Безліч- Сукупність будь-яких об'єктів. Багато позначають великими літерами латинського алфавіту - від Aдо Z.

Основні числові множини: безліч натуральних чисел і безліч цілих чисел, що завжди позначаються одними і тими ж літерами:

N- безліч натуральних чисел

Z- безліч цілих чисел

Елемент множини- це будь-який об'єкт, що входить до складу множини. Приналежність об'єкта до множини позначається за допомогою знака ∈ . Запис

читається так: 5 належить множині Zабо 5 - елемент множини Z .

Безліч діляться на кінцеві та нескінченні. Кінцева безліч- множина, що містить певну (кінцеву) кількість елементів. Нескінченна безліч- безліч, що містить безліч елементів. До нескінченних множин можна віднести безліч натуральних і цілих чисел.

Для визначення множини використовуються фігурні дужки, в яких через кому перераховуються елементи. Наприклад, запис

L = {2, 4, 6, 8}

означає, що безліч Lскладається з чотирьох парних чисел.

Термін безліч вживається незалежно від цього, скільки елементів воно містить. Множини не містять жодного елемента називаються порожніми.

Підмножина

Підмножина- це безліч, всі елементи якого є частиною іншої множини.

Візуально продемонструвати відношення множини і підмножини, що входить до нього, можна за допомогою кіл Ейлера. Кола Ейлера – це геометричні схеми, що допомагають візуалізувати відносини різних об'єктів, у нашому випадку множин.

Розглянемо дві множини:

L= (2, 4, 6, 8) та M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Кожен елемент множини Lналежить і безлічі M, значить безліч L M. Таке співвідношення множин позначають знаком ⊂ :

L⊂M

Запис L⊂Mчитається так: безліч Lє підмножиною безлічі M .

Множини, що складаються з одних і тих же елементів, незалежно від їх порядку, називаються рівнимита позначаються знаком = .

Розглянемо дві множини:

L= (2, 4, 6) та M = {4, 6, 2}

оскільки обидва множини складаються з одних і тих же елементів, то L = M.

Перетин та об'єднання множин

Перетин двох множин- це сукупність елементів, що належать кожному з цих множин, тобто їхня загальна частина. Перетин позначається знаком ∩.

Наприклад, якщо

L= (1, 3, 7, 11) та M= (3, 11, 17, 19), то L∩M = {3, 11}.

Запис L∩Mчитається так: перетин множин Lі M .

З цього прикладу випливає, що перетином множин називається множина, яка містить тільки ті елементи, які зустрічаються у всіх множинах, що перетинаються.

Об'єднанням двох множинназивається безліч, що містить всі елементи вихідних множин в єдиному екземплярі, тобто якщо один і той же елемент зустрічається в обох множинах, то в нову множину цей елемент буде включений лише один раз. Об'єднання означає знак ∪ .

Наприклад, якщо

L= (1, 3, 7, 11) та M = {3, 11, 17, 19},

то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запис L∪Mчитається так: об'єднання множин Lі M .

При об'єднанні рівних множин, об'єднання дорівнюватиме кожному з даних множин:

якщо L = M, то L∪M = Lі L∪M = M.

У математиці поняття множини є одним з основних, фундаментальним, однак єдиного визначення множини не існує. Одним з найбільш усталених визначень множини є наступне: під безліччю розуміють будь-яке зібрання певних і відмінних один від одного об'єктів, мислимих як єдине ціле. Творець теорії множин німецький математик Георг Кантор (1845-1918) говорив так: "Багато є багато, мислиме нами як ціле".

Безліч як тип даних виявилися дуже зручними для програмування складних життєвих ситуацій, тому що за їх допомогою можна точно моделювати об'єкти реального світу та компактно відображати складні логічні взаємини. Багато застосовуються в мові програмування Паскаль і один з прикладів рішення ми нижче розберемо. Крім того, на основі теорії множини створено концепцію реляційних баз даних, а на основі операцій над множинами - реляційна алгебра та її операції- використовуються у мовах запитів до баз даних, зокрема SQL.

Приклад 0 (Паскаль).Існує набір продуктів, що продаються у кількох магазинах міста. Визначити: які продукти є у всіх магазинах міста; повний набір продуктів у місті.

Рішення. Визначаємо базовий тип даних Food (продукти), може приймати значення, відповідні назвами продуктів (наприклад, hleb). Оголошуємо тип множини, він визначає всі підмножини, складені з комбінацій значень базового типу, тобто Food (продукти). І формуємо підмножини: магазини "Сонечко", "Вітерець", "Вогник", а також похідні підмножини: MinFood (продукти, які є у всіх магазинах), MaxFood (повний набір продуктів у місті). Далі прописуємо операції для отримання похідних підмножин. Підмножина MinFood виходить в результаті перетину підмножин Solnyshko, Veterok і Ogonyok і включає ті і тільки ті елементи цих підмножин, які включені в кожну з цих підмножин (у Паскалі операція перетину множин позначається зірочкою: A * B * C, математичне позначення перетину ). Підмножина MaxFood виходить в результаті об'єднання тих самих підмножин і включає елементи, які включені у всі підмножини (у Паскалі операція об'єднання множин позначається знаком "плюс": A + B + C, математичне позначення об'єднання множин дано далі).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, másло, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Які бувають множини

Об'єкти, складові безлічі - об'єкти нашої інтуїції чи інтелекту - можуть бути різної природи. У прикладі в першому параграфі ми розібрали множини, що включають набір продуктів. Багато можуть складатися, наприклад, і з усіх букв російського алфавіту. В математиці вивчаються безлічі чисел, наприклад, що складаються з усіх:

Натуральних чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простих чисел

Парних цілих чисел

і т.п. (Основні числові множини розглянуті в цьому матеріалі).

Об'єкти, що становлять безліч, називаються його елементами. Можна сказати, що безліч - це "мішок з елементами". Дуже важливо: у безлічі немає однакових елементів.

Багато бувають кінцевими і нескінченними. Кінцева множина - це множина, для якої існує натуральне число, що є числом його елементів. Наприклад, безліч перших п'яти невід'ємних цілих непарних чисел є кінцевою множиною.Безліч, яке не є кінцевим, називається нескінченним. Наприклад, безліч усіх натуральних чисел є безліччю.

Якщо M- безліч, а a- Його елемент, то пишуть: a∈M, що означає " aналежить безлічі M".

З першого (нульового) прикладу на Паскалі з продуктами, які є у тих чи інших магазинах:

hleb∈VETEROK ,

що означає: елемент "hleb" належить величезній кількості продуктів, які є в магазині "VETEROK".

Існують два основні способи завдання множин: перелік та опис.

Багато можна задати, перерахувавши всі його елементи, наприклад:

VETEROK = {hleb, syr, maslo} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перерахуванням можна задати лише кінцеве безліч. Хоча це можна зробити і описом. Але нескінченні множини можна задати лише описом.

Для опису множин використовується наступний спосіб. Нехай p(x) - деяке висловлювання, яке описує властивості змінної x, областю значень яких є безліч M. Тоді через M = {x | p(x)} позначається безліч, що складається з усіх тих і лише тих елементів, для яких висловлювання p(x) Істинно. Цей вираз читається так: "Багато M, що складається з усіх таких x, що p(x) ".

Наприклад, запис

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Приклад 6.Згідно з опитуванням 100 покупців ринку, що купили цитрусові, апельсини купили 29 покупців, лимони - 30 покупців, мандарини - 9, тільки мандарини - 1, апельсини та лимони - 10, лимони та мандарини - 4, всі три види фруктів - 3 покупці. Скільки покупців не купили жодного виду цитрусових? Скільки покупців купили лише лимони?

Операція декартового твору множин

Для визначення ще однієї важливої ​​операції над множинами - декартова твори множинвведемо поняття впорядкованого набору довжини n.

Довжиною набору називається число nйого компонент. Набір, складений з елементів, взятих саме в цьому порядку, позначається . При цьому iя () компонент набору є .

Зараз буде суворе визначення, яке, можливо, не відразу зрозуміло, але після цього визначення буде картинка, за якою стане зрозуміло, як отримати декартове твір множин.

Декартовим (прямим) твором множинназивається безліч, що позначається і що складається з усіх тих і лише тих наборів довжини n, i-я компонента яких належить .

Наприклад, якщо , , ,

Безліч. Операції над безліччю.
Відображення множин. Потужність множини

Вітаю вас на першому уроці з вищої алгебри, який з'явився напередодні п'ятиріччя сайту, після того, як я вже створив понад 150 статей з математики, і мої матеріали почали оформлятися в завершений курс. Втім, сподіватимусь, що не запізнився – адже багато студентів починають вникати в лекції тільки до державних іспитів.

Вузівський курс вышмата традиційно базується на трьох китах:

– математичний аналіз (межі, похідніі т.д.)

– і, нарешті, сезон 2015/16 навчального року відкривається уроками Алгебра для чайників, Елементи математичної логіки, на яких ми розберемо основи розділу, а також познайомимося з базовими математичними поняттями та поширеними позначеннями. Треба сказати, що в інших статтях я не зловживаю «закорючками» , однак то лише стиль, і, звичайно ж, їх потрібно впізнавати у будь-якому стані =). Знову прибулим читачам повідомляю, що мої уроки орієнтовані на практику, і наведений нижче матеріал буде представлений саме в цьому ключі. За більш повною та академічною інформацією, будь ласка, звертайтесь до навчальної літератури. Поїхали:

Безліч. Приклади множин

Безліч – це фундаментальне поняття як математики, а й усього навколишнього світу. Візьміть прямо зараз в руку будь-який предмет. Ось вам і безліч, що складається з одного елемента.

В широкому сенсі, безліч - це сукупність об'єктів (елементів), які розуміються як єдине ціле(за тими чи іншими ознаками, критеріями чи обставинами). Причому це не лише матеріальні об'єкти, а й літери, цифри, теореми, думки, емоції тощо.

Зазвичай множини позначаються великими латинськими літерами (Як варіант, з підрядковими індексами: і т.п.), а його елементи записуються у фігурних дужках, наприклад:

- Багато букв російського алфавіту;
- безліч натуральних чисел;

ну що ж, настав час трохи познайомитися:
- безліч студентів в 1-му ряду

… я радий бачити ваші серйозні та зосереджені особи =)

Безліч і є кінцевими(що складаються з кінцевого числа елементів), а безліч – це приклад нескінченногомножини. Крім того, в теорії та на практиці розглядається так зване порожня безліч:

- безліч, в якому немає жодного елемента.

Приклад вам добре відомий - безліч на іспиті часто буває порожньо =)

Приналежність елемента множині записується значком , наприклад:

- літера "бе" належить безлічі букв російського алфавіту;
– літера «бета» неналежить безлічі букв російського алфавіту;
- Число 5 належить безлічі натуральних чисел;
- А ось число 5,5 - вже немає;
– Вольдемар не сидить у першому ряду (і тим більше, не належить множині або =)).

В абстрактній і не дуже алгебрі елементи множини позначають маленькими латинськими літерами і, відповідно, факт власності оформляється в наступному стилі:

- Елемент належить безлічі .

Вищенаведені множини записані прямим перерахуваннямелементів, але це єдиний спосіб. Багато множин зручно визначати за допомогою деякого ознаки (ів), який властивий всім його елементам. Наприклад:

- Безліч всіх натуральних чисел, менших ста.

Запам'ятайте: довга вертикальна палиця висловлює словесний оборот «які», «таких, що». Досить часто замість неї використовується двокрапка: – давайте прочитаємо запис більш формально: «Багато елементів, що належать безлічі натуральних чисел, таких, що » . Молодці!

Дане безліч можна записати і прямим перерахуванням:

Ще приклади:
- і якщо і студентів в 1-му ряду досить багато, то такий запис набагато зручніший, ніж їх прямий перелік.

- Багато чисел, що належать відрізку . Зверніть увагу, що тут мається на увазі безліч дійснихчисел (про них пізніше), які перерахувати через кому вже неможливо.

Слід зазначити, що елементи множини не повинні бути однорідними або логічно взаємопов'язаними. Візьміть великий пакет і почніть навмання складати в нього різні предмети. У цьому немає ніякої закономірності, проте мова йде про безліч предметів. Образно кажучи, багато – це і є відокремлений «пакет», у якому «волею долі» виявилася деяка сукупність об'єктів.

Підмножини

Практично все зрозуміло із самої назви: безліч є підмножиноюмножини, якщо кожен елемент множини належить множині. Іншими словами, безліч міститься в безлічі:

Значок називають значком включення.

Повернемося наприклад, у якому – це багато літер російського алфавіту. Позначимо через - безліч його голосних букв. Тоді:

Також можна виділити підмножину приголосних букв і взагалі - довільне підмножина, що складається з будь-якої кількості випадково (або невипадково) узятих кириличних букв. Зокрема, будь-яка буква кирилиці є підмножиною множини.

Відносини між підмножинами зручно зображати за допомогою умовної геометричної схеми, яка називається колами Ейлера.

Нехай – безліч студентів у 1-му ряду, – безліч студентів групи, – безліч студентів університету. Тоді відношення включень можна зобразити так:

Безліч студентів іншого ВНЗ слід зобразити колом, яке не перетинає зовнішнє коло; безліч студентів країни – колом, що містить у собі обидва ці кола, тощо.

Типовий приклад включень ми спостерігаємо під час розгляду числових множин. Повторимо шкільний матеріал, який важливо тримати на замітці та при вивченні вищої математики:

Числові множини

Як відомо, історично першими з'явилися натуральні числа, призначені для підрахунку матеріальних об'єктів (людей, курей, овець, монет тощо). Ця множина вже зустрілася в статті, єдина, ми зараз трохи модифікуємо її позначення. Справа в тому, що числові множини прийнято позначати жирними, стилізованими або потовщеними літерами. Мені зручніше використовувати жирний шрифт:

Іноді до множини натуральних чисел відносять нуль.

Якщо до безлічі приєднати ті ж числа з протилежним знаком і нуль, то вийде безліч цілих чисел:

Раціоналізатори та ледарі записують його елементи зі значками "плюс мінус":))

Цілком зрозуміло, що безліч натуральних чисел є підмножиною безлічі цілих чисел:
- оскільки кожен елемент множини належить множині . Таким чином, будь-яке натуральне число можна назвати і цілим числом.

Назва множини теж «розмовляє»: цілі числа - це означає, ніяких дробів.

І, якщо цілі, то відразу ж згадаємо важливі ознаки їх ділимості на 2, 3, 4, 5 і 10, які вимагатимуться в практичних обчисленнях чи не щодня:

Ціла кількість ділиться на 2 без залишкуякщо воно закінчується на 0, 2, 4, 6 або 8 (тобто будь-якою парною цифрою). Наприклад, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 - діляться на 2 без залишку.

І давайте відразу розберемо «споріднений» ознака: ціле число ділиться на 4якщо число, складене з двох його останніх цифр (У порядку їх прямування)ділиться на 4.

400 – ділиться на 4 (т.к. 00 (нуль) ділиться на 4);
-1502 - не ділиться на 4 (т.к. 02 (двійка) не ділиться на 4);
-24, зрозуміло, поділяється на 4;
66996 – ділиться на 4 (Б. 96 ділиться на 4);
818 – не ділиться на 4 (Т.к. 18 не ділиться на 4).

Самостійно проведіть нескладне обґрунтування цього факту.

З подільність на 3 трохи складніше: ціле число ділиться на 3 без залишку, якщо сума цифр, що до нього входятьділиться на 3.

Перевіримо, чи ділиться на 3 число 27901. Для цього підсумуємо його цифри:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - не ділиться на 3
Висновок: 27901 не поділяється на 3.

Підсумуємо цифри числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - ділиться на 3
Висновок: число -825432 ділиться на 3

Ціла кількість ділиться на 5, Якщо воно закінчується п'ятіркою чи нулем:
775 -2390 - діляться на 5

Ціла кількість ділиться на 10, якщо воно закінчується на нуль:
798400 – ділиться на 10 (і, очевидно, на 100). Ну і, напевно, всі пам'ятають – для того, щоб поділити на 10, потрібно просто забрати один нуль: 79840

Також існують ознаки подільності на 6, 8, 9, 11 і т.д., але практичного толку від них практично ніякого =)

Слід зазначити, що ці ознаки (здавалося б, такі прості) суворо доводяться в теорії чисел. Цей розділ алгебри взагалі досить цікавий, проте його теореми ... прямо сучасна китайська страта =) А Вольдемару за останньою партою і того вистачило ..., але нічого страшного, скоро ми займемося цілющими фізичними вправами =)

Наступною числовою множиною йде безліч раціональних чисел:
- тобто, будь-яке раціональне число представимо у вигляді дробу з цілим чисельникомта натуральним знаменником.

Очевидно, що безліч цілих чисел є підмножиноюбезлічі раціональних чисел:

І справді - адже будь-яке ціле число можна представити у вигляді раціонального дробу, наприклад: і т.д. Таким чином, ціле число можна цілком законно назвати раціональним числом.

Характерною «розпізнавальною» ознакою раціонального числа є та обставина, що при розподілі чисельника на знаменник виходить або
- ціле число,

або
– кінцевадесятковий дріб,

або
– нескінченна періодичнадесятковий дріб (повтор може початися не відразу).

Помилуйте поділом і постарайтеся виконувати цю дію якомога рідше! В організаційній статті Вища математика для чайниківі на інших уроках я неодноразово повторював, повторюю, і повторюватиму цю мантру:

У вищій математиці всі дії прагнемо виконувати у звичайних (правильних та неправильних) дробах

Погодьтеся, що мати справу з дробом значно зручніше, ніж із десятковим числом 0,375 (не кажучи вже про нескінченні дроби).

Їдемо далі. Крім раціональних існує безліч ірраціональних чисел, кожне з яких представимо у вигляді нескінченної НЕперіодичноюдесяткового дробу. Іншими словами, у «нескінченних хвостах» ірраціональних чисел немає жодної закономірності:
(«рік народження Льва Толстого» двічі)
і т.д.

Про знамениті константи «пі» та «е» інформації достатньо, тому на них я не зупиняюся.

Об'єднання раціональних та ірраціональних чисел утворює безліч дійсних (речових) чисел:

- Значок об'єднаннямножин.

Геометрична інтерпретація множини вам добре знайома - це числова пряма:


Кожному дійсному числу відповідає певна точка числової прямої, і навпаки – кожній точці числової прямої обов'язково відповідає деяке дійсне число. По суті, зараз я сформулював властивість безперервностідійсних чисел, яке хоч і здається очевидним, але суворо доводиться у курсі математичного аналізу.

Числову пряму також позначають нескінченним інтервалом , а запис або еквівалентний запис символізує той факт, що належить безлічі дійсних чисел (або просто «ікс» – дійсне число).

Із вкладеннями все прозоро: безліч раціональних чисел – це підмножинабезлічі дійсних чисел:
Таким чином, будь-яке раціональне число можна сміливо назвати і дійсним числом.

Безліч ірраціональних чисел – це теж підмножинадійсних чисел:

При цьому підмножини та не перетинаються- тобто жодне ірраціональне число неможливо уявити у вигляді раціонального дробу.

Чи існують якісь інші числові системи? Існують! Це, наприклад, комплексні числа, з якими я рекомендую ознайомитися буквально найближчими днями або навіть годинником.

Ну а поки що ми переходимо до вивчення операцій над множинами, дух яких уже матеріалізувався наприкінці цього параграфу:

Дії над множинами. Діаграми Венна

Діаграми Венна (за аналогією з колами Ейлера) - це схематичне зображення дій з безліччю. Знову ж таки попереджаю, що я розгляну не всі операції:

1) Перетин Іі позначається значком

Перетином множин і називається безліч, кожен елемент якого належить ібезлічі , ібезлічі. Грубо кажучи, перетин - це загальна частина множин:

Так, наприклад, для множин:

Якщо у множин немає однакових елементів, їх перетин пусто. Такий приклад нам щойно зустрівся при розгляді числових множин:

Безліч раціональних і ірраціональних чисел можна схематично зобразити двома кругами, що не перетинаються.

Операція перетину застосовна і для великої кількості множин, зокрема у Вікіпедії є хороша приклад перетину множини літер трьох алфавітів.

2) Об'єднаннямножин характеризується логічною зв'язкою АБОі позначається значком

Об'єднанням множин і називається безліч, кожен елемент якого належить множині абобезлічі:

Запишемо об'єднання множин:
- грубо кажучи, тут потрібно перерахувати всі елементи множин і , причому однакові елементи (В даному випадку одиниця на перетині множин)слід вказати один раз.

Але безлічі, зрозуміло, можуть і не перетинатися, як це має бути з раціональними та ірраціональними числами:

У цьому випадку можна зобразити два заштрихованих кола, що не перетинаються.

Операція об'єднання застосовна і для великої кількості множин, наприклад, якщо , то:

При цьому числа зовсім не обов'язково розташовувати в порядку зростання (це я зробив виключно з естетичних міркувань). Не мудруючи лукаво, результат можна записати і так:

3) Різниця іне належить безлічі:

Різниця читаються так: «а без бе». І міркувати можна так само: розглянемо безлічі . Щоб записати різницю, потрібно з безлічі «викинути» всі елементи, які є в безлічі:

Приклад із числовими множинами:
– тут з множини цілих чисел виключені всі натуральні, та й сам запис так і читається: «безліч цілих чисел без множини натуральних».

Дзеркально: різницеюмножин і називають безліч, кожен елемент якого належить множині іне належить безлічі:

Для тих же множин
– з множини «викинуто» те, що є в множині .

А ось ця різниця виявляється порожньою: . І справді – якщо з множини натуральних чисел виключити цілі числа, то, власне, нічого й не залишиться:)

Крім того, іноді розглядають симетричнурізниця, яка об'єднує обидва «півмісяці»:
- Іншими словами, це "все, крім перетину множин".

4) Декартовим (прямим) твороммножин і називається безліч всіх упорядкованихпар, у яких елемент, а елемент

Запишемо декартове твір множин:
– перерахування пар зручно здійснювати за наступним алгоритмом: «спочатку до 1-го елемента множини послідовно приєднуємо кожен елемент множини, потім до 2-го елемента множини приєднуємо кожен елемент множини, потім до 3-го елемента множини приєднуємо кожен елемент множини»:

Дзеркально: декартовим твороммножин і називається безліч всіх упорядкованихпар, у яких. У нашому прикладі:
– тут схема запису аналогічна: спочатку до «мінус одиниці» послідовно приєднуємо всі елементи множини, потім до «де» – ті самі елементи:

Але це чисто для зручності – і в тому, і в іншому випадку пари можна перерахувати у будь-якому порядку – тут важливо записати всіможливі пари.

А тепер цвях програми: декартовий твір – це не що інше, як безліч точок нашої рідної декартової системи координат .

Завданнядля самостійного закріплення матеріалу:

Виконати операції, якщо:

Безліч зручно розписати перерахуванням його елементів.

І пунктик із проміжками дійсних чисел:

Нагадую, що квадратна дужка означає включеннячисла в проміжок, а кругла – його невключення, тобто «мінус одиниця» належить множині, а «трійка» неналежить безлічі. Постарайтеся розібратися, що є декартовим добутком цих множин. Якщо виникнуть труднощі, виконайте креслення;)

Короткий розв'язок задачі в кінці уроку.

Відображення множин

Відображеннябезлічі у безліч – це правило, За яким кожному елементу множини ставиться у відповідність елемент (або елементи) множини . Якщо у відповідність ставиться єдинийелемент, то це правило називається однозначно визначеноюфункцією чи просто функцією.

Функцію, як багато хто знає, найчастіше позначають буквою – вона ставить у відповідність кожномуелементу єдине значення, що належить множині.

Ну а зараз я знову потурбую безліч студентів 1-го ряду і запропоную їм 6 тем для рефератів (множина):

Встановлене (добровільно чи примусово =))правило ставить у відповідність кожному студенту множини єдину тему реферату множини.

…а ви, напевно, і уявити не могли, що зіграєте роль аргументу функції =) =)

Елементи множини утворюють область визначенняфункції (позначається через ), а елементи множини – область значеньфункції (позначається через ).

Побудоване відображення множин має дуже важливу характеристику: воно є взаємно-однозначнимабо бієктивним(Бієкцією). У цьому прикладі це означає, що кожномустуденту поставлено у відповідність одна унікальнатема реферату, і назад за кожноютемою реферату закріплено один і лише один студент.

Однак не слід думати, що будь-яке відображення є бієктивним. Якщо на 1-й ряд (до множини) додати 7-го студента, то взаємно-однозначна відповідність пропаде – або один із студентів залишиться без теми (Відображення не буде взагалі), або якась тема дістанеться відразу двом студентам. Зворотна ситуація: якщо до безлічі додати сьому тему, то взаємнооднозначність відображення теж буде втрачена – одна з тем залишиться незатребуваною.

Шановні студенти на 1-му ряду, не засмучуйтесь - решта 20 людей після пар підуть прибирати територію університету від осіннього листя. Завгосп видасть двадцять голиків, після чого буде встановлена ​​взаємно-однозначна відповідність між основною частиною групи та мітлами…, а Вольдемар ще й до магазину збігати встигне =)). унікальний«Ігрек», і навпаки – за будь-яким значенням «Ігрек» ми зможемо однозначно відновити «ікс». Отже, це бієктивна функція.

! Про всяк випадок ліквідую можливе непорозуміння: моє постійне застереження про область визначення не випадкове! Функція може бути визначена далеко не за всіх "ікс", і, крім того, може бути взаємно-однозначною і в цьому випадку. Типовий приклад:

А ось у квадратичної функції немає нічого подібного, по-перше:
– тобто, різні значення «ікс» відобразилися в одне і тежзначення «гравець»; і по-друге: якщо хтось обчислив значення функції і повідомив нам, що , то не зрозуміло - цей «гравець» отриманий при або за ? Що й казати, взаємною однозначністю тут навіть не пахне.

Завдання 2: переглянути графіки основних елементарних функційта виписати на листок бієктивні функції. Список для звіряння наприкінці цього уроку.

Потужність множини

Інтуїція нагадує, що термін характеризує розмір безлічі, саме кількість його елементів. І інтуїція нас не дурить!

Потужність порожньої множини дорівнює нулю.

Потужність множини дорівнює шести.

Потужність безлічі букв російського алфавіту дорівнює тридцяти трьох.

І взагалі – потужність будь-якого кінцевогомножини дорівнює кількості елементів даної множини.

...Можливо, не всі до кінця розуміють, що таке кінцевебезліч – якщо почати перераховувати елементи цієї множини, то рано чи пізно рахунок завершиться. Що називається, і китайці колись закінчаться.

Само собою, множини можна порівнювати за потужністю та їх рівність у цьому сенсі називається рівнопотужністю. Рівнопотужність визначається так:

Дві множини є рівносильними, якщо між ними можна встановити взаємно-однозначну відповідність.

Безліч студентів рівномірно безлічі тем рефератів, безліч букв російського алфавіту рівносильно будь-якій безлічі з 33 елементів і т.д. Зауважте, що саме будь-комубезлічі з 33 елементів – у разі має значення лише їх кількість. Літери російського алфавіту можна порівняти не тільки з безліччю номерів
1, 2, 3, …, 32, 33, але й взагалі зі стадом у 33 корови.

Набагато цікавіше справи з нескінченними множинами. Нескінченності теж бувають різними! ...зеленими і червоними «найменші» нескінченні множини – це рахунковімножини. Якщо дуже просто, елементи такої множини можна пронумерувати. Еталонний приклад – це безліч натуральних чисел . Так – воно нескінченне, проте кожен його елемент у ПРИНЦИПІ має номер.

Прикладів дуже багато. Зокрема, лічильним є безліч всіх парних натуральних чисел . Як це довести? Потрібно встановити його взаємно-однозначну відповідність з безліччю натуральних чисел або просто пронумеровувати елементи:

Взаємно-однозначне відповідність встановлено, отже, множини рівносильні і безліч лічильно. Парадоксально, але з погляду потужності – парних натуральних чисел стільки ж, скільки й натуральних!

Безліч цілих чисел теж лічимо. Його елементи можна занумерувати, наприклад, так:

Більше того, лічимо і безліч раціональних чисел . Оскільки чисельник – це ціле число (а їх, як щойно показано, можна пронумерувати), а знаменник – натуральне число, то рано чи пізно ми «доберемося» до будь-якого раціонального дробу і надамо їй номер.

А ось безліч дійсних чисел уже незліченно, тобто. його елементи пронумерувати неможливо. Цей факт хоч і очевидний, проте суворо доводиться теоретично множин. Потужність безлічі дійсних чисел також називають континуумом, і в порівнянні з лічильними множинами це «більш нескінченне» безліч.

Оскільки між безліччю та числовою прямою існує взаємно-однозначна відповідність (див. вище), то безліч точок числової прямої теж незліченно. І більше того, що на кілометровому, що на міліметровому відрізку – точок стільки ж! Класичний приклад:


Повертаючи промінь проти годинникової стрілки до його суміщення з променем, ми встановимо взаємно-однозначну відповідність між точками синіх відрізків. Таким чином, на відрізку стільки ж точок, скільки і на відрізку і !

Цей парадокс, мабуть, пов'язаний із загадкою нескінченності… але ми зараз не забиватимемо голову проблемами світобудови, бо на черзі

Завдання 2 Взаємно-однозначні функції на ілюстраціях уроку

Вирішення деяких математичних завдань змушує знаходити перетин та об'єднання числових множин. Ми вже познайомилися з прийнятими позначеннями числових множин, а в цій статті ми ретельно і на прикладах розберемося зі знаходженням перетину та об'єднання числових множин. Ці навички стануть у нагоді, зокрема, у процесі розв'язання нерівностейз однією змінною та їх систем.

Навігація на сторінці.

Найпростіші випадки

Під найпростішими випадками ми розумітимемо знаходження перетину та об'єднання числових множин, які є набором окремих чисел. У цих випадках достатньо використати визначення перетину та об'єднання множин.

Нагадаємо, що

Визначення.

об'єднаннямдвох множин є безліч, кожен елемент якого є елементом будь-якої з вихідних множин, а перетиноммножин називається безліч, що складається з усіх загальних елементів вихідних множин.

З цих визначень нескладно отримати такі правила знаходження перетину та об'єднання множин:

• Для того щоб скласти об'єднання двох числових множин, що містять кінцеве число елементів, потрібно записати всі елементи однієї множини і до них дописати елементи, що відсутні, з другого.
• Для того, щоб скласти перетин двох числових множин, треба послідовно брати елементи першої множини і перевіряти, чи вони належать другій множині, ті з них, які належать, і будуть складати перетин.

Дійсно, отримане за першим правилом безліч складатиметься з усіх елементів, що належать хоча б одному з вихідних множин, тому буде об'єднанням цих множин за визначенням. А множина, складена за другим правилом, міститиме всі загальні елементи вихідних множин, тобто буде перетином вихідних множин.

Розглянемо на конкретних прикладах застосування озвучених правил для знаходження перетину та об'єднання множин.

Наприклад, нехай потрібно знайти об'єднання числових множин A = (3, 5, 7, 12) і B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). Записуємо всі елементи, наприклад, множини A , маємо 3 , 5 , 7 , 12 і до них додаємо відсутні елементи множини B , тобто, 2 , 8 , 11 і 13 , в результаті маємо числове безліч (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Чи не завадить упорядкувати елементи отриманої множини, в результаті отримуємо шукане об'єднання: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Тепер знайдемо перетин двох числових множин з попереднього прикладу A = (3, 5, 7, 12) і B = (2, 5, 8, 11, 12, 13) . Згідно з правилом, будемо послідовно перебирати елементи першої множини A і перевіряти, чи вони входять до множини B . Беремо перший елемент 3 він не належить множині B , отже, він не буде і елементом шуканого перетину. Беремо другий елемент множини A , це число 5 . Воно належить множині B, тому належить і перетину множин A і B. Так знайдено перший елемент шуканого перетину – число 5 . Переходимо до третього елемента множини A це число 7 . Воно не належить B, отже, не належить і перетину. Нарешті залишився останній елемент множини A – число 12 . Воно належить множині B , отже, є і елементом перетину. Отже, перетин множин A=(3, 5, 7, 12) і B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) – це безліч, що складається з двох елементів 5 і 12 , тобто, A∩B = (5, 12).

Як Ви помітили, вище ми говорили про знаходження перетину та об'єднання двох числових множин. Що ж до перетину та об'єднання трьох і більшої кількості множин, то його знаходження можна звести до послідовного знаходження перетину та об'єднання двох множин. Наприклад, щоб знайти перетин трьох множин A , B і D можна спочатку знайти перетин A і B , після чого знайти перетин отриманого результату з безліччю D . А тепер конкретно: візьмемо числові множини A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) і D = (7, 9, 1, 3) і знайдемо їх перетин . Маємо A∩B=(9, 21) , а перетин отриманої множини з множиною D є (9) . Таким чином, A∩B∩D=(9) .

Однак на практиці для знаходження перетину трьох, чотирьох і т.д. найпростіших числових множин, що складаються з кінцевого числа окремих чисел, зручно використовувати правила, схожі з вищезазначеними правилами.

Так, щоб отримати об'єднання трьох і більшого числа множин зазначеного типу, треба до числа першої числової множини додати числа другого, до записаних чисел додаємо відсутні числа третього множини і так далі. Щоб пояснити цей момент візьмемо числові множини A = (1, 2), B = (2, 3) і D = (1, 3, 4, 5). До елементів 1 і 2 числової множини A додаємо недостатнє число 3 множини B , отримуємо 1 , 2 , 3 , і до цих чисел додаємо числа 4 і 5 множини D , що відсутні, в результаті отримуємо потрібне нам об'єднання трьох множин: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5).

Що ж до знаходження перетину трьох, чотирьох тощо. Чисельних множин, що складаються з кінцевого числа окремих чисел, потрібно послідовно перебрати числа першої множини і перевіряти, чи належить число, що перевіряється кожному з інших множин. Якщо так, то це число є елементом перетину, якщо ні – не є. Тут лише зауважимо, що доцільно в якості першого брати множину з найменшим числом елементів. Як приклад візьмемо чотири числові множини A=(3, 1, 7, 12, 5, 2) , B=(1, 0, 2, 12) , D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) і знайдемо їх перетин. Очевидно, безліч B містить найменше елементів, тому для знаходження перетину вихідних чотирьох множин будемо брати елементи множини B і перевіряти, чи входять вони в інші множини. Отже, беремо 1 це число є елементами і безлічі A , і D і E , так що це перший елемент шуканого перетину. Беремо другий елемент множини B – це нуль. Це число не є елементом множини A, тому не буде елементом перетину. Перевіряємо третій елемент множини B – число 2 . Це число є елементом всіх інших множин, тому є другим знайденим елементом перетину. Нарешті, залишається четвертий елемент множини B . Це число 12 воно не є елементом множини D , тому, не є і елементом шуканого перетину. У результаті маємо A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Координатна пряма та числові проміжки як об'єднання їх частин

У нашому прикладі маємо записи

І

для перетину та об'єднання числових множин відповідно.

Далі зображують ще одну координатну пряму, її зручно розташувати під наявними. На ній зображатиметься перетин або об'єднання. На цій координатній прямій відзначають усі граничні точки вихідних числових множин. При цьому ці точки спочатку відзначають рисками, пізніше, коли буде з'ясований характер точок з цими координатами, риси будуть замінені виколотими або невиколотими точками. У нашому випадку це точки з координатами −3 та 7 .
Маємо

і

Точки, зображені на нижній координатній прямій попередньому кроці алгоритму, дозволяють розглядати координатну пряму як набір числових проміжків і точок, що ми говорили в . У нашому випадку координатну пряму розглядаємо як набір наступних п'яти числових множин: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

І залишається лише по черзі перевірити входження кожної із записаних множин у перетин або об'єднання. Всі зроблені висновки поетапно відзначаються на нижній координатній прямій: якщо проміжок входить у перетин або об'єднання, то над ним зображується штрихування, якщо точка входить у перетин або об'єднання, то штрих, що позначає її, замінюємо на суцільну точку, якщо не входить - то робимо її виколотою. При цьому слід дотримуватись таких правил:

• проміжок включається в перетин, якщо він одночасно включений і в безліч A і в безліч B (іншими словами, якщо є штрихування над цим проміжком над обома верхніми координатними прямими, що відповідають множинам A і B);
• точка включається в перетин, якщо вона одночасно входить і до множини A , і до множини B (іншими словами, якщо ця точка є невиколотою або внутрішньою точкою будь-якого інтервалу обох числових множин A і B );
• проміжок входить в об'єднання, якщо він входить хоча б в одну з множин A або B (іншими словами, якщо є штрихування над цим проміжком хоча б над однією з координатних прямих, що відповідають множинам A і B);
• точка входить в об'єднання, якщо вона входить хоча б в одну з множин A або B (іншими словами, якщо ця точка невиколота або внутрішня точка якогось інтервалу хоча б однієї з множин A і B).

Простіше кажучи, перетин числових множин A і B є об'єднанням всіх числових проміжків множин A і B , над якими одночасно є штрихування, і всіх окремих точок, що належать одночасно і A , і B . А об'єднання двох числових множин є об'єднання всіх числових проміжків, над якими є штрихування хоча б у однієї з множин A або B, а також усіх окремих окремих точок.

Повертаємось до нашого прикладу. Закінчимо перебування перетину множин. Для цього послідовно перевірятимемо множини (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Починаємо з (−∞, −3) для наочності виділимо його на кресленні:

Цей проміжок не включаємо в перетин, що шукається, так як він не включений ні в A , ні в B (над цим проміжком немає штрихування). Так на цьому кроці нічого на нашому кресленні не відзначаємо і він зберігає свій початковий вигляд:

Переходимо до наступної множини (−3) . Число −3 належить множині B (це невиколота точка), але вочевидь не належить множині A , тому належить і шуканому перетину. Тому на нижній координатній прямій робимо точку з координатою −3 виколотою:

Перевіряємо таку множину (−3, 7) .

Воно входить до множини B (над цим інтервалом є штрихування), але не входить до множини A (над цим інтервалом немає штрихування), тому не входитиме і в перетин. Отже, на нижній координатній прямій нічого не відзначаємо:

Переходимо до множини (7) . Воно включено до множини B (точка з координатою 7 є внутрішньою точкою проміжку [−3, +∞)) , але не включено до множини A (ця точка виколота), тому воно не буде включено і до перетину. Зазначаємо точку з координатою 7 як виколоту:

Залишається перевірити проміжок (7, +∞).

Він входить і до множини A , і до множини B (над цим проміжком є ​​штрихування), тому входить і в перетин. Ставимо штрихування над цим проміжком:

У результаті нижньої координатної прямої ми отримали зображення шуканого перетину множин A=(7, +∞) і B=[−3, +∞) . Вочевидь, воно є безліч всіх дійсних чисел, більших семи, тобто, A∩B=(7, +∞) .

Тепер знайдемо об'єднання множин A та B . Починаємо послідовну перевірку множин (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) щодо їх включення до об'єднання двох числових множин A і B .

Перша множина (−∞, −3) не входить ні в A , ні в B (над цим проміжком немає штрихування), тому ця множина не входитиме і в об'єднання:

Безліч (−3) входить до множини B , тому входитиме і до об'єднання множин A і B :

Інтервал (−3, 7) теж входить до B (є штрихування над цим інтервалом), отже, він буде складовою об'єднання:

Безліч (7) теж входитиме в шукане об'єднання, так як воно входить до числа B :

Нарешті, (7, +∞) входить і до множини A , і до множини B , отже, входитиме і в об'єднання:

За отриманим зображенням об'єднання множин A і B укладаємо, що A∩B=[−3, +∞) .

Здобувши деякий практичний досвід, перевірку входження окремих проміжків і чисел до складу перетину чи об'єднання можна буде проводити усно. Завдяки цьому Ви зможете дуже швидко записувати результат. Покажемо, як виглядатиме рішення прикладу, якщо не даватиме пояснення.

приклад.

Знайдіть перетин та об'єднання множин A=(−∞, −15)∪(−5)∪∪(12)і B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Рішення.

Зобразимо дані числові множини на координатних прямих, це дозволить нам отримати зображення їхнього перетину та об'єднання:

Відповідь:

A∩B=(−20, −15)∪(−5)∪(2, 3)і A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Зрозуміло, що за належного розуміння озвучений вище алгоритм можна оптимізувати. Наприклад, при знаходженні перетину множин немає необхідності в перевірці всіх проміжків і множин, що складаються з окремих чисел, на які розбивають координатну пряму граничні точки вихідних множин. Можна обмежитися перевіркою лише проміжків і чисел, які становлять безліч A чи B . Інші проміжки все одно не входитимуть у перетин, тому що не належать одному з вихідних множин. Проілюструємо сказане, розібравши рішення прикладу.

приклад.

Яким є перетин числових множин A=(−2)∪(1, 5) і B=[−4, 3] ?

Рішення.

Побудуємо геометричні образи числових множин A і B:

Граничні точки заданих множин розбивають числову пряму на такі множини: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , (1) , (1 , 3) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Нескладно помітити, що число A можна «зібрати» з щойно записаних множин, об'єднавши (-2) , (1, 3) , (3) і (3, 5) . Для знаходження перетину множин A і B достатньо перевірити, чи включені останні множини до множини B . Ті з них, які включені до B , і становитимуть перетин. Виконаємо відповідну перевірку.

Очевидно, (−2) входить до множини B (оскільки точка з координатою −2 є внутрішньою точкою відрізка [−4, 3]) . Інтервал (1, 3) теж входить до B (над ним є штрихування). Безліч (3) також входить у B (точка з координатою 3 є граничною та невиколотою множини B ). А інтервал (3, 5) не входить до числа B (над ним немає штрихування). Відзначивши зроблені висновки на кресленні, він набуде такого вигляду

Таким чином, шукане перетин двох вихідних числових множин A і B являє собою об'єднання наступних множин (−2) , (1, 3) , (3) , яке можна записати як (−2)∪(1, 3) .

Відповідь:

{−2}∪(1, 3] .

Залишається лише обговорити, як знаходити перетин та об'єднання трьох та більшої кількості числових множин. Це завдання можна звести до послідовного знаходження перетину та об'єднання двох множин: спочатку першого з другим, далі отриманого результату з третім, далі отриманого результату з четвертим і так далі. А можна використовувати алгоритм, аналогічний до вже озвученого. Єдина його відмінність у тому, що перевірку входження проміжків і множин, що складаються з окремих чисел, потрібно проводити не по двох, а по всіх вихідних множинах. Розглянемо приклад знаходження перетину та об'єднання трьох множин.

приклад.

Знайдіть перетин та об'єднання трьох числових множин A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Рішення.

Спочатку, як завжди, зображуємо числові множини на координатних прямих, і ставимо зліва від них фігурну дужку, що позначає перетин, і квадратну дужку для об'єднання, а знизу зображуємо координатні прямі з граничними точками числових множин, що відмічені штрихами:

Так координатна пряма виявляється представлена ​​числовими множинами (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) , (40) , (40, ∞).

Починаємо пошук перетину, для цього по черзі дивимося, чи входять записані множини в кожну з множин A, B і D. У всі три вихідні числові множини входить інтервал (-3, 12) і безліч (12) . Вони і становлять шукане перетин множин A, B і D. Маємо A∩B∩D=(−3, 12] .

У свою чергу шукане об'єднання складатимуть множини (−∞, −3) (входить до A ), (−3) (входить до A ), (−3, 12) (входить до A ), (12) (входить до A ) ), (12, 25) (входить до B), (25) (входить до B) і (40) (входить до D). Таким чином, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Відповідь:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

На закінчення зауважимо, що перетин числових множин часто є порожнім безліччю. Це відповідає випадкам, коли вихідні множини не мають елементів, що одночасно належать всім їм.

(10, 27), (27), (27, +∞). Жодна із записаних множин одночасно не входить у чотири вихідні множини, а це означає, що перетин множин A, B, D і E є порожнім множин.

Відповідь:

A∩B∩D∩E=∅.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.