Cho biết bậc của một đa thức có ý nghĩa gì. Ý nghĩa của từ đa thức

Theo định nghĩa, đa thức là một biểu thức đại số biểu diễn tổng của các đơn thức.

Ví dụ: 2 * a ^ 2 + 4 * a * x ^ 7 - 3 * a * b ^ 3 + 4; 6 + 4 * b ^ 3 là đa thức và biểu thức z / (x - x * y ^ 2 + 4) không phải là đa thức vì nó không phải là tổng của đơn thức. Đa thức đôi khi còn được gọi là đa thức, và các đơn thức là một phần của đa thức là thành viên của một đa thức hoặc các đơn thức.

Khái niệm phức tạp của một đa thức

Nếu một đa thức bao gồm hai số hạng, thì nó được gọi là một nhị thức, nếu nó bao gồm ba - một tam thức. Các tên có bốn số hạng, năm số hạng và các tên khác không được sử dụng, và trong những trường hợp như vậy, chúng chỉ đơn giản nói là đa thức. Những cái tên như vậy, tùy thuộc vào số lượng điều khoản, đặt mọi thứ vào đúng vị trí của nó.

Và thuật ngữ đơn thức trở thành trực quan. Theo quan điểm của toán học, một đơn thức là một trường hợp đặc biệt của một đa thức. Một đơn thức là một đa thức chỉ có một số hạng.

Cũng giống như đơn thức, đa thức có dạng chuẩn của riêng nó. Dạng chuẩn của một đa thức là một ký hiệu của một đa thức trong đó tất cả các đơn thức có trong nó dưới dạng các số hạng được viết ở dạng chuẩn và các số hạng tương tự được đưa ra.

Dạng chuẩn của một đa thức

Quy trình đưa một đa thức về dạng chuẩn là đưa từng đơn thức về dạng chuẩn, rồi cộng tất cả các đơn thức đó lại với nhau. Việc thêm các thành viên tương tự của một đa thức được gọi là giảm các số hạng tương tự.
Ví dụ, hãy đưa ra các số hạng tương tự trong đa thức 4 * a * b ^ 2 * c ^ 3 + 6 * a * b ^ 2 * c ^ 3 - a * b.

Các số hạng 4 * a * b ^ 2 * c ^ 3 và 6 * a * b ^ 2 * c ^ 3 tương tự ở đây. Tổng các số hạng này sẽ là đơn thức 10 * a * b ^ 2 * c ^ 3. Do đó, đa thức ban đầu 4 * a * b ^ 2 * c ^ 3 + 6 * a * b ^ 2 * c ^ 3 - a * b có thể được viết lại thành 10 * a * b ^ 2 * c ^ 3 - a * b. Mục nhập này sẽ là dạng chuẩn của đa thức.

Từ việc đơn thức nào có thể thu gọn về dạng chuẩn, thì đa thức nào cũng có thể thu gọn về dạng chuẩn.

Khi đa thức được rút gọn về dạng chuẩn, chúng ta có thể nói về một khái niệm như bậc của đa thức. Bậc của một đa thức là bậc lớn nhất của một đơn thức có trong một đa thức đã cho.
Vì vậy, ví dụ, 1 + 4 * x ^ 3 - 5 * x ^ 3 * y ^ 2 là đa thức bậc năm, vì bậc lớn nhất của một đơn thức được bao gồm trong đa thức (5 * x ^ 3 * y ^ 2) là thứ năm.

Khái niệm về một đa thức

Định nghĩa đa thức: Đa thức là tổng của các đơn thức. Ví dụ về đa thức:

ở đây chúng ta thấy tổng của hai đơn thức và đây là đa thức, tức là tổng của các đơn thức.

Các hạng tử tạo nên một đa thức được gọi là các thành viên của đa thức.

Hiệu của đơn thức có phải là đa thức không? Đúng vậy, bởi vì sự khác biệt dễ dàng được rút gọn thành tổng, ví dụ: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Đơn thức cũng được coi là đa thức. Nhưng không có tổng trong một đơn thức, thì tại sao nó được coi là một đa thức? Và bạn có thể thêm số 0 vào nó và lấy tổng của nó bằng một đơn thức bằng không. Vì vậy, một đơn thức là một trường hợp đặc biệt của một đa thức, nó bao gồm một thành viên.

Số 0 là một đa thức không.

Dạng chuẩn của một đa thức

Đa thức dạng chuẩn là gì? Một đa thức là tổng của các đơn thức, và nếu tất cả các đơn thức tạo thành một đa thức được viết ở dạng chuẩn, ngoài ra, không có đơn thức nào giống nhau trong số chúng thì đa thức đó được viết ở dạng chuẩn.

Một ví dụ về đa thức ở dạng chuẩn:

ở đây đa thức gồm 2 đơn thức, mỗi đơn thức đều có dạng chuẩn, trong số các đơn thức không có đơn thức nào giống nhau.

Bây giờ là một ví dụ về đa thức không có dạng chuẩn:

đây là hai đơn thức: 2a và 4a là tương tự. Chúng ta cần thêm chúng vào, khi đó đa thức sẽ có dạng chuẩn:

Một vi dụ khac:

Đa thức này có được rút gọn về dạng chuẩn không? Không, thành viên thứ hai của nó không được viết ở dạng chuẩn. Viết nó ở dạng chuẩn, chúng ta thu được một đa thức dạng chuẩn:

Bậc của một đa thức

Bậc của một đa thức là gì?

Định nghĩa bậc đa thức:

Bậc của một đa thức là bậc lớn nhất mà các đơn thức tạo thành một đa thức đã cho có dạng chuẩn.

Ví dụ. Bậc của đa thức 5h là bao nhiêu? Bậc của đa thức 5h bằng một vì đa thức này chỉ chứa một đơn thức và bậc của nó bằng một.

Một vi dụ khac. Bậc của đa thức 5a 2 h 3 s 4 +1 là bao nhiêu? Bậc của đa thức 5a 2 h 3 s 4 + 1 là chín vì đa thức này gồm hai đơn thức, đơn thức thứ nhất 5a 2 h 3 s 4 có bậc cao nhất và bậc của nó là 9.

Một vi dụ khac. Bậc của đa thức 5 là bao nhiêu? Bậc của đa thức 5 bằng không. Vì vậy, bậc của một đa thức chỉ bao gồm một số, tức là không có chữ cái, bằng không.

Ví dụ cuối cùng. Bậc của đa thức 0 là gì, tức là số không? Bậc của đa thức 0 không được xác định.

Sau khi nghiên cứu đơn thức, chúng ta chuyển sang đa thức. Bài viết này sẽ cho bạn biết về tất cả các thông tin cần thiết cần thiết để thực hiện các hành động trên chúng. Chúng tôi sẽ định nghĩa một đa thức với các định nghĩa kèm theo của thuật ngữ đa thức, nghĩa là, miễn phí và tương tự, xem xét một đa thức có dạng chuẩn, giới thiệu một mức độ và học cách tìm nó, làm việc với các hệ số của nó.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Đa thức và các thành viên của nó - định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa của một đa thức là cần thiết trong 7 lớp sau khi nghiên cứu đơn thức. Hãy xem định nghĩa đầy đủ của nó.

Định nghĩa 1

đa thức tổng của các đơn thức được coi là, và bản thân đơn thức là một trường hợp đặc biệt của một đa thức.

Theo định nghĩa, các ví dụ về đa thức có thể khác nhau: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 0, 6 x (- 2) y 12, - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z, v.v. Từ định nghĩa, chúng tôi có rằng 1 + x, a 2 + b 2 và biểu thức x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5, 2 · y · x là đa thức.

Hãy xem xét thêm một số định nghĩa.

Định nghĩa 2

Các thành viên của đa thức các đơn thức cấu tạo của nó được gọi là.

Hãy xem xét ví dụ này, trong đó chúng ta có một đa thức 3 x 4 - 2 x y + 3 - y 3, bao gồm 4 phần tử: 3 x 4, - 2 x y, 3 và - y 3. Một đơn thức như vậy có thể được coi là một đa thức, bao gồm một số hạng.

Định nghĩa 3

Các đa thức có 2, 3 tam thức trong thành phần của chúng có tên tương ứng là - nhị thức và tam thức.

Từ đó xuất hiện một biểu thức của biểu mẫu x + y- là một nhị thức và biểu thức 2 x 3 q - q x x + 7 b là một tam thức.

Theo chương trình học ở trường, họ đã làm việc với một nhị thức tuyến tính có dạng a x + b, trong đó a và b là một số số và x là một biến số. Xét các ví dụ về các nhị thức tuyến tính có dạng: x + 1, x · 7, 2 - 4 với các ví dụ về các tam thức vuông x 2 + 3 · x - 5 và 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Để biến đổi và giải pháp, cần phải tìm và đưa các thuật ngữ tương tự. Ví dụ, một đa thức dạng 1 + 5 x - 3 + y + 2 x có các số hạng như 1 và - 3, 5 x và 2 x. Chúng được chia thành một nhóm đặc biệt được gọi là các thành viên tương tự của đa thức.

Định nghĩa 4

Các thành viên tương tự của một đa thức giống như các số hạng trong đa thức.

Trong ví dụ trên, chúng ta có 1 và - 3, 5 x và 2 x là các số hạng tương tự của đa thức hoặc các số hạng tương tự. Để đơn giản hóa biểu thức, hãy tìm và rút gọn các số hạng tương tự.

Đa thức dạng chuẩn

Tất cả các đơn thức và đa thức đều có tên riêng.

Định nghĩa 5

Đa thức dạng chuẩn Một đa thức được gọi trong đó mỗi phần tử của nó có một đơn thức có dạng chuẩn và không chứa các phần tử tương tự.

Từ định nghĩa có thể thấy rằng có thể rút gọn các đa thức ở dạng chuẩn, ví dụ, 3 x 2 - x y + 1 và __formula__, và bản ghi ở dạng chuẩn. Các biểu thức 5 + 3 x 2 - x 2 + 2 x z và 5 + 3 x 2 - x 2 + 2 x z không phải là đa thức ở dạng chuẩn, vì bậc đầu tiên của chúng có các số hạng tương tự ở dạng 3 x 2 và - x2 và thứ hai chứa một đơn thức có dạng x · y 3 · x · z 2, khác với đa thức chuẩn.

Nếu hoàn cảnh yêu cầu như vậy, đôi khi đa thức được rút gọn thành dạng chuẩn. Khái niệm về một số hạng tự do của một đa thức cũng được coi là một đa thức có dạng chuẩn.

Định nghĩa 6

Thành viên miễn phí của đa thức là một đa thức dạng chuẩn không có phần chữ cái.

Nói cách khác, khi ký hiệu của một đa thức ở dạng chuẩn có một số, nó được gọi là một phần tử tự do. Khi đó số 5 là thành viên tự do của đa thức x 2 · z + 5, và đa thức 7 · a + 4 · a · b + b 3 không có thành viên nào.

Bậc của một đa thức - làm thế nào để tìm nó?

Định nghĩa bậc của một đa thức dựa trên định nghĩa của một đa thức dạng chuẩn và bậc của các đơn thức là thành phần của nó.

Định nghĩa 7

Bậc của một đa thức dạng chuẩnđặt tên cho lũy thừa lớn nhất có trong ký hiệu của nó.

Hãy xem một ví dụ. Bậc của đa thức 5 x 3 - 4 bằng 3 vì các đơn thức có trong thành phần của nó có bậc 3 và 0, và bậc lớn nhất của chúng tương ứng là 3. Định nghĩa bậc của đa thức 4 x 2 y 3 - 5 x 4 y + 6 x bằng lớn nhất trong các số, tức là 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 và 1, do đó 5.

Cần phải tìm hiểu xem bản thân bằng cấp như thế nào.

Định nghĩa 8

Bậc của một đa thức của một số tùy ý là bậc của đa thức tương ứng ở dạng chuẩn.

Khi một đa thức không được viết ở dạng chuẩn, nhưng bạn cần tìm bậc của nó, bạn cần rút gọn nó về dạng chuẩn, sau đó tìm bậc cần thiết.

ví dụ 1

Tìm bậc của một đa thức 3 a 12 - 2 a b c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12.

Quyết định

Đầu tiên, chúng ta trình bày đa thức ở dạng chuẩn. Chúng tôi nhận được một biểu thức như:

3 a 12 - 2 a b c a c b + y 2 z 2 - 2 a 12 - a 12 = = (3 a 12 - 2 a 12 - a 12) - 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = - 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Khi thu được một đa thức ở dạng chuẩn, ta thấy rằng hai trong số chúng phân biệt rõ ràng - 2 · a 2 · b 2 · c 2 và y 2 · z 2. Để tìm các độ, chúng ta tính toán và nhận được rằng 2 + 2 + 2 = 6 và 2 + 2 = 4. Có thể thấy rằng lớn nhất trong số họ bằng 6. Từ định nghĩa rằng chính xác 6 là bậc của đa thức - 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, do đó giá trị ban đầu.

Trả lời: 6 .

Hệ số của các số hạng của đa thức

Định nghĩa 9

Khi tất cả các hạng tử của đa thức đều là đơn thức có dạng chuẩn thì trong trường hợp này chúng có tên là hệ số của các hạng tử của đa thức. Nói cách khác, chúng có thể được gọi là các hệ số của một đa thức.

Khi xem xét ví dụ, có thể thấy rằng đa thức dạng 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 có 4 đa thức trong thành phần của nó: 2 x, - 0, 5 x y, 3 x và 7 tương ứng với chúng. hệ số 2, - 0, 5, 3 và 7. Do đó, 2, - 0, 5, 3 và 7 được coi là hệ số của các hạng tử của đa thức đã cho có dạng 2 · x - 0, 5 · x · y + 3 · x + 7. Khi chuyển đổi, điều quan trọng là phải chú ý đến các hệ số ở phía trước của các biến.

Nếu bạn nhận thấy lỗi trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Hoặc, đúng, một tổng chính thức hữu hạn của biểu mẫu

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\ displaystyle \ sum _ (I) c_ (I) x_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_ (n) ^ (i_ (n))), ở đâu

Đặc biệt, đa thức một biến là một tổng hữu hạn hình thức có dạng

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x m (\ displaystyle c_ (0) + c_ (1) x ^ (1) + \ dot + c_ (m) x ^ (m)), ở đâu

Với sự trợ giúp của đa thức, các khái niệm "phương trình đại số" và "hàm số đại số" được suy ra.

Nghiên cứu và ứng dụng[ | ]

Việc nghiên cứu các phương trình đa thức và các nghiệm của chúng gần như là đối tượng chính của "đại số cổ điển".

Một số phép biến đổi trong toán học gắn liền với việc nghiên cứu đa thức: giới thiệu việc xem xét số 0, số âm và số phức, cũng như sự xuất hiện của lý thuyết nhóm như một nhánh của toán học và sự phân bổ các lớp của các hàm đặc biệt Phân tích.

Tính đơn giản về mặt kỹ thuật của các phép tính liên quan đến đa thức so với các lớp hàm phức tạp hơn, cũng như thực tế là tập đa thức dày đặc trong không gian của các hàm liên tục trên các tập con nhỏ gọn của không gian Euclide (xem định lý xấp xỉ Weierstrass), đã góp phần vào phát triển các phương pháp khai triển chuỗi và nội suy đa thức trong Giải tích.

Đa thức cũng đóng một vai trò quan trọng trong hình học đại số, đối tượng của chúng là các tập hợp, được định nghĩa là nghiệm của hệ các đa thức.

Các tính chất đặc biệt của biến đổi hệ số trong phép nhân đa thức được sử dụng trong hình học đại số, đại số, lý thuyết nút và các ngành khác của toán học để mã hóa hoặc biểu thị các thuộc tính đa thức của các đối tượng khác nhau.

Các định nghĩa liên quan[ | ]

Đa thức loại c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\ displaystyle cx_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_ (n) ^ (i_ (n))) triệu tập đơn thức hoặc đơn thứcđa chỉ mục I = (i 1,…, i n) (\ displaystyle I = (i_ (1), \ dot, \, i_ (n))).
Đơn thức tương ứng với một chỉ số nhiều I = (0,…, 0) (\ displaystyle I = (0, \ dot, \, 0)) triệu tập thành viên miễn phí.
Bằng cấp đầy đủ(khác 0) đơn thức c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\ displaystyle c_ (I) x_ (1) ^ (i_ (1)) x_ (2) ^ (i_ (2)) \ cdots x_ (n) ^ (i_ (N)))được gọi là một số nguyên | Tôi | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\ displaystyle | I | = i_ (1) + i_ (2) + \ dot + i_ (n)).
Nhiều chỉ mục Tôi, mà các hệ số c I (\ displaystyle c_ (I)) khác 0, được gọi là đa thức mang, và vỏ lồi của nó là Đa diện Newton.
Bậc của đa thức là tối đa của các lũy thừa của đơn thức của nó. Mức độ của số 0 giống hệt nhau được xác định thêm bởi giá trị - ∞ (\ displaystyle - \ infty).
Đa thức là tổng của hai đơn thức được gọi là nhị thức hoặc nhị thức,
Một đa thức là tổng của ba đơn thức được gọi là ba bên.
Hệ số của đa thức thường được lấy từ một vành giao hoán nào đó R (\ displaystyle R)(thường là các trường, chẳng hạn như các trường của số thực hoặc số phức). Trong trường hợp này, đối với các phép toán cộng và nhân, các đa thức tạo thành một vành (hơn nữa, một đại số giao hoán-kết hợp trên vành R (\ displaystyle R) không có ước số 0) được ký hiệu là R [x 1, x 2,…, x n]. (\ displaystyle R.)
Đối với đa thức p (x) (\ displaystyle p (x)) một biến, nghiệm của phương trình p (x) = 0 (\ displaystyle p (x) = 0)được gọi là gốc của nó.

Hàm đa thức[ | ]

Để cho được A (\ displaystyle A) có một đại số trên một chiếc nhẫn R (\ displaystyle R). Đa thức tùy ý p (x) ∈ R [x 1, x 2,…, x n] (\ displaystyle p (x) \ in R)định nghĩa một hàm đa thức

p R: A → A (\ displaystyle p_ (R): A \ đến A).

Trường hợp thường được xem xét nhất A = R (\ displaystyle A = R).

Nếu R (\ displaystyle R) là một trường của số thực hoặc số phức (cũng như bất kỳ trường nào khác có vô số phần tử), hàm f p: R n → R (\ displaystyle f_ (p): R ^ (n) \ đến R) xác định hoàn toàn đa thức p. Tuy nhiên, điều này nói chung không đúng, ví dụ: đa thức p 1 (x) ≡ x (\ displaystyle p_ (1) (x) \ Equiv x) và p 2 (x) ≡ x 2 (\ displaystyle p_ (2) (x) \ Equiv x ^ (2)) từ Z 2 [x] (\ displaystyle \ mathbb (Z) _ (2) [x]) xác định các chức năng bình đẳng giống nhau Z 2 → Z 2 (\ displaystyle \ mathbb (Z) _ (2) \ to \ mathbb (Z) _ (2)).

Một hàm đa thức của một biến thực được gọi là một hàm hữu tỉ toàn phần.

Các loại đa thức[ | ]

Tính chất [ | ]

Chia hết [ | ]

Vai trò của đa thức bất khả quy trong vành đa thức tương tự như vai trò của số nguyên tố trong vành số nguyên. Ví dụ, định lý là đúng: nếu tích của các đa thức pq (\ displaystyle pq) chia hết cho một đa thức bất khả quy thì P hoặc q chia λ (\ displaystyle \ lambda). Mỗi đa thức có bậc lớn hơn 0 sẽ phân hủy trong một trường nhất định thành một tích của các thừa số bất khả quy theo một cách duy nhất (lên đến các thừa số của bậc 0).

Ví dụ, đa thức x 4 - 2 (\ displaystyle x ^ (4) -2), là bất khả quy trong trường số hữu tỉ, phân rã thành ba thừa số trong trường số thực và thành bốn thừa số trong trường số phức.

Nói chung, mọi đa thức trong một biến x (\ displaystyle x) phân rã trong lĩnh vực số thực thành thừa số bậc nhất và cấp hai, trong lĩnh vực số phức - thành thừa số bậc một (định lý chính của đại số).

Đối với hai hoặc nhiều biến, điều này không còn có thể được khẳng định. Trên bất kỳ trường nào cho bất kỳ n> 2 (\ displaystyle n> 2) có đa thức từ n (\ displaystyle n) các biến không thể điều chỉnh được trong bất kỳ phần mở rộng nào của trường này. Những đa thức như vậy được gọi là tuyệt đối bất khả quy.