Знайдіть максимальну швидкість (за модулем) кулі v.) Знайдіть прискорення (за модулем) кулі в ті моменти часу, коли її швидкість (за модулем) дорівнює v /3. 1) v = πa T ;) a = 8 π A 3T 1

2 Завдання 5. (МФТІ, 1996) Чашка з гирями пружинних ваг спочиває. На чашку поставили ще одну гирю масою. Знайти амплітуду коливань чашки. Жорсткість пружини. A = g Завдання 6. (МФТІ, 1996) Пружина жорсткістю прикріплена до стелі та бруску масою (див. малюнок). Брусок лежить на підставці так, що вісь пружини вертикальна та пружина стиснута на величину L. Підставку швидко прибирають. Знайти амплітуду коливань бруска. A = L + g Завдання 7. (МФТІ, 1996) На пружині жорсткістю висять два вантажі, пов'язані ниткою (див. рисунок). Після перепалювання нитки верхній вантаж став вагатися з амплітудою A. Знайти масу нижнього вантажу. = A g Завдання 8. (МФТІ, 1996) Вантаж масою прив'язаний ниткою, перекинутою через блок, до іншого вантажу, який утримується на гладкому горизонтальному столі пружиною, прикріпленою до стіни (див. малюнок). Нитку перепалюють, і вантаж на столі починає вагатися з амплітудою A. Знайти жорсткість пружини. = g A Завдання 9. (МФТІ, 199) Два вантажі загальною масою= 1 кг, з'єднані пружною пружиною жорсткістю = 100 Н/м, висять на нитці (див. рисунок). Знайти всі можливі відстані, на які слід відтягнути вертикально вниз і потім відпустити нижній вантаж, щоб при його коливаннях верхній вантаж залишався нерухомим. A g 10 см Завдання 10. (МФТІ, 199) Два вантажі загальною масою = 1 кг, пов'язані ниткою, висять на пружній пружині жорсткістю = 100 Н/м (див. рисунок). Знайти всі можливі відстані, на які слід відтягнути вертикально вниз вантажі і відпустити їх, щоб при наступних коливаннях вантажів нитка не провисала. A g 10 см Завдання 11. (МФТІ, 199) Дошка з бруском, що лежить на ній, знаходиться на гладкій горизонтальній поверхні столу (див. малюнок). Брусок у п'ять разів важчий за дошку. Система здійснює коливання з амплітудою A = 8 см і періодом T = 0,8 з поверхнею столу під дією пружини, прикріпленої до бруска. Дошка та брусок при коливаннях нерухомі щодо один одного. При яких значеннях коефіцієнта тертя між дошкою та бруском такі коливання можливі? µ 4π A gt M 0,1

3 Завдання 1. (МФТІ, 199) Дошка з бруском, що лежить на ній, знаходиться на гладкій горизонтальній поверхні столу (див. малюнок). Система здійснює коливання під дією пружної пружини вздовж прямої з періодом T = 1 та максимальним значенням швидкості v = 0,5 м/с. При цьому дошка та брусок нерухомі щодо один одного. При яких значеннях коефіцієнта тертя ковзання між дошкою та бруском такі коливання можливі? µ ? .Малюнок). При якому мінімальному коефіцієнті тертя ковзання між шайбою та бруском такі коливання можливі? 3 α µin = tg α + A 4g cos α Завдання 14. (МФТІ, 005) Дошка масою та брусок масою 8 коливаються вздовж прямої як одне ціле на гладкій похилій поверхні з кутом нахилу до горизонту α під дією пружини жорсткістю, прикріплений див. рисунок). Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і дошкою дорівнює µ. За якої максимальної амплітуди коливань такі коливання можливі? 8 α Aax = 9g (8µ cos α sin α) Завдання 15. (МФТІ, 007) Брусок масою коливається з амплітудою A 0 вздовж прямої на гладкій горизонтальній поверхні столу під дією пружної пружини. У той момент, коли усунення бруска від положення рівноваги було A 0 /3, на нього впав і прилип шматок пластиліну масою, що рухався перед ударом вертикально. Час зіткнення значно менше періоду коливань, і при зіткненні брусок не відривається від столу. 1) Як і скільки разів змінився період коливань?) Знайдіть амплітуду коливань бруска після прилипання пластиліну. 1) T T0 = 3;) A = 17 7 A 0 Завдання 16. (МФТІ, 003) Вантаж врівноважений на чашці пружинних ваг, при цьому в стиснутій пружині запасена потенційна енергіядеформації U 0. На чашку терезів поставили додаткову гирю так, що маса нового вантажу стала втричі більшою за початкову. 1) У скільки разів величина максимального прискорення a ax під час коливань відрізняється від прискорення вільного падіння g?) З яким за величиною прискоренням рухається вантаж у момент, коли його кінетрична енергія T = 3U 0? Згасанням коливань знехтувати. 1) aax = g 3;) a = 1 3 g 3

4 Завдання 17. (МФТІ, 003) Кулька висить на пружині в полі тяжкості g. У положенні рівноваги в пружині запасена енергія, що дорівнює U 0. Кулю відтягують вниз так, що в пружині запасається енергія U 1 = 9U 0 /4, а потім відпускають. 1) Чому дорівнює величина максимального прискорення a ax, з яким рухається кулька під час вертикальних коливань, що виникли?) Чому дорівнює кінетична енергія T руху кульки в момент, коли її прискорення a = a ax /? Згасанням коливань знехтувати. 1) aax = g ;) T = 3 16 U 0 Завдання 18. (МФТІ, 000) Кулі насаджені на прямолінійну горизонтальну спицю і можуть ковзати по ній без тертя (див. рисунок). До кулі масою прикріплена легка пружина жорсткістю, і вона спочиває. Куля масою рухається зі швидкістю v. Радіуси куль набагато менше довжини пружини. 1) Визначити швидкість кулі масою після відриву від пружини.) Визначити час контакту кулі масою із пружиною. v 1) v1 = v 3 ;) t = T = π 3 Завдання 19. (МФТІ, 000) По гладкій горизонтальній поверхні столу рухаються з постійною швидкістю v два бруски масами v 3 і 3, пов'язані ниткою. Між брусками знаходиться пружина твердістю, стиснута на величину x 0 (див. рисунок). Пружина прикріплена лише до бруску масою. Розміри брусків малі в порівнянні з довжиною нитки, масою пружини знехтувати, швидкість брусків спрямована вздовж нитки. Під час руху нитка обривається, і бруски роз'їжджаються вздовж початкового спрямування нитки. 1) Знайти швидкість бруска масою 3 після його відокремлення від пружини.) Знайти час зіткнення пружини з бруском масою 3, рахуючи від моменту розриву нитки. 1) v = v + x 0 3 ;) t = π 4 3 Завдання 0. (МФТІ, 1999) Невеликий брусок масою лежить на гладкому столі всередині жорсткої рами. Довжина рами дорівнює L, маса. Брусок за допомогою легкого стрижня та пружини жорсткістю з'єднаний із нерухомою опорою (див. малюнок). Брусок відводять до протилежному боцірами та відпускають. В результаті пружних зіткнень брусок та рама здійснюють періодичні рухи. 1) Знайти швидкість рами відразу після першого зіткнення з бруском.) Знайти період коливань бруска. 1) v = L;) T = (π + 1) 4

5 Завдання 1. (МФТІ, 1999) Невеликий брусок масою лежить на гладкому столі всередині жорсткої рами довжиною L і масою. Брусок за допомогою легкого стрижня та пружини жорсткістю з'єднаний з нерухомою опорою 1 (див. рисунок). Рама пружиною твердістю з'єднана з нерухомою опорою. У початковому положенні брусок стосувався лівого боку рами, а пружини були деформовані. Раму відводять ліворуч, до зіткнення бруска з правою стінкою рами, і відпускають. В результаті пружних зіткнень брусок та рама здійснюють періодичні рухи. 1) Знайти швидкість бруска відразу після першого зіткнення з рамою. Знайти період коливань рами. 1) v = L;) T = π Завдання. (МФТІ, 1997) Маленька кулька масою з позитивним зарядом q висить на довгій нерозтяжній нитці поблизу великої пластини П (див. малюнок). Визначити період малих коливань кульки, коли на пластині знаходиться негативний зарядз поверхневою щільністюσ, якщо відомо, що відсутність цього заряду період коливань кульки дорівнює T 0. Прискорення вільного падіння вважати заданим і рівним g. T = T0 1+ σg ε 0 g Завдання 3. (МФТІ, 1997) Тонкостінний циліндр з гладкою внутрішньою поверхнеюнерухомо лежить на горизонтально розташованій непровідній пластині П (див. рисунок). Розміри пластини (у горизонтальній площині) набагато більше розмірів циліндра. Відомо, що відношення періоду коливань маленької негативно зарядженої кульки всередині циліндра при певній позитивній щільності поверхневих зарядівσ x пластини на період коливань при σ = 0 дорівнює T x /T 0 = α. визначити σ x, вважаючи заданими відношення α, заряд кульки q, її масу та прискорення вільного падіння g. σx = ε 0(1 α)g α q Завдання 4. («Підкори Воробйові гори!», 015,) Вертикальне коліно вигнутої під прямим кутом гладкої трубки постійного перерізу заповнене рідиною, яку можна вважати практично ідеальною. Висота цього коліна дорівнює L (і вона помітно більша за поперечний розмір трубки), а переливання її в горизонтальне коліно не допускається завдяки утримуваній нерухомо легкій пробці. У деякий момент корок акуратно відпускають. За який час після цього пробка вилетить із трубки? Довжина горизонтального коліна дорівнює 3L/, поверхневий натяг не враховувати. t = π+1 L g 5

6 Завдання 5. («Покори Воробйові гори!», 014,) У системі, зображеній на малюнку, маси вантажів дорівнюють 1 і, жорсткість пружини, блоки, нитка і пружина невагомі, блоки обертаються без тертя, нитка по блоках не ковзає. У положенні рівноваги пружина розтягнута. Вантаж 1 зміщують положення рівноваги вниз на відстань s, після чого вантажі здійснюють гармонійні коливання. Знайдіть максимальні швидкості вантажів, що коливаються. v1 = s, v = v1/ за умови s< (4 1+)g (иначе провисает нить) 41+ Задача 6. (МФО, 011, 11) Поезд, подходящий к станции, движется равнозамедленно с ускорением a = 0, м/с вплоть до момента остановки. На абсолютно гладком горизонтальном столе внутри вагона поезда находится грузик, соединённый пружиной с неподвижной опорой (см. рисунок). Пока поезд движется, грузик неподвижен относительно вагона. В момент, когда поезд останавливается, грузик приходит в движение и начинает колебаться с периодом T = 1 c. Найдите амплитуду колебаний грузика. A = at 4π 5 мм Задача 7. (МФО, 014, 11) Тележка высотой H = 30 см и длиной L = 40 см должна проехать под столом по горизонтальному полу, двигаясь равномерно и прямолинейно. К крышке стола снизу прикрепили лёгкую пружину жёсткостью = 50 Н/м. К пружине прицепили маленький груз массой = 0,4 кг. При недеформированной пружине груз находился на высоте h = 4 см над полом. Затем груз отпустили. С какой минимальной скоростью может двигаться тележка, чтобы она, проехав под столом, не задела груз? vin = (L / π arccos h H x) 0 = 3ωL 4π x 0 1,07 м/с Задача 8. (Всеросс., 014, регион, 11) Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединённые лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой равна l 0, а жёсткость. К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой (см. рисунок). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время τ удлинение l пружины станет максимальным? Найдите это удлинение. τ = π 3 g, lax = 3 6

7 Завдання 9. (МФО, 016, 11) На малюнку зображено механічна система, в якій через невагомий блокіз прикріпленою до стелі горизонтальною віссю перекинута невагома нерозтяжна нитка. До кінців нитки прикріплені невеликі вантажі масами та. Вантаж лежить на горизонтальній опорі. Вантаж висить. До вантажу через невагому ідеальну пружину з жорсткістю, розташовану вертикально і невелику довжину L 0, що має, прикріплений другий такий же вантаж. У початковий моментпружина не деформована, і другий вантаж лежить на тій самій опорі, що і вантаж. Відстань від верхнього вантажу до блоку дорівнює l 0. Вільні ділянки нитки, що не лежать на шківі блоку, вертикальні. У час t = 0 опора зникає (її швидко прибирають вниз). Через час τ після цього один із вантажів торкнувся блоку. Який це вантаж? За якого значення l 0 час τ максимально? Чому одно це максимальне значенняτ? Вантаж; τax = π 3 4 при l 0 = g 7

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Пружні взаємодії При пружній взаємодії тіл зокрема, при пружному ударіне відбувається змін у їхньому внутрішньому стані; внутрішня енергіятел

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Кінематичні зв'язки в динаміці У деяких задачах динаміки поряд із законами Ньютона потрібні нетривіальні додаткові співвідношення між прискореннями тіл

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Пружні взаємодії При пружній взаємодії тіл (зокрема, при пружному ударі) не відбувається змін у їх внутрішньому стані; внутрішня енергія

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Рівняння гармонійних коливань Рівняння коливань. 2 ẍ + ω 2 x = 0 можна отримати, диференціюючи за часом закон збереження енергії. Покажемо це на найпростішому

Два човни разом із вантажем мають масу M та M. Човни йдуть назустріч паралельними курсами. Коли човни перебувають один проти одного, з кожного човна до зустрічної одночасно перекидають по одному мішку.

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Пов'язані тілаЗавдання 1. Два тіла масами m і 2m пов'язані легкою нерозтяжною ниткою і лежать на гладкій горизонтальній поверхні (тіло масою m розташоване ліворуч).

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Непружні взаємодії Прикладами непружних взаємодій служать пробивання кулею бруска або абсолютно непружний удар (після якого тіла рухаються як єдине

Дистанційна підготовка bituru ФІЗИКА Стаття 8 Механічні коливальні системи Теоретичний матеріалУ цій статті ми розглянемо методи вирішення задач на коливальний рух тіл.

С1.1. Два однакові бруски, пов'язані легкою пружиною, спочивають на гладкій горизонтальній поверхні столу. У момент t = 0 правий брусок починають рухати так, що за час х він набирає кінцеву швидкість

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Сила пружності Задача 1. (МОШ, 2018, 10) На пружині жорсткістю k = 100 Н/м, прикріпленої до стелі, спочиває тіло масою m = 2 кг (див. рис.) . На нього починає

1.2.1. Інерційні системивідліку. Перший закон Ньютона. Принцип відносності Галілея 28 (С1). Пасажир автобуса на зупинці прив'язав до ручки сидіння за легку нитку повітряну кульку, заповнений

1 Кінематика 1 Матеріальна точка рухається вздовж осі x так, що часу координата точки x(0) B Знайдіть x (t) V x At У початковий момент Матеріальна точка рухається вздовж осі x так, що ax A x В початковий

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Неконсервативні системи У неконсервативній системі механічна енергія E = K+W не зберігається. Якщо, наприклад, на тіла системи діють сили тертя, то справедливо

216 рік Клас 9 Квиток 9-1 1 Два вантажі масами m і, що знаходяться на гладкому горизонтальному столі, пов'язані ниткою і з'єднані з вантажем масою 3m іншою ниткою, перекинутою через невагомий блок (див рис) Тренням

Завдання для розрахункового завдання (ЕнМІ) з механіки 2013/14 рр. 1. Кінематика 1. З висоти 10 м вертикально вгору кинуто камінь із початковою швидкістю 8 м/с. Складіть рівняння руху у трьох варіантах, помістивши

7.. Тонкий однорідний стрижень маси m і довжини L може обертатися навколо нерухомої горизонтальної осі, що проходить через верхній кінець стрижня. До нижнього кінця стрижня прикріплений кінець горизонтальної

Група 12-ЕУН Варіант 1. 5.49. 1. Тіло масою 313 кг рухається при гальмуванні рівногайно. Його швидкість протягом 42 секунд зменшується від 17 до 2 м/с. Знайти силу гальмування. 2. Автомобіль із вимкненим

Заняття 7 Закони збереження Завдання 1 На малюнку зображені графіки зміни швидкостей двох візків різної маси, що взаємодіють (один візок наздоганяє і штовхає інший). Яку інформацію про візки

2. ДИНАМІКА ПОСТУПНОГО РУХУ 134. На тіло діє постійна сила F = 10-2 Н. Тіло рухається з прискоренням а = 0, 5 м/с 2. Знайти масу тіла. 135. Тіло, маса якого = 250 г, рухається з прискоренням

ДЗ2015(2)2.2(5) 1. На шорсткої поверхні лежить вантаж, прикріплений до стінки пружиною. Пружина не деформована. Якщо відтягнути вантаж на відстань L і відпустити, він зупиниться в початковому положенні,

Відкладені завдання (88) М'яч, кинутий вертикально вгору зі швидкістю υ, за деякий час впав на поверхню Землі. Який графік відповідає залежності проекції швидкості на вісь ОХ від часу руху?

Стор. 1 із 9 11.04.2016 21:29 Масивна дошка шарнірно підвішена до стелі на легкому стрижні. На дошку зі швидкістю 10 м/с налітає пластилінова кулька масою 0,2 кг і прилипає до неї. Швидкість кульки перед

Другий заключний етап академічного змагання Олімпіади школярів «Крок у майбутнє» з загальноосвітнього предмету «Фізика» Весна, 6 г Варіант 5 З А Д А Ч А Тіло, що рухається рівноприскорено з

Квиток N 5 Квиток N 4 Питання N 1 Два бруски з масами m 1 = 10,0 кг та m 2 = 8,0 кг, пов'язані легкою нерозтяжною ниткою, ковзають по похилій площині з кутом нахилу = 30. Визначте прискорення системи.

16 рік Клас 1 Квиток 1-1 1. Два вантажі масами та 5, що знаходяться на гладкому горизонтальному столі, пов'язані ниткою та з'єднані з вантажем масою іншою ниткою, перекинутою через невагомий блок (див. рис.). Тертям

«КОЛИВАННЯ І ХВИЛИ» ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ 1. Варіант 1. 1. На яку частину довжини потрібно зменшити довжину математичного маятника, щоб період його коливань на висоті 10 км дорівнював періоду його коливань

Другий заключний) етап академічного змагання Олімпіади школярів «Крок у майбутнє» з загальноосвітнього предмету «Фізика» Весна, 6 г Варіант 3 З А Д А Ч А Тіло, що рухається рівноприскорено з

Тематична діагностична роботаз підготовки до ЄДІ з ФІЗИКИ на тему «Механіка» 18 грудня 2014 року 10 клас Варіант ФІ00103 (90 хвилин) Район. Місто (населений пункт). Школа Клас Прізвище. Ім'я.

Задачник школяра izprtalru 6 Динаміка прямолінійного руху Основне рівняння динаміки матеріальної точки (другий закон Ньютона) для тіла постійної масив інерційних системах відліку має вигляд

Другий (заключний) етап академічного змагання Олімпіади школярів «Крок у майбутнє» з загальноосвітнього предмету «Фізика» Весна, 6 г Варіант З А Д А Ч А Тіло, що рухається рівноприскорено з

Відомий закон зміни радіус-вектора r частинки: r(t) b t. Тут t час, позитивна постійна, вектор b, постійний за величиною і напрямом. Знайти шлях s, який був пройдений часткою з моменту

1. М'яч, кинутий вертикально нагору зі швидкістю υ, через деякий час упав на поверхню Землі. Який графік відповідає залежності проекції швидкості на вісь ОХ від часу руху? Вісь ОХ спрямована

фізика. 9 клас. Тренінг Інерція. Закони Ньютона. Сили у механіці» 1 Інерція. Закони Ньютона. Сили в механіці Варіант 1 1 Металевий брусок підвішений до пружини і повністю занурений у посудину з водою, перебуваючи

МЕХАНІКА Кирилов А.М., вчитель гімназії 44 р. Сочі (http://kirillandrey72.narod.ru/) Дана добіркатестів зроблено на основі навчального посібника«Веретельник В.І., Сівов Ю.А., Толмачова Н.Д., Хоружій В.Д.

Квиток N 5 Квиток N 4 Питання N 1 На тіло масою m 2,0 кг починає діяти горизонтальна сила, модуль якої лінійно залежить від часу: F t де 0.7 Н/с. Коефіцієнт тертя k 0,1. Визначити момент

Розв'язання задач «Механічні коливання При гармонійних коливаннях пружинного маятника координата вантажу змінюється з часом t, як показано малюнку. Період Т та амплітуда коливань А дорівнюють

Квиток N 5 Квиток N 4 Питання N 1 Тонкий стрижень маси M 0 = 1 кг та довжини l = 60 см лежить на гладкій горизонтальній поверхні. Стрижень може вільно обертатися навколо закріпленої осі, що проходить.

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Енергія зарядів Якщо точкові заряди 1 і знаходяться на відстані r один від одного, то потенційна енергія їх взаємодії дорівнює W = k 1. r Потенційна енергія

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Зміст Сила тертя 1 Всеросійська олімпіадашколярів з фізики................... 1 2 Московська фізична олімпіада....................... .... 3 3 МФТІ

Завдання А22 з фізики 1. Якщо підвісити до легкої пружної пружини певний вантаж, то пружина, перебуваючи в рівновазі, виявиться розтягнутою на 10 см. Чому дорівнюватиме період вільних коливань цього вантажу,

фізика. 11 клас. Тренінг «Сили в природі» 1 Сили в природі Завдання для тренування 1 У посудину, що має форму зрізаного конуса (див. малюнок), налита вода масою 1,5 кг. Площа дна судини дорівнює 100 см 2

Варіанти домашнього завданняГармонічні коливання і хвилі Варіант 1. 1. На малюнку а наведено графік коливального руху. Рівняння коливань x = Asin(ωt + αo). Визначити початкову фазу. x Про t

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Похила площина Завдання 1. На гладку похилу площинуз кутом нахилу поклали брусок масою та відпустили. Знайдіть прискорення бруска та силу тиску бруска

С1.1. Після поштовху крижинка закотилася в яму з гладкими стінками, в якій вона може рухатися практично без тертя. На малюнку наведено графік залежності енергії взаємодії крижинки із Землею від

Завдання для самостійної роботистудентів Модуль 6 «Механічні коливання»... 3 Тема 1. Кінематика гармонічних коливань... 3 Тема 2. Складання коливань... 8 Тема 3. Динаміка гармонічних коливань...

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Обертання твердого тілаЗадача 1. (МФТІ, 2003) В результаті удару куля отримала швидкість v 0 вздовж горизонтальної поверхні столу та обертання навколо свого горизонтального

Контрольні завданняна тему «ДИНАМІКА» 1(А) Парашутист масою 65 кг спускається з розкритим парашутом. Чому дорівнює сила опору повітря F c у разі швидкості парашутиста, що встановилася? Яка рівнодіюча

ДЗ 3.3(01) 1.Точка здійснює гармонічні коливання вздовж прямої між положеннями А та В. Знаючи, що її максимальна швидкістьдорівнює V m =10 м/с, знайдіть її середню швидкістьна шляху від А до В. 2.При фазі

Дистанційна підготовка Abituru ФІЗИКА Стаття Закони Ньютона Теоретичний матеріал У цій статті ми розглянемо завдання застосування законів Ньютона Перший закон Ньютона (закон інерції) стверджує про те,

Квиток N 10 Квиток N 9 Питання N 1 Гіроскоп прецесує навколо нижньої точки опори. Момент інерції гіроскопа дорівнює I = 0,2 кг м 2, кутова швидкість обертання 0 = 1000 -1, маса m = 20 кг, центр мас знаходиться

ЗАВДАННЯ ДО ІНДИВІДУАЛЬНОГО ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ 3 1. Однорідний диск радіусом 40 см коливається біля горизонтальної осі, що проходить через точку підвісу, що збігається з однією з утворюючих поверхні диска.

Приклади розв'язання задач Приклад 1 Через обертовий навколо горизонтальної осі блок (рис1а) перекинута невагома нерозтяжна нитка до кінців якої прив'язані вантажі 1 і Знайдіть силу тиску X N F блоку на

6.1. Однорідний циліндр маси M та радіуса R може обертатися без тертя навколо горизонтальної осі. На циліндр намотана нитка, до кінця якої прикріплений вантаж маси m. Знайти залежність кінетичної енергії

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Олімпіада «Фізтех» з фізики 11 клас, онлайн-етап, 2013/14 рік 1. Камінь, кинутий з даху сараю майже вертикально вгору зі швидкістю 15 м/с, впав на землю

І. В. Яковлєв Матеріали з фізики MathUs.ru Консервативні системи Система тіл називається консервативною, якщо для неї виконується закон збереження механічної енергії: K + W = const, де K кінетична

10 клас. 1 тур 1. Завдання 1 Якщо брусок масою 0,5 кг притиснути до шорсткої вертикальної стіни силою 15 Н, спрямованої горизонтально, він буде ковзати вниз рівномірно. З яким за модулем прискоренням буде

1.2.1. Інерційні системи відліку. Перший закон Ньютона. Принцип відносності Галілея 27.1. Пасажир автобуса на зупинці прив'язав до ручки сидіння за нитку легку повітряну кульку, заповнену гелієм.

Важелі Статика 1. На нерівноплечих вагах врівноважені дві склянки. Відстань між центрами склянок дорівнює l. З однієї склянки взяли масу води m і перелили на другий. Якщо при цьому опору ваг пересунути

Завдання #1 Тест за темою "Механічні коливання" Координата тіла, що коливається, змінюється за законом X=5ˑcos(/2)t (м). Чому дорівнює частота коливань? Усі величини виражені в одиницях СІ. 1) 2 Гц. 2) 1/2

Заняття 3. Основні засади динаміки. Сили: тяжкості, реакції, пружності Варіант 3... На тіло масою 0 кг діють кілька сил, рівнодіюча яких є постійною і дорівнює 5 Н. Щодо інерційної

1 варіант A1. Система складається з двох тіл і b. На малюнку стрілками у заданому масштабі вказані імпульси цих тіл. 1) 2,0 кг м/с 2) 3,6 кг м/с 3) 7,2 кг м/с 4) 10,0 кг м/с А2. Людина масою m стрибає

1 Імпульс. Закон збереження імпульсу 1. За якою формулою можна розрахувати імпульс тіла? 1) p m) p ma 3) p m 4) p Ft. Чому дорівнює зміна імпульсу тіла? 1) зміни швидкості тіла) імпульсу сили, що діє

Динаміка 008. Сила, що виникає між приводним ременем і шківом під час його руху, є силою А) натягу. В) тертя ковзання. С) тертя кочення. D) пружності. Е) тертя спокою.

Розрахунково-графічні роботи з механіки Завдання 1. 1 Залежність прискорення від часу за деякого руху тіла представлена на рис. Визначте середню дорожню швидкість за перші 8 с. Початкова швидкість

Варіант 1 1. Яку роботу А потрібно здійснити, щоб розтягнути на x=1 мм сталевий стрижень довжиною l=1 м та площею S поперечного перерізу, що дорівнює 1 см 2? 2. Дві пружини з жорстокостями k 1 =0,3 кн/м та k 2

Імпульс тіла (матеріальної точки) - фізична векторна величина, рівна добуткумаси тіла на його швидкість. p = m υ [p] = кг м/с p υ Імпульс сили векторна фізична величина,

План:

1 Вільні коливання
- 1.1 Консервативний гармонічний осцилятор
  - 1.1.1
    - 1.1.1.1 Динаміка простого гармонійного руху
    - 1.1.1.2 Енергія простого гармонійного руху
    - 1.1.1.3 Приклади
      - 1.1.1.3.1 Вантаж на пружині
      - 1.1.1.3.2 Універсальний рух по колу
      - 1.1.1.3.3 Вантаж як простий маятник
- 1.2 Затухаючий гармонійний осцилятор
2 Вимушені коливання

Вступ

Гармонійний осцилятор(У класичній механіці) - це система, яка при зміщенні з положення рівноваги відчуває дію сили, що повертає, пропорційної зсуву (згідно із законом Гука):

де k- Позитивна константа, що описує жорсткість системи.

Якщо - єдина сила, що діє на систему, то систему називають простимабо консервативним гармонічним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичним рухом біля положення рівноваги (гармонічні коливання). Частота і амплітуда у своїй постійні, причому частота залежить від амплітуди.

Якщо є ще й сила тертя (загасання), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), таку систему називають загасаючимабо дисипативним осцилятором. Якщо тертя не надто велике, то система здійснює майже періодичний рух - синусоїдальні коливання з постійною частотою та експоненційно спадаючою амплітудою. Частота вільних коливань загасаючого осцилятора виявляється дещо нижчою, ніж у аналогічного осцилятора без тертя.

Якщо осцилятор надано сам собі, то кажуть, що він здійснює вільні вагання. Якщо ж є зовнішня сила(що залежить від часу), то кажуть, що осцилятор зазнає вимушених коливань.

Механічними прикладами гармонійного осцилятора є математичний маятник(з малими кутами усунення), вантаж на пружині, торсійний маятник та акустичні системи. Серед інших аналогів гармонійного осцилятора варто виділити електричний гармонійний осцилятор (див. LC-ланцюг).

1. Вільні коливання

1.1. Консервативний гармонічний осцилятор

Як модель консервативного гармонійного осцилятора візьмемо вантаж маси, закріплений на пружині жорсткістю.

Нехай - це усунення вантажу щодо положення рівноваги. Тоді, згідно із законом Гука, на нього діятиме сила, що повертає:

Використовуючи другий закон Ньютона, запишемо

Позначаючи та замінюючи прискорення на другу похідну від координати за часом , напишемо:

Це диференціальне рівняння визначає поведінку консервативного гармонійного осцилятора. Коефіцієнт 0 називають циклічною частотою осцилятора. (Тут мається на увазі кругова частота, що вимірюється в радіанах в секунду. Щоб перевести її в частоту, що виражається в Герцах, треба розділити кругову частоту на 2π)

Шукатимемо рішення цього рівняння у вигляді:

Тут – амплітуда, – частота коливань (поки не обов'язково дорівнює власній частоті), – початкова фаза.

Підставляємо у диференціальне рівняння.

Амплітуда скорочується. Значить, вона може мати будь-яке значення (у тому числі і нульове - це означає, що вантаж лежить у положенні рівноваги). На синус також можна скоротити, тому що рівність повинна виконуватись у будь-який момент часу t. І залишається умова на частоту коливань:

Негативну частоту можна відкинути, оскільки свавілля у виборі цього знака покривається свавіллям вибору початкової фази.

рух по колу та рух гармонійний

Загальне рішення рівняння записується як:

де амплітуда Aі початкова фаза – довільні постійні. Цей запис вичерпує всі рішення диференціального рівняння, оскільки дозволяє задовольнити будь-яким початковим умовам (початкове положення вантажу та його початкової швидкості).

Отже, консервативний гармонійний осцилятор може здійснювати суто гармонійні коливання з частотою, що дорівнює його власної частоті, з амплітудою будь-якої величини і довільною початковою фазою.

Кінетична енергія записується у вигляді

та потенційна енергія є

тоді повна енергіямає постійне значення

1.1.1. Простий гармонійний рух

Простий гармонійний рух- це рух простого гармонійного осцилятора, періодичний рух, який не є ні вимушеним, ні загасаючим. Тіло в простому гармонійному русі піддається впливу єдиної змінної сили, яка за модулем прямо пропорційна переміщенню. x, та спрямована у зворотний бік.

Цей рух є періодичним: тіло коливається біля положення рівноваги за синусоїдальним законом. Кожне наступне коливання таке ж, як і попереднє, і період, частота і амплітуда коливань залишаються постійними. Якщо прийняти, що положення рівноваги знаходиться в точці з координатою, яка дорівнює нулю, то переміщення xтіла у будь-який момент часу дається формулою:

A- це амплітуда коливань, f- Частота, φ - Початкова фаза.

Частота руху визначається характерними властивостямисистеми (наприклад, масою тіла, що рухається), в той час як амплітуда і початкова фаза визначаються початковими умовами- переміщенням та швидкістю тіла в момент початку коливань. Кінетична та потенційна енергії системи також залежать від цих властивостей та умов.

Простий гармонійний рух. На цій анімованій картинці по вертикальної осівідкладено координату частки ( xу формулі), а по горизонтальній осі відкладено час ( t).

Просте гармонійне рух може бути математичними моделями різних видіврухи, такі як коливання пружини. Іншими випадками, які можуть приблизно розглядатися як простий гармонійний рух, є рух маятника і вібрації молекул.

Просте гармонійне рух є основою деяких способів аналізу складніших видів руху. Одним з таких способів є спосіб, заснований на перетворенні Фур'є, суть якого зводиться до розкладання складнішого виду руху в ряд простих гармонійних рухів.

Просте гармонійне рух, показаний одночасно у реальному просторі та у фазовому просторі. Тут вісь швидкості та вісь положення показані інакше в порівнянні зі звичайним зображенням осей координат - це зроблено для того, щоб обидва малюнки відповідали один одному. Real Space – реальний простір; Phase Space – фазовий простір; velocity - швидкість; position – положення (позиція).

Типовим прикладом системи, в якій відбувається простий гармонійний рух, є ідеалізована система вантаж-пружина, в якій вантаж приєднаний до пружини. Якщо пружина не стиснута і не розтягнута, то вантаж не діє жодних змінних сил, і вантаж перебуває у стані механічного рівноваги. Однак, якщо вантаж вивести із положення рівноваги, пружина деформується, і з її боку на вантаж діятиме сила, яка прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги. У разі системи вантаж-пружина такою силою є сила пружності пружини, яка підпорядковується закону Гука:

F = − kx, F- Повертаюча сила, x- переміщення вантажу (деформація пружини), k- Коефіцієнт жорсткості пружини.

Будь-яка система, в якій відбувається простий гармонійний рух, має дві ключові властивості:

Коли система виведена зі стану рівноваги, повинна існувати сила, що повертає, що прагне повернути систему в рівновагу.
Повертальна сила повинна точно або приблизно бути пропорційна переміщенню.

Система вантаж-пружина задовольняє обом цим умовам.

Одного разу зміщений вантаж піддається дії сили, що повертає, що прискорює його, і прагне повернути в початкову точку, тобто, в положення рівноваги. У міру того, як вантаж наближається до положення рівноваги, сила, що повертає, зменшується і прагне до нуля. Однак у положенні x= 0 вантаж володіє деякою кількістю руху (імпульсом), набутим завдяки дії сили, що повертає. Тому вантаж проскакує положення рівноваги, починаючи знову деформувати пружину (але вже у протилежному напрямку). Повертаюча сила буде прагнути сповільнити його, доки швидкість стане рівною нулю; і сила знову прагнутиме повернути вантаж у положення рівноваги.

Поки в системі немає втрат енергії, вантаж коливатиметься як описано вище; такий рух називається періодичним.

Подальший аналіз покаже, що у разі системи вантаж-пружина рух є простим гармонійним.

1.1.1.1. Динаміка простого гармонійного руху

Для коливання в одновимірному просторі, враховуючи Другий закон Ньютона ( F = m d² x/d t² ) та закон Гука ( F = −kx, як описано вище), маємо лінійне диференціальне рівняння другого порядку:

m- це маса тіла, x- його переміщення щодо положення рівноваги, k- Постійна (коефіцієнт жорсткості пружини).

Вирішення цього диференціального рівняння є синусоїдальним; одне з рішень таке:

де A, ω , і φ - це постійні величини, та положення рівноваги приймається за початкове. Кожна з цих постійних є важливим фізична властивістьруху: A- це амплітуда, ω = 2π f- це кругова частота, і φ - Початкова фаза.

Положення, швидкість та прискорення гармонійного осциллятора

Використовуючи прийоми диференціального обчислення, швидкість та прискорення як функція часу можуть бути знайдені за формулами:

Положення, швидкість та прискорення простого гармонійного руху на фазовій площині

Прискорення може також бути виражене як функція переміщення:

Оскільки ma = −mω² x = −kx , то

Враховуючи що ω = 2π f, отримаємо

і оскільки T = 1/f, де T - період коливань, то

Ці формули показують, що період та частота не залежать від амплітуди та початкової фази руху.

1.1.1.2. Енергія простого гармонійного руху

Кінетична енергія Kсистеми у функції часу tтака:

та потенційна енергія є

Повна механічна енергія системи, однак, має постійне значення

1.1.1.3. Приклади

Система вантаж-пружина без згасання, в якій відбувається простий гармонійний рух.

Просте гармонійне рух представлено в різних простих фізичних системах, і нижче наведено деякі приклади.

1.1.1.3.1. Вантаж на пружині

Маса m, прикріплена до пружини з постійною жорсткістю kє прикладом простого гармонійного руху на просторі. Формула

показує, що період коливань не залежить від амплітуди та прискорення вільного падіння.

1.1.1.3.2. Універсальний рух по колу

Просте гармонійне рух у деяких випадках можна розглядати як одновимірну проекцію універсального руху по колу. Якщо об'єкт рухається з кутовий швидкістю ω по колу радіусу rцентром якої є початок координат площини x-y, такий рух уздовж кожної з координатних осей є простим гармонійним з амплітудою rта круговою частотою ω .

1.1.1.3.3. Вантаж як простий маятник

Рух маятника, що не має загасань, можна приблизно розглядати як простий гармонійний рух, якщо амплітуда коливань дуже мала в порівнянні з довжиною стрижня.

У наближенні малих кутів рух простого маятника близький до простого гармонійного. Період коливань такого маятника, прикріпленого до стрижня завдовжки ℓ із прискоренням вільного падіння gдається формулою

Це показує, що період коливань не залежить від амплітуди та маси маятника, але залежить від прискорення вільного падіння gТому при тій же довжині маятника, на Місяці він буде обертатися повільніше, тому що там слабша гравітаціяі менше значення прискорення вільного падіння.

Зазначене наближення є коректним лише при невеликих кутах, оскільки вираз для кутового прискорення пропорційно синусу координати:

I- момент інерції; в даному випадку I = m ℓ 2 .

що робить кутове прискорення прямо пропорційним куту θ , а це задовольняє визначення простого гармонійного руху.

1.2. Затухаючий гармонійний осцилятор

Взявши за основу ту саму модель, додамо до неї силу в'язкого тертя. Сила в'язкого тертя спрямована проти швидкості руху вантажу щодо середовища та пропорційна цій швидкості. Тоді повна сила, що діє на вантаж, записується так:

Проводячи аналогічні дії, отримуємо диференціальне рівняння, що описує загасаючий осцилятор:

Тут запроваджено позначення: . Коефіцієнт γ носить назву постійної згасання. Він також має розмірність частоти.

Рішення ж розпадається на три випадки.

При малому терті (γ< ω 0 ) спільне рішеннязаписується у вигляді:

де - частота вільних коливань.

Згасання γ = ω 0 називають критичним. Починаючи з такого значення показника згасання, осцилятор буде здійснювати так званий рух. У граничному випадку рух відбувається за законом:

При сильному терті γ > ω 0 рішення виглядає наступним чином:

, де

Критичне згасання примітно тим, що саме при критичному згасанні осцилятор найшвидше прагне положення рівноваги. Якщо тертя менше критичного, він дійде до положення рівноваги швидше, проте «проскочить» його за інерцією, і коливатиме. Якщо тертя більше критичного, то осцилятор буде експоненційно прагнути положення рівноваги, але тим повільніше, чим більше тертя.

Тому в стрілочних індикаторах (наприклад, в амперметрах) зазвичай намагаються запровадити саме критичне згасання, щоб прочитати його показання можна було максимально швидко.

Згасання осцилятора також часто характеризують безрозмірним параметром, що називається добротністю. Добротність зазвичай позначають буквою Q. За визначенням, добротність дорівнює:

Чим більша добротність, тим повільніше загасають коливання осцилятора.

У осцилятора з критичним згасанням добротність дорівнює 0,5. Відповідно, добротність показує характер поведінки осцилятора. Якщо добротність більше 0,5, то вільний рух осцилятора є коливаннями; згодом він перетне положення рівноваги необмежену кількість разів. Добротність менша або дорівнює 0,5 відповідає нехитному руху осцилятора; в вільному русівін перетне положення рівноваги трохи більше одного разу.

Добротність іноді називають коефіцієнтом посилення осцилятора, так як при деяких способах збудження при збігу частоти збудження з резонансної амплітуда коливань виявляється приблизно в Qразів більше, ніж при збудженні на низькій частоті.

Також добротність приблизно дорівнює кількості коливальних циклів, за яке амплітуда коливань зменшується в eраз, помноженому на π.

У разі коливального руху згасання ще характеризують такими параметрами, як:

Час життявагань, воно ж час згасання, воно ж час релаксації. τ - час, за який амплітуда коливань зменшиться в eразів.

τ = 1 / γ Цей час розглядається як час, необхідний для загасання (припинення) коливань (хоча формально вільні коливання продовжуються нескінченно довго).

2. Вимушені коливання

Основна стаття: Вимушені коливання

Коливання осцилятора називають вимушеними, коли на нього виробляється деяка додаткова дія ззовні. Цей вплив може здійснюватися різними засобами та за різними законами. Наприклад, силовим збудженням називається вплив на вантаж силою, що залежить тільки від часу за певним законом. Кінематичним збудженням називають вплив на осцилятор рухом точки закріплення пружини за заданим законом. Можливо також вплив тертям - це коли, наприклад, середовище, з яким вантаж зазнає тертя, здійснює рух за заданим законом.

Література

Бутіков Є. І. Власні коливання лінійного осцилятора. Навчальний посібник

Примітки

, Просте відношення , Просте поле , Просте пропозицію , Просте число .

Косинус у вирішенні рівняння (21.2) наводить на думку, що гармонійний рух має якесь відношення до руху по колу. Це порівняння, звичайно, штучне, тому що в лінійному русі нема звідки взятися кола: вантаж рухається суворо вгору і вниз. Можна виправдатись тим, що ми вже вирішили рівняння гармонійного руху, коли вивчали механіку руху по колу. Якщо частка рухається по колу з постійною швидкістю , то радіус-вектор із центру кола до частки повертається на кут, величина якого пропорційна часу. Позначимо цей кут (фіг. 21.2). Тоді . Відомо, що прискорення та направлено до центру. Координати точки, що рухається в заданий момент рівні

Що можна сказати про прискорення? Чому дорівнює-складник прискорення, ? Знайти цю величину можна чисто геометрично: вона дорівнює величині прискорення, помноженої на косинус кута проекції; перед отриманим виразом треба поставити знак мінус, тому що прискорення спрямоване до центру:

Іншими словами, коли частка рухається по колу, горизонтальна складова руху має прискорення, пропорційне горизонтальному зсуву від центру. Звичайно, ми знаємо рішення для руху по колу: . Рівняння (21.7) не містить радіусу кола; воно однаково при русі по будь-якому колу при однаковій.

Фіг. 21.2. Частка рухається по колу з постійною швидкістю.

Таким чином, є кілька причин, з яких слід очікувати, що відхилення грузика на пружинці виявиться пропорційним і рух буде виглядати так, як якщо б ми стежили за координатою частинки, що рухається по колу з кутовою швидкістю. Перевірити це можна, поставивши досвід, щоб показати, що рух вантажу вгору-вниз на пружинці точно відповідає руху точки по колу. На фіг. 21.3 світло дугової лампи проектує на екран тіні рухомих поруч встромленою в обертовий диск голки і вантажу, що вертикально коливається. Якщо вчасно і з потрібного місця змусити вантаж коливатися, а потім обережно підібрати швидкість руху диска так, щоб їх частоти збіглися, тіні на екрані точно слідуватимуть одна за одною. Ось ще спосіб переконатися в тому, що знаходячи чисельне рішення, ми майже впритул підійшли до косінусу.

Фіг. 21.3. Демонстрація еквівалентності простого гармонійного руху та рівномірного рухупо колу.

Тут можна підкреслити, що оскільки математика рівномірного руху по колу дуже подібна до математики коливального руху вгору-вниз, то аналіз коливальних рухів дуже спроститься, якщо уявити цей рух як проекцію руху по колу. Інакше кажучи, ми можемо доповнити рівняння (21.2), здавалося б, зовсім зайвим рівнянням і розглядати обидва рівняння спільно. Зробивши це, ми зведемо одномірні коливання до руху по колу, що позбавить нас рішення диференціального рівняння. Можна зробити ще один трюк - ввести комплексні числа, але про це у наступному розділі.

Косинус у вирішенні рівняння (21.2) наводить на думку, що гармонійний рух має якесь відношення до руху по колу. Це порівняння, звичайно, штучне, тому що в лінійному русі нема звідки взятися кола: вантаж рухається суворо вгору і вниз. Можна виправдатись тим, що ми вже вирішили рівняння гармонійного руху, коли вивчали механіку руху по колу. Якщо частка рухається по колу з постійною швидкістю v, то радіус-вектор із центру кола до частки повертається на кут, величина якого пропорційна часу. Позначимо цей кут θ=vt/R (фіг. 21.2). Тоді dQθ/dt=ω 0 =v/R. Відомо, що прискорення a=v 2 /R = ω 2 0 R і направлено до центру. Координати точки, що рухається в заданий момент рівні
x = R cos θ, y = R sin θ.

Що можна сказати про прискорення? Чому дорівнює x-складова прискорення, d 2 x/dt 2? Знайти цю величину можна чисто геометрично: вона дорівнює величині прискорення, помноженої на косинус кута проекції; перед отриманим виразом треба поставити знак мінус, тому що прискорення спрямоване до центру:

Іншими словами, коли частка рухається по колу, горизонтальна складова руху має прискорення, пропорційне горизонтальному зсуву від центру. Звичайно, ми знаємо рішення для випадку руху по колу: x = R cos 0 t. Рівняння (21.7) не містить радіусу кола; воно однаково при русі по будь-якому колу при однаковому ω 0 . Таким чином, є кілька причин, з яких слід очікувати, що відхилення грузика на пружинці виявиться пропорційним cos 0 t і рух буде виглядати так, як якщо б ми стежили за x-координатою частинки, що рухається по колу з кутовою швидкістю 0 . Перевірити це можна, поставивши досвід, щоб показати, що рух вантажу вгору-вниз на пружинку точно відповідає руху точки по колу. На фіг. 21.3 світло дугової лампи проектує на екран тіні рухомих поруч встромленою в обертовий диск голки і вантажу, що вертикально коливається. Якщо вчасно і з потрібного місця змусити вантаж коливатися, а потім обережно підібрати швидкість руху диска так, щоб їх частоти збіглися, тіні на екрані точно слідуватимуть одна за одною. Ось ще спосіб переконатися, що, знаходячи чисельне рішення, ми майже впритул підійшли до косінусу.

Тут можна підкреслити, що оскільки математика рівномірного руху по колу дуже подібна до математики коливального руху вгору-вниз, то аналіз коливальних рухів дуже спроститься, якщо уявити цей рух як проекцію руху по колу. Інакше кажучи, ми можемо доповнити рівняння (21.2), здавалося б, зовсім зайвим рівнянням для у і розглядати обидва рівняння спільно. Зробивши це, ми зведемо одномірні коливання до руху по колу, що позбавить нас рішення диференціального рівняння. Можна зробити ще один трюк — запровадити комплексні числа, але про це у наступному розділі.