Золотий перетин– це такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні частини, у якому менший відрізок так належить до більшого, як більший до всього.

a: b = b: cабо з: b = b: а.

Ця пропорція дорівнює:

Наприклад, у правильній п'ятикутній зірці, кожен сегмент ділиться сегментом, що його перетинає, в золотому перерізі (тобто відношення синього відрізка до зеленого, червоного до синього, зеленого до фіолетового, рівні 1.618

Прийнято вважати, що поняття про золотий переріз ввів у науковий побут Піфагор. Є припущення, що Піфагор своє знання запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їхнього створення.

1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинг опублікував свій праця «Естетичні дослідження».
Цейзинг виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон.

Золоті пропорції у частинах тіла людини

Поділ тіла точкою пупу – найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6.

У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій.
Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла – довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо.
Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш детально він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри.

Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзінг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу.

Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. (або 1.618 , якщо ділити більше на менше).

Ряд Фібоначчіміг би залишитися лише математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного вираження закону золотого перетину.

Золотий перетин у мистецтві

Ще в 1925 році мистецтвознавець Л.Л. золотого перерізу.

Причому, чим талановитіший композитор, тим більше його творів знайдено золотих перерізів. У Аренського, Бетховена, Бородіна, Гайдна, Моцарта, Скрябіна, Шопена та Шуберта золоті перерізи знайдено у 90% усіх творів. На думку Сабанєєва, золотий перетин призводить до враження особливої ​​стрункості музичного твору.

У кіно С. Ейзенштейн штучно збудував фільм Броненосець Потьомкін за правилами «золотого перерізу». Він розбив стрічку п'ять частин. У перших трьох дія розгортається кораблем. У двох останніх – в Одесі, де розгортається повстання. Цей перехід у місто відбувається точно у точці золотого перетину. Та й у кожній частині є свій перелом, що відбувається за законом золотого перетину.

Золотий перетин в архітектурі, скульптурі, живописі

Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.).

На малюнках видно низку закономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф = 0,618.

На плані статі Парфенона можна помітити " золоті прямокутники " :

Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі), і в піраміді Хеопса:

Не тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу; те саме явище виявлено і в мексиканських пірамід.

Золота пропорція застосовувалась багатьма античними скульпторами. Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.

Переходячи до прикладів “золотого перерізу” у живописі, не можна не зупинити своєї уваги творчості Леонардо да Вінчі. Подивимося уважно на картину "Джоконда". Композиція портрета побудована на "золотих трикутниках".

Золотий переріз у шрифтах та побутових предметах

Золотий перетин у живій природі

У біологічних дослідженнях було показано, що, починаючи з вірусів і рослин і закінчуючи організмом людини, скрізь виявляється золота пропорція, що характеризує пропорційність та гармонійність їхньої будови. Золотий переріз визнано універсальним законом живих систем.

Було встановлено, що число число Чибо Фібоначчі характеризує структурну організацію багатьох живих систем. Наприклад, гвинтове листорозташування на гілці становить дріб (кількість обертів на стеблі/число листя в циклі, напр. 2/5; 3/8; 5/13), відповідну рядам Фібоначчі.

Добре відома "золота" пропорція п'ятипелюсткових квіток яблуні, груші та багатьох інших рослин. Носії генетичного коду – молекули ДНК та РНК – мають структуру подвійної спіралі; її розміри майже повністю відповідають числам ряду Фібоначчі.

Ґете підкреслював тенденцію природи до спіральності.

Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю.

Гете називав спіраль "кривої життя". Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо.

Квітки і насіння соняшника, ромашки, лусочки в плодах ананаса, хвойних шишках "упаковані" за логарифмічними ("золотими") спіралями, що завиваються назустріч один одному, причому числа "правих" та "лівих" спіралей завжди ставляться один до одного, як сусідні Фібоначчі.

Розглянемо втечу цикорію. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид.

Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

У багатьох метеликів співвідношення розмірів грудної та черевної частини тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто розвести крила, і ви побачите той самий принцип членування тіла на 2,3,5,8. Бабка також створена за законами золотої пропорції: відношення довжин хвоста і корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

У ящірці довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38. Можна помітити золоті пропорції, якщо уважно подивитися на птахове яйце.

На практиці при виборі формату аркуша (картини) часто використовують «класичні» пропорції сторін прямокутника, в якому відношення меншої до більшої сторони становить число 0,6180339, а більшої до меншої — 1,6180339. Ці числа з найдавніших часів називають золотими, а відношення величин, необхідне їх отримання, відоме як золота пропорція чи золотий перетин.

Основа вчення про гармонію світу, виражена в числових відносинах, була закладена давньогрецьким вченим-математиком Піфагором (VI ст до н.е.). Їм представлено золотий перетин як із закономірностей, математично точно визначає найкрасивіше і гармонійне співвідношення частин цілого, поділеного на дві нерівні половини.

На співвідношенні частин відрізка у пропорціях золотого перерізу заснована побудова прямокутника. За допомогою діагоналей здійснюється членування його на складові, при якому утворюється динаміка пропорційних фігур - квадрата, прямокутника, а також прямокутного і рівнобедреного трикутників.

Т.ч., використовуючи діагоналі можна отримати послідовний ряд прямокутників, що збільшуються, із співвідношенням сторін — 1:√2, 1:√3, 1:√4, 1:√5, похідних від квадрата.

При стороні √4 утворюється прямокутник із подвоєним квадратом. При стороні √3 утворюється два прямокутні трикутники, у яких загальна гіпотенуза є діагоналлю прямокутника, що дорівнює подвоєній величині меншого катета (тобто стороні квадрата), і вони мають гострі кути 30 і 60 градусів.

Діагональ використовується і в побудові квадратів, що послідовно збільшуються, створюють «динамічний» розвиток їх величини.

У цій побудові сторона кожного наступного квадрата відноситься до сторони попереднього, як діагональ квадрата до його сторони. Ці перетворення іноді називають активним квадратом.

Геометрична система динамічних пропорцій квадрата, прямокутника та трикутника були основою у створенні архітектурних споруд у ранній період Стародавнього Єгипту. Крім того, в умовах примітивної техніки архітектурного будівництва в ті далекі часи постійно потрібно відновлення перпендикуляра до прямої, яке здійснювалося тоді за допомогою мотузки з 12 вузлами. З використанням такого пристосування виходив прямокутний трикутник із ставленням строно – 3:4:5, який згодом стали називати єгипетським. В даний час на його основі будують прямі кути та проводять перпендикуляри до кінця відрізка.

З найдавніших часів золотий переріз використовують у практиці побудови різних зображень. Це сприяє створенню гармонійних образів і врівноваженості пропорцій у всьому, що оточує. Пропорції золотого перерізу присутні в мамематиці, і особливо в геометрії, в образотворчому мистецтві, у побуті та в природі, у рослинному та тваринному світі.

Золотий перетин набув широкого розвитку в математиці. Так, у XVI столітті італійський учений Фібоначчі побудував математичний ряд цифр, при якому наступне число визначає суму двох попередніх - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. Крім того, встановлюється й інша залежність цих чисел, при якій відношення кожного наступного до попереднього виражається числом 1618 ..., а попереднього до наступного - 0618. Таким чином, у цьому математичному ряду утворюється взаємозв'язок чисел, що містить пропорції золотого перерізу.

Особливо часто золотий переріз використовується в геометрії при розподілі кола на рівні частини та побудові правильних багатокутників.

У зірчастому багатокутнику - п'ятикутній зірці, кожна точка перетину її сторін ділить їх у дві нерівні частини у пропорціях золотого перерізу.

З найдавніших часів золотий переріз застосовувався у різних видах образотворчого мистецтва - в архітектурі, вкульптурі, живопису. Парфенон – класичний приклад застосування золотого перерізу в архітектурі.

Особливо широко використовував у творчості співвідношення величин золотого перетину Леонардо да Вінчі, яке він назвав «божественна пропорція».

Числовій гармонії золотого перерізу підпорядковуються також античні статуї грецького мистецтва, що відбивають пропорції ідеально складеного людського тіла.

Золотий переріз застосовують у накресленні літер та цифр різного шрифту.

Золотий переріз часто використовують у визначенні величини прямокутника при заданій більшій або меншій стороні. Якщо прямокутної картини задана довжина (АВ), її висоту (АС) визначають наступним побудовою:

Спочатку з кінця відрізка (В) проводять дугу, що дорівнює його половині до перетину з перпендикуляром (АТ = ОВ = ВД). Отриману точку Д з'єднують прямий з іншим кінцем відрізка (А). Потім з точки Д проводять дугу радіусом ВД до перетину з цією прямою і відзначають точку Е. Дуга, проведена з кінця відрізка А радіусом АЕ визначає вертикальну пряму точку З і висоту шуканої картини АС.

Якщо задана висота картини (АС), її довжину (АВ) визначають іншим побудовою. Спочатку будують квадрат АСДЕ зі стороною, що дорівнює АС. Потім із середини сторони квадрата (О) проводять дугу радіусом ОД і отримують на горизонтальній прямій точку, яка визначить шукану довжину сторони прямокутної картини АВ.

По прямокутнику із золотими пропорціями можна побудувати будь-який величинний подібний формат листа.

Для цього його накладають на аркуш паперу в один із його кутів (А) і проводять у ньому діагональ. Потім від точки А відкладають заданий розмір горизонтальної або вертикальної сторони формату листа і через кінець проводять перпендикуляр до перетину з діагоналлю, яка визначить другу сторону прямокутника.

Золотий перетин – це простий принцип, який допоможе зробити дизайн приємним для візуального сприйняття. У цій статті ми докладно розповімо, як і навіщо його використовувати.

Поширена в природі математична пропорція, звана Золотий перетин, або Золота середина, заснована на Послідовності Фібоначчі (про яку ви, швидше за все, чули в школі, або читали в книзі Дена Брауна «Код да Вінчі»), і має на увазі співвідношення сторін 1 :1,61.

Таке співвідношення часто зустрічається в нашому житті (черепашки, ананаси, квіти і т.д.) і тому сприймається людиною як щось природне, приємне погляду.

→ Золотий переріз – це взаємозв'язок між двома числами у послідовності Фібоначчі
→ Побудова цієї послідовності у масштабі дає спіралі, які можна побачити у природі.

Вважається, що Золотий перетин використовується людством у мистецтві та дизайні вже понад 4 тисячі років, а можливо навіть більше, якщо вірити вченим, які стверджують, що стародавні Єгиптяни використовували цей принцип при будівництві пірамід.

Відомі приклади

Як ми вже говорили, Золотий перетин можна бачити протягом усієї історії мистецтва та архітектури. Ось деякі приклади, які лише підтверджують обґрунтованість використання цього принципу:

Архітектура: Парфенон

У давньогрецькій архітектурі Золотий перетин використовувався для обчислення ідеальної пропорції між висотою та шириною будівлі, розмірів портика, і навіть відстані між колонами. Надалі цей принцип був успадкований архітектурою неокласицизму.

Мистецтво: таємна вечеря

Для художників композиція – основа засад. Леонардо да Вінчі, як і багато інших художників, керувався принципом Золотого перетину: у Тайній Вечері, наприклад, постаті учнів розташовані в нижніх двох третинах (більше з двох частин Золотого перетину), а Ісус поміщений строго по центру між двома прямокутниками.

Веб-дизайн: редизайн Twitter у 2010

Креативний директор Twitter Дуг Боуман (Doug Bowman) опублікував скріншот у своєму акаунті Flickr, пояснюючи використання принципу Золотого перетину для редизайну 2010 року. "Всі, хто цікавиться #NewTwitter пропорціями - знайте, все зроблено не просто так", - сказав він.

Apple iCloud

Іконка сервісу iCloud теж зовсім не випадковий малюнок. Як пояснив Такамас Мацумото у своєму блозі (оригінальна японська версія) все побудовано на математиці Золотого перерізу, анатомію якого можна побачити на малюнку праворуч.

Як збудувати Золотий перетин?

Побудова відбувається досить просто, і починається з основного квадрата:

Намалюйте квадрат. Це сформує довжину "короткої сторони" прямокутника.

Розділіть квадрат навпіл вертикальною лінією так, щоб вийшли два прямокутники.

В одному прямокутнику намалюйте лінію, поєднавши протилежні кути.

Розгорніть цю лінію горизонтально так, як показано на малюнку.

Створіть ще один прямокутник, використовуючи горизонтальну лінію, яку ви малювали у попередніх кроках як основу. Готово!

«Золоті» інструменти

Якщо креслити та виміряти не ваше улюблене заняття, надайте всю «чорну роботу» інструментам, які розроблені спеціально для цього. За допомогою наведених нижче 4-х редакторів ви легко знайдете Золотий перетин!

Програма GoldenRATIO допомагає розробляти веб-сайти, інтерфейси та макети відповідно до Золотого Перетину. Воно доступне в Mac App Store за $ 2,99, і має вбудований калькулятор з візуальним зворотним зв'язком, і зручну функцію «Вибране», в якій зберігаються настройки для завдань, що повторюються. Сумісно з Adobe Photoshop.

Цей калькулятор, який допоможе вам створити ідеальну друкарню для сайту відповідно до принципів Золотої пропорції. Просто введіть розмір шрифту, ширину вмісту в полі на сайті та натисніть «Set my type»!

Це простий і безкоштовний додаток для Mac та PC. Просто введіть число, і він розрахує йому пропорцію відповідно до правилом Золотого перерізу.

Зручна програма, яка позбавить вас необхідності розрахунків і малювання сіток. З нею знайти ідеальні пропорції найпростіше! Працює з усіма графічними редакторами, зокрема Photoshop. Незважаючи на те, що платний інструмент – 49$, є можливість протестувати пробну версію протягом 30 днів.

Геометрія - точна і досить складна наука, яка при цьому є своєрідним мистецтвом. Лінії, площини, пропорції – все це допомагає створювати багато справді прекрасних речей. І як не дивно, в основі цього лежить саме геометрія в різних її формах. У цій статті ми розглянемо одну дуже незвичайну річ, яка безпосередньо пов'язана із цим. Золотий перетин - це саме той геометричний підхід, про який йтиметься.

Форма предмета та її сприйняття

Люди найчастіше орієнтуються на форму предмета, щоб розпізнавати його серед мільйонів інших. Саме формою ми визначаємо, що з річ лежить маємо чи стоїть вдалині. Ми насамперед дізнаємося людей за формою тіла та обличчя. Тому з упевненістю можемо стверджувати, що сама форма, її розміри та вигляд – одна з найважливіших речей у сприйнятті людини.

Для людей форма будь-чого представляє інтерес з двох головних причин: або це диктується життєвою необхідністю, або ж викликається естетичною насолодою від краси. Найкраще зорове сприйняття та відчуття гармонії та краси найчастіше приходить, коли людина спостерігає форму, у побудові якої використовувалися симетрія та особливе співвідношення, яке і називається золотим перетином.

Поняття золотого перерізу

Отже, золотий перетин - це золота пропорція, яка також є гармонійним поділом. Щоб пояснити це зрозуміліше, розглянемо деякі особливості форми. А саме: форма є чимось цілим, а ціле, у свою чергу, завжди складається з деяких частин. Ці частини, швидше за все, мають різні характеристики, принаймні різні розміри. Ну а такі розміри завжди знаходяться у певному співвідношенні як між собою, так і по відношенню до цілого.

Отже, інакше кажучи, ми можемо стверджувати, що золотий перетин - це співвідношення двох величин, яке має формулу. Використання такого співвідношення при створенні форми допомагає зробити її максимально красивою та гармонійною для людського ока.

З давньої історії золотого перерізу

Співвідношення золотого перерізу часто використовують у різних сферах життя прямо сьогодні. Але історія цього поняття йде ще в давнину, коли тільки зароджувалися такі науки, як математика та філософія. Як наукове поняття золотий перетин узвичаївся за часів Піфагора, саме у VI столітті до нашої ери. Але ще до того знання про подібне співвідношення на практиці використовували в Стародавньому Єгипті та Вавилоні. Яскравим свідченням є піраміди, для побудови яких використовували саме таку золоту пропорцію.

Новий період

Епоха Відродження стала новим диханням для гармонійного поділу, особливо завдяки Леонардо да Вінчі. Це співвідношення все більше почали використовувати як у таких як геометрія, так і в мистецтві. Вчені та художники стали глибше вивчати золотий перетин і створювати книги, що розглядають це питання.

Одна з найважливіших історичних праць, пов'язаних із золотою пропорцією, - це книга Луки Панчолі під назвою "Божественна пропорція". Історики підозрюють, що ілюстрації цієї книги було виконано самим Леонардо до Вінчі.

Математичний вираз золотої пропорції

Математика дає дуже чітке визначення пропорції, яке свідчить, що вона є рівністю двох співвідношень. Математично це можна виразити такою рівністю: а: b = с: d де а, b, с, d - це деякі певні значення.

Якщо розглядати пропорцію відрізка, розділеного на дві частини, то можемо зустріти лише кілька ситуацій:

• Відрізок поділено на дві абсолютно рівні частини, а значить, АВ:АС= АВ:ВС, якщо АВ - це точна початку і кінця відрізка, а С - точка, яка розділяє відрізок на дві рівні частини.
• Відрізок розділений на дві нерівні частини, які можуть перебувати в різному співвідношенні між собою, а значить, тут вони абсолютно непропорційні.
• Відрізок поділено так, що АВ:АС= АС:ВС.

Що ж до золотого перерізу, це такий пропорційний розподіл відрізка на нерівні між собою частини, коли весь відрізок відноситься до більшої частини, як і найбільша частина відноситься до меншої. Існує й інше формулювання: менший відрізок так відноситься до більшого, як і більший до всього відрізку. У математичному співвідношенні це має такий вигляд: а:b = b:с або с:b = b:а. Саме такий вигляд має формула золотого перерізу.

Золота пропорція у природі

Золотий перетин, приклади якого ми зараз розглянемо, відноситься до неймовірних явищ у природі. Це дуже гарні приклади того, що математика - це не просто цифри та формули, а наука, яка має більш ніж реальне відображення у природі та нашому житті взагалі.

Для живих організмів одне з головних життєвих завдань – це зростання. Таке прагнення зайняти своє місце в просторі, по суті, здійснюється в кількох формах - зростання нагору, практично горизонтальне розстилання по землі або закручування по спіралі на певній опорі. І як би це не було неймовірно, багато рослин ростуть відповідно до золотої пропорції.

Ще один майже неймовірний факт – це співвідношення у тілі ящірок. Їхнє тіло виглядає досить приємно для людського ока, і це можливо завдяки тому ж золотому співвідношенню. Якщо бути точніше, то довжина їхнього хвоста відноситься до довжини всього тіла як 62:38.

Цікаві факти про правила золотого перерізу

Золотий перетин - це воістину неймовірне поняття, а значить, упродовж усієї історії ми можемо зустріти багато справді цікавих фактів про таку пропорцію. Представляємо вам деякі з них:

Золотий перетин у людському тілі

У цьому розділі слід згадати дуже значну персону, а саме - С. Цейзінга. Це німецький дослідник, який провів величезну роботу у сфері вивчення золотої пропорції. Він опублікував працю під назвою "Естетичні дослідження". У своїй роботі він представив золотий перетин як абсолютне поняття, що є універсальним всім явищ як у природі, і у мистецтві. Тут можна згадати золотий переріз піраміди поряд із гармонійною пропорцією людського тіла тощо.

Саме Цейзинг зміг довести, що золотий перетин, насправді, є середнім статистичним законом для людського тіла. Це було показано практично, адже під час своєї роботи йому довелося вимірювати дуже багато людських тіл. Історики вважають, що у цьому досвіді брали участь понад дві тисячі людей. За дослідженням Цейзинга, головний показник золотого співвідношення - це розподіл тіла точкою пупка. Так, чоловіче тіло із середнім співвідношенням 13:8 трохи ближче до золотого перерізу, ніж жіноче, де число золотого перерізу становить 8:5. Також золоту пропорцію можна спостерігати в інших частинах тіла, таких як рука.

Про побудову золотого перерізу

Насправді, побудова золотого перерізу – справа нехитра. Як бачимо, ще давні люди справлялися з цим досить легко. Що вже говорити про сучасні знання та технології людства. У цій статті ми не показуватимемо, як подібне можна зробити просто на аркуші паперу та з олівцем у руках, але з упевненістю заявимо, що це, насправді, можливо. Більше того, зробити це можна не одним способом.

Так як це досить нескладна геометрія, золотий переріз досить простий для побудови навіть у школі. Тому інформацію про це можна легко знайти у спеціалізованих книгах. Вивчаючи золотий перетин 6 клас цілком здатний зрозуміти принципи його побудови, отже, навіть діти досить розумні у тому, щоб подужати подібне завдання.

Золота пропорція з математики

Перше знайомство із золотим перетином практично починається з простого поділу відрізка прямий у тих самих пропорціях. Найчастіше це реалізується за допомогою лінійки, циркуля та, звичайно ж, олівця.

Відрізки золотої пропорції виражають як нескінченний ірраціональний дріб AE = 0,618..., якщо АВ приймається за одиницю, ВЕ = 0,382... Для того, щоб зробити ці обчислення більш практичними, дуже часто використовують не точні, а наближені значення, а саме - 0 ,62 та 0,38. Якщо ж відрізок АВ приймати за 100 частин, то більша його частина дорівнюватиме 62, а менша - 38 частинам відповідно.

Головна властивість золотого співвідношення можна виразити рівнянням: х2-х-1=0. При вирішенні ми отримуємо наступне коріння: х 1,2 =. Хоча математика і є точною і строгою наукою, як і її розділ - геометрія, але такі властивості, як закономірності золотого перерізу, наводять таємничість на цю тему.

Гармонія в мистецтві через золотий перетин

Щоб підбити підсумки, розглянемо коротко те, що вже говорили.

В основному під правило золотого співвідношення підпадає багато зразків мистецтва, де дотримується співвідношення близьке до 3/8 та 5/8. Це і є груба формула золотого перетину. У статті вже дуже багато згадувалося приклади використання перерізу, але ми ще раз подивимося на нього через призму стародавнього та сучасного мистецтва. Отже, найяскравіші приклади з давніх часів:

Що стосується вже напевно свідомого використання пропорції, то, починаючи з часів Леонардо да Вінчі, вона увійшла у користування практично у всіх галузях життя - від науки і до мистецтва. Навіть біологія та медицина довели, що золоте співвідношення працює навіть у живих системах та організмах.

Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія будь-яким математичним розрахункам. Звичайно, всі закони краси неможливо вмістити в кілька формул, але, вивчаючи математику, ми можемо відкрити деякі складові прекрасного — золотий перетин. Наше завдання — дізнатися, що таке золотий перетин і встановити, де людство знайшло застосування золотого перетину.

Ви, напевно, звертали увагу, що ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Бе зпорядність, без зформеність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія, сприймаються як гарне і викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій.

Людина у своїй діяльності постійно стикається з предметами, які мають у своїй основі золотий перетин. Є речі, які не можна пояснити. Ось ви підходите до порожньої лавки і сідайте на неї. Де ви сядете? Посередині? Чи, може, з самого краю? Ні, швидше за все, не те й інше. Ви сядете так, що відношення однієї частини лави до іншої щодо вашого тіла дорівнюватиме приблизно 1,62. Проста річ абсолютно інстинктивна... Сідаючи на лаву, ви відтворили «золотий перетин».

Про золотий перетин знали ще у стародавньому Єгипті та Вавилоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть «золотого перетину». Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій — безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт влаштований згідно з «золотим перерізом». Аристотель знайшов відповідність «золотого перерізу» етичному закону. Вищу гармонію «золотого перетину» проповідуватимуть Леонардо да Вінчі та Мікеланджело, адже краса та «золотий перетин» — це те саме. А християнські містики малюватимуть на стінах своїх монастирів пентаграми «золотого перетину», рятуючись від Диявола. При цьому вчені - від Пачолі до Ейнштейна - будуть шукати, але так і не знайдуть його точного значення. Бе зкінцевий ряд після коми - 1,6180339887... Дивна, загадкова, незрозуміла річ - ця божественна пропорція містичним чином супроводжує все живе. Нежива природа не знає, що таке «золотий перетин». Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і у вигляді жуків, і в красивому тілі людини. Усе живе і красиве — все підпорядковується божественному закону, ім'я якому — «золотий перетин». То що таке «золотий перетин»? Що це за ідеальне, божественне поєднання? Можливо, це закон краси? Чи таки він — містична таємниця? Науковий феномен чи етичний принцип? Відповідь невідома досі. Точніше – ні, відомий. «Золотий перетин» — це і той, і другий, і третій. Тільки не окремо, а водночас... І в цьому його справжня загадка, його велика таємниця.

Напевно, важко знайти надійний захід для об'єктивної оцінки самої краси, і однією логікою тут не обійдешся. Однак тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенс життя, хто зробив це своєю професією. Це насамперед люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це й люди точних наук, передусім математики.

Довіряючи оку більше, ніж іншим органам почуттів, Людина в першу чергу вчився розрізняти навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежить поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип золотого перерізу - вищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ — ГАРМОНІЧНА ПРОПОРЦІЯ

У математиці пропорцією називають рівність двох відносин:

Відрізок прямої АВ можна розділити на дві частини такими способами:

• на дві рівні частини - АВ: АС = АВ: ВС;
• на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);
• таким чином, коли АВ: АС = АС: ВС.

Остання і є золотий поділ (перетин).

Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої, тобто менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a:b=b:c або з:b=b:а.

Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство із золотим перерізом починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки.

Розподіл відрізка прямої по золотому перерізу. BC=1/2AB; CD=BC

З точки В відставляється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка С з'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок НД, що закінчується точкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Е поділяє відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються без зкінцевим дробом AE=0,618..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ=0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша за 38 частин.

Властивості золотого перерізу описуються рівнянням:

Розв'язання цього рівняння:

Властивості золотого перерізу створили навколо цього романтичний ореол таємничості і мало не містичного покоління. Наприклад, у правильній п'ятикутній зірці, кожен сегмент ділиться сегментом, що його перетинає, в пропорції золотого перерізу (тобто відношення синього відрізка до зеленого, червоного до синього, зеленого до фіолетового, рівні 1.618).

ДРУГЕ ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ

Таку пропорцію виявлено в архітектурі.

Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється наступним чином. Відрізок АВ ділиться у пропорції золотого перерізу. З точки С відставляється перпендикуляр CD. Радіусом АВ знаходиться точка D, яка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСD ділиться навпіл. З точки проводиться лінія до перетину з лінією AD. Точка Е ділить відрізок AD щодо 56:44.

Розподіл прямокутника лінією другого золотого перерізу

На малюнку показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

ЗОЛОТИЙ ТРИКУТНИК (пентаграма)

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного і низхідного рядів можна скористатися пентаграмою.

Побудова правильного п'ятикутника та пентаграми

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер. Нехай O – центр кола, A – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці Про, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE=ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36 0 при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Проводимо пряму АВ. Від точки А відкладаємо на ній три рази відрізок Про довільну величину, через отриману точку Р проводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі праворуч і ліворуч від точки Р відкладаємо відрізки О. Отримані точки d і d 1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd 1 відкладаємо на лінію Ad 1 отримуючи точку С. Вона розділила лінію Ad 1 в пропорції золотого перерізу. Лініями Ad 1 і dd 1 користуються для побудови золотого прямокутника.

Побудова золотого трикутника

ІСТОРІЯ ЗОЛОТОГО ПЕРЕЧЕННЯ

І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їхнього створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє знайшов, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та у рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Динамічні прямокутники

Платон також знав про золотий поділ. Піфагорієць Тимей в однойменному діалозі Платона каже: «Неможливо, щоб дві речі досконало з'єдналися без третьої, оскільки між ними має з'явитися річ, яка б скріплювала їх. Це найкраще може виконати пропорція, бо якщо три числа мають те властивість, що середнє так відноситься до меншого, як більше до середнього, і, навпаки, менше так відноситься до середнього, як середнє до більшого, то останнє і перше буде середнім, а середнє - першим і останнім. Таким чином, все необхідне буде тим самим, а оскільки воно буде тим самим, воно складе ціле ». Земний світ Платон будує, використовуючи трикутники двох сортів: рівностегнові та нерівностегнові. Прекрасним прямокутним трикутником він вважає такий, у якому гіпотенуза вдвічі більша від меншого з катетів (такий прямокутник є половиною рівностороннього, основної фігури вавилонян, у ньому виступає відношення 1:3 1/2, що відрізняється від золотого перерізу приблизно на 1/25, і зване Тімердінгом. "Суперником золотого перерізу"). За допомогою трикутників Платон будує чотири правильні багатогранники, асоціюючи їх із чотирма земними елементами (землею, водою, повітрям та вогнем). І лише останній із п'яти існуючих правильних багатогранників — додекаедр, усіма дванадцятьма гранями якого є правильні п'ятикутники, претендує на символічне зображення небесного світу.

ІКОСАЕДР І ДОДЕКАЕДР

Честь відкриття додекаедра (чи, як належало, самого Всесвіту, цієї квінтесенції чотирьох стихій, символізованих, відповідно, тетраедром, октаедром, ікосаедром і кубом) належить Гіппасу, який згодом загинув при аварії корабля. У цій фігурі справді відбито безліч стосунків золотого перетину, тому останньому відводилася головна роль у небесному світі, на чому згодом і наполягав брат мінорит Лука Пачолі.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

Античний циркуль золотого перерізу

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда. У 2-й книзі «Початок» дається геометрична побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.

У середні віки пентаграма зазнала демонізації (як, втім, і багато що вважалося божественним в античному язичництві) і знайшла притулок в окультних науках. Проте Відродження знову виносить світ і пентаграму, і золотий перетин. Так, широке ходіння у період утвердження гуманізму набула схема, що описує будову людського тіла.

До такого малюнку, по суті, що відтворює пентаграму, неодноразово вдавався і Леонардо да Вінчі. Її інтерпретація: тіло людини має божественну досконалість, бо закладені в ньому пропорції такі ж, як у головній небесній фігурі. Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу у живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва.

У 1496 р. на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції було видано книгу Луки Пачолі «Про божественну пропорцію» (De divina proportione, 1497, вид. Венеції в 1509 р.) з блискуче виконаними ілюстраціями, зважаючи на те, що їх зробив Леонардо да Він. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Така пропорція лише одна, а єдиність – найвища властивість Бога. У ній втілено святу триєдність. Ця пропорція не може бути виражена доступним числом, залишається прихованою і таємною і самими математиками називається ірраціональною (так і Бог не може бути визначений, ні роз'яснений словами). Бог ніколи не змінюється і представляє все у всьому і все в кожній своїй частині, так і золотий перетин для будь-якої безперервної і певної величини (незалежно від того, велика вона чи мала) одне й те саме, не може бути змінено, ні по- іншому сприйнято розумом. Бог викликав до буття небесну чесноту, інакше звану п'ятою субстанцією, з її допомогою і чотири інші прості тіла (чотири стихії — землю, воду, повітря, вогонь), а на їх основі викликав до буття будь-яку іншу річ у природі; так і наша священна пропорція, згідно з Платоном у «Тимеї», дає формальне буття самому небу, бо йому приписується вид тіла, званого додекаедром, який неможливо побудувати без золотого перетину. Такими є аргументи Пачолі.

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву золотого перетину. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить нариси вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише: «Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я й захотів зробити».

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією поясу, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину обличчя — ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу до значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та його будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, — писав він, — що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд).

Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок m поруч відкладаємо відрізок M . На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів.

Побудова шкали відрізків золотої пропорції

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби «разом із водою виплеснули й дитину». Знову «відкрито» золотий перетин був у середині ХІХ ст.

У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». З Цейзинг сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Поділ тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються у межах середнього відношення 13:8=1,625 і трохи ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виявляється у співвідношенні 8:5=1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1:1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла — довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо.

Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш детально він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до безкінечності в один і інший бік. Наступна його книга мала назву «Золотий поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві». У 1876 р. у Росії було видано невелику книжку, майже брошуру, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жодного твору живопису.

Наприкінці XIX - на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перерізу у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ І СИМЕТРІЯ

Золотий переріз не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863-1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії. Згідно з сучасними уявленнями золотий поділ - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статична та динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена ​​будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду.

РЯД ФІБОНАЧІ

З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, відомого під ім'ям Фібоначчі. Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з арабськими цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця «Книга про абак» (рахунковій дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21:34 = 0,617, а 34:55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення — 0,618:0,382 — дає безперервний поділ відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як до всього.

Як показано на нижньому малюнку, довжина кожного суглоба пальця співвідноситься з довжиною наступного суглоба по пропорції Ф. Таке співвідношення проявляється у всіх пальцях рук і ніг. Цей зв'язок якось незвичайний, тому що один палець довший за інший без усякої видимої закономірності, але це все не випадково, як не випадково все в тілі людини. Відстань на пальцях, відмічені від А до У до З до D до Е, всі співвідносяться один з одним за пропорцією Ф, так само як і фаланги пальців від F до G до H.

Погляньте на цей кістяк жаби і подивіться, як кожна кісточка відповідає моделі пропорції Ф точно так, як і в тілі людини.

УЗАГАЛЬНЕ ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ

Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич із використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ту проблему Гільберта. Виникають методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2=1+1; 4=2+2..., у другому — це сума двох попередніх чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Чи можна знайти загальну математичну формулу, з якої виходять і «двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості?

Справді, задамося числовим параметром S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S+1, перших членів якого одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n член цього ряду ми позначимо через? S(n), то отримаємо загальну формулу? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Очевидно, що за S=0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, за S=1 — ряд Фібоначчі, за S=2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивним коренем рівняння золотого S-перетину x S+1 -x S -1=0.

Неважко показати, що при S = ​​0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = ​​1 - знайомий класичний золотий переріз.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-пропорціями! Математики у разі говорять, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський учений Е.М. Сороко у книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука та техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення і т.п.) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією із золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою, експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики — нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються.

За допомогою кодів золотої S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорціями, при S>0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять «з голови на ноги» ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були відкриті числа натуральні; потім їхні стосунки – числа раціональні. І лише пізніше, після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків, світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа: 10, 5, 2, з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, в якості першооснови початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої — а не нескінченної, як думали раніше! - Суми ступенів будь-якої із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою та витонченістю, ніби увібрала в себе найкращі якості класичної двійкової та «Фібоначчієвої» арифметик.

ПРИНЦИПИ ФОРМОУТВОРЕННЯ У ПРИРОДІ

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах: зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди поступово. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно.

Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Ряд Мандельброту

Золота спіраль тісно пов'язана із циклами. Сучасна наука про хаос вивчає прості циклічні операції із зворотним зв'язком та породжені ними фрактальні форми, невідомі раніше. Малюнок показує відомий ряд Мандельброта - сторінку зі словника бе зкінцівки індивідуальних патернів, які називають юліанськими рядами. Деякі вчені пов'язують ряд Мандельброта з генетичним кодом клітинних ядер. Послідовне збільшення перерізів розкриває дивовижні за своєю художньою складністю фрактали. І тут теж є логарифмічні спіралі! Це особливо важливо, що й ряд Мандельброта, і юліанські ряди є винаходом людського розуму. Вони виникають в галузі первообразів Платона. Як сказав лікар Р. Пенроуз, «вони подібні до гори Еверест»

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид.

Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій — 38, четвертий — 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Цикорій

У багатьох метеликів співвідношення розмірів грудної та черевної частин тіла відповідає золотій пропорції. Склавши крила, нічний метелик утворює правильний рівносторонній трикутник. Але варто розвести крила, і ви побачите той же принцип членування тіла на 2, 3, 5, 8. Бабка також створена за законами золотої пропорції: відношення довжин хвоста і корпусу дорівнює відношенню загальної довжини до довжини хвоста.

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції — довжина її хвоста так належить до довжини тіла, як 62 до 38.

Ящірка живородна

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи — симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Великий інтерес представляє дослідження форм пташиних яєць. Їх усілякі форми коливаються між двома крайніми типами: один із них може бути вписаний у прямокутник золотого перерізу, інший у прямокутник із модулем 1,272 (корінь золотої пропорції)

Такі форми пташиних яєць не є випадковими, оскільки в даний час встановлено, що формі яєць, що описуються ставленням золотого перерізу, відповідають більш високі характеристики міцності оболонки яйця.

Бивні слонів і вимерлих мамонтів, кігті левів, і дзьоби папуг являють собою логарифмічні форми і нагадують форму осі, схильної до спіралі.

У живій природі поширені форми, засновані на «пентагональної» симетрії (морські зірки, морські їжаки, квіти).

Золотий перетин є у будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, отже ми можемо розглянути їх неозброєним оком. Однак сніжинки, що також є водними кристалами, цілком доступні нашому погляду. Усі вишуканої краси фігури, що утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури у сніжинках також завжди, без винятків, побудовані за досконалою чіткою формулою золотого перерізу.

У мікросвіті тривимірні логарифмічні форми, побудовані золотими пропорціями, поширені повсюдно. Наприклад, багато вірусів мають тривимірну геометричну форму ікосаедра. Мабуть, найвідоміший із таких вірусів — вірус Адено. Білкова оболонка вірусу Адено формується із 252 одиниць білкових клітин, розташованих у певній послідовності. У кожному куті ікосаедра розташовані по 12 одиниць білкових клітин у формі п'ятикутної призми, і з цих кутів простягаються шипоподібні структури.

Вірус Адено

Вперше золотий перетин у будові вірусів виявили у 1950-х роках. вчені з Лондонського Біркбецького Коледжу А. Клуг та Д. Каспар. Першим логарифмічну форму виявив вірус Polyo. Форма цього вірусу виявилася аналогічною формою вірусу Rhino.

Виникає питання: як віруси утворюють настільки складні тривимірні форми, пристрій яких містить у собі золотий перетин, які навіть нашим людським розумом сконструювати досить складно? Першовідкривач цих форм вірусів, вірусолог А. Клю г дає такий коментар: «Доктор Каспар і я показали, що для сферичної оболонки вірусу найоптимальнішою формою є симетрія типу форми ікосаедра. Такий порядок зводить до мінімуму кількість сполучних елементів... Більшість геодезичних напівсферичних кубів Букмінстера Фуллера побудовані за аналогічним геометричним принципом. Монтаж таких кубів потребує надзвичайно точної та докладної схеми-роз'яснення, тоді як несвідомі віруси самі споруджують собі таку складну оболонку з еластичних, гнучких білкових клітинних одиниць».

Коментар Клюга ще раз нагадує про гранично очевидну істину: у будові навіть мікроскопічного організму, який вчені класифікують як «найпримітивнішу форму життя», в даному випадку у вірусі, присутній чіткий задум і здійснений розумний проект. Цей проект непорівнянний за своєю досконалістю та точності виконання з найпередовішими архітектурними проектами, створеними людьми. Наприклад, проектами, створеними геніальним архітектором Букмінстером Фуллером.

Тривимірні моделі додекаедра та ікосаедра присутні також і в будові скелетів одноклітинних морських мікроорганізмів радіолярій (променевиків), скелет яких створений з кремнезему.

Радіолярії формують своє тіло дуже вишуканої, незвичайної краси. Форма їх складає правильний додекаедр, причому з кожного його кута проростає псевдоподовження-кінцевість та інші незвичайні форми-нарости.

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він увів у науковий ужиток термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

ТІЛО ЛЮДИНИ І ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ

Усі кістки людини витримані у пропорції золотого перерізу. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число дуже близьке до золотого перерізу. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність чи тіло людини вважають ідеально складеними.

Золоті пропорції у частинах тіла людини

Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентне числу 1.618.

• відстань від рівня плеча до верхівки голови та розміру голови дорівнює 1:1.618;
• відстань від точки пупа до верхівки голови і від рівня плеча до верхівки голови дорівнює 1:1.618;
• відстань точки пупа до колін і від колін до ступнів дорівнює 1:1.618;
• відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів дорівнює 1:1.618;
• власне точне наявність золотої пропорції від імені людини і є ідеал краси для людського погляду;
• відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки дорівнює 1:1.618;
• висота особи/ширина особи;
• центральна точка з'єднання губ до основи носа/довжина носа;
• висота особи/відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ;
• ширина рота/ширина носа;
• ширина носа/відстань між ніздрями;
• відстань між зіницями/відстань між бровами.

Достатньо лише наблизити зараз долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перерізу.

Кожен палець нашої руки складається із трьох фаланг. Сума довжин двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і ​​дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).

Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу.

Людина має 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двофалангових великих пальців лише 8 пальців створено за принципом золотого перерізу. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.

Також слід зазначити той факт, що у більшості людей відстань між кінцями розставлених рук дорівнює зростанню.

Істини золотого перетину всередині нас та в нашому просторі. Особливість бронхів, що становлять легені людини, полягає в їхній асиметричності. Бронхи складаються з двох основних дихальних шляхів, один з яких (лівий) довший, а інший (правий) коротший. Було встановлено, що ця асиметричність продовжується і у відгалуженнях бронхів, у всіх дрібніших дихальних шляхах. Причому співвідношення довжини коротких і довгих бронхів також становить золотий переріз і 1:1,618.

У внутрішньому вусі людини є орган Cochlea («Равлик»), який виконує функцію передачі звукової вібрації. Ця костевидна структура наповнена рідиною і також створена у формі равлика, що містить у собі стабільну логарифмічну форму спіралі = 73043".

Тиск крові змінюється у процесі роботи серця. Найбільшої величини воно досягає у лівому шлуночку серця в момент його стиснення (систоли). В артеріях під час систоли шлуночків серця кров'яний тиск досягає максимальної величини, що дорівнює 115-125 мм ртутного стовпця у молодої, здорової людини. У момент розслаблення серцевого м'яза (діастола) тиск зменшується до 70-80 мм рт. Відношення максимального (систолічного) до мінімального (діастолічного) тиску дорівнює в середньому 16, тобто близько до золотої пропорції.

Якщо взяти за одиницю середній тиск крові в аорті, то систолічний тиск крові в аорті становить 0,382, а діастолічний 0,618, тобто їхнє відношення відповідає золотій пропорції. Це означає, що робота серця щодо тимчасових циклів та зміни тиску крові оптимізовані за одним і тим же принципом закону золотої пропорції.

Молекула ДНК і двох вертикально переплетених між собою спіралей. Довжина кожної з цих спіралей становить 34 ангстреми, ширина 21 ангстреми. (1 ангстрем – одна стомільйонна частка сантиметра).

Будова ділянки спіралі молекули ДНК

Так от 21 і 34 - це цифри, що йдуть один за одним у послідовності чисел Фібоначчі, тобто співвідношення довжини, і ширини логарифмічної спіралі молекули ДНК несе в собі формулу золотого перерізу 1:1,618.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У СКУЛЬПТУРІ

Скульптурні споруди, пам'ятники споруджуються, щоб увічнити знаменні події, зберегти в пам'яті нащадків імена уславлених людей, їхні подвиги та діяння. Відомо, що у давнину основу скульптури становила теорія пропорцій. Відносини частин людського тіла пов'язувалися із формулою золотого перерізу. Пропорції «золотого перетину» створюють враження гармонії, краси, тому скульптори використовували в своїх творах. Скульптори стверджують, що талія ділить досконале людське тіло щодо «золотого перетину». Так, наприклад, знаменита статуя Аполлона Бельведерського складається з частин, що діляться із золотих відносин. Великий давньогрецький скульптор Фідій часто використовував "золотий перетин" у своїх творах. Найзнаменитішими з них були статуя Зевса Олімпійського (яка вважалася одним із чудес світу) та Афіни Парфенон.

Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В АРХІТЕКТУРІ

У книгах про «золотий перетин» можна знайти зауваження про те, що в архітектурі, як і в живописі, все залежить від положення спостерігача, і якщо деякі пропорції в будівлі з одного боку здаються такими, що утворюють «золотий перетин», то з інших поглядів вони виглядатимуть інакше. "Золотий перетин" дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин.

Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.).

На малюнках видно низку закономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф = 0,618.

Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. Виступи зроблені цілком із квадратів пентилейського мармуру. Шляхетність матеріалу, з якого побудований храм, дозволило обмежити застосування звичайної в грецькій архітектурі розмальовки, вона лише підкреслює деталі та утворює кольоровий фон (синій та червоний) для скульптури. Відношення висоти будівлі до її довжини дорівнює 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенону за «золотим перерізом», то отримаємо ті чи інші виступи фасаду.

На плані статі Парфенона можна помітити «золоті прямокутники».

Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі), і в піраміді Хеопса.

Не тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу; те саме явище виявлено і в мексиканських пірамід.

Довгий час вважали, що архітектори Стародавньої Русі будували все «на око», без особливих математичних розрахунків. Проте нові дослідження показали, що російські архітектори добре знали математичні пропорції, що свідчить аналіз геометрії древніх храмів.

Відомий російський архітектор М. Казаков у творчості широко використовував «золотий перетин». Його талант був багатогранним, але більшою мірою він розкрився у численних здійснених проектах житлових будинків та садиб. Наприклад, «золотий перетин» можна знайти в архітектурі будівлі сенату в Кремлі. За проектом М. Казакова в Москві було збудовано Голіцинську лікарню, яка нині називається Першою клінічною лікарнею імені М.І. Пирогова.

Петровський палац у Москві. Побудований за проектом М.Ф. Козакова

Ще один архітектурний шедевр Москви – будинок Пашкова – є одним із найдосконаліших творів архітектури В. Баженова.

Будинок Пашкова

Прекрасне творіння У. Баженова міцно увійшло ансамбль центру сучасної Москви, збагатило його. Зовнішній вигляд будинку зберігся майже без змін до наших днів, незважаючи на те, що він сильно обгорів у 1812 р. При відновленні будівля набула більш масивних форм. Не збереглося і внутрішнє планування будівлі, про яке дають уявлення лише креслення нижнього поверху.

Багато висловлювань архітектора заслуговують на увагу і в наші дні. Про своє улюблене мистецтво В. Баженов говорив: «Архітектура найголовніші має три предмети: красу, спокійність і міцність будівлі... До досягнення цього служить керівництвом знання пропорції, перспектива, механіка або взагалі фізика, а всім спільним вождем є розум».

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У МУЗИЦІ

Будь-який музичний твір має тимчасове протягом і ділиться деякими «естетичними віхами» деякі частини, які звертають він увагу і полегшують сприйняття загалом. Цими віхами можуть бути динамічні та інтонаційні кульмінаційні пункти музичного твору. Окремі часові інтервали музичного твору, що з'єднуються «кульмінаційною подією», зазвичай перебувають у співвідношенні Золотого перетину.

Ще 1925 року мистецтвознавець Л.Л. Сабанєєв, проаналізувавши 1770 музичних творів 42 авторів, показав, що переважну більшість видатних творів можна легко розділити на частини або за темою, або за інтонаційним строєм, або за ладовим строєм, які знаходяться між собою щодо золотого перетину. Причому, чим талановитіший композитор, тим більше його творів знайдено золотих перерізів. На думку Сабанєєва, золотий перетин призводить до враження особливої ​​стрункості музичного твору. Цей результат Сабанєєв перевірив на всіх 27 етюдах Шопена. Він виявив у них 178 золотих перерізів. При цьому виявилося, що не лише великі частини етюдів діляться за тривалістю щодо золотого перерізу, але й частини етюдів усередині часто діляться у такому ж відношенні.

Композитор та вчений М.А. Марутаєв підрахував кількість тактів у знаменитій сонаті «Апасіоната» і знайшов низку цікавих числових співвідношень. Зокрема, у розробці — центральній структурній одиниці сонати, де інтенсивно розвиваються теми та змінюють одна одну тональності, — два основні розділи. У першому – 43,25 такту, у другому – 26,75. Ставлення 43,25: 26,75 = 0,618: 0,382 = 1,618 дає золотий перетин.

Найбільша кількість творів, у яких є Золотий перетин, у Аренського (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Якщо музика гармонійне впорядкування звуків, то поезія гармонійне впорядкування мови. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Золотий перетин у поезії насамперед проявляється як наявність певного моменту вірша (кульмінації, смислового перелому, головної думки твори) у рядку, що припадає на точку поділу загальної кількості рядків вірша в золотій пропорції. Так, якщо вірш містить 100 рядків, то перша точка Золотого перерізу припадає на 62-й рядок (62%), друга — на 38-й (38%) тощо. Твори Олександра Сергійовича Пушкіна, і зокрема «Євгеній Онєгін», — найтонша відповідність золотої пропорції! Твори Шота Руставелі та М.Ю. Лермонтова також побудовані за принципом золотого перетину.

Страдіварі писав, що за допомогою золотого перерізу він визначав місця для f-подібних вирізів на корпусах своїх знаменитих скрипок.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ПОЕЗІЇ

Дослідження поетичних творів із цих позицій тільки починаються. І починати треба з поезії О.С. Пушкіна. Адже його твори - зразок найвидатніших творів російської культури, зразок найвищого рівня гармонії. З поезії А.С. Пушкіна ми й почнемо пошуки золотої пропорції – мірила гармонії та краси.

Багато що у структурі поетичних творів ріднить цей вид мистецтва з музикою. Чіткий ритм, закономірне чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів, їх емоційна насиченість роблять поезію рідною сестрою музичних творів. Кожен вірш має свою музичну форму, свою ритміку і мелодію. Очікується, що у будові віршів виявляться деякі риси музичних творів, закономірності музичної гармонії, отже, і золота пропорція.

Почнемо з величини вірша, тобто кількості рядків у ньому. Здавалося б, цей параметр вірша може змінюватись довільно. Однак виявилось, що це не так. Наприклад, проведений М. Васютінським аналіз віршів А.С. Пушкіна показав, що розміри віршів розподілені дуже нерівномірно; виявилося, що Пушкін явно віддає перевагу розмірам 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі).

Багатьма дослідниками було помічено, що вірші подібні до музичних творів; у них також існують кульмінаційні пункти, які поділяють вірш у пропорції золотого перетину. Розглянемо, наприклад, вірш А.С. Пушкіна «Швець»:

Проведемо аналіз цієї притчі. Вірш складається з 13 рядків. У ньому виділяється дві смислові частини: перша - 8 рядків і друга (мораль притчі) - 5 рядків (13, 8, 5 - числа Фібоначчі).

Один із останніх віршів Пушкіна «Не дорого ціную я гучні права...» складається з 21 рядка і у ньому виділяється дві смислові частини: у 13 і 8 рядків:

Не дорого ціную я гучні права, Від яких не одна паморочиться в голові. Я не нарікаю на те, що відмовили боги Мені в солодкій долі заперечувати податки Або заважати царям один з одним воювати; І мало горя мені, чи вільно друк Морочить олухів, чи чуйна цензура У журнальних задумах стискує балакура. Все це, бачте, слова, слова, слова. Інші, найкращі, мені дорогі права: Інша, найкраща, потрібна мені свобода: Залежати від царя, залежати від народу Чи не все одно нам? Бог із ними. Звіту не давати, собі лише самому Служити та догоджати; для влади, для лівреї Не гнути ні совісті, ні помислів, ні шиї; За примхою своєю блукати тут і там, Дивуючись божественним природи красам, І перед творами мистецтв та натхнення Тремтячи радісно в захватах розчулення, Ось щастя! Ось права...

Характерно, як і перша частина цього вірша (13 рядків) за змістовим змістом ділиться на 8 і 5 рядків, тобто весь вірш побудовано за законами золотої пропорції.

Представляє безперечний інтерес аналіз роману «Євгеній Онєгін», зроблений М. Васютінським. Цей роман складається з 8 розділів, у кожному їх у середньому близько 50 віршів. Найбільш досконалою, найбільш відточеною та емоційно насиченою є восьма глава. У ній 51 вірш. Разом із листом Євгена до Тетяни (60 рядків) це точно відповідає числу Фібоначчі 55!

М. Васютинський констатує: «Кульмінацією глави є пояснення Євгена в любові до Тетяни — рядок «Бліднути і згасати... ось блаженство!» Цей рядок ділить весь восьмий розділ на дві частини: у першій 477 рядків, а в другій - 295 рядків. Їхнє відношення дорівнює 1,617! Найтонша відповідність величині золотої пропорції! Це велике диво гармонії, здійснене генієм Пушкіна!».

Е. Розєнов провів аналіз багатьох поетичних творів М.Ю. Лермонтова, Шіллера, А.К. Толстого і також виявив у них «золотий перетин».

Знаменитий вірш Лермонтова «Бородіно» ділиться на дві частини: вступ, звернений до оповідача, що займає лише одну строфу («Скажіть, дядько, адже недаремно...»), і головну частину, що представляє самостійне ціле, яке розпадається на дві рівносильні частини. У першій їх описується, з наростаючим напругою, очікування бою, у другій — сам бій з поступовим зниженням напруги до кінця вірша. Кордон між цими частинами є кульмінаційною точкою твору і припадає саме на точку поділу його золотим перетином.

Головна частина вірша складається з 13 семивіршів, тобто із 91 рядка. Розділивши її золотим перетином (91:1,618=56,238), переконуємося, що точка розподілу перебуває у початку 57-го вірша, де стоїть коротка фраза: «Ну, ж був день!» Саме ця фраза є «кульмінаційним пунктом збудженого очікування», що завершує першу частину вірша (очікування бою) і відкриває другу його частину (опис бою).

Таким чином, золотий перетин грає в поезії досить осмислену роль, виділяючи кульмінаційний пункт вірша.

Багато дослідників поеми Шота Руставелі «Витязь у тигровій шкурі» відзначають виняткову гармонійність та мелодійність його вірша. Ці характеристики поеми грузинський вчений, академік Г.В. Церетелі відносить рахунок свідомого використання поетом золотого перерізу як і формуванні форми поеми, і у побудові її віршів.

Поема Руставелі складається з 1587 строф, кожна з яких складається з чотирьох рядків. Кожен рядок складається з 16 складів і поділяється на дві рівні частини по 8 складів у кожному напіввірші. Всі напіввірші діляться на два сегменти двох видів: А — напіввірші з рівними сегментами та парною кількістю складів (4+4); В - напіввірш з несиметричним розподілом на дві нерівні частини (5+3 або 3+5). Таким чином, у напіввірші В виходять співвідношення 3:5:8, що є наближенням до золотої пропорції.

Встановлено, що в поемі Руставелі з 1587 року строф більше половини (863) побудовано за принципом золотого перетину.

В наш час народився новий вид мистецтва - кіно, що увібрав у себе драматургію дії, живопис, музику. У визначних творах кіномистецтва правомірно шукати прояви золотого перетину. Першим це зробив творець шедевра світового кіно «Броненосець Потьомкін» кінорежисер Сергій Ейзенштейн. У побудові цієї картини він зумів реалізувати основний принцип гармонії — золотий перетин. Як зазначає сам Ейзенштейн, червоний прапор на щоглі повсталого броненосця (точка апогею фільму) здіймається в точці золотої пропорції, яка відраховується від кінця фільму.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ У ШРИФТАХ І ПОБУТОВИХ ПРЕДМЕТАХ

Особливий вид образотворчого мистецтва Стародавню Грецію слід виділити виготовлення та розпис всіляких судин. У витонченій формі легко вгадуються пропорції золотого перерізу.

У живописі та скульптурі храмів, на предметах домашнього побуту стародавні єгиптяни найчастіше зображували богів та фараонів. Були встановлені канони зображення людини, що стоїть, сидить і т.д. Художники мали заучувати окремі форми і схеми зображення за таблицями і зразкам. Художники Стародавньої Греції робили спеціальні подорожі до Єгипту, щоб повчитися вмінню користуватися каноном.

ОПТИМАЛЬНІ ФІЗИЧНІ ПАРАМЕТРИ ЗОВНІШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА

Відомо, що максимальна гучність звуку, яка викликає болючі відчуття, дорівнює 130 децибелам. Якщо розділити цей інтервал золотою пропорцією 1618, то отримаємо 80 децибелів, які характерні для гучності людського крику. Якщо тепер 80 децибел розділити золотою пропорцією, то отримаємо 50 децибел, що відповідає гучності людської мови. Нарешті, якщо розділити 50 децибелів квадратом золотої пропорції 2,618, то отримаємо 20 децибелів, що відповідає шепоту людини. Таким чином, всі характерні параметри гучності звуку пов'язані через золоту пропорцію.

При температурі 18-20 0 C інтервал вологості 40-60% вважається оптимальним. Межі оптимального діапазону вологості можуть бути отримані, якщо абсолютну вологість 100% двічі розділити золотим перетином: 100/2618 = 382% (нижня межа); 100/1,618 = 61,8% (верхня межа).

При тиску повітря 0,5 МПа у людини виникають неприємні відчуття, погіршується його фізична та психологічна діяльність. При тиску 0,3-0,35 МПа дозволяється лише короткочасна робота, а при тиску 0,2 МПа дозволяється працювати трохи більше 8 хв. Всі ці характерні параметри пов'язані між собою золотою пропорцією: 0,5/1,618 = 0,31 МПа; 0,5 / 2,618 = 0,19 МПа.

Граничними параметрами температури зовнішнього повітря, в межах яких можливе нормальне існування (а, головне, стало можливим походження) людини є діапазон температур від 0 до +(57-58) 0 С. Очевидно, що по першій межі пояснень можна не наводити.

Розділимо вказаний діапазон позитивних температур золотим перетином. При цьому отримаємо дві межі (про межі є характерними для організму людини температурами): перша відповідає температурі, друга межа відповідає максимально можливій температурі зовнішнього повітря для організму людини.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ В ЖИВОПИСУ

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно не має значення, який формат має картина горизонтальний або вертикальний. Таких точок всього чотири, і вони розташовані на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площини.

Дане відкриття у художників того часу отримало назву «золотий перетин» картини.

Переходячи до прикладів «золотого перерізу» у живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: «Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю».

Він здобув славу неперевершеного художника, великого вченого, генія, який передбачив багато винаходів, які не були здійснені аж до XX ст.

Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, замітки, в яких говориться всім у світі».

Він писав праворуч наліво нерозбірливим почерком та лівою рукою. Це найвідоміший з існуючих зразок дзеркального листа.

Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника. Існує багато версій про історію цього портрета. Ось одна з них.

Якось Леонардо да Вінчі отримав замовлення від банкіра Франческо справі Джокондо написати портрет молодої жінки, дружини банкіра, Монни Лізи. Жінка була красива, але у ній приваблювала простота і природність образу. Леонардо погодився написати портрет. Його модель була сумною та сумною, але Леонардо розповів їй казку, почувши яку, вона стала живою та цікавою.

КАЗКА. Жив-був один бідний чоловік, було у нього чотири сини: три розумні, а один з них і так, і сяк. І ось прийшла до батька смерть. Перед тим, як розлучитися з життям, він покликав дітей і сказав: «Сини мої, скоро я помру. Як тільки ви поховаєте мене, закрийте хатину і йдіть на край світу добувати собі щастя. Нехай кожен із вас чогось навчиться, щоб міг годувати сам себе». Батько помер, а сини розійшлися світом, домовившись через три роки повернутися на галявину рідного гаю. Прийшов перший брат, який навчився плотничати, зрубав дерево і обтесав його, зробив із нього жінку, трохи відійшов і чекає. Повернувся другий брат, побачив дерев'яну жінку і, оскільки він був кравцем, в одну хвилину одягнув її: як майстер майстер він пошив для неї гарний шовковий одяг. Третій син прикрасив жінку золотом і коштовним камінням, адже він був ювелір. Нарешті прийшов четвертий брат. Він не вмів теслити і шити, він умів тільки слухати, що говорить земля, дерева, трави, звірі та птахи, знав хід небесних тіл і ще вмів співати чудові пісні. Він заспівав пісню, від якої заплакали брати, що причаїлися за кущами. Піснею цією він оживив жінку, вона посміхнулася і зітхнула. Брати кинулися до неї і кожен кричав те саме: «Ти повинна бути моєю дружиною». Але жінка відповіла: Ти мене створив - будь мені батьком. Ти мене одягнув, а ти прикрасив – будьте мені братами. А ти, що вдихнув у мене душу і навчив радіти життю, ти один мені потрібний на все життя».

Скінчивши казку, Леонардо глянув на Монну Лізу, її обличчя осяяло світло, очі сяяли. Потім, ніби прокинувшись від сну, вона зітхнула, провела по обличчю рукою і без слів пішла на своє місце, склала руки і прийняла звичайну позу. Але справа була зроблена — митець розбудив байдужу статую; посмішка блаженства, повільно зникаючи з її обличчя, залишилася в куточках рота і тремтіла, надаючи обличчю дивовижний, загадковий і трохи лукавий вираз, як у людини, яка дізналася про таємницю і, дбайливо її зберігаючи, не може стримати торжество. Леонардо мовчки працював, боячись прогаяти цей момент, цей промінь сонця, що висвітлив його нудну модель...

Важко відзначити, що помічали в цьому шедеврі мистецтва, але всі говорили про те глибоке знання Леонардо будови людського тіла, завдяки якому йому вдалося вловити цю ніби загадкову посмішку. Говорили про виразність окремих частин картини і про пейзаж, небувалий супутник портрета. Тлумачили про природність висловлювання, про простоту пози, про красу рук. Художник зробив ще небувале: на картині зображено повітря, він огортає фігуру прозорим серпанком. Незважаючи на успіх, Леонардо був похмурим, становище у Флоренції здалося художнику обтяжливим, він зібрався в дорогу. Не допомогли йому нагадування про замовлення, що нахлинули.

Золотий перетин у картині І.І. Шишкіна «Сосновий гай». На цій знаменитій картині І.І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни — освітлений сонцем пагорб. Він ділить за золотим перерізом праву частину картини по горизонталі. Зліва від головної сосни знаходиться безліч сосен — за бажання можна з успіхом продовжити поділ картини із золотого перетину і далі.

Сосновий гай

Наявність у картині яскравих вертикалей та горизонталей, що ділять її щодо золотого перетину, надає їй характеру врівноваженості та спокою відповідно до задуму художника. Коли ж задум художника інший, якщо, скажімо, він створює картину з дією, що бурхливо розвивається, подібна геометрична схема композиції (з переважанням вертикалей і горизонталів) стає неприйнятною.

В.І. Суріков. «Бояриня Морозова»

Ролі її відведено середню частину картини. Вона окована точкою вищого зльоту і точкою нижчого спадання сюжету картини: зліт руки Морозової з двопалим хресним знаменням, як найвища точка; безпорадно простягнута до тієї ж боярини рука, але цього разу рука старої — злиденної мандрівниці, рука, з-під якої разом із останньою надією на порятунок вислизає кінець розвальніше.

А як справи з «вищою точкою»? На перший погляд маємо здається протиріччя: адже перетин А 1 В 1 , віддалений на 0,618 від правого краю картини, проходить не через руку, не навіть через голову або око боярині, а виявляється десь перед ротом боярині.

Золотий перетин ріже тут справді найголовніше. У ньому, і саме в ньому – найбільша сила Морозової.

Немає живопису поетичнішою, ніж живопис Боттічеллі Сандро, і немає у великого Сандро картини більш знаменитої, ніж його «Венера». Для Боттічеллі його Венера — втілення ідеї універсальної гармонії «золотого перетину», що панує у природі. Пропорційний аналіз Венери переконує нас у цьому.

Венера

Рафаель "Афінська школа". Рафаель не був ученим-математиком, але, подібно до багатьох художників тієї епохи, мав чималі знання в геометрії. У знаменитій фресці «Афінська школа», де в храмі науки належить суспільство великих філософів давнини, нашу увагу привертає група Евкліда — найбільшого давньогрецького математика, який розбирає складне креслення.

Хитромудра комбінація двох трикутників також побудована відповідно до пропорції золотого перерізу: вона може бути вписана в прямокутник із співвідношенням сторін 5/8. Цей креслення напрочуд легко вставляється у верхню ділянку архітектури. Верхній кут трикутника упирається в замковий камінь арки на ближньому до глядача ділянці, нижній — у точку сходження перспектив, а бічна ділянка означає пропорції просторового розриву між двома частинами арок.

Золота спіраль у картині Рафаеля «Побиття немовлят». На відміну від золотого перерізу, відчуття динаміки, хвилювання проявляється, мабуть, найсильніше в іншій простій геометричній фігурі - спіралі. Багатофігурна композиція, виконана в 1509 - 1510 роках Рафаелем, коли прославлений художник створював свої фрески у Ватикані, якраз відрізняється динамізмом і драматизмом сюжету. Рафаель так і не довів свій задум до завершення, проте його ескіз був гравірований невідомим італійським графіком Маркантініо Раймонді, який на основі цього ескізу і створив гравюру «Побиття немовлят».

Побиття немовлят

Якщо на підготовчому ескізі Рафаеля подумки провести лінії, що йдуть від смислового центру композиції — точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини, уздовж фігур дитини, жінки, яка притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу (на малюнку ці лінії проведені червоним кольором), а потім з'єднати ці шматки кривою пунктиром, то з дуже великою точністю виходить золота спіраль. Це можна перевірити, вимірюючи відношення довжин відрізків, що висікаються спіраллю на прямих, що проходять через початок кривої.

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ І СПРИЙНЯТТЯ ЗОБРАЖЕННЯ

Про здатність зорового аналізатора людини виділяти об'єкти, побудовані за алгоритмом золотого перерізу, як гарні, привабливі та гармонійні, відомо давно. Золотий переріз дає відчуття найдосконалішого єдиного цілого. Формат багатьох книг відповідає золотому перерізу. Воно вибирається для вікон, мальовничих полотен та конвертів, марок, візиток. Людина може нічого не знати про кількість Ф, але у будові предметів, а також у послідовності подій він підсвідомо знаходить елементи золотої пропорції.

Проводилися дослідження, у яких випробуваним пропонувалося вибирати та копіювати прямокутники різних пропорцій. На вибір пропонувалося три прямокутники: квадрат (40:40 мм), прямокутник «золотого перерізу» із ставленням сторін 1:1,62 (31:50 мм) та прямокутник з подовженими пропорціями 1:2,31 (26:60 мм).

При виборі прямокутників у звичайному стані в 1/2 випадків перевага надається квадрату. Права півкуля віддає перевагу золотому перетину і відкидає витягнутий прямокутник. Навпаки, ліва півкуля тяжіє до подовжених пропорцій і відкидає золотий перетин.

При копіюванні цих прямокутників спостерігалося таке: коли активно права півкуля - пропорції в копіях витримувалися найбільш точно; при активності лівої півкулі - пропорції всіх прямокутників спотворювалися, прямокутники витягувалися (квадрат змальовувався як прямокутник із ставленням сторін 1:1,2; пропорції витягнутого прямокутника різко збільшувалися і досягали 1:2,8). Найбільше спотворювалися пропорції «золотого» прямокутника; його пропорції у копіях ставали пропорціями прямокутника 1:2,08.

При малюванні своїх малюнків переважають пропорції, близькі до золотого перерізу, і витягнуті. У середньому пропорції складають 1:2, при цьому права півкуля віддає перевагу пропорціям золотого перерізу, ліва півкуля відходить від пропорцій золотого перерізу і витягує малюнок.

А тепер намалюйте кілька прямокутників, виміряйте їхні сторони та знайдіть співвідношення сторін. Яка півкуля у Вас переважає?

ЗОЛОТО ПЕРЕКЛА У ФОТОГРАФІЇ

Прикладом використання золотого перерізу фотографії є ​​розташування ключових компонентів кадру в точках, які розташовані в 3/8 і 5/8 від країв кадру. Це можна проілюструвати наступним прикладом: фотографія кота, який розташований у довільному місці кадру.

Тепер умовно поділимо кадр на відрізки, пропорції по 1.62 загальної довжини від кожної сторони кадру. У місцях перетину відрізків і будуть основні «зорові центри», де варто розмістити необхідні ключові елементи зображення. Перенесемо нашого кота у точки «зорових центрів».

ЗОЛОТО ПЕРЕЧЕННЯ І КОСМОС

З історії астрономії відомо, що І. Тиціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи.

Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою піднебіння призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тиціуса на початку ХІХ ст. Ряд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти - свідчення незалежності числового ряду від умов його прояву, що є однією з ознак його універсальності.

Дві Золоті Спіралі галактики сумісні зі Зіркою Давида.

Зверніть увагу на зірки, що виходять із галактики по білій спіралі. Точно на 180 0 від однієї зі спіралей виходить інша спіраль, що розгортається... Довгий час астрономи просто вважали, що все, що там є — це те, що ми бачимо; якщо щось мабуть, воно існує. Вони або зовсім не помічали невидимої частини Реальності, або не вважали її важливою. Але невидима сторона нашої Реальності насправді значно більша за видиму сторону і, ймовірно, важливіша... Іншими словами, видима частина Реальності значно менша, ніж один відсоток від цілого — майже ніщо. Насправді наш справжній будинок — невидимий всесвіт...

У Всесвіті всі відомі людству галактики і всі тіла в них існують у формі спіралі, що відповідає формулі золотого перетину. У спіралі нашої галактики лежить коефіцієнт золотого перерізу

ВИСНОВОК

Природа, що розуміється як увесь світ у різноманітті його форм, складається, як би, із двох частин: живої та неживої природи. Для творінь неживої природи характерна висока стійкість, слабка мінливість, якщо судити у масштабах життя. Людина народжується, живе, старіє, вмирає, а гранітні гори залишаються такими ж і планети обертаються навколо Сонця так само, як і за часів Піфагора.

Світ живої природи постає маємо зовсім іншим — рухливим, мінливим і напрочуд різноманітним. Життя демонструє нам фантастичний карнавал різноманітності та неповторності творчих комбінацій! Світ неживої природи — це насамперед світ симетрії, що надає його витворам стійкості та краси. Світ природи — це насамперед світ гармонії, де діє «закон золотого перетину».

У світі наука набуває особливого значення, у зв'язку з посиленням впливу людини на природу. Важливими завданнями на етапі є пошук нових шляхів співіснування людини і природи, вивчення філософських, соціальних, економічних, освітніх та інших проблем, які стоять перед суспільством.

У цьому роботі було розглянуто вплив якостей «золотого перерізу» на живу і живу природу, на історичний перебіг розвитку історії людства і планети загалом. Аналізуючи все вищевикладене можна ще раз подивитись грандіозності процесу пізнання світу, відкриттям нових його закономірностей і дійти невтішного висновку: принцип золотого перерізу — вищий прояв структурного і функціонального досконалості цілого та її частин мистецтво, науці, техніці та природі. Можна очікувати, що закони розвитку різних систем природи, закони зростання не дуже різноманітні і простежуються в різних утвореннях. У цьому вся проявляється єдність природи. Ідея такої єдності, заснована на прояві тих самих закономірностей у різнорідних явищах природи, зберегла свою актуальність від Піфагора донині.