Nó có đường bờ biển dài nhất. Ii ba fractals cổ điển - thuần hóa hoàn hảo

Vì đất có các đặc điểm ở tất cả các cấp độ, từ kích thước hàng trăm km đến các phần nhỏ của milimét trở xuống, nên không có giới hạn rõ ràng về kích thước. các tính năng nhỏ nhất, và do đó không có chu vi đất được xác định rõ ràng nào được ghi lại. Có nhiều xấp xỉ khác nhau theo các giả định kích thước tối thiểu nhất định.

Một ví dụ về một nghịch lý là nổi tiếng bờ biển Vương quốc Anh. Nếu đường bờ biển Vương quốc Anh được đo bằng đơn vị fractal có chiều dài 100 km (62 dặm), thì chiều dài bờ biển là khoảng 2.800 km (1.700 dặm). Với đơn vị 50 km (31 dặm), Tổng chiều dài dài khoảng 3.400 km (2.100 mi), dài hơn khoảng 600 km (370 mi).

Khía cạnh toán học

Khái niệm cơ bản về độ dài bắt nguồn từ khoảng cách Euclide. trong một quen thuộc Hình học Euclide, đường thẳng biểu thị khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm; đoạn thẳng này chỉ có một độ dài hữu hạn. Chiều dài trắc địa trên bề mặt của một hình cầu, được gọi là độ dài lớn hình tròn, được đo bằng bề mặt của một đường cong tồn tại trong một mặt phẳng chứa các điểm cuối của đường đi và tâm của hình cầu. Độ dài của đường cong chính phức tạp hơn nhưng cũng có thể tính toán được. Khi đo bằng thước kẻ, người ta có thể tính gần đúng độ dài của một đường cong bằng cách cộng tổng các đoạn thẳng nối các điểm:

Sử dụng một số đường thẳng gần với chiều dài của đường cong sẽ được sản xuất cấp thấp. Ngày càng sử dụng nhiều dòng ngắn sẽ tạo ra tổng các độ dài xấp xỉ với độ dài thực của đường cong. Giá trị chính xác của độ dài này có thể được thiết lập bằng phép tính, một nhánh toán học cho phép bạn tính toán các khoảng cách nhỏ vô hạn. Hoạt hình sau đây minh họa ví dụ này:

Tuy nhiên, không phải tất cả các đường cong đều có thể được đo theo cách này. Theo định nghĩa, một đường cong được coi là một fractal, với những thay đổi phức tạp trong thang đo. Xét rằng đường cong trơn ngày càng tiến gần đến cùng một giá trị khi độ chính xác của phép đo tăng lên, giá trị đo được của các fractal có thể thay đổi đáng kể.

Chiều dài " fractal thực sự" luôn hướng đến vô cùng. Tuy nhiên, con số này dựa trên ý tưởng rằng không gian có thể được chia nhỏ đến mức không xác định, tức là không giới hạn. Đây là điều tưởng tượng làm nền tảng cho hình học Euclide và đóng vai trò là một mô hình hữu ích trong các phép đo hàng ngày, gần như chắc chắn không phản ánh thực tế thay đổi của "không gian" và "khoảng cách" ở cấp độ nguyên tử. Các đường bờ biển khác với các fractal toán học, chúng được hình thành từ nhiều chi tiết nhỏ tạo ra các mô hình chỉ mang tính thống kê.

Vì lý do thực tế, bạn có thể sử dụng thứ nguyên với lựa chọn thích hợp về kích thước tối thiểu của đơn vị thứ tự. Nếu đường bờ biển được đo bằng km, thì các biến thể nhỏ nhỏ hơn nhiều so với một km và có thể dễ dàng bỏ qua. Để đo đường bờ biển tính bằng centimet, phải xem xét những thay đổi nhỏ về kích thước. Cách sử dụng kỹ thuật khác nhau các phép đo cho các đơn vị khác nhau cũng phá hủy niềm tin thông thường rằng các khối có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng phép nhân đơn giản. Các trường hợp bờ biển cực đoan bao gồm nghịch lý vịnh hẹp của bờ biển nặng nề Na Uy, Chile và bờ biển Thái Bình Dương của Bắc Mỹ.

Trước năm 1951 không lâu, Lewis Fry Richardson, trong một nghiên cứu về tác động có thể có của chiều dài biên giới đối với khả năng xảy ra chiến tranh, lưu ý rằng người Bồ Đào Nha báo cáo biên giới đo được của họ với Tây Ban Nha dài 987 km, nhưng Tây Ban Nha báo cáo là 1214 km. Đây là sự khởi đầu của vấn đề đường bờ biển, rất khó đo lường về mặt toán học do bản thân đường không đều. Phương pháp chủ yếu để ước tính chiều dài của một ranh giới (hoặc đường bờ biển) là phủ N số đoạn bằng nhau có chiều dài ℓ bằng các dấu phân cách trên bản đồ hoặc ảnh chụp từ trên không. Mỗi đầu của một đoạn phải nằm trên một ranh giới. Bằng cách điều tra sự khác biệt trong giới hạn, Richardson đã phát hiện ra cái mà ngày nay được gọi là hiệu ứng Richardson: tổng của các đoạn tỷ lệ nghịch với tổng chiều dài của các đoạn. Về cơ bản, thước kẻ càng ngắn thì đường viền được đo càng lớn; Các nhà địa lý Tây Ban Nha và Bồ Đào Nha chỉ đơn giản là đo ranh giới bằng các thước có độ dài khác nhau. Kết quả là, Richardson nhận ra rằng, trong một số trường hợp nhất định, khi chiều dài của thước ℓ có xu hướng tiến tới 0, thì chiều dài của đường bờ biển cũng có xu hướng tiến tới vô cùng. Richardson tin rằng dựa trên Hình học Euclid, đường bờ biển sẽ vừa với một độ dài cố định, cách ước lượng tương tự các dạng hình học thông thường. Ví dụ, chu vi đa giác đều, nội tiếp trong một đường tròn, tiếp cận một đường tròn có số cạnh tăng dần (và độ dài một cạnh giảm dần). Trong lý thuyết độ đo hình học, một đường cong trơn như hình tròn, có thể tiếp cận bằng các đoạn thẳng nhỏ với một giới hạn nhất định, được gọi là đường cong có thể chỉnh lưu.

Hơn mười năm sau khi Richardson hoàn thành công việc của mình, Benoit Mandelbrot phát triển khu vực mới toán học, - hình học fractal để mô tả chính những phức hợp không thể chỉnh lưu như vậy trong tự nhiên dưới dạng một đường bờ biển dài vô tận. Định nghĩa riêng về một con số mới làm cơ sở cho nghiên cứu của anh ấy: Tôi đã nghĩ ra một fractal từ tính từ tiếng Latinh " rời rạc' để tạo các mẫu không đều. Vì vậy, nó có ý nghĩa... rằng, ngoài "phân mảnh"... bị hỏng còn có nghĩa là "bất thường".

Thuộc tính quan trọng của một fractal là tính tự tương tự, nghĩa là cấu hình chung giống nhau xuất hiện ở bất kỳ tỷ lệ nào. Đường bờ biển được coi là vịnh xen kẽ với áo choàng. Trong một tình huống giả định, một bờ biển nhất định có thuộc tính tự tương tự này, cho dù bất kỳ dải bờ biển nhỏ nào xuất hiện ở độ phóng đại bao nhiêu, thì một mô hình tương tự của các vịnh và mũi đất nhỏ hơn được xếp chồng lên các vịnh và mũi đất lớn hơn, nhỏ đến từng hạt cát. . Đồng thời, quy mô của đường bờ biển ngay lập tức thay đổi thành một sợi dài có khả năng vô tận với sự sắp xếp ngẫu nhiên của các vịnh và mũi đất được hình thành từ các vật thể nhỏ. Trong những điều kiện như vậy (trái ngược với những đường cong mượt mà), Mandelbrot lập luận, "độ dài của đường bờ biển hóa ra lại là một khái niệm khó nắm bắt, trượt giữa các ngón tay của những người muốn hiểu nó." các loại khác nhau fractal. Đường bờ biển với các tham số được chỉ định nằm trong "loại fractal đầu tiên, cụ thể là các đường cong với kích thước fractal lớn hơn 1." Phát biểu cuối cùng này là phần mở rộng của Mandelbrot đối với tư tưởng của Richardson.

Tuyên bố Mandelbrot về Hiệu ứng Richardson:

trong đó L, chiều dài đường bờ biển, một hàm của đơn vị đo lường, ε, được xấp xỉ bằng biểu thức. F là một hằng số và D là tham số Richardson. Ông không đưa ra lời giải thích lý thuyết, nhưng Mandelbrot định nghĩa D có dạng không nguyên Kích thước Hausdorff, sau - chiều fractal. Sắp xếp lại vế phải của biểu thức, ta được:

trong đó Fε-D phải là số lượng đơn vị ε cần thiết để thu được L. kích thước fractal- số lượng kích thước fractal được sử dụng để tính gần đúng fractal: 0 cho một điểm, 1 cho một đường, 2 cho một khu vực. D trong biểu thức nằm trong khoảng từ 1 đến 2, thường nhỏ hơn 1,5 đối với bờ biển. Kích thước đường bờ biển bị phá vỡ không mở rộng theo một hướng và không đại diện cho một khu vực, mà là trung gian. Điều này có thể được hiểu là các đường kẻ dày hoặc sọc rộng 2ε. Nhiều đường bờ biển bị đứt gãy hơn có D lớn hơn, và do đó L lớn hơn, với cùng ε. Mandelbrot đã chỉ ra rằng D không phụ thuộc vào ε.

Nguồn: http://en.wikipedia.org/wiki/Coast#Coastline_problem

http://en.wikipedia.org/wiki/Coastline_paradox

Bản dịch: Dmitry Shakhov

Một ví dụ về nghịch lý: nếu đường bờ biển Vương quốc Anh được đo bằng các đoạn 100 km, thì chiều dài của nó xấp xỉ 2.800 km. Nếu các đoạn 50 km được sử dụng, thì chiều dài xấp xỉ 3.400 km, tức là dài hơn 600 km.

Chiều dài của đường bờ biển phụ thuộc vào cách nó được đo. Vì các khúc cua có kích thước bất kỳ có thể được phân biệt cho một vùng đất, từ hàng trăm km đến các phần của milimét trở xuống, nên không thể chọn kích thước của phần tử nhỏ nhất cần được đo một cách rõ ràng. Do đó, không thể xác định rõ ràng chu vi của phần này. Có nhiều xấp xỉ toán học khác nhau để giải quyết vấn đề này.

Phương pháp chính để ước tính chiều dài của ranh giới hoặc đường bờ biển là phép cộng Nđộ dài bằng nhau tôi lên bản đồ hoặc ảnh chụp từ trên không bằng la bàn. Mỗi đầu của đoạn phải thuộc ranh giới được đo. Khám phá sự khác biệt trong việc đánh giá ranh giới, Richardson đã phát hiện ra cái mà ngày nay được gọi là hiệu ứng Richardson: Thang đo tỷ lệ nghịch với tổng độ dài của tất cả các đoạn. Tức là sử dụng thước càng ngắn thì đường viền đo được càng dài. Do đó, các nhà địa lý Tây Ban Nha và Bồ Đào Nha chỉ đơn giản được hướng dẫn bằng các phép đo ở các tỷ lệ khác nhau.

Điều nổi bật nhất đối với Richardson là khi giá trị tôi có xu hướng bằng không, chiều dài bờ biển có xu hướng vô cùng. Ban đầu, Richardson tin rằng, dựa trên hình học Euclid, rằng chiều dài này sẽ đạt đến một giá trị cố định, như xảy ra trong trường hợp bình thường. hình dạng hình học. Ví dụ, chu vi của một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn tiến dần đến độ dài của chính đường tròn đó khi số cạnh tăng lên (và độ dài của mỗi cạnh giảm đi). Trong lý thuyết về các phép đo hình học, một đường cong trơn như hình tròn, có thể được biểu diễn gần đúng thành các đoạn nhỏ với giới hạn cho trước, được gọi là đường cong có thể chỉnh lưu.

Hơn một thập kỷ sau khi Richardson hoàn thành công trình của mình, Mandelbrot đã phát triển một nhánh toán học mới, hình học fractal, để mô tả những phức hợp không thể chỉnh lưu tồn tại trong tự nhiên, chẳng hạn như đường bờ biển dài vô tận. Của anh định nghĩa riêng fractal làm cơ sở cho nghiên cứu của mình như sau:

tôi đã tạo ra một từ fractal, dựa trên tính từ tiếng Latinh gãy xương. Động từ Latinh tương ứng người lạ có nghĩa phá vỡ: Tạo các đoạn không đều. Do đó, điều hợp lý là, bên cạnh "mảnh vỡ", gãy xương cũng nên có nghĩa là "bất thường".

Thuộc tính chính của fractals là tính tự tương tự, bao gồm biểu hiện của cùng một hình chung ở bất kỳ tỷ lệ nào. Đường bờ biển được coi là sự xen kẽ của vịnh và mũi đất. Theo giả thuyết, nếu một đường bờ biển nhất định có đặc tính tự tương đồng, thì cho dù phần này hay phần kia được thu nhỏ bao nhiêu, thì một mô hình tương tự của các vịnh và mũi đất nhỏ hơn vẫn xuất hiện, chồng lên các vịnh và mũi đất lớn hơn, xuống từng hạt cát. Ở quy mô như vậy, đường bờ biển dường như là một sợi chỉ vô tận, có khả năng thay đổi tức thời với sự sắp xếp ngẫu nhiên của các vịnh và mũi đất. Trong những điều kiện như vậy (trái ngược với những đường cong mượt mà), Mandelbrot tuyên bố: "Chiều dài của đường bờ biển hóa ra là một khái niệm không thể đạt được, trượt giữa các ngón tay của những người cố gắng hiểu nó."

trong đó chiều dài đường bờ biển L là một hàm của đơn vị ε và được xấp xỉ bằng biểu thức ở vế phải. F là hằng số, D là tham số Richardson phụ thuộc vào chính đường bờ biển (Richardson không đưa ra giải thích lý thuyết Tuy nhiên, về đại lượng này, Mandelbrot đã định nghĩa D là một dạng không nguyên của chiều Hausdorff, sau này là chiều fractal. Nói cách khác, D là giá trị đo được thực tế của "độ nhám"). tập hợp lại bên phải biểu thức, ta được:

trong đó Fε -D phải là số đơn vị ε cần thiết để có được L. Kích thước fractal là số kích thước đối tượng được sử dụng để tính gần đúng fractal: 0 cho một điểm, 1 cho một đường thẳng, 2 cho các hình diện tích. Do đường đứt nét đo chiều dài bờ biển không kéo dài theo một hướng và đồng thời không biểu thị diện tích nên giá trị của D trong biểu thức nằm ở mức trung gian giữa 1 và 2 (thường nhỏ hơn 1,5 đối với bờ biển) . Nó có thể được hiểu là một đường dày hoặc sọc rộng 2ε. Nhiều bờ biển "bị hỏng" hơn có giá trị D lớn hơn, và do đó L hóa ra dài hơn cho cùng một ε. Mandelbrot đã chỉ ra rằng D không phụ thuộc vào ε.

Nói chung, các đường bờ biển khác với các fractal toán học vì chúng được hình thành bằng cách sử dụng nhiều chi tiết nhỏ chỉ tạo ra các mẫu theo thống kê.

Trên thực tế, không có chi tiết nào nhỏ hơn 1 cm trên các bờ biển [ ] . Điều này là do xói mòn và các hiện tượng biển khác. Ở hầu hết các nơi, kích thước tối thiểu cao hơn nhiều. Do đó, mô hình fractal vô hạn không phù hợp với đường bờ biển.

Vì lý do thực tế, kích thước tối thiểu của các bộ phận được chọn bằng với thứ tự của các đơn vị đo lường. Vì vậy, nếu đường bờ biển được đo bằng km, thì những thay đổi nhỏ các dòng nhỏ hơn nhiều so với một km chỉ đơn giản là bị bỏ qua. Để đo đường bờ biển tính bằng centimet, tất cả các biến thể nhỏ về kích thước khoảng một centimet phải được xem xét. Tuy nhiên, trên thang đo cỡ centimet, phải thực hiện nhiều giả định phi phân dạng tùy ý khác nhau, chẳng hạn như nơi một cửa sông nối với biển hoặc nơi các phép đo phải được thực hiện ở công suất rộng. Ngoài ra, việc sử dụng Các phương pháp khác nhau phép đo cho các đơn vị đo lường khác nhau không cho phép bạn chuyển đổi các đơn vị này bằng cách sử dụng phép nhân đơn giản.

Để xác định trạng thái lãnh thổ nước xây dựng cái gọi là khúc cua của bờ biển tỉnh British Columbia của Canada chiếm hơn 10% chiều dài của bờ biển Canada (bao gồm tất cả các đảo của Quần đảo Bắc Cực thuộc Canada) - 25.725 km trong tổng số 243.042 km theo tuyến tính khoảng cách chỉ bằng 965 km

Trước khi làm quen với loại fractal đầu tiên - cụ thể là với các đường cong có số chiều fractal vượt quá 1 - chúng ta hãy xem xét một phần điển hình của một bờ biển nào đó. Rõ ràng, độ dài của nó không thể nhỏ hơn khoảng cách đoạn thẳng giữa điểm đầu và điểm cuối. Tuy nhiên, theo quy luật, bờ biển có hình dạng không đều- chúng quanh co và gãy khúc, và chiều dài của chúng, chắc chắn, vượt xa khoảng cách giữa các điểm cực trị của chúng, được đo bằng một đường thẳng.

Có nhiều cách để ước tính chiều dài đường bờ biển chính xác hơn, và trong chương này chúng ta sẽ phân tích một số cách đó. Cuối cùng, chúng ta sẽ đi đến một kết luận rất đáng chú ý: chiều dài của đường bờ biển là một khái niệm rất trơn, và bạn không thể nắm lấy nó bằng tay không. Dù chúng ta sử dụng phương pháp đo lường nào thì kết quả luôn giống nhau: chiều dài của một bờ biển điển hình là rất dài và được xác định một cách mơ hồ đến mức tốt nhất nên coi nó là vô hạn. Do đó, nếu bất cứ ai nảy ra ý định so sánh các bờ biển khác nhau từ quan điểm về độ dài của chúng, thì anh ta sẽ phải tìm một thứ gì đó thay cho khái niệm về độ dài, mà dịp này không áp dụng.

Trong chương này, chúng tôi sẽ chỉ tìm kiếm một sự thay thế phù hợp và trong quá trình tìm kiếm, chúng tôi không thể tránh khỏi việc làm quen với nhiều mẫu khác nhau các khái niệm fractal về kích thước, thước đo và đường cong.

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐO LƯỜNG THAY THẾ

Phương pháp A. Hãy đặt giải pháp của la bàn đo thành một số chiều dài nhất định, mà chúng tôi sẽ gọi là độ dài bước và đi qua la bàn này dọc theo đường bờ biển mà chúng tôi quan tâm, bắt đầu mỗi bước mới tại điểm mà cái trước kết thúc. Số bước nhân với độ dài e sẽ cho ta độ dài gần đúng của bờ biển. Từ ghế nhà trường, chúng tôi biết rằng nếu chúng tôi lặp lại thao tác này, mỗi lần giảm độ mở của la bàn, thì chúng tôi có thể mong đợi rằng số lượng sẽ nhanh chóng có xu hướng tăng lên khá nhiều. giá trị nhất định gọi là độ dài thực. Tuy nhiên, những gì đang xảy ra trong thực tế không tương ứng với mong đợi của chúng tôi. Thông thường, độ dài quan sát có xu hướng tăng vô hạn.

Lý do cho hành vi này là rõ ràng: nếu chúng ta xem xét một số bán đảo hoặc vịnh trên bản đồ tỷ lệ 1/100.000 và 1/10.000, thì bản đồ mới nhất chúng ta có thể phân biệt rõ ràng các bán đảo và vịnh nhỏ hơn mà lần đầu tiên không nhìn thấy được. Một bản đồ của cùng một khu vực, được thực hiện ở tỷ lệ 1/1000, sẽ cho chúng ta thấy các bán đảo và vịnh nhỏ hơn nữa, v.v. Mỗi chi tiết mới làm tăng tổng chiều dài của bờ biển.

Quy trình trên ngụ ý rằng đường bờ biển quá không đều, và do đó chiều dài của nó không thể được biểu diễn trực tiếp bằng tổng chiều dài của các đường cong hình học đơn giản, chiều dài của chúng có thể được tìm thấy trong sổ tay. Đó là, Phương pháp A thay thế đường bờ biển bằng một chuỗi đường bị hỏng, được tạo thành từ các đoạn thẳng, độ dài mà chúng ta có thể xác định được.

Phương pháp B"Làm mịn" tương tự có thể đạt được theo những cách khác. Hãy tưởng tượng một người đi dọc theo bờ biển theo con đường ngắn nhất, quỹ đạo mà không nơi nào rời khỏi mặt nước nhiều hơn đặt khoảng cách. Khi đạt đến điểm cuối, nó quay trở lại, đồng thời giảm nhẹ giá trị của . Sau đó lặp đi lặp lại, cho đến khi, cuối cùng, giá trị đạt đến, chẳng hạn như 50 cm, không thể giảm thêm nữa vì người đó quá to và vụng về để có thể vạch ra một quỹ đạo chi tiết hơn. Tôi có thể phản đối rằng những chi tiết nhỏ không thể đạt được này, trước hết, không được con người quan tâm ngay lập tức, và thứ hai, chúng có thể thay đổi đáng kể tùy theo mùa và độ cao của thủy triều, do đó việc ghi lại chi tiết của chúng không có ý nghĩa gì cả. Phản đối đầu tiên sẽ được giải quyết ở phần sau của chương này. Đối với sự phản đối thứ hai, nó có thể được hóa giải bằng cách giam mình trong một bờ biển đầy đá khi thủy triều xuống và nước lặng. Về nguyên tắc, một người có thể theo dõi các đường cong gần đúng chi tiết hơn bằng cách gọi một con chuột để được giúp đỡ, sau đó là một con kiến, v.v. Và một lần nữa, khi người đi bộ của chúng ta đi theo con đường gần mặt nước hơn, khoảng cách mà anh ta phải đi tăng lên vô tận.

Phương phápC. Phương pháp B ngụ ý một sự bất đối xứng nhất định giữa nước và bờ. Để tránh sự bất đối xứng này, Kantor đề xuất xem xét đường bờ biển như thể qua một thấu kính lệch tiêu cự, kết quả là mỗi điểm biến thành một điểm tròn có bán kính . Nói cách khác, Kantor xem xét tất cả các điểm - cả trên đất liền và trên mặt nước - khoảng cách từ đó đến đường bờ biển không vượt quá . Những dấu chấm này tạo thành một loại xúc xích hoặc dải ruy băng rộng (một ví dụ về "xúc xích" như vậy - mặc dù trong một bối cảnh khác - được hiển thị trong Hình 56). Chúng tôi đo diện tích của băng thu được và chia cho . Nếu đường bờ biển thẳng, thì dải băng sẽ là hình chữ nhật và giá trị tìm được theo cách trên sẽ là chiều dài thực của bờ biển. Khi xử lý các đường bờ biển thực, chúng ta có ước tính sơ bộ về chiều dài , chiều dài này tăng vô hạn khi .

Phương phápD. Hãy tưởng tượng một bản đồ được thực hiện theo cách của các nghệ sĩ vẽ tranh bằng bút chì, tức là bản đồ trong đó các lục địa và đại dương được mô tả bằng các điểm tròn có bán kính . Thay vì coi các điểm thuộc đường bờ biển là tâm của các điểm như trong Phương pháp C, chúng tôi yêu cầu số lượng các điểm bao phủ hoàn toàn đường là nhỏ nhất. Do đó, tại các mũi, các điểm sẽ chủ yếu nằm trên đất liền và tại các vịnh - trên biển. Ước tính chiều dài đường bờ biển ở đây là kết quả của việc chia khu vực được phát hiện cho . "Hành vi" của ước tính này cũng để lại nhiều điều mong muốn.

QUYỀN TRÁCH NHIỆM KẾT QUẢ ĐO LƯỜNG

Tóm tắt phần trước, chúng tôi lưu ý rằng kết quả của việc áp dụng bất kỳ phương pháp nào trong bốn phương pháp luôn giống nhau. Khi e giảm, độ dài gần đúng của đường cong có xu hướng vô cùng.

Để hiểu đúng tầm quan trọng của thực tế này, chúng ta hãy thực hiện một phép đo tương tự về độ dài của một số đường cong Euclide thông thường. Ví dụ, trên một đoạn thẳng, số liệu đo đạc ước lượng gần đúng về cơ bản trùng khớp và xác định được độ dài cần thiết. Trong trường hợp hình tròn, giá trị gần đúng của độ dài tăng lên, nhưng nhanh chóng hướng đến một số giới hạn cụ thể. Các đường cong có độ dài có thể được xác định theo cách này được gọi là có thể chỉnh lưu.

Nó thậm chí còn mang tính hướng dẫn hơn khi cố gắng đo chiều dài của một số đường bờ biển đã được con người thuần hóa - chẳng hạn như bờ biển gần Chelsea ở dạng hiện tại. Vì một người tạm thời để lại các nếp gấp rất lớn của địa hình, chúng tôi sẽ cài đặt một giải pháp rất lớn trên la bàn của mình và chúng tôi sẽ giảm dần nó. Theo dự kiến, chiều dài của đường bờ biển sẽ tăng lên trong trường hợp này.

Tuy nhiên, có một tính năng thú vị: với mức giảm hơn nữa, chắc chắn chúng ta sẽ thấy mình đang ở một vùng trung gian nhất định, nơi chiều dài gần như không thay đổi. Vùng này kéo dài từ khoảng 20 m đến 20 cm (rất gần đúng). Khi nó nhỏ hơn 20 cm, chiều dài bắt đầu tăng trở lại - lúc này kết quả đo đã bị ảnh hưởng bởi từng viên đá. Do đó, nếu chúng ta xây dựng một biểu đồ thay đổi giá trị dưới dạng một hàm của , thì không còn nghi ngờ gì nữa, một khu vực bằng phẳng sẽ được tìm thấy trên đó tại các giá trị của e trong phạm vi từ 20 m đến 20 cm - tương tự như vậy. các khu vực không được quan sát thấy trên các biểu đồ tương tự đối với các bờ biển "hoang dã" tự nhiên.

Rõ ràng, các phép đo được thực hiện trong vùng phẳng này có giá trị thực tế lớn. Bởi vì ranh giới giữa các khác nhau ngành khoa học chủ yếu là kết quả của sự thỏa thuận giữa các nhà khoa học về phân công lao động, chẳng hạn, chúng ta có thể chuyển tất cả các hiện tượng có quy mô vượt quá 20 m, tức là những hiện tượng mà một người chưa đạt được, sang khoa địa lý. Một giới hạn như vậy sẽ cho chúng ta một chiều dài địa lý được xác định rõ. an ninh bờ biển có thể sử dụng thành công ý nghĩa tương tự để làm việc với các bờ biển "hoang dã", và bách khoa toàn thư và niên giám sẽ thông báo cho mọi người về độ dài thích hợp.

Mặt khác, tôi rất khó tưởng tượng rằng tất cả các cơ quan chính phủ có liên quan, thậm chí ở bất kỳ quốc gia nào, sẽ đồng ý với nhau về việc sử dụng một nghĩa duy nhất và việc tất cả các quốc gia trên thế giới chấp nhận nó là hoàn toàn không thể. tưởng tượng. Richardson đưa ra ví dụ này: bách khoa toàn thư tiếng Tây Ban Nha và tiếng Bồ Đào Nha đưa ra các độ dài khác nhau của biên giới đất liền giữa các quốc gia này, với mức chênh lệch là 20% (tương tự với trường hợp biên giới giữa Bỉ và Hà Lan). Sự khác biệt này phải một phần là do các lựa chọn khác nhau. Bằng chứng thực nghiệm, mà chúng ta sẽ thảo luận ngay sau đây, cho thấy rằng để xảy ra sự khác biệt như vậy, chỉ cần một giá trị này khác với giá trị khác hai lần là đủ; bên cạnh đó, không có gì đáng ngạc nhiên khi một quốc gia nhỏ (Bồ Đào Nha) đo lường chiều dài biên giới của mình cẩn thận hơn so với nước láng giềng lớn.

Lập luận thứ hai và quan trọng hơn chống lại sự tùy tiện có tính chất triết học và khoa học tổng quát. Thiên nhiên tồn tại độc lập với con người và bất kỳ ai coi trọng bất kỳ ý nghĩa cụ thể nào hoặc cho rằng mối liên hệ quyết định trong quá trình hiểu Thiên nhiên là con người với các tiêu chuẩn được chấp nhận chung hoặc các phương tiện kỹ thuật rất dễ thay đổi. Nếu đường bờ biển trở thành đối tượng nghiên cứu khoa học, không chắc là chúng ta có thể ngăn cấm một cách hợp pháp sự không chắc chắn quan sát được liên quan đến độ dài của chúng. Có thể như vậy, khái niệm về độ dài địa lý hoàn toàn không vô hại như thoạt nhìn. Nó không hoàn toàn "khách quan", vì khi xác định độ dài theo cách này, ảnh hưởng của người quan sát là không thể tránh khỏi.

CÔNG NHẬN VÀ Ý NGHĨA CỦA TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA KẾT QUẢ ĐO

Không còn nghi ngờ gì nữa, nhiều người cho rằng đường bờ biển là những đường cong không thể giảm bớt, và về vấn đề đó, tôi không thể nhớ có ai nghĩ khác. Tuy nhiên, việc tìm kiếm bằng chứng bằng văn bản để hỗ trợ cho quan điểm này của tôi đã thất bại gần như hoàn toàn. Ngoài các trích dẫn của Perren được đưa ra trong chương thứ hai, còn có nhận xét sau trong một bài báo của Steinhaus: “Bằng cách đo chiều dài bờ trái của sông Vistula với độ chính xác ngày càng cao, bạn có thể nhận được các giá trị hàng chục, hàng trăm và thậm chí lớn hơn hàng ngàn lần so với những gì mang lại thẻ học sinh... Phát biểu sau đây có vẻ rất gần với thực tế: hầu hết các cung được tìm thấy trong tự nhiên đều không thể chỉnh lưu được. Tuyên bố này mâu thuẫn với niềm tin phổ biến rằng các cung không thể chỉnh lưu được là một hư cấu toán học và về bản chất, tất cả các cung đều có thể chỉnh lưu được. Trong hai phát biểu trái ngược nhau này, phát biểu đầu tiên có vẻ đúng.” Tuy nhiên, cả Perrin và Steinhaus đều không bận tâm đến việc phát triển các phỏng đoán của họ một cách chi tiết hơn và đưa chúng đến kết luận hợp lý.

K. Fadiman kể một câu chuyện thú vị. Bạn của anh ấy, Edward Kasner, đã thực hiện thí nghiệm này nhiều lần: anh ấy “hỏi những đứa trẻ chúng nghĩ tổng chiều dài của bờ biển Hoa Kỳ là bao nhiêu. Sau khi một trong những đứa trẻ đưa ra dự đoán khá "hợp lý", ... Kasner ... đề nghị chúng nghĩ xem con số này có thể tăng lên bao nhiêu nếu chu vi của tất cả các áo choàng và vịnh được đo rất cẩn thận, sau đó cũng cẩn thận vạch ra những mũi và vịnh nhỏ hơn trong mỗi mũi và trong mỗi vịnh nhỏ này, sau đó đo từng viên sỏi và từng hạt cát tạo nên bờ biển, từng phân tử, từng nguyên tử, v.v. Hóa ra bờ biển có thể dài bằng bạn thích . Trẻ em hiểu điều này ngay lập tức, nhưng Kasner có vấn đề với người lớn. Câu chuyện, tất nhiên, rất hay, nhưng chưa chắc nó có liên quan đến tìm kiếm của tôi. Kasner rõ ràng đã không đặt cho mình mục tiêu cô lập một số khía cạnh của thực tế đáng để nghiên cứu thêm.

Vì vậy, có thể nói rằng bài báo và cuốn sách mà bạn đang cầm trên tay, về bản chất, là tác phẩm đầu tiên về chủ đề này.

Trong cuốn sách The Will to Believe, William James viết: “Cái không phù hợp với khuôn khổ phân loại... luôn là cánh đồng màu mỡ cho những khám phá vĩ đại. Trong bất kỳ ngành khoa học nào, một đám mây bụi gồm các ngoại lệ đối với các quy tắc luôn xoay quanh các sự kiện được chấp nhận chung và có trật tự - những hiện tượng tinh tế, không nhất quán, hiếm khi gặp phải, những hiện tượng dễ bỏ qua hơn là xem xét. Mọi ngành khoa học đều hướng tới trạng thái lý tưởng một hệ thống chân lý khép kín và chặt chẽ... Những hiện tượng không chịu sự phân loại trong khuôn khổ của hệ thống được coi là những điều phi lý nghịch lý và hiển nhiên là không có thật. Chúng bị bỏ quên và bị từ chối vì những động cơ tốt nhất của lương tâm khoa học... Ai nghiêm túc nghiên cứu các hiện tượng bất thường sẽ có thể tạo ra khoa học mới trên nền tảng cũ. Vào cuối quá trình này, phần lớn các ngoại lệ của ngày hôm qua sẽ trở thành các quy tắc của khoa học đổi mới.

Bài tiểu luận này, với mục đích khiêm tốn là làm mới hoàn toàn hình học của Tự nhiên, đã mô tả các hiện tượng ngoài lớp học đến mức chúng chỉ có thể được nói ra khi có sự cho phép của người kiểm duyệt. Bạn sẽ gặp hiện tượng đầu tiên trong phần tiếp theo.

HIỆU ỨNG RICHARDSON

Một nghiên cứu thực nghiệm về sự thay đổi độ dài gần đúng thu được khi sử dụng Phương pháp A được mô tả trong bài báo của Richardson, một liên kết đến đó, do một tai nạn vui vẻ (hoặc chết người), đã thu hút sự chú ý của tôi. Tôi chú ý đến nó chỉ vì tôi đã nghe nói về Lewis Fry Richardson là một nhà khoa học kiệt xuất, người có tư tưởng độc đáo gần giống với sự lập dị (xem chương 40). Như chúng ta sẽ thấy trong Chương 10, nhân loại nợ ông một số ý tưởng sâu sắc và lâu dài nhất về bản chất của nhiễu loạn - đặc biệt chú ý trong số đó xứng đáng là một trong số đó, theo đó nhiễu loạn ngụ ý sự xuất hiện của một thác tự tương tự. Ông cũng giải quyết các vấn đề phức tạp khác, chẳng hạn như bản chất của xung đột vũ trang giữa các quốc gia. Các thí nghiệm của ông là một mô hình của sự đơn giản cổ điển, nhưng ông không ngần ngại sử dụng các khái niệm tinh tế hơn nếu có nhu cầu.

Hiển thị trong hình. 57 biểu đồ được phát hiện sau cái chết của Richardson trong số các bài báo của ông đã được xuất bản gần như bí mật (và hoàn toàn không phù hợp với những ấn phẩm như vậy) hệ thống chung“. Sau khi xem xét các biểu đồ này, chúng tôi đi đến kết luận rằng có hai hằng số (hãy gọi chúng là và ) - để xác định độ dài của đường bờ biển bằng cách xây dựng một đường đứt nét gần nó, cần phải lấy các khoảng thời gian xấp xỉ và viết công thức sau:

Rõ ràng, giá trị của chỉ báo phụ thuộc vào bản chất của đường bờ biển được đo và các phần khác nhau của đường này, được xem xét riêng, có thể cho kết quả khác nhau. Đối với Richardson, giá trị chỉ là một thước đo thuận tiện không có ý nghĩa đặc biệt. Tuy nhiên, có vẻ như giá trị của chỉ số này không phụ thuộc vào phương pháp được chọn để ước tính chiều dài của đường bờ biển. Vì vậy, anh ấy xứng đáng được chú ý nhất.

KÍCH THƯỚC FRACTAL CỦA COASTLINE

Sau khi nghiên cứu công trình của Richardson, tôi gợi ý rằng mặc dù số mũ không phải là một số nguyên, nhưng nó có thể và nên được hiểu là một thứ nguyên - chính xác hơn là một thứ nguyên fractal. Tất nhiên, tôi hoàn toàn nhận thức được rằng tất cả các phương pháp đo lường trên đều dựa trên các định nghĩa kích thước tổng quát không theo tiêu chuẩn, đã được sử dụng trong toán học thuần túy. Xác định chiều dài dựa trên phạm vi bao phủ bờ biển số nhỏ nhất bán kính điểm, được sử dụng để xác định kích thước của vùng phủ sóng. Định nghĩa về chiều dài, dựa trên phạm vi bao phủ của đường bờ biển với dải băng có chiều rộng , thể hiện ý tưởng của Kantor và Minkowski (xem Hình 56), và chúng ta nợ kích thước tương ứng của Bouligan. Tuy nhiên, hai ví dụ này chỉ gợi ý về sự tồn tại của nhiều chiều (hầu hết trong số đó chỉ được một số chuyên gia biết đến) tỏa sáng trong các lĩnh vực toán học chuyên môn cao khác nhau. Một số kích thước này sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong Chương 39.

Tại sao các nhà toán học cần giới thiệu sự phong phú của các chiều khác nhau này? Sau đó, trong một số trường hợp nhất định họ chấp nhận ý nghĩa khác nhau. May mắn thay, bạn sẽ không gặp phải những trường hợp như vậy trong tiểu luận này, vì vậy có thể liệt kê một danh sách các kích thước thay thế khả thi. lương tâm trong sáng giảm xuống còn hai, tuy nhiên, tôi chưa đề cập đến. Thứ nguyên lâu đời nhất và được nghiên cứu nhiều nhất trong danh sách của chúng tôi có từ thời Hausdorff và dùng để xác định thứ nguyên fractal - chúng ta sẽ sớm giải quyết vấn đề này. Kích thước thứ hai, đơn giản hơn, được gọi là kích thước tương tự: nó có một tính cách chung, là chiều đầu tiên, nhưng hóa ra lại là quá đủ trong nhiều trường hợp - chúng ta sẽ xem xét nó trong chương tiếp theo.

Tất nhiên, tôi sẽ không đưa ra ở đây chứng minh toán học rằng số mũ Richardson là một thứ nguyên. Thành thật mà nói, tôi không biết làm thế nào một bằng chứng như vậy có thể được thực hiện trong khuôn khổ của bất kỳ khoa học Tự nhiên. Tôi chỉ muốn thu hút sự chú ý của người đọc đến thực tế là khái niệm độ dài đặt ra một vấn đề về khái niệm đối với chúng ta và chỉ báo cung cấp một giải pháp tiện lợi và thanh lịch. Giờ đây, kích thước fractal đã chiếm vị trí của nó trong nghiên cứu về đường bờ biển, vì bất kỳ lý do cụ thể nào, chúng ta không muốn quay trở lại thời kỳ mà chúng ta tin tưởng một cách thiếu suy nghĩ và ngây thơ. Ai còn tin bây giờ sẽ phải thử nếu muốn chứng minh trường hợp của mình.

Bước tiếp theo - giải thích hình dạng của các đường bờ biển và rút ra ý nghĩa từ những cân nhắc khác, cơ bản hơn - tôi đề nghị chuyển sang Chương 28. Tại thời điểm này, chỉ cần nói điều đó trong một xấp xỉ đầu tiên là đủ . Giá trị này quá lớn để mô tả chính xác các sự kiện, nhưng nó là quá đủ để chúng ta nói rằng chúng ta có thể, nên và đương nhiên tin rằng kích thước của đường bờ biển vượt quá giá trị Euclide thông thường cho đường cong.

KHU VỰC HAUSDORF FRACTAL

Giả sử rằng các đường bờ biển tự nhiên khác nhau có chiều dài vô hạn và giá trị chiều dài dựa trên giá trị nhân trắc học , chỉ đưa ra ý tưởng một phần về vị trí thực trường hợp, làm thế nào bạn có thể so sánh các bờ biển khác nhau? Vì vô cực không khác gì vô cực nhân với bốn, nên chúng ta có ích gì khi nói rằng chiều dài của bất kỳ bờ biển nào gấp bốn lần chiều dài của bất kỳ phần tư nào của nó? Yêu cầu Cách tốt nhấtđể thể hiện ý tưởng hoàn toàn hợp lý rằng một đường cong phải có một số "số đo" và số đo này cho toàn bộ đường cong phải lớn hơn bốn lần so với số đo tương tự cho bất kỳ phần tư nào của nó.

Felix Hausdorff đã đề xuất một phương pháp rất khéo léo để đạt được mục tiêu này. Phương pháp của ông dựa trên thực tế là số đo tuyến tính của một đa giác được tính bằng cách cộng độ dài các cạnh của nó mà không có bất kỳ phép biến đổi nào. Có thể giả định rằng các độ dài cạnh này được nâng lên lũy thừa bằng với chiều Euclide của đường thẳng (lý do cho giả định này sẽ sớm trở nên rõ ràng). Tương tự, số đo bề mặt của vùng bên trong của một đa giác khép kín được tính - bằng cách phủ nó bằng các ô vuông, tìm tổng độ dài các cạnh của các ô vuông này và nâng nó lên lũy thừa (chiều Euclide của mặt phẳng) . Nếu chúng ta sử dụng mức độ "sai" trong các phép tính, thì kết quả của các phép tính này sẽ không cho chúng ta bất kỳ thông tin hữu ích: diện tích của bất kỳ đa giác khép kín nào sẽ bằng 0 và chiều dài phần bên trong của nó sẽ là vô hạn.

Chúng ta hãy xem xét từ các vị trí như vậy một xấp xỉ đa giác (tuyến tính từng phần) của đường bờ biển, bao gồm các khoảng nhỏ có độ dài . Nâng độ dài của khoảng lên một lũy thừa và nhân nó với số lượng khoảng, chúng ta sẽ nhận được một giá trị nhất định, tạm thời có thể được gọi là "mức độ gần đúng về thứ nguyên". Theo Richardson, vì số cạnh bằng nhau, nên phạm vi gần đúng của chúng ta lấy giá trị .. Nghĩa là, chiều dài gần đúng của đường bờ biển thể hiện hành vi hợp lý khi và chỉ khi .

KÍCH THƯỚC FRACTAL CỦA ĐƯỜNG CONG CÓ THỂ LỚN HƠN MỘT; ĐƯỜNG CONG PHÉP

Theo ý định của người tạo ra nó, kích thước Hausdorff vẫn giữ các nhiệm vụ của kích thước thông thường và đóng vai trò là số mũ trong định nghĩa của thước đo.

Tuy nhiên, mặt khác, kích thước rất khác thường - nó được thể hiện Số phân số! Hơn nữa, nó lớn hơn sự thống nhất, đó là chiều "tự nhiên" cho các đường cong (có thể chứng minh một cách chặt chẽ rằng chiều tô pô của chúng cũng bằng sự thống nhất).

Tôi đề xuất gọi các đường cong có số chiều fractal vượt quá số chiều tôpô 1 của chúng là các đường cong fractal. Và như một phần tóm tắt ngắn gọn cho chương này, tôi có thể đưa ra nhận định sau: trên phạm vi địa lý, các đường bờ biển có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng các đường cong fractal. Bờ biển là fractal trong cấu trúc của họ.

Cơm. 55. CÂY KHỈ

trên sân khấu này bản vẽ nhỏ này chỉ nên được xem như một yếu tố trang trí, nó chỉ lấp đầy khoảng trống.

Tuy nhiên, sau khi đọc chương 14, người đọc sẽ tìm thấy ở đây manh mối để giải câu đố về "kiến trúc" trong Hình. 210. Một manh mối nghiêm trọng hơn được đưa ra bởi trình tạo sau:

Nếu một nhà toán học cần "thuần hóa" một số đường cong đặc biệt không đều, anh ta có thể sử dụng quy trình chuẩn sau: chọn một giá trị của , và vẽ một đường tròn có bán kính xung quanh mỗi điểm của đường cong. Quy trình này, ít nhất đã có từ thời Hermann Minkowski, và thậm chí cả bản thân Georg Cantor, hơi thô sơ nhưng rất hiệu quả. (Đối với thuật ngữ xúc xích, nguồn gốc của nó, theo những tin đồn chưa được xác minh, có liên quan đến việc Norbert Wiener áp dụng quy trình này cho các đường cong Brown.)

Trong các hình minh họa được đặt ở đây, quá trình làm mịn được mô tả ở trên không được áp dụng cho các ngân hàng thực, mà áp dụng cho một đường cong lý thuyết mà chúng ta sẽ xây dựng sau (xem Hình 79) bằng cách liên tục thêm các chi tiết ngày càng tinh vi hơn. So sánh miếng xúc xích bên phải với đầu bên phải của miếng xúc xích đặt ở trên cùng, ta thấy rằng giai đoạn quan trọng trong việc xây dựng đường cong xảy ra khi đường cong bắt đầu bao gồm các chi tiết nhỏ hơn. Ở giai đoạn sau xúc xích thay đổi không đáng kể.

Cơm. 57. DỮ LIỆU THỰC NGHIỆM CỦA RICHARDSON VỀ TỐC ĐỘ TĂNG TRƯỞNG CHIỀU DÀI ĐƯỜNG BIỂN

Hình này cho thấy kết quả thử nghiệm của việc đo chiều dài của đường cong, được thực hiện trên các đường cong khác nhau bằng cách sử dụng các đa giác đều có chiều dài cạnh giảm dần. Đúng như dự đoán, trong trường hợp hình tròn, các phép đo với độ chính xác ngày càng tăng sẽ cho một giá trị ổn định rất nhanh xung quanh một giá trị được xác định rõ.

Trong trường hợp đường bờ biển, chiều dài gần đúng, ngược lại, không ổn định chút nào. Khi chiều dài sải chân có xu hướng bằng 0, các giá trị chiều dài gần đúng, được vẽ trong hệ tọa độ logarit kép, tạo thành một đường thẳng với độ dốc âm. Điều này cũng đúng với biên giới đất liền giữa các quốc gia. Tài liệu tham khảo được thực hiện bởi Richardson trong bách khoa toàn thư khác nhau tiết lộ sự khác biệt đáng kể trong việc xác định chiều dài của biên giới chung bởi những người vẽ bản đồ của các quốc gia tương ứng: ví dụ: chiều dài của biên giới giữa Tây Ban Nha và Bồ Đào Nha là 987 km theo quan điểm của người Tây Ban Nha và 1214 km theo quan điểm của người Bồ Đào Nha ; biên giới giữa Hà Lan và Bỉ (380 và 449 km) cũng bị ảnh hưởng tương tự. Vì độ dốc của các đường tương ứng là -0,25, nên chênh lệch hai mươi phần trăm giữa các kết quả của phép đo có nghĩa là chênh lệch gấp đôi giữa các giá trị được chấp nhận cho các phép đo này - không phải là một giả định khó xảy ra.

Richardson không đưa ra lời giải thích lý thuyết nào cho các độ dốc khác nhau trong các đường của mình. Chúng tôi dự định giải thích các đường bờ biển gần đúng với các đường cong fractal và xem xét yếu tố độ dốc các dòng tương ứng với chúng là giá trị gần đúng của sự khác biệt , ở đâu là kích thước fractal.

Fractals được gọi là các đối tượng hình học: các đường bề mặt, các vật thể không gian có hình dạng thụt vào mạnh và có đặc tính tự đồng dạng. Từ fractal xuất phát từ từ fractus và được dịch là phân số, bị hỏng. Tính tự tương tự, với tư cách là đặc điểm chính, có nghĩa là nó ít nhiều được sắp xếp đồng nhất trên một phạm vi rộng của các thang đo. Vì vậy, khi phóng to, các mảnh nhỏ của fractal rất giống với các mảnh lớn. Trong trường hợp lý tưởng, sự tự tương tự như vậy dẫn đến thực tế là đối tượng fractal hóa ra là bất biến dưới sự giãn nở, tức là nó được cho là có sự đối xứng giãn nở. Nó giả định tính bất biến của các đặc điểm hình học chính của fractal khi tỷ lệ thay đổi.

Tất nhiên, đối với một fractal tự nhiên thực sự, có một thang độ dài tối thiểu nhất định, sao cho ở khoảng cách xa, thuộc tính chính của nó - tính tự đồng dạng - biến mất. Ngoài ra, trên các thang đo chiều dài đủ lớn, đặc tính ở đâu kích thước hình họcđối tượng thì tính chất tự tương tự này cũng bị vi phạm. Do đó, các thuộc tính của fractals tự nhiên chỉ được xem xét trên quy mô tôi, thỏa mãn tỷ số . Những hạn chế như vậy là khá tự nhiên, bởi vì khi chúng ta đưa ra ví dụ về một fractal - một quỹ đạo bị đứt quãng, không trơn tru của hạt Brown, thì chúng ta hiểu rằng hình ảnh là một sự lý tưởng hóa rõ ràng. Vấn đề là tính hữu hạn của thời gian va chạm ảnh hưởng đến quy mô nhỏ. Khi những trường hợp này được tính đến, quỹ đạo của hạt Brown trở thành một đường cong trơn.

Lưu ý rằng thuộc tính tự tương tự chỉ đặc trưng cho các fractal thông thường. Nếu, thay vì một phương pháp xây dựng xác định, một số yếu tố ngẫu nhiên được đưa vào thuật toán để tạo ra chúng (chẳng hạn như xảy ra trong nhiều quá trình phát triển khuếch tán của các cụm, sự cố điện v.v.), thì cái gọi là fractals ngẫu nhiên phát sinh. Sự khác biệt chính của chúng so với các thuộc tính thông thường là các thuộc tính tự tương tự chỉ có giá trị sau khi tính trung bình thích hợp trên tất cả các hiện thực đối tượng độc lập về mặt thống kê. Trong trường hợp này, phần mở rộng của fractal không hoàn toàn giống với phần ban đầu, tuy nhiên, chúng đặc điểm thống kê cuộc thi đấu. Nhưng fractal mà chúng ta đang nghiên cứu là một trong những fractal cổ điển, và do đó đều đặn.

chiều dài bờ biển

Ban đầu, khái niệm về fractal nảy sinh trong vật lý liên quan đến vấn đề tìm đường bờ biển. Khi nó được đo bằng bản đồ có sẵn của khu vực, một chi tiết gây tò mò đã được tiết lộ - bản đồ được lấy càng lớn, đường bờ biển này càng dài.

Hình 1 - Bản đồ đường bờ biển

Ví dụ, hãy tính khoảng cách theo một đường thẳng giữa các điểm nằm trên đường bờ biển Một và b bằng r(xem hình 1). Sau đó, để đo chiều dài đường bờ biển giữa các điểm này, chúng tôi sẽ sắp xếp cứng nhắc dọc theo bờ biển người bạn ràng buộc với một cực khác sao cho khoảng cách giữa các cực liền kề sẽ là, ví dụ, l=10km. Chiều dài đường bờ biển tính bằng km giữa các điểm Một và b sau đó chúng tôi sẽ lấy bằng số chân trừ đi một, nhân với mười. Chúng tôi sẽ thực hiện phép đo tiếp theo của chiều dài này theo cách tương tự, nhưng chúng tôi sẽ tạo khoảng cách giữa các cực lân cận đã bằng l=1km.

Nó chỉ ra rằng kết quả của các phép đo này sẽ khác nhau. Khi thu nhỏ tôi chúng tôi sẽ nhận được mọi thứ giá trị lớn chiều dài. Trái ngược với một đường cong trơn tru, đường bờ biển thường bị thụt vào (xuống tỷ lệ nhỏ nhất) với sự giảm liên kết tôi kích cỡ l- chiều dài bờ biển - không có xu hướng giới hạn cuối cùng và tăng theo quy luật tăng dần

ở đâu D- một số mũ, được gọi là kích thước fractal của đường bờ biển. Giá trị càng lớn Dđường bờ biển này càng gồ ghề. Nguồn gốc của sự phụ thuộc (1) là trực quan: chúng ta sử dụng thang đo càng nhỏ thì các chi tiết nhỏ hơn của bờ biển sẽ được tính đến và sẽ đóng góp vào chiều dài đo được. Ngược lại, bằng cách tăng quy mô, chúng tôi làm thẳng bờ biển, giảm chiều dài l.

Như vậy, rõ ràng là để xác định chiều dài đường bờ biển l với quy mô cứng tôi(ví dụ: sử dụng la bàn giải pháp cố định), bạn cần thực hiện N=L/l các bước và giá trị l thay đổi c tôi vì thế N phụ thuộc tôi trong pháp luật. Kết quả là, khi quy mô giảm, chiều dài bờ biển tăng vô hạn. Trường hợp này phân biệt rõ ràng một đường cong fractal với một đường cong trơn thông thường (chẳng hạn như hình tròn, hình elip), trong đó giới hạn độ dài của đường gãy gần đúng l vì độ dài của liên kết của nó có xu hướng bằng không tôi có hạn. Kết quả là, đối với một đường cong trơn tru, kích thước fractal của nó D=1, I E. trùng với topo.

Hãy để chúng tôi trình bày các giá trị của kích thước fractal D cho các bờ biển khác nhau. Ví dụ, đối với Quần đảo Anh D? 13, và cho Na Uy D? mười lăm. Kích thước fractal của bờ biển Australia D ? 1. 1. Kích thước fractal của các bờ biển khác hóa ra cũng gần như thống nhất.

Ở trên, khái niệm về chiều fractal của đường bờ biển đã được giới thiệu. Hãy cho đi ngay bây giờ định nghĩa chung giá trị này. Để cho đ- chiều Euclide thông thường của không gian chứa đối tượng fractal của chúng ta ( d=1- hàng, d=2- chiếc máy bay, d=3- không gian ba chiều thông thường). Bây giờ hãy bao phủ hoàn toàn đối tượng này đ"quả bóng" có bán kính tôi. Giả sử chúng ta cần ít nhất N(l) những quả bóng. Sau đó, nếu đủ nhỏ tôi kích cỡ N(l) biến thiên theo quy luật lũy thừa:

sau đó D- được gọi là kích thước Hausdorff hoặc fractal của đối tượng này.

Khi nghiên cứu địa lý, tất nhiên, bạn nên nhớ rằng mỗi quốc gia có diện tích lãnh thổ và chiều dài biên giới riêng, đặc biệt, nếu một quốc gia bị cuốn trôi bởi bất kỳ biển hoặc đại dương nào, thì quốc gia đó có biên giới biển có chiều dài nhất định. Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào độ dài đường viền này được xác định? Năm 1977, nhà toán học người Mỹ Benoit Mandelbrot tự đặt câu hỏi tiếp theo: Độ dài đường bờ biển Vương quốc Anh là bao nhiêu? Hóa ra là không thể trả lời chính xác "câu hỏi trẻ con" này. Năm 1988, nhà khoa học người Na Uy Jens Feder quyết định tìm hiểu xem chiều dài của đường bờ biển Na Uy là bao nhiêu. Xin lưu ý rằng bờ biển của Na Uy bị lõm sâu bởi các vịnh hẹp. Các nhà khoa học khác đã tự hỏi mình những câu hỏi tương tự về độ dài của đường bờ biển Úc, Nam Phi, Đức, Bồ Đào Nha và các nước khác.

Chúng ta chỉ có thể đo chiều dài của đường bờ biển một cách gần đúng. Khi chúng tôi thu nhỏ, chúng tôi phải đo ngày càng nhiều mũi và vịnh nhỏ - chiều dài của đường bờ biển tăng lên và đơn giản là không có giới hạn khách quan nào để thu nhỏ (và do đó làm tăng chiều dài của đường bờ biển); chúng ta phải thừa nhận rằng dòng này có chiều dài vô hạn. Chúng ta biết rằng kích thước của một đường thẳng là một, kích thước của hình vuông là hai và kích thước của hình lập phương là ba. Mandelbrot đề xuất sử dụng các kích thước phân số để đo các đường cong "quái dị" - kích thước của Hausdorff - Besicovich. Những đường cong lởm chởm vô tận như đường bờ biển không hẳn là những đường thẳng. Chúng dường như "quét" một phần của máy bay, giống như một bề mặt. Nhưng chúng không phải là bề mặt. Điều này có nghĩa là hợp lý khi giả định rằng số chiều của chúng lớn hơn một, nhưng cũng nhỏ hơn hai, nghĩa là chúng là các đối tượng có số chiều phân số.

Nhà khoa học Na Uy E. Feder đã đề xuất một cách khác để đo chiều dài đường bờ biển. Bản đồ được bao phủ bởi một lưới ô vuông, các ô có kích thước e? e. Có thể thấy rằng số lượng N(e) các ô như vậy bao phủ đường bờ biển trên bản đồ xấp xỉ bằng số bước bạn có thể đi quanh đường bờ biển trên bản đồ bằng một la bàn có nghiệm e. Nếu e giảm thì số N(e) sẽ tăng. Nếu đường bờ biển của Vương quốc Anh có chiều dài nhất định L, sau đó là số bước của la bàn với giải pháp (hoặc số ô vuông N(e) bao phủ đường bờ biển trên bản đồ) sẽ tỷ lệ nghịch với e và giá trị Ln (e)=N(e) ? e sẽ hướng đến hằng số L khi k giảm.Thật không may, các tính toán được thực hiện bởi nhiều nhà khoa học đã chỉ ra rằng điều này không hoàn toàn đúng. Khi cao độ giảm, chiều dài đo được tăng lên. Hóa ra mối quan hệ giữa chiều dài đo được L(e) và cao độ e có thể được mô tả bằng mối quan hệ gần đúng

Hệ số D được gọi là chiều fractal. Từ fractal xuất phát từ chữ Latinh fractal - phân số, không nguyên. Một tập hợp được gọi là fractal nếu nó có thứ nguyên không phải là số nguyên. Đối với Na Uy D=1,52 và đối với Vương quốc Anh D=1,3. Do đó, đường bờ biển của Na Uy và Vương quốc Anh là một fractal với kích thước fractal D. Các tính toán cũng được thực hiện cho một vòng tròn và kích thước fractal của một vòng tròn là D=1, điều đã được mong đợi. Do đó, kích thước fractal là một tổng quát hóa của kích thước thông thường.

Làm thế nào điều này được hiểu và nó có thể có nghĩa là gì? Các nhà toán học bắt đầu nhớ xem trước đây có điều gì tương tự trong toán học hay không? Và họ đã nhớ! Xét một phần của đường thẳng AB nào đó trên mặt phẳng (Hình 3). Chúng ta hãy lấy một hình vuông có cạnh e và tự hỏi: cần bao nhiêu hình vuông N(e) có cạnh dài e để che đoạn thẳng AB bằng những hình vuông như vậy? Có thể thấy rằng N(e) tỷ lệ thuận với

Tương tự, nếu một vùng giới hạn khép kín trên một mặt phẳng (Hình 4) được bao phủ bởi một ô vuông có cạnh e, thì số ô vuông có cạnh e tối thiểu bao phủ vùng đó sẽ bằng

Nếu chúng ta xem xét một khu vực giới hạn khép kín trong không gian ba chiều và lấy một hình lập phương có cạnh e thì số hình lập phương lấp đầy diện tích này là

Hãy để chúng tôi xác định kích thước fractal dựa trên những điều đã nêu ở trên trường hợp chung theo cách sau:

Lấy logarit của bên trái và bên phải

Chuyển đến giới hạn khi e tiến tới 0 (N tiến tới vô cùng), ta được

Đẳng thức này là định nghĩa của thứ nguyên được ký hiệu là d.