Phân số, các phép toán với phân số. Hoạt động với các phân số chung

Phân số là thông thường và thập phân. Khi học sinh biết về sự tồn tại của cái sau, anh ta bắt đầu bằng mọi cơ hội để dịch mọi thứ có thể thành dạng thập phân, ngay cả khi điều này không được yêu cầu.

Thật kỳ lạ, sở thích của học sinh trung học và học sinh thay đổi, bởi vì nó dễ dàng hơn để thực hiện nhiều phép tính số học với các phân số thông thường. Và các giá trị mà sinh viên tốt nghiệp xử lý đôi khi có thể đơn giản là không thể chuyển đổi sang dạng thập phân mà không bị mất. Kết quả là, cả hai loại phân số, bằng cách này hay cách khác, đều thích ứng với từng trường hợp và có những ưu nhược điểm riêng. Hãy xem làm thế nào để làm việc với họ.

Sự định nghĩa

Các phân số là các cổ phần giống nhau. Nếu có mười lát cam trong một quả cam và bạn được cho một quả cam, thì bạn có 1/10 số quả trên tay. Với ký hiệu như vậy, như trong câu trước, phân số sẽ được gọi là phân số thường. Nếu bạn viết giống như 0,1 - số thập phân. Cả hai tùy chọn đều ngang nhau, nhưng có lợi thế riêng của họ. Tùy chọn đầu tiên thuận tiện hơn cho phép nhân và phép chia, tùy chọn thứ hai - cho phép cộng, phép trừ và trong một số trường hợp khác.

Cách chuyển một phân số sang dạng khác

Giả sử bạn có một phân số chung và bạn muốn chuyển nó thành một số thập phân. Tôi cần phải làm gì?

Nhân tiện, bạn cần quyết định trước rằng không phải bất kỳ số nào cũng có thể viết ở dạng thập phân mà không gặp vấn đề. Đôi khi bạn phải làm tròn kết quả, mất một số chữ số thập phân nhất định và trong nhiều lĩnh vực - ví dụ, trong khoa học chính xác - đây là một điều hoàn toàn xa xỉ không thể chi trả được. Đồng thời, các thao tác với phân số thập phân và phân số thông thường ở lớp 5 giúp chúng ta có thể thực hiện việc chuyển từ loại này sang loại khác mà không bị can thiệp, ít nhất là một bài tập.

Nếu từ mẫu số, bằng cách nhân hoặc chia cho một số nguyên, bạn có thể nhận được giá trị là bội số của 10, thì phép chuyển sẽ trôi qua mà không gặp bất kỳ khó khăn nào: ¾ biến thành 0,75, 13/20 - thành 0,65.

Quy trình nghịch đảo thậm chí còn dễ dàng hơn, vì bạn luôn có thể nhận được một phân số bình thường từ một phân số thập phân mà không bị giảm độ chính xác. Ví dụ: 0,2 trở thành 1/5 và 0,08 trở thành 4/25.

Chuyển đổi nội bộ

Trước khi thực hiện các hành động chung với các phân số thông thường, bạn cần chuẩn bị các số cho các phép toán có thể thực hiện.

Trước hết, bạn cần đưa tất cả các phân số trong ví dụ về một dạng tổng quát. Chúng phải là thông thường hoặc thập phân. Hãy đặt trước ngay lập tức rằng phép nhân và phép chia sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện với lần đầu tiên.

Khi chuẩn bị các con số cho các hành động tiếp theo, bạn sẽ được trợ giúp bởi một quy tắc được biết đến và được sử dụng cả trong những năm đầu nghiên cứu chủ đề này và trong toán học cao hơn, được nghiên cứu tại các trường đại học.

Thuộc tính phân số

Giả sử bạn có một số giá trị. Giả sử 2/3. Điều gì xảy ra nếu bạn nhân tử số và mẫu số với 3? Nhận ngày 6/9. Nếu đó là một triệu thì sao? 2000000/3000000. Nhưng chờ đợi, bởi vì con số không thay đổi về mặt chất lượng - 2/3 vẫn bằng 2000000/3000000. Chỉ thay đổi hình thức, không thay đổi nội dung. Điều tương tự cũng xảy ra khi cả hai phần được chia cho cùng một giá trị. Đây là thuộc tính chính của phân số, sẽ nhiều lần giúp bạn thực hiện các thao tác với phân số thập phân và phân số thông thường trong các bài kiểm tra và bài thi.

Nhân tử số và mẫu số với cùng một số được gọi là khai triển một phân số, và phép chia được gọi là giảm. Tôi phải nói rằng gạch bỏ các số giống nhau ở đầu và cuối khi nhân và chia phân số là một thủ tục thú vị đáng ngạc nhiên (tất nhiên là một phần của bài học toán). Có vẻ như câu trả lời đã gần kề và ví dụ thực tế đã được giải quyết.

Các phân số không thích hợp

Phân số không đúng là phân số mà tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số. Nói cách khác, nếu một bộ phận có thể được phân biệt với nó, thì nó thuộc định nghĩa này.

Nếu một số như vậy (lớn hơn hoặc bằng một) được biểu diễn dưới dạng một phân số thông thường, nó sẽ được gọi là không đúng. Và nếu tử số nhỏ hơn mẫu số - đúng. Cả hai loại đều thuận tiện như nhau trong việc thực hiện các hành động có thể có với các phân số thông thường. Chúng có thể được nhân và chia, cộng và trừ một cách tự do.

Nếu chọn đồng thời một phần nguyên và đồng thời có một phần dư dưới dạng phân số thì kết quả sẽ được gọi là hỗn số. Trong tương lai, bạn sẽ gặp nhiều cách khác nhau để kết hợp các cấu trúc như vậy với các biến, cũng như giải các phương trình mà kiến thức này là bắt buộc.

Các phép tính toán học

Nếu mọi thứ đều rõ ràng với tính chất cơ bản của một phân số, thì làm thế nào để xử lý khi nhân phân số? Các phép tính với phân số thông thường ở lớp 5 liên quan đến tất cả các loại phép tính số học được thực hiện theo hai cách khác nhau.

Nhân và chia rất dễ dàng. Trong trường hợp đầu tiên, tử số và mẫu số của hai phân số được nhân một cách đơn giản. Trong lần thứ hai - giống nhau, chỉ theo chiều ngang. Do đó, tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai và ngược lại.

Để thực hiện phép cộng và phép trừ, bạn cần thực hiện thêm một hành động - đưa tất cả các thành phần của biểu thức về một mẫu số chung. Điều này có nghĩa là các phần dưới của phân số phải được đổi thành cùng một giá trị - bội số của cả hai mẫu số có sẵn. Ví dụ, đối với 2 và 5 sẽ là 10. Đối với 3 và 6 - 6. Nhưng sau đó phải làm gì với phần trên cùng? Chúng ta không thể để nó như cũ nếu chúng ta thay đổi cái dưới cùng. Theo tính chất cơ bản của phân số, ta nhân tử số với mẫu số. Thao tác này phải được thực hiện trên từng số mà chúng ta sẽ cộng hoặc trừ. Tuy nhiên, những thao tác như vậy với phân số thông thường ở lớp 6 đã được thực hiện “trên máy”, và những khó khăn chỉ nảy sinh ở giai đoạn đầu nghiên cứu chủ đề.

So sánh

Nếu hai phân số có cùng mẫu số thì phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn. Nếu các phần trên giống nhau thì phần nào có mẫu số nhỏ hơn sẽ lớn hơn. Cần lưu ý rằng những tình huống thành công như vậy để so sánh hiếm khi xảy ra. Rất có thể, cả phần trên và phần dưới của biểu thức sẽ không khớp. Sau đó, bạn cần nhớ về các hành động có thể có với các phân số thông thường và sử dụng kỹ thuật được sử dụng trong phép cộng và phép trừ. Ngoài ra, hãy nhớ rằng nếu chúng ta đang nói về số âm, thì phần lớn hơn trong môđun sẽ nhỏ hơn.

Ưu điểm của phân số chung

Có thể xảy ra trường hợp giáo viên nói với trẻ em một cụm từ, nội dung của cụm từ đó có thể được diễn đạt như sau: càng đưa ra nhiều thông tin khi xây dựng nhiệm vụ thì giải pháp càng dễ dàng. Nghe có vẻ lạ phải không? Nhưng thực sự: với một số lượng lớn các giá trị đã biết, bạn có thể sử dụng hầu như bất kỳ công thức nào, nhưng nếu chỉ cung cấp một vài số, có thể phải phản ánh thêm, bạn sẽ phải nhớ và chứng minh các định lý, đưa ra các lập luận ủng hộ tính đúng đắn của bạn ...

Tại sao chúng ta lại làm việc này? Hơn nữa, các phân số thông thường, vì tất cả sự rườm rà của chúng, có thể đơn giản hóa rất nhiều cuộc sống của một học sinh, cho phép bạn giảm toàn bộ các dòng giá trị \ u200b \ u200b khi nhân và chia, và khi tính tổng và hiệu, hãy lấy ra các đối số chung và , một lần nữa, giảm chúng.

Khi được yêu cầu thực hiện các thao tác liên kết với phân số thông thường và phân số thập phân, các phép biến đổi được thực hiện theo hướng đầu tiên: làm thế nào để bạn chuyển 3/17 sang dạng thập phân? Chỉ với mất thông tin, không phải khác. Nhưng 0,1 có thể được biểu thị bằng 1/10 và sau đó là 17/170. Và sau đó hai số kết quả có thể được cộng hoặc trừ: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Tại sao số thập phân lại hữu ích?

Nếu các hành động với phân số thông thường thuận tiện hơn để thực hiện, thì việc viết mọi thứ ra giấy với sự trợ giúp của họ là cực kỳ bất tiện, số thập phân có một lợi thế đáng kể ở đây. So sánh: 1748/10000 và 0,1748. Nó là cùng một giá trị được trình bày trong hai phiên bản khác nhau. Tất nhiên, cách thứ hai dễ dàng hơn!

Ngoài ra, số thập phân dễ biểu diễn hơn vì tất cả dữ liệu có cơ sở chung chỉ khác nhau theo thứ tự độ lớn. Giả sử chúng ta có thể dễ dàng nhận ra mức giảm giá 30% và thậm chí đánh giá nó là đáng kể. Bạn sẽ hiểu ngay cái nào nhiều hơn - 30% hay 137/379? Do đó, các phân số thập phân cung cấp sự chuẩn hóa các phép tính.

Ở trường phổ thông, học sinh giải phương trình bậc hai. Việc thực hiện các hành động với phân số thông thường ở đây đã rất khó khăn vì công thức tính các giá trị \ u200b \ u200bof của biến chứa căn bậc hai của tổng. Khi có một phân số không thể rút gọn thành số thập phân, lời giải trở nên phức tạp đến mức gần như không thể tính được câu trả lời chính xác mà không có máy tính.

Vì vậy, mỗi cách biểu diễn phân số đều có những ưu điểm riêng trong bối cảnh thích hợp.

Hình thức nhập cảnh

Có hai cách để viết các hành động với các phân số thông thường: qua một đường ngang, thành hai “bậc” và qua một dấu gạch chéo (hay còn gọi là “gạch chéo”) - thành một dòng. Khi học sinh viết vào vở, phương án đầu tiên thường thuận tiện hơn và do đó phổ biến hơn. Sự phân bố của một số số vào các ô góp phần phát triển sự chú ý trong các phép tính và các phép biến đổi. Khi ghi vào một chuỗi, bạn có thể vô tình nhầm lẫn thứ tự của các hành động, mất bất kỳ dữ liệu nào - tức là mắc lỗi.

Rất thường xuyên trong thời đại chúng ta có nhu cầu in số trên máy tính. Bạn có thể tách các phân số bằng thanh ngang truyền thống bằng cách sử dụng một hàm trong Microsoft Word 2010 trở lên. Thực tế là trong các phiên bản phần mềm này có một tùy chọn được gọi là "công thức". Nó hiển thị một trường có thể biến đổi hình chữ nhật trong đó bạn có thể kết hợp bất kỳ ký hiệu toán học nào, tạo thành phân số hai và "bốn tầng". Ở mẫu số và tử số, bạn có thể sử dụng dấu ngoặc, dấu phép toán. Kết quả là, bạn sẽ có thể viết ra bất kỳ hành động chung nào với phân số thông thường và phân số thập phân ở dạng truyền thống, tức là cách họ dạy bạn làm ở trường.

Nếu bạn sử dụng trình soạn thảo văn bản Notepad tiêu chuẩn, thì tất cả các biểu thức phân số sẽ cần được viết thông qua một dấu gạch chéo. Thật không may, không có cách nào khác ở đây.

Sự kết luận

Vì vậy, chúng tôi đã xem xét tất cả các hành động cơ bản với các phân số thông thường, hóa ra không nhiều như vậy.

Nếu thoạt đầu có vẻ như đây là một phần phức tạp của toán học, thì đây chỉ là một ấn tượng tạm thời - hãy nhớ rằng, một khi bạn đã nghĩ như vậy về bảng cửu chương, và thậm chí trước đó - về những cuốn sách chép tay thông thường và đếm từ một đến mười.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng phân số được sử dụng ở mọi nơi trong cuộc sống hàng ngày. Bạn sẽ giải quyết vấn đề tiền bạc và tính toán kỹ thuật, công nghệ thông tin và khả năng hiểu biết về âm nhạc, và ở mọi nơi - mọi nơi! - số phân số sẽ xuất hiện. Do đó, đừng lười biếng và hãy nghiên cứu kỹ chủ đề này - đặc biệt là vì nó không quá khó.

Phép nhân và phép chia phân số.

Chú ý!
Có bổ sung
vật liệu trong Phần đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không ..."
Và cho những người "rất nhiều ...")

Phép toán này đẹp hơn nhiều so với phép cộng-trừ! Bởi vì nó dễ dàng hơn. Tôi nhắc bạn: để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số (đây sẽ là tử số của kết quả) và mẫu số (đây sẽ là mẫu số). I E:

Ví dụ:

Mọi thứ cực kỳ đơn giản. Và xin đừng tìm mẫu số chung! Không cần nó ở đây ...

Để chia một phân số cho một phân số, bạn cần lật thứ hai(điều này quan trọng!) phân số và nhân chúng, tức là:

Ví dụ:

Nếu bắt được phép nhân hoặc phép chia với số nguyên và phân số thì không sao cả. Như với phép cộng, chúng ta tạo một phân số từ một số nguyên với một đơn vị ở mẫu số - và tiếp tục! Ví dụ:

Ở trường trung học, bạn thường phải xử lý các phân số ba tầng (hoặc thậm chí bốn tầng!). Ví dụ:

Làm thế nào để đưa phân số này về dạng khá? Vâng, rất dễ dàng! Sử dụng phép chia cho hai điểm:

Nhưng đừng quên về thứ tự phân chia! Không giống như phép nhân, điều này rất quan trọng ở đây! Tất nhiên, chúng ta sẽ không nhầm lẫn giữa 4: 2 hoặc 2: 4. Nhưng trong một phân đoạn ba câu chuyện, rất dễ xảy ra sai sót. Xin lưu ý, ví dụ:

Trong trường hợp đầu tiên (biểu thức bên trái):

Trong phần thứ hai (biểu thức bên phải):

Cảm nhận sự khác biệt? 4 và 1/9!

Thứ tự của phép chia là gì? Hoặc dấu ngoặc, hoặc (như ở đây) độ dài của dấu gạch ngang. Phát triển một con mắt. Và nếu không có dấu ngoặc hoặc dấu gạch ngang, như:

sau đó chia-nhân theo thứ tự, từ trái sang phải!

Và một thủ thuật rất đơn giản và quan trọng khác. Trong các hành động với độ, nó sẽ có ích cho bạn! Hãy chia đơn vị cho bất kỳ phân số nào, chẳng hạn như 13/15:

Cảnh quay đã bị lật! Và nó luôn xảy ra. Khi chia 1 cho bất kỳ phân số nào, kết quả là phân số giống nhau, chỉ có nghịch đảo.

Đó là tất cả các hành động với phân số. Điều này là khá đơn giản, nhưng đưa ra quá đủ lỗi. Hãy ghi lại những lời khuyên thực tế, và sẽ có ít hơn (sai lầm) trong số đó!

Những mẹo có ích:

1. Điều quan trọng nhất khi làm việc với biểu thức phân số là độ chính xác và sự chú ý! Đây không phải là những lời thông thường, không phải là những lời chúc tốt đẹp! Đây là một nhu cầu nghiêm trọng! Làm tất cả các phép tính trong bài kiểm tra như một nhiệm vụ chính thức, với sự tập trung và rõ ràng. Tốt hơn hết bạn nên viết thừa hai dòng trong bản nháp còn hơn là làm rối tung lên khi tính toán trong đầu.

2. Trong các ví dụ với các loại phân số - hãy chuyển sang phân số thường.

3. Chúng tôi giảm tất cả các phân số đến điểm dừng.

4. Chúng tôi giảm các biểu thức phân số nhiều cấp thành những biểu thức thông thường bằng cách sử dụng phép chia cho hai điểm (chúng tôi tuân theo thứ tự của phép chia!).

5. Chúng ta chia đơn vị thành một phân số trong tâm trí của chúng ta, chỉ đơn giản bằng cách lật lại phân số.

Dưới đây là các nhiệm vụ bạn cần hoàn thành. Câu trả lời được đưa ra sau tất cả các nhiệm vụ. Sử dụng các tài liệu của chủ đề này và lời khuyên thực tế. Hãy ước tính xem bạn có thể giải được bao nhiêu ví dụ một cách chính xác. Lần đầu tiên! Không có máy tính! Và rút ra kết luận đúng ...

Nhớ câu trả lời chính xác thu được từ lần thứ hai (đặc biệt là lần thứ ba) - không tính! Cuộc sống khắc nghiệt là vậy.

Cho nên, giải quyết ở chế độ thi ! Nhân tiện, đây là sự chuẩn bị cho kỳ thi. Chúng tôi giải quyết một ví dụ, chúng tôi kiểm tra, chúng tôi giải quyết như sau. Chúng tôi đã quyết định mọi thứ - chúng tôi đã kiểm tra lại từ đầu tiên đến cuối cùng. Chỉ còn sau nhìn vào những câu trả lời.

Tính toán:

Bạn có quyết định không?

Tìm kiếm câu trả lời phù hợp với bạn. Tôi đặc biệt viết chúng ra một cách lộn xộn, tránh xa sự cám dỗ, có thể nói ... Đây là những câu trả lời, được viết ra bằng dấu chấm phẩy.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Và bây giờ chúng tôi đưa ra kết luận. Nếu mọi thứ suôn sẻ - hạnh phúc cho bạn! Các phép tính cơ bản với phân số không phải là vấn đề của bạn! Bạn có thể làm những việc nghiêm túc hơn. Nếu không...

Vì vậy, bạn có một trong hai vấn đề. Hoặc cả hai cùng một lúc.) Thiếu kiến thức và (hoặc) không chú ý. Nhưng điều này tan Các vấn đề.

Nếu bạn thích trang web này ...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm ra trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Học tập - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và các đạo hàm.

Hãy đồng ý rằng "các hành động với phân số" trong bài học của chúng ta sẽ được hiểu là các hành động với phân số thông thường. Phân số là một phân số có các thuộc tính như tử số, thanh phân số và mẫu số. Điều này phân biệt một phân số bình thường với một phân số thập phân, lấy phân số bình thường bằng cách giảm mẫu số xuống bội số của 10. Phân số thập phân được viết bằng dấu phẩy ngăn cách phần nguyên với phân số. Chúng ta sẽ nói về các hành động với phân số thông thường, vì chúng là nguyên nhân gây ra khó khăn lớn nhất cho những học sinh đã quên những điều cơ bản của chủ đề này, được đề cập trong nửa đầu của khóa học toán ở trường. Đồng thời, khi biến đổi các biểu thức trong toán học cao hơn, nó chủ yếu là các phép toán với phân số thông thường được sử dụng. Một số chữ viết tắt của phân số có giá trị gì đó! Phân số thập phân không gây nhiều khó khăn. Vậy thì cứ đi!

Hai phân số và được gọi là bằng nhau nếu.

Ví dụ, bởi vì

Các phân số và (kể từ), và (kể từ) cũng bằng nhau.

Rõ ràng, cả hai phân số và bằng nhau. Điều này có nghĩa là nếu nhân hoặc chia tử số và mẫu số của một phân số đã cho với cùng một số tự nhiên thì sẽ được một phân số bằng một phân số đã cho:.

Thuộc tính này được gọi là thuộc tính cơ bản của phân số.

Tính chất cơ bản của một phân số có thể được sử dụng để thay đổi dấu hiệu của tử số và mẫu số của một phân số. Nếu nhân tử số và mẫu số của phân số với -1 thì ta được. Điều này có nghĩa là giá trị của một phân số sẽ không thay đổi nếu các dấu của tử số và mẫu số được thay đổi cùng một lúc. Nếu bạn chỉ thay đổi dấu của tử số hoặc chỉ ở mẫu số, thì phân số sẽ thay đổi dấu của nó:

Giảm phân số

Sử dụng tính chất cơ bản của một phân số, bạn có thể thay thế một phân số đã cho bằng một phân số khác bằng phân số đã cho, nhưng có tử số và mẫu số nhỏ hơn. Sự thay thế này được gọi là giảm phân số.

Ví dụ, hãy cho một phân số. Các số 36 và 48 có ước chung lớn nhất là 12. Khi đó

Trong trường hợp chung, luôn có thể giảm phân số nếu tử số và mẫu số không phải là số nguyên tố. Nếu tử số và mẫu số là các số tương đối nguyên tố thì phân số được gọi là bất khả quy.

Vì vậy, giảm một phân số có nghĩa là chia tử số và mẫu số của một phân số cho một nhân tử chung. Tất cả những điều trên áp dụng cho biểu thức phân số có chứa biến.

ví dụ 1 Giảm phân số

Quyết định. Để phân tích tử số thành thừa số, trước đây đã trình bày về đơn thức - 5 xy như một tổng - 2 xy - 3xy, chúng tôi nhận được

Để phân tích mẫu số, chúng ta sử dụng công thức bình phương sai khác:

Kết quả là

Đưa các phân số về một mẫu số chung

Cho hai phân số và được cho. Chúng có các mẫu số khác nhau: 5 và 7. Sử dụng tính chất cơ bản của một phân số, bạn có thể thay thế các phân số này bằng các phân số khác bằng chúng và sao cho các phân số thu được sẽ có cùng mẫu số. Nhân tử số và mẫu số của phân số với 7, ta được

Nhân tử số và mẫu số với 5, ta được

Vì vậy, các phân số được thu gọn về một mẫu số chung:

Nhưng đây không phải là giải pháp duy nhất cho vấn đề: ví dụ, các phân số này cũng có thể được rút gọn thành mẫu số chung là 70:

và nói chung cho bất kỳ mẫu số nào chia hết cho cả 5 và 7.

Hãy xem xét một ví dụ nữa: chúng ta hãy rút gọn phân số và về một mẫu số chung. Lập luận như trong ví dụ trước, chúng ta nhận được

Nhưng trong trường hợp này, bạn có thể đưa các phân số về một mẫu số chung, nhỏ hơn tích các mẫu số của các phân số này. Tìm bội chung nhỏ nhất của 24 và 30: LCM (24, 30) = 120.

Vì 120: 4 = 5 nên để viết được phân số có mẫu số là 120 thì phải nhân cả tử số và mẫu số với 5, số này được gọi là thừa số. Có nghĩa .

Hơn nữa, chúng ta nhận được 120: 30 = 4. Nhân tử số và mẫu số của phân số với thừa số 4, ta được .

Vì vậy, các phân số này được thu gọn về một mẫu số chung.

Bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các phân số này là mẫu số chung nhỏ nhất có thể.

Đối với biểu thức phân số có chứa biến thì mẫu số chung là đa thức chia hết cho mẫu số của mỗi phân số.

Ví dụ 2 Tìm mẫu số chung của phân số và.

Quyết định. Mẫu số chung của các phân số này là một đa thức, vì nó chia hết cho cả hai và cho. Tuy nhiên, đa thức này không phải là đa thức duy nhất có thể là mẫu số chung của các phân số này. Nó cũng có thể là một đa thức , và đa thức , và đa thức vân vân. Thông thường chúng lấy mẫu số chung đến nỗi bất kỳ mẫu số chung nào khác đều chia hết cho mẫu được chọn mà không có dư. Mẫu số như vậy được gọi là mẫu số chung nhỏ nhất.

Trong ví dụ của chúng tôi, mẫu số chung nhỏ nhất là. Lấy:

;

Chúng tôi đã cố gắng đưa các phân số về mẫu số chung nhỏ nhất. Điều này xảy ra bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với tử số và mẫu số của phân số thứ hai với. Các đa thức và được gọi là nhân tử bổ sung, tương ứng, đối với phân số thứ nhất và thứ hai.

Phép cộng và phép trừ phân số

Phép cộng các phân số được định nghĩa như sau:

Ví dụ,

Nếu một b = d, sau đó

Điều này có nghĩa là nếu cộng các phân số có cùng mẫu số thì chỉ cần cộng các tử số là đủ và để nguyên mẫu số. Ví dụ,

Nếu cộng các phân số có mẫu số khác nhau thì thường rút gọn phân số đến mẫu số chung nhỏ nhất, rồi cộng tử số. Ví dụ,

Bây giờ hãy xem xét một ví dụ về việc thêm biểu thức phân số với các biến.

Ví dụ 3 Chuyển biểu thức thành một phân số

Quyết định. Hãy tìm mẫu số chung nhỏ nhất. Để làm điều này, trước tiên chúng ta phân tích các mẫu số.

Phân số là số bình thường, chúng cũng có thể được cộng và trừ. Nhưng do thực tế là chúng có mẫu số, nên ở đây yêu cầu các quy tắc phức tạp hơn so với số nguyên.

Xét trường hợp đơn giản nhất, khi có hai phân số có cùng mẫu số. Sau đó:

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, hãy cộng tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Để trừ các phân số có cùng mẫu số, cần lấy tử số thứ hai lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số thứ nhất, đồng thời giữ nguyên mẫu số.

Trong mỗi biểu thức, mẫu số của các phân số bằng nhau. Theo định nghĩa của phép cộng và phép trừ phân số, chúng ta nhận được:

Như bạn thấy, không có gì phức tạp: chỉ cần cộng hoặc trừ các tử số - và thế là xong.

Nhưng ngay cả trong những hành động đơn giản như vậy, mọi người vẫn có thể mắc sai lầm. Thông thường họ quên rằng mẫu số không thay đổi. Ví dụ, khi thêm chúng, chúng cũng bắt đầu cộng lại, và điều này về cơ bản là sai.

Bỏ thói quen xấu là cộng các mẫu số khá đơn giản. Cố gắng làm tương tự khi trừ. Kết quả là, mẫu số sẽ bằng 0, và phân số (đột nhiên!) Sẽ mất ý nghĩa.

Do đó, hãy nhớ một lần và mãi mãi: khi cộng trừ, mẫu số không thay đổi!

Ngoài ra, nhiều người mắc lỗi khi cộng một số phân số âm. Có sự nhầm lẫn với các dấu hiệu: nơi đặt dấu trừ, và nơi - dấu cộng.

Vấn đề này cũng rất dễ giải quyết. Cần nhớ rằng dấu trừ trước dấu phân số luôn có thể chuyển sang tử số - và ngược lại. Và tất nhiên, đừng quên hai quy tắc đơn giản:

Cộng lần trừ cho ra trừ;
Hai phủ định tạo nên một khẳng định.

Hãy phân tích tất cả điều này bằng các ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, mọi thứ đều đơn giản, và trong trường hợp thứ hai, chúng tôi sẽ thêm số nhỏ vào tử số của phân số:

Điều gì sẽ xảy ra nếu các mẫu số khác nhau

Bạn không thể cộng trực tiếp các phân số với các mẫu số khác nhau. Ít nhất, phương pháp này là không rõ đối với tôi. Tuy nhiên, các phân số ban đầu luôn có thể được viết lại để các mẫu số trở nên giống nhau.

Có nhiều cách chuyển đổi phân số. Ba trong số chúng được thảo luận trong bài học "Đưa phân số về mẫu số chung", vì vậy chúng tôi sẽ không đi sâu vào chúng ở đây. Hãy xem một số ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi đưa các phân số về một mẫu số chung bằng cách sử dụng phương pháp "chéo khôn". Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ tìm kiếm LCM. Lưu ý rằng 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Các yếu tố cuối cùng trong các mở rộng này bằng nhau và các yếu tố đầu tiên là nguyên tố. Do đó, LCM (6; 9) = 2 3 3 = 18.

Điều gì sẽ xảy ra nếu phân số có phần nguyên

Tôi có thể làm hài lòng bạn: các mẫu số khác nhau của phân số không phải là điều xấu xa nhất. Nhiều lỗi hơn xảy ra khi toàn bộ phần được đánh dấu trong các thuật ngữ phân số.

Tất nhiên, đối với những phân số như vậy có các thuật toán cộng và trừ riêng, nhưng chúng khá phức tạp và đòi hỏi một nghiên cứu lâu dài. Tốt hơn hãy sử dụng sơ đồ đơn giản dưới đây:

Chuyển tất cả các phân số có chứa một phần nguyên thành không đúng. Chúng tôi nhận được các điều khoản bình thường (ngay cả khi với các mẫu số khác nhau), được tính theo các quy tắc đã thảo luận ở trên;
Trên thực tế, tính tổng hoặc hiệu của các phân số kết quả. Kết quả là, chúng tôi thực tế sẽ tìm thấy câu trả lời;
Nếu đây là tất cả những gì được yêu cầu trong nhiệm vụ, chúng tôi thực hiện phép biến đổi nghịch đảo, tức là chúng tôi loại bỏ phân số không phù hợp, làm nổi bật phần nguyên trong đó.

Quy tắc chuyển sang phân số không đúng và tô đậm phần nguyên được mô tả chi tiết trong bài "Phân số là gì". Nếu bạn không nhớ, hãy chắc chắn để lặp lại. Ví dụ:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức:

Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Các mẫu số bên trong mỗi biểu thức đều bằng nhau, vì vậy vẫn phải chuyển tất cả các phân số thành phân số không đúng và đếm. Chúng ta có:

Để đơn giản hóa các tính toán, tôi đã bỏ qua một số bước rõ ràng trong các ví dụ cuối cùng.

Một lưu ý nhỏ cho hai ví dụ cuối cùng, trong đó các phân số có phần nguyên được đánh dấu sẽ bị trừ. Số trừ trước phân số thứ hai có nghĩa là toàn bộ phân số bị trừ, chứ không chỉ toàn bộ phần của nó.

Đọc lại câu này một lần nữa, xem các ví dụ và suy nghĩ về nó. Đây là nơi mà những người mới bắt đầu mắc rất nhiều sai lầm. Họ thích giao những nhiệm vụ như vậy trong công việc kiểm soát. Bạn cũng sẽ gặp chúng nhiều lần trong các bài kiểm tra cho bài học này, sẽ được xuất bản ngay sau đây.

Tóm tắt: Sơ đồ chung về máy tính

Tóm lại, tôi sẽ đưa ra một thuật toán chung sẽ giúp bạn tìm tổng hoặc hiệu của hai hoặc nhiều phân số:

Nếu một phần nguyên được tô sáng trong một hoặc nhiều phân số, hãy chuyển những phân số này thành những phân số không phù hợp;
Đưa tất cả các phân số về một mẫu số chung theo bất kỳ cách nào thuận tiện cho bạn (tất nhiên, trừ khi, những người biên dịch các bài toán đã làm điều này);
Cộng hoặc trừ các số có kết quả theo quy tắc cộng, trừ các phân số có cùng mẫu số;
Giảm kết quả nếu có thể. Nếu phân số không chính xác, hãy chọn toàn bộ.

Hãy nhớ rằng tốt hơn là đánh dấu toàn bộ phần vào cuối nhiệm vụ, ngay trước khi viết câu trả lời.