Định lý giới hạn trung tâm cho hình nộm. Mô hình thống kê quy trình đơn vị

Ngoài các định lý liên quan đến quy luật số lớn, có một nhóm định lý khác hình thành nên được gọi là định lý giới hạn trọng tâm. Nhóm định lý này xác định các điều kiện phát sinh luật phân phối chuẩn. Những điều kiện như vậy khá thường xuyên gặp phải trong thực tế, mà trên thực tế, đây là lời giải thích cho thực tế rằng quy luật thông thường thường được sử dụng nhiều nhất trong các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế. Sự khác biệt giữa các dạng của định lý giới hạn trung tâm bao gồm việc xây dựng các điều kiện khác nhau áp đặt lên tổng các biến ngẫu nhiên được xem xét. Vị trí quan trọng nhất trong số tất cả các dạng này thuộc về định lý Lyapunov.

Định lý Lyapunov. Nếu một X 1 , X 2 , … , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập với các kỳ vọng và phương sai toán học hữu hạn, trong khi không có giá trị nào khác biệt rõ ràng với tất cả các giá trị khác về giá trị của nó, tức là có ảnh hưởng không đáng kể đến tổng các đại lượng này, sau đó với sự gia tăng không giới hạn số lượng các biến ngẫu nhiên N, luật phân phối tổng của chúng tiếp cận vô hạn với chuẩn.

Hậu quả. Nếu tất cả các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , … , X n được phân phối bằng nhau, thì luật phân phối của tổng của chúng tiếp cận vô hạn với luật chuẩn với sự gia tăng không giới hạn về số lượng các số hạng.

Định lý Lyapunov có tầm quan trọng thực tế rất lớn. Theo kinh nghiệm, người ta thấy rằng phép gần đúng với luật thông thường là khá nhanh. Theo các điều kiện của định lý Lyapunov, luật phân phối của tổng của mười số hạng chẵn có thể được coi là chuẩn.

Có một dạng phức tạp hơn và tổng quát hơn của định lý Lyapunov.

Định lý Lyapunov tổng quát. Nếu một X 1 , X 2 , … , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập với các kỳ vọng toán học một i, phương sai σ 2 i, các thời điểm trung tâm của lệnh thứ ba t tôi và

thì luật phân phối của tổng X 1 + X 2 + … + X n tại N tiếp cận bình thường vô thời hạn với kỳ vọng và phân tán .

Ý nghĩa của điều kiện (2.1) là trong tổng các biến ngẫu nhiên sẽ không có một số hạng nào mà ảnh hưởng của nó đến sự phân tán của tổng các biến sẽ quá lớn so với ảnh hưởng của tất cả các biến ngẫu nhiên khác. Ngoài ra, không nên có một số lượng lớn các số hạng mà ảnh hưởng đến sự phân tán của tổng là rất nhỏ so với tổng ảnh hưởng của các số còn lại.

Một trong những dạng sớm nhất của định lý giới hạn trung tâm là định lý Laplace.

Định lý Laplace. Hãy để nó được sản xuất N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó một sự kiện NHƯNG xuất hiện với một xác suất R, sau đó cho lớn N sự bình đẳng gần đúng

(2.2)

ở đâu Y n là số lần xuất hiện của sự kiện NHƯNG trong N các thí nghiệm; q=1-P; F ( X) là hàm Laplace.

Định lý Laplace cho phép người ta tìm gần đúng xác suất của các giá trị của các biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức đối với các giá trị lớn của đại lượng N. Tuy nhiên, đồng thời, xác suất R không nên đủ nhỏ cũng không đủ lớn.

Đối với các bài toán thực tế, công thức (2.2) thường được viết ở dạng khác, cụ thể là

(2.3)

Ví dụ 2.1. Máy phát ra cho một ca N= 1000 mặt hàng, trong đó trung bình 3% bị lỗi. Tìm xác suất gần đúng để có ít nhất 950 mặt hàng tốt (không có khuyết tật) được sản xuất trong một ca làm việc, nếu các mặt hàng đó trở thành mặt hàng tốt độc lập với nhau.

Quyết định . Để cho được Y- số lượng sản phẩm tốt. Theo nhiệm vụ R= 1-0,03 = 0,97; số lượng thí nghiệm độc lập N= 1000. Chúng tôi áp dụng công thức (2.3):

Ví dụ 2.2, Trong các điều kiện của ví dụ trước, hãy tìm ra bao nhiêu sản phẩm tốt k phải chứa hộp sao cho xác suất tràn của nó trong một ca không vượt quá 0,02.

Quyết định . Điều kiện rõ ràng là . Tìm từ điều kiện này số k. Chúng ta có
, I E. .

Theo bảng của hàm Laplace, với giá trị của 0,48, chúng tôi tìm thấy đối số bằng 2,07. Chúng tôi nhận được
. ■

Ví dụ 2.3. Trong một ngân hàng, 16 người đang đứng tại một quầy thu ngân nhất định để nhận một số tiền nhất định. Hiện có 4.000 den trong phòng vé này. các đơn vị Sums X i, phải trả cho mỗi người trong số 20 người, là các biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học t= 160 đơn vị tiền mặt và độ lệch chuẩn σ = 70 den.un. Tìm xác suất để trong két không có đủ tiền để trả cho tất cả mọi người trong hàng.

Quyết định . Chúng tôi áp dụng định lý Lyapunov cho các biến ngẫu nhiên có phân phối giống nhau. giá trị N= 20 có thể được coi là khá lớn, do đó, tổng số tiền thanh toán Y= X 1 + X 2 + … + X 16 có thể coi là một biến ngẫu nhiên được phân phối theo luật chuẩn với kỳ vọng toán học t y = nt= 20 160 = 3200 và độ lệch chuẩn.

Các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất

Bất bình đẳng Chebyshev

Chúng ta hãy xem xét một số phát biểu và định lý từ một nhóm lớn cái gọi là định lý giới hạn của lý thuyết xác suất, thiết lập mối liên hệ giữa các đặc tính lý thuyết và thực nghiệm của các biến ngẫu nhiên với một số lượng lớn các phép thử về chúng. Chúng tạo thành cơ sở của thống kê toán học. Các định lý về giới hạn được quy ước thành hai nhóm. Nhóm định lý đầu tiên, được gọi là luật số lớn, thiết lập sự ổn định của các giá trị trung bình, tức là với một số lượng lớn các thử nghiệm, kết quả trung bình của chúng không còn là ngẫu nhiên và có thể được dự đoán với đủ độ chính xác. Nhóm định lý thứ hai, được gọi là giới hạn trung tâm, thiết lập các điều kiện mà theo đó quy luật phân phối tổng của một số lượng lớn các biến ngẫu nhiên tiếp cận biến chuẩn một cách vô hạn định.

Đầu tiên, hãy xem xét bất đẳng thức Chebyshev, có thể được sử dụng để: a) ước tính gần đúng xác suất của các sự kiện liên quan đến các biến ngẫu nhiên có phân phối chưa biết; b) Chứng minh một số định lý về quy luật số lớn.

Định lý 7.1. Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng toán học và phương sai DX, thì bất đẳng thức Chebyshev

.

(7.1)

Lưu ý rằng bất đẳng thức Chebyshev có thể được viết ở dạng khác:

vì tần số hoặc các sự kiện trong N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm có thể xảy ra với xác suất , có phương sai là, bất đẳng thức Chebyshev có dạng

Bất đẳng thức (7,5) có thể được viết lại thành

.

(7.6)

Ví dụ 7.1. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev, ước tính xác suất độ lệch của một biến ngẫu nhiên X từ kỳ vọng toán học của nó sẽ ít hơn ba độ lệch chuẩn, tức là nhỏ hơn.

Quyết định:

Giả sử trong công thức (7.2), chúng ta thu được

Đánh giá này được gọi là quy tắc ba sigma.

Định lý Chebyshev

Phát biểu chính của định luật số lớn nằm trong định lý Chebyshev. Trong đó và các định lý khác của quy luật số lớn, người ta sử dụng khái niệm “sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên trong xác suất”.

biến ngẫu nhiên hội tụ trong xác suấtđến giá trị A (ngẫu nhiên hoặc không ngẫu nhiên), nếu đối với bất kỳ xác suất nào của một sự kiện có xu hướng thống nhất, tức là

(hoặc ). Sự hội tụ trong xác suất được viết một cách ký hiệu như sau:

Cần lưu ý rằng sự hội tụ trong xác suất yêu cầu rằng sự bất bình đẳng phải giữ cho đại đa số thành viên trình tự (trong phân tích toán học - cho tất cả n> N, ở đâu N- một số nhất định), và đối với hầu hết tất cả các thành viên của dãy phải thuộc ε- hàng xóm NHƯNG.

Định lý 7.3 (Luật số lớn dạng P.L. Chebyshev). Nếu các biến ngẫu nhiên độc lập và có một số C> 0, cái nào, sau đó cho bất kỳ

,

(7.7)

những thứ kia. trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên này hội tụ theo xác suất thành trung bình cộng của các kỳ vọng toán học của chúng:

.

Bằng chứng. Kể từ đó

.

Sau đó, áp dụng bất đẳng thức Chebyshev (7.2) cho biến ngẫu nhiên, chúng ta có

những thứ kia. trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên hội tụ trong xác suất thành kỳ vọng toán học một:

Bằng chứng. Như

và các phương sai của các biến ngẫu nhiên, tức là bị giới hạn, sau đó áp dụng định lý Chebyshev (7.7), chúng ta nhận được khẳng định (7.9).

Hệ quả của định lý Chebyshev biện minh cho nguyên tắc "trung bình cộng" của các biến ngẫu nhiên Tôi liên tục được sử dụng trong thực tế. Vâng, hãy để nó được thực hiện N các phép đo độc lập của một số đại lượng, giá trị thực của đại lượng đó một(nó không được biết). Kết quả của mỗi phép đo là một biến ngẫu nhiên Tôi. Theo hệ quả, như một giá trị gần đúng của đại lượng một bạn có thể lấy giá trị trung bình cộng của các kết quả đo:

.

Bình đẳng là càng chính xác, càng N.

Định lý Chebyshev cũng dựa trên việc sử dụng rộng rãi trong thống kê phương pháp lấy mẫu, bản chất của nó là chất lượng của một lượng lớn vật liệu đồng nhất có thể được đánh giá bằng mẫu nhỏ của nó.

Định lý Chebyshev khẳng định mối liên hệ giữa tính ngẫu nhiên và tính tất yếu: giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trên thực tế không khác với một biến không ngẫu nhiên.

Định lý Bernoulli

Định lý Bernoulli về mặt lịch sử là dạng đầu tiên và đơn giản nhất của định luật số lớn. Về mặt lý thuyết, nó chứng minh đặc tính ổn định của tần số tương đối.

Định lý 7.4 (Luật số lớn dạng J. Bernoulli). Nếu xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNG trong một bài kiểm tra là R, số lần xuất hiện của sự kiện này lúc N các thử nghiệm độc lập bằng nhau, thì đối với bất kỳ số nào, chúng tôi có quyền bình đẳng

,

(7.10)

tức là tần suất tương đối của sự kiện NHƯNG hội tụ trong xác suất thành xác suất R sự kiện NHƯNG: .

Bằng chứng. Chúng tôi giới thiệu các biến ngẫu nhiên như sau: nếu trong tôi-thử thử một sự kiện đã xảy ra NHƯNG, và nếu nó không xuất hiện, thì. Sau đó, số NHƯNG(số lần thành công) có thể được biểu thị bằng

Kỳ vọng toán học và phương sai của các biến ngẫu nhiên là:,. Quy luật phân phối biến ngẫu nhiên X i có dạng

Tôi
R		R

bất cứ gì tôi. Do đó, các biến ngẫu nhiên X tôiđộc lập, các phương sai của chúng được giới hạn ở cùng một số, vì

.

Do đó, định lý Chebyshev có thể được áp dụng cho các biến ngẫu nhiên này

.

,

Vì thế, .

Định lý Bernoulli về mặt lý thuyết chứng minh khả năng của một phép tính gần đúng xác suất của một sự kiện bằng cách sử dụng tần suất tương đối của nó. Vì vậy, ví dụ, tần suất tương đối của sự kiện này có thể được coi là xác suất sinh con gái, theo dữ liệu thống kê, xấp xỉ bằng 0,485.

Bất đẳng thức Chebyshev (7.2) cho các biến ngẫu nhiên

có hình thức

ở đâu số Pi- xác suất sự kiện NHƯNG trong tôi- m thi.

Ví dụ 7.2. Xác suất xảy ra lỗi đánh máy trên một trang của bản thảo là 0,2. Ước tính xác suất để trong một bản thảo có 400 trang, tần suất xuất hiện bản in sai khác với mô đun xác suất tương ứng nhỏ hơn 0,05.

Quyết định:

Chúng tôi sử dụng công thức (7.11). Trong trường hợp này , , , . Chúng tôi có, tức là .

Định lý giới hạn trung tâm

Định lý giới hạn trung tâm là nhóm định lý giới hạn thứ hai thiết lập mối liên hệ giữa luật phân phối tổng của một biến ngẫu nhiên và dạng giới hạn của nó - luật phân phối chuẩn.

Chúng ta hãy xây dựng định lý giới hạn trung tâm cho trường hợp các số hạng của tổng có cùng phân phối. Định lý này thường được sử dụng nhiều nhất trong thực tế. Trong thống kê toán học, các biến ngẫu nhiên mẫu có cùng phân phối, vì chúng được lấy từ cùng một tổng thể chung.

Định lý 7.5. Cho các biến ngẫu nhiên là độc lập, phân phối đều, có kỳ vọng và phương sai toán học hữu hạn,. Khi đó, hàm phân phối của tổng trọng tâm và chuẩn hóa của các biến ngẫu nhiên này có xu hướng giống với hàm phân phối của biến ngẫu nhiên chuẩn hóa.

Vì nhiều biến ngẫu nhiên trong các ứng dụng được hình thành dưới tác động của một số yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộc yếu, nên phân phối của chúng được coi là chuẩn. Trong trường hợp này, điều kiện phải được quan sát là không có yếu tố nào là chi phối. Các định lý giới hạn trung tâm trong những trường hợp này chứng minh cho việc áp dụng phân phối chuẩn.

YouTube bách khoa

• 1 / 5

  Giả sử có một chuỗi vô hạn các biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố giống hệt nhau với kỳ vọng và phương sai toán học hữu hạn. Biểu thị cuối cùng µ (\ displaystyle \ mu) và σ 2 (\ displaystyle \ sigma ^ (2)), tương ứng. Hãy cũng

  . S n - μ n σ n → N (0, 1) (\ displaystyle (\ frac (S_ (n) - \ mu n) (\ sigma (\ sqrt (n)))) \ đến N (0,1) ) bằng cách phân phối tại,

  ở đâu N (0, 1) (\ displaystyle N (0,1))- phân phối chuẩn với kỳ vọng toán học bằng không và độ lệch chuẩn bằng một. Biểu thị giá trị trung bình của mẫu đầu tiên n (\ displaystyle n) số lượng, đó là X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i (\ displaystyle (\ bar (X)) _ (n) = (\ frac (1) (n)) \ sum \ limit _ (i = 1) ^ ( n) X_ (i)), chúng ta có thể viết lại kết quả của định lý giới hạn trọng tâm dưới dạng sau:

  n X ¯ n - μ σ → N (0, 1) (\ displaystyle (\ sqrt (n)) (\ frac ((\ bar (X)) _ (n) - \ mu) (\ sigma)) \ to N (0,1)) bằng cách phân phối tại n → ∞ (\ displaystyle n \ to \ infty).

  Tốc độ hội tụ có thể được ước tính bằng cách sử dụng bất đẳng thức Berry-Esseen.

  Nhận xét

  • Nói một cách không chính thức, định lý giới hạn trung tâm cổ điển phát biểu rằng tổng n (\ displaystyle n) các biến ngẫu nhiên được phân phối giống nhau độc lập có phân phối gần với N (n μ, n σ 2) (\ displaystyle N (n \ mu, n \ sigma ^ (2))). Tương đương, X¯n (\ displaystyle (\ bar (X)) _ (n)) có sự phân phối gần với N (μ, σ 2 / n) (\ displaystyle N (\ mu, \ sigma ^ (2) / n)).
  • Vì hàm phân phối của phân phối chuẩn là liên tục, nên sự hội tụ đến phân phối này tương đương với sự hội tụ theo chiều kim của các hàm phân phối tới hàm phân phối của phân phối chuẩn chuẩn. Đặt Z n = S n - μ n σ n (\ displaystyle Z_ (n) = (\ frac (S_ (n) - \ mu n) (\ sigma (\ sqrt (n))))), chúng tôi nhận được F Z n (x) → Φ (x), ∀ x ∈ R (\ displaystyle F_ (Z_ (n)) (x) \ to \ Phi (x), \; \ forall x \ in \ mathbb (R)), ở đâu Φ (x) (\ displaystyle \ Phi (x)) là hàm phân phối của phân phối chuẩn chuẩn.
  • Công thức cổ điển của định lý giới hạn trung tâm được chứng minh bằng phương pháp hàm đặc trưng (định lý liên tục của Levy).
  • Nói chung, sự hội tụ của các mật độ không tuân theo sự hội tụ của các hàm phân phối. Tuy nhiên, trong trường hợp cổ điển, đây là trường hợp.

  Địa phương C.P.T.

  Theo giả định của công thức cổ điển, giả sử ngoài việc phân phối các biến ngẫu nhiên (X i) i = 1 ∞ (\ displaystyle \ (X_ (i) \) _ (i = 1) ^ (\ infty)) hoàn toàn liên tục, tức là nó có mật độ. Sau đó, việc phân phối cũng hoàn toàn liên tục và hơn thế nữa,

  f Z n (x) → 1 2 π e - x 2 2 (\ displaystyle f_ (Z_ (n)) (x) \ to (\ frac (1) (\ sqrt (2 \ pi))) \, e ^ (- (\ frac (x ^ (2)) (2)))) tại n → ∞ (\ displaystyle n \ to \ infty),

  ở đâu f Z n (x) (\ displaystyle f_ (Z_ (n)) (x))- mật độ của biến ngẫu nhiên Z n (\ displaystyle Z_ (n)) và ở phía bên phải là mật độ của phân phối chuẩn chuẩn.

  Khái quát hóa

  Kết quả của định lý giới hạn trung tâm cổ điển có giá trị đối với các tình huống tổng quát hơn nhiều so với tính độc lập hoàn toàn và phân phối bằng nhau.

  C. P. T. Lindeberg

  Để các biến ngẫu nhiên độc lập X 1,…, X n,… (\ displaystyle X_ (1), \ ldots, X_ (n), \ ldots)được xác định trên cùng một không gian xác suất và có các kỳ vọng và phương sai toán học hữu hạn: E [X i] = μ i, D [X i] = σ i 2 (\ displaystyle \ mathbb (E) = \ mu _ (i), \; \ mathrm (D) = \ sigma _ (i) ^ ( 2)).

  Để cho được S n = ∑ i = 1 n X i (\ displaystyle S_ (n) = \ sum \ limit _ (i = 1) ^ (n) X_ (i)).

  sau đó E [S n] = m n = ∑ i = 1 n μ i, D [S n] = s n 2 = ∑ i = 1 n σ i 2 (\ displaystyle \ mathbb (E) = m_ (n) = \ sum \ giới hạn _ (i = 1) ^ (n) \ mu _ (i), \; \ mathrm (D) = s_ (n) ^ (2) = \ sum \ limit _ (i = 1) ^ (n) \ sigma _ (i) ^ (2)).

  Và để nó chạy Tình trạng Lindeberg:

  ∀ ε> 0, lim n → ∞ ∑ i = 1 n E [(X i - μ i) 2 s n 2 1 (| X i - μ i |> ε s n)] = 0, (\ displaystyle \ forall \ varepsilon > 0, \; \ lim \ limit _ (n \ to \ infty) \ sum \ limit _ (i = 1) ^ (n) \ mathbb (E) \ left [(\ frac ((X_ (i) - \ mu _ (i)) ^ (2)) (s_ (n) ^ (2))) \, \ mathbf (1) _ (\ (| X_ (i) - \ mu _ (i) |> \ varepsilon s_ (n) \)) \ right] = 0,)

  ở đâu 1 (| X i - μ i |> ε s n) (\ displaystyle \ mathbf (1) _ (\ (| X_ (i) - \ mu _ (i) |> \ varepsilon s_ (n) \))) chức năng - chỉ báo.

  bằng cách phân phối tại n → ∞ (\ displaystyle n \ to \ infty).

  Ts. P. T. Lyapunova

  Hãy để các giả định cơ bản của Ts. P. T. Lindeberg được thực hiện. Để các biến ngẫu nhiên (X i) (\ displaystyle \ (X_ (i) \)) có một khoảnh khắc thứ ba hữu hạn. Sau đó, trình tự

  r n 3 = ∑ i = 1 n E [| X i - μ i | 3] (\ displaystyle r_ (n) ^ (3) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) \ mathbb (E) \ left [| X_ (i) - \ mu _ (i) | ^ (3 )\đúng]).

  Nếu giới hạn

  lim n → ∞ r n s n = 0 (\ displaystyle \ lim \ limit _ (n \ to \ infty) (\ frac (r_ (n)) (s_ (n))) = 0) (Điều kiện Lyapunov), S n - m n s n → N (0, 1) (\ displaystyle (\ frac (S_ (n) -m_ (n)) (s_ (n))) \ đến N (0,1)) bằng cách phân phối tại n → ∞ (\ displaystyle n \ to \ infty).

  C.P.T. cho martingales

  Hãy để quá trình (X n) n ∈ N (\ displaystyle (X_ (n)) _ (n \ in \ mathbb (N))) là một martingale với gia số giới hạn. Đặc biệt, chúng ta hãy giả định rằng

  E [X n + 1 - X n ∣ X 1,…, X n] = 0, n ∈ N, X 0 ≡ 0, (\ displaystyle \ mathbb (E) \ left = 0, \; n \ in \ mathbb (N), \; X_ (0) \ tương đương 0,)

  và các gia số được giới hạn đồng nhất, nghĩa là

  ∃ C> 0 ∀ n ∈ N | X n + 1 - X n | ≤ C (\ displaystyle \ tồn tại C> 0 \, \ forall n \ in \ mathbb (N) \; | X_ (n + 1) -X_ (n) | \ leq C) τ n = min (k | ∑ i = 1 k σ i 2 ≥ n) (\ displaystyle \ tau _ (n) = \ min \ left \ (k \ left \ vert \; \ sum _ (i = 1) ^ (k) \ sigma _ (i) ^ (2) \ geq n \ right. \ right \)). X τ n n → N (0, 1) (\ displaystyle (\ frac (X _ (\ tau _ (n))) (\ sqrt (n))) \ đến N (0,1)) bằng cách phân phối tại n → ∞ (\ displaystyle n \ to \ infty).

  Charles Whelan Chương từ một cuốn sách
  Nhà xuất bản "Mann, Ivanov và Ferber"

  Cuối cùng, đã đến lúc tổng kết những gì đã nói. Bởi vì phương tiện mẫu được phân phối chuẩn (nhờ định lý giới hạn trung tâm), chúng ta có thể tận dụng tiềm năng phong phú của đường cong hình chuông. Chúng tôi kỳ vọng rằng khoảng 68% giá trị của tất cả các mẫu sẽ nằm trong một sai số chuẩn của giá trị trung bình tổng thể; 95% - ở khoảng cách không vượt quá hai lỗi tiêu chuẩn; và 99,7% - ở khoảng cách không vượt quá ba lỗi tiêu chuẩn.

  

  Bây giờ chúng ta hãy quay lại độ lệch (phân tán) trong ví dụ với chiếc xe buýt bị mất - tuy nhiên, lần này chúng ta sẽ kêu cứu không phải trực giác mà là những con số. (Tự nó, ví dụ này vẫn còn ngớ ngẩn; trong chương tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét nhiều trường hợp thực tế hơn.) Giả sử rằng các nhà tổ chức của nghiên cứu "Thay đổi cuộc sống ở Mỹ đã mời tất cả những người tham gia đến Boston vào cuối tuần để vui chơi và ở đồng thời cung cấp một số dữ liệu còn thiếu: Người tham gia được chỉ định ngẫu nhiên lên xe buýt và đưa đến trung tâm sát hạch, nơi họ sẽ được cân, đo chiều cao, ... Trước sự thất vọng của những người tổ chức sự kiện, một trong những chiếc xe buýt đã mất tích ở đâu đó trên đường đến trung tâm sát hạch. Cùng lúc đó, trở về trong ô tô của bạn từ Lễ hội những người yêu thích xúc xích, bạn nhận thấy một chiếc xe buýt bị hỏng bên đường, có vẻ như người lái xe của nó đã buộc phải lạng lách để tránh một con nai sừng tấm. bất ngờ xuất hiện trên đường Từ một động tác mạnh như vậy, tất cả hành khách đều bất tỉnh hoặc mất khả năng nói chuyện, mặc dù không có ai trong số họ, thật không may astya, không bị thương nặng. (Tôi cần đưa ra giả định này chỉ vì mục đích rõ ràng trong ví dụ ở đây và hy vọng rằng hành khách sẽ không bị thương nặng là do lòng từ thiện bẩm sinh của tôi.) trọng lượng trung bình của 62 hành khách trên xe buýt là 194 pound. Ngoài ra, hóa ra (trước sự cứu trợ tuyệt vời của tất cả những người yêu động vật) rằng con nai sừng tấm, mà từ đó người lái xe buýt cố gắng né tránh, thực tế không bị thương (ngoại trừ vết bầm nhẹ ở chân sau), nhưng cũng bất tỉnh vì một nỗi sợ hãi mạnh mẽ và nằm cạnh xe buýt.

  May mắn thay, bạn biết trọng lượng trung bình của hành khách trên xe buýt, cũng như độ lệch chuẩn của toàn bộ dân số Hoa Kỳ "Thay đổi cuộc sống. Ngoài ra, chúng tôi có hiểu biết chung về định lý giới hạn trung tâm và chúng tôi biết cách sơ cứu cho Một con vật bị thương. Cân nặng trung bình của những người tham gia nghiên cứu "Thay đổi cuộc sống là 162 pound; độ lệch chuẩn là 36. Dựa trên thông tin này, bạn có thể tính sai số chuẩn cho mẫu 62 người (số hành khách đi xe buýt đã bỏ qua):.

  Sự khác biệt giữa trung bình mẫu này (194 pound) và trung bình dân số (162 pound) là 32 pound, hơn ba sai số tiêu chuẩn. Bạn biết từ định lý giới hạn trung tâm rằng 99,7% giá trị trung bình của tất cả các mẫu sẽ nằm trong ba sai số chuẩn của giá trị trung bình tổng thể. Do đó, rất ít khả năng chiếc xe buýt bạn gặp đang chở một nhóm người tham gia cuộc nghiên cứu Thay đổi cuộc sống của người Mỹ. Là một nhà hoạt động cộng đồng nổi tiếng trong thành phố, bạn gọi cho ban tổ chức sự kiện để báo rằng một số nhóm người khác đang rất có thể là trên xe buýt bạn gặp. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bạn có thể dựa vào kết quả thống kê chứ không phải "phỏng đoán trực quan". Bạn nói với ban tổ chức rằng bạn phủ nhận xác suất chiếc xe buýt bạn tìm thấy là chiếc xe họ đang tìm , với mức độ tin cậy 99,7%. Trong trường hợp này, bạn đang nói chuyện với những người quen thuộc với số liệu thống kê, thì bạn có thể chắc chắn rằng họ hiểu rằng bạn đúng. (Luôn luôn tốt khi đối phó với những người thông minh!)

  Phát hiện của bạn được hỗ trợ thêm khi nhân viên y tế lấy mẫu máu từ hành khách trên xe buýt và nhận thấy rằng mức cholesterol trung bình của họ cao hơn năm lỗi tiêu chuẩn so với mức cholesterol trung bình của những người tham gia nghiên cứu về Cuộc sống thay đổi của người Mỹ và những hành khách bất tỉnh - những người tham gia Lễ hội Những người yêu xúc xích (điều này sau đó đã được chứng minh không thể chối cãi).

  [Câu chuyện này đã có một kết thúc có hậu. Khi những hành khách đi xe buýt tỉnh lại, những người tổ chức nghiên cứu "Thay đổi cuộc sống ở Mỹ" khuyên họ nên hỏi ý kiến ​​các chuyên gia dinh dưỡng về sự nguy hiểm của việc ăn thực phẩm giàu chất béo bão hòa. theo chế độ ăn uống lành mạnh hơn. Con nai sừng tấm bị thương đã được đưa ra ngoài tại một phòng khám thú y địa phương và được thả tự do dưới sự tán thành của các thành viên của Hiệp hội Bảo vệ Động vật địa phương. Đúng vậy, vì một số lý do mà lịch sử im lặng về số phận của chiếc xe buýt Người lái xe. Có lẽ bởi vì số liệu thống kê không liên quan đến số phận của từng người.

  Trong chương này, tôi đã cố gắng chỉ nói về những điều cơ bản. Bạn có thể nhận thấy rằng định lý giới hạn trung tâm chỉ áp dụng trong trường hợp kích thước mẫu đủ lớn (thường ít nhất là 30). Ngoài ra, chúng ta cần một mẫu tương đối lớn nếu chúng ta giả định rằng độ lệch chuẩn của nó sẽ bằng với độ lệch chuẩn tổng thể.

  Có một số hiệu chỉnh thống kê có thể được áp dụng nếu các điều kiện này không được đáp ứng, nhưng tất cả đều giống như đóng băng trên bánh (và thậm chí có thể là vụn sô cô la được rắc lên trên lớp đóng băng này). "Bức tranh lớn" ở đây là đơn giản và cực kỳ hiệu quả.

  1. Nếu bạn tạo mẫu ngẫu nhiên lớn (theo khối lượng) dựa trên bất kỳ tổng thể nào, thì giá trị trung bình của chúng sẽ được phân phối theo quy luật chuẩn gần với giá trị trung bình của tổng thể tương ứng (bất kể phân bố của tổng thể ban đầu).
  2. Hầu hết các phương tiện mẫu sẽ được đặt ở vị trí đủ gần với trung bình tổng thể (chính xác giá trị nào nên được coi là "đủ gần" trong trường hợp này hoặc trường hợp đó được xác định bằng sai số chuẩn).
  3. Định lý Giới hạn Trung tâm cho chúng ta biết về xác suất mà trung bình mẫu sẽ nằm trong một khoảng cách nhất định của trung bình tổng thể. Tương đối không chắc rằng giá trị trung bình của mẫu sẽ xa hơn hai lỗi chuẩn so với giá trị trung bình của tổng thể, và rất khó xảy ra rằng giá trị trung bình của mẫu sẽ xa hơn ba lỗi chuẩn so với giá trị trung bình của tổng thể.
  4. Càng ít có khả năng rằng một số kết quả hoàn toàn là ngẫu nhiên, thì chúng ta càng có thể chắc chắn rằng nó không phải là không có ảnh hưởng của một số yếu tố khác.

  Nói chung, đây là bản chất của suy luận thống kê. Định lý giới hạn trung tâm về cơ bản làm cho tất cả những điều này trở nên khả thi. Và cho đến khi LeBron James giành được nhiều nhà vô địch NBA như Michael Jordan (sáu), định lý giới hạn trung tâm sẽ gây ấn tượng với chúng ta hơn nhiều so với cầu thủ bóng rổ nổi tiếng.

  LeBron Raymone James là một cầu thủ bóng rổ chuyên nghiệp người Mỹ, người chơi như một tiền đạo nhỏ và đầy sức mạnh cho Cleveland Cavaliers của NBA. Ghi chú. bản dịch.

  Lưu ý việc sử dụng khéo léo độ chính xác sai trong trường hợp này.

  Khi độ lệch chuẩn của tổng thể tương ứng được tính toán dựa trên một mẫu nhỏ hơn, công thức chúng tôi đã đưa ra sẽ được sửa đổi một chút: Điều này giúp giải thích rằng phương sai trong một mẫu nhỏ có thể "đánh giá thấp" phương sai của toàn bộ tổng thể. Điều này không liên quan nhiều đến các điều khoản phổ quát hơn được thảo luận trong chương này.

  Đồng nghiệp của tôi tại Đại học Chicago, Jim Sally, đã đưa ra một phê bình rất quan trọng về các ví dụ xe buýt bị mất tích. Ông chỉ ra rằng những ngày này, một chiếc xe buýt bị mất tích là cực kỳ hiếm. Vì vậy, nếu chúng ta phải tìm kiếm một chiếc xe buýt nào đó bị mất tích, thì bất kỳ xe buýt nào chúng ta gặp, mất tích hoặc hỏng, rất có thể sẽ là xe buýt mà chúng ta quan tâm, bất kể trọng lượng của hành khách trên xe buýt này. Có lẽ Jim đúng. (Để sử dụng phép loại suy này, nếu bạn bị lạc con trong một siêu thị và quản lý cửa hàng phát thanh rằng đứa trẻ bị lạc của ai đó đang đứng gần quầy thanh toán số sáu, thì bạn có thể ngay lập tức quyết định rằng đó là con mình.) Do đó, chúng tôi không còn cách nào khác để thêm một yếu tố phi lý khác vào ví dụ của chúng tôi, tin rằng việc mất xe buýt là một sự kiện hoàn toàn bình thường.

  Kế hoạch:

  1. Khái niệm về định lý giới hạn trung tâm (định lý Lyapunov)

  2. Định luật số lớn, xác suất và tần số (định lý Chebyshev và Bernoulli)

  1. Khái niệm về định lý giới hạn trọng tâm.

  Phân phối chuẩn của xác suất có tầm quan trọng lớn trong lý thuyết xác suất. Luật chuẩn tuân theo xác suất khi bắn vào mục tiêu, trong các phép đo, v.v. Đặc biệt, nó chỉ ra rằng luật phân phối cho tổng của một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên độc lập với luật phân phối tùy ý gần với phân phối chuẩn. Thực tế này được gọi là định lý giới hạn trung tâm hoặc định lý Lyapunov.

  Được biết, biến ngẫu nhiên phân phối thường được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Điều gì giải thích điều này? Câu hỏi này đã được trả lời

  Định lý giới hạn trung tâm. Nếu một biến ngẫu nhiên X là tổng của một số rất lớn các biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau, ảnh hưởng của từng biến đó đến tổng không đáng kể thì X có phân phối gần với phân phối chuẩn.

  Ví dụ. Hãy để một số đại lượng vật lý được đo lường. Bất kỳ phép đo nào cũng chỉ cho giá trị gần đúng của đại lượng đo, vì nhiều yếu tố ngẫu nhiên độc lập (nhiệt độ, dao động của thiết bị, độ ẩm, v.v.) ảnh hưởng đến kết quả đo. Mỗi yếu tố này tạo ra một "sai số một phần" không đáng kể. Tuy nhiên, vì số lượng các yếu tố này rất lớn, nên hiệu ứng tích lũy của chúng tạo ra một "tổng sai số" đã đáng chú ý.

  Coi tổng sai số là tổng của một số rất lớn các sai số từng phần độc lập lẫn nhau, ta có thể kết luận rằng tổng sai số có phân phối gần với phân phối chuẩn. Kinh nghiệm xác nhận giá trị của kết luận này.

  Xem xét các điều kiện mà "định lý giới hạn trung tâm" được thỏa mãn

  x1,X2, ..., XN là một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập,

  M(X1),M(X2), ...,M(XN) là các kỳ vọng toán học cuối cùng của các đại lượng này, tương ứng bằng M (Xk)= ak

  D (X1),D(X2), ...,D(XN) - phương sai cuối cùng của chúng, tương ứng bằng D(X k)= bk2

  Chúng tôi giới thiệu ký hiệu: S = X1 + X2 + ... + Xn;

  A k = X1 + X2 + ... + Xn =; B2 = D (X1) +D(X2) + ... +D(XN) =

  Chúng tôi viết hàm phân phối của tổng chuẩn hóa:

  Họ nói với trình tự x1,X2, ..., XNđịnh lý giới hạn trung tâm có thể áp dụng nếu, đối với bất kỳ x hàm phân phối của tổng chuẩn hóa là n ® ¥ có xu hướng là hàm phân phối chuẩn:

  Right "style =" border -ump: sập; border: none; margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75pt ">

  Xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc X, được đưa ra bởi bảng phân phối:

  Chúng ta hãy đặt cho mình nhiệm vụ ước tính xác suất để độ lệch của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học của nó không vượt quá giá trị tuyệt đối một số dương ε

  Nếu một ε đủ nhỏ, do đó chúng tôi sẽ ước tính xác suất X sẽ nhận các giá trị đủ gần với kỳ vọng toán học của nó. đã chứng minh một sự bất bình đẳng cho phép chúng tôi đưa ra ước tính lãi suất cho chúng tôi.

  Bổ đề Chebyshev. Cho một biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị không âm với kỳ vọng M (X). Với bất kỳ số nào α> 0, biểu thức xảy ra:

  Bất đẳng thức Chebyshev. Xác suất để độ lệch của một biến ngẫu nhiên X so với kỳ vọng toán học của nó về giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương ε , không nhỏ hơn 1 - D (X) / ε 2:

  P (| X-M (X) |< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

  Nhận xét. Bất đẳng thức Chebyshev có giá trị thực tế hạn chế, vì nó thường đưa ra một ước lượng thô và đôi khi tầm thường (không quan tâm).

  Ý nghĩa lý thuyết của bất đẳng thức Chebyshev là rất lớn. Dưới đây chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức này để suy ra định lý Chebyshev.

  2.2. Định lý Chebyshev

  Nếu X1, X2, ..., Xn .. là các biến ngẫu nhiên độc lập theo từng cặp và phương sai của chúng được giới hạn đồng nhất (không vượt quá một số C không đổi), thì bất kể số dương nhỏ đến đâu ε , xác suất của sự bất bình đẳng

  ÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - (M (X1) + M (X2) + ... + M (Xn)) / n |< ε

  sẽ gần với sự thống nhất một cách tùy ý nếu số lượng các biến ngẫu nhiên đủ lớn.

  P (÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - (M (X1) + M (X2) + ... + M (Xn)) / n |< ε )=1.

  Định lý Chebyshev phát biểu:

  1. Chúng tôi xem xét một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên độc lập với phương sai hạn chế,

  Khi xây dựng định lý Chebyshev, chúng tôi giả định rằng các biến ngẫu nhiên có các kỳ vọng toán học khác nhau. Trong thực tế, thường xảy ra trường hợp các biến ngẫu nhiên có cùng kỳ vọng toán học. Rõ ràng, nếu chúng ta một lần nữa giả định rằng sự phân tán của các đại lượng này là có giới hạn, thì định lý Chebyshev sẽ có thể áp dụng được cho chúng.

  Hãy để chúng tôi biểu thị kỳ vọng toán học của mỗi biến ngẫu nhiên thông qua một;

  Trong trường hợp đang xem xét, trung bình cộng của các kỳ vọng toán học, như dễ thấy, cũng bằng một.

  Người ta có thể xây dựng định lý Chebyshev cho trường hợp cụ thể đang xét.

  "Nếu Х1, Х2, ..., Хn .. là các biến ngẫu nhiên độc lập theo từng cặp có cùng kỳ vọng toán học a và nếu độ phân tán của các biến này là giới hạn đồng đều, thì, dù số nhỏ đến đâu ε > Ồ, xác suất của sự bất bình đẳng

  ÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - một | < ε

  sẽ tùy ý gần với sự thống nhất nếu số lượng biến ngẫu nhiên đủ lớn " .

  Nói cách khác, với các điều kiện của định lý

  P (÷ (X1 + X2 + ... + Xn) / n - a |< ε ) = 1.

  2.3. Bản chất của định lý Chebyshev

  Mặc dù các biến ngẫu nhiên độc lập riêng lẻ có thể nhận các giá trị khác xa với kỳ vọng toán học của chúng, nhưng trung bình cộng của một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên với xác suất cao nhận các giá trị gần với một số không đổi nhất định, cụ thể là số

  (M (Xj) + M (X2)+ ... + M (Xn)) / n hoặc đến số và trong trương hợp đ̣ăc biệt.

  Nói cách khác, các biến ngẫu nhiên riêng lẻ có thể có mức chênh lệch đáng kể, và trung bình cộng của chúng là nhỏ rải rác.

  Do đó, người ta không thể tự tin dự đoán giá trị có thể mà mỗi biến ngẫu nhiên sẽ nhận, nhưng người ta có thể dự đoán giá trị trung bình cộng của chúng sẽ nhận.

  Vì vậy, trung bình cộng của một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên độc lập (phương sai của chúng được giới hạn đồng nhất) làm mất đặc tính của một biến ngẫu nhiên.

  Điều này được giải thích bởi thực tế là độ lệch của mỗi đại lượng so với kỳ vọng toán học của chúng có thể vừa dương vừa âm, và về mặt số học chúng triệt tiêu lẫn nhau.

  Định lý Chebyshev không chỉ có giá trị đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, mà còn đối với các biến ngẫu nhiên liên tục; nó là một ví dụ xác nhận giá trị của học thuyết về mối liên hệ giữa cơ hội và tất yếu.

  2.4. Ý nghĩa của định lý Chebyshev đối với thực tế

  Hãy để chúng tôi đưa ra các ví dụ về ứng dụng của định lý Chebyshev vào việc giải các bài toán thực tế.

  Thông thường, để đo một đại lượng vật lý nhất định, một số phép đo được thực hiện và giá trị trung bình cộng của chúng được lấy làm kích thước mong muốn. Trong điều kiện nào thì phương pháp đo này có thể được coi là đúng? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý Chebyshev (trường hợp cụ thể của nó).

  Thật vậy, hãy coi kết quả của mỗi phép đo là các biến ngẫu nhiên

  X1, X2, ..., Xn

  Đối với những đại lượng này, định lý Chebyshev có thể được áp dụng nếu:

  1) Chúng độc lập theo từng cặp.

  2) có cùng kỳ vọng toán học,

  3) sự phân tán của chúng được giới hạn một cách đồng đều.

  Yêu cầu đầu tiên được thỏa mãn nếu kết quả của mỗi phép đo không phụ thuộc vào kết quả của các phép đo khác.

  Yêu cầu thứ hai được đáp ứng nếu các phép đo được thực hiện mà không có sai số hệ thống (một dấu hiệu). Trong trường hợp này, các kỳ vọng toán học của tất cả các biến ngẫu nhiên đều giống nhau và bằng kích thước thực một.

  Yêu cầu thứ ba được đáp ứng nếu thiết bị cung cấp độ chính xác đo lường nhất định. Mặc dù kết quả của các phép đo riêng lẻ là khác nhau, nhưng sự tán xạ của chúng bị hạn chế.

  Nếu tất cả các yêu cầu này được đáp ứng, chúng ta có quyền áp dụng định lý Chebyshev cho kết quả đo: P xác suất bất bình đẳng

  | (X1 + Xa + ... + Xn) / n - a |< ε tùy tiện gần gũi thống nhất.

  Nói cách khác, với một số lượng đủ lớn các phép đo, gần như chắc chắn rằng giá trị trung bình cộng của chúng chỉ khác một chút tùy ý so với giá trị thực của đại lượng đo.

  Định lý Chebyshev chỉ ra các điều kiện mà phương pháp đo được mô tả có thể được áp dụng. Tuy nhiên, thật sai lầm khi nghĩ rằng, bằng cách tăng số lượng phép đo, người ta có thể đạt được độ chính xác cao tùy ý. Thực tế là bản thân thiết bị chỉ cho phép đọc với độ chính xác ± α, do đó, mỗi kết quả đo, và do đó trung bình cộng của chúng, sẽ chỉ thu được với độ chính xác không vượt quá độ chính xác của thiết bị.

  Phương pháp chọn mẫu được sử dụng rộng rãi trong thống kê dựa trên định lý Chebyshev, bản chất của nó là một mẫu ngẫu nhiên tương đối nhỏ được sử dụng để đánh giá toàn bộ tổng thể (dân số chung) của các đối tượng được nghiên cứu.

  Ví dụ, chất lượng của một kiện bông được đánh giá bằng một bó nhỏ bao gồm các sợi được chọn ngẫu nhiên từ các phần khác nhau của kiện hàng. Mặc dù số lượng sợi trong một bó ít hơn nhiều so với trong một kiện, nhưng bản thân bó có chứa một số lượng sợi khá lớn, lên đến hàng trăm.

  Một ví dụ khác, người ta có thể chỉ ra việc xác định chất lượng hạt từ một mẫu nhỏ. Và trong trường hợp này, số lượng hạt được chọn ngẫu nhiên là nhỏ so với toàn bộ khối lượng của hạt, nhưng bản thân nó lại khá lớn.

  Từ các ví dụ được trích dẫn, người ta có thể kết luận rằng đối với thực tế, định lý Chebyshev có tầm quan trọng không thể lường trước được.

  2.5. Định lýBernoulli

  Sản xuất P kiểm tra độc lập (không phải sự kiện, mà là kiểm tra). Trong mỗi người trong số họ, xác suất xuất hiện của một sự kiện Một bằng R.

  Câu hỏi phát sinh, tần suất xuất hiện tương đối của sự kiện sẽ như thế nào? Câu hỏi này được trả lời bởi định lý được chứng minh bởi Bernoulli, được gọi là "định luật của các số lớn" và đặt nền tảng cho lý thuyết xác suất như một môn khoa học.

  Định lý Bernoulli. Nếu trong mỗi P xác suất kiểm tra độc lập R sự xuất hiện của một sự kiện NHƯNG là không đổi, thì xác suất độ lệch của tần số tương đối so với xác suất R sẽ có giá trị tuyệt đối nhỏ tùy ý nếu số lượng thử nghiệm đủ lớn.

  Nói cách khác, nếu ε> 0 là một số nhỏ tùy ý, thì với các điều kiện của định lý, chúng ta có đẳng thức

  P (|m / n - p |< ε)= 1

  Nhận xét. Sẽ là sai, trên cơ sở định lý Bernoulli, khi kết luận rằng với sự gia tăng số lần thử nghiệm, tần số tương đối có xu hướng ổn định đến xác suất R; nói cách khác, định lý Bernoulli không ngụ ý về đẳng thức (t / n) = p,

  TẠIĐịnh lý chỉ đề cập đến xác suất mà với số lượng thử nghiệm đủ lớn, tần suất tương đối sẽ khác một chút tùy ý so với xác suất không đổi của sự xuất hiện của một sự kiện trong mỗi thử nghiệm.

  Nhiệm vụ 7-1.

  1. Hãy ước lượng xác suất để sau 3600 lần ném chết, số lần xuất hiện của 6 quả là ít nhất là 900 quả.

  Quyết định. Gọi x là số lần xuất hiện của 6 điểm trong 3600 lần tung đồng xu. Xác suất để được 6 điểm trong một lần tung là p = 1/6 thì M (x) = 3600 1/6 = 600. Chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev (bổ đề) cho một α = 900 cho trước

  = P(x³ 900) £ 600/900 = 2/3

  Trả lời 2 / 3.

  2. 1000 thử nghiệm độc lập đã được thực hiện, p = 0,8. Tìm xác suất để số lần xuất hiện của biến cố A trong các phép thử này sai lệch so với mô đun kỳ vọng toán học của nó nhỏ hơn 50.

  Quyết định. x là số lần xuất hiện biến cố A trong n - 1000 lần thử nghiệm.

  M (X) \ u003d 1000 0,8 \ u003d 800. D (x) = 100 0,8 0,2 = 160

  Chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho ε = 50 cho trước

  P (| x-M (x) |< ε) ³ 1 - D (x) / ε 2

  R (| x-800 |< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

  Trả lời. 0,936

  3. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev, ước tính xác suất | X - M (X) |< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

  4. Cho: P (| X- M (X) \< ε) ³ 0,9; D (X)= 0,004. Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev, tìm ε . Trả lời. 0,2.

  Kiểm soát câu hỏi và nhiệm vụ

  1. Mục đích của định lý giới hạn trọng tâm

  2. Điều kiện áp dụng định lý Lyapunov.

  3. Sự khác biệt giữa bổ đề và định lý Chebyshev.

  4. Điều kiện để có thể áp dụng định lý Chebyshev.

  5. Điều kiện áp dụng định lý Bernoulli (định luật số lớn)

  Yêu cầu về kiến ​​thức và kỹ năng

  Học sinh phải biết cách xây dựng ngữ nghĩa tổng quát của định lý giới hạn trọng tâm. Có thể xây dựng các định lý từng phần cho các biến ngẫu nhiên có phân phối giống nhau độc lập. Hiểu bất đẳng thức Chebyshev và quy luật số lớn ở dạng Chebyshev. Có ý tưởng về tần suất của một sự kiện, mối quan hệ giữa các khái niệm "xác suất" và "tần suất". Có hiểu biết về quy luật số lớn ở dạng Bernoulli.

  (1857-1918), nhà toán học xuất sắc người Nga